НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С.ПІДСТРИГАЧА

Довбня Катерина Миколаївна

УДК 539.3

РОЗВИТОК МЕТОДУ ГРАНИЧНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ

РІВНЯНЬ В ТЕОРІЇ ОРТОТРОПНИХ ОБОЛОНОК

З РОЗРІЗАМИ ТА ОТВОРАМИ

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Львів – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичної і прикладної механіки Донецького національного університету

Науковий консультант – академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Шевченко Володимир Павлович, Донецький національний університет, ректор, завідувач кафедри.

Офiцiйні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Камінський Анатолій Олексійович, Iнститут механiки iм. С.П. Тiмошенко НАН України, завiдувач вiддiлу;

доктор фізико-математичних наук, професор Осадчук Василь Антонович, Національний університет “Львівська політехника”, завiдувач кафедри;

доктор фізико-математичних наук, професор Саврук Михайло Петрович, Фізико-механічний інститут ім. Г.В.Карпенка НАН України, завідувач відділу.

Провiдна установа: Дніпропетровський національний університет.

Захист відбудеться 1 квітня 2002 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою: 79053, м. Львів, вул. Наукова, 3 “б”.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3 “б”).

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 79053, м. Львів, вул. Наукова, 3 “б”, ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України, вченому секретарю спеціалізованої ради.

Автореферат розісланий 28 лютого 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради,

кандидат фізико-математичних наук Шевчук П.Р.ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи. Тонкі оболонки різноманітної конфігурації широко застосовуються в різних галузях сучасної техніки, авіабудуванні, суднобудуванні, промисловому та цивільному будівництві. За даними експериментальних досліджень, наявність отворів, тріщин, конструктивних прорізів та інших концентраторів напружень істотно впливає на несучу здатність конструкцій. При цьому міцнісні властивості оболонок значно нижчі, ніж пластин і, отже, необхідно якомога точніше розраховувати величину додаткового поля напружень, що створюється в них.

На сьогодні існують різноманітні підходи до розв’язання задач дослідження концентрації напружень в оболонках з розрізами та отворами. Ці задачі є дуже складними в математичному відношенні, тому більшість відомих розв’язків стосується оболонок окремого вигляду (в основному сферичних чи циліндричних) або ж вони отримані методом малого параметра і, отже, сфера їхнього застосування дуже обмежена. Існують обмеження і на конфігурацію отвору: звичайно це кругові отвори або отвoри, контур яких можна звести до кругових за допомогою конформного відображення. Використовується також метод збурення форми межі для отворів, контур яких незначно відрізняється від перелічених. Дослідження оболонок з розрізами в основному обмежуються прямолінійними або дугоподібними розрізами, контур яких незначно відрізняється від прямолінійного (у цьому випадку використовується метод малого параметра).

Науково-технічний прогрес висуває все більш високі вимоги до механічних властивостей конструкційних матеріалів. Найбільш часто використовуються матеріали, що мають у кожній точці три взаємно перпендикулярні площини симетрії (композити, одержувані шляхом армування матеріалу орієнтованими міцними та жорсткими волокнами; метали, оброблені тиском, та інші високоміцні матеріали). Оптимальне конструювання виробів з матеріалів, що мають ортогональну анізотропію, вимагає точного врахування впливу пружних параметрів матеріалу на напружено-деформований стан конструкції. Проте більшість відомих розв'язків стосується ізотропних, спеціально - ортотропних оболонок (припускається, що модуль зсуву не є незалежним параметром, а визначається через модулі Юнга та коефіцієнти Пуассона за допомогою співвідношення, характерного для ізотропного матеріалу) або оболонок, які мають полюсну ортотропію (полюс розташований у центрі кругового отвору). Це дозволяє звести задачу до системи рівнянь, що відповідають ізотропній оболонці, і використати відомий розв’язок. Розширення досліджень на оболонки, виготовлені з довільного ортотропного матеріалу, без додаткових обмежень на їх пружні і геометричні параметри, вимагає розробки відповідного математичного апарату. Саме це і обумовлює актуальність обраної для дисертаційної роботи теми.

Метою дисертаційної роботи є розробка ефективних математичних методів зведення задач про напружений стан ортотропних оболонок з розрізами та отворами довільної конфігурації до систем граничних інтегральних рівнянь, що базується на використанні теорії узагальнених функцій, двовимірного інтегрального перетворення Фур’є, нового варіанта граничних умов та функції стрибка; побудова алгоритму чисельного розв’язування отриманих систем сингулярних інтегральних рівнянь з логарифмічною особливістю; постановка та розв’язання на їх основі нових класів задач; дослідження впливу геометричних характеристик оболонок і параметрів ортотропії, взаємодії розрізів та отворів, їх конфігурації на концентрацію напружено-деформованого стану поблизу концентраторів напружень; оцінка похибки застосування теорії спеціальної ортотропії при розв’язанні задач для ортотропних оболонок з розрізами та отворами.

