НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

ГАРМАТІЙ

Галина Юріївна

УДК 539.3

АНАЛІТИКО-ЧИСЕЛЬНІ ПІДХОДИ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ТЕРМОПРУЖНОСТІ ТЕРМОЧУТЛИВИХ ТІЛ ПРИ КОНВЕКТИВНОМУ ТЕПЛООБМІНІ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник кандидат фізико–математичних наук,

старший науковий співробітник

Попович Василь Степанович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів,

старший науковий співробітник.

Офіційні опоненти : доктор фізико–математичних наук, професор

Вігак Василь Михайлович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів,
завідувач відділу;

доктор фізико–математичних наук,

старший науковий співробітник

Козлов Володимир Ілліч

Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України,

м. Київ, провідний науковий співробітник.

Провідна установа Львівський національний університет ім. Івана Франка,
кафедри механіки та інформаційних систем, Міністерство освіти і науки України, м. Львів.

Захист відбудеться 08 липня 2002 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою:

79601, м. Львів-МСП, вул. Наукова, 3–Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою:
79060, м.Львів, вул. Наукова, 3–Б.

Автореферат розісланий 07 червня 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико–математичних наук П. Р. Шевчук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність. На сучасному етапі розвитку науки і техніки необхідність забезпе-чен-ня міцності, надійності та довговічності елементів конструкцій споруд, машин і при-ладів, які працюють в умовах високотемпературного нагріву, є актуальною і практично важливою проблемою. На шляху розв’язання цієї проблеми суттєвого значення набувають питання визначення температурних полів і зумовлених ними напружень в елементах кон-струкцій.

Основні результати досліджень термонапруженого стану однорідних та неоднорід-них тіл, а також вивчення і дослідження термомеханічних процесів у тілах з урахуванням взаємодії полів різної фізичної природи відображено в численних роботах: Абрамо-ва В. В., Болі Б. та Уейнера Дж., Бурака Я. Й., Василенка А. Т., Вігака В. М., Гачкеви-ча О. Р., Григолюка Є. І., Григорен-ка Я. М., Гриліцького Д. В., Грінченка В. