Міністерство освіти і науки України
Міністерство освіти і науки України
Львівський національний університет імені Івана Франка
Дільний Володимир Миколайович
УДК 517.5
ДЕЯКІ ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЙ,
АНАЛІТИЧНИХ У ПІВПЛОЩИНІ,
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
01.01.01 – математичний аналіз
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Львів - 2002
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка
Міністерства освіти і науки України
Науковий керівник-
доктор фізико-математичних наук, доцент
Винницький Богдан Васильович,
професор кафедри математичного аналізу
Дрогобицького державного педагогічного
університету імені Івана Франка.
Офіційні опоненти-
доктор фізико-математичних наук, доцент
Заболоцький Микола Васильович,
завідувач кафедри математичного
моделювання Львівського
національного університету імені Івана Франка.
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Мохонько Валентина Дмитрівна,
завідувач кафедри математики
Львівського технічного коледжу.
Провідна установа:
Харківський національний університет ім. Н.В. Каразіна,
кафедра теорії функцій та функціонального аналізу
Захист відбудеться “_21__” _березня_ 2002 р. о 15.20 год. на
засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07. у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:
79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.
З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівсько-го національного університету імені Івана Франка
(вул. Драгоманова, 5).
Автореферат розісланий “_19_” _лютого_ 2002 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради ___________ Бокало М.М.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми.
Вивченню рівнянь типу згортки в різних функціональних просторах присвячені багаточисельні дослідження, які мотивовані різноманітними застосуваннями при вивченні як прикладних, так і теоретичних задач. З 20-их років ХХ-го століття у працях Н. Вінера, Р. Пелі, Е. Тітчмарша, Е. Гопфа та інших математиків активно вивчалися рівняння згортки у просторах типу Lp. Одним із глибоких результатів цього напрямку є теорема А. Берлінга, яка дає критерій повноти системи многочленів з вагою у просторі Гарді у крузі.
Р. Лакс надав цьому твердженню еквівалентне формулювання. Цей результат сформулюємо так.
Теорема Берлінга-Лакса. Наступні умови є еквівалентними:
1) рівняння
(0.1)
має лише нульовий розв'язок f у класі L2(-Ґ;0);
2) функція
є зовнішньою для простору Гарді H2(C+) у півплощині , тобто подається у вигляді
;
3) Множина функцій є повною в H2(C+).
Із цієї теореми випливає, що рівняння (0.1) має ненульовий розв'язок у класі L2(-Ґ;0) тоді і тільки тоді, коли функція G задовольняє
принаймні одну з наступних умов: а) G має хоч один нуль в C+;
б) сингулярна гранична функція функції G не є тотожною сталою;
в)
Доведення теореми Берлінга-Лакса базується на результатах класичної теорії просторів Гарді, зокрема на теоремах Пелі-Вінера та факторизаційній теоремі. М. Джрбашян, І. Коренблюм,
Н. Нікольський, Б. Левін, В. Гурарій, Н. Говоров, І. Красічков-Терновський, А. Гришин, А. Джрбашян, П. Руні, Ж. Бенедетто,
Г. Гейніг, Ж. Гарсіа-Куерва, В. Власов, А. Рачков та ряд інших математиків поширювали окремі аспекти згаданих вище результатів на вагові простори Гарді та різні їх модифікації. При цьому найбільш завершені результати одержані для просторів з вагою степеневого типу. Нам, проте, не відомий жодний повний аналог теореми Берлінга-Лакса для вагових просторів Гарді у крузі чи півплощині. Б. Винницький розглянув банахів простір Hsp (C+),
1Ј p<+Ґ, 0Јs<+Ґ, функцій f, для яких
тобто простір Гарді з експоненціальною вагою. Згідно з однією теоремою А. Сєдлецького простір H0p (C+), 1Ј p<+Ґ, співпадає з простором Гарді Hp (C+). Крім того, клас Пелі-Вінера, тобто клас цілих функцій експоненціального типу які належать Lp на дійсній осі, міститься в Hsp (C+). Для 1<pЈ2 Б. Винницький встановив аналог теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі а також аналог еквівалентності умов 1) і 3) теореми Берлінга-Лакса. Б. Винницький і В. Шаран отримали факторизацію простору HsҐ (C+).
Питання про аналоги:
а) теореми Пелі-Вінера для Hs1 (C+);
б) факторизаційної теореми для Hsp (C+), 1Ј p<+Ґ;
в) умови 2) теореми Берлінга-Лакса для Hs2 (C+) залишалися відкритими.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, вибраний у дисертації, передбачений планами наукової роботи Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка.
Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є розвиток теорії
експоненціально-вагових просторів Гарді у півплощині та її застосувань , що передбачає вирішення таких задач:
- одержання аналогу теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі на півплощину для простору Hs1 (C+);
- факторизація для просторів Hsp (C+), 1Ј p<+Ґ;
- дослідження повноти систем експонент з вагою у просторі Hs2 (C+) та відповідного рівняння типу згортки.
Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати є новими. У роботі вперше отримано:
- узагальнення теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі для простору Hs1 (C+), s>0;
- факторизацію та повний опис повних мір, за термінологією
А. Гришина, функцій з простору Hsp (C+), 1Ј p<+Ґ, s>0;
- критерій існування нетривіальних розв'язків рівняння типу згортки і повноти систем експонент з вагою в Hs2 (C+), s>0, у термінах аналітичного продовження;
- теорему про залежність повноти системи експонент з вагою в Hs2 (C+), s>0, та існування розв'язків відповідного рівняння
типу згортки від сингулярного множника;
нові кількісні необхідні та достатні умови, при яких система експонент з вагою повна в Hs2 (C+), s>0, і відповідне рівняння типу згортки має лише тривіальний розв'язок.
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування в наступних дослідженнях, присвячених рівнянням типу згортки та повноті систем експонент, теорії інтерполяції, теорії вагових просторів Гарді.
Особистий внесок здобувача. Викладені в роботі результати отримано автором самостійно. Щодо розглянутих у дисертації задач, які розв'язані в праці, спільній з науковим керівником,
Б. Винницькому належить їх постановка і загальне керівництво роботою.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації
доповідались та обговорювались на Міжнародній конференції "Математичний аналіз і економіка" (Суми, 1999 р.), на Міжнародній конференції "Цілі і мероморфні функції" (Львів, 2000 р.), на VIII-ій
Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2000 р.), на Міжнародній конференції "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь" (Дрогобич, 2001 р.), на семінарі з теорії аналітичних функцій у Дрогобичі (керівник проф.
Б. Винницький), на семінарі з теорії аналітичних функцій у Львові (керівники проф. А. Кондратюк, проф. О. Скасків), на семінарі з теорії аналітичних функцій у Харкові (керівник проф. А. Гришин), на регіональному семінарі з математичного аналізу (керівник проф. М. Шеремета).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 6 роботах
(5 без співавторів), з яких 4 (3 без співавторів) опубліковано
у виданнях, включених у перелік ВАК України, в яких слід
публікувати матеріали дисертацій.
Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із переліку умовних позначень, вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 132 сторінки. Список використаних джерел займає 11 сторінок і включає 119 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовується актуальність теми, дається короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, подається загальна характеристика дисертації.
У першому розділі наведено огляд праць, що стосуються просторів Гарді та їх аналогів, а також рівнянь типу згортки у різних функціональних просторах.
Розділ 2 присвячений дослідженню кутових граничних значень функцій з класу Hsp (C+), 0Јs<+Ґ, 1Ј p<+Ґ. Функції f із простору Hsp (C+) мають майже скрізь на ¶C+ кутові граничні значення, які позначаємо через f(iy) або f0(iy) і fОLsp(¶C+) Тут через Lsp(¶C+), 0Јs<+Ґ, позначаємо простір таких функцій
f:¶C+® C, що f(iy)exp(-s|y|)ОLp(R). У підрозділі 2.1 встановлюємо аналог теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі.
Теорема 2.1. Для того, щоб функція f0О Ls1(¶C+) була кутовою граничною функцією деякої функції fОHs1 (C+), необхідно і досить, щоб знайшлась така функція f2, що виконуються умови:
а) f2ОH2s1 (C+);
б) f3(iy):=f1(iy)+f2(iy)ОL1(-Ґ;0), f1(iy):=f0(iy)e-sy;
в) для всіх t<0
г) f2=f5-f4,
де f4(z)e-iszО Hs1 (C+), f5(z)eiszО Hs1 (C+).
