ДОНЕЦЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БАЙ Юлія Петрівна

УДК 539.3:534.1

ЛокаЛiзацiя та розсiяння нормальних пружних хвиль В складених анiзотропних хвилеводах

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Донецькому національному університеті

Науковий керівник доктор технічних наук, професор

Сторожев Валерій Іванович

Донецький національний університет,

професор кафедри теорії пружності та обчислювальної

математики

Офіційні опоненти доктор фiзико-математичних наук, член-кор. НАН України

Шульга Микола Олександрович

Iнститут механiки iм. С.П.Тимошенка НАН України,

завiдуючий відділу електропружностi

кандидат фiзико-математичних наук

Ложкiн Володимир Миколайович

Інститут прикладної математики і механіки НАН України,

старший науковий спiвробiтник вiддiлу аналітичних

методів механіки гірничих порід

Провідна установа Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

кафедра теоретичної i прикладної механiки

Захист відбудеться 25.04.2002 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К .051.05 у Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. .

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24.

Автореферат розісланий 19.03.2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Мисовський Ю.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження властивостей поширення, дисперсійного розсіяння та локалізації пружних хвиль в анізотропних тілах, що складаються з різнорідних за фізико-механічними властивостями компонентів, має важливе фундаментально-наукове й прикладне значення. Фундаментальні дослідження за даною проблемою є необхідними для подальшого формування цілісних уявлень про специфіку хвильових процесів у пружних тілах із ускладненими фізико-механічними та геометричними властивостями, а дослідження прикладної спрямованності складають наукову базу для створення й проектування сучасних акустоелектронних пристроїв передачі та трансформації сигнальної інформації, пристроїв ультраакустичного контролю, обладнання для технологічних процесів із використанням властивостей ультразвуку та ін.

Попри досить значну кількість досліджень у цьому напрямку, загалом зазначена проблема залишається відкритою за багатьма принципово важливими аспектами. Зокрема, малодослідженими властивостями ультраакустичних узагальнених поверхневих та нормальних хвиль є закономірності будови та трансформації їх повних дисперсійних спектрів при різних непружноеквівалентних напрямках розповсюдження в складених хвилеводах із низькосиметричних монокристалічних матеріалів, закономірності локалізації хвиль цих типів у високочастотному короткохвильовому діапазоні, особливості розподілу потоків хвильової енергії у різних зонах хвилеводів для різноманітних частотних діапазонів. За цих обставин вивчення закономірностей поширення, дифракційного розсіяння та локалізації пружних хвиль у складених хвилеводах із анізотропними компонентами орторомбічної системи й розробка вдосконалених методик дослідження відповідних спектральних задач є актуальною науковою проблемою на сучасному етапі розвитку динаміки деформівного твердого тіла.

Зв'язок роботи з науковими програмами. Викладені в дисертаційній роботі дослідження передбачені програмами та тематичними планами конкурсних фінансованих Міністерством освіти і науки України фундаментальних науково-дослідних робіт (номери держреєстрації 0196U007098, 0199U001502, 0101U005370).

Мета й задачі дисертаційної роботи. Метою роботи є дослідження основних закономірностей у дисперсійних, кінематичних та енергетичних властивостях узагальнених поверхневих та нормальних хвиль у складених анізотропних хвилеводах орторомбічної системи в вигляді ідеально або неідеально контактуючих пружних різнорідних напівпросторів, пружного шару й напівпростору, двох пружних шарів, а також розробка чисельно-аналітичних методик розв'язання відповідних спектральних крайових задач і фізико-механічна інтерпретація результатів їх аналізу. Досягнення мети роботи здійснюється шляхом вирішення наступних задач: розробка методик розв'язання проблем поширення узагальнених поверхневих хвиль Стоунлі та Лява з довільним напрямком розповсюдження, які локалізуються біля поверхонь контакту монокристалічних матеріалів орторомбічної системи; одержання узагальнених умов існування поверхневих хвиль Стоунлі та Лява в хвилеводних структурах зазначених типів із реальних монокристалів; розробка методики побудови й аналізу дисперсійних рівнянь для нормальних хвиль із довільним напрямком розповсюдження в двошарових хвилеводах із матеріалів орторомбічної системи; описання якісних і кількісних характеристик і особливостей трансформації повних дисперсійних спектрів біжучих і крайових стоячих хвиль у двошарових кристалічних хвилеводах при довільних напрямках розповсюдження; одержання узагальнених критеріїв, що визначають тип короткохвильової високочастотної локалізації нормальних хвиль з різними напрямками розповсюдження в двошарових кристалічних хвилеводах, а також визначення механізмів трансформації цих хвиль в узагальнені поверхневі хвилі Релею, Лява та Стоунлі; одержання узагальнених закономірностей розподілу кінематичних і енергетичних характеристик поверхневих і нормальних хвиль для анізотропних хвилеводних структур розгянутих типів.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в:

·

· уперше сформульовані умови існування узагальнених поверхневих хвиль зазначених типів і проведено розрахунки фазових швидкостей хвиль Стоунлі та дисперсійних спектрів хвиль Лява при різних напрямках їх розповсюдження в структурах із орторомбічних матеріалів; досліджена асимптотична поведінка узагальнених хвиль Лява у високочастотному короткохвильовому діапазоні і встановлено новий варіант їх трансформації в узагальнені хвилі Стоунлі;

· одержані аналітичні форми дисперсійних співвідношень, які описують повні спектри недосліджених раніше трьохпарціальних нормальних хвиль в двохшарових хвилеводах орторомбічної системи з ідеальним або ковзним контактом шарів і побудована ефективна методика чисельного дослідження дійсних, уявних і комплексних гілок повних дисперсійних спектрів;

· уперше описані закономірності якісної та кількісної трансформації повних дисперсійних спектрів нормальних хвиль в двошарових хвилеводах із реальних орторомбічних монокристалів при зміні напрямку розповсюдження у площині хвилеводу;

· уперше встановлені закономірності асимптотичної поведінки нормальних хвиль в анізотропних двохшарових пластинах у високочастотному короткохвилевому діапазоні та визначені принципово можливі варіанти локалізації трьохпарціальних коротких нормальних хвиль;

· уперше досліджені особливості розподілу кінематичних та енергетичних характеристик узагальнених поверхневих і трьохпарціальних нормальних хвиль з довільним напрямком розповсюдження в складених анізотропних хвилеводах досліджуваних типів.

Практичне значення одержаних результатів полягає в можливостях використання розроблених чисельно-аналітичних методик, засобів їх комп'ютерної реалізації і встановлених фізико-механічних закономірностей поширення, дисперсійного розсіяння і локалізації хвиль при розробці схем функціонування і проектуванні акустоелектронних пристроїв (ліній затримки, фільтрів), при створенні технологічних схем та обладнання для ультраакустичного неруйнівного контролю, ультразвукової дефектоскопії, геоакустичного аналізу структури геомасивів, сейсмічних досліджень. Основні результати можуть знайти практичне застосування в проектно-конструкторських роботах НДІ та КБ радіоелектронної промисловості, машинобудування, приладобудування, а також можуть бути використані в спеціальних навчальних курсах.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 11 робіт, зокрема, 7 статей, з яких 3 статті в наукових журналах [1, 3, 5], 4 статті в збірниках наукових праць [2, 4, 6, 7] (усього 4 роботи [1 - 4] у визнаних ВАК фахових виданнях), а також 4 публікації в збірках тез доповідей і матеріалів наукових конференцій [8  ]. Основні науково значимі результати дисертації отримані автором самостійно. У роботах [1, 3 – ] співавторам Сторожеву В.І. та Шпаку В.А. належить участь у постановці розглянутих задач, консультації щодо вибору загального напряму дослідження та участь в обговоренні отриманих результатів. Співавтору Шпаку В.А. у роботах [3, 6, 7] належить розробка окремих складових у комплексах програм для чисельної реалізації рішень дисперсійних рівнянь, а у роботах [1, ] - концептуальні рекомендації щодо побудови методики дослідження дисперсійного рівняння для узагальнених хвиль Стоунлі.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи були представлені на II Білоруському конгресі "Механика-99" (Мінськ, 1999), Міжнародній конференції "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (IСSСD-99, Донецьк, 1999), V Міжнародній конференції "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1999), Міжнародній науковій конференції "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (Львів, 2000), Міжнародній науково-практичній конференції "Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла" (Донецьк, 2001), Міжнародній конференції "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (Ростов-на-Дону, 2001), Всеукраїнській конференції "Математичні проблеми технічної механіки" (Дніпродзержинськ, 2001) та науковій конференції Донецького національного університету за підсумками науково-дослідної роботи у 1999 – 2000 рр. (Донецьк, 2001). В цілому робота доповідалась і обговорювалась на об'єднаних наукових семінарах кафедр теорії пружності та обчислювальної математики, теоретичної і прикладної механіки Донецького національного університету та відділу аналітичних методів механіки гірничих порід Інституту прикладної математики і механіки НАН України; на науковому семінарі "Проблеми механіки" кафедри теоретичної і прикладної механіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та одного додатку. Загальний обсяг дисертації – 132 сторінки. Дисертація містить 51 рисунок і 11 таблиць, серед яких 7 таблиць розташовані у додатку. Список літературних джерел складається з 160 найменувань і розміщений на 17 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі показано актуальність теми дисертації, наведені дані про зв'язок дисертації з науково-дослідними роботами, сформульовано мету й задачі дослідження, відзначено наукову новизну, достовірність та практичне значення отриманих результатів. Наведені дані про апробацію результатів дисертації, про публікації автора за темою дисертації й особистий внесок здобувача у роботи, виконані у співавторстві.

У першому розділі подано огляд основних результатів, які стосуються кола проблем хвильової механіки, розглянутих у диссертації, і вказано найважливіші відкриті питання, пов'язані з проблемою розповсюдження хвиль в складених анізотропних хвилеводах. Відзначено, що провідний внесок у формування сучасних наукових знань про властивості поверхневих і нормальних пружних хвиль внесено роботами Бабешка В.А., Бабича В.М., Білоконя О.В., Ватульяна О.О., Вікторова І.О., Воровича Й.І., Гетьмана І.П., Глушкова Є.В., Головчана В.Т., Городецької Н.С., Григоренка О.Я., Гринченка В.Т., Гузя О.Н., Гуляєва В.І., Гуляєва Ю.В., Жарія А.Ю., Карнаухова В.Г., Комісарової Г.Л., Космодаміанского О.С., Ложкіна В.М., Махорта Ф.Г., Мелешка В.В., Моісеєнка В.О., Молоткова Л.А., Пожуєва В.І., Рущіцького Я.Я., Селезова І.Т., Сенченкова І.К., Сторожева В.І., Улітка А.Ф., Устінова Ю.А., Шульги М.О., Achenbach J.D., Auld B.A., Chimenti D.E., Farnell G.W., Graff K.F., Kaul R.K., Lim T.C., MindlinMusgrave M.J.P., Nayfeh A.H., Oliner A.M., Rokhlin .I., Sugimoto N., Sun C.T., Talbot R.J., Tiersten H.F., Vrba J., Watanabe H. та ін.

