Київський національний університет імені Тараса Шевченка

На правах рукопису

Усенко Віталій Михайлович

УДК 512.534+512.558

НАПІВГРУПИ ТА МАЙЖЕКІЛЬЦЯ ПЕРЕТВОРЕНЬ

01.01.06. Алгебра та теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ-2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському Університеті імені Тараса Шевченка

Міністерства освіти України.

Науковий консультант доктор фізико-математичних наук,

професор Кириченко Володимир Васильович, Київський національний

університет імені Т.Шевченка,

завідувач кафедрою геометрії.

Офіційні опоненти доктор фізико-математичних наук,

професор Григорчук Ростислав Іванович,

провідний науковий співробітник

Математичного інституту ім. В.А.Стєклова

Російської Академії Наук;

доктор фізико-математичних наук,

професор Понізовський Іосиф Соломонович,

Російський державний гідрометерологічний

університет, м. Санкт-Петербург

доктор фізико-математичних наук,

професор Протасов Ігор Володимирович,

професор кафедри дослідження операцій,

Київський Університет імені Т.Шевченка,

Провідна установа Львівський державний Університет

ім. Івана Франка, м.Львів

Захист відбудеться "_14_" __лютого__ _2000_р. о __14_ годині на засіданні

спеціалізованої вченої радиД26.001.18 в Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою:252127 Київ-127,

проспект академіка Глушкова 6,

механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці університету

(вул. Володимирська 62)

Автореферат розісланий "_27_" __грудня_ __1999_ року.

Вчений секретар

спеціалізованої ради Петравчук А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Однiєю з характерних ознак сучасного етапу розвитку алгебри є пiдвищення активностi дослiджень в областях, промiжних вiд теорiй класичних алгебраїчних систем (груп, кiлець та модулiв, асоцiативних алгебр тощо) з одного боку до загальної теорiї унiверсальних алгебр - з iншого. Це явище прогнозувалось О.Г.Курошем як таке, що вiдповiдає основним тенденцiям розвитку сучасної загальної алгебри (див., наприклад, вступ до монографiї "Курош А.Г. Общая алгебра (лекции 1969-1970 уч.г.) // М.: Наука.- 1974.- 160с.).

До таких промiжних областей належить i теорiя майжекiлець, що своїми витоками сягає робiт Дiксона 1905р. (Dickson L. Definitions of group and a field by independent postulates // Trans. Amer. Math. Soc.- 6.- p.198-204; Dickson L. On finite algebras // Nachr. Acad. Wiss. Gцttingen.- 1905.- p.358-393).

Розвиток теорiї майжекiлець подiляється на три основних етапи. Перший етап (до початку 40-х рр.) - дослiдження основних загальних властивостей майжекiлець, описання деяких класiв скiнченних майжекiлець, застосування в теорiї груп пiдстановок (Цассенхауз, Оре, Таусська, Фiттiнг, Веблен, Веддербарн).

На другому етапi свого розвитку (початок 40-х рр - кiнець 70-х рр.) теорiя майжекiлець застосовується в задачах класифiкацiї нелiнiйних математичних структур (Menger K. Algebra of analysis // Notre Dame Math. Lect.- 1944.- N3; Menger K. Tri-operational algebra // Report of a Math. Colloq. Second Series, Issue 5-6, Notre Dame.- 1944.- p.3-10; . Jordan P. Ьber polynomiale Fastringe // Acad. Wiss. Mainz. Math.- Nat. Kl.- 1951.- p.337-340). Закладено основи структурної теорiї майжекiлець (Blackett D. W. Simple and semisimple near-rings // Proc. Amer. Math. Soc.- 1953.- 4.- p.772-785). Виявлено зв‘язки з теорiєю групових многовидiв (Neumann H. On varieties of groups and their associated near-rings // Math. Z.- 1956.- 65.- pp.36-69). В термiнах теорiї майжекiлець покладено початок некомутативної гомологiчної алгебри (Фрьолiх, серiя робiт 1959-1962 рр). В цей перiод виявлено простоту майжекiлець деяких класiв i, зокрема, повних майжекiлець перетворень груп (=симетричних майжекiлець на групах) та полiномiальних майжекiлець над полями нульової характеристики. Отримано аналоги теорем Джекобсона, Веддербарна-Артiна, деяких iнших теорем структурної теорiї кiлець (Berman, Silverman, Betsch, Mlitz, Scott та iн.). Покладено початок теорiї радикалiв майжекiлець (Betsch, Meldrum, Holcombe, Pilz, Oswald, Angerer, К.Каарлi та iн.). З‘явились огляди та пiдсумковi монографiї з теорiї майжекiлець (Pilz G. Near-rings // North-Holland American Elsevier, Amsterdam.- 1977.- 464p.).

Третiй етап розвитку теорiї майжекiлець - сучасний. Поглиблюється класифiкацiя майжекiлець, численнiшими стають майжекiльцевi конструкцiї, поширюються застосування. Активно розвивається теорiя радикалiв. Почалося вивчення матричних, групових та напiвгрупових майжекiлець (Mason, Ligh, Meldrum та iн.), iнших алгебраїчних систем, пов‘язаних з майжекiльцями, з‘явились деякi узагальнення (Andre, Bachman, Williams, Ferrero, Cotti, Veldsman, Stefanescu, Velasco та iн.). Методи теорiї майжекiлець почали вiдiгравати суттєву роль в класифiкацiї кратнотранзитивних груп пiдстановок (Kerby, Karzel, Wefelscheid, Hille, Bцhm, Bohnenstengel та iн.).

До проблематики теорiї майжекiлець звертались О.Г.Курош, Б. I.Плоткiн та їх учнi. Деякими питаннями теорiї майжекiлець та її зв‘язкам з теорiєю мультиоператорних груп тощо присвячено роботи С.В.Полiна, Ю.В.Кузьмiна, В.Г.Марина, К.Каарлi.

В Українi однiєю з перших робiт, в яких розглядаються майжекiльця, є робота "Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Вербальные функции на группах // Теор. и прикл. вопр. диф. ур. и алгебры. К.: Нукова думка.- 1977.- с.105-110". Пiзнiше з‘явилися роботи, пов‘язанi з вивченням групових вiдображень та майжекiлець перетворень (Кириченко В.В., Усенко В.М., Кiртадзе Л.В., Мiхайлова I.О., Рябухо О.М.).

Констатуючи високий рiвень розвитку дослiджень з теорiї майжекiлець слiд зазначити, що однiєю з центральних проблем цiєї теорiї залишається проблема класифiкацiї майжекiлець перетворень груп.

Частину труднощiв в цiй областi з одного боку зумовлено обмеженiстю класичних факторизацiйних методiв, та вiдсутнiстю адекватних майжекiльцевих конструкцiй - з iншого. Недосить уваги придiлялося використанню мультиплiкативних властивостей майжекiлець перетворень. Довгий час лишався невикористаним потенцiал деяких концепцiй, що виникли в теорiї груп та в теорiї напiвгруп, можливостi яких виходили далеко за межi цих теорiй. Це стосується перш за все концепцiї, що полягала в реалiзацiї вiдношень мiж алгебраїчними системами у виглядi категорiй пар таких систем. З початку 60-х рокiв цю концепцiю було втiлено Б. I.Плоткiним та його школою в теорiї групових пар з широко розгалуженими подальшими застосуваннями в теорiї зображень груп групами автоморфiзмiв алгебраїчних систем. В теорiї напiвгруп в той же перiод концепцiю спарювання (спряження) алгебраїчних систем було реалiзовано теорєю напiвгруп ендоморфiзмiв математичних структур (в розумiннi Бурбакi), початок якої було покладено Л.М.Глускiним серiєю робiт про визначуванiсть деяких класiв математичних структур своїми напiвгрупами ендоморфiзмiв. При цьому групами автоморфiзмiв такi структури як правило не визначалися. В основi методiв теорiї напiвгруп ендоморфiзмiв було покладено метод щiльних розширень (Л.М.Глускiн, Б.М.Шайн, Л.Н.Шеврiн, М.Петрiч).

Актуальнiсть теми цiєї дисертацiйної роботи визначено її метою: розповсюдження концепцiї спряження алгебраїчних систем на теорiю майжекiлець i застосування її до проблеми класифiкацiї майжекiлець перетворень. Основними задачами при цьому є *

описання структурних властивостей майжекiлець перетворень та їх мультиплiкативних напiвгруп, якими вони визначаються з точнiстю до iзоморфiзму (проблема абстрактної характеризацiї); *

описання факторизацiйних властивостей майжекiлець перетворень груп, мультиплiкативних напiвгруп таких майжекiлець, що визначаються факторизацiйними властивостями вiдповiдних груп.

Робота виконується за тематикою наукових дослiджень кафедри алгебри та математичної логiки Київського унiверситету iменi Тараса Шевченка та кафедри алгебри Слов‘янського державного педагогiчного iнституту i, зокрема, у вiдповiдностi з програмами *

НДР "Теорiя алгебраїчних систем та їх зображень i її застосування" (держ. реєстр. N 0197U003160) за комплексною науковою програмою Київського Унiверситету iменi Тараса Шевченка "Побудова та застосування математичних методiв дослiдження детермiнованих та стохастичних еволюцiйних систем" (наказ N 25 вiд 20.01.97). *

НДР "Класифiкацiйнi методи алгебри, аналiзу та геометрiї" (держ. реєстр. N 0197U019321), виконуваної за координацiйною програмою Мiнiстерства освiти України "Геометричнi та аналiтичнi методи в математицi та її застосуваннях" (рiшення науково-експертної ради Мiнiстерства освiти вiд 27.12.96, протокол N 1).

Основнi методи дослiдження - загальноалгебраїчнi з використанням методiв теорiї напiвгруп та теорiї майжекiлець.

Автором запропоновано також новi методи вивчення структурних властивостей напiвгруп ендоморфiзмiв та майжекiлець перетворень. Основою цих методiв є визначене автором напiвгрупове узагальнення поняття групової пари та введене в роботi поняття напiвретракцiї (лiвої, правої, симетричної) моноїду. За допомогою цих понять в роботi побудовано напiвгруповi та майжекiльцевi конструкцiї, в термiнах яких i сформульовано основнi результати.

Основними результатами роботи є твердження теоретичного змiсту, який i визначає наукову новизну роботи.

Основними результатами роботи є:

1. побудовано категорiю напiвгрупових пар та категорiю згорток напiвгрупової пари, описано вiльнi та унiверсальнi об‘єкти цих категорiй;

категорiя напiвгрупових пар є узагальненням категорiї групових пар Б. I.Плоткiна; описання вiльних об‘єктiв цiєї категорiї є узагальнюючою вiдповiддю на питання О.Г.Куроша ("Теория групп. М.: Наука.- 1967", стор.525) щодо будови вiльних об‘єктiв категорiї групових пар; узагальнюються також теорiя загальних добуткiв Поппа та результати Редеї i Кона про будову загального добутку двох циклiчних груп;

2. описано структурнi властивостi напiвгрупи ендоморфiзмiв вiльної групи, що визначають її з точнiстю до iзоморфiзму;

це описання отримано в термiнах теорiї щiльних iдеальних розширень i є узагальненням на некомутативний випадок результатiв Л.М.Глускiна про напiвгрупи ендоморфiзмiв лiнiйних просторiв та модулiв;

3. побудовано новi напiвгруповi конструкцiї (вiнцевого голоморфу, бiголоморфу), в термiнах яких описано адитивну (матричну) декомпозицiю напiвгрупи ендоморфiзмiв вiльної групи;

конструкцiя вiнцевого голоморфу узагальнює конструкцiю вiнцевого добутку напiвгруп;

4. побудовано категорiю NR -спряжень групи та майжекiльця, описано унiверсальнi об‘єкти цiєї категорiї; в термiнах вiдповiдної конструкцiї NR -добутку групи та майжекiльця описано будову симетричного майжекiльця на вiльнiй групi;

цим описанням доповнюються та посилюються вiдомi результати про будову симетричних майжекiлець, отриманi в роботах Бермана та Сiльвермана, Мельдрума та iн., результати Цiмера про майжекiльця перетворень вiльних груп;

5. за допомогою вiнцевих голоморфiв описано будову напiвгруп ендоморфiзмiв цiлком 0-простих напiвгруп;

цим результатом доповнюються результати Л.М.Глускiна, Престона, Манна, Тамури про гомоморфiзми та конгруенцiї цiлком 0-простих напiвгруп, узагальнюється теорема Рiса (Rees D. On semi-groups // Proc. Cambridge Phil. Soc.- 1940.- 36.- p.387-400) про групу автоморфiзмiв цiлком 0-простої напiвгрупи.

Теоретичне значення результатiв роботи визначається внеском в розв‘язання проблеми класифiкацiї майжекiлець перетворень, розширенням меж застосування метода щiльних розширень, поширенням на теорiю напiвгруп та теорiю майжекiлець концепцiї спряження алгебраїчних систем, закладеної теорiєю Б. I.Плоткiна групових пар, а також тим, що в роботi отримано розв‘язок вiдомих задач про будову деяких напiвгрупових та групових конструкцiй, розвинено та узагальнено результати Рiса, Л.М.Глускiна, Редеї, Левi та iнших вiдомих спецiалiстiв.

Результати роботи знайдуть застосування в дослiдженнях що здiйснюються науковими колективами Київського, Львiвського, Харкiвського, Донецького унiверситетiв, в iнших освiтнiх та наукових закладах.

Апробацiю основних результатiв роботи здiйснено шляхом їх обговорення на *

IX Всесоюзному симпозiумi з теорiї груп (Москва, вересень 1984), *

XIX Всесоюзнiй алгебраїчнiй конференцiї (Львiв, вересень 1987), *

Сибiрськiй школi з многовидiв алгебраїчних систем (Барнаул, липень 1988), *

VII конференцiї "Algebra in logika" (СФРЮ, Марiбор, червень 1989), *

Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї, присвяченiй пам‘ятi акад. А. I.Мальцева (Новосибiрськ, серпень 1989), *

VI Симпозiумi з теорiї кiлець, алгебр та модулiв (Львiв, вересень 1990), *

Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї, присвяченiй пам‘ятi проф. А. I.Ширшова (Барнаул, серпень 1991), *

Мiжнароднiй конференцiї, присвяченiй пам‘ятi акад. М.Ф.Кравчука (Київ - Луцьк, вересень 1992), *

IX Мiжнароднiй конференцiї з топологiї та її застосувань (Київ, жовтень 1992), *

III Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї, присвяченiй пам‘ятi М. I.Каргаполова (Красноярськ, серпень 1993), *

Мiжнароднiй конференцiї, присвяченiй пам‘ятi М.Г.Чеботарьова (Казань, червень 1994), *

IV конференцiї "Groups and group rings" (Львiв, вересень 1996), *

Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї, присвяченiй пам‘ятi проф. Л.М.Глускiна (Слов‘янськ, серпень 1997), *

Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї, присвяченiй пам‘ятi проф. Л.А.Калужнiна (Київ - Вiнниця, травень 1999), *

II Мiжнароднiй конференцiї з теорiї напiвгруп (С.-Петербург, липень 1999), *

алгебраїчних семiнарах Київського, Львiвського, Харкiвського, Гомельского унiверситетiв 1985-1999 рр.

Публiкацiю основних результатiв дисертацiї здiйснено в роботах автора [1-22], з яких 7 у спiвавторствi.

Результати спiвавторiв в дисертацiї не використовуються.

Обсяг i структура роботи. Змiст дисертацiйної роботи викладено на 291 сторiнцi машинопису п‘ятьма роздiлами, що загалом мiстять 23 параграфи. У вступi обгрунтовано актуальнiсть теми дисертацiї, наведено стислий виклад основних результатiв.

Перелiк лiтератури мiстить 175 найменувань.

2

ЗМIСТ РОБОТИ.

В першому роздiлi роботи разом з основними поняттями теорiї напiвгруп та майжекiлець наводяться результати автора про загальнi властивостi напiвгруп перетворень, напiвгруп ендоморфiзмiв вiльних груп, дистрибутивних майжекiлець та деяких їх узагальнень. Основними результатами роздiлу є абстрактна характеристика напiвгрупи ендоморфiзмiв вiльної групи злiченного рангу та описання дистрибутивних нiльпотентних майжекiлець з метабельовою адитивною групою.

Абстрактну характеристику напiвгрупи ?(X)=F(X) ендоморфiзмiв вiльної групи F(X) в злiченному алфавiтi X отримано методом Л.М.Глускiна iдеальних щiльних розширень напiвгруп. Для цього використано множину ?0(X) усiх таких ???(X) , образи яких є циклiчними пiдгрупами групи F(X) . Елементи множини ?0(X) названо в роботi автоiндексуваннями групи F(X) . Доведено, що ?0(X) - щiльний iдеал в ?(X) , а ?(X) - єдине (з точнiстю до iзоморфiзму) максимальне щiльне розширення iдеалу ?0(X) . Звiдси випливає (теорема п.3.7, розд. I):

Напiвгрупа S тодi й лише тодi є iзоморфною напiвгрупi ендоморфiзмiв деякої вiльної групи F(X) , коли S є максимальним щiльним розширенням деякого свого iдеалу, iзоморфного напiвгрупi ?0(X) автоiндексувань групи F(X) .

Отримано, крiм того, описання однiєї з факторнапiвгруп напiвгрупи ?0(X) в термiнах напiвгруп Рiса матричного типу.

Майжекiльце N з метабельовою адитивною групою назвемо майжекiльцем Левi, якщо воно є дистрибутивним, добуток xy будь-яких його елементiв x,y?N належить центру адитивної групи i xyz=0 для всiх x,y,z?N (нiльпотентнiсть степеня 3). Добре вiдомо, що майжекiльця Левi виникають кожного разу, коли на довiльнiй метабельовiй групi (G,*) визначити мультиплiкативну операцiю за правилом xy=[x;y]=x*y*x* y . В довiльному випадку для описання майжекiлець Левi в роботi визначається поняття L -пари метабельової групи. L -пара (?,?) метабельової групи G складається з абельової групи ?G та гомоморфiзму ?: G?:x?x , що задовольняють деяким умовам, близьким до ? -центральностi в розумiннi Л.А.Калужнiна (Kaloujnine L. Ьber gewisse Beziehungen zwischen einer Gruppen und ihren Automorphismen // Ber. Math.- Tagung Berlin.- 1953.-164-172). Має мiсце твердження (лема п.4.13, теорема п.4.14):

майжекiльце N з метабельовою адитивною групою G тодi й лише тодi є майжекiльцем Левi, коли iснує така L -пара (?,?) групи G , що xy=y?x*y для всiх x,y?N .

Серед iнших результатiв першого роздiлу вiдзначимо описання напiвгрупи ультраендоморфiзмiв довiльної групи.

Перетворення ? групи G назвемо Un -ендоморфiзмом ( n2 ), якщо (g1·...·gn)?=g1?·...·gn? для всiх g1,...,gn?G . Доведено, що множина UE(G) усiх Un -ендоморфiзмiв (для всiх n?N , n2 ) групи G є напiвгрупою вiдносно операцiї композицiї. Елементи напiвгрупи UE(G) названо в роботi ультраендоморфiзмами групи G . Коли група G не мiстить елементiв скiнченного порядку маємо UE(G)=G . В загальному ж випадку для описання будови напiвгруп ендоморфiзмiв визначено поняття афiнного полiгону, яке виявилося корисним i для описання пiдмоноїдiв напiвпрямого добутку моноїдiв.

В §4 першого роздiлу окрiм майжекiлець Левi розглядаються деякi загальнi властивостi майжекiлець. Основним при цьому виступає поняття редукованого гомоморфiзму груп.

Нехай (G,*) , (H,*) - довiльнi групи, Q - пiдгрупа групи H , для яких визначено вiдображення ?: GT(H):t?t, q: GGQ:(x;y)(x;y)q. Вiдображення f: GH:ggf назвемо редукованим гомоморфiзмом iз системою редукцiї (?;q) (коротше RQ}sigma -гомоморфiзмом), якщо (x*y)f=xf*yf?x*(x;y)q. У разi, коли ?=idH , говоритимемо про RQ -гомоморфiзм. За певних умов RQ}sigma -гомоморфiзми можуть бути охарактеризованими за допомогою адитивної декомпозицiї (теорема п.4.6, розд. I):

Нехай U,H - групи, Q - пiдгрупа групи U , ?: H?U - антигомоморфiзм. Еквiвалентними є твердження:

1. вiдображення f: H?U є RQ}sigma -гомоморфiзмом;

2. iснують група ? , мономорфiзм µ: U?? , RQµ -гомоморфiзм ?: H?? та антигомоморфiзм ?: H?? такi, що f=(?)µ-1, ?h=µih?µ-1 при будь-якому h?H .

Через ig ми позначаємо внутрiшнiй автоморфiзм групи, який визначається її елементом g .

В другому роздiлi роботи побудовано напiвгрупове узагальнення категорiї групових пар Б. I.Плоткiна. Поняття групової пари визначено Б. I.Плоткiним як формалiзацiя тих чи iнших вiдношень, що виникають в класi об‘єктiв категорiї груп. Розвиток цiєї iдеї природньо вести в двох напрямках - побудова загальної теорiї пар алгебраїчних систем та спецiальної теорiї таких пар.

Предметом загальної теорiї пар є категорiя, об‘єктами якої є пари (A,B) , а морфiзмами об‘єкта (A1;B1) в об‘єкт (A2;B2) - гомоморфiзми f:A1A2 , g:B1B2 , що задовольняють тим чи iншим обмеженням, якi визначаються зв‘язками мiж компонентами вiдповiдних пар. Теорiї iндивiдуальних алгебраїчних систем при цьому стають частиною загальної теорiї вiдповiдних спряжень, коли одну з компонент пари вважати тривiальною.

До предметної областi спецiальної теорiї бiнарних спряжень алгебраїчних систем слiд вiднести пари (A;B) разом з деякими морфiзмами їх компонент в iншi алгебраїчнi системи. Найпростiшими об‘єктами спецiальних теорiй є згортки пар алгебраїчних систем - дiаграми вигляду

з рiзними способами визначення їх морфiзмiв. Частиною спецiальної теорiї є локальна теорiя пари (A;B) , де A , B - довiльнi (але фiксованi) алгебраїчнi системи. Морфiзмом вищенаведеної дiаграми в дiаграму

при цьому виступає гомоморфiзм UU’ , що задовольняє природнiм вимогам щодо комутативностi квадрату, який при цьому виникає.

Окрему предметну область (сказати б, область конструктивної теорiї пар алгебраїчних систем) утворюють унiверсальнi об‘єкти спецiальних категорiй та коунiверсальнi об‘єкти загальних категорiй пар з огляду на їх можливi застосування у вiдповiдних структурних теорiях.

Змiст багатьох вiдомих на цей час результатiв дозволяє говорити про ту чи iншу форму реалiзацiї потенцiалу загальної та спецiальної теорiй пар алгебраїчних систем, хоча формування вiдповiдних напрямкiв в явному виглядi ще далеко вiд завершення.

Найбiльш завершеного вигляду набула лише загальна теорiя групових пар, початок якої було покладено роботами Б. I.Плоткiна (Плоткин Б.И. Радикалы в групповых парах // ДАН СССР.-1961.-140.-с.1019-1022.) та Л.А.Калужнiна (Kaloujnine L. Sur quelques propriйtйs des groupes d’automorphismes d’un groupe abstrait // C. R. Paris.-1950.-230.-2067-2069.). Пiдсумок певного етапу розвитку теорiї групових пар було пiдведено монографiєю Б. I.Плоткiна (Плоткин Б.И. Группы автоморфизмов алгебраических систем // М.:"Наука".-1966.-604с.), в якiй основну увагу придiлено прикладному аспекту теорiї групових пар як засобу вивчення зображень груп групами автоморфiзмiв алгебраїчних систем. Разом з тим в цiй монографiї викладено усi необхiднi елементи загальної теорiї групових пар аж до теорiї радикалiв в групових парах та вiдповiдностей Галуа. Подальший розвиток теорiї групових пар пов‘язаний перш за все з роботами Б. I.Плоткiна (Плоткин Б.И. Групповые многообразия и многообразия пар, связанных с представлениями групп // Сибирский матем.журн.- 1972.-т. XIII, N 5.-с.1030-1053.), Б. I.Плоткiна та А.С.Грiнберга (Плоткин Б.И., Гринберг А.С. О полугруппах многообразий, связанных с представлениями групп // Сибирский матем.журн.-1972.-т. XIII, N 4.-с.841-858.), в яких груповi пари вивчаються на рiвнi їх многовидiв. Б. I.Плоткiним, зокрема, узагальнено теорему Нейманiв-Шмелькiна про напiвгрупу многовидiв груп. Черговий етап розвитку теорiї групових пар було завершено монографiєю Б. I.Плоткiна та С.М.Вовсi (Плоткин Б.И., Вовси С.М. Многообразия представлений групп. Общая теория, связи и приложения // Рига:Зинатне.-1983.).

Спецiальнi теорiї пар алгебраїчних систем поки що не утворюють самостiйного напрямку, хоча феноменологiчно такi теорiї вже склалися в межах гомологiчної алгебри, теорiї зображень тощо. Досить зазначити, що, наприклад, шрейєрова теорiя групових розширень може бути викладеною мовою вiдповiдної теорiї шрейєрових пар, якi на вiдмiну вiд групових пар, що вiдповiдають зображенням, визначаються параметризованими вiдображеннями однiєї компоненти в групу автоморфiзмiв другої.

Категорiї модулiв над рiзними класами кiлець мiстять в собi надзвичайно широкий спектр спецiальних категорiй пар.

Найтиповiшим феноменом спецiальних категорiй є технiка унiверсальних та коунiверсальних квадратiв, застосування якої неодноразово демонструвало її плiднiсть (див., наприклад, Генералов А.И. Относительная гомологическая алгебра и относительные группы Гротендика колец // Дисс. ... доктора физ-мат наук. Санкт-Петербург.-1991.-с.242.).

Зрозумiло, однак, що самостiйний розвиток спецiальних теорiй пар алгебраїчних систем ще чекає необхiдних стимулiв з боку теорiй iндивiдуальних алгебраїчних систем, що не пiддаються вивченню методами комутативної гомологiчної алгебри, та потребує змiстовної феноменологiї спряжень алгебраїчних систем рiзних класiв. Потенцiальна наявнiсть останньої обгрунтовується, зокрема, теоремою Бiркгофа про реалiзацiю груп групами автоморфiзмiв унiверсальних алгебр, а також теоремою Еренфойхта-Мостовського про реалiзацiю груп пiдгрупами груп автоморфiзмiв моделей.

Вiдповiднi стимули зароджувались, зокрема, в теорiї напiвгруп та в теорiї майжекiлець.

Деякi новi аспекти спецiальної теорiї пар виникають в зв‘язку з поняттям гомоморфiзмiв зплетення (Григорчук Р.И., Курчанов П.Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и техн. Соврем.пробл.матем. Фундам.направления.-1990.- 58.- с.191-256.).

На реалiзацiю потенцiалу, що створився в теорiї напiвгруп та в теорiї майжекiлець, в другому роздiлi роботи визначено поняття напiвгрупової пари та спецiальної категорiї згорток напiвгрупової пари. Описано унiверсальний об‘єкт цiєї категорiї. Визначено та охарактеризовано поняття NR -спряження групи та майжекiльця.

В основi методiв, що застосовуються, лежить поняття напiвретракцiї моноїдiв, введене та детально вивчене в першому параграфi роздiлу.

Перетворення ? моноїду (M,*) назвемо лiвою напiвретракцiєю цього моноїду, якщо (x*y)?=(x)? при будь-яких x,y?M . В двоїстий спосiб визначаються правi напiвретракцiї. Якщо перетворення ? одночасно є лiвою та правою напiвретракцiєю, то говоритимемо про (симетричну) напiвретракцiю.

Якщо ? - симетрична напiвретракцiя моноїду (M,*) , то її образ є моноїдом вiдносно операцiї a*}pi b= (a*b)? . Цей моноїд позначається через M}pi i називається ? -мутацiєю моноїду M . Лiва (права) напiвретракцiя моноїду M називається регулярною, якщо її образ є пiдмоноїдом в M . Отримано критерiї регулярностi однобiчних напiвретракцiй.

В §2 другого роздiлу визначаються та вивчаються напiвгруповi пари Б.Неймана - об‘єкти загальної категорiї напiвгрупових пар.

Спряженням Б.Неймана моноїдiв (M1,*) , (M2,*) назвемо пару вiдображень ?: M1T(M2):t?t, ?: M2T(M1):t?t, перше з яких є гомоморфiзмом, друге - антигомоморфiзмом ( T(X) - симетрична напiвгрупа на множинi X ), для яких виконуються умови (u*v)?x=u?x?x*v?x, x?M1,u,v?M2, (x*y)?u=x?u*y?u?x, x,y?M1,u?M2. Сукупнiсть (?: M1;M2:?) називатимемо в цьому випадку напiвгруповою парою Б.Неймана. Згорткою пари Б.Неймана (?: M1;M2:?) називається моноїдна дiаграма

що задовольняє умовам yr*xl=x?yl*y?xr, x?M1, y?M2. Природньо при цьому виникає категорiя згорток пари Б.Неймана (?: M1;M2:?) .

Будемо говорити, що права напiвретракцiя ?1 та лiва напiвретракцiя ?2 моноїду (M,*) утворюють базис Б.Неймана [?1;?2]M цього моноїду, якщо ?1*?2=?M, ?1?2=?2?1=?M, де ?M - тотожнє, а ?M - нульове перетворення. Якщо [?1;?2]M - базис Б.Неймана моноїду M , то напiвретракцiї ?1 , ?2 є регулярними.

Моноїд (M,*) назвемо (M1;M2) -факторизовним за Б.Нейманом, якщо M1,M2 - пiдмоноїди моноїду M такi, що M1?M2={?} i будь-який елемент x?M однозначно записується у виглядi x=x1*x2 , x1?M1 , x2?M2 .

Центральним результатом спецiальної теорiї напiвгрупових пар Б.Неймана є твердження (теореми пп.2.7, 2.8):

для моноїдiв M,M1,M2 та гомоморфiзмiв µ1: M1M , µ2: M2M еквiвалентними є твердження:

1. визначеною є напiвгрупова пара Б.Неймана (?: M1;M2:?) , для якої µ1,µ2 є унiверсальним об‘єктом її категорiї згорток;

2. iснує базис Б.Неймана [?1;?2]M моноїду M , для якого ?1µ1 , ?2µ2 ;

3. моноїд M є (M1µ1;M2µ2) -факторизовним за Б.Нейманом.

Унiверсальний об‘єкт категорiї згорток напiвгрупової пари Б.Неймана (?: M1;M2:?) визначається моноїдом M=(?: M1M2:?) , що виникає на множинi M1M2 , якщо покласти (t;u)*(v;w)=(t*v?u;u?v*w), t,v?M1,u,w?M2. Морфiзми вiдповiдної дiаграми визначаються вiдображеннями µ1: M1M:ttµ1=(t;?), µ2: M2M:ttµ2=(?;t). Моноїд M=(?: M1M2:?) називається (?;?) -добутком Б.Неймана моноїдiв M1 та M2 . Коли M1 , M2 - групи, отримуємо зовнiшню конструкцiю загального добутку цих груп. Спецiальна теорiя напiвгрупових пар Б.Неймана узагальнює результати Б.Неймана, Цаппа, Сепа про будову загальних добуткiв груп.

В §3 побудовано спецiальну теорiю визначених тут шрейєрових напiвгрупових пар. Разом з поняттям шрейєрової напiвгрупової пари виникає конструкцiя шрейєрового добутку (M1;M2)Sq?,? моноїдiв M1 , M2 , де ? , ? , q - система вiдображень, що узагальнює поняття системи факторiв шрейєрової теорiї групових розширень.

Напiвретракцiєю ? моноїду (M,·,e) назвемо шрейєровою, якщо M=e?-1·M? .

Має мiсце теорема (п.3.11):

для моноїдiв M,M1,M2 еквiвалентними є твердження:

1. iснує шрейєрове спряження [M1;M2]q?,? таке, що M(M1;M2)Sq?,? ;

2. iснує шрейєрова напiвретракцiя ? моноїду M така, що M1e?-1 , M2M}pi .

(Нагадаємо, що M}pi - ? -мутацiя моноїду M - див. вище).

Будь-яка напiвретракцiя групи є шрейєровою. Застосування напiвретракцiй дозволяє довести, що будь-який ендоморфiзм мутацiї вiльної групи будь-якого групового многовиду iндукується ендоморфiзмом цiєї групи.

В §4 за допомогою напiвретракцiй технiку матричної декомпозицiї Пiрса розповсюджено на напiвгрупи ендоморфiзмiв добуткiв Б.Неймана. Отримано напiвгруповий аналог теореми про полярний розклад (теорема п.4.14, розд. I)

В §5 другого роздiлу побудовано спецiальну теорiю NR -спряжень групи i майжекiльця.

Нехай N - майжекiльце, H - група [N*;H]q}sigma - шрейєрове спряження груп ( N* - адитивна група майжекiльця N ). Вiдзначимо, що шрейєровi спряження груп визначаються шрейєровими системами факторiв - частинним випадком загального поняття шрейєрового спряження моноїдiв. Вiдображення µ: HH?(NN; N):(x;y)µyx, ?:N?(HH;H):t?t назвемо NR -спряженням групи H та майжекiльця N , якщо ((x1;y1)µy2x2;t1)µt2(x2;y2)?t1= (x1;(y1;t1)µt2y2)µ(y2;t2)?t1x2, ((x2;y2)?y1;t2)?t1=(x2;(y2;t2)?t1) ?(y1;t1)µt2y2, (x1;y1*t1?y2*(y2;t2)q)µy2*t2x2= (x1;y1)µy2x2*(x1;t1)µt2x2?(x2;y2)?y1* ((x2;y2)?y1;(x2;t2)?t1)q, (x2;y2*t2)?y1*t1?y2*(y2;t2)q= (x2;y2)?y1*(x2;t2)?t1, при будь-яких x1,y1,t1?N , x2,y2,t2?H . Якщо (µ;?) - деяке NR -спряження групи H та майжекiльця N , то група (N*;H)Gq}sigma перетворюється на майжекiльце, якщо покласти (x1;x2)(y1;y2)=((x1;y1)µy2x2; (x2;y2)?y1).

Майжекiльце, яке визначається на (N*;H)Gq}sigma останньою рiвнiстю назвемо NR -добутком групи H та майжекiльця N , що визначається NR -спряженням (µ;?) шрейєрової пари [N*;H]q}sigma (або, коротше, NRµ,??,q -добутком групи H та майжекiльця N ). NRµ,??,q -добуток групи H та майжекiльця N позначатимемо через (N;H)NRµ,??,q .

Перетворення ? майжекiльця N назвемо нормальною напiвретракцiєю цього майжекiльця, якщо ? є напiвретракцiєю адитивної групи майжекiльця N i лiвою напiвретракцiєю його мультиплiкативної напiвгрупи.

NR -добутки груп та майжекiлець характеризуються твердженням (п.5.7):

для майжекiлець N,N1 та групи H еквiвалентними є твердження:

1. iснують шрейєрове спряження [N1*;H]q}sigma та NR -спряження (µ;?) , для яких N(N1;H) NRµ,??,q ;

2. iснує нормальна напiвретракцiя ? майжекiльця N , для якої N1? , H(N*)}pi .

В третьому роздiлi спецiальна теорiя напiвгрупових пар Б.Неймана доповнюється основними результатами загальної теорiї i застосовується до побудови нових напiвгрупових конструкцiй, якi в подальшому використовуються для описання будови деяких напiвгруп ендоморфiзмiв. Для групових пар введено поняття вiдповiдностi в груповiй парi, за допомогою якого вдається описувати пiдгрупи напiвпрямих та прямих добуткiв груп.

Загальну теорiю напiвгрупових пар Б.Неймана викладено в першому параграфi роздiлу. Об‘єктами вiдповiдної загальної категорiї є напiвгруповi пари Б.Неймана. Морфiзми об‘єкта (?: M1,M2:?) в об‘єкт (: M1’, M2’:) визначається гомоморфiзмами f1: M1M1’:xxf1, f2: M1M2’:xxf2, що задовольняють умовам (t?v)f1=(tf1)vf2, t?M1,v?M2, (v?t)f2=(vf2)tf1, t?M1,v?M2. Основним результатом є описання вiльних об‘єктiв цiєї категорiї.

Вiльний моноїд в алфавiтi A позначатимемо через ?[A] . Через l(w) позначатимемо довжину елемента w , а через w(k) - елемент, що в запису елемента w через твiрнi з A стоїть на k -му мiсцi ( w(k)=1 , якщо k>l(w) ). Для всiх i?N0 визначимо перетворення si , fi моноїду ?[A] за правилами si(w)={

. Нехай, далi, ?=?[X;Y] - вiльний моноїд в алфавiтi X?Y ( X?Y= ), ?X - правий iдеал елементiв w?? , що починаються з елементiв алфавiту X , ?Y - правий iдеал елементiв w?? , що починаються з елементiв алфавiту Y . Через ?YX ( ?XY ) позначимо вiльний моноїд в алфавiтi X(Y)={xv|x?X,v??Y} ( Y(X)={yt|y?Y,t??X} ). Для всiх xv?X(Y) , yt?Y(X) покладемо xv?yt=xy*v*t, yt?xv=yt*x*v. Якщо w??YX , u??XY , то, за визначенням ?w=?w(1)?w(2)...?w(l), l=l(w) ?u=?u(k)?u(k-1)...?u(1), k=l(u) w?a=sk-1(u)?a?u(k)* u(k)?a, a?X(Y), w?b=w(1)?b*(w)fl-1 ?b?w(1), b?Y(X) Виникає при цьому напiвгрупова пара Б.Неймана (?:?YX,?XY:?) , яку ми називатимемо вiльною напiвгруповою парою Б.Неймана. Саме такими парами вичерпується вiльнi об‘єкти категорiї напiвгрупових пар Б.Неймана (теорема п.1.10, розд. III):

вiльнi напiвгруповi пари i лише вони є вiльними об‘єктами категорiї напiвгрупових пар Б.Неймана.

Кострукцiя вiльного об‘єкту категорiї напiвгрупових пар є бiльш загальною нiж тi, якi застосовано Редеї та Коном для побудови загального добутку двох циклiчних груп.

В другому параграфi роздiлу будуються конструкцiї матричного сполучення i подвiйного матричного сполучення напiвгрупових пар. Для цього використовуються напiвгруповi пари (?: M1,M2:?) в кожному з частинних випадкiв, коли одне з вiдображень ?,? є нульовим. Перший тип пар - (M1,M2:?) (пасивнi злiва), другий - (?: M1,M2) (пасивнi справа).

Пари (?: T1,S) , (S,T2:?) , де (S,*) , (T1,·) , (T2,·) - моноїди, назвемо парами iз спiльним операндом S , якщо ?t?u=?u?t, t?T1,u?T2. За цiєї умови множина M=[T1 S;T2]={ (t;?s;u) t?T1, s?S, u?T2}, де ? - зовнiшнiй нульовий елемент, є моноїдом вiдносно звичайної операцiї матричного добутку, якщо покласти st=s?t, us=s?u, s?S,t?T1,u?T2. Моноїд M називається матричним сполученням напiвгрупових пар iз спiльним операндом. Отримано унiверсальну та внутрiшню характеристики матричних сполучень пар iз спiльним операндом. Отримано також характеристику в термiнах визначених в цьому параграфi центральних базисiв Пiрса.

Пари (?1: T,S1) , (?2: T,S2) ( S1,S2 - * -адитивнi, T - мультиплiкативний моноїди) назвемо парами iз спiльним операторним моноїдом. Для кожної такої двiйки пар коректно визначеним є матричний моноїд з елементами (

), x?S1,t?T,y?S2 та iз звичайною операцiєю матричного добутку. Цей моноїд назвемо матричним сполученням пар iз спiльним операторним моноїдом. Для таких матричних сполучень також отримано унiверсальнi та внутрiшнi характеристики, а також характеристика в термiнах коцентральних базисiв Пiрса - поняття, двоїстого до поняття центрального базису.

Наведенi конструкцiї матричних сполучень поєднуються в конструкцiї подвiйного матричного сполучення напiвгрупових пар. Ця конструкцiя виникає, якщо задано пари (?: T,S1) , (S1,T1:?) iз спiльним операндом S1 i пари (?: T,S2) , (S2,T2:?) iз спiльним операндом S2 . Подвiйне матричне сполучення - матричний моноїд, елементами якого є матрицi }sigma}psi}eta}varphi[

) x?T1,y?S1,t?T,u?S2,v?T2}. Отримано унiверсальну, внутрiшню характеристики наведених конструкцiй та характеристику в термiнах так званих базисiв Пiрса, визначених в роботi за допомогою систем напiвретракцiй, з певними додатковими властивостями.

В третьому параграфi роздiлу описано пiдмоноїди та конгруенцiї конструкцiй матричного сполучення, якi названо афiнними пiдмоноїдами та афiнними конгруенцiями.

В §4 побудовано локальну теорiю групової пари, виходячи з поняття вiдповiдностi на такiй парi та згортки вiдповiдностi.

Нехай (H1,H2:?) - деяка групова пара, для компонент якої визначено мономорфiзми µ1: U1H1:xxµ1, µ2: U2H2:xxµ2 i вiдображення f: U2H1:xxf, яке задовольняє умовам (x*y)f=(x;y)q*xf*(yf)?x, x,y?U2, u?hihf?U1µ1, u?U1,h?H2, де (x;y)q?U1µ1 (за термiнологiєю §4 розд. I вiдображення f є редукованим гомоморфiзмом груп). В цьому випадку говоритимемо, що задано вiдповiднiсть [U1,U2:f] в груповiй парi (H1;H2:?) . Множину U1

U2= {(u*tf;t)|u?U1,t?U2} назвемо згорткою вiдповiдностi [U1,U2:f] . Основною лемою локальної теорiї є (леми пп. 4.1, 4.2, розд. III):

Згортка будь-якої вiдповiдностi [U1,U2:f] в будь-якiй груповiй парi (H1,H2:?) є пiдгрупою напiвпрямого добутку H1}varphi H2=(H1H2:?) . Для будь-якої пiдгрупи U групи G=H1}varphi H2 iснує вiдповiднiсть [U1,U2:f] в груповiй парi (H1,H2:?) така, що U=U1

Пiдпари групових пар є частинним випадком вiдповiдностей в групових парах. Разом з кожною вiдповiднiстю [U1,U2:f] в груповiй парi (H1,H2:?) виникає пiдпара (H1,U2:?) , причому [U1,U2:f] залишається вiдповiднiстю в цiй останнiй груповiй парi. Вiдповiднiсть [U1,U2:f] в груповiй парi (H1,H2:?) назвемо головною, якщо U2=H2 . Надалi усi вiдповiдностi вважатимуться головними.

Пiдгрупу U напiвпрямого добутку G=H1}varphi H2 назвемо цiлком регулярною, якщо U є пiднапiвпрямим добутком (в природньому розумiннi) i U?H1 - нормальна пiдгрупа групи H1 . Для цiлком регулярних пiдгруп напiвпрямих добуткiв має мiсце узагальнення теореми Фукса про пiдпрямi добутки двох груп (теорема п.4.5, розд. III):

Нехай G = H1 ? H2 . Для пiднапiвпрямого добутку U G груп H1 та H2 твердження 1., 2., що наводяться нижче, є еквiвалентними:

1. U є цiлком регулярною пiдгрупою;

2. Iснують група F , антигомоморфiзм ?: H2 ?F: x?x, епiморфiзм ?: H1 ?F: x x? та сюрьєктивний схрещений гомоморфiзм ?: H2 ?F: u u?, такi, що ?x?= ??x для всiх x ?H2 i U = { (x; y) ?G x?= y?}.

Застосування вiдповiдностей в групових парах дозволяє отримати описання пiдгруп прямого добутку будь-якого скiнченного числа груп.

Нехай G,? - групи, ? . R}triangle -гомоморфiзм (редукований -гомоморфiзм) f: G? назвемо квазiсюрьєктивним, якщо ?={x*gf|x?,g?G}.

Нехай n2 - натуральне число, In={1,2,?,n} , G={Gii?In} - сiмейство груп, N(G)={iGn-ii?In-1} . За наявнiстю квазiсюрьєктивних Ri -гомоморфiзмiв ?1: GnGn-1,?i: Gn-i+1 ?i-1i-1i-2Gn-i, 1<in-1 де 0=Gn,i+1=Gn-1 i+1?i+1i,0in-2, будемо говорити, що ?(G)={?ii?In-1} є N(G) -вiдповiднiстю на G . Множину N(G) називатимемо базою редукцiї цiєї вiдповiдностi.

Для пiдгрупи H прямого добутку U1?Un через H’i позначимо канонiчну проекцiю H на Ui , а через Hi - перетин H?Un-i , i?In-1 .

Для пiдгруп прямого добутку скiнченної множини груп має мiсце (теорема п.4.6.4, розд. III):

Якщо ?(G)={?ii?In-1} - N(G) -вiдповiднiсть на сiмействi груп G={Gii?In} з базою редукцiї N(G)={ii?In-1} , то група ?=G1?n-1n-1 (G2?n-2n-2(??22 (Gn-1?11Gn)?) ) є пiдпрямим добутком груп G1,?,Gn .

Навпаки, якщо H - пiдгрупа групи G=U1?Un , то iснує N(G) -вiдповiднiсть ?(G)={?ii?In-1} на сiмействi M={H’ii?In-1} з базою редукцiї N(M)={Hii?In-1} така, що H = H’1 ?n-1Hn-1 (H’2 ?n-2Hn-2 (??2H2 (H’n-1?1H1 H’n) ?) ).

Технiка вiдповiдностей в групових парах дозволяє вивчати i нормальну будову напiвпрямих добуткiв.

Напiвпрямий добуток G=H1? H2 назвемо примiтивним, якщо будь-яка його нормальна пiдгрупа або мiстить H1 , або мiститься в централiзаторi групи H1 . Достатнi умови примiтивностi напiвпрямого добутку дає (теорема п.4.13, розд. III):

Якщо [H1]=H1 i H1Z(H1) - проста група, то для будь-якого антигомоморфiзму ?: H2AutH1 напiвпрямий добуток H1?H2 є примiтивним.

Наслiдками цiєї теореми є основна теорема про нормальну будову повної лiнiйної групи, а також теорема про нормальну будову групи колiнеацiй [10].

Конструкцiї матричних сполучень використовуються в §5 для побудови узагальнення вiнцевого добутку - конструкцiй вiнцевого голоморфу та вiнцевого бiголоморфу.

Якщо (S,*) - моноїд, X - множина, MX(S)=(X;S) - моноїд усiх вiдображень множини X в моноїд S , то умовами x(f?X}tau)=(x?)f, x?X,??T(X),f?MX(S), x(f?S}tau)=(xf)?, x?X,??S,f?MX(S), коректно визначаються компоненти матричного сполучення HWrXS=[

]?X?S, яке називається вiнцевим голоморфом моноїду S . Аналогiчно будується подвiйне матричне сполучення HWrXYS=?S?X?Y?S[

], яке називається вiнцевим бiголоморфом моноїду S . Спецiалiзацiя описань афiнних пiдмоноїдiв та афiнних конгруенцiй матричних сполучень з §3 дає можливiсть видiлити так званi P -афiннi пiдмоноїди та головнi конгруенцiї вiнцевих бiголоморфiв.

Для групових застосувань в §5 будується конструкцiя бiголоморфу груп: канонiчний пiдмоноїд ?=BHWrH1H2=[

]?H2?H1, вiнцевого голоморфу HWrH1H2 , де H1,H2 - групи. Елемент ?=(

)?? назвемо квазiафiнним, якщо при будь-яких h,h1,h2?H2 виконуються умови ?h?11=?11?h?22 ih?21, (h1*h2)?21=(h1;h2)q?11* *h1?21*h2?21?h1?22* (h1?22;h2?22)q Тут q,? - шрейєровi фактори деякого розширення H1 за допомогою H2 .

Множина ?q}sigma усiх квазiафiнних елементiв моноїду ? є пiдмоноїдом в ? (квазiафiнний пiдмоноїд BHq}sigma(H1;H2) бiголоморфу груп H1,H2 ).

Четвертий роздiл роботи мiстить результати про будову напiвгруп ендоморфiзмiв вiльних груп та вiльних добуткiв. Основну роль при цьому вiдiграють вiнцевi голоморфи та їх квазiафiннi пiдмоноїди. Отримано повне описання автоiндексатора вiльної групи (напiвгрупи ендоморфiзмiв на циклiчнi пiдгрупи). Описано також будову напiвгрупи ендоморфiзмiв цiлком 0-простої напiвгрупи. Цим самим узагальнено теорему Рiса (Rees D. On semi-groups // Proc. Cambridge Phil. Soc.-1940.-36.-pp.387-400) про будову групи автоморфiзмiв цiлком 0-простої групи. Виявилося, що напiвгрупи ендоморфiзмiв цiлком 0-простих напiвгруп, як i напiвгрупи ендоморфiзмiв вiльних груп, описуються за допомогою матричних сполучень напiвгрупових пар.

В описаннi будови напiвгруп ендоморфiзмiв вiльних добуткiв важливу роль вiдiграє той факт, що вiльнi добутки володiють так званими декартовими напiвретракцiями. Напiвретракцiю ? групи G називаємо декартовою, якщо вона є сумою попарно ортогональних ретракцiй. Групу G називаємо напiврозщеплюваною, якщо вона володiє декартовою напiвретракцiєю.

В першому параграфi четвертого роздiлу описано загальнi властивостi напiврозщеплюваних груп. Напiврозщеплюванi групи описуються в термiнах матричних сполучень групових пар з редукцiєю спiльного операнда та в термiнах базису шрейєрового розщеплення: якщо ?1,?2 - ортогональнi ретракцiї, то [?1;?1*?2;?2] - базис шрейєрового розщеплення вiдповiдної групи. За допомогою базисiв шрейєрового розщеплення технiка матричної декомпозицiї розповсюджується на напiврозщеплюванi групи, а з ними i на вiльнi добутки груп, оскiльки останнi володiють ортогональними ретракцiями.

В другому параграфi розглянуто ендоморфiзми Менгера вiльного добутку G[x] довiльної групи G та нескiнченної циклiчної <x> . Ендоморфiзми Менгера групи G[x] визначаються суперпозицiєю слiв вiдповiдного вiльного добутку.

Ендоморфiзм ? вiльного добутку двох груп назвемо напiвпроектором, якщо ?1?=?1 , ?2??3=? , де [?1;?2;?3] - вiдповiдний базис шрейєрового розщеплення. Множина усiх напiвпроекторiв є пiднапiвгрупою напiвгрупи ендоморфiзмiв. Доведено, що матрична декомпозицiя напiвгрупи напiвпроекторiв є нижньотрикутною. Група G[x] володiє деяким канонiчним базисом шрейєрового розщеплення. Виявляється, що (теорема п.2.5, розд. IV):

напiвгрупа ендоморфiзмiв Менгера групи G[x] спiвпадає з напiвгрупою напiвпроекторiв в канонiчному базисi шрейєрового розщеплення.

Застосування технiки вiнцевих бiголоморфiв дозволяє отримати ще одне описання напiвгрупи ендоморфiзмiв Менгера групи G[x] .

Нехай ?x - iдемпотентний ендоморфiзм