НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

ДУНАЄВА Тамара Альбінівна

УДК 536.25

ПЕРЕМІШУВАННЯ В'ЯЗКОЇ РІДИНИ

ПРИ МАЛИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

У СКІНЧЕННИХ ДВОВИМІРНИХ ОБЛАСТЯХ

01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико - математичних наук

Київ – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті України (КПІ) Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник доктор фізико–математичних наук, професор,

Мелешко В'ячеслав Володимирович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти доктор фізико – математичних наук,

Нікіфорович Євген Іванович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

завідувач відділу моделювання

гідродинамічних процесів

кандидат фізико-математичних наук,

Железняк Марк Йосипович,

Інститут проблем математичних машин і

систем НАН України, завідувач відділу

математичного моделювання

навколишнього середовища

Провідна установа Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Захист відбудеться 21.02.2002 р. о14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01 при Інституті гідромеханіки НАН України за адресою:

03057 Київ, вул. Желябова, 8/4.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України

Автореферат розісланий "19.01.2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Криль С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. За останні роки в механіці рідини та й в інших галузях науки, значно зріс інтерес до проблем хаотичної динаміки, зокрема, до – перемішування в'язких рідин за різних умов їх повільного руху. Посилений інтерес до процесів перемішування Стоксових течій за допомогою хаотичної адвекції пояснюється не тільки внутрішньою красою задач та одержаних результатів, але й застосуванням цих результатів для оцінок та аналізу аналогічних ефектів в більш складних динамічних системах. Актуальність досліджень процесів перемішування у в'язких рідинах визначається важливістю цього процесу в навколишньому середовищі і має широке застосування їх в сучасних технологіях. Вивчення механізмів перемішування й керування ними має істотне значення в різних галузях науки і техніки – хімічній та харчовій промисловості, геології, океанології, фізіології, тощо.

Слід відзначити й інший аспект проблеми, пов'язаний з розробкою та впровадженням методів аналізу процесів інтенсивного гідродинамічного перемішування у в'язких рідинах.

Дана дисертаційна робота є продовженням наукових досліджень з питань гідродинамічного перемішування і містить комплексний підхід до розв'язку проблеми, що дає можливість розв'язання важливого практичного завдання оптимізації процесів перемішування при мінімальних енергозатратах.

Зв'язок роботи з науковими планами, темами. Дисертаційна робота здійснена за планом виконання держбюджетної науково-дослідної теми за програмою “Розробка науково-методичних основ системи прогнозування генетичного ризику впровадження нових технологій та забруднення навколишнього середовища” "ГРАНІТ", яка розроблена на виконання Указу Президента України від 17 січня 1995 року (номер держрегістрації 080991UP005). Частково результати роботи увійшли до звіту Інституту гідромеханіки НАН України за 2001 рік.

Мета і задачі дослідження. Мета дисертації полягає у встановленні характерних особливостей та закономірностей процесів перемішування у двовимірних cкінченних областях нестисливої в'язкої рідини при малих числах Рейнольдса. Для досягнення цієї мети розв'язуються такі задачі:

·

– вивчення кінематики перемішування в'язкої рідини в обох досліджуваних випадках;

– виявлення основних закономірностей еволюції відміченої пасивної домішки у цих областях з часом;

– використання статистичних мір для кількісного аналізу еволюції процесу перемішування;

– порівняльний аналіз основних характеристик адвекції відмічених областей в круговій області та у півколі.

Методи дослідження. Методи досліджень, які застосовувались в роботі, грунтуються на аналітичному розв'язку для функції течії для поля швидкості у двовимірних канонічних областях у наближенні Стокса. Для аналізу хаотичного руху динамічних систем використано різні методи та критерії: перетин Пуанкаре, визначення періодичних точок течії, адвекція пасивного контуру, статистичні міри (інтенсивність та щільність розмішування).

Наукова новизна одержаних результатів. На основі математичних моделей, які описують динаміку процесу адвекції пасивного контуру, отримано такі нові наукові результати:

– побудовано аналітичний розв'язок для ротлетів різної інтенсивності у колі;

·

різними швидкостями для півкола;

·

грунтується на використанні критеріїв теорії динамічних систем в

гідродинамічних задачах;

– виявлено вплив параметрів руху границь на ефективність

перемішування в обмежених областях;

– показано істотне підвищення ефективності перемішування від присутності об'єктів, розташованих всередині досліджуваної області при однакових енергетичних затратах.