Проте проблеми дослідження властивостей пружних хвиль у складених хвилеводах із низькосиметричних анізотропних компонентів є на сьогодні маловивченими, а безпосередньо питання про умови існування, дисперсійні, кінематичні та енергетичні властивості узагальнених трьохпарціальних поверхневих хвиль Стоунлі та Лява у середовищах із анізотропними компонентами, нормальних хвиль вздовж непружноеквівалентних напрямків розповсюдження в двошарових анізотропних хвилеводах є відкритими актуальними науковими задачами.

Далі у цьому розділі дано фізичну і математичну постановку кола конкретних задач, що досліджуються у дисертації, і охарактеризовано обрану у роботі методологію дослідження дисперсійних властивостей, кінематичних та енергетичних характеристик трьохпарціальних поверхневих і нормальних хвиль у хвилеводах досліджуваних типів.

Об'єктом дослідження в дисертації є двошаровий (в узагальненому розумінні) хвилевод, із різнорідних анізотропних компонентів V+ і V- з колінеарними пружноеквівалентними напрямками, який розглядається у припущеннях, що товщини обох шарів є необмеженими (хвилевод для поверхневих хвиль Стоунлі); товщина одного шару є необмеженою, а іншого - скінченою (хвилевод для поверхневих хвиль Лява); товщини обох шарів є скінченими.

Спектральні задачі, які описують поширення вільних хвиль у хвилеводах зазначених типів, складаються з записаних у безрозмірній формі рівнянь руху анізотропного середовища орторомбічної системи у переміщеннях для кожного із компонентів V+ і V- хвилеводу

;

; (1)

,

що займають області V- = {(x1, x2) О R2, –h- = x3 < 0}, V+ = {(x1, x2) О R2,  < x3 = h+}, та відповідних граничних умов на зовнішніх поверхнях і поверхнях контакту компонентів. В рівняннях (1) , с± - нормовані пружні сталі і щільності контактуючих матеріалів, R*, c* - нормуючі параметри для всіх лінійних величин і величин із розмірністю механічних напруг. Контактні умови у площині x3=0 задаються як умови ідеального механічного контакту , або умови ковзного контакту компонентів V+ і V- , , . На зовнішніх плоскостях x3=h± шарів скінченої товщини формулюються граничні умови вільних поверхонь . Для напівскінчених компонентів формулюються умови локалізації хвильових переміщень (згасання інтенсивності хвильових переміщень при відході від поверхні контакту).

Дослідження сформульованих спектральних задач у роботі базується на концепції аналітичного одержання дисперсійної функції, яка передбачає введення комплексної функції хвильових рухів з довільним напрямком розповсюдження у площині хвилеводу

(n1=cosц, n2=sinц, ц=n^Ox1) (2)

і зведення поставленої задачі до спектральної задачі відносно комплексних амплітудних функцій , що містить системи звичайних диференційних рівнянь

,

, (3)

;

, ,…,

; ;

і відповідні граничні умови.

Аналітичні розв'язки систем (3) будуються в спеціальній формі для кожного з типів хвиль, що вивчаються, а основне дисперсійне співідношення витікає з умов існування нетривіальних розв'язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь відносно вільних коефіцієнтів у представленнях амплітудних функцій, які отримані з граничних умов на поверхнях хвилеводу. Принципово важливим елементом даної методології є якісний аналіз гілок коренів характеристичних рівнянь систем (3), тобто бікубічних рівнянь Кристофеля відносно параметру фазової швидкості хвиль v = щ/k для кожного з компонентів хвилеводу. На цьому етапі аналізу дисперсійних співвідношень на площині (?, v) для кожного з компонентів хвилеводу формулюються умови існування кратних коренів рівняння Кристофеля, які полягають у рівності нулю його вільного члену (умови першого типу) та дискримінанту (умови другого типу). З умов першого типу витікають три залежності, які зображуються на площині (?, v) крививми ; ; і з фізичної точки зору відповідають залежностям фазових швидкостей об'ємних квазиповздовжніх (Р) і квазипоперечних (SV, SH) хвиль у анізотропних матеріалах складових V± від параметру напрямку розповсюдження ?. Умови другого типу для кожного з компонентів хвилеводу зводяться до алгерабраїчних поліноміальних рівнянь шостого ступеня відносно v2. При наявності гілки дійсних коренів цих рівнянь відповідні криві на площині (?, v) позначаються . В підобластях площини (?, v), обмежених кривими l±j(ц), ?арактеристичні рівняння мають сталий тип коренів, і кожному простому кореню цих рівнянь відповідають розв'язки систем (2) у тригонометричній або експоненційній формі.

Аналіз розподілу кривих l±j(ц) () лежить в основі визначення умов існування локалізованних узагальнених трьохпарціальних поверхневих хвиль Стоунлі і Лява і встановлення типів локалізації біжучих нормальних хвиль у двошарових анізотропних хвилеводах. З іншого боку, побудова кривих l±j(ц) ? необхідним елементом ефективного чисельного аналізу дисперсійних співвідношень, оскільки у підобластях, обмежених l±j(ц), ? сталим тип значень дисперсійної функції, і це дозволяє використовувати для пошуку коренів дисперсійного рівняння у зазначених підобластях відомі чисельні процедури.

