Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Чорней Наталія Борисівна

УДК 519.86:519.612

МОДЕЛІ ТИПУ ЛЕОНТЬЄВА-ФОРДА, ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ

ЗАДАЧ ВЕЛИКОЇ РОЗМІРНОСТІ

01.05.02 — математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

КИЇВ 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичних методів еколого-економічних

досліджень Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Волошин Олексій Федорович,

професор кафедри математичних методів еколого-економічних досліджень

факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса

Шевченка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент

Григорків Василь Степанович,

професор кафедри математичного моделювання математичного факультету

Чернівецького державного університету імені Юрія Федьковича;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Івохін Євген Вікторович,

доцент кафедри системного аналізу та теорії прийняття рішень факультету

кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України,

відділ математичних систем моделювання проблем екології та енергетики, м. Київ

Захист відбудеться “28” лютого 2002 р. на засіданні спеціалізованої вченої ради

Д 26.001.09 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, Київ, пр. Глушкова, 2, корп. , ф-т кібернетики, ауд. о 15 годині

(Тел. 252-58-83. Факс 266-10-59, E-mail: )

З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бiблiотецi Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

Київ, вул. Володимирська, 58

Автореферат розісланий “23” січня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В. П. Шевченко

загальна характеристика роботи

актуальність теми. різке зростання антропогенних впливів на природу вимагає розробки та дослідження математичних моделей взаємодії економіки і навколишнього середовища (повітряного і водяного басейнів, ґрунту, рослинного і тваринного світів тощо). еколого-економічний підхід як науковий напрям має на меті узгодження екологічних і економічних критеріїв розвитку системи “природа — виробництво”.

першою математичною моделлю, що описує взаємозв’язок економіки і навколишнього середовища, була міжгалузева балансова еколого-економічна модель леонтьєва — форда (1972 р.). дана модель узагальнила класичну економічну балансову модель леонтьєва і включає дві групи галузей: основне виробництво (галузі матеріального виробництва) і допоміжне виробництво (галузі, що знищують шкідливі відходи).

за час, що пройшов з моменту представлення першої еколого-економічної моделі, з’явилося багато нових факторів адміністративного впливу на економіку з метою покращення стану навколишнього середовища, які необхідно враховувати. одним з методів адміністративного впливу на основне виробництво є встановлення оплати права на забруднення. звичайно, що для обґрунтування цього впливу та виявлення його ефективності потрібна розробка нових математичних моделей та методів, зокрема, узагальнення вже класичної моделі леонтьєва — форда.

оскільки модель леонтьєва — форда є узагальненням моделі леонтьєва, то природно, що вона успадкувала проблеми своєї попередниці, а саме: складність роботи з матрицями великої розмірності, погану обумовленість та виродженість матриці нормативних коефіцієнтів, цілочислові змінні, що значно звужують можливість застосування відомих чисельних методів, нечітку інформацію про значення нормативних коефіцієнтів, розрідженість матриці нормативних коефіцієнтів. крім того, в моделі леонтьєва — форда, на відміну від моделі леонтьєва, з’явилась ще одна компонента, яка входить до моделі зі знаком “мінус”, — об’єм забруднювачів, що не знищуються. тому очевидною стає проблема розробки ефективних методів розв’язування еколого-економічної балансової моделі та оптимізаційних моделей, які б враховували вказані обставини.

одним із підходів, на основі якого були розроблені алгоритми для широких класів задач, що дозволяє вирішувати вказані проблеми, є послідовний аналіз варіантів, загальний формалізм якого розроблено у шестидесяті роки двадцятого століття в. с. михалевичем в обчислювальному центрі ан урср (тепер інститут кібернетики імені в. м. глушкова нан україни) та розвинутий його послідовниками та учнями: і. в. сергієнком, н. з. шором, в. а. трубіним, а. і. куксою, в. л. волковичем, о. ф. волошиним, с. о. мащенком та іншими.

схему послідовного аналізу варіантів з успіхом застосовують для розв’язування багатьох задач оптимізації планування й проектування. особливо корисним метод послідовного аналізу варіантів виявляється при побудові алгоритмів розв’язування оптимізаційних задач великої розмірності.

зважаючи на відсутність ефективних методів для розв’язування міжгалузевої балансової моделі взаємодії економіки та навколишнього середовища, актуальним є застосування методу послідовного аналізу варіантів (“послідовного аналізу, відсіву та конструювання”), який добре проявив себе при розв’язуванні багатьох прикладних задач.

зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. дисертаційна робота виконана на кафедрі математичних методів еколого-економічних досліджень факультету кібернетики київського національного університету імені тараса шевченка і є частиною досліджень наукової держбюджетної теми “математичне моделювання та алгоритми розв’язання задач оптимізації еколого-економічних систем” (номер держреєстрації — б/т 97067, др0197u003334).

мета і задачі дослідження. головною метою дисертаційного дослідження є розробка та дослідження еколого-економічних моделей типу міжгалузевої еколого-економічної балансової моделі леонтьєва — форда та алгоритмів для розв’язання задач великої розмірності, що виникають при цьому. крім того, досліджується застосування алгоритмів послідовного аналізу варіантів у випадку розрідженості матриць нормативних коефіцієнтів вищезазначених моделей.

об’єкт дослідження. міжгалузева балансова еколого-економічна модель леонтьєва — форда та її узагальнення.

предмет дослідження. балансова та оптимізаційні еколого-економічні моделі, розроблені на базі моделі леонтьєва — форда; метод послідовного аналізу варіантів для балансових еколого-економічних моделей, ефективність його застосування.

методи дослідження. при дослідженні оптимізаційних моделей в другому розділі застосовувались методи лінійного програмування, матричного аналізу та лінійної алгебри. для доведення збіжності послідовностей, які генеруються розробленими в даному дисертаційному дослідженні процедурами, та при виявленні обчислювальної трудомісткості цих процедур використовувалися методи математичного аналізу та комбінаторної оптимізації. у четвертому розділі для зберігання матриці використовується один із загальновідомих методів зберігання розріджених матриць — матриця записується у файл у вигляді послідовного списку записів, що складаються з двох елементів: відстань до ненульового елементу матриці та його значення.

наукова новизна одержаних результатів. побудовано нові балансова та оптимізаційні математичні моделі еколого-економічної взаємодії на базі моделі леонтьєва — форда. вперше розроблені алгоритми послідов-ного аналізу варіантів для розв’язування міжгалузевої балансової еколого-економічної моделі леонтьєва — форда великої розмірності та її модифікацій.

практичне значення одержаних результатів. моделі, розроблені в дисертації, можуть бути використані для формального аналізу ефективності адміністративного впливу на економіку з метою покращення екологічного стану. крім того, результати дисертаційного дослідження мають очевидне практичне застосування — розв’язування балансових моделей великої розмірності в режимі реального часу. також дані результати можуть бути застосовані для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь великої розмірності. запропоновані в роботі математичні моделі є новим інструментарієм для дослідження реальних процесів еколого-економічної взаємодії.

особистий внесок здобувача. усі результати дисертаційної роботи одержані особисто або за особистою участю автора. у працях та доповідях, що написані у співавторстві, 2, 6, 7], співавторам належать постановки задач.

апробація результатів дисертації. результати, які викладені в дисертації, доповідались на:

міжнародній науковій конференції “моделювання та оптимізація складних систем” (мосс–2001), 25–28 січня 2001 р., київ;

міжнародній науковій конференції “dynamical systems modelling and stability investigation” (modelling & stability), 22–25 травня 2001 р., київ;

1-й міжнародній науковій конференції “prediction and decision making under uncertainties” (pdmu–2001), 11–14 вересня 2001 р., київ;

наукових семінарах факультету кібернетики київського національного університету імені тараса шевченка та інституту кібернетики імені в. м. глушкова нан україни, київ, 1998–2002 рр.

публікації. за темою дисертації опубліковано 7 наукових робіт. з них — 4 статті у фахових наукових виданнях і 3 тези доповідей міжнародних наукових конференцій.

структура та обсяг роботи. дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, списку використаних джерел, що містить 170 найменувань, та одного додатку. повний обсяг роботи становить 154 сторінки, з них — 131 сторінка основного змісту, 19 сторінок списку використаних джерел та 4 сторінки додатку.

основний зміст роботи

у вступі містяться обґрунтування вибору теми дисертаційного дослідження, її актуальність, вказуються зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами, мета і задачі дослідження, наукова новизна одержаних результатів, практичне значення одержаних результатів, особистий внесок здобувача, апробація результатів дисертації, публікації, структура та обсяг роботи та загальна характеристика роботи.

у першому розділі дисертаційного дослідження проводиться огляд основних етапів розвитку наукової думки у галузі еколого-економічних досліджень, висвітлюється необхідність розробки нових еколого-економічних моделей для дослідження ефективності адміністративного регулювання економічної діяльності з метою покращення стану навколишнього середовища; показуються відкриті проблеми у розв’язуванні еколого-економічних балансових моделей та обґрунтовується необхідність розробки обчислювальних алгоритмів на основі методу послідовного аналізу варіантів для розв’язування моделей типу леонтьєва — форда.

у другому розділі пропонуються та досліджуються узагальнені моделі леонтьєва — форда з використанням оплати так званого права на забруднення: балансова та дві оптимізаційні моделі із цільовою функцією, що виражає витрати економіки на викид і знищення забруднювачів.

балансова модель узагальнює балансову модель леонтьєва — форда:

(1)

де — вектор об’ємів виробництва продукції,

— вектор об’ємів знищених забруднювачів,

— технологічна матриця,

— вектор об’ємів кінцевої продукції,

— вектор об’ємів забруднювачів, що не знищуються.

Запропонована в дисертаційній роботі модель має наступний вигляд:

(2)

де , , , , , , , мають те ж саме тлумачення, що і в балансовій моделі Леонтьєва — Форда;

— матриця норми знищення забруднювача при виробництві продукції , ,

— вектор-стовпчик вартості випуску одиниці продукції ,

— вектор-стовпчик вартості знищення одиниці забруднювача??,

— вектор-стовпчик вартості викиду одиниці забруднювача (оплата права на забруднення),

— гіперпаралелепіпед розв’язків задачі, що враховує зміст обмежень економічних та екологічних складових,

де , та , — межі (верхня та нижня відповідно) зміни змінних та відповідно, , (у випадку цілочислової постановки задачі (2) , та , вважаються цілими), індекси (Н) та (Ц) ділять множину індексів на множини індексів відповідно неперервних та цілочислових змінних.

Для моделі (2) знайдено достатні умови існування невід'ємних розв’язків при умові продуктивності матриці нормативних коефіцієнтів.

Перша оптимізаційна еколого-економічна модель має таку постановку.

Нехай кожний вид продукції виробляється декількома способами , але кожним способом випускається лише один продукт. Аналогічно, кожний вид забруднювачів знищується декількома способами , але кожним способом знищується лише один забруднювач.

Величини , , , , , , , мають традиційне тлумачення (оптимізаційна модель Леонтьєва — Форда).

Вважається, що за кожну одиницю забруднювача, що не знищується, береться плата (оплата права на забруднення), а вартість знищення способом одиниці забруднювача дорівнює . Маємо:

(3)

де

при таких обмеженнях

(4)

(5)

(6)

Друга оптимізаційна еколого-економічна модель враховує можливість “техногенної екологічної катастрофи” і має таку постановку.

Крім позначень, введених у попередній оптимізаційній задачі, введемо такі позначення:

— ймовірність “техногенної екологічної катастрофи” при застосуванні способу виробництва продукції ;

— ймовірність “техногенної екологічної катастрофи” при застосуванні способу знищення забруднювача ;

— коефіцієнт очікуваного викиду забруднювача при виробництві одиниці продукції способом у випадку технологічної аварії способу ;

— коефіцієнт очікуваного викиду забруднювача? при знищенні одиниці забруднювача способом? у випадку технологічної аварії способу?.

Вважається, що у разі “техногенної екологічної катастрофи” способу (способу ) продукція (забруднювач ) даним способом не виробляється (не знищується).

Введемо такі позначення:

Маємо:

(7)

де

при таких обмеженнях

(8)

(9)

(10)

Для задач (3)–(6) і (7)–(10) доведено теореми, зокрема, аналог теореми Самуельсона про заміщення для класичної оптимізаційної моделі Леонтьєва.

Теорема .1. В оптимальному плані задачі (3)–(6) при додатному та невід’ємному виробляються всі види продукції, причому кожний продукт виробляється лише одним способом, та знищуються всі види забруднювачів, причому кожний забруднювач знищується лише одним способом. Більше того, найкращі способи виробництва продукції та знищення забруднювачів залишаються незмінними при будь-яких допустимих змінах векторів та .

У третьому розділі розглядається модель Леонтьєва — Форда (1) у класичній постановці. Вважаємо, що виконується достатня умова існування невід’ємних розв’язків задачі (1): .

Для даної моделі пропонується алгоритм, що базується на методі послідовного аналізу варіантів та дозволяє розв’язувати задачі із заданим ступенем точності незалежно від зумовленості матриць затрат. Основу цього алгоритму складає процедура І апроксимації множини розв’язків системи (1) гіперпаралелепіпедом таким, що . На основі аналізу системи обмежень задачі (1) уточнюються межі початкового гіперпаралелепіпеду можливих розв’язків шляхом відсіву значень компонент векторів , , які не можуть утворювати допустимі варіанти. Конструювання розв’язків задачі у випадку, коли гіперпаралелепіпед не стягується в точку, відбувається в результаті розв’язання “локалізованої” системи обмежень (1) або вибору “прийнятної” точки .

В результаті отримується:

Процедура I

На початковому кроці покладемо

На -му кроці —

Означення .1. Послідовність гіперпаралелепіпедів збігається до гіперпаралелепіпеда (), якщо

Теорема .1. Якщо задача (1) сумісна, то процедура І генерує послідовність , причому . Якщо задача (1) несумісна, то для деякого номера має місце рівність: .

Оцінюється обчислювальна трудомісткість процедури I та приводяться результати обчислювального експерименту із зазначеною процедурою на ПЕОМ (центральний процесор ПЕОМ — AMD®–ІІ–K6 266 МГц). Наприклад, при розмірності матриці нормативних коефіцієнтів, що дорівнює 500, та відносній похибці 10–12 обчислення проводились біля 12 хв. Крім того, для випадку невиродженості матриці нормативних коефіцієнтів пропонується модифікований алгоритм I(M).

Алгоритм I(M)

Проводимо числовий експеримент з процедурою І з “мінімальною” точністю , отримуємо гіперпаралелепіпед розв’язків .

Якщо нижні та верхні межі відрізняються покоординатно одна від одної не більше ніж на , то припускаємо, що матриця невироджена і переходимо до наступного кроку. В протилежному випадку продовжуємо обчислення до знаходження розв’язку системи (3.1) із потрібною точністю і переходимо до п. .

Проводимо числовий експеримент з процедурою І для відшукання лише нижніх (або верхніх) меж із потрібною точністю , причому початковими наближеннями є нижні (або, відповідно, верхні) межі гіперпаралелепіпеда .

Отриманий результат вважаємо єдиним (внаслідок припущення про невиродженість матриці ) розв’язком системи (3.1) із заданою точністю .

Кінець алгоритму.

Для моделі (2) (другий розділ) пропонується процедура ІІ, аналогічна до процедури І для моделі (1).

Процедура IІ

Попередньо знаходимо .

Нехай на початковому кроці

На -ому () кроці —

доводиться збіжність процедури iі та оцінюється її обчислювальна трудомісткість.

у четвертому розділі розглядається випадок розрідженості матриці задачі (1). при цьому процедура i послідовного аналізу варіантів для розв’язання міжгалузевої моделі леонтьєва — форда взаємодії економіки і навколишнього середовища (розділ 3) модифікується у процедуру iii.

доводиться теорема про збіжність процедури iii, аналогічна до теореми .1, відмічається ефективність використання методу послідовного аналізу варіантів до розв’язання системи (1) із розрідженою матрицею коефіцієнтів у порівнянні з процедурою i та, по аналогії з другим розділом, приводяться дані обчислювального експерименту із процедурою iii на тій же пеом (рис. ) та алгоритм iii(m) для випадку невиродженості матриці нормативних коефіцієнтів.

рис. . результати чисельного експерименту з процедурою iii.

висновки

розробка та дослідження математичних моделей взаємодії економіки та навколишнього середовища із урахуванням оплати так званого права на забруднення дає змогу формального об’єктивного аналізу ефективності адміністративного впливу на економіку з метою покращення стану навколишнього середовища.

розробка алгоритмів послідовного аналізу варіантів для розв’язання міжгалузевої моделі леонтьєва — форда та узагальнень даної моделі дала змогу уникнути складних проблем, пов’язаних із великою розмірністю та розрідженістю, поганою обумовленістю та виродженістю матриці нормативних коефіцієнтів, похибкою обчислень, цілочисельністю змінних, яка значно звужує можливість застосування відомих чисельних методів. обчислювальні експерименти на пеом із розробленими процедурами можуть проводитися у режимі реального часу для великої розмірності вихідної задачі (декілька десятків тисяч змінних).

головними результатами дисертаційної роботи є:

побудовані узагальнення моделі леонтьєва — форда із урахуванням оплати права на забруднення:

балансову модель, що враховує можливість знищення забруднювачів у процесі виробництва із метою зменшення оплати права на забруднення;

оптимізаційну модель із цільовою функцією, що виражає затрати економіки на викид і знищення забруднювачів;

оптимізаційну модель, яка враховує можливість техногенної екологічної катастрофи, із цільовою функцією, що виражає затрати економіки на викид і знищення забруднювачів.

розроблено алгоритми послідовного аналізу варіантів для розв’язання моделей типу леонтьєва — форда, що дозволяють знаходити розв’язки навіть у випадку виродженості та поганої обумовленості матриці нормативних коефіцієнтів, цілочисельності змінних та уникати накопичення похибки обчислень.

для випадку великої розмірності модифіковано алгоритм послідовного аналізу варіантів для розв’язання балансової еколого-економічної моделі леонтьєва — форда та теоретично оцінено перевагу у швидкості обчислень щодо алгоритму п. .

теоретично обґрунтовано запропоновані алгоритми, знайдено теоретичну оцінку трудомісткості, проведено чисельні експерименти та дослідження із розробленими процедурами.

проведено чисельний експеримент із процедурою знаходження розв’язку моделі леонтьєва — форда на реальних даних фактичних значень нормативів прямих витрат за 1996 р.

основні положення дисертації опубліковані в таких працях:

волошин а. ф., чорней н. б. исследование алгоритма последователь-ного анализа вариантов для модели леонтьева — форда с разреженной матрицей нормативных коэффициентов // проблемы управления и информатики. — 2001. — № 3. — с. –103.

волошин о. ф., чорней н. б. алгоритм послідовного аналізу варіантів для розв’язання міжгалузевої моделі леонтьєва — форда // вісник київського університету. — 1999. — сер. фіз.-мат. н., № 1. — с. 171–175.

чорней н. б. дослідження алгоритму послідовного аналізу варіантів для розв’язання міжгалузевої моделі леонтьєва — форда // вісник київського університету. — 1999. — сер. фіз.-мат. н., № . — с. 259–262.

чорней н. б. розв’язання однієї балансової моделі взаємодії економіки та навколишнього середовища // вісник київського університету. — 2000. — сер. фіз.-мат. н., № . — с. –300.

чорней н. б. оптимізаційна еколого-економічна модель та право на забруднення // тези доповіді міжнар. конф. “моделювання та оптимізація складних систем” (мосс–2001), 25–28 січня 2001 р. — к.: київський університет. — 2001. — т. . — с. –169.

волошин о. ф., чорней н. б. розв’язання міжгалузевої моделі леонтьєва — форда у випадку розрідженості матриць нормативних коефіцієнтів // thesis of conf. reports of intern. conf. “dynamical systems modelling and stability investigation” (modelling & stability), may 22–25, 2001. — kyїv. — 2001. — p. .

чорней н. б., чорней р. к. оптимізаційна еколого-економічна модель з урахуванням можливості екологічної катастрофи // thesis of conf. reports of 1-st intern. conf. “prediction and decision making under uncertainties” (pdmu–2001), september 11–14, 2001. — kyїv. — 2001. — p. –136.

чорней н. б. моделі типу леонтьєва — форда, чисельні методи розв’язання задач великої розмірності. — рукопис.

дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 — математичне моделювання та обчислювальні методи. — київський національний університет імені тараса шевченка, київ, 2001.

дисертаційна робота присвячена розробці та дослідженню еколого-економічних моделей типу міжгалузевої еколого-економічної балансової моделі леонтьєва — форда та алгоритмів для розв’язання задач великої розмірності, що виникають при цьому. узагальнення моделі леонтьєва — форда враховують оплату права на забруднення і мають три постановки: балансова модель і дві оптимізаційні моделі, цільова функція яких виражає витрати економіки на викид та знищення забруднювачів, причому у другій моделі враховується можливість техногенної екологічної катастрофи.

застосування розроблених алгоритмів дозволяє враховувати розрідженість матриці нормативних коефіцієнтів, погану обумовленість та виродженість матриці нормативних коефіцієнтів, цілочисельність змінних, похибку обчислень. проведено обчислювальні експерименти і теоретично доведена ефективність застосування алгоритмів послідовного аналізу варіантів до моделей типу леонтьєва — форда.

ключові слова: модель леонтьєва — форда, велика розмірність, послідовний аналіз варіантів, розрідженість, право на забруднення.

чорней н. б. модели типа леонтьева — форда, численные методы решения задач большой размерности. — рукопись.

диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 — математическое моделирование и вычислительные методы. — киевский национальный университет имени тараса шевченко, киев, 2001.

диссертационная работа посвящена разработке и исследованию эколого-экономических моделей типа межотраслевой эколого-экономической балансовой модели леонтьева — форда и алгоритмов для решения задач большой размерности, которые возникают при этом. обобщение модели леонтьева — форда учитывают оплату права на загрязнение и имеют три постановки: балансовая модель и две оптимизационные модели, целевая функция которых выражает затраты экономики на выброс и уничтожение загрязнителей, причем во второй модели учитывается возможность техногенной экологической катастрофы.

применение разработанных алгоритмов дает возможность учитывать разреженность матрицы нормативных коэффициентов, плохую обусловленность и вырожденность матрицы нормативных коэффициентов, целочисленность переменных, погрешность вычислений. проведены вычислительные эксперименты и теоретически доказана эффективность применения алгоритмов последовательного анализа вариантов к моделям типа леонтьева — форда.

ключевые слова: модель леонтьева — форда, большая размерность, последовательный анализ вариантов, разреженность, право на загрязнение.

chorneileontieff — ford type models, computational large scale problem solving procedures. — manuscript.

thesis for the degree of candidate of physics-mathematical science in specialty 01.05.02 — mathematical modeling and computing methods. — taras shevchenko kyїv national university, kyїv, 2001.

the dissertation deals with approaches to develop ecological and economic models as input-output balance leontieff — ford one and algorithms of consecutive variant analysis for solution to these problems. one of the difficulties in finding solutions to problems involved lies in the fact that normative coefficient matrices are large scale; furthermore, these matrices may have poor dependencies or be singular. another difficulty arises when the number of solutions is not an integer.

section 1 contains an up-to-date overview of ecological and economic studies carried out in recent years. existing problems that researchers in these fields meet with in developing solutions in ecological and economic input-output balance models are discussed together with the practical applicability of methods of consecutive variant analysis to this purpose.

section 2 covers some generalizations of leontieff — ford models related to the so-called price of right to pollution. in particular an input-output balance model and two optimization models are studied.

the first one contains an assumption that the producer will seek to retain and recycle or destroy a part of wastes in order to lessen the price that he pays for the right to pollute the environment.

the first optimization model assumes more than one way the producer may choose to diversity is productions or to destroy contaminants. the algorithm corresponding used to minimize the compound costs of pollution and recycling.

the second optimization model adds to the above the risk of technogenous ecological collapse (catastrophe) by introducing, as additional parameters, break-down expectancies for each product and recycling lines, and expected amounts of contaminants released in a break-down in the environment.

related to both optimization models, some theorems are formulated and proved; one of these is a substitution theorem similar to samuelson theorem for classic leontieff optimization model.

section 3 explains a procedure of approximation of valid solutions, i, which represents an application of consecutive variant analysis to leontieff — ford models, and contains a proof of its convergence and an estimate of computation costs. the result of a computer-aided experiment that has been carried out to test this approximation procedure show its effective applicability in cases of poor dependencies of normative coefficient matrixes. it has also been shown that the procedure converges faster in the case of rather integer solutions than with continuous solutions. a modified procedure, i(m), is proposed for nonsingular normative coefficient matrices, which procedure is twice as fast as i. for generalization of leontieff — ford input-output model (section 2), an appropriate algorithm of consecutive variant analysis, ii, is proposed, together with the proof of convergence and the estimate of computation costs.

in section 4, the issues of possible application of sparse matrix conservation methods in i procedure in view of the most leontieff — ford input-output balance models having exceedingly sparse matrices (up to 97 % with number of dimensions 1000). another adaptation of i procedure iii in suggested for such cases, with the proof of its convergence and an estimation of computation costs. in computer testing the iii procedure appeared much faster than the general i. a putative evaluation of computation times of convergence for iii was given in comparison with that for unmodified i; experimental data obtained have supported these estimations.

similarly to the adaptation of i to work with nonsingular normative coefficient matrices, the procedure iii(m) is proposed for sparse and nonsingular matrices.

it is demonstrated that i and iii procedures apply well to the described in section 2 cases as a means to optimize modes of production and recycling for minimal costs.

the main achievements of the proposed dissertation may be resumed in the following: development of a generalized leontieff — ford model with price to right to pollution as additional parameter; general algorithm of consecutive variant analysis for finding solutions in models as leontieff — ford; presentation of theoretical backgrounds of its effectiveness and its experimental testing; its adaptation to models with sparse normative coefficient matrices.

key words: leontieff — ford model, large scale, consecutive variant analysis, sparsely, right of pollution.