Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет

імені Івана Франка

ДОМАНСЬКА Галина Петрівна

УДК 517.95

ЗАДАЧІ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛІЧНИХ СИСТЕМ

ТА ВАРІАЦІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ

В НЕОБМЕЖЕНИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 – диференціальні рівняння

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор Лавренюк Сергій Павлович,

професор кафедри диференціальних рівнянь Львівського

національного університет імені Івана Франка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Гладков Олександр Львович,

завідувач кафедри геометрії і математичного аналізу

Вітебського державного університету, Білорусь;

кандидат фізико-математичних наук,

доцент Нитребич Зіновій Миколайович,

доцент кафедри обчислювальної математики і програмування

Національного університету “Львівська політехніка”

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

кафедра математичної фізики

Захист відбудеться 18 квітня 2002 року

о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02

у Львівському національному університеті імені Івана Франка

за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, , аудиторія 377

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці

Львівського національного університету імені Івана Франка

(м. Львів, вул. Драгоманова, ).

Автореферат розісланий 14 березня 2002 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Бокало М.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Багато явищ у природі, науці та техніці моделюють псев-до-па-раболіч-ни-ми рівняннями. Прикладами цього є процеси фільтрації рідини в се-ре-до-ви-щах з подвійною пористістю, передачі тепла в гетерогенному середовищі, пе-ре-несення вологи в грунті. Також псевдо-па-раболічні рів-нян-ня в частинних похідних тре-тього по-рядку описують ди-фу-зію у тріщину-ва-тому середовищі з поглинанням або част-ковим насиченням, процес застигання клею. Ці рівняння з’явля-ють-ся при ви-вченні дво-фазної задачі Стефана, у механіці флюїдів і механіці суцільного середо-ви-ща та ін-ших задачах.

Активне вивчення псевдопараболічних рівнянь та їх систем почалося в 50-х роках 20-го століт-тя. На сучасному етапі для псевдопараболічних систем достатньо повно до-слі-дже-ні мі-ша-ні задачі в обмежених областях та задачі Коші. Дослідженню класів єди-нос-ті розв’язків цих задач при-свячені пра-ці Рандела В. (Rundell W.), Коснера К. (CosГладкова О.Л. та ін. Однозначну роз-в’яз-ність за-да-чі Коші до-ведено в працях Ко-жанова О.І., Гладкова О.Л., Ба-кі-є-вич Н.І., Атаманова Е.Р., Гопала Рао В.Р. (Gopala Rao V.R.), Тінга Т.В. (Ting T.W.), Ліу Яченга (Liu Yacheng). Для псевдо-па-ра-болічних опе-раторних рівнянь Брілл Х. (Brillдовів локальну роз-в’яз-ність задачі Коші, а Цу-цу-мі Масайоші (Tsutsumi Masayoshi) та Матахаші Томомі (Matahashi Tomomi) – дос-тат-ні умови існування та єдиності силь-ного розв’язку.

Дієвими методами дослідження псевдопараболічних рівнянь та систем є апрі-ор-ні оцін-ки роз-в’яз-ку та оцінки типу принципу Сен-Венана, які одержано в працях Хіль-ке-вич Г.І., Іскенде-ро-ва І.Т., На-мазова Г.К., та аналог методу Гальоркіна для рів-нянь зазна-че-ного типу, описаний у пра-цях Ляш-ка С.І., Ляшка І.І., Форда В. (FordЯгодзінь-ського Т. (JagodzinskiНеобме-же-ність області за-дан-ня рів-нян-ня чи системи накла-дає відбиток на методику дослідження. Гілберт Р. (GilbertКолтон Д. (ColtonВімп Й. (WimpАбдрах-манов М.А., Ма-ла-хов-ська Р.М. ви-вча-ли фундамен-таль-ні роз-в’яз-ки псевдопа-рабо-лічних рівнянь та їх асимптотичну по-ве-дін-ку в півпросторі. Задачі Фур’є в обме-же-них за просторовими змінними облас-тях розглянуто в працях Лавреню-ка С.П., Колінь-ко М.О., Пташник М.Б.

Актуальним напрямком у теорії псевдопараболічних рівнянь є варіаційні не-рів-нос-ті, які для рівнянь вказаного типу вперше розглянув Скарпіні Ф. (Scarpini

Задачі для псевдопараболічних рівнянь, їх сис-тем та варіаційних нерівнос-тей в необмежених областях мало досліджені, а в деяких випадках їх теоретичні дослі-дження відсутні взагалі. Вивченню таких задач присвячена ця робота.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна ро-бота вико-на-на в рамках нау-ко-во-дос-лідної роботи “Побудова математичних моделей та розробка методів дослідження крайо-вих задач для диференціальних рівнянь і випад-ко-вих ево-лю-цій” (номер держреєстрації 0100U001411).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає у дослідженні коректності задач для деяких класів псевдопараболічних систем рівнянь і варіаційних нерівностей в необмежених областях та вивченні поведінки роз-в’яз-ків цих задач.

Задачі дослідження:

–

–

–

Об’єкт дослідження: псевдопараболічні системи рівнянь і варіаційних нерів-нос-тей.

Предмет дослідження: розв’язність та якісна поведінка розв’язків задач для псев-до-пара-бо-лічних систем рівнянь і варіаційних нерівностей в необмежених областях.

Методи дослідження: аналог методу Гальоркіна, методи штрафу, регуляризації, мо-но-тон-ності та ком-пакт-ності.

Наукова новизна одержаних результатів.

1.

2.

3.

4.

5.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають тео-ре-тичний харак-тер. Вони можуть використовуватись при подальших досліджен-нях од-но-значної розв’язності псевдопараболічних систем рівнянь та варіаційних нерівностей. Їх також можна використати в прикладних дослідженнях, зокрема, при визначенні швид-кос-ті перенесення вологи в грунті, у дослідженні процесів тепло-про-відності з ура-ху-ван-ням термодинамічної температури та температури про-від-ності, а також у механі-ці флюїдів.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи одер-жані ав-то-ром самос-тій-но. У спільних з науковим керівником працях [2, 5, 8, 10] Лавреню-ку С.П. належать формулювання задач та аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, які включені до ди-сер-тації, допо-ві-да-лися та обговорювались на:

–

–

–

–

–

–

–

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 12 працях, з них 6 – у нау-ко-вих математичних журналах, 6 – у тезах конференцій. Серед публікацій 6 праць у ви-даннях з переліку ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, вис-новків і списку використаних джерел (91 найменування, 9 сторінок) та викладена на 158 сторінках машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано короткий огляд результатів, які мають безпо-середнє від-но-шен-ня до теми роботи, обгрунтовано її актуальність, вказано мету і задачі дослідження, наукову новизну, практичне значення, апробацію одержаних результатів, кількість пуб-лі-ка-цій та структуру роботи.

У першому розділі подано огляд праць щодо задач для псевдопараболічних рів-нянь, систем рів-нянь та варіаційних нерівностей в необмежених областях. Також сфор-му-льовано основні ре-зуль-тати дисертаційної роботи.

У другому розділі досліджено задачі для лінійних псевдопараболічних систем рів-нянь в необмежених за просторовими змінними областях вигляду Q=(0,T), де – необмежена область в Rn з кусково-гладкою межею Г, 0<T<+.

Підрозділ 2.1 присвячено знаходженню класів однозначної роз-в’язності мі-ша-ної задачі

H(x)ut –+D(x,t)u=F(x,t)(x,t)Q, (1)

ut=0=u0(x) x, (2)

u(0,T)=0. (3)

Тут і надалі Aij, Bij, Ci, D, H – функції, які визначені на Q і приймають значення в просторі матриць розміру mm, m – довільне натуральне число, {i, j,…, nu=col(u1,K,um), F(x,t)= col(F1(x,t),K,Fm(x,t)).

Припустимо, що для функцій Aij, Bij, D, H виконуються відповідно такі умови:

(A): (Aij(x,t)ij)a(x), a0, aC1(); Aij = Aji, Aij =;

(B): (Bij(x,t)ij)b(x), b0, bC1(); Bij = Bji, Bij =;

(D): (D(x,t),)d(x)2, d>0, dC(); D=;

(H): h(x)2 (H(x),) h(x)2, h>0, hC(); и>1; H=HT

для довільних (x,t)Q, {о, оi, оj}Rm (=col(1,...,m), 2=12+...+m2).

Нехай ? – додатна, визначена на функція, що належить до простору C(). Оз-на-чи-мо простори Va,b,л(Q) (л>0) та Vш(Q) як за-ми-кан-ня множини функцій C( [0,T];((Щ))m) відпо-від-но за нормами

,

,

а Ua,b,л(Щ), Uш(Щ) – як за-ми-кан-ня множини ((Щ))m відповідно за нормами

[(d(x)+h(x))w2+(b(x)+a(x))wx2] e-xdx

.

Дослідження в другому розділі йде в двох напрямках, залежно від поведінки ко-ефіцієнтів Aij(x,t) та Bij(x,t). У випадку, коли Aij(x,t) та Bij(x,t) є додатно ви-зна-че-ни-ми, тобто a(x)a0>0, b(x)b0>0, доведено од-но-значну розв’язність задачі (1) – (3) в просторі Vш(Q). Якщо ж ці коефіцієнти вироджуються, тобто для довільних {оi, оjRm та для всіх (x,t)Q виконуються умови

(Aи): (Aij(x,t)ij)a(x), a0, и>1,

(Bи): (Bij(x,t)ij)b(x), b0, и>1,

в роботі доведено існу-ван-ня та єдиність узагальненого розв’язку задачі (1) – (3) з простору Va,b,л(Q).

Умови існування та єдиності розв’язку задачі (1) – (3) визначені в таких теоремах.

Теорема 1. Нехай для коефіцієнтів системи (1) виконуються умови (A), (B), (D), (H),

(Dи): (D(x,t),) d(x)2, и>1–const,

, нi – const, i{1,2}, (4)

Aij(x,t) Aij(x), a(x)a0>0, b(x)b0>0, x;

, ,

Aij, H, D, {Ci,Bij,Bijt,Dt.

Нехай функція C1().така, що

(5)

для довільного x, де 0<4n2<a0. Тоді задача (1) – (3) не матиме більше одного узагальненого розв’язку в просторі Vш(Q).

Теорема 2. Нехай для коефіцієнтів системи (1) виконуються умови (A), (Aи), (B), (Bи), (D), (Dи), (H), (4); Aij(x,t) Aij(x);

{Aij,H, Bij,D, Ci, Bij,Dt;

, , , ;

0<<, нi – const, i{1,2}. (6)

Тоді задача (1) – (3) не може мати більше одного узагальненого розв’язку з прос-то-ру Va,b,л(Q), де .

Теорема 3. Нехай для коефіцієнтів системи (1) виконуються умови теореми 1, , u0Uш(Щ). Тоді існує узагальнений розв’язок задачі (1) – (3) в прос-торі Vш(Q).

Теорема 4. Нехай для коефіцієнтів системи (1) виконуються умови теореми 2, , u0Ua,b,л(Щ). Тоді існує узагальнений розв’язок задачі (1) – (3) в просторі Va,b,л(Q).

Треба зазначити, що теореми 1 та 3 стверджують існування розв’язку мішаної за-да-чі з відмінною від експоненціальної поведінкою. Зокрема відомий результат Рандела В. (RundellW.) про експоненціальну поведінку розв’язку при x випливає з теорем 1 і 3 як наслідок, якщо H(x)I, де I– одинична матриця.

У підрозділі 2.2 розглянуто задачу (1), (2) в смузі Rn(0,T), коли H(x)I – оди-нич-на матри-ця і коефіцієнти системи (1) і початкова функція є періодичними (з пе-рі-одом 2?, н>0) ?тосовно кож-ної просторової змінної функціями. Для цієї задачі до-ве-дено існування та єдиність узагальненого розв’язку, розв’язку майже скрізь та кла-сич-ного розв’язку за допомогою методу Гальоркіна та спе-ці-аль-ним чином вибраної ба-зи функціонального простору.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячено вивченню в області Q мішаної задачі для нелі-ній-ної псев-до-пара-бо-ліч-ної системи рівнянь

G(ut)– +D(x,t,u;p)=F0(x,t)– (7)

ut=0=u0, (8)

u(0,T)=0. (9)

Тут Fi(x,t)=col(Fi1(x,t),..., Fim(x,t)), i{0,...,n}, 2<г, 2pг,

G(w)=col(w1-2w1,..., wm-2wm),

di – скалярні функції.

Відомим є той факт, що класами єдиності розв’язків лінійних параболічних рів-нянь в не-об-ме-же-них областях є функції, які зро-ста-ють не швидше, ніж , де ста-лі C і ? визначаються коефіцієнтами рівняння. Для лі-нійних псевдопа-ра-бо-ліч-них рів-нянь зі сталими ко-ефіцієнтами подібним результатом є вже згаданий результат Ран-дела В. (функції, що мають поведінку ). Проте Бре-зіс Х. та Бокало М.М. на-ве-ли приклади нелінійних параболічних та еліп-тичних рів-нянь, для яких довели іс-ну-вання та єдиність розв’язків з довільною поведінкою на не-скін-чен-ності. Ана-ло-гом саме цих результатів для систем рівнянь пседопараболічного типу є тео-реми 5, 6.

Теорема 5. Нехай коефіцієнти системи (7) задовольняють умови (A), (B), (D); p=2; Aij, Bij, Bijt, D, Dt }; 2<г<2n/(n-2) при n>2 і 2<г при n,2}. Якщо існує уза-галь-нений розв’язок задачі (7) – (9), то він єдиний.

Теорема 6. Нехай коефіцієнти системи (7) задовольняють умови (A), (B), (D); Aij,Bij,Bijt, D,Dt при p=2 і ds,dstL(Q) s,...,mпри p>2; u0, F0, Fi i,...,n; 2<г<2n/(n-2) при n>2 і 2<г при n,2}. Тоді існує узагальнений розв’язок задачі (7) – (9).

При доведенні цих теорем використано аналог методу Гальоркіна, метод регуляризації та властивості мо-но-тонності функцій D(x,t,w;p) і G(w).

Задачі Фур’є (задачі без початкових умов) для псевдопараболічних систем рівнянь і варіаційних нерівностей досліджені в четвертому розділі. У пер-шо-му підроз-ді-лі розглянуто задачу Фур’є для лінійної псевдопараболічної системи рів-нянь (1) при H(x)I (I – оди-нична матриця) в нециліндричній області. Для цієї за-да-чі доведено існування та єдиність узагальненого роз-в’язку в класах функцій експонен-ціального зрос-тан-ня , де додатні сталі ? та ? визначаються ко-ефіцієнтами системи і певним чином пов’язані між собою.

Підрозділ 4.2 присвячений задачі Фур’є для нелінійної псевдопараболічної сис-те-ми рівнянь в області QT=Щ(–,T), тобто задачі

H(x)ut–+D(x,t)u–

+A0(x,u)+B(u)=F0(x,t)– (10)

u(-,T)=0, (11)

де Ai=col(), Fi=col(Fi1,...,Fim), i,...,n; B(u) – оператор штрафу, г – додатний параметр. Припускатимемо, що Ai, i0,1,...,m}, є каратеодорівськими функціями, які задовольняють умови

(Ai(x,0,1,...,n)– Ai(x,0,1,...,n),i–i)+(A0(x,0)– A0(x,0),0–0)

(x)(i–ip+0–0p), p>2, >0, C(),

Aj(x,0,1,...,n)(x)(ip-1+0p-1) j{1,...,n}, – const,

A0(x,0)0(x)0p-1) 0 – const (12)

для всіх {о0,о1,...,оn, ж0,ж1,...,жnRm та для майже всіх (x,t)QT.

Нехай , (p>2), – за-ми-кан-ня множини від-по-відно за нормами

, ,

;

V=. Через K позначимо опуклу і замкнену під-мно-жину мно-жи-ни V, яка містить нульовий елемент.

У припущенні, що виконуються умови (Aи), (H), доведено існування та єди-ність узагальненого роз-в’яз-ку задачі (10), (11), тобто функції u з простору , яка задовольняє (10) в сенсі інтеграль-ної тотожності по області ?(t1,t2) для будь-яких t1, t2 (–<t1< t2T).

Теорема 7. Нехай для коефіцієнтів системи (10) виконуються умови (A), (Aи), (B), (D), (H), (12); b(x)b0>0, d(x)d0>0, xЩ; 4b0d0n0, де ; Bij,Ci,D, Aij,H ;

нехай існує така додатна функція сC(), що

-2/(p-2)L1(), (x)(h(x))p/2(x), (x)(a(x))p/2(x) xЩ.

Тоді задача (10), (11) не може мати більше одного узагальненого розв’язку.

Теорема 8. Нехай для коефіцієнтів системи (10) виконуються умови теореми 7 і, крім того, 4b0d0n>0, {Bij,Ci,D, ,

-1/ph-1/2F0, -1/pa-1/2FiC((-,T];(Lp/(p-1)())m), i{1,...,n}.

Тоді існує узагальнений розв’язок задачі (10), (11).

Зазначимо, що на відміну від лінійних систем, для яких існування та єдиність роз-в’яз-ку задачі Фур’є вдається довести лише при певних умовах на поведінку розв’язку при t–, у теоремах 7 та 8 не зроблено таких припущень.

У підрозділі 4.3 розглянуто задачу без початкових умов для системи псевдопа-ра-бо-лічних варіаційних нерівностей в області QT, яка формулюється таким чином.

Нехай , – спряжений до Vл(Щ) простір, K – опуклий і замкнений конус, що належить до Vл(Щ); ((-,T];X) – простір функцій, які локально інтегровні з квадратом за Бохнером з ва-гою eмt і діють з про-міжку (–,T] в банахів простір X, ((-,T];X) – відповідний простір Соболє-ва. Задача полягає у відшуканні такої функції, u((-,T];V()), що (u+ut)K для майже всіх t(–,T] і u задовольняє нерівність

(13)

для всіх [t1,t2](–,T] і для довільної функції v((-,T];V()) такої, що (н+нt)K для майже всіх t(–,T].

Доведено коректність цієї задачі. При цьому показано, що додатні сталі ? і ? ви-зна-чаються коефіцієнтами системи (13) і між ними існує зв’язок типу нерівності. У ро-бо-ті наведено приклад, який ілюструє істотність цього зв’язку. Також показано як із даної задачі можна отримати некласичну задачу для системи рівнянь.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена побудові класів однозначної розв’язності за-дач для деяких класів псев-допа-ра-болічних систем рівнянь та варіаційних нерівнос-тей в не-об-ме-же-них областях та вивченню поведінки цих розв’язків.

У дисертації для систем рівнянь та варіаційних нерівностей псевдопараболічно-го типу одержано такі результати:

–

–

–

–

–

Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть викорис-то-ву-ва-тись при по-даль-ших дослідженнях коректної розв’язності псевдопараболічних систем рів-нянь та варіа-цій-них нерівностей. Їх також можна використати в прикладних дослі-джен-нях, зокрема, при визна-ченні швидкості перенесення вологи в грунті, в дослі-джен-ні процесів теплопровідності з ура-ху-ван-ням термо-ди-на-мічної температури та темпе-ра-ту-ри провідності, а також в механіці флюїдів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

АНОТАЦІЯ

Доманська Г.П. Задачі для псевдопараболічних систем та варіаційних нерів-ностей в необ-ме-же-них областях. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спе-ціаль-ніс-тю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний уні-вер-си-тет імені Івана Франка, Львів, 2001.

Дисертація присвячена дослідженню коректності задач для псевдопараболічних сис-тем рівнянь та варіаційних нерівностей і властивостей розв’язків цих задач. За до-по-могою аналогу методу Гальоркіна, методів штрафу, регуляризації, мо-но-тон-ності та ком-пактності доведено існування та єдиність узагальнених розв’язків мішаних задач та задачі з періодичними крайовими умовами (у випадку пе-ріодичних коефіцієнтів) для лінійних систем рівнянь, мішаних задач для не-лі-ній-них систем рівнянь, задач Фур’є для лінійних і нелінійних систем рівнянь та систем ва-рі-аційних нерівностей.