У другому розділі дисертаційної роботи вивчаються властивості узагальнених поверхневих хвиль Стоунлі і Лява, що розповсюджуються вздовж довільного напрямку в площині x3=0 відповідних хвилеводних структур.

Дисперсійне рівняння для узагальнених поверхневих хвиль Стоунлі одержано на основі введення для комплексних амплітудних функцій зображень

де , , ; K±m - сталі інтегрування; л±m - корені характеристичних рівнянь Кристофеля для матеріалів півпросторів V+ і V-, які для виконання умов локалізації хвиль мають задовольняти умовам Re л-m > 0, Re л+m < 0. Дисперсійна функція для узагальнених хвиль Стоунлі одержана в аналітичній формі і має вигляд

(4)

Тут S±q - матричні блоки розміру 3ґ3 з елементами S±qij, які у випадку ідеального механічного контакту компонентів V+ і V- хвилеводу мають вигляд ; ; (i , ), а у випадку ковзного контакту компонентів хвилеводу – ; ; ; ; (i , ), де , , .

На підставі аналізу розподілу кривих l±j(ц) ?а площині (?, v) і детального аналізу коренів ?±m характеристичних рівнянь Кристофеля встановлено, що значення параметру v(ц), ?ри яких існує необхідна для виконання умов локалізації хвиль Стоунлі кількість коренів ?m в окремих компонентах V+ і V- хвилеводу, мають належати області D {v(ц): v vSmin(ц)} vSmin(ц){vSV(ц), vSH(ц)}. ? цій області корені ?m характеристичних рівнянь Кристофеля є дійсними або (при v(ц) < vD(ц)) комплексно-спряженими. Оскільки швидкість хвиль Стоунлі не менша, ніж швидкості v±R(ц) ?елеєвських хвиль у напівпросторах V± з вільними поверхнями, то, з урахуванням зазначеного вище, умовою існування узагальнених хвиль Стоунлі є існування області , де ,

Умови існування узагальнених трьохпарціальних хвиль Стоунлі були проаналізовані в роботі для 170 комбінацій реальних орторомбічних монокристалів, а також для більш ніж 1000 комбінацій кубічних та гексагональних монокристалів, і у разі існування хвиль цього типу були проведені розрахунки їх фазових швидкостей для окремих напрямків розповсюдження. Встановлено, що при умовах ідеального контакту півпросторів узагальнені хвилі Стоунлі існують лише у 3% віпадків від загальної розглянутої кількості комбінацій, а при умовах ковзного контакту – в 10% випадків. Для хвилеводу, складеного з орторомбічних монокристалів натрію-амонію-селенату-дігідрату і резорцину, проведено детальний параметричний аналіз гілок коренів рівнянь Кристофеля; на площині (?, v) визначена область існування узагальнених поверхневих хвиль Стоунлі (заштрихована область на рис. ) і побудована залежність фазової швидкості хвиль Стоунлі від параметру напрямку розповсюдження ?. Для даного хвилеводу при окремих значеннях ? розраховані розподіли амплітудних характеристик і щільностей потоків потужності узагальнених трьохпарціальних хвиль Стоунлі за вертикальною координатою; встановлені співвідношення між потоками енергії, що переноситься хвилями у складових хвилеводу V+ та V-, і проаналізовано вплив типу контактних умов на досліджувані характеристики узагальнених поверхневих хвиль.

Дисперсійне співвідношення для узагальнених поверхневих хвиль Лява в хвилеводі, який утворено контактуючими шаром V+ і напівпростором V-, одержано на основі введення для амплітудних функцій зображень

.

Дисперсійна функція для узагальнених хвиль Лява має аналітичну форму

(5)

де матричні блоки S±1 і S±2 є блоками, що входять до дисперсійної функції (4), а елементи блоків S+3 і S+4 визначаються формулами , ; , (i , ).

На основі сукупного аналізу одержаного дисперсійного рівняння, а також аналізу характеристичного рівняння для напівпростору V- в роботі одержані умови існування узагальнених трьохпарціальних поверхневих хвиль Лява. Як відомо, фазові швидкості класичних суто зсувних хвиль Лява задовольняють умові v+SH vL v-SH, де v+SH і v-SH - швидкості хвиль зсуву в шарі V+ та півпросторі V-. У загальному випадку для анізотропного хвилеводу у роботі встановлено, що фазові швидкості узагальнених хвиль Лява, які розповсюджуються вздовж довільного напрямку ? в площині контакту анізотропного шару і півпростору, мають задовольняти умові v+N(ц) vL(ц) v-Smin(ц), ?е v+N(ц) - ?айменше значення фазової швидкості нормальних хвиль у шарі V+. Тобто умовою існування узагальнених трьохпарціальних поверхневих хвиль Лява є співвідношення v+N(ц) v-Smin(ц). ?ри цьому у низькочастотному довгохвилевому діапазоні швидкості досліджуваних хвиль прямують до v-Smin(ц).

На основі проведених в роботі розрахунків встановлено, що асимптотичними значеннями фазових швидкостей узагальнених трьохпарціальних хвиль Лява у високочастотному короткохвильовому діапазоні при різних напрямках розповсюдження можуть бути: швидкості v+SV(ц), v-SV(ц) ?вазипоперечних об'ємних хвиль у матеріалі шару V+; значення v*+D(ц), ?ке відповідає дійсному кореню дискримінанту рівняння Кристофеля для матеріалу шару V+ і є асимптотичним значенням фазової швидкості певних мод симетричних і антисиметричних нормальних хвиль для вільного шару V+; значення v+R(ц) ?видкості поверхневої хвилі Релея для півпростору з матеріалу шару V+; значення vSt(ц) ?видкості хвилі Стоунлі, локалізованої біля площини контакту напівпросторів з матеріалів компонентів V+ і V- хвилеводу.

