КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ

iменi ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Цюпій Тамара Іванівна

УДК 512.552

НАПIВДОСКОНАЛI НАПIВДИСТРИБУТИВНI КIЛЬЦЯ

ТА АСОЦIЙОВАНI З НИМИ

СКIНЧЕННI ОРIЄНТОВНI ГРАФИ

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико – математичних наук

Київ – 2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському нацiональному університеті імені Тараса Шевченка на кафедрi геометрiї

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

Кириченко Володимир Васильович,

Київський нацiональний університет імені Тараса

Шевченка, м. Київ, завiдувач кафедри геометрiї

Офіційні опоненти :

доктор фізико-математичних наук

Сергiйчук Володимир Васильович,

Iнститут математики НАН України, м. Київ, провiдний

науковий спiвробiтник

кандидат фізико-математичних наук

Боднарчук Юрiй Вiкторович,

Нацiональний університет “Києво-Могилянська

академiя”, доцент, завiдувач кафедри математики

Провідна установа

Львiвський нацiональний університет імені Iвана

Франка, кафедра алгебри i топологiї, Мiнiстерство

освiти i науки України, м. Львiв

Захист відбудеться 14.06. 2002 року о 14-й годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського нацiонального університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6, механіко - математичний факультет

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського нацiонального університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58)

Автореферат розісланий12.05. 2002 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. За останнi роки виявлено тiснi зв'язки мiж будовою кiлець та будовою орiєнтовних графiв (колчанiв або сагайдакiв), побудованих по кiльцях. При цьому по одному i тому ж самому кiльцю можна побудувати рiзнi сагайдаки.

Теорiя кiлець виникла з одного боку зi спроб узагальнення поняття комплексного числа, а з iншого боку дуже важливою для розвiтку теорiї кiлець була теорiя алгебраїчних чисел, що була побудована Дедекiндом та Кронекером.

Теорiї скiнченовимiрних алгебр присвячено роботи Веддерберна, Молiна, Картана, Фробенiуса та багатьох iнших.

Новий етап розвiтку теорiї кiлець було започатковано у працях Артiна, Нетер, Брауера, Кете, Асано, Накаями та iнших, якi розглядали кiльця з деякими умовами скiнченностi (умови обриву ланцюгiв iдеалiв).

Основним класом кiлець, якi розглядаються в дисертацiї, є так званi напiвмаксимальнi кiльця, якi природньо виникають в теорiї цiлочисельних представлень. Такими є, наприклад, цiлком розкладнi порядки над повним локальним дедекiндовим кiльцем, що мiстяться в сепарабельних алгебрах та спiвпадають з перетином своїх максимальних надкiлець. Такi кiльця є прямими добутками так званих “черепичних порядкiв” (tiled orders) над дискретно нормованими кiльцями.

Частинний випадок черепичних порядкiв – так званi (0,1)-порядки мають вiдношення до теорiї зображень скiнченних частково впорядкованих множин, яка була започаткована Л.О. Назаровою та А.В. Ройтером на початку 70-х рокiв ХХ столiття.

В 1972 роцi в зв'язку з задачами теорiї зображень П.Габрiель ввiв поняття сагайдака скiнченновимiрної алгебри. В.В. Кириченко перенiс це поняття на випадок напiвдосконалих кiлець i ввiв поняття первинного сагайдака напiвдосконалого кiльця. Методи теорiї сагайдакiв виявились дуже корисними в структурнiй теорiї кiлець. Вперше поняття сагайдака напiвдосконалого кiльця було застосовано для характеристики нетерових напiвланцюгових кiлець. В цьому випадку сагайдаки повнiстю характеризують такi кiльця. Складнiшi класи напiвдосконалих кiлець вже не завжди повнiстю характеризуються будовою сагайдакiв, але в багатьох випадках властивостi сагайдакiв дають важливу iнформацiю про будову кiлець. Так, наприклад, сагайдаки спадкових напiвдосконалих напiвдистрибутивних кiлець завжди ациклiчнi, а сагайдаки нетерових напiвпервинних напiвдосконалих нерозкладних кiлець сильно зв'язнi.

В роботах В.В. Кириченка та його учнiв методи теорiї сагайдакiв застосовувались для вивчення бiрядних та багаторядних кiлець, спадкових та напiвспадкових кiлець, напiвпервинних та слабопервинних кiлець, напiвмаксимальних кiлець.

Ця дисертацiйна робота присвячена вивченню властивостей напiвдосконалих напiвдистрибутивних кiлець та їх сагайдакiв (асоцiйованих з кiльцями скiнченних орiєнтовних графiв).

Як з'ясувалось, результати дисертацiї тiсно пов'язанi з дослiдженнями, проведенними вiдомим американським фахiвцем з теорiї графiв Ф.Харарi.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертацiйної роботи пов'язана з тематикою наукових дослiджень кафедри геометрiї механiко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету (номер державної реєстрацiї 0197U003065).

Мета i задачi дослiдження. Метою дисертацiйної роботи є:

·

· дослiдження будови сагайдакiв рiзних класiв кiлець;

· дослiдження властивостей iндексiв рiзних класiв кiлець. Задачi дослiдження:

· опис будови та властивостей сагайдакiв черепичних порядкiв;

· опис зв'язку (0,1)-порядкiв та їх сагайдакiв зi скiнченними частково впорядкованими множинами та їх дiаграмами;

· опис будови (0,1)-порядкiв та їх сагайдакiв;

· опис властивостей iндексу напiвдосконалого напiвдистрибутивного кiльця;

· опис властивостей iндексу напiвдосконалого слабопервинного кiльця;

· опис властивостей iндексу нетерова справа напiвдосконалого напiвдистрибутивного i напiвпервинного кiльця;

· опис властивостей iндексiв (0,1)-порядкiв;

· опис властивостей iндексiв черепичних порядкiв, сагайдаки яких мають двi, три або чотири вершини;

· опис властивостей iндексiв спадкових артiнових i напiвспадкових напiвдосконалих кiлець.

Методи дослiджень. Основу дослiджень складають методи теорiї сагайдакiв та методи теорiї кiлець i модулiв. Також використовуються методи комп'ютерної обробки iнформацiї.

Наукова новизна одержаних результатiв. В дисертацiї вперше одержано новi теоретичнi результати:

·

· доведено, що зведений (0,1)-порядок має в своєму пiрсовському розкладi спадковi порядки, кiлькiсть яких дорiвнює ширинi вiдповiдної частково впорядкованої множини;

· доведено, що сагайдак Q(Л(S)) (0,1)-порядку Л спiвпадає з сагайдаком

· доведено, що сагайдак (0,1)-порядку не має петель тодi i тiльки тодi, коли вiдповiдна частково впорядкована множина не має елементiв, якi є одночасно мiнiмальними i максимальними;

· доведено, що сагайдак (0,1)-порядку Л, який лежить в Mm(D), не може мати m-1 петлю;

· описанi (0,1)-порядки, сагайдаки яких мають двi, три або чотири вершини;

· описанi черепичнi порядки, сагайдаки яких мають двi, три або чотири вершини та не мають петель;

· описанi черепичнi порядки, сагайдаки яких мають двi, три або чотири вершини та матрицi сумiжностей яких кратнi стохастичним матрицям;

· доведено, що iнтервалом можливих значень iндексу in A напiвдосконалого напiвдистрибутивного кiльця A, сагайдак якого мiстить s вершин, є [0,s];

· доведено, що для будь-якого цiлого i з вiдрiзку можливих значень iндексу [0,s] iснує напiвдосконале напiвдистрибутивне кiльце Ai, сагайдак якого мiстить s вершин та iндекс якого дорiвнює i;

· доведено еквiвалентнiсть напiвланцюговостi кiльця A та умови in A = 1 для нетерова слабопервинного напiвдосконалого кiльця A;

· доведено еквiвалентнiсть спадковостi кiльця A та умови in A = 1 для нетерова справа напiвдосконалого напiвдистрибутивного i напiвпервинного кiльця A;

· доведено, що iнтервалом можливих значень iндексу in Л (0,1)-порядку Л є iнтервал [0,w(S(Л))], де w(S(Л)) – ширина вiдповiдної частково впорядкованої множини S(Л);

· доведено iснування (0,1)-порядку Щ2m, який лежить в M2m(D) та такого, що in Щ2m = m.

· наведенi черепичнi порядки, iндекси яких є цiлими та сагайдаки яких мають три або чотири вершини;

· доведено, що iндекс спадкового артiнового кiльця дорiвнює нулю;

· доведено, що первинний iндекс напiвспадкового напiвдосконалого кiльця дорiвнює нулю.

Всi цi результати мають строге доведення.

Теоретичне та практичне значення отриманих результатів полягає в розвитку методiв теорiї сагайдакiв в структурнiй теорiї кiлець. Одержанi в дисертацiї результати мають загальнотеоретичний характер i можуть бути використанi для подальших дослiджень в цiй теорiї. Деяки з них можуть бути використанi при читаннi спецкурсiв з алгебри.

Апробація результатів дисертацiї. Результати дисертацiї доповiдались на п'ятiй мiжнароднiй конференцiї iм. ак. М. Кравчука (Київ,1996), мiжнароднiй конференцiї “Representation theory and computer algebra” (Київ, 1997), мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї, присвяченої пам'ятi професора Глускiна (Слов'янськ, Донецька область, Україна, 1997), конференцiї молодих математикiв “Сучасна алгебра та її застосування”, присвяченої 40-рiччю кафедри алгебри i математичної логiки Київського унiверситету iменi Тараса Шевченка (Київ, 1997), конференцiї “Моделювання та оптимiзацiя складних систем”, присвяченої 65-рiччю вiд дня народження члена-кореспондента НАН України Бублика Б.М. (Київ, 2001), на третiй мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї в Українi (Суми, 2001).

Особистий внесок здобувача. Всi результати дисертацiї, за виключенням теорем 3.4.1, 3.7.1 i 3.7.3, отриманi здобувачем особисто. Теореми 3.4.1, 3.7.1, 3.7.3 отриманi здобувачем у спiвавторствi з науковим керiвником.

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiкованi в восьми роботах, список яких наводиться в кiнцi автореферату. Три з цих робiт опублiкованi у фахових виданнях, що вiдповiдають вимогам ВАК України.

Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiйна робота складається iз вступу, трьох роздiлiв, якi мiстять 17 пiдроздiлiв, висновкiв, списку використаних джерел та додатка. Загальний обсяг дисертацiї становить 130 сторiнок, обсяг таблиць – 42 сторiнки, обсяг додатка – 13 сторiнок машинопису. Список використаних джерел складається з 31 найменування.

Нумерацiя теорем, тверджень, наслiдкiв, рисункiв в авторефератi спiвпадає з їх нумерацiєю в дисертацiї.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ

У вступi обгрунтовано актуальнiсть дослiдження, показаний зв'язок теми, що дослiджується в роботi, iз планами наукових дослiджень, формулюється мета i задачi дослiдження, вказанi наукова новизна одержаних результатiв, особистий внесок здобувача, апробацiя результатiв дисертацiї, наведенi структура i обсяг дисертацiї. В структурi дисертацiї видiляються чотири роздiли.

У роздiлi 1 “Попереднi вiдомостi” наводяться необхiднi факти з теорiї кiлець, з теорiї графiв та з теорiї невiд'ємних матриць. Вiн складається з трьох пiдроздiлiв.

У пiдроздiлi 1.1 “Невiд'ємнi матрицi i скiнченнi орiєнтовнi графи” наводяться вiдомостi про невiд'ємнi матрицi i скiнченнi орiєнтовнi графи. Центральною теоремою теорiї невiд'ємних матриць є теорема Фробенiуса:

Теорема 1.1.3. Невiд'ємна переставно незвiдна матриця B завжди має таке додатне власне число r, яке є простим коренем характеристичного многочлена матрицi B i абсолютнi значення всiх iнших власних чисел меншi або дорiвнюють r.

Максимальне власне число r вiдповiдає власному вектору з додатними координатами.

Видiлимо такi поняття та факти, якi пов'язанi з теорiєю орiєнтовних графiв:

Означення 1.1.15. Граф G називається сильно зв'язним, якщо будь - якi його двi вершини (можливо спiвпадаючi) з'єднує шлях.

Позначимо через [G] матрицю сумiжностi графа G.

Теорема 1.1.25. Матриця BMn(R) переставно незвiдна тодi i тiльки тодi, коли граф G(B) сильно зв'язний.

Наслiдок 1.1.26. Граф G сильно зв'язний тодi i тiльки тодi, коли його матриця сумiжностi [G] переставно незвiдна.

У пiдроздiлi 1.2 “Напiвдосконалi напiвдистрибутивнi кiльця” наводяться означення напiвдосконалих i напiвдистрибутивних кiлець та необхiднi вiдомостi про напiвдосконалi та напiвдистрибутивнi кiльця.

Всi кiльця, якi розглядаються у дисертацiї, є асоцiативними з , а модулi є правими та унiтарними.

Нехай A – кiльце, R = Rad A – радiкал Джекобсона кiльця A.

Означення 1.2.2. Кiльце A називається напiвдосконалим, якщо факторкiльце A / R артiнове та iдемпотенти можна пiднiмати по модулю R.

Наступна теорема належить Б. Мюллеру:

Теорема 1.2.5. Кiльце A напiвдосконалe тодi та тiльки тодi, коли 1A розкладається в суму попарно ортогональних локальних iдемпотентiв.

Означення 1.2.14. Кiльце A називається напiвдистрибутивним справа (злiва), якщо правий регулярний модуль AA (лiвий регулярный модуль AA) є напiвдистрибутивним модулем. Напiвдистрибутивне справа i злiва кiльце називається напiвдистрибутивним.

Має мiсце критерiй напiвдистрибутивностi напiвдосконалого кiльця, який належить А.А.Туганбаєву:

Теорема 1.2.16. Напiвдосконале кiльце A напiвдистрибутивне справа (злiва) тодi та тiльки тодi, коли для будь-яких iдемпотентiв e i f кiльця A множина eAf є ланцюговим правим fAf -модулем (ланцюговим лiвим eAe-модулем).

Означення 1.2.20. Напiвдосконале нетерове справа кiльце A таке, що для кожного локального iдемпотента eA кiльце eAe є дискретно нормованим кiльцем (eAe може бути некомутативним), називається напiвмаксимальним.

Основною теоремою про будову напiвмаксимальних кiлець є наступна.

Теорема 1.2.21. Кожне напiвмаксимальне кiльце iзоморфне скiнченному прямому добутку первинних кiлець вигляду

Л = ( 1 ),

де n = 1, – дискретно нормоване кiльце з простим елементом , бij – цiлi та бij+бjkбik для всiх i, j, k, бii=0 для всiх i (цi спiввiдношення називаються кiльцевими нерiвностями).

Зауваження 1.2.22. Ми розглядаємо кiльце , яке вкладене в його тiло часток D.

Переходячи до iзоморфного кiльця, ми можемо вважати, що всi бij є цiлими невiд'ємними числами.

Позначимо через Mn(D) кiльце усiх квадратних матриць (aij) порядку n з коефiцiєнтами з тiла D.

Кiльце Л вигляду (1) с класичним кiльцем часток Q = Mn(D) будемо записувати з допомогою матрицi показникiв E(Л) = (бij) i дискретно нормованого кiльця з тiлом часток D: Л ={,E(Л)}.

Кiльця вигляду (1) називаються черепичними порядками (tiled orders).

Означення 1.2.23. Напiвдосконалe кiльце A називається зведеним, якщо його факторкiльце по радикалу Джекобсона є прямою сумою тiл.

Це означає, що в розкладi кiльця A в пряму суму головних A-модулiв немає iзоморфних. Будь-яке напiвдосконалe кiльце еквiвалентне в розумiннi Морiти зведеному кiльцю.

Твердження 1.2.24. Черепичний порядок Л ={, E(Л)} є зведеним тодi i тiльки тодi, коли матриця (бij) не має симетричних нулiв.

У пiдроздiлi 1.3 “Слабопервиннi кiльця” наводяться необхiднi вiдомостi про первиннi, напiвпервиннi та слабопервиннi кiльця.

Означення 1.3.1. Кiльце A називається напiвпервинним, якщо воно не має ненульових нiльпотентних iдеалiв.

Означення 1.3.2. Кiльце A називається первинним, якщо добуток двох будь-яких ненульових iдеалiв цього кiльця вiдмiнний вiд нуля.

Означення 1.3.3. Кiльце A називається слабопервинним, якщо добуток будь-яких двостороннiх iдеалiв, якi не належать радикалу Джекобсона R кiльця A, вiдмiнний вiд нуля.

Мають мiсце такi властивостi слабопервинних кiлець.

Лема 1.3.4. Якщо кiльце A слабопервинне i e – ненульовий iдемпотент кiльця A, то кiльце eAe також слабопервинне.

Твердження 1.3.5. Нехай A – напiвдосконале кiльце, 1= e1+e2+…+en – розклад 1A в суму попарно ортогональних локальних iдемпотентiв,

Aij =eiAej, (i,j=1,2,…,n).

Для того, щоб кiльце A було слабопервинним, необхiдно i достатньо, щоб множини Aij були вiдмiнними вiд нуля при всiх i,j=1,2,…,n.

У роздiлi 2 “Сагайдаки кiлець” дослiджуються скiнченнi орiєнтовнi графи (сагайдаки), асоцiйованi з напiвдосконалими кiльцями.

У пiдроздiлi 2.1 “Сагайдаки нетерова справа напiвдосконалого кiльця” наводяться означення cагайдакiв нетерова справа напiвдосконалого кiльця та необхiднi теореми.

Нехай A – нетерове справа напiвдосконале кiльце, R – його радикал Джекобсона, P1,P2,…,Ps – всi попарно неiзоморфнi нерозкладнi проєктивнi модулi. Нехай проєктивне накриття P(PiR) модуля PiR має вигляд:

P(PiR)=, i,j=1,2,…,s.

Спiвставимо модулям P1,P2,…,Ps точки (вершини) 1,2,…,s та з'єднаємо вершину i з вершиною j tij стрiлками.

Означення 2.1.1. Одержаний граф називається сагайдаком нетерова справа напiвдосконалого кiльця A та позначається Q(A).

Аналогiчно визначається лiвий сагайдак Q'(A) нетерова злiва напiвдосконалого кiльця A.

Зауважимо, що сагайдак нетерова напiвдосконалого кiльця не змiнюється при переходi до кiлець, якi еквiвалентнi у розумiннi Морiти. Зрозумiло також, що Q(A)=Q(A/R2).

Теорема 2.1.3. Нетерове напiвдосконале кiльце A нерозкладне тодi i тiльки тодi, коли сагайдак Q(A) зв'язний.

Теорема 2.1.4. Сагайдак Q(A) нетерова нерозкладного в прямий добуток напiвдосконалого напiвпервинного кiльця A сильно зв'язний.

Важливу роль в структурнiй теорiї напiвдосконалих кiлець вiдiграє поняття первинного сагайдака напiвдосконалого кiльця.

Нехай I – первинний радикал кiльця A. Розглянемо факторкiльце

,

де кiльця – нерозкладнi i – вiдповiдний розклад в суму попарно ортогональних iдемпотентiв. Позначимо W=I/I2 i спiвставимо iдемпотентам точки 1,2,…,t, з'єднуючи точку i з точкою j стрiлкою тодi i тiльки тодi, коли .

Означення 2.1.5. Одержаний скiнченний орiєнтовний граф називається первинним сагайдаком кiльця A i позначається PQ(A).

Зрозумiло, що сагайдак PQ(A) визначається однозначно з точнiстю до перенумерацiї точок (вершин). Крiм того, зрозумiло, що сагайдак PQ(A) не змiнюється при переходi до кiлець, якi еквiвалентнi в розумiннi Морiти i PQ(A)=PQ(A/I2).

Для сагайдакiв слабопервинного напiвдосконалого кiльця A, мають мiсце наступнi теореми.

Теорема 2.1.6. Сагайдак Q(A) слабопервинного напiвдосконалого нетерова кiльця A, вiдмiнного вiд простого артiнова кiльця, сильно зв'язний.

Теорема 2.1.7. Первинний сагайдак PQ(A) слабопервинного напiвдосконалого кiльця A з нiльпотентним первичним радикалом, вiдмiнним вiд нуля, сильно зв'язний.

У пiдроздiлi 2.2 “Сагайдак напiвдосконалого напiвдистрибутивного кiльця” наводиться основна теорема про будову сагайдака напiвдосконалого напiвдистрибутивного кiльця. Для напiвдосконалих напiвдистрибутивних справа кiлець поняття сагайдака визначене.

Такi кiльця будемо називати SPSDR -кiльцями. Основною теоремою про будову сагайдака напiвдосконалого напiвдистрибутивного кiльця є

Теорема 2.2.1. Нехай A – нетерове SPSDR-кiльце. Тодi з кожної точки Q(A) в iншу (можливо спiвпадаючу з вихiдною) iде не бiльше однiєї стрiлки. Навпаки, якщо є скiнченний граф, який задовольняє цю умову, то iснує SPSDR-кiльце, сагайдаком якого є цей граф.

У пiдроздiлi 2.3 “Сагайдаки чеpепичних поpядкiв” дослiджуються сагайдаки черепичних порядкiв, тобто нетерових напiвдосконалих первинних кiлець. В цьому випадку матриця сумiжностi сагайдака є рiзницею матриць показникiв квадрата радикала та самого радикала Джекобсона черепичного порядку. Приведемо основнi результати цього пiдроздiлу стосовно будови сагайдакiв черепичних порядкiв, якi мають три або чотири вершини.

Нехай Q(Л3) – сагайдак деякого черепичного порядку Л3, який має три вершини. Якщо у Q(Л3) вiдкинути усi петлi, то одержаний сагайдак буде сильно зв'язним сагайдаком з трьома вершинами без петель i кратних стрiлок.

Твердження 2.3.1. Всi графи з трьома вершинами без петель i кратних стрiлок реалiзуються як сагайдаки .

Нехай Q(Л4) – сагайдак деякого черепичного порядку Л4, який має чотири вершини. Якщо у Q(Л4) вiдкинути усi петлi, то одержаний сагайдак буде сильно зв'язним сагайдаком з чотирма вершинами без петель i кратних стрiлок.

За допомогою програм, розроблених та реалiзованих на ПК, одержано

Твердження 2.3.2 . Всi графи з чотирма вершинами без петель i кратних стрiлок реалiзуються як сагайдаки .

Зауважимо, що опис усiх сильно зв'язних графiв без петель i кратних стрiлок, якi мають двi, три або чотири вершини, навiв Ф. Харарi.

У пiдроздiлi 2.4 “(0,1)-порядки i скiнченнi частково впорядкованi множини” наводиться означення дiаграми скiнченної частково впорядкованої множини, описується зв'язок мiж частково впорядкованими множинами та (0,1)-порядками, наводяться частково впорядкованi множини, якi складаються з 1-4 елементiв. Основною теоремою цього пiдроздiлу є теорема про будову зведеного (0,1)-порядку.

Нагадаємо означення ширини частково впорядкованої множини.

Означення 2.4.3. Шириною частково впорядкованої множини S називається максимально можливе число елементiв пiдмножини множини S, яка складається з попарно непорiвнянних елементiв, якщо це число скiнченне.

Позначення ширини S – w(S).

Теорема 2.4.4. Нехай Л – зведений (0,1)-порядок. Тодi з точнiстю до iзоморфiзму його матриця показникiв має вигляд:

E(Л) = , де ,

t=w(S(Л)) – ширина вiдповiдної частково впорядкованої множини S(Л), Rkl (k, l = 1,2,…,t, k ? l) – (0,1)-матрицi розмiру nk nl такi, що будь-який елемент вij матрицi Rkl i вiдповiдний елемент гij матрицi Rlk задовольняють умову вij + гij >0.

У пiдроздiлi 2.5 “Сагайдаки (0,1)-порядкiв” дослiджується будова сагайдакiв (0,1)-порядкiв, вводиться означення q – еквiвалентностi двох частково впорядкованних множин, вказанi q – еквiвалентнi множини, якi складаються з трьох або чотирьох елементiв, наведено сагайдаки (0,1)-порядкiв, якi мають двi, три або чотири вершини, доведенi твердження про наявнiсть та вiдсутнiсть петель у сагайдакiв (0,1)-порядкiв.

Позначимо через Smax множину всiх максимальних елементiв частково впорядкованої множини S, через Smin – множину всiх мiнiмальних елементiв частково впорядкованої множини S, Smax Smin – їх декартовий добуток, а через – сагайдак, який одержується з дiаграми Q(S) додаванням стрiлок уij для всiх (ai,aj)Smax Smin .

Черепичний (0,1)-порядок, який вiдповiдає ч.в.м. S, будемо позначати Л(S).

Основною теоремою цього пiдроздiлу є

Теорема 2.5.2. Сагайдак Q(Л(S)) спiвпадає з сагайдаком .

Означення 2.5.3. Двi скiнченнi частково впорядкованi множини S1 i S2 будемо називати q–еквiвалентними i позначати S1 S2 якщо зведенi (0,1)-порядки Л(S1) i Л(S2) iзоморфнi.

Твердження 2.5.4. Наступнi частково впорядкованi множини, якi складаються з трьох або чотирьох елементiв, є q–еквiвалентними:

S3d S3c ; S4f S4g S4h ; S4i S4j ; S4n S4o .

Вiдзначимо таке

Твердження 2.5.6. Сагайдак (0,1)-порядку не має петель тодi i тiльки тодi, коли вiдповiдна частково впорядкована множина не має елементiв, якi є одночасно мiнiмальними i максимальними.

У пiдроздiлi 2.6. “Сагайдаки черепичних порядкiв, якi не мають петель” наведено опис сагайдакiв черепичних порядкiв, якi мають двi, три або чотири вершини та не мають петель. Має мiсце таке

Твердження 2.6.1. Не всi сильно зв'язнi графи без петель i кратних стрiлок реалiзуються як сагайдаки черепичних порядкiв.

У пiдроздiлi 2.7. “Сагайдаки черепичних порядкiв, матрицi сумiжностей яких кратнi стохастичним матрицям” наведено опис сагайдакiв черепичних порядкiв, якi мають двi, три або чотири вершини та матрицi сумiжностей яких кратнi стохастичним матрицям.

У роздiлi 3 “Iндекси кiлець” дослiджуються iндекси кiлець.

У пiдроздiлi 3.1 “Iндекс напiвдосконалого кiльця” дається означення iндексу напiвдосконалого кiльця, яке було запропоноване В.В. Кириченком.

Нехай A – напiвдосконале кiльце, для якого iснує сагайдак Q(A), [Q(A)] – матриця сумiжностi сагайдака.

Означення 3.1.1. Iндексом напiвдосконалого кiльця A будемо називати максимальне дiйсне власне значення r матрицi сумiжностi [Q(A)] його сагайдака Q(A).

Для iндексу r кiльця A будемо користуватись позначенням in A = r або пpосто in A.

Число вершин сагайдака Q(A) позначимо через s.

Для черепичних порядкiв справджуються наступнi твердження.

Твердження 3.1.2. Нехай Л ={,E(Л)} – черепичний порядок з матрицею показникiв порядку s (s = 3):

E(Л) , де k = 1.

Тодi iндекс кiльця

.

Твердження 3.1.3. Нехай Л ={,E(Л)} – черепичний порядок з матрицею показникiв порядку s (s = 2):

E(Л) , де k = 1.

Тодi iндекс кiльця

.

Для сагайдакiв черепичних порядкiв справедлива

Теорема 3.1.4. Серед сагайдакiв черепичних порядкiв, якi мають s вершин (s=2), iснує тiльки один сагайдак, матриця сумiжностi якого має максимальне дiйсне власне значення r = s.

У пiдроздiлi 3.2 “Iндекс напiвдосконалого напiвдистрибутивного кiльця” дослiджуються властивостi iндексу in A напiвдосконалого напiвдистрибутивного кiльця A.

Границi iнтервалу можливих значень iндексу in A напiвдосконалого напiвдистрибутивного кiльця A встановлює

Теорема 3.2.1. Нехай A –напiвдосконале напiвдистрибутивне кiльце. Тодi

0 = in A = s,

де s – число вершин сагайдака Q(A).

Теорема 3.2.2. Для довiльного цiлого i, 1 = i = s iснує напiвдосконале напiвдистрибутивне кiльце A, сагайдак якого мiстить s вершин i in A = i

У пiдроздiлi 3.3 “Iндекс напiвдосконалого слабопервинного кiльця” дослiджується iнтервал можливих значень iндексу in A напiвдосконалого слабопервинного кiльця A.

Границi iнтервалу iндексу in A за умови напiвланцюговостi кiльця A встановлює

Теорема 3.3.1. Наступнi умови рiвносильнi для нетерова слабопервинного напiвдосконалого кiльця A:

(a) кiльце A напiвланцюгове;

(b) in A = 1.

У пiдроздiлi 3.4 “Iндекс нетерова справа напiвдосконалого напiвдистрибутивного i напiвпервинного кiльця” дослiджується iнтервал можливих значень iндексу in A нетерова справа напiвдосконалого напiвдистрибутивного i напiвпервинного кiльця A.

Границi iнтервалу iндексу in A за умови спадковостi кiльця A встановлює

Теорема 3.4.1. Наступнi умови рiвносильнi для нетерова справа напiвпервинного напiвдосконалого напiвдистрибутивного кiльця A:

(a) кiльце A спадкове;

(b) in A = 1.

У пiдроздiлi 3.5 “Iндекси (0,1)-порядкiв” дослiджуються властивостi iндексу in Л (0,1)-порядку ?, наводяться iндекси (0,1)-порядкiв, сагайдаки яких мають двi, три або чотири вершини.

Нехай Л – (0,1)-порядок, S(Л) – вiдповiдна частково впорядкована множина (див. пiдрозд.2.4), w(S(Л)) – ширина S(Л).

Границi iнтервалу можливих значень iндексу in Л за умови спадковостi кiльця Л встановлює загальна

Теорема 3.5.1. Для (0,1)-порядку Л має мiсце нерiвнiсть

0 ? in Л ? w (Л).

Вiдзначимо наступну теорему про iндекси (0,1)-порядкiв, сагайдаки яких мають парну кiлькiсть вершин.

Теорема 3.5.2. Для кожного натурального m iснує (0,1)-порядок Щ2m, який лежить в M2m(D) та такий, що in Щ2m = m.

Зауваження 3.5.3. (0,1)-порядок, який задовольняє умови теореми, може бути не єдиним. Наприклад, для m=2 (0,1)-порядки Л4e, Л4l, Л4m, (див. Рис.2.1) мають iндекс 2.

У пiдроздiлi 3.6 “Iндекси черепичних порядкiв, сагайдаки яких мають три або чотири вершини” наведенi черепичнi порядки, iндекси яких є цiлими та сагайдаки яких мають три або чотири вершини.

У пiдроздiлi 3.7 “Iндекси спадкових артiнових i напiвспадкових напiвдосконалих кiлець” дослiджуються iндекси спадкових артiнових i напiвспадкових напiвдосконалих кiлець.

Теорема 3.7.1. Iндекс спадкового артiнового кiльця дорiвнює нулю.

Нехай A – напiвдосконале кiльце, PQ(A) – його первинний сагайдак, [PQ(A)] – матриця сумiжностi первинного сагайдака.

Означення 3.7.2. Первинним iндексом напiвдосконалого кiльця A будемо називати максимальне дiйсне власне значення матрицi сумiжностi [PQ(A)] його первинного сагайдака i позначати p.in A.

Теорема 3.7.3. Первинний iндекс напiвспадкового напiвдосконалого кiльця A дорiвнює нулю.

В додатку А наведено текст програми, яка обчислює матрицi сумiжностей сагайдакiв з чотирма вершинами зведених черепичних порядкiв.

ВИСНОВКИ

В дисертацiї одержано ряд результатiв про властивостi напiвдосконалих напiвдистрибутивних кiлець та асоцiйованих з ними скiнченних орiєнтовних графiв (сагайдакiв).

Доведено, що усi сильно зв'язнi графи з двома – чотирма вершинами без петель i кратних стрiлок i тiльки вони реалiзуються як сагайдаки черепичних порядкiв з точнiстю до операцiї вiдкидання петель.

Доведено, що зведений (0,1)-порядок має в своєму пiрсовському розкладi спадковi порядки, кiлькiсть яких дорiвнює ширинi вiдповiдної частково впорядкованої множини.

Доведено, що сагайдак Q(Л(S)) (0,1)-порядку Л спiвпадає з сагайдаком , який одержується з дiаграми Q(S) вiдповiдної скiнченної частково впорядкованої множини S додаванням всiх стрiлок, якi починаються в максимальних елементах i закiнчуються в мiнiмальних елементах.

Доведено, що сагайдак (0,1)-порядку не має петель тодi i тiльки тодi, коли вiдповiдна частково впорядкована множина не має елементiв, якi є одночасно мiнiмальними i максимальними.

Доведено, що сагайдак (0,1)-порядку Л, який лежить в Mm(D), не може мати m-1 петлю.

Описанi (0,1)-порядки, сагайдаки яких мають двi, три або чотири вершини.

Описанi черепичнi порядки, сагайдаки яких мають двi, три або чотири вершини та не мають петель.

Описанi черепичнi порядки, сагайдаки яких мають двi, три або чотири вершини та матрицi сумiжностей яких кратнi стохастичним матрицям.

Дослiджено такi властивостi iндексiв напiвдосконалих кiлець.

Доведено, що iнтервалом можливих значень iндексу in A напiвдосконалого напiвдистрибутивного кiльця A, сагайдак якого має s вершин, є [0,s].

Доведено, що для будь-якого цiлого i з вiдрiзку можливих значень iндексу [0,s] iснує напiвдосконале напiвдистрибутивне кiльце Ai, сагайдак якого має s вершин та iндекс якого дорiвнює i.

Доведено, що для нетерова слабопервинного напiвдосконалого кiльця A напiвланцюговiсть кiльця A та умова in A = 1 рiвносильнi.

Доведено, що для нетерова справа напiвдосконалого напiвдистрибутивного напiвпервинного кiльця A спадковiсть кiльця A та умова in A = 1 рiвносильнi.

Доведено, що iнтервалом можливих значень iндексу in Л (0,1)-порядку Л є iнтервал [0,w(S(Л))], де w (S(Л)) – ширина вiдповiдної частково впорядкованої множини S(Л).

Доведено iснування (0,1)-порядку Щ2m, який лежить в M2m(D) та такого, що in Щ2m = m.

Наведенi iндекси (0,1)-порядкiв, сагайдаки яких мають двi, три або чотири вершини.

Наведенi черепичнi порядки, iндекси яких є цiлими та сагайдаки яких мають три або чотири вершини.

Доведено, що iндекс спадкового артiнового кiльця дорiвнює нулю.

Доведено, що первинний iндекс напiвспадкового напiвдосконалого кiльця дорiвнює нулю.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Кириченко В.В., Мащенко Л.З., Цюпій Т.І., Шемотюк Т.М. Скінченні орієнтовні графи і невідўємні матриці // Вісник Київського університету. Серія: фізико – математичні науки. – 1997. – № 4. – С. 51-58.

2. Цюпій Т.І. Напівмаксимальні кільця та їх сагайдаки // Вісник Київського університету. Серія: фізико – математичні науки. – 1999. – № 1. – С. 94-100.

3. Цюпий Т.И. Колчаны и индексы полумаксимальных колец // Известия Гомельского государственного университета. – 2001. – в. 3 (6). – C.114-123.

4. Цюпій Т. Сагайдаки напівмаксимальних кілець // Пўята Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М. Кравчука (16–18 травня 1996 р., Київ). Тези доповідей. – К. – 1996. – С. 476.

5. Kirichenko V.V., Tsypiy T.I. Tiled orders and their quivers // Representation theory and computer algebra. – K. – 1997. – P. 20-22.

6. Kirichenko V.V., Maschenko L.Z., Shemotyuk T.L., Tsypiy T.I. Non–negative matrices and finite oriented graphs // Міжнародна алгебраїчна конференція, присвячена памўяті професора Л.М. Глускіна (1922–1985). – Словўянськ, Донецька область, Україна, 25–29 серпня 1997. – С. 101-103.

7. Кириченко В.В., Цюпий Т.И. Об индексе полусовершенных колец // Працi конференцiї “Моделювання та оптимiзацiя складних систем”, присвяченої 65-рiччю вiд дня народження члена-кореспондента НАН України Бублика Б.М. – Київ, 25–28 сiчня 2001. – С. 29-30.

8. Цюпий Т.И. Индексы полусовершенных колец // Труды третьей международной алгебраической конференции в Украине. – Сумы, 2–8 июля 2001. – С. 270.

АНОТАЦІЇ

Цюпій Т.І. Напівдосконалі напівдистрибутивні кільця та асоцiйованi з ними скiнченнi орiєнтовнi графи. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

В дисертацiї одержано ряд результатiв про напiвдосконалi напiвдистрибутивнi кiльця та асоцiйованi з ними скiнченнi орiєнтовнi графи (сагайдаки).

Дослiджено будову та властивостi сагайдакiв черепичних порядкiв, якi мають двi, три або чотири вершини. Доведено, що усi сильно зв'язнi графи з двома, трьома або чотирма вершинами без петель i кратних стрiлок i тiльки вони реалiзуються як сагайдаки черепичних порядкiв з точнiстю до операцiї вiдкидання петель.

Дослiджено будову (0,1)-порядкiв та властивостi їх сагайдакiв. Доведено, що зведений (0,1)-порядок має в своєму пiрсовському розкладi спадковi порядки, кiлькiсть яких дорiвнює ширинi вiдповiдної частково впорядкованої множини. Доведено, що сагайдак (0,1)-порядку можна одержати з дiаграми вiдповiдної скiнченної частково впорядкованої множини за певним правилом.

Дослiджено властивостi iндексiв напiвдосконалих кiлець. Доведено, що iнтервалом можливих значень iндексу in A напiвдосконалого напiвдистрибутивного кiльця A, сагайдак якого має s вершин, є [0,s]. Знайдено також iнтервали можливих значень для iндексiв iнших класiв напiвдосконалих кiлець.

Описанi (0,1)-порядки, сагайдаки яких мають двi, три або чотири вершини.

Ключові слова: напівдосконале напівдистрибутивне кільце, черепичний порядок, матриця показників напівмаксимального кільця, сагайдак кільця, матриця суміжності сагайдака, iндекс кільця.

Цюпий Т.И. Полусовершенные полудистрибутивные кольца и ассоциированные с ними конечные ориентированные графы. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

В диссертации получен ряд результатов о полусовершенных полудистрибутивных кольцах и ассоциированных с ними конечных ориентированных графах (колчанах).

Исследованы строение и свойства колчанов черепичних порядков, которые имеют две, три или четыре вершины. Доказано, что все сильно связные графи с двумя, тремя или четырьмя вершинами без петель и кратных стрелок и только они реализуются как колчаны черепичних порядков з точностью до операции отбрасывания петель.

Описаны черепичные порядки, колчаны которых имеют две, три или четыре вершины и не имеют петель, а также черепичные порядки, колчаны которых имеют две, три или четыре вершины и матрицы смежностей которых кратны стохастическим матрицам.

Приведены черепичные порядки, индексы которых являются целыми числами и колчаны которых имеют три или четыре вершины.

Исследованы строение (0,1)-порядков и свойства их колчанов. Изучена связь (0,1)-порядков и их колчанов с конечными частично упорядоченными множествами и их диаграммами.

Доказано, що приведенный (0,1)-порядок имеет в своём пирсовском разложении наследственные порядки, число которых равно ширине соответствующего частично упорядоченного множества.

Доказано, что колчан Q(Л(S)) (0,1)-порядка Л совпадает с колчаном , который получается из диаграммы Q(S) соответствующего частично упорядоченного множества S добавлением всех стрелок, которые начинаются в максимальных элементах и заканчиваются в минимальных элементах.

Доказано, что колчан (0,1)-порядка не имеет петель тогда и только тогда, когда соответствующее частично упорядоченное множество не имеет элементов, которые одновременно являются минимальными и максимальными.

Доказано, что колчан (0,1)-порядка Л, который лежит в Mm(D), не может иметь m-1 петлю.

Описаны (0,1)-порядки, колчаны которых имеют две, три или четыре вершины.

Исследованы свойства индексов полусовершенных колец.

Доказано, что интервалом возможных значений индекса in A полусовершенного полудистрибутивного кольца A, колчан которого имеет s вершин, есть интервал [0,s] и для любого целого i[0,s] существует полусовершенное полудистрибутивное кольцо Ai, колчан которого имеет s вершин и индекс которого равен i. При условии, что полусовершенное кольцо A является нётеровым слабопервичным полуцепным кольцом или нётеровым справа полудистрибутивным полупервичным наследственным кольцом, интервал возможных значений индекса in A сужается до [0,1], а индекс наследственного артинова кольца равен нулю. Доказано также, что интервалом возможных значений индекса inЛ (0,1)-порядка Л является интервал [0,w(S(Л))], где w(S(Л)) – ширина соответствующего частично упорядоченного множества S(Л).

Ключевые слова: полусовершенное полудистрибутивное кольцо, черепичний порядок, матрица показателей полумаксимального кольца, колчан кольца, матрица смежности колчана, индекс кольца.

Tsupiy T.I. Semi-perfect semi-distributive rings and finite oriented graphs associated with them. Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 – algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2002.

In the dissertation some results about semi-perfect semi-distributive rings and finite oriented graphs associated with them (quivers) are obtained.

The structure and properties of the quivers of the tiled orders with two, three or four vertices are considered. It is proved that all strongly connected graphs with two, three or four vertices and without loops and multiple arrows and only they are realized as quivers of the tiled orders up to the operation of throw away of the loops.

The structure of the (0,1)-orders and properties of their quivers are considered. It is proved that the reduced (0,1)-order have in their Peirce decomposition the hereditary orders, number of them is equal to the width of the corresponding poset (partially ordered set). It is proved that one can get a quiver of the (0,1)-order from the diagram of the corresponding poset.

The properties of the indexes of the semi-perfect rings are considered. It is proved that the interval of the possible values of the index in A of the semi-perfect semi-distributive ring A, which have a quiver with s vertices, is [0,s]. The intervals of the possible values of the indexes of other classes semi-perfect rings are obtained.

The (0,1)-orders whose quivers have two, three or four vertices are described.

Key words: semi-perfect semi-distributive ring, tiled order, the matrix of the exponents of the semi-maximal ring, the quiver of the ring, the adjacency matrix of the quiver, the index of the ring.