У випадку нелінійних систем показано, що класи коректності розв’язку не зале-жать від поведінки розв’язку відповідної задачі на нескінченності. Для лінійних систем ви-значено швидкість зростання розв’язку на нескінченності.

Ключові слова: псевдопараболічна система рівнянь, псевдопараболічна система ва-рі-аційних нерівностей, метод Гальоркіна, метод регуляризації, метод монотон-нос-ті, ме-тод компактності, метод штрафу.

ABSTRACT

Domans’ka H.P. The problems for pseudoparabolic systems of equations and variational inequalities in unbounded domains. – Manuscript.

Thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph.D), speciality 01.01.02 – Differential Equations. – The Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2001.

The dissertation is devoted to the research of correctness of problems for pseudoparabolic systems of equations and variational inequalities and solutions’ properties of these problems. The Galerkin method analog, regularization method, monotonicity method, compactness methods are using for establishing of correctness of initial-boundary value problem and periodical-boundary value problem (with periodic coefficients) for linear systems of equations, initial-boundary value problem for nonlinear system of equations, Fourier problem for linear and nonlinear system of equations and for system of variational inequalities.

It is shown that correctness classes do not depend on solution behavior on the infinity in the case of nonlinear system. The correlation between behavior of righthand side and initial function and behavior of solution is indicated in linear case.

Key words: pseudoparabolic system of equations, pseudoparabolic system of variational inequalities, Galerkin method, regularization method, monotonicity method, compactness method, penalty method.

АННОТАЦИЯ

Доманская Г.П. Задачи для псевдопараболических систем и вариационных неравенств в неограниченных областях. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Львовский наци-ональ-ный универ-си-тет имени Ивана Франко, Львов, 2001.

Диссертация посвящена исследованию корректности задач для псевдопара-болических систем уравнений и вариационных неравенств в неограниченных по пространственным переменным областях, а также свойств решений этих задач. В частности, в работе рассмотрены следующие задачи:

–

–

–

–

–

Доказано однозначную разрешимость выше перечисленных задач.

Для линейных псевдопараболических систем уравнений получены классы однозначной разрешимости – функции экспоненциального поведения на бесконеч-ности. Рассмотрена также линейная система, обобщенные решения смешанной задачи кото-рой име-ют поведение отличное от экспоненциального. В случае задачи без на-чальных условий для линейных псевдопараболических систем уравнений в неци-линдрических областях доказано существо-вание и единственность решения в клас-сах функций, имеющих поведение при , . При этом между положительными постоянными и существует связь типа неравенства. В работе показано существенность этой связи.

Для нелинейных псевдопараболических систем уравнений до-казано существо-ва-ние и единственность решения смешанной задачи (в неограниченных по прост-ранственным переменным областях) без дополнительных условий на поведение решения, если . Также для нелинейных систем уравнений рассмотрена задача Фурье, разрешимость которой доказана для функций из весовых пространств Соболева по пространственным переменным, но с произвольным поведением при . Аналогические результаты для параболических урав-не-ний извест-ны в ли-тературе, но для урав-нений псевдопараболического типа они явля-ются со-вер-шен-но новыми.

Разрешимость задачи без начальных условий для псевдопараболической систе-мы вариационных неравенств доказана в классах функций экспоненциального по-ведения при , . Как частный случай, из этого результата получено существование и единственность решения одной неклассической задачи для псевдо-параболической системы уравнений.

Основным методом доказательства су-ществования решений является аналог метода Галеркина. Кроме него для нели-ней-ных систем использованы методы регу-ляризации, моно-тон-ности и штрафа, а для ли-ней-ных – методы компактности и регу-ляризации.

Ключевые слова: псевдопараболическая система уравнений, псевдопараболи-ческая сис-тема вариационных неравенств, метод Галёркина, метод регуляризации, метод мо-но-тонности, метод компактности, метод штрафа.

Підписано до друку 06.03.2002 р. Формат 60х84/16.

Папір офсетний. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 1.0. Наклад 100.

Надруковано у Національному університеті “Львівська політехніка”

79013, м. Львів, вул. Ст. Бандери, 12