Слід відмітити, що якщо s=0, то з останнього твердження випливає варіант класичної теореми Пелі--Вінера (в цьому випадку можна покласти f2єf4єf5є0. Для просторів Hsp (C+), 1<pЈ2, аналогічну теорему довів Б. Винницький, причому у цьому випадку умова г) є відсутньою. Розклад г) відомий для багатьох конкретних функцій f2ОH2s1 (C+) проте, чи справедливий він в загальному випадку, тобто чи можна умову г) опустити, нам невідомо. Наявність умови г) в теоремі 2.1 створює певні труднощі при її застосуванні. У зв'язку з цим доводиться наступна достатня умова.
Теорема 2.2. Якщо для функції f0О Ls1(¶C+) виконуються умови а)-в) попередньої теореми і
д) f2(u)ln(2+u)ОL1(0;+Ґ),
то існує функція fОHs1 (C+) що має f0 своєю кутовою граничною функцією.
У зв'язку з питанням про зайвість умови д) в теоремі 2.2 ми зауважуємо в лемі 2.7, що позбутися цієї умови шляхом покращення застосованих при доведенні теореми 2.2 оцінок не можна. На користь того, що теорема 2.1 справедлива лише з умовами а)-в), вказують наступні два твердження. Для їх формулювання позначимо через Ep[C(a,b)], де 0<b-a<2p, 1Јp<Ґ, простір функцій, аналітичних в куті C(a,b):={z:a<arg z<b}, для яких
Відомо, що функції з цих просторів мають м. с. на ¶C(a,b) кутові граничні значення, які належать Lp[¶C(a,b)].
Teoрeма 2.3. Якщо для функції f0О Ls1(¶C+) знайдеться така функція f2, що виконуються умови а)-в) теореми 2.1 і
е) для f2 існує скінченна лінійна комбінація g(z) функцій системи
(1)
що m(z):=f2(z)-g(z)e2iszОL1[¶C(-p/2;0)], то існує функція fОHs1 (C+), що має f0 своєю кутовою граничною функцією.
Якби вдалося показати, що для кожної jОE1[C(-p/2;0)] і заданого s>0 можна підібрати скінченну лінійну комбінацію g(z) функцій системи (1) так, що (j(z)-g(z))e2iszОL1[¶C(-p/2;0)]
то умову е) в теоремі 2.3 можна було б опустити. Ми, проте, доводимо лише наступне твердження.
Теорема 2.4. Cистема (1) є повною у просторі
Зауважимо, що для функції fОHsp (C+), 1Јp<+Ґ, існує сингулярна гранична функція h, яка з точністю до адитивної сталої і значень в точках неперервності визначається рівністю
У підрозділі 2.2 центральним результатом є наступне факторизаційне твердження.
Теорема 2.5. Нехай послідовність (ln) комплексних чисел із C+, незростаюча на (-Ґ;Ґ) функція h, похідна якої м. с. рівна нулеві і функція f0:¶C+® C задовольняють умови
(2)
(3)
(4)
де
Тоді функція
(5)
де -- дійсні сталі, задовольняє умову
(6)
Навпаки, якщо функція fT0 задовольняє умову (6), то вона подається у вигляді (5), де f0-- кутова гранична функція на ¶C+ функції f, h-- її сингулярна гранична функція, причому h'(t)=0 для майже всіх tОR, (ln) -- послідовність нулів функції f і виконуються умови (2)-(4), причому добутки та інтеграли в (5) збігаються абсолютно та рівномірно на кожному компакті із C+.
З цієї теореми одержуємо повний опис повних мір за термінологією А.Гришина. Цьому результату можна надати наступну форму.
Теорема 2.6. Для того, щоб існувала функція fОHsp(C+), 1Јp<Ґ, fT0, послідовність нулів, сингулярна гранична функція і модулі кутових граничних значень якої співпадають відповідно з (l), h, і |f0(it)|, необхідно і досить, щоб функція h була незростаючою, причому h'(t)=0 м. с. і виконувались умови (2)-(4).
З теореми 2.5 одержуємо також повний опис модулів кутових граничних значень.
Теорема 2.7 Для того, щоб існувала функція fT0, що fОHsp(C+), 1Јp<Ґ, модулі кутових граничних значень якої м. с. на ¶C+ співпадають з |f0(it)|, необхідно і досить, щоб виконувалось (3) і
Відмітимо, що теореми 2.5-2.7 для випадку p=Ґ встановлені Б. Винницьким та В. Шараном, які спиралися на деякі результати
Н. Говорова.
При s=0 з теорем 2.6 та 2.7 отримуємо добре відомі твердження про опис нулів, сингулярних граничних функцій та модулів кутових граничних функцій у класах Гарді Hp(C+), 1Јp<Ґ.
Розділ 3 присвячений дослідженню існування розв'язків рівняння згортки в півсмузі та задачі про повноту системи
(7)
у просторі Hs2(C+), s>0. Щоб сформулювати потрібні результати, позначимо через Ep[Ds] i E*p[Ds] простори функцій f, аналітичних відповідно в i , для яких
де супремум береться за всіма відрізками g, які лежать відповідно в Ds i Ds* і є паралельними одній зі сторін ¶Ds. Функції із цих просторів мають м. с. ¶Ds на кутові граничні значення, які позначаємо через f(z) i fОLp[Ds]. Розглядаємо рівняння
(8)
де f шукається у класі E2[Ds]. Б. Винницький показав, що рівняння (8) має лише нульовий розв'язок тоді і тільки тоді, коли система (7) є повною в Hs2(C+), де
(9)
При цьому рівність (9) задає взаємно однозначне відображення простору на і справедлива двоїста формула
(10)
Нехай Ts2(C-)-- функціональний простір, який складається з усіх впорядкованих трійок (F1 ,F2 ,F3) функцій F1, F2 і F3 таких, що
F1(z)e-iszОH2(C-), F3(z)eiszОH2(C-), F2-- ціла функція експоненціально-го типу s, що належить L2 на дійсній осі і F1(z)+F2(z)+F3(z)є0, zОC-.
Тоді, як показав Б. Винницький, рівності
(11)
де l1 i l3-- півпрямі ¶Ds, що лежать відповідно під і над дійсною віссю, а l2-- відрізок [-is ;is], орієнтація яких узгоджена з додатним обходом Ds, задають взаємно однозначне відображення E2[Ds] на Ts2(C-) і справедлива двоїста формула
У підрозділі 3.1 знаходимо розв'язки вищенаведених задач у термінах аналітичного продовження.
Теорема 3.1 Нехай функція gО E*2[Ds] є такою, що
для функції G, визначеної рівністю (9), справедливе представлення
є) G=G+-G_, де G+(z)e-is z ОH2(C+), G_(z)eisz ОH2(C+).
Тоді для того, щоб функція fО E2[Ds] була розв'язком рівняння
(8), необхідно і досить, щоб функція
F1(iy)=G(iy)F1(iy), (12)
де F1 визначена формулою (11), була кутовою граничною функцією на ¶C+ такої функції P1, що P1(z)e-is z ОHs1 (C+)$.
При s=0 з теореми 3.1 одержуємо відомий критерій існування розв'язку рівняння
(13)
у класі L2(-Ґ;0), яке можна вважати граничним випадком (при s=0)
рівняння (8).
Теорема 3.2. Нехай функція gОE*2[Ds] така, що для функції G, визначеної рівністю (9), виконується умова
ж) G(x)ln (2+x)О L2(0;+Ґ).
Тоді для того, щоб функція fОE2[Ds ] була розв'язком рівняння (8),
необхідно і досить, щоб функція F(iy), визначена рівністю (12),
була кутовою граничною функцією на ¶ C+ такої функції
P1, що P1(z)e-isz ОHs2 ( C+)$.
З останньої теореми одержуємо наступний критерій існування розв'язків рівняння (8).
Теорема 3.3. Для того, щоб рівняння (8), мало нетривіальний розв'язок у класі E2[Ds ], необхідно і досить, щоб існувала така функція fОE2[Ds ], f№ 0, що функція F1(iy), визначена рівністю (12), є кутовою граничною функцією на ¶ C+ такої функції P1, що P1(z)e-isz e-c1zОHs2 ( C+) для деякого c1і0.
Зауважимо, що функція f, яка фігурує в останній теоремі, не обов'язково є розв'язком рівняння (8).
Вищенаведені твердження можна сформулювати для системи (7). Зробимо це, наприклад, для теореми 3.3.
Теорема 3.6. Для того, щоб система функцій (7) не була повною у просторі , необхідно і досить, щоб існувала функція (F1,F2,F3)О Ts2( C_), (F1,F2,F3 )№ (0,0,0) і стала c2і0,
такі, що функція F1(iy), визначена рівністю (12), є кутовою граничною функцією на ¶ C+ такої функції P1, що
P1(z)e-isz e-c2zОHs2 ( C+).
При доведенні теореми 3.3 істотно використовується наступне твердження, яке не має аналогу для рівняння (13).
Лема 3.4. Нехай cОR-- таке число, що Gс(z):=eczG(z)О Hs2 (C+). Рівняння (8) має ненульовий розв'язок тоді і тільки тоді, коли рівняння
де
має ненульовий розв'язок.
Останнє твердження разом з теоремою 2.5 показує, що існування нетривіальних розв'язків рівняння (8) залежить лише від властивостей повної міри, за термінологією A. Гришина, функції G, визначеної рівністю (9). Далі ми досліджуємо цю залежність.
У підрозділі 3.2 вивчаємо питання про існування розв'язків рівняння (8) та повноту системи (7) у випадку, коли сингулярна гранична функція функції G не є сталою.
Теорема 3.8. Якщо сингулярна гранична функція h функції G,
визначеної рівністю (9), не є тотожною сталою, то рівняння (8) має ненульовий розв'язок у класі E2[Ds ].
Відмітимо, що за теоремою Берлінга-Лакса аналогічне твердження справедливе для рівняння (13). У випадку, коли сингулярна гранична функція h(t) функції G має в точці t=a стрибок іb, знаходимо конкретний вигляд розв'язків.
Теорема 3.9. Якщо сингулярна гранична функція функції GОHs2 (C+) не є тотожною сталою, то система (7) не є
повною у просторі Hs2 (C+).
У підрозділі 3.3 розглядаємо питання про узагальнення теореми Берлінга-Лакса. Центральними тут є наступні дві теореми.
Теорема 3.10. Нехай функція gОE2[Ds ] є такою, що
функція G, визначена рівністю (9), має вигляд
(14)
і
(15)
Тоді рівняння (8) має лише нульовий розв'язок у просторі E2[Ds ].
Розвиваючи деякі результати Б.~Винницького, одержуємо наступне твердження.
Теорема 3.13. Нехай функція gО E2[Ds ] є такою, що
функція G, визначена рівністю (9), має вигляд (14) і
(16)
Тоді рівняння (8) має ненульовий розв'язок у просторі E2[Ds ].
Зауважимо, що теореми 3.10 та 3.13 вказують на те, що на відміну від випадку s=0, на наявність нетривіального розв'язку рівняння (8) впливає і поведінка модулів кутових граничних значень функції G.
Враховуючи теореми 2.5, 3.9 і теорему 1.14, теореми 3.10 та 3.13 можна сформулювати у вигляді наступного твердження.
Теорема 3.17. Нехай GОHs2 (C+). Тоді для того, щоб система (7) була повною у просторі Hs2 (C+), необхідно, щоб G не мала нулів у C+, її сингулярна гранична функція була тотожною сталою та виконувалась умова
(17)
і досить, щоб G не мала нулів у C+, її сингулярна гранична функція
була тотожною сталою та виконувалась умова (15).
Теорема 3.18. Нехай sО(0;+Ґ). Тоді для того, щоб функція GОHs2 (C+) була зовнішньою для Hs2 (C+), необхідно, щоб вона подавалась у вигляді (14) та виконувалась умова (17) і досить, щоб вона подавалась у вигляді (14) та виконувалась умова (15).
Нам не вдалося з'ясувати, чи є система (7) повною в Hs2(C+),
коли
(при s1=s, як показав Б. Винницький, вона не є повною, при s=0
повнота системи (7) випливає з теореми 3.17). Це стримало
подальше просування в окресленому колі питань.
ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі вивчаються властивості раніше розглянутого Б.Винницьким простору Hsp (C+), 1Ј p<+Ґ, 0<s<+Ґ,
який з одного боку є узагальненням класичних просторів Гарді у півплощині, а з іншого аналогом для півплощини класу Пелі--Вінера цілих функцій. Одержано розв'язок ряду актуальних задач в цьому напрямку, і, зокрема, вперше отримано:
I) узагальнення теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі для простору Hs1 (C+),s>0;
II) факторизацію та повний опис повних мір, за термінологією
А.Гришина, функцій з простору Hsp (C+), 1Ј p<+Ґ, s>0;
III) критерій існування нетривіальних розв'язків рівняння типу згортки і повноти систем експонент з вагою в Hs2 (C+),s>0, у термінах аналітичного продовження;
IV) теорему про залежність повноти системи експонент з вагою в Hs2 (C+) та існування розв'язків відповідного рівняння
типу згортки від сингулярного множника;
V) опис функцій в Hs2(C+), для яких система експонент з
вагою повна в Hs2(C+) і відповідне рівняння типу згортки має лиш тривіальний розв'язок.
Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування в наступних дослідженнях умов повноти систем аналітичних функцій, а також при розв'язуванні рівнянь типу згортки, в теорії інтерполяції.
Більшість результатів мають форму критеріїв, для інших вказано можливі шляхи їх уточнення. При їх отриманні використовуються методи сучасної теорії аналітичних функцій.
Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в наступних статтях і наукових повідомленнях:
1. Винницький Б.В., Дільний В.М. Про один аналог теореми Пелі-Вінера для вагових просторів Гарді // Матем. студії -- 2000. -- 14. – №1. -- C.35--40.
2. Дільний В. М. Про один варіант теореми Пелі-Вінера //
Вісник Харківського національного університету. Серія "Математика, прикладна математика і механіка". -- 2000. -- №475. --
C.45 -- 48.
3. Дільний В.М. Про розв'язки однорідного рівняння згортки в одному класі функцій Гарді-Смірнова // Матем. студії -- 2000. -- 14. -- №2. -- C.171-174.
4. Дільний В.М. Про повноту однієї системи функцій у кутовій області // Укр. мат. журн. -- 2001. -- 53, №2. -- C.255-257.
5. Дільний В.М. Про граничні значення функцій, аналітичних у півплощині // Матеріали VII міжн. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука -- К. -- 2000. --С.271.
6. Дільний В.М. Повнота систем експонент у кутовій області
// Міжн. наук. конф. "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь". Тези доповідей. -- К. -- 2001. --С.53.
Дільний В. М. Деякі властивості функцій,
аналiтичних у пiвплощинi, та їх застосування . -- Рукопис.
Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 - математичний аналiз. -- Львiвський національний унiверситет iмені Iвана Франка, Львiв, 2001.
У дисертацiйнiй роботi для одного експоненціально-вагового класу Гарді у півплощині отримано опис кутових граничних значень у термінах перетворення Фур'є--Лапласа, повний опис повних мір у термінології Гришина та факторизацію а також аналог теореми Берлінга--Лакса про повноту системи експонент з вагою.
Ключовi слова: функція, аналітична у півплощині; кутові граничні значення; ваговий простір Гарді; факторизація; повна міра аналітичної функції; повнота системи функцій; рівняння згортки;
теорема Берлінга--Лакса.
Dilnyi V. M. Some properties of functions,
analytic in the half-plane and it applications. -- Manuscript.
The thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. -- Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2001.
In the thesis we obtain description of angle bounded values in terms of Fourier--Laplace transform, complete description of complete measure in Grishin's terminology, factorisation for one weigted Hardy space and analogue of Beurling--Lax theorem about completness of weighted system of exponents.
Key words: analytic in the half-plane function; angle bounded values; weighted Hardy space; factorisation; complete measure of analytic function; completness of function system; convolution equation; Beurling--Lax theorem.
Дильный В. Н. Некоторые свойства функций, аналитических в полуплоскости, и их применения. -- Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата
физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2001.
Исследуются аналоги классических результатов, касающихся пространств Харди в полуплоскости, для одного экспоненциально--весового пространства Харди в полуплоскости Hsp (C+), 0<s<+Ґ, 1Ј p<+Ґ.
Диссертация состоит из введения, трех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников. Объем диссертации 132 страницы. Список используемых источников включает 119 наименований.
Во введении дано обоснование актуальности темы, приводятся цель и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и апробация полученных результатов, количество публикаций.
В первом разделе дан обзор работ, в которых исследуются классические и весовые пространства Харди в полуплоскости, уравнения типа свёртки, полнота весовых систем экспонент в функциональных пространствах, а также формулируются основные результаты диссертации.
Во втором разделе получено описание угловых граничных значений функций из Hs1(C+) в терминах преобразования Фурье--Лапласа, факторизационная теорема и полное описание полных мер в терминологии А. Гришина для Hsp(C+), 1Јp<+Ґ.
В третьем разделе получен критерий полноты одной системы экспонент с весом в Hs2(C+) терминах аналитического продолжения и некоторые количественные условия полноты вышеуказанной системы. Указаны аналоги утверждений этого раздела для одного уравнения типа свёртки в полуполосе.
Ключевые слова: функция, аналитическая в полуплоскости; угловые граничные значения; весовое пространство Харди; факторизация; полная мера аналитической функции; полнота системы функций; уравнение свсртки; теорема Бёрлинга--Лакса.