Об’єктом дослідження є проблема визначення напружено-деформованого стану ортотропних оболонок з отворами та розрізами довільної конфігурації.

Предметом дослідження є розробка ефективних математичних методів побудови граничних інтегральних рівнянь для ортотропних оболонок з розрізами та отворами довільної конфігурації.

Загальна методика дослідження. Запропоновано розвиток методу граничних інтегральних рівнянь для ортотропних оболонок з розрізами та отворами довільної конфігурації, що базується на використанні теорії узагальнених функцій та двовимірного інтегрального перетворення Фур’є, за допомогою яких вихідна крайова задача зведена до системи граничних інтегральних рівнянь. Для одержання в явному вигляді оригіналів ядер комбінуються невідомі функції та граничні умови (на контурі розрізу чи отвору задаються не зусилля та моменти, що діють на контурі, а компоненти головного вектора та головного моменту зусиль, що діють на контурі змінної довжини, або похідні цих функцій). Розв’язання системи граничних інтегральних рівнянь здійснено на ЕОМ методом механічних квадратур.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в межах конкурсних держбюджетних тем

·

1 вв / 4 “Розробка методів дослідження напружено - деформованого стану і крихкого руйнування елементів конструкцій із тріщинами з композиційних матеріалів” (1991 -1993 роки), “Розробка методів дослідження концентрації напружень і руйнування волокнистих композиційних тіл із тріщинами” (1994 –1995 роки), “Розробка методів визначення напруженого стану і руйнування композиційних тіл з отворами і тріщинами” (1995 -1997 роки), “Розробка методів дослідження пружно-деформованого стану композиційних тіл з отворами, включеннями й тріщинами” (1998 - 2000 роки), які розроблялися у науково-дослідній лабораторії Міцність та руйнування елементів пружних конструкцій при кафедрі теоретичної і прикладної механіки та кафедрі теорії пружності й обчислювальної математики Донецького національного університету.

Наукова новизна роботи:

Ё

o розглянуто різні варіанти вибору невідомих функцій. Проаналізовано їх переваги та недоліки у конкретних випадках (криволінійний розріз; прямолінійний розріз; отвір із гладким контуром та ін.);

o запропоновано нетрадиційні варіанти вибору граничних величин, а саме: компонент головного вектора та головного моменту зусиль, що діють на контурі змінної довжини, або похідних цих функцій;

o розроблено алгоритми чисельного розв’язання отриманих систем інтегральних рівнянь з логарифмічними особливостями на ЕОМ.

Ё

Ё

Ё

Вірогідність основних наукових положень і отриманих результатів забезпечується строгістю постановки задачі і використаного математичного апарату, застосуванням для розв’язання системи інтегральних рівнянь теоретично обґрунтованих чисельних методів, зіставленням деяких результатів із відомими розв’язками, отриманими різними авторами іншими методами.

Особистий внесок здобувача. Особистий внесок дисертанта полягає в розробці нових підходів до побудови системи граничних інтегральних рівнянь задачі про напружено-деформований стан ортотропних оболонок довільної кривини з розрізами та отворами довільної конфігурації (комбінування невідомих функцій; перетворення граничних умов); застосуванні двовимірного перетворення Фур'є при побудові інтегральних представлень компонент головного вектора і головного моменту зусиль, що діють на контурі розрізу чи отвору (які є функціями однієї змінної), отриманні ядер інтегральних рівнянь у вигляді, придатному для чисельної реалізації; розв’язанні нових класів задач теорії ортотропних оболонок з отворами та розрізами; створенні пакетів прикладних програм для ЕОМ; проведенні чисельних розрахунків та аналізі отриманих результатів.

Практичне значення одержаних результатів полягає у можливості, у межах розробленого єдиного підходу, здійснювати оцінку впливу різних чинників на міцність ортотропних оболонок з отворами та розрізами. Створено програмні комплекси для виконання чисельних розрахунків в широкому діапазоні параметрів.

Отримані результати мають теоретичне і прикладне значення і можуть бути використані в НДІ і КБ, що займаються проектуванням оболонкових конструкцій з композитних матеріалів. Вони дозволяють оцінити вплив різних пружних і геометричних параметрів на міцність оболонок з розрізами та отворами.

Апробація роботи. Окремі результати, викладені в дисертаційній роботі, доповідалися на щорічних наукових конференціях професорсько-викладацького складу Донецького національного університету; на II Міжнародному симпозіумі українських інженерів - механіків у Львові (Львів, 1995); на ХII International Hutsulian Workshop “Methods of Mathematical Physics” (Rakhiv, 1995), на Міжнародній науково-технічній конференції "Прогрессивная техника и технологии машиностроения" (Севастополь, 1995; 1997); на Всеукраїнській науковій конференції "Розробка та застосування математичних методів у науково-технічних дослідженнях" (Львів, 1995); на IV Міжнародній науковій конференції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995); на Міжнародній науково-технічній конференції "Сучасні проблеми машинобудування і технічний прогрес" (Севастополь, 1996); на XXXVI симпозіумі "MODELOVANIE W MECHANICE" (Gliwice, 1997); на Міжнародній конференції "Modelling and Investigation of Systems Stability. Mechanical Systems" (Київ, 1997); на Міжнародній науково-практичній конференції "Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела" (Донецьк, 2001), на Міжнародній науково-технічній конференції "Машиностроение и техносфера на рубеже XXI века" (Севастополь, 2001); на XI Международной научной школе им. академика С.А.Христиановича “Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках” (Алушта, 2001).