Для декількох окремих значень параметру напрямку розповсюдження ? розраховані дисперсійні спектри трьохпарціальних узагальнених поверхневих хвиль Лява у хвилеводі, складеному з орторомбічних монокристалів цинку-сульфату-гептагідрату (V+) і стронцію-форміату (V-) (рис. ) та у хвилеводі з сегнетової солі (V+) і германату літію (V-). На основі цих розрахунків проілюстровано різні встановлені в роботі типи асимптотичної поведінки хвиль досліджуваного типу для складених анізотропних хвилеводів у високочастотному короткохвилевому діапазоні. Для хвиль, що належать різним модам визначених спектрів, розраховані, проаналізовані і співставлені розподіли кінематичних та енергетичних характеристик класичних зсувних та узагальнених трьохпарціальних поверхневих хвиль Лява; встановлені притаманні трьохпарціальним хвилям цього типу відмінності в асимпотичній високочастотній короткохвильовій поведінці, які полягають в альтернативних механізмах їх локалізації біля вільної поверхні покривного шару V+, в серединній його частині, або біля площини контакту шару та півпростору.

В третьому розділі роботи представлені методика і результати досліджень структури повних дисперсійних спектрів нормальних хвиль в двошарових анізотропних хвилеводах із скінченими товщинами компонентів V+ та V-. Основне дисперсійне співвідношення для хвиль зазначеного типу в роботі побудовано в аналітичній формі на основі введення зображень для комплексних амплітудних функцій

і має вигляд

, (6)

Матричні блоки S±1 і S±2 в (6) є блоками, що співпадають з відповідними блоками у співвідношенні (4), а блоки S±3 і S±4 за структурою подібні до блоків S+3 і S+4, що входять до співідношення (5).

Чисельно - аналітичний аналіз рівняння (6) здійснювався за методикою, яка включала попередній аналіз гілок коренів характеристичних рівнянь Кристофеля для матеріалів контактуючих шарів з метою визначення на площині (?, v) областей сталості типу значень дисперсійної функції (які при фіксованому значенні параметру ц ? секторами на площині (?, k)) та чисельні алгоритми уточнення коренів у визначених секторах, що поєднували методи бісекції для одновимірних та двовимірних областей та різновиди ітераційного методу Ньютону.

Для пружноеквівалентних напрямків розповсюдження одержані спеціальні форми дисперсійних співвідношень, що окремо описують незалежні множини нормальних P-SV і SH-хвиль в двошарових хвилеводах. Здійснені якісний порівняльний аналіз структур дисперсійних спектрів нормальних хвиль у пружноеквівалентних напрямках розповсюдження для двошарового та одношарового хвилеводів, зокрема, відсутність бездисперсних SH-мод у спектрі для двошарового хвилеводу.

При дослідженні структури дисперсійних спектрів трьохпарціальних нормальних хвиль вздовж довільного напрямку розповсюдження у двохшарових хвилеводах орторомбічної системи, насамперед, одержане і досліджене трансцендентне рівняння () для визначення трьох множин {щn(j)} () критичних частот біжучих хвиль, на яких хвилі мають лише одну ненульову компоненту вектору переміщень Uj незалежно від напрямку розповсюдження.

Для хвилеводу, утвореного монокристалічними шарами із сегнетової солі і тартрату-натрію-амонію досліджено механізми та особливості трансформації повного дисперсійного спектру при зміні кутового параметру напрямку розповсюдження у діапазоні 0=ц=р/2. ?азначена трансформація супроводжується, зокрема, зміною послідовності виникнення на критичних частотах ?n(j) біжучих хвиль різних типів вздовж пружноеквівалентних напрямків ?=0 і ?=р/2: ?ля напрямку ?=0 частоти ?n(1) і ?n(3) є критичними частотами мод P-SV-хвиль, а ?n(2) - критичними частотами мод SH-хвиль; для напрямку ?=р/2 ?оди P-SV-хвиль мають критичні частоти ?n(2) і ?n(3), а моди SH-хвиль - критичні частоты ?n(1). Показано, що послідовна безперервна трансформація спектру відбувається завдяки зближенню, торканню та розштовхуванню уявних гілок трьохпарціальних неоднорідних хвиль дисперсійного спектру, внаслідок якої до точок критичних частот при різних напрямках розповсюдження підходять різні гілки спектру крайових стоячих хвиль з уявними хвилоьвими числами. Повні дисперсійні спектри трьохпарціальних нормальних хвиль для різних напрямків розповсюдження, як показують розрахунки, суттєво відрізняються якісно і кількісно.

Досліджено залежність структури дисперсійних спектрів двошарових анізотропних хвилеводів від фізико-механічних характеристик шарів у випадку рівності їх відносних товщин. Описані закономірності будови спектрів для хвилеводів з шарами, що мають близькі значення фізико-механічних характеристик та схожі за структурою парціальні дисперсійні спектри симетричних і антисиметричних нормальних хвиль для окремо взятих вільних шарів V+ та V- (V+ - сегнетова сіль, V- - натрій-амоній-тартрат, ?=0), мають істотно різні механічні властивості, але подібні за структурою парціальні спектри нормальних хвиль у вільному шарі (V+ - бензофенон, V- - германат літію ?=р/2), ? також для хвилеводу, утвореного монокристалічними шарами з суттєво відмінними механічними властивостями та структурно-відмінними парціальними спектрами (V+ - сегнетова сіль, V- - германат літію, ?=0). Для хвилеводу останнього типу досліджено вплив на загальну структуру дисперсійного спектру співідношення товщин контактуючих шарів V+ та V-. Зокрема, при h+/h-=2 загальна структура спектру подібна до структури, яку має суперпозиція парціальних спектрів симетричних і антисиметричних нормальних хвиль для вільного шару V+, а при h+/h-=0,05 - спектр двошарового хвилеводу має аналогію з суперпозицією парціальних спектрів нормальних хвиль шару V-.

Четвертий розділ дисертаційної роботи містить результати якісного і кількісного дослідження закономірностей локалізації біжучих трьохпарціальних нормальних хвиль в двошарових анізотропних хвилеводах скінченої товщини у високочастотному короткохвильовому діапазоні. Зазначається, що ця проблема має як фундаментальне так і важливе прикладне значення, оскільки для переносу і трансформації сигнальної інформації у конкретних твердотільних акустоелектронних пристроях використовуються саме високочастотні короткі ультраакустичні хвилі.

Встановлено, що для анізотропного двошарового хвилеводу орторомбічної системи граничними асимптотичними значеннями фазових швидкостей біжучих нормальних хвиль, що розповсюджуться вздовж напрямку ?, у високочастотному діапазоні можуть бути: швидкості v+R(ц) ? v-R(ц) ?оверхневих хвиль Релею у напівпросторах з матеріалів контактуючих шарів; швидкість vSt(ц) ?оверхневої хвилі Стоунлі, локалізованої біля межі розділу півпросторів з матеріалів контактуючих шарів; мінімальне значення з повної множини фазових швидкостей об'ємних квазіпоперечних хвиль v+SV(ц), v+SH(ц), v-SV(ц), v-SH(ц) ? матеріалах шарів та швидкостей v*+D(ц), v*-D(ц).

На основі введення характеристик vSD(ц) = min{vSV(ц), vSH(ц), v*D(ц)} для кожного з контактуючих шарів V+ і V- та характеристик , , для всього двошарового хвилеводу, сформулювано закон, що описує локалізацію біжучих нормальних хвиль у високочастотному короткохвильовому діапазоні для двошарового хвилеводу орторомбічної системи. Якщо N(ц) - ?агальна кількість узагальнених поверхневих хвиль Релею і Стоунлі в матеріалах контактуючих шарів, швидкість яких не перевищує , тобто

(7)

то число різних варіантів асимптотичних залежностей дорівнює N+1, а граничними значеннями швидкостей трьохпарціальних нормальних хвиль у високочастотному короткохвильовому діапазоні будуть і всі значення швидкостей узагальнених поверхневих хвиль, які не перевищують . Для хвилеводу з ідеальним контактом шарів V±, можливі такі варіанти локалізації нормальних високочастотних коротких хвиль:

·

· локалізація біля обох зовнішніх вільних поверхонь хвилеводу при N(ц)=2; ?ри цьому хвилі двох нижчих мод трансформуються в узагальнені поверхневі хвилі Релею із швидкостями

· локалізація біля обох зовнішніх поверхонь хвилеводу, а також локалізація біля площини контакту шарів при N(ц)=3; ?ри цьому біжучі нормальні хвилі двох нижчих мод трансформуються в узагальнені хвилі Релею зі швидкостями

· при виконанні однієї з умов

У випадку ковзного контакту шарів V± хвилеводу швидкості vSt(ц) ?загальнених хвиль Стоунлі задовольняють третій з умов (7), а також можуть задовольняти умові або умовам , ; при цьому відповідним чином змінюється асимптотична поведінка нормальних трьохпарціальних біжучих хвиль, що належать другій і третій моді.

Окремо на підставі циклу розрахунків досліджене питання про кінематичні та енергетичні характеристики локалізованих трьохпарціальних нормальних хвиль. Зокрема, на рис. а  г наведені розподіли по товщині двошарового хвилеводу (V+ - цинк-сульфат-гептагідрат, V- - стронцій-форміат, h+=h-) для проекцій векторів щільностей середніх за період потоків потужності у локалізованих хвилях нижчих чотирьох мод на повздовжній колінеарний напрямок (компонента ) та на ортогональний напрямок у площині хвилеводу (компонента ). Штрихові лінії відповідають напрямку розповсюдження ?=р/12, ? суцільні лінії – напрямку ?=р/4. ?аведені розподіли відображують той факт, що для напрямку ?=р/12 ?окалізація потоку потужності спостерігається лише для високочастотної хвилі першої моди (рис. а), а для напрямку ?=р/4 ?еалізуються усі чотири можливі варіанти локалізації: для хвиль першої і другої мод, фазові швидкості яких близькі до v-R(ц) ? v+R(ц), ?постерігається експоненційне зростання енергетичних характеристик біля верхньої і нижньої зовнішніх поверхонь хвилеводу (рис. а, 3б); для нормальної хвилі третьої моди з фазовою швидкістю, близькою до швидкості узагальненої хвилі Стоунлі, енергетичні характеристики локалізовані біля площини контакту шарів (рис. в); оскільки для даного хвилеводу у напрямку ?=р/4 ?иконується умова , то для високочастотної хвилі четвертої моди реалізується механізм локалізації енергетичних характеристик у серединній частині верхнього шару, характерний для хвиль з близькими до v*D швидкостями (рис. г).

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі в тривимірній постановці досліджені проблеми визначення структури дисперсійних спектрів, кінематичних і енергетичних характеристик, а також асимптотичних властивостей узагальнених поверхневих та нормальних пружних хвиль у складених анізотропних хвилеводах. До основних наукових результатів роботи відносяться такі:

1. Побудовані розв'язки просторових задач про розповсюдження узагальнених поверхневих трьохпарціальних хвиль Стоунлі та Лява вздовж довільного напрямку в площині ідеального механічного або ковзного контакту різнорідних пружних півпросторів або шару та півпростору з монокристалічних материалів орторомбічної системи. Встановлені умови існування поверхневих хвиль зазначених типів у хвилеводних структурах з реальних монокристалів; розроблена методика чисельно-аналітичного дослідження дисперсійних рівнянь для хвиль даних типів. Проведено розрахунки фазових швидкостей узагальнених хвиль Стоунлі та дисперсійних спектрів узагальнених хвиль Лява при різних напрямках їх розповсюдження в структурах з реальних орторомбічних монокристалів. Встановлені нові притаманні анізотропним хвилеводам типи асимптотичної поведінки узагальнених трьохпарціальних поверхневих хвиль Лява у високочастотному короткохвилевому діапазоні і, зокрема, знайдено властивий лише анізотропним хвилеводам випадок їх асимптотичної трансформації в узагальнені хвилі Стоунлі.

2. Отримані аналітичні форми дисперсійних співвідношень для трьохпарціальних нормальних хвиль, що розповсюджуються вздовж довільного напрямку в площині ідеального або ковзного контакту двох монокристалічних шарів орторомбічної системи з колінеарними пружноеквівалентними напрямками. Розроблена і програмно реалізована методика чисельно – аналітичного дослідження дійсних, уявних та комплексних гілок повних дисперсійних спектрів нормальних хвиль зазначеного типу, яка, зокрема, використовує результати детального аналізу гілок кратних коренів характеристичних рівнянь Кристофелю для матеріалів контактуючих шарів.

3. Вивчено структури повних дисперсійних спектрів біжучих та крайових стоячих нормальних хвиль в двохшарових анізотропних хвилеводах орторомбічної системи для напрямків розповсюдження, що співпадають або не співпадають з пружноеквівалентними напрямками контактуючих матеріалів. Проведене структурне порівняння зазначених спектрів для двохшарового хвилеводу з окремими спектрами симметричних та антисимметричних нормальних хвиль у кожному з контактуючих шарів та зі спектром, одержаним внаслідок їх суперпозиції. Для двошарового хвилеводу, утвореного ідеально контактуючими шарами з монокристалів сегнетової солі та тартрату натрію амонію, проведене детальне дослідження сукупної трансформації дійсних, уявних та комплексних гілок дисперсійного спектру при послідовний зміні напрямку розповсюдження трьохпарціальних нормальних хвиль між двома пружноеквівалентними напрямками в площині хвилеводу. Досліджена залежність структури дисперсійних спектрів від фізико-механічних властивостей компонентів хвилеводу у випадку співпадання їх відносних товщин. Для хвилеводу, механічні властивості компонентів якого суттєво відрізняються, досліджено вплив співвідношення товщин контактуючих шарів на загальну структуру дисперсійного спектру у пружноеквівалентному напрямку розповсюдження.

4. Проведене якісне і кількісне дослідження асимптотичної високочастотної короткохвильової поведінки біжучих трьохпарціальних нормальних хвиль з довільним напрямком розповсюдження в площині двошарового ортотропного хвилеводу. Встановлені принципово можливі механізми їх асимптотичної трансформації і граничні значення їх фазових швидкостей у високочастотному короткохвильовому діапазоні. Отримані критерії для визначення кількості можливих асимптотичних значень фазових швидкостей нормальних хвиль у цьому діапазоні і відповідні варіанти локалізації високочастотних коротких трьохпарціальних нормальних хвиль. Встановлено, що принципові відмінності в якісних схемах асимптотичної поведінки нормальних хвиль в двошарових ізотропних та двошарових анізотропних хвилеводах можуть виникати лише в тому випадку, якщо для матеріалу хоча б одного з контактуючих шарів існує нетривіальна залежність vD(ц), яка відповідає дійсним кореням дискримінанту характеристичного рівняння Кристофеля. Встановлені відмінності в асимптотичній поведінці мод трьохпарціальних біжучих нормальних хвиль при різних типах умов контакту шарів хвилеводу. На прикладі двошарового хвилеводу, складеного з монокристалічних орторомбічних шарів цинку-сульфату-гептагідрату та стронцію-форміату, проведено детальний аналіз кінематичних та енергетичних характеристик трьохпарціальних біжучих нормальних хвиль чотирьох нижчих мод для різних напрямків їх розповсюдження.

5. Вивчені і описані закономірності процесів поширення, дисперсійного розсіяння та локалізації ультраакустичних хвиль в складених анізотропних хвилеводах поглиблюють рівень знань у галузі фундаментальних основ хвильової механіки і можуть знайти ефективне прикладне застосування при розробці принципових схем функціонування та проектуванні хвилеводних компонентів акустоелектронної техніки, які реалізують задачу селективної передачі сигнальної інформаціїї, а також у неруйнівному контролі, прикладній сейсмоакустиці.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Сторожев В.И., Шпак В.А., Бай Ю.П. Локализованные волны вдоль неупругоэквивалентных направлений в плоскости контакта анизотропных полубесконечных сред орторомбической системы // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А. - 1999. - Вип. 1. - С. 46-50.

2. Бай Ю.П. Полный дисперсионный спектр нормальных волн в двухслойных кристаллических пластинах пространственной геометрии // Теорет. и прикладная механика. - 2001. Вып. 32. - С. 145-150.

3. Бай Ю.П., Сторожев В.И., Шпак В.А. Коротковолновые асимптотические свойства нормальных волн в двухслойных кристаллических пластинах // Акуст. вiсник. - 2001. - Т.4, № . - C. 3-10.

4. Бай Ю.П., Сторожев В.И., Шпак В.А. Спектр и предельные свойства обобщенных волн Лява в волноводной структуре с ортотропными компонентами // Теорет. и прикладная механика. - 2002. - Вып. 35. - С. .

5. В.А. Шпак, В.И. Сторожев, Ю.П. Бай. Нормальные волны в двухслойных пластинах с идеальным и несовершенным механическими контактами слоевИзв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. - 2001. - Спецвып.: Мат. моделирование. - С. 172-173.

6. Бай Ю.П., Сторожев В.И., Шпак В.А. Локализованные волны в поперечно-анизотропном волноводе // Труды Междунар. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". – Ростов-на-Дону. - 2000. – С.16-19.

7. Бай Ю.П., Сторожев В.И., Шпак В.А. Полный спектр и локализация нормальных волн в двухслойных пластинах пространственной геометрии // Математичнi проблеми механiки неоднорiдних структур: В 2-х т. - Львiв. - 2000. - Т.2. - С. 219-222.

8. Шпак В.А., Бай Ю.П. Волны типа Стоунли на границе контакта анизотропных полупространств орторомбического класса // Тез. докл. ІІ Белорус. конгр. по теорет. и прикл. механике "Механика-99". – Минск. - 1999. - С. 350.

9. Шпак В.А., Бай Ю.П. Локализованные упругие волны в существенно анизотропных двухслойных телах // Тез. докл. Междунар. конф. "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". – Донецк. - 1999. - С. 110.

10. Бай Ю.П., Сторожев В.И., Шпак В.А. Структура и особенности полных спектров нормальных волн в двухслойных кристаллических пластинах орторомбической системы. // Тези доп. Всеукр. конф. "Математичнi проблеми технiчної механiки". - Дніпродзержинськ. - 2001. - С. .

11. Шпак В.А., Бай Ю.П. Построение и анализ дисперсионного уравнения для двухслойной кристаллической пластины с несовершенным контактом слоев // Праці наук. конф. ДонНУ за підсум. наук. - досл. роботи у 1999-2000 рр. Секція мат. наук. - Донецьк: ДонНУ. - 2001. - С. 40-42.

АНОТАЦІЇ

Бай Ю.П. Локалізація та розсіяння нормальних пружних хвиль в складених анізотропних хвилеводах. – Рукопис.

Дисертацiя на здобуття вченого ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.02.04 - механіка деформiвного твердого тiла, Донецький національний унiверситет, Донецьк, 2002.

Дисертаційна робота присвячена теоретичному чисельно-аналітичному дослідженню дисперсійних спектрів та властивостей узагальнених поверхневих і нормальних хвиль в пружних анізотропних хвилеводах, складених з двох різнорідних півпросторів, шару та півпростору, або двох шарів з анізотропних монокристалічних матеріалів орторомбічної системи. Побудовані та досліджені дисперсійні співвідношення для хвиль зазначених типів у випадку їх розповсюдження вздовж довільного напрямку в площині ідеального або ковзного контакту компонентів хвилеводів, досліджені кінематичні та енергетичні характеристики нормальних та узагальнених поверхневих хвиль. Вивчено властивості узагальнених поверхневих хвиль Стоунлі і Лява в анізотропних хвилеводах тривимірної геометрії. З'ясовані структури та особливості повних дисперсійних спектрів трьохпарціальних нормальних хвиль в двошарових кристалічних хвилеводах та проведене якiсне i кiлькiсне дослiдження закономiрностей локалiзацiї біжучих нормальних хвиль у високочастотному короткохвильовому діапазоні.

Ключові слова: узагальнені трьохпарціальні хвилі Стоунлі і Лява, нормальні пружні хвилі, двошарові хвилеводи, орторомбічні монокристали, дисперсійні спектри, закономірності локалізації біжучих нормальних хвиль, кінематичні та енергетичні характеристики.

Bai J.P. Localization and dispersion of normal elastic waves in composite anisotropic waveguides. – Manuscript.

Thesis for a candidate's degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.02.04 – mechanics of deformable solids, Donetsk National University, Donetsk, 2002.

Dissertation is devoted to the theoretical investigation of dispersion spectra and properties of generalized surface and normal waves in elastic anisotropic waveguides, which consist of two dissimilar monocrystal orthorhombic half-spaces, layer and half-space or two layers. Dispersion relations for the wave in arbitrary propagation direction in the plane of perfect or slider contact of waveguides component have been constructed. The techniques of numerical investigation of such relations has been developed. Properties of generalized Stoneley and Love surface waves in three-dimensional waveguides are studied. The cinematic and energetic characteristics of normal and generalized surface waves are investigated. Structure and features of full spectra of normal wave in monocrystal two-layer plate are studied. The qualitative and numerical investigation of regularities of the localization in high-frequency short-wave band for running normal elastic in bilayer waveguides is carried out.

Key words: generalized Stoneley and Love surface wave, elastic normal wave, bilayer waveguides, orthorhombic monocrystals, dispersion spectra, regularities of the running normal wave localization, cinematic and energetic characteristics.

Бай Ю.П. Локализация и рассеяние нормальних упругих волн в составных анизотропных волноводах – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный