ІНСТИТУТ КІБЕРНЕТИКИ ІМЕНІ В.М. ГЛУШКОВА

НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ

ВАСИЛИК Віталій Богданович

УДК 519.63, 517.9

FD-МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ АБСТРАКТНИХ ГІПЕРБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ

01.01.07— обчислювальна математика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

КИЇВ— 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Макаров Володимир Леонідович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу обчислювальної математики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Лучка Антон Юрійович,

Інститут математики НАН України

кандидат фізико-математичних наук

Кашпіровський Олександр Іванович,

Державний міжгалузевий НДІ “Вектор”

Провідна установа:

Львівський національний університет імені

Івана Франка, м. Львів

Захист відбудеться “ 21 ” квітня 2000 р. об 11 годині на

Засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.01 при Інституті кібер-

нетики імені В.М. Глушкова НАН України, 022, Київ-22, проспект

Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, проспект академіка Глушкова, 40

Автореферат розіслано “ 21 ” березня 2000р.

Учений секретар

Спеціалізованої вченої ради

Моісеєнко В.В.

Актуальність теми. Математичні моделі багатьох природних явищ при-водять до задач, що містять гіперболічні рівняння, для яких в більшості випадків не вдається знайти розв'язок аналітично. До таких моделей відносяться моделі гідродинаміки, акустики, електродинаміки та ін. З іншого боку, відшукання аналітичного розв'язку може виявитися досить важкою проблемою; або, навіть, коли такий розв'язок знайдено, використання його буде недоцільним внаслідок надмірної складності. Сучасний рівень розвитку ЕОМ та програмного забезпечення дає можливість вирішення таких задач. Тому розв'язуванню задач для рівнянь гіперболічного типу присвячена велика кількість робіт. Разом з тим, проблема побудови високоточних ефективних наближених методів їх розв'язання залишається актуальною до цих пір.

Велика кількість робіт присвячена вивченню абстрактних диференціальних рівнянь з операторними коефіцієнтами. Більша частина цих праць пов'язана з дослідженням існування та єдиності розв'язку. Серед них потрібно відмітити роботи С.Г. Крейна, A.A. Favini, М.Л. Горбачука, П.Е. Соболевського та ін. Проте, дуже мало робіт, в яких би зустрічалося конструктивне представлення розв'язків в гільбертовому чи банаховому просторах.

Центральне місце серед розв'язків вищезазначених рівнянь займає операторна експонента. Але, крім класичного представлення у вигляді ряду Маклорена, для якого треба вимагати, щоб початкові дані належали класу аналітичних векторів, а проміжок часу був обмежений, інших представлень до недавнього часу не було. Тільки в 80-х роках з'явилися роботи з новими представленнями операторної експоненти. Так А.В. Бабін у 1984 р. побудував наближення операторної експоненти для напіваналітичних початкових умов, а М.Л. Горбачук та В.В. Городецький також у 1984 р. для аналітичних початкових умов, але при довільних $t>0.$ У 1993-1996 рр. з'явилися роботи Д.З. Арова, І.П. Гаврилюка та В.Л. Макарова, в яких запропоноване і обгрунтоване представлення на основі перетворення Келі. Основною перевагою даного підходу є те, що точність чисельного методу, побудованого на основі цього представлення, автоматично враховує гладкість початкових даних. Крім того, даний метод виявився перспективним щодо подальшого його розвитку відносно представлення операторних тригонометричних та гіперболічних функцій, функцій Бесселя, що було зроблено у працях І.П. Гаврилюка та В.Л. Макарова. Ще один метод представлення операторної експоненти, який базується на використанні рядів Фур'є-Чебишова, був запропонований О.І. Кашпіровським та Ю.В. Митником у 1998 р. для представлення послабленого розв'язку задачі Коші. При цьому підході вже не вимагається гладкості від початкових даних, але цей метод ще не вдається поширити на випадок банахового простору, а також на рівняння вищих порядків.

Для випадку абстрактних диференціальних рівнянь зі змінними операторними коефіцієнтами, як і для рівнянь зі сталими коефіцієнтами, до недавнього часу, крім представлення розв'язку у вигляді матриціанту Пеано, інших представлень не було. Перші дослідження по конструктивному представленню розв'язків абстрактних диференціальних задач зі змінними операторними коефіцієнтами з'явилися в 1997 році в роботах В.Л. Макарова, І.П. Гаврилюка та І.Т. Кравець. Але вони стосувалися лише обмежених операторних коефіцієнтів. Для необмежених операторів такі результати ще невідомі. Тому дана тематика є актуальною на сьогодні.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі обчислювальної математики у рамках науково-дослідної теми "Функціонально-дискретні методи високого порядку точності розв'язування задач математичної фізики."

Мета і задачі дослідження. На основі FD-методу дати конструктивне представлення розв'язків абстрактних задач для диференціальних рівнянь гіперболічного типу першого та другого порядків в гільбертовому просторі. Знайти та обгрунтувати достатні умови справедливості цих представлень. Виходячи з даних представлень точних розв'язків, побудувати і обгрунтувати чисельно-аналітичні алгоритми, знайти апріорні оцінки точності.

Наукова новизна одержаних результатів. В роботі знайдено конструктивні представлення розв'язків для абстрактної задачі Гурса із змінним, обмеженим оператором у гільбертовому просторі та для задачі Коші для лінійного рівняння першого порядку зі змінним необмеженим операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі. На їх основі побудовано наближені методи розв'язування цих задач, знайдено апріорні оцінки точності наближень. Знайдено необхідні і достатні умови того, щоб розв'язки даних задач були поліномами при умові, що вихідні дані є поліномами.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертаційній роботі, можуть бути використані для розв'язування широкого класу задач математичної фізики, які виникають в гідродинаміці, механіці тощо. Дисертація має теоретичний характер, її результати є певним внеском в теорію абстрактних рівнянь зі змінними операторними коефіцієнтами в гільбертовому просторі.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. В публікації [3], написаній у співавторстві, проф. Макарову В.Л. належить постановка задачі та участь в обговоренні результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на семінарах "Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика" (Інститут математики НАН України), міжнародному симпозіумі "Питання оптимізації обчислень" \\ (Київ, 1999).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в трьох статтях [1-3].

Структура та обсяг роботи. Робота обсягом 125 сторінок, складається із вступу, чотирьох розділів, висновку та списку використаних джерел з 53 найменувань.

ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі наводиться загальна характеристика дисертаційної роботи: обгрунтовується актуальність вибраної теми, анонсуються основні отримані результати та висвітлюється їх практичне та теоретичне значення. Перший розділ дисертації присвячений огляду літератури по темі роботи та наведенню вихідних положень. Проведено аналіз основних відомих на даний час результатів, що стосуються абстрактних диференціальних рівнянь, наведено постановки задач, що розглядаються у дисертаційній роботі. В другому розділі розглядається задача Гурса для гіперболічного рівняння другого порядку. Підрозділ 2.1 присвячений побудові наближеного методу розв'язування задачі Гурса для лінійного гіперболічного рівняння другого порядку

(1)

де (x), (t), b(t,x), f(t,x)-кусково-неперервнi разом зi своїми похiдними до (m+1)-го порядку включно. При цьому лiнiї розривiв b(t,x) i f(t,x) є прямими, паралельними координатним осям. Для розв'язку даної задачі в дисертації розвивається FD-метод. Для цього покриємо область сіткою =12 де

Для спрощення будемо припускати, що N1, N2 можна вибрати так, щоб лiнiї розривiв (x), (t), f(t,x) належали . Згідно з FD-методом поряд з задачею (1) розглянемо її узагальнення

(2)

Де, W(t,x,p)=b0(t,x)+p(b(t,x)- b0(t,x)), b0(t,x)=b(ti-1,xj-1), t [ ti-1,ti], x [xj-1,xj]. Тоді очевидно, що

Підставляючи даний ряд в рівняння (2), отримаємо наступну послідовність задач:

(3)

Початкові дані для рекурентного процесу (3) знаходимо як розв'язок задачі

(4)

За наближений розв'язок беремо

(5)

Справедлива

Теорема 2.4. Нехай (x) W21(0,X), (t) W21(0,T), f(t,x) L2(), b(t,x)L() i u(t,x) W21()- розв'язок задачi (1). Тодi FD- метод є збiжним X,T<, і справедлива оцінка

(6)

де C=const, h1=max{h,}

В підрозділі 2.2 розглядається задача Гурса для абстрактного гіперболічного рівняння другого порядку.