Практичне значення одержаних результатів. Запропоновані модельні приклади течії в'язкої рідини при малих числах Рейнольдса спрощують процес виявлення характерних особливостей процесів перемішування і можуть застосовуватись при розрахунках і проектуванні різноманітних пристроїв.

Виконані теоретичні дослідження дозволяють знайти оптимальні режими, які відповідають найбільш ефективним процесам перемішування.

Практичне значення досліджень визначається широким колом згаданих вище застосувань розглянутої проблеми, а також наявністю комплексу програм і алгоритмів, які досліджують явище, та великою кількістю результатів.

Особистий внесок здобувача. У наукових працях, виконаних у співавторстві, теоретичні дослідження, розробка алгоритмів, програм, чисельне моделювання та попередній аналіз результатів виконані дисертантом особисто. Вибір загального напрямку досліджень та постановка окремих задач належить науковому керівникові – професору,

доктору фіз.- мат. наук В.В. Мелешку. Кандидатові фіз. - мат. наук О.А. Гуржію належить участь у обговоренні результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи доповідались на науковому семінарі Інституту "АПРОДОС" НТУУ “KПІ” (Київ, 2000), на семінарі “Технології енергетики і економічна безпека держави” (Київ, 2001), на VII міжнародній конференції “Сучасні проблеми механіки суцільних середовищ” (Ростов - на - Дону, 2001),республіканському семінарі Інституту гідромеханіки НАН України (Київ, 2002), на семінарі “Проблеми механіки” кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені. Тараса Шевченка (Київ, 2002).

Публікації. Основні ідеї та положення дисертації викладено в 5 наукових працях, чотири з яких опубліковані в фахових виданнях згідно з переліком ВАК України.

Об'єм і структура роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаних літературних джерел із 70 найменувань. Повний обсяг дисертації складає 120 сторінок та 45 рисунків .

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подається загальна характеристика роботи. Зокрема, розкривається сучасний стан досліджень, пов'язаних з задачами перемішування в'язких рідин за допомогою адвекції за різних умов їх повільного руху, обгрунтовується необхідність проведення наукових досліджень з цього напрямку і визначається актуальність теми дисертації, формулюється мета роботи. На основі аналізу основних результатів, які увійшли до дисертації, визначено їх наукову новизну та практичне значення. Вказано на вклад автора в проведенні досліджень, розкрито його особистий внесок у ті роботи, що опубліковані разом із співавторами. Наводяться дані про звя'зок дисертаційної роботи з науковими темами, що виконуються в установі здобувача, дані про апробацію результатів дисертації.

Перший розділ присвячено огляду теоретичних і експериментальних досліджень процесів перемішування у двовимірних cкінченних областях нестисливої в'язкої рідини при малих числах Рейнольдса. Зроблено аналіз теоретичних та практичних аспектів, які визначають місце явища адвекції в сучасній науці. Зазначається, що перші дискусії щодо процесів перемішування почалися після появи статті G.I. Taylor ще в 1934 році, який виділив суть проблеми загального комплексу і звів питання до локального аналізу: деформації, витягування та руйнування краплі в двох течіях прототипах – плоска гіперболічна течія та проста течія зсуву. A. Brothman, G.N. Wollan and S.M. Feldman (1945) намагалися розв'язати проблему перемішування в загальному вигляді. Вони описали деформацію і перегрупування рідини та зазначили, що процес перемішування схожий на процес тасування карт. Згодом R.S. Spencer and R.M. Wiley (1951) зосередили увагу на перемішуванні дуже в'язкої рідини та на ідеї, завдяки якій можна описати зростання площі поверхні розподілу між двома рідинами. Зокрема в своїй праці вони ототожнили витягування та складання як основні механізми перемішування. P.V. Danckwerts в 1952 році зробив спробу охарактеризувати стан перемішування. З цією метою він визначив статистичні міри стану перемішування рідини.

H. Аref (1984) був першим, хто чітко вказав, що навіть плоске нестаціонарне Ейлерове поле швидкості з досить простими відомими компонентами u(x,y,t), v(x,y,t) (два стаціонарних точкових вихора в його прикладі) може призвести до хаотичних траєкторій індивідуальних (Лагранжевих) частинок. Інакше кажучи, розв'язок системи звичайних диференційних рівнянь

(1)

з початковими умовами x = X0, y = Y0 при t = 0 може виявити хаотичну поведінку. Під хаотизацією тут розуміється висока чутливість траєкторій частинок, розташованих в певних областях, до дуже малої зміни початкового положення частинки. Відтоді до цього цікавого напрямку досліджень, яке одержало назву “хаотична адвекція”, привернута значна увага вчених.

Важливий внесок для подальшого розуміння процесів перемішування у в'язких рідинах та популяризації задачі про адвекцію зробив J.M. Ottino (1986 – 1998). В своїх роботах він дослідив широкий клас задач, в яких використав ідеї теорії динамічних систем. В цілому, аналіз робіт, присвячених проблемі хаотичної адвекції, показує, що багато дослідників для визначення основних закономірностей руху в'язких рідин та процесів перемішування реальних потоків рідини використовували моделі течій, в яких поле швидкості визначається або системою локалізованих вихорів, або рухом границь, або наявністю інших фізичних ефектів, які приводять в рух рідину.

Такий підхід дозволяє значно спростити теоретичні дослідження, а в деяких випадках повністю розв'язати поставлену задачу. Оскільки подібні задачі є складними для аналітичного та чисельного дослідження як через нелінійність, так і внаслідок прояву ефектів нестаціонарності, то в останній час зросло значення розробки ефективних алгоритмів розв'язку складних інтегро-диференційних рівнянь, які були б універсальними для цілого класу задач, та використання потужних обчислювальних засобів для проведення повномасштабного обчислювального експерименту.

На сьогодні найбільш вивчені процеси хаотичної адвекції у двовимірних Стоксових течіях, які розглядають течію в порожнині між двома ексцентричними циліндрами та в прямокутній порожнині. Для цих випадків усталена Стоксова течія визивається періодичним рухом однієї або двох границь. При цьому досягнуто повної ясності у класифікації процесів виникнення хаосу залежно від наявності особливих нерухомих точок течії та одержано добре узгодження розрахункових і експериментальних картин перемішування.

Огляд робіт дає можливість стверджувати, що основна увага дослідників була сконцентрована на експерименті та чисельних розрахунках, що грунтувалися на уявленні домішки, як великого числа пасивних маркерів. Однак, задача про перенесення виділенного контура, з деяких причин, опинилася поза увагою. Ця обставина не дозволила використати статистичні міри, розроблені в інших розділах фізики. Тому в даній роботі запропоновано ефективний алгоритм адвекції виділеного контура для кругової області та півкола.

В дисертаційній роботі побудовано нові аналітичні розв'язки для поля швидкості, що описує рух течії під дією ротлетів різної інтенсивності, та для границь, що рухаються з різними швидкостями у півколі, які були відсутні в попередніх дослідженнях.

Дається фізична постановка задачі. В круговій області радіуса а розглядається течія н'ютоновської в'язкої нестисливої рідини при малих числах Рейнольдса (наближення Стокса), яка викликана поперемінним (з періодом Т/2) рухом двох ротлетів, розташованих симетрично відносно центру координат на відстані b. Ротлети рухаються з інтенсивністю s, яка віднесена до величини a2/T. На початку першого півперіоду рухається правий ротлет, (лівий вимкнений), а протягом другого півперіоду рухається лівий ротлет, а правий перебуває в спокої.

У півколі радіуса а течія нестисливої в'язкої рідини обумовлена рівномірним поперемінним рухом кругової та прямолінійної границі з постійними дотичними швидкостями V і U на границях, відповідно. Для кожного з режимів рух рідини вважаємо стаціонарним.

Теоретична модель явищ, що вивчаються в дисертації, грунтується на таких фізичних припущеннях: середовище вважається нестисливим, в'язким; рух рідини починається зі стану спокою; в момент переключення ротлетів інерційними ефектами нехтуємо; виконується умова непроникнення на твердих стінках.

У другому розділі дається загальна постановка двовимірної задачі про течію Стокса в однозв'язній кінцевій області. Розглядаються плоскі повзучі течії нестисливої в'язкої рідини в круговій області та у півколі, для яких

існують точні аналітичні вирази для стаціонарного Ейлерового поля швидкості. Ці задачі для плоских Стоксових течій зводяться до бігармонічної проблеми. Розглядаються періодичні течії рідини.

В даній роботі розглядаються дві задачі про плоскі повзучі течії нестисливої в'язкої рідини в канонічних областях, півколі та в крузі, які визначаються рівняннями 0 Ј r Ј a, 0 Ј q Ј p та 0 Ј r Ј a, 0 Ј q Ј 2 p відповідно, в полярній системі координат (r, q).

В теpмінах функції течії радіальна ur та окружна uq компоненти Ейлерового поля швидкості мають вигляд

(2)

В наближенні Стокса, нехтуючи інерційними ефектами, рівняння руху в'язкої нестисливої рідини може бути зведено до бігармонічного рівняння відносно функції течії (r,q)

, (3)

де оператор Лапласа в полярних координатах.

Півколо 0 Ј r Ј a, 0 Ј q Ј p . Рух рідини обумовлено поперемінним, з півперіодом T/2, рухом кругової границі r = a (режим А) і прямолінійної границі q = 0, p (режим В) з постійними дотичними швидкостями uq = V та ur = U на границях, відповідно. Для кожного з режимів течію рідини вважаємо стаціонарною; граничні умови для кожного з режимів течії записуються у вигляді:

Режим А: для

для (4)

Режим В: для

для q = p; (5)

для Ј q Јp

Для бігармонічного рівняння (3) і граничної умови (4), відповідного режиму А, знайдено точний розв'язок

(6)

Аналогічно для рівняння (3) і граничних умов (5), що відповідають режиму В, точний розв'язок для функції течії записується у вигляді

(7)

Кpуг 0 Ј r Ј a, 0 Ј q Ј 2 p. У цьому випадку рух в'язкої рідини визивається поперемінною дією двох ротлетів з інтенсивностями sr і sl, розташованими в точках (b0, 0) та (b0, p), відповідно. Поле швидкості ротлета має сингулярність – аналог нескінченно тонкого твердого циліндра, що передає рідині скінченний крутильний момент s.

Для цього випадку граничні умові мають вигляд

для (8)

причому функція течії y мусить містити логарифмічні члени вигляду , , де i = 1,2.

Для бігармонічного рівняння (3) і граничних умов (8) при дії лише правого ротлета аналітичний розв'язок для функції течії має вигляд

(9)

Логарифмічний член розв'язку (9) є гармонічною функцією течії, що обумовлена наявністю точкового вихору і його “дзеркального” відображення з інтенсивностями ±s відповідно, для нев'язкої рідини з умовою – відсутністю нормального протікання на границі (цей розв'язок став основою для “мигаючих” вихорів Арефа), а другий бігармонічний член розв'язку забезпечує умову повного прилипання на границі. Розв'язок для лівого ротлета одержується з (9) формальною заміною на .

В роботі V.V. Меleshko, H. Aref // Phys. Fluids 1996, 8, 3215-3217 було виявлено, що при в крузі можлива одночасна дія двох ротлетів, без будь-яких збурень від наявності одного на поле іншого.

Cистема звичайних диференційних рівнянь

(10)

з початковими умовами r = r0, q = q0 при описує рух окремої Лагранжевої частинки.

Для круга, в якому діють два ротлети з інтенсивностями і , рух ротлетів відбувається поперемінно з півперіодом T/2:

для

для (11)

(k = 0,1,2,…) з постійними значеннями і .

Функція течії, яка залежить від часу, має вигляд

(12)

Всередині часових інтервалів (kT, kT+Т/2) і (kT+Т/2, kT+T), (k = 0,1,2,…), де функція течії y явно не залежить від часу, система (10) є інтегрованою і має перші інтеграли руху або . Отже, частинка рухається вздовж лінії течії const протягом першого півперіоду (0,Т/2). В момент часу t = T/2 картина миттєво змінюється, і частинка рухається вздовж нової лінії течії протягом другого півперіоду , і т. д. Просторове положення частинки неперервне, але її швидкість розривна в кожний момент часу .