Дисертаційна робота в цілому доповідалась і обговорювалась на об'єднаному семінарі кафедр теоретичної та прикладної механіки і теорії пружності та обчислювальної математики Донецького національного університету під керівництвом академіка НАН України А.С.Космодаміанського (Донецьк); на проблемному семінарі з механіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України під керівництвом члена-кореспондента НАН України Г.С.Кіта (Львів); науковому семінарі відділу механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАН України під керівництвом професора М.П.Саврука (Львів); науковому семінарі відділу механіки руйнування матеріалів Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України під керівництвом професора А.О.Камінського (Київ); науковому семінарі кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету під керівництвом професора В.В.Лободи.

Публікації. За основними результатами роботи опубліковано 21 наукова робота, які відповідають вимогам ВАК України до публікацій результатів дисертаційних робіт у фахових виданнях [1–21]. Серед них монографія [1] (розділ 9), 20 статей у наукових журналах та збірниках наукових праць [2–21].

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, семи розділів, висновків, списку літератури та додатків. Загальний обсяг роботи становить 362 сторінки машинописного тексту і включає 71 ілюстрацію та 5 таблиць. Список літератури містить 398 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність розглянутих задач, коротко викладено мету й основні результати роботи.

У першому розділі наведено огляд і аналіз теорії і методів розв'язання задач про концентрацію напружень поблизу розрізів і отворів в оболонках. Зважаючи на значну кількість літератури по даній проблемі в огляд включено тільки статичні задачі, виконані в рамках класичної теорії оболонок. Не розглядаються термопружні та динамічні задачі, а також дослідження непологих та пружнопластичних оболонок.

Оболонки з отворами. Перший розв’язок для випадку малого кругового отвору в круговій циліндричній оболонці був опублікований А.І.Лур'є (1946р.) Сферична ізотропна оболонка, що знаходиться під дією рівномірного внутрішнього тиску, вперше була розглянута в працях Ю.А.Шевлякова (1954-55рр.). На протязі наступних років найбільш істотні результати були отримані в роботах Г.М.Савіна та його учнів. З огляду на той факт, що чисельні експериментальні дослідження відображають локальний характер збурювання, внесеного отвором у напружений стан оболонки, Г.М.Савін запропонував використовувати для опису збуреного напруженого стану рівняння напружених станів з великим показником змінюваності, що збігаються з рівняннями пологих оболонок. Згодом рівняння напружених станів з великим показником змінюваності використовувалися у працях інших авторів і для опису збуреного напруженого стану поблизу різних концентраторів напружень (розрізи, включення та інше).

Надалі найбільш цікаві результати були одержані у роботах О.М.Гузя та його учнів. Серед них слід відзначити метод збурення форми границі, вперше запропонований для дослідження сферичної ізотропної оболонки з криволінійним отвором. Цей метод використовувався при розв’язанні задачі для сферичної оболонки з еліптичним, квадратним і трикутним отворами з закругленими кутами. Розглядалися вільні отвори й отвори, підкріплені пружними кільцями або абсолютно жорсткими шайбами.

При розв’язанні задач про концентрацію напружень біля отворів в оболонках (заснованих на використанні класичної теорії оболонок) найчастіше використовуються наступні методи: метод відокремлення змінних; метод малого параметра; метод конформних відображень; метод збурення форми границі; представлення шуканого розв'язку і граничних умов для циліндричної оболонки з круговим отвором у вигляді тригонометричного ряду Фур'є й у результаті зведення вихідної задачі до розв'язання нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь; метод граничної колокації; метод інтегральних рівнянь.

При розв’язанні конкретних задач звичайно одночасно використовуються кілька методів з наведених вище.

У 1961-62 роках було опубліковано перші роботи О.М.Гузя по дослідженню концентрації напружень поблизу отворів в ортотропних оболонках: розв’язок для сферичних оболонок зі слабо виявленою циліндричною ортотропією отримано методом малого параметра і для циліндричної оболонки – варіаційним методом.