(7)

де B(t,x):H H- лінійний обмежений оператор, H- гільбертовий простір. (x), (t), f(t,x)- задані векторнозначні функції з значеннями в H. (x), (t), B(t,x), f(t,x)- кусково-неперервнi по змінних (t,x). При цьому, лiнiї розривiв B(t,x) i f(t,x) є прямими, паралельними координатним осям. Область покривається сіткою, і оператор B(t,x) наближається кусково-постійним де Розв'язок шукатимемо у вигляді ряду

Тоді для uk(t,x) отримаємо рекурентну послідовність задач таку ж, як і для скалярного випадку: (3)-(4). За наближений розв'язок беремо

(8)

Справедливе наступне твердження

Теорема 2.6. Нехай (x), (t), f(t,x)- задані векторнозначні функції з гільбертового простору H, B(t,x):H H- лінійний обмежений оператор. Тоді FD-метод для абстрактної задачі Гурса (7) є експоненційно збiжним i для наближення (8) справедлива оцiнка

(9)

де U0, S, R=const,

Розв'язок задач для uk(t,x) в кожній клітині сітки представляється за допомогою функції Рімана, яка при сталому операторі B0(t,x)=B має вигляд

і є операторною функцією Бесселя. Для її представлення використаємо результат, отриманий І.П. Гаврилюком та В.Л. Макаровим. А саме: нехай A=A*I, >0, тоді

(10)

де поліноми Лагерра, а Up(A) визначаються з рекурентної послідовності

(11)

Якщо A- обмежений оператор, тоді буде справедливою оцінка

де N- номер, на якому обривається ряд для представлення операторної функції Бесселя, q (0,1).

Теорема 2.7 Нехай виконуються умови теореми 2.6. На кожному кроці FD-методу операторні функції Бесселя знаходяться за допомогою представлення (10), де ряд обривається на N-му кроці. Тоді справедлива оцінка

(12)

де M, q1- константи, q1<1.

Теорема 2.8 Нехай виконуються умови теореми 2.7. Тоді FD- метод збіжний і справедлива оцінка

(13)

де M1, M2- константи, q1<1.

В підрозділі 2.3 встановлюються необхідні та достатні умови того, щоб розв'язок задачі Гурса був поліноміальним, якщо вихідні дані є поліномами. Розглянемо наступну задачу Гурса:

(14)

де f(x,t), (x), (t) є поліномами

Розв'язок задачі (14) шукається у вигляді суми розв'язків однорідної і неоднорідної задач

u(x,t)=uo(x,t)+un(x,t).

Можливі два випадки 1)c>0; 2)c=0.

Позначимо Тоді, якщо c>0, то

(15)

де [x]- ціла частина x. Тоді, виходячи з формули (15), доводиться лема

Лема 2.3. Поліноміальний розв'язок задачі

(L+c)u=f(x,t)

визначається по формулі

(16)

де

Мають місце теореми

Теорема 2.9. Для того, щоб u(x,t)- розв'язок задачі (14) був поліномом, при c>0 необхідно і достатньо, щоб

(17)

(18)

Тоді розв'язок u(x,t) визначається по формулі (16).

Теорема 2.10. Нехай для задачі (14) , поліноми довільного виду і c=0. Тоді для того, щоб функція u(x,t)- розв'язок задачі (14) була поліномом, необхідно і достатньо, щоб (a)=(b). Тоді розв'язок u(x,t) представляється у вигляді

(19)

Розділ 3 присвячений знаходженню розв'язку задачі Коші для абстрактного гіперболічного рівняння першого порядку. У підрозділі 3.1 уточнюються оцінки швидкості збіжності методу рядів Фур'є-Чебишова для неоднорідного абстрактного рівняння першого порядку. Розглянемо наступну задачу:

(20)

де A:HH- самоспряжений додатно визначений оператор з областю визначення D(A), щільною в H, u0- заданий вектор з гільбертового простору H. Слабкий розв'язок задачі

(20) можна записати у наступному вигляді:

(21)

де T(t)- C0-напівгрупа з генератором (-A). Для обчислення T(t) використовується представлення за допомогою рядів Фур'є-Чебишова

(22)

де - зміщені поліноми Чебишова першого роду, k N,

Будемо обривати цей ряд на N-му доданку

(23)

Має місце

Теорема 3.1. Нехай для задачі (20) A:HH- додатно визначений самоспряжений оператор з областю визначення D(A), щільною в H, u0, f(t)- задані вектори з H. Тоді при знаходженні слабкого розв'язку задачі Коші (20) методом рядів Фур'є-Чебишова, справедлива оцінка

(24)

Запропоновано для покращення оцінки (24) використовувати процес Річардсона. Показано на конкретному прикладі, що вказана процедура покращує якість наближення.

В підрозділі 3.2 розглядається наступна абстрактна задача Коші:

(25)

де u:[c,d][0,T] H є невідомою векторнозначною функцією в гільбертовому просторі H, f:[c,d][0,T] H, :[c,d] H задані векторнозначні функції, a- невід'ємна константа, B(x,t) для всіх фіксованих (x,t) є лінійним, самоспряженим, додатно визначеним оператором з областю визначення D(B), що не залежить від (x,t) і є щільною в просторі H. Покриємо область визначеності розв'язку задачі (25) сіткою і наблизимо оператор B(x,t) кусково постійним

де є фіксована точка, що задовольняє умову

Розв'язок шукатимемо у вигляді ряду

(26)

де uk(x,t)- розв'язки рекурентної послідовності задач

(27)

(28)

Тоді

(29)

(30)

k=1,2,…, де U(t,s) є еволюційний оператор, який має вигляд

(31)

t [tj-1,tj], s [tp-1,tp]

Припустимо, що

Теорема 3.2. Нехай B(x,t):HH (x,t) , B(x,t)=B*(x,t)0I, 00, D(B(x,t))=D(B) не залежить від (x,t), f(x,t), (x) D(B), q<. Тоді FD-метод збігається до слабкого розв'язку задачі (25) і справедлива оцінка

(32)

де

Якщо напівгрупи T(t;Bi,j) знаходити методом рядів Фур'є-Чебишова (22), обриваючи їх на N-му кроці, то справедлива

Теорема 3.3. Нехай виконуються умови теореми 3.2 і нерівність q/(1+C)2exp(CNexp{-(TN)1/3})<1. Тоді метод, що є комбінацією FD-методу і методу рядів Фур'є-Чебишова, є збіжним і справедлива оцінка

(33)

В підрозділі 3.3 розглянуто випадок мультиплікативного оператора для задачі (25). Припускається, що B(x,t)=B1B2(x,t), де B1, B2(x,t) самоспряжені, додатно визначені оператори, B1- необмежений, B2(x,t)- обмежений. Розв'язок шукаємо у вигляді ряду (26), де uk(x,t) задовольняють рекурентну послідовність задач (27), (28).

Теорема 3.4. Нехай для задачі (25) B(x,t)=B1B2(x,t):HH (x,t) , B(x,t)=B*(x,t)0I, 0>0, D(B(x,t))=D(B), не залежить від (x,t), B1, B2(x,t)- також самоспряжені додатно визначені. f(x,t), (x) {}(B1)- простір Жевре, 0< 1. Тоді 1) якщо <1, то FD-метод для задачі (25) збігається до слабкого розв'язку і для наближення справедлива оцінка.

(34)

тут L, q, S- константи;

2) якщо =1, то FD-метод збігається до слабкого розв'язку при умові і для наближення справедлива оцінка (34)

В підрозділі 3.4 розглядається задача (25) де f(x,t)0, B(x,t)=A(x,t)- самоспряжений додатно визначений з щільною областю визначення оператор.

Нехай перетворення Келлi оператора A(x,t), 0<<0.

Тодi, звiдси отримаємо

(35)

Вводиться позначення

(36)

Лема 3.2. Нехай A(x,t)- лiнiйний оператор в гiльбертовому просторi H з щiльною областю

визначення D(A), що не залежить вiд (x,t). A(x,t)=A*(x,t)0I. Тодi оператор AN(x,t), що визначається за формулою (36), є обмеженим, додатно визначеним i vD(A1+) справедлива оцiнка

(37)

Далi розглядається задача

(38)

Теорема 3.6. Нехай виконуються умови леми 3.2. Тодi, якщо розв'язок вихідної задачi u(x,t)D(A1+), то uN(x,t), що є розв'язком задачi Кошi (38), наближає u(x,t) i справедлива оцiнка

(39)

Для знаходження розв'язку задачi (38) застосовується FD-метод (26)-(28). Якщо a=0, AN(x,t)A- постiйний додатно визначений оператор, то, як було показано в роботах В.Л. Макарова, І.П. Гаврилюка, розв'язок задачi можна представити у виглядi

(40)

де - перетворення Келлi оператора A з константою 1, - поліноми Лагерра.

Нехай q=max (q1,q2), де

Має місце

Теорема 3.7. Нехай виконуються умови леми 3.2. Тодi FD-метод для задачi (38) є збiжним. Якщо ряд (26) обiрвати на m-му кроцi i при цьому так, щоб виконувалася умова , то для наближення справедлива оцiнка

(41)

Запропоновано наступний алгоритм розв'язування задачі (25):

1)вибираємо N i замiнюємо A(x,t) на AN(x,t) (формула (36)). Тобто замiнюємо задачу (25) на (38);

2) до задачi (38) застосовуємо FD-метод m-го рангу (26)-(28), при цьому вибираємо m з співвідношення m+1=(2N+1)k, k>1;

3) для обчислення напiвгруп T(t;A) вибираємо n i ряд в формулi (40) обриваємо на n-му мiсцi, вибираємо n з співвідношення n+1=2(N+1)p, p>2. Отримаємо в результатi uN,m,n(x,t)u(N)(x,t).

Теорема 3.9. Нехай :[c,d]H- задана векторнозначна функцiя така, що (x)D(A1+), a- невiд'ємна константа, A(x,t) для кожного фiксованого (x,t) є лiнiйний, самоспряжений, додатно визначений оператор з щiльною областю визначення D(A), що не залежить вiд (x,t). Для знаходження слабкого розв'язку задачi (25) використовуємо алгоритм 1)-3). Тодi для наближення u(N)(x,t) справедлива оцiнка

(42)

де

Підрозділ 3.5 присвячений знаходженню необхідних та достатніх умов поліноміальності розв'язку крайової задачі для лінійного гіперболічного рівняння першого порядку. Розглядається наступна задача:

(43)

(44)

(45)

(46)

де f, j, y, c- полiноми, a>0, b>0. Розв'язок шукаємо у вигляді суми розв'язків однорідної та неоднорідної задач u=uo+un.

Лема 3.3. Якщо c 0, то коефіцієнти полінома un- розв'язку неоднорідного рівняння визначаються за формулою

(47)

Теорема 3.10. Якщо в рiвняннi (43) c0, то для того, щоб iснував полiномiальний розв'язок задачi (43)-(46), необхiдно i достатньо, щоб j(x,y), y(t,y), c(t,x) були полiномами того ж степеня, що й f i для них виконувалися умови

(48)

Теорема 3.11. Якщо в рiвняннi (43) c=0, то для того, щоб iснував полiномiальний розв'язок задачi (43)-(46), необхiдно i достатньо, щоб для полiномiв j(x,y), y(t,y), c(t,x) виконувалися умови узгодженостi j(q,y)=y(d,y), j(x,g)=c(d,x), y(t,g)=c(t,q).

Розділ 4 присвячений чисельним розрахункам тестових прикладів за допомогою методів, побудованих в дисертації.

В підрозділі 4.1 наведені розрахунки тестового прикладу за допомогою пакету Mathematica 3.0 для знаходження поліноміального розв'язку задачі Гурса.

В підрозділі 4.2 за допомогою комбінації FD-методу та методу рядів Фур'є-Чебишова знайдено наближений розв'язок задачі Коші для абстрактного гіперболічного рівняння першого порядку. В ролі необмеженого оператора виступає оператор

з областю визначення Початкові дані для задачі наступні: j(x,y)=2y(y-1), f(x,y,t)=2exp(x-t)y(y-1)-4. Чисельні розрахунки показують, що метод має хорошу швидкість збіжності навіть при малих параметрах дискретизації. Для N=m=1 абсолютна похибка буде 0.3, а для N=2, m=1 абсолютна похибка буде 0.03.

В підрозділі 4.3 проведено розрахунки тестового прикладу за допомогою пакету Mathematica 3.0 для знаходження поліноміального розв'язку крайової задачі для лінійного гіперболічного рівняння прешого порядку.

ВИСНОВКИ

1. Уточнено оцінку швидкості збіжності методу рядів Фур'є-Чебишова для абстрактного неоднорідного лінійного рівняння першого порядку.

2. На основі FD-методу знайдено конструктивне представлення розв'язків абстрактних задач для диференціальних рівнянь гіперболічного типу першого та другого порядків в гільбертовому просторі. Зокрема, наведено конструктивні представлення розв'язків для абстрактної задачі Гурса зі змінним, обмеженим оператором та задачі Коші для лінійного рівняння першого порядку зі змінним необмеженим операторним коефіцієнтом. Доведено теореми про достатні умови справедливості цих представлень.

3. Виходячи із знайдених конструктивних представлень точних розв'язків задачі Гурса для лінійного диференціального рівняння другого порядку та задачі Коші для лінійного диференціального рівняння першого порядку гіперболічного типу, побудовано і обгрунтувано чисельні алгоритми, знайдено апріорні оцінки точності.

4. Знайдено необхідні й достатні умови поліноміальності розв'язків задачі Гурса для лінійного диференціального рівняння другого порядку та крайової задачі для лінійного диференціального рівняння першого порядку гіперболічного типу при умові, що вхідні дані є поліномами.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Василик В.Б. Про поліноміальні розв'язки лінійного гіперболічного рівняння першого порядку// Вісник київського університету ім. Тараса Шевченка (серія: фізико-математичні науки).- К., 1996.- № 1.- С.178-186.

2. Василик В.Б. FD- метод розв'зування задачі Гурса для гіперболічного рівняння другого порядку// Вісник київського університету ім. Тараса Шевченка (серія: фізико-математичні науки).- К., 1999.- № 1.- С.151-156.

3. Makarov V.L., Vasylyk V.B. Exact and approximate solutions of an abstract equation of the first order of hyperbolic type with a non-constant unbounded operator coefficient in Hilbert space// Теорія обчислень: Зб. наук. пр. Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України- К., 1999.- С.247-251.

АНОТАЦІЇ

Василик В.Б. FD-метод розв'язування абстрактних гіперболічних рівнянь.-- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика. -- Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2000.

Дисертація присвячена побудові нових конструктивних представлень розв'язків для абстрактної задачі Гурса зі змінним, обмеженим операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі та задачі Коші для лінійного гіперболічного рівняння першого порядку зі змінним необмеженим операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі. Для знаходження розв'язків вказаних задач використовується FD-метод. Виходячи з представлень точних розв'язків побудовано наближені методи розв'язування задачі Гурса та задачі Коші, знайдено апріорні оцінки точності отриманих наближень. Встановлено необхідні та достатні умови того, щоб розв'язки даних задач були поліномами при умові, що вихідні дані задач (початкові умови та праві частини рівнянь) є поліномами.

Ключові слова: операторний коефіцієнт, гільбертовий простір, необмежений оператор, гіперболічне рівняння, напівгрупа, операторна функція Бесселя, поліноміальній розв'язок.

Василик В.Б. FD-метод решения абстрактных гиперболических уравнений.-- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика. -- Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2000.

Диссертация посвящена построению новых конструктивных представлений решений для абстрактной задачи Гурса с переменным, ограниченным операторным коэффициентом в гильбертовом пространстве и задачи Коши для линейного гиперболического уравнения первого порядка с переменным неограниченным операторным коэффициентом в гильбертовом пространстве. Для нахождения решения даных задач используется FD-метод. Исходя из представлений точных решений построено приближенные методы решения задачи Гурса и задачи Коши, найдено априорные оценки точности полученных приближений. Установлены необходимые и достаточные условия того, чтобы решения даных задач были полиномами при условии, что входные данные задач (начальные условия и правые части уравнений)- полиномы.