Аналогічно конструюється і повна, залежна від часу, функція течії для півкола

(13)

з залежністю від часу функцій V(t) і U(t).

У третьому розділі подано опис методів розв'язку задач. Важливим моментом в розумінні характеру руху рідини в періодичній течії є знання періодичних точок – Лагранжевих частинок, які за один, два і т.д. періоди повертаються точно на своє початкове місце. Було розроблено алгоритм пошуку періодичних точок, який дозволяє знаходити еліптичні та гіперболічні точки шляхом зведення складної задачі двовимірного пошуку до значно більш простої одновимірної задачі.

Для визначення періодичних точок течії чисельно розв'язувалась система диференційних рівнянь (10), які описують еволюцію пасивної рідкої частинки. Система (10) приведена до вигляду в декартових координатах

(14)

Початкове положення пасивного маркера вибиралось на осі симетрії течії (x, 0) для задачі в крузі, а для задачі у півколі – на осі (0, y). Далі організовувався ітераційний процес, для знаходження таких точок на осі симетрії, які у моменти часу 3Т/4, 5T/4 і т.д. знову опиняються на осі симетрії. Тоді положення цих точок у момент t = 0 визначає періодичну точку різного періоду.

Найбільш поширеним методом для ідентифікації глобальних регулярних та хаотичних областей руху рідких частинок є метод відображення Пуанкаре (перетин Пуанкаре): послідовність положень частинки через певний проміжок часу (в наших випадках через Т). Упорядкований набір точок відповідає регулярному рухові, а неупорядкований – хаотичному руху рідкої частинки. Для періодичної точки порядку n перетин Пуанкаре складається тільки з n точок. В інших випадках початкового розташування точки перетин Пуанкаре можуть формувати як регулярні криві, близькі за формою до еліпсів (з центром в еліптичній періодичній точці), так і хаотичне “море”, яке заповнює більшу частину області.

Перетин Пуанкаре обчислювався чисельно; система (14) розв'язувалась методом Рунге-Кутта 4-го порядку з автоматичним вибором кроку. Знання перших інтегралів для кожного півперіоду служило додатковим критерієм перевірки точності чисельної схеми.

Для визначення кількісної характеристики ступеня змішуваності використано ідею визначення відношення площі виділеної досліджуваної області домішки до всієї площі порожнини S, яка була вперше застосована для оцінки якості змішування у Стоксових течіях в роботі T. S. Krasnopolskaya et all. // Euro. J. Mech. B/Fluids, 1999, 18, 793 – 822.

Для цього вся досліджувана область течії розбивалася на елементарні клітинки (сітка) зі сторонами e. В цьому випадку для кожної з N клітинок можна ввести величину щільності

, 0 < Dn < 1, (15)

яка визначає відношення кольорової площі до площі клітинки . Ясно, що середня величина щільності розмішування <D>

(16)

є постійною в часі та дорівнює заданій заздалегіть величині . Цю величину можна використати як контроль точності чисельного обчислення площі .

Рівномірне розподілення виділеної області рідини в досліджуваній області досягається в той момент, коли середня величина Dn у кожній клітинці дорівнює . Як правило, цей стан неможливо досягнути за наявністю у розгляданні області течії S островів, які пов'язані з наявністю еліптичних точок при періодичному збуренні.

Більш інформативним критерієм для оцінки ступеня перемішування є середньоквадратична щільність розмішування < >

< > (17)

яка вже не є постійною у часі, але також мусить прямувати до відомої величини для рівномірного перемішування. Величина <>, яка ( взагалі не монотонна) зменшується у часі і показує наскільки однорідно розмішана досліджувана область в течії для поточного моменту часу.

В роботі було використано ще одну міру, яка визначає частку площі в досліджуваній області течії, в яку відмічена область ще не ввійшла. Такою мірою може бути введена P. V. Danckwerts (1953) інтенсивність сегрегації I.

(18)

На рис.1 представлено перетин Пуанкаре для двох ротлетів, розташованих в круговій області в точках і для різних інтенсивностей ротлетів. Поблизу межі круга чітко видно регулярні криві, але всередині перетину з'явилося хаотичне “море” з декількома еліптичними островами, розташованими симетрично відносно осі ОХ. З ростом інтенсивності ротлетів область, яку заповнюють частинки, що хаотично рухаються, поступово збільшується, що добре видно в центральній частині течії. Для pотлетів однакової інтенсивності (рис.1б,в) в верхній і нижній частині круга розміщуються два острови, які відповідають повністю нерухомим (фіксованим) точкам (0, 0.82) та (0, -0.82) нульового періоду в центрі островів на осі OY. Рух частинок в цій зоні дуже повільний, один оберт частинка виконує приблизно за сто періодів.

Аналіз періодичних точок такої течії свідчить, що в разі збільшення інтенсивності ротлетів швидко збільшується кількість періодичних точок, розташованих порівнянно далеко від ротлетів. Всього для режиму (рис.1б) знайдено 10 періодичних точок другого порядку, серед них: 8 точок гіперболічних і 2 еліптичних. Також знайденo періодичні точки третього (7 гіперболічних) і четвертого (6 гіперболічних і 2 еліптичних). Із збільшенням інтенсивності, , центральна частина течії трансформується в зону хаотичного руху (рис.1в).

Перетин Пуанкаре для несиметричного випадку показано на рис.1г. Внаслідок різниці у величинах інтенсивностей порушена симетрія відносно осі OY. Більшу частину області займає течія, яка визначається дією правого ротлета. Ця область містить в собі як зону хаотичного руху, так і послідовність еліптичних островів другого порядку, характер і розташування яких такий, як і у випадку ротлетів однакової інтенсивності (рис.1а-в). Розміри островів зросли, а їх центри змістилися ліворуч до від'ємних значень осі ОХ. Зміна інтенсивності лівого ротлету привела до повного зникнення еліптичних островів навколо лівого ротлету за тої самої картини регулярних кривих, що огинають хаотичне “море”.

Дослідження режимів перемішування у півколі на основі аналізу перетина Пуанкаре проведено для двох випадків. В першому з них зафіксованo швидкість нижньої границі півкола на значенні U = 1.5, а швидкість кругової границі V змінювалась в діапазоні 0.1 Ј V Ј 1.5. Усі значення швидкостей віднесені до a/T (рис.2). В другому випадку, навпаки, фіксувалася швидкість кругової границі на значенні V = 1.5, а швидкість нижньої границі півкола U змінювалася в діапазоні значень від 0.1 до 1.5 (рис.3).

Одержані результати дозволяють стверджувати, що зі зміною швидкості кругової границі від 0.1 до 0.5 розміри островів збільшуються і заповнюють собою більшу частину регулярної області (рис.2а - в). Якщо швидкість V набуває значень, дещо більших, ніж 0.5, то більша частина островів перетину Пуанкаре зникає. Результати для випадку V = 0.57 представлено на рис.2г. В разі подальшого зростання швидкості окружної границі регулярні острови в центральній частині течії зникають зовсім. Течія виразно поділяється на дві області: центральну, упорядковану область течії рідини, і периферійну, пристіночну, яка проявляє хаотичні властивості.

В другому випадку (V = 1.5, а швидкість нижньої границі змінна) показано, що якісна картина перетинів Пуанкаре не змінюється поки 0.1 Ј U Ј 0.5. Основну частину області займає область регулярного руху з великим островом у центрі (рис.3а). Всередині острова знаходиться еліптична точка першого порядку. З ростом швидкості до U = 0.8 хаотична область збільшилась, в ній з'явилися п'ять невеликих островів, які відповідають еліптичним періодичним точкам п'ятого порядку (рис.3б).

Картина перетину Пуанкаре різко змінюється в разі збільшення швидкості прямолінійної границі до U = 0.9 (рис. 3в). В цьому випадку п'ять периферійних островів зміщуються з області хаотичного руху в центральну частину, область регулярного руху. Таким чином, розміри регулярної області збільшуються. Наявність островів підтверджується існуванням еліптичних точок першого (-0.130, 0.550) та п'ятого (0.266, 0.735) порядків відповідно. Між островами знаходиться гіперболічна точка пятого порядку (-0.304, 0.304). При збільшенні швидкості прямолінійної границі до U = 1.5 острови знову з'являються в хаотичній області, але кількість їх зменшилась до чотирьох (рис. 3г).

Одержані результати прямого моделювання процесу адвекції довільної пасивної рідкої області у півколі для випадку U = 0.8, V = 1.5 (рис.3б) підтверджують проведений аналіз перетину Пуанкаре для півкола.

Гіперболічну точку з координатами (-0.303, 0.256) було оточено системою маркерів, які формують коло з радіусом r0 = 0.25 (рис.4а), і просліджено за деформацією цього контура. Один його кінець витягнувся і “розмазується” вздовж стінок півкола, а другий розташувався в центральній частині півкола і менше деформувався. Можна зазначити, що контур поступово переміщується в хаотичну пристіночну область течії.

На останньому рисунку (рис.4г) контур розтягнуто майже по всій хаотичній зоні і в кутових точках можна спостерігати досить складну картину.

На рис. 5 представлені результати прямого моделювання процесу двекції у круговій області при перемінній дії ротлетів

У висновках сформульовані основні результати і висновки.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

В дисертації одержано такі результати:

1. Проведено комплексний аналіз двовимірної течії Стокса в круговій області та у півколі. Побудовано аналітичні розв'язки функції течії і поля швидкості для течій Стокса для цих двох геометрій.

2. На основі одержаного виразу для поля швидкості, вивчена кінематика двовимірної течії Стокса в заданих областях. Основна увага приділена кінематиці перемішування шляхом адвекції частинок рідини. Вивчено режими регулярної і хаотичної адвекції. Побудовано чисельний алгоритм моделювання процесу адвекції виділенного контура, який зберігає площу під час складних деформацій.

3. Розроблено метод пошуку періодичних точок та застосовано його для несиметричного випадку двовимірної течії Стокса.

4. Вивчено основні закономірності процесу перемішування рідини в залежності від параметрів системи. Показано, що області інтенсивного перемішування ротлетами розташовуються в центральній частині порожнини, а для перемішування у півколі – біля стінок.

5. Отримані результати демонструють, що математична теорія нелінійних динамічних систем (хаотична динаміка) має суттєве значення для опису перемішування в'язкої рідини.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА МАТЕРІАЛАМИ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Дунаєва Т.А. Хаотична адвекція в двовимірній стоксовій течії у півколі //Вісник Київського університету, серія:Фізико-математичні науки, – 2000. – N 4. – C. 75–81.

2. Ареф Х., Дунаева Т.А., Мелешко В.В. Хаотическая адвекция в двумерном Стоксовом течении в круге // Прикладна. гідромеханіка. – 2000. – 2, N 1. – C. 3 –9.

3. Дунаєва Т.А. Розробка методики аналізу поверхневого розподілу в'язких речовин ¦для моделювання розповсюдження антропогенних забруднень // Моніторинг та прогнозування генетичного ризику в Україні. – К.: НТТУ “КПІ”. – 2000. – N 3. – С. 117–127.

4. Дунаева Т.А., Гуржий А.А., Мелешко В.В. Перемешивание вязкой жидкости в полукруге при малых числах Рейнольдса // Прикладна гідромеханіка. – 2001. – 3, N 2.– C. 15 – 24.

5. Дунаева Т.А., Мелешко В.В. Об одном алгоритме отыскания периодических точек // Доповіді НАН України, – 2001. – N 11. – C. 42 – 47.

АНОТАЦІЯ

Дунаєва Т.А. Перемішування в'язкої рідини при малих числах Рейнольдса у скінченних двовимірних областях. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми. – Інститут гідромеханіки НАН України, Київ, 2002.

Дисертацію присвячено процесам перемішування Стоксових течій за допомогою хаотичної адвекції. Розроблено методи розв'язку задач, які описують рух нестисливої, в'язкої рідини, що обумовлений поперемінною дією ротлетів в круговій області та поперемінним рухом границь у півколі. Отримано точні аналітичні розв'язки для ротлетів різної інтенсивності у круговій області та для границь, що рухаються з різними швидкостями, у півколі. Проведено комплексний аналіз процесів перемішування в заданих областях, що грунтується на використанні критеріїв хаотизації руху динамічних систем. Встановлено вплив параметрів руху границь на ефективність перемішування в обмежених областях. Для кількісного аналізу еволюції відміченого пасивного контуру використано такі статистичні міри, як квадратична щільність і інтенсивність сегрегації.

Ключові слова: адвекція, Стоксові течії, ротлети, інтенсивність сегрегації, процеси перемішування .

АННОТАЦИЯ

Дунаева Т.А. Перемешивание вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса в конечных двумерных областях. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы. – Институт гидромеханики НАН Украины, Киев, 2002.

Диссертационная работа посвящена процессам перемешивания Стоксових течений при помощи хаотической адвекции. Разработаны методы решения задач, описывающие движение несжимаемой, вязкой жидкости, обусловленное чередующимся действием ротлетов в круге и периодическим движением круговой и прямолинейной границей в полукруге. Получены точные аналитические решения для ротлетов различной интенсивности в круге и, для двигающихся с разными скоростями границ, в полукруге. Проведен комплексный анализ процессов перемешивания в заданных областях, основанный на использовании критериев хаотизации движения динамических систем.

Среди известных критериев, направленных на определение областей интенсивного перемешивания, в первую очередь можно выделить сечение Пуанкаре. При помощи этого критерия в исследуемых задачах определено пространственное положение зон хаотического движения жидких частиц, при котором траектории двух близлежащих частиц жидкости со временем, в среднем, экспоненциально расходятся. Кроме того, сечение Пуанкаре позволяет достаточно быстро найти те зоны течения, которые выделенная пассивная примесь не может покинуть, т.е. области регулярного движения частиц. Анализ, проведенный в данной работе для двух типов течений, свидетельствует о надежности и эффективности сечения Пуанкаре. Выводы и результаты, полученные с его помощью как для течения в круге, так и для течения в полукруге, совпадают с результатами, полученными с помощью других критериев (наличие регулярных зон движения – с эллиптическими периодическими точками; хаотических зон движения – с гиперболическими точками).

Использование анализа периодических точек позволяет судить о тенденции режимов перемешивания при изменениях параметров течения. В рассмотренных задачах увеличение интенсивности движения ротлетов или скорости движения границ приводит к существенному изменению количества и типа периодических точек. Это является предвестником хаотизации течения жидкости, и как результат, формирования широких зон интенсивного перемешивания.

Для количественного анализа эволюции выделенной пассивной примеси были использованы такие статистические меры как квадратичная плотность и интенсивность сегрегации. Исследование процессов

перемешивания с помощью статистических методов позволяет сделать вывод, что эффективное размешивание в рассматриваемых двумерных течениях наступает значительно раньше того момента, когда режим перемешивания становится интенсивным, т.е. при котором длина контура растягивается экспоненциально. Это свойство процессов перемешивания и размешивания является характерным для исследуемых задач.

Ключевые слова: адвекция, Стоксовые течения, ротлеты, интенсивность сегрегации, процесс перемешивания.

ABSTRACT

Dunaeva T.A. Mixing of a viscous fluid in finite two-dimensional low Reynolds number flows.

Thesis to acquire the academic degree of a candidate of physical and mathematical science in speciality 01.02.05 –mechanics of fluids, gas and plasma. – Institute of Hydromechanics of the National Academy of Sciences, Kiev, 2002.

The subject of the dissertation is the mixing in the Stokes flows caused by a chaotic advection. The two-dimensional Stokes flow generated by a periodic motion of the rotlets in a circular domain and rectilinear boundary in a semicircle, are considered. The exact analytical solutions for the velocity field are given. It is also studied the peculiarities of the velocity field and their influence on the motion of a surrounding passive flow in these domainsare. Poincarй section and trajectories of motion of passive fluid particles, are calculated and analyzed for various regimes and values of boundary velocities, which allow to determine both zones of intensive (chaotic) and weak (regular) mixing of marked passive regions of fluid flow in the semicircle and in the circle.The statistical measures, asquare density and an intensity of segregation are used for the quantitative analysis of the evolution of the given passive fluid particles.

Keywords: advection, Stokes flows, rotlets, intensity of segregation, mixing processes.