Дослідження ортотропних та трансверсально ізотропних оболонок здебільшого обмежуються сферичними, циліндричними, конічними оболонками або оболонками обертання. Найчастіше використовуються наступні методи:

Ё

Ё

Ё

Ё

Ё

Оболонки з тріщинами. Дослідження концентрації напружень біля тріщин в оболонках з'явилися значно пізніше, ніж аналогічні дослідження для оболонок із отворами. Розв'язок задачі про концентрацію напружень в оболонці з тріщиною можна одержати граничним переходом у розв'язках для оболонки з еліптичним отвором, як це робили деякі автори. Проте основні результати в напрямку дослідження напружено-деформованого стану оболонок із тріщинами були отримані методом граничних інтегральних рівнянь, який дозволяє визначати шукані функції безпосередньо на лінії тріщини, не обчислюючи їх на всій поверхні оболонки. Для зведення вихідної задачі до системи граничних інтегральних рівнянь звичайно використовується інтегральне перетворення Фур'є (одномірне - для сферичних і циліндричних оболонок і двовимірне - для оболонок довільної гауссової кривини).

Перші розв'язки для оболонок окремого вигляду: сферичної оболонки з меридіональною і циліндричних оболонок з повздовжньою та поперечною тріщинами, що знаходяться під тиском, були отримані E.S.Folias, С.Я.Яремою, М.П.Савруком у 1965-67рр. Найбільший внесок у розвиток досліджень оболонок з тріщинами внесли наукові школи під керівництвом В.А.Осадчука, М.П.Саврука, Л.А.Фільштинського, В.П.Шевченка. Серед зарубіжних авторів слід відзначити L.G.Copley, M.E.Duncan, J.L.Sanders, які провели чисельні дослідження рівнянь, отриманих E.S.Folias; J.G.Simmonds, M.R.Bradley, J.W.Nicholson, які розглянули пологу ізотропну оболонку з тріщиною "малої" довжини, та F.E.Erdogan, M.Ratwani, F.Delale, U.Yuseoglu, які вивчали ізотропні та спеціально – ортотропні циліндричні оболонки.

Уперше симетрична задача для ізотропної циліндричної оболонки під внутрішнім тиском , що містить дві осьові колінеарні тріщини рівної довжини, була розглянута F.Erdogan і M.Ratwani у 1974р.

Істотні результати при дослідженні взаємовпливу прямолінійних тріщин у сферичних і циліндричних оболонках з розрізами вздовж ліній головних кривин отримані методом дисторсій, запропонованим у роботах Я.С.Підстригача, В.А.Осадчука, Є.М.Федюка, М.М.Николишина. Цей метод заснований на моделюванні оболонки з розрізами суцільною оболонкою, що знаходиться під дією дисторсій, які описують стрибки переміщень і кутів повороту на лініях, що відповідають розрізам. Це дозволяє звести вихідну крайову задачу до системи сингулярних інтегральних рівнянь типу Коші.

Докладний опис зазначених результатів наведено в монографії В.А.Осадчука, а також в оглядовій статті В.А.Осадчука, Я.С.Підстригача, у якій також подано огляд досліджень напружено-деформованого стану і граничної рівноваги оболонок із тріщинами в період до 1985р.

Більшість з існуючих підходів до розв’язання задачі про напружено-деформований стан поблизу отворів і розрізів у пластинах і оболонках грунтуються на окремих припущеннях і обмеженнях на геометричні параметри та пружні властивості оболонок. Тому необхідність розробки універсального методу розв’язування, що враховував би усі властивості оболонок і був би зручним при практичних розрахунках, стає очевидною.

Найбільш ефективним для цієї мети є метод граничних інтегральних рівнянь, що зводить розв'язання двовимірних задач до розв'язання контурних інтегральних рівнянь (сингулярних чи регулярних). Найбільші труднощі в цьому підході виникають при побудові ядер граничних інтегральних рівнянь. Саме цим і було зумовлено відсутність розв'язків для загального випадку ортотропії матеріалу оболонки без обмежень на її кривину.

Отримані в роботах В.П.Шевченка та його учнів фундаментальні розв'язки рівнянь статики пологих ортотропних оболонок і розроблена ними методика побудови інтегральних представлень розв'язків рівнянь статики обумовили можливість використання методу граничних інтегральних рівнянь для розширення кола розглянутих задач у напрямку різної геометрії оболонок; її матеріалу; розмірів, конфігурації і кількості розрізів і отворів.

У дисертаційній роботі запропоновано нові підходи до побудови систем граничних інтегральних рівнянь для ортотропної оболонки з отворами та розрізами.

При проведені чисельних досліджень базовими характеристиками збуреного напружено-деформованого стану, які визначатимуть запас міцності конструкції, у роботі обрано коефіцієнти інтенсивності зусиль та моментів у вершинах розрізів і дотичну деформацію на контурі отвору.

Розроблена в дисертаційній роботі методика дозволяє дослідити концентрацію напружень в оболонках довільної кривини з отворами та розрізами довільної конфігурації.

Згадана методика може бути поширена на

Ё

Ё

Другий розділ присвячено постановці задачі про напружено - деформований стан ортотропної оболонки довільної кривини з системою розрізів і отворів довільної конфігурації.