Ключевые слова: операторный коэффициент, гильбертово пространство, неограниченный оператор, гиперболическое уравнение, полугруппа, операторная функция Бесселя, полиномиальное решение.

Vasylyk Vitaliy B. FD-method for solving abstract hyperbolic equations.- Manuscript.

Thesis for the Candidate degree by speciality 01.01.07 - Computational Mathematics. - The Glushkov Institute of Cybernetics of The National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2000.

The dissertation is devoted to building of new constructive representations of solutions for an abstract Goursat problem for the second order hyperbolic equation with variable bounded operator coefficient in Hilbert space and for an abstract Cauchy problem for the first order hyperbolic equation with variable unbounded operator coefficient in Hilbert space. FD-method is used to build the solutions of above mentioned problems. The author builds approximate solutions of abstract Goursat problem and abstract Cauchy problem based on these constructive representations. It is found a priori estimates of accuracy of the approximate solutions. Sufficient conditions of existence of founded constructive representations are established. The author has set conditions when solutions of the second order hyperbolic equation and the first order hyperbolic equation are polynoms when initial data are polynoms.

The dissertation consists of the Introduction, four chapters, the Conclusion and the List of the References. The total volume of the manuscript is 125 pages.

The actuality of the work, its goals, main results, its theoretical and practical value are grounded in the Introduction.

Chapter 1 is devoted to analysis of main known results concerning the problems exploring in the dissertation. The statements of problems are represented.

In Chapter 2 the Goursat problem is considered. The constructive representation of the solution of the abstract Goursat problem for the second order hyperbolic equation is built in assumption that operator coefficient is variable and bounded. The solution is searched in some Hilbert space. For this reason the author uses FD-method and constructive representation of Bessel-operator function. The approximate solution is built on the founded exact solution. It is shown that the error estimate has an exponential rate of convergence. Similarly FD-method is developed for the scalar type equation. When the solution of Goursat problem is polynom necessary and sufficient condition are established under the assumption that initial data are polynomial.

In Chapter 3 the author considers the Cauchy problem for an abstract the first order hyperbolic equation. At first the rate of convergence of Fourier-Chebyshev series method for the first order abstract parabolic equation with unbounded constant operator coefficient is refined. It is shown that the rate of convergence for the non-homogeneous equation is O(N-2) and the Richardson process improves the approximate solution. It is expected that operator coefficient is variable and unbounded in some Hilbert space. The author has built a constructive representation of the solution of the Cauchy problem based on the FD-method and Fourier-Chebyshev series method. Hence the numerical solution is represented. A priori estimate for the approximate solution is established. Particularly the author considers the case when operator coefficient has multiplicative form. It is constructed exact and approximate solution for the abstract first order hyperbolic equation for the case of general type operator based on the Cayley transform and FD-method. A priori estimates shows that the rate of convergence for this method depends on the smoothness of the initial data. When the solution of the first order scalar hyperbolic equation is polynomial necessary and sufficient condition are established under the assumption that initial data are polynomial.

Chapter 4 is devoted to numerical solutions of test examples using the methods developed in dissertation. Particularly the author has found polynomial solutions of concrete test examples for the second order hyperbolic equation and for the first order hyperbolic equation. It has been found the approximate solution of an abstract hyperbolic equation of the first order where the second derivative with homogeneous boundary condition performs unbounded operator with the help of combination of FD-method and Fourier-Chebyshev series method. It is shown that even in the case of rough parameters of discretization the method has a good approximation properties.

Thus, we have the following results

1. The error estimate for the method of Fourier-Chebyshov series has been refined for the non-homogeneous abstract linear differential equation of the first order.

2. The constructive representations of Goursat problem and Cauchy problem have been built on FD-method. Sufficient conditions of existence of these representations are established.

3. The numerical methods for solving Goursat problem and Cauchy problem have been built based on constructive representation. A priori estimates have been found.

4. When the solutions of the second order and the first order hyperbolic equations are polynoms necessary and sufficient conditions are established under the assumption that initial data

are polynomial.

Keywords: operator coefficient, Hilbert space, unbounded operator, hyperbolic equation, semigroup, Bessel-operator function, polynomial solution.