Розглядається тонка пружна ортотропна оболонка постійної товщини , виготовлена з ортотропного матеріалу так, що в кожній її точці лінії головних кривин серединної поверхні збігаються з головними напрямками пружності матеріалу. Система ортогональних координат обрана таким чином, що координати орієнтовані вздовж ліній головних кривин серединної поверхні оболонки, а координата спрямована по нормалі до неї. Оболонка послаблена системою отворів і розрізів довільної конфігурації (рис.2.1), розміри яких великі в порівнянні з товщиною оболонки, але малі в порівнянні з її іншими лінійними розмірами. Це дозволяє розглядати задачу про рівновагу тонкої оболонки з розрізами й отворами за допомогою двовимірної теорії оболонок. У рамках цієї теорії тріщини моделюються як математичні розрізи серединної поверхні оболонки.

Позначимо гладкі ділянки контурів розрізів і отворів через…. Запишемо рівняння .. у вигляді

(2.1)

де - півдовжина контура .

Серединна поверхня оболонки являє собою багатозв?язну область, обмежену зовнішнім контуром і контурами ….

У силу лінійності задачі напружений стан в оболонці представлено у вигляді суми напруженого стану в оболонці без розрізів і отворів при заданому зовнішньому навантаженні, що вважаємо відомим (надалі воно буде позначатися величинами з зірочкою) та шуканого додаткового (збуреного) напруженого стану, викликаного наявністю розрізів і отворів.

Принципово цей підхід дає можливість вивчати вплив границі на отвір чи розріз, однак надалі будемо вважати, що відстань між отворами, тріщинами й зовнішнім контуром велика в порівнянні з їх розмірами й збурений напружений стан практично не досягає зовнішньої границі .

Замість нульових граничних умов на контурі поставимо спрощені умови зникнення збуреного напруженого стану при необмеженому видаленні від …., а область, займану оболонкою, будемо вважати нескінченною.

Припустимо, що контури розрізів і отворів вільні від навантаження й у процесі деформування оболонки береги розрізів не контактують між собою. Тоді граничні умови мають вигляд

(2.2)

Якщо контур є криволінійним розрізом, для забезпечення єдиності розв’язку необхідно також виконання додаткових умов на кінцях розрізу

(2.3)

де - вектор переміщень; , – кути повороту; - стрибок функції на контурі (для отворів будемо вважати ).

У випадку отвору з замкнутим гладким контуром повинні виконуватися умови

(2.4)

Умови неперервності переміщень і кутів повороту в точках перетину контурів і мають вигляд

(2.4)

Для оболонок з концентраторами напружень (отвори, розрізи, включення і т. ін.) збурений напружений стан носить локальний характер. Усередині зони збурювання величини, що його характеризують, являють собою швидко загасаючі функції координат, тому для їхнього опису використані рівняння напружених станів з великим показником змінюваності, що збігаються з рівняннями пологих оболонок. У якості вихідних використовувалися рівняння теорії пологих ортотропних оболонок, отримані С.А.Амбарцумяном.

У даному розділі також стисло викладено основну інформацію з теорії узагальнених функцій і двовимірного інтегрального перетворення Фур'є. З її допомогою отримано інтегральні представлення трансформант внутрішніх зусиль і моментів для ортотропної оболонки довільної кривини з системою розрізів і отворів. При цьому використовувалися інтегральні представлення і фундаментальні розв’язки рівнянь статики пологих ортотропних оболонок, отримані в роботах В.П.Шевченка, В.К.Хижняка.

У третьому розділі розглядаються різні варіанти вибору невідомих функцій, що дозволяють отримати в явному вигляді ядра інтегральних представлень внутрішніх зусиль і моментів.

Одна з переваг використання методу граничних інтегральних рівнянь для дослідження напружено-деформованого стану ортотропних оболонок, ослаблених системою криволінійних розрізів і отворів, полягає в можливості визначати шукані величини безпосередньо на контурі розрізу чи отвору, не обчислюючи їх на всій поверхні оболонки. Оскільки збурений напружений стан характеризується коефіцієнтами інтенсивності зусиль і моментів на кінцях розрізів і коефіцієнтами концентрації напружень на контурі отвору як невідомі функції, варто вибирати не переміщення і кути повороту, а їх похідні.

Кожен із запропонованих варіантів невідомих функцій має свої переваги, які треба враховувати в кожному конкретному випадку, щоб обрати найбільш оптимальний з них.

1. Інтегральні представлення внутрішніх зусиль і моментів

без неінтегральних доданків

При переході в інтегральних представленнях внутрішніх зусиль і моментів від переміщень і кутів повороту до їх похідних аналітичні викладки суттєво спрощуються, якщо вважати невідомими на кожному контурі не чотири функції, як це прийнято, а п’ять і задавати невідомі функції у вигляді

;

;

; (3.1)

;

,

де

– модулі Юнга; – коефіцієнти Пуассона; – модуль зсуву для площин, паралельних серединній поверхні оболонки; – радіуси головних кривин оболонки;

Незважаючи на збільшення кількості невідомих функцій, формули (3.1) мають певні переваги:

·

·

2. Інтегральні представлення внутрішніх зусиль і моментів,

що містять неінтегральні доданки

Комбінуючи переміщення та кути повороту, можна одержати в явному вигляді ядра інтегральних представлень, не збільшуючи кількість невідомих функцій.

Нові невідомі функції мають вигляд

(3.2)

де ; – кривина контура .

У результаті введення додаткових доданків у невідомих функціях інтегральні представлення внутрішніх зусиль та моментів і, отже, система граничних інтегральних рівнянь, містять неінтегральні доданки. Якщо контур отвору чи розрізу має кутові точки, у співвідношеннях (3.2) з'являться ще й інші додаткові доданки.

3. Інтегральні представлення внутрішніх зусиль і моментів

для ортотропної оболонки з довільно орієнтованими

прямолінійними розрізами

Для прямолінійних розрізів направляючі косинуси вектора зовнішньої нормалі сталі. Тому ядра інтегральних представлень внутрішніх зусиль і моментів можна одержати в явному вигляді й при іншому виборі невідомих функцій, а саме

;

; (3.3)

; .

Застосування формул (3.3) не призводить до появи неінтегральних доданків і виявляється в багатьох випадках більш ефективним, ніж використання формул (3.1) або (3.2).

У четвертому розділі запропоновано новий підхід до побудови граничних інтегральних рівнянь задачі про напружений стан ортотропної оболонки з розрізами та отворами. Відповідно до граничних умов (2.1) на кожній ділянці граничного контура задані чотири граничні величини та чотири функції підлягають визначенню. При побудові інтегральних представлень зусиль , і моменту за допомогою інтегральних представлень внутрішніх зусиль і моментів не виникає принципових труднощів. Для того, щоб ядра інтегральних рівнянь, що відповідають граничним умовам (2.1), мали особливість того ж порядку, узагальнену перерізуючу силу звичайно інтегрують уздовж частини контура . Однак у цьому випадку для криволінійного контура при обчисленні оригіналів ядер четвертого інтегрального рівняння виникають серйозні проблеми. Якщо замість зусиль і моментів задати на контурах розрізів і отворів нові граничні величини, можна суттєво спростити ядра нових граничних інтегральних рівнянь.

Даний розділ присвячено побудові інтегральних представлень компонент головного вектора і головного моменту навантаження, що діє вздовж частини контура (рис.4.1). Вони мають вигляд

; ; (4.1)

;

;

;

.

Перетворення, пов'язані з побудовою інтегральних представлень складових головного вектора й головного моменту, зручніше робити в просторі трансформант. У даному розділі викладено методику застосування двовимірного інтегрального перетворення Фур'є при побудові інтегральних представлень функцій, що залежати від однієї змінної. Для цього вводяться диференційовані функції трьох змінних, що визначені при , і задовольняють певним умовам. До цих функцій застосовується двовимірне перетворення Фур'є по змінних та , і всі проміжні перетворення здійснюються в просторі трансформант.

Методика обчислення оригіналів ядер інтегральних представлень аналогічна розробленій В.П.Шевченком для виводу оригіналів фундаментальних розв’язків рівнянь статики пологих ортотропних оболонок. Ядра мають вигляд подвійних рядів, які містять спеціальну функцію

, (4.2)

,

де – модифікована функція Бесселя 2-го роду порядку .

Ядра інтегральних представлень функцій мають логарифмічну особливість, ядра інтегральних представлень функцій - особливість типу Коші.

У п'ятому розділі розглядаються різні варіанти системи граничних інтегральних рівнянь для ортотропної оболонки з розрізами та отворами. Аналізуються їх переваги та недоліки. Виводяться додаткові умови, що забезпечують єдиність розв’язання системи граничних інтегральних рівнянь.

1. Система граничних інтегральних рівнянь з логарифмічною особливістю

Якщо вибирати невідомі функції у вигляді (3.1) та задавати на границі компоненти головного вектора зусиль, що діють уздовж частини контура, і їхнього головного моменту відносно кінцевої точки цієї частини контура, система граничних рівнянь згаданої задачі набуде вигляду

(5.1)

.

Ядра системи (5.1) мають логарифмічну особливість, у рівняннях відсутні неінтегральні доданки.

Кількість невідомих функцій у системі граничних інтегральних рівнянь (5.1) перевищує кількість рівнянь. Для забезпечення єдиності розв’язку необхідно додати ще по одному рівнянню на кожному контурі, які відображатимуть зв’язок між невідомими функціями. Ці додаткові рівняння можна обирати у вигляді диференціального співвідношення

(5.2)

,

або інтегрального

(5.3)

.

Для розрізу з гладким контуром, враховуючи неперервність кутів повороту на його кінцях, додаткове співвідношення можна записати у простішому вигляді

. (5.4)

Система граничних інтегральних рівнянь (5.1) містить невідомі сталі інтегрування по шість на кожнім контурі. Для їх визначення до системи (5.1) слід додати ще додаткових співвідношень

, ,

,

, (5.5)

,

,

які випливають з умов неперервності переміщень і кутів повороту на кінцях розрізів та при обході контура отворів (2.3), (2.4).

Вибір невідомих функцій у вигляді (3.1) має один недолік: за рахунок введення додаткової невідомої функції збільшується розмірність системи граничних інтегральних рівнянь, а також ряд переваг: дозволяє позбутися неінтегральних доданків, спростити вигляд ядер системи граничних інтегральних рівнянь, додаткових співвідношень (5.5) і умови відсутності контакту берегів розрізу.

2. Система граничних інтегральних рівнянь типу Коші без неінтегральних доданків

Якщо задавати на контурі зусилля та моменти, як це робиться традиційно, функцію або похідні функцій і , розглядувана задача зведеться до розв’язання системи сингулярних інтегральних рівнянь типу Коші. Тут можливі кілька варіантів:

1.

(5.6)

де , і - невідомі сталі інтегрування.

Після відповідних перетворень система граничних інтегральних рівнянь задачі про визначення напружено-деформованого стану ортотропної оболонки з отворами і розрізами набуде вигляду

(5.7)

.

2.

;

; (5.8)

;

,

Використання додаткової невідомої функції дозволяє уникнути появи неінтегральних доданків. Для забезпечення єдиності розв’язку до системи граничних інтегральних рівнянь слід додати співвідношення (5.2) або (5.3) і (5.5).

3. Система граничних інтегральних рівнянь з неінтегральними доданками

Додаткові доданки в невідомих функціях (3.2) дозволяють не вводити п'яту невідому функцію і збільшувати розмірність задачі. Припустімо, що на контурі задані функції (5.6). Після відповідних перетворень система граничних інтегральних рівнянь набуде вигляду

(5.9)

.

У рівняннях, що відповідають моментам і четвертому рівнянню, доданки регулярні, а в рівняннях, що відповідають нормальним і дотичним зусиллям , неінтегральні доданки мають логарифмічну особливість.

Система сингулярних інтегральних рівнянь типу Коші (5.9) має безліч розв’язків у класі функцій, необмежених на кінцях проміжку інтегрування. Для забезпечення єдиності розв’язку до цієї системи слід додати додаткових обмежень на невідомі функції.

(5.10)

4. Система граничних інтегральних рівнянь для оболонки з довільно орієнтованими

прямолінійними розрізами

Для довільно орієнтованих прямолінійних контурів ядра системи сингулярних інтегральних рівнянь можна отримати в явному вигляді й при іншому виборі четвертої граничної умови, ніж у випадку криволінійного контура. Якщо замість функцій увести функції

(5.12)

тоді кількість невідомих постійних інтегрування зменшиться у три рази і, отже, зменшиться порядок системи сингулярних інтегральних рівнянь. З умов неперервності переміщень і кутів повороту (2.2)–(2.3) можна одержати більш прості співвідношення, еквівалентні (5.5), (5.10)

Застосування формул (5.3) виявляється в багатьох випадках більш ефективним, ніж використання формул (5.1). Наприклад, для оболонки з прямолінійними розрізами вдовж ліній головних кривин при виборі невідомих функцій у вигляді (3.3) та граничних умов у вигляді (5.3) неінтегральні доданки будуть відсутні, а матриця ядер системи сингулярних інтегральних рівнянь буде симетричною.

У шостому розділі наведено чисельні методи розв’язання систем граничних інтегральних рівнянь, отриманих у попередніх розділах. Для інтегралів з логарифмічною особливістю отримані квадратурні формули у випадках - періодичної функції і функції, що має кореневу особливість на кінцях проміжку інтегрування.

Розглянуто системи граничних інтегральних рівнянь з логарифмічними особливостями та з особливостями типу Коші для пластин із криволінійними розрізом; систему граничних інтегральних рівнянь з логарифмічними особливостями для пластин із отвором; систему сингулярних інтегральних рівнянь типу Коші для ортотропної оболонки з тріщиною вдовж лінії кривини; системи граничних інтегральних рівнянь з логарифмічними особливостями для пластин із криволінійними розрізом чи отвором.

Для оболонок з отворами чи криволінійними розрізами наведено методику зведення додаткових співвідношень (диференціальних у випадку отвору й інтегральних у випадку розрізу) до відповідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

У розглянутих випадках здійснено порівняння результатів чисельних розрахунків з відомими в літературі розв’язками, отриманими іншими авторами.

У сьомому розділі наведено результати чисельних досліджень для ортотропних оболонок з одним, двома паралельними та двома колінеарними прямолінійними розрізами, круговим та еліптичним отворами. При розв’язанні систем граничних інтегральних рівнянь використовувалися чисельні методи попереднього розділу.

На рис. 7.1 зображено графіки зміни , ( - деформація в дотичному напрямку на контурі еліптичного отвору) для сферичної оболонки, що знаходиться під дією рівномірного внутрішнього тиску інтенсивності , в залежності від параметра при =0.5 ( та - півосі еліпса). Контур отвору завантажений перерізуючими зусиллями, які компенсують дію внутрішнього тиску.

Криві 1-3 відносяться відповідно до ізотропного матеріала ( =0,3), композита на епоксидному сполучнику, армованого односпрямованими волокнами з -скла ( =6,25104МПа, =2,12104МПа, =0,9104МПа, =0,251), односпрямованого волокнистого намотувального склопластика (=5,7104МПа, =1,4104МПа, =0,575104МПа, =0,277). Тут і далі суцільні й штрихові лінії відносяться відповідно до точок еліпса, для яких кут дорівнює та 0.

Аналогічний графік для оболонок, виготовлених з композита на епоксидному сполучнику, армованого односпрямованими волокнами з s-скла, при різному відношенні півосей еліптичного отвору, приведений на рис. 7.2. Криві 1-5 відносяться до значень відносини , рівних відповідно 0.25; 0.5; 0.75; 1; 2.

На рис. 7.3 зображено графіки зміни в залежності від відношення півосей еліпса . Криві 1-3 відповідають тим же ортотропним матеріалам, що й на рис. .1.

Як випливає з отриманих результатів, для ізотропної оболонки на контурі еліптичного отвору найбільша деформація досягається на кінці більшої півосі. Якщо матеріал оболонки є ортотропним, то орієнтація головних напрямків пружності матеріалу вносить істотні зміни в розподіл напружено-деформованого стану поблизу отвору. У випадку кругового отвору деформація більше в тому напрямку, для якого модуль Юнга більше. Цей ефект виявляється тим сильніше, чим більші радіус отвору та відносини .

У сьомому розділі також досліджено похибку застосування формул для спеціально-ортотропного матеріалу при обчисленні коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів в оболонці з тріщиною вздовж лінії кривини. Визначено область застосування цих формул. Аналогічні дослідження проведено для сферичної оболонки з круговим отвором, що знаходиться під дією рівномірного внутрішнього тиску і для оболонок довільної кривини, що знаходяться під дією рівномірного розтягу вздовж осі .

На рис. 7.4 зображено графік зміни ( - деформація в дотичному напрямку на контурі отвору, - радіус оболонки) у залежності від параметра при для сферичної оболонки, що знаходиться під дією рівномірного внутрішнього тиску інтенсивності .

Криві 1-4 відносяться до матеріалів з відношенням модулів Юнга , рівним відповідно 1, 2, 3, 4. При цьому покладаються рівним 0.3. Суцільні та штрихові лінії відповідають точкам контура отвору, для яких кут дорівнює 0 і .

На рис. 7.5 показано зміну коефіцієнтів і в залежності від відношення модулів Юнга у сферичній оболонці при = 0; 0.3; 0.6; 0.9 (криві 1 - 4), циліндричній оболонці при = 0; 0.9 (криві 5 - 6) і псевдосферичній при = 0.9 (крива 7).

Основні результати роботи та висновки

У дисертації наведене теоретичне узагальнення і нове вирішення наукової проблеми побудови граничних інтегральних рівнянь у теорії ортототропних оболонок з розрізами то отворами довільної конфігурації, а також розробки ефективних методів розрахунку збуреного напружено - деформованого стану. У своїй сукупності отримані результати спрямовані на збільшення ефективності оптимального проектування, створення та експлуатації оболонкових конструкцій і відображають потреби енергетики, машинобудування, космічної галузі та інше.

Для досягнення поставленої мети у роботі:

· Запропоновано нову методологію визначення напружено-деформованого стану ортотропних оболонок довільної кривини з розрізами та отворами; на цій основі розроблено різні підходи до одержання систем граничних інтегральних рівнянь.

o Розглянуто нові варіанти вибору невідомих функцій.

1) Невідомі функції представляються у вигляді комбінації стрибків переміщень, кутів повороту, їх похідних і інтегралів від них. При цьому додаткові доданки не впливають на характер поведінки невідомих функцій на кінцях розрізів. Кількість невідомих функцій дорівнює чотирьом на кожному контурі.

2) Невідомі функції представляються у відносно простому вигляді, однак їхня кількість зростає до п’яти на кожному контурі.

o Проаналізовано переваги та недоліки розглядуваних варіантів у конкретних випадках.

o Запропоновано нетрадиційні варіанти вибору граничних умов.

1) На контурі розрізу чи отвору задаються компоненти головного вектора зусиль, що діють уздовж частини контура з кінцем у поточній точці та головного моменту цих зусиль відносно згаданої точки. В результаті ядра системи граничних інтегральних рівнянь регулярні чи мають логарифмічну особливість, матриця ядер симетрична. Ядра мають значно простіший вигляд, ніж у випадку класичних граничних умов.

2) На контурі розрізу чи отвору задаються похідні компонент головного вектора та головного моменту. В результаті ядра системи граничних інтегральних рівнянь мають особливість типу Коші.

· При введенні п’ятої невідомої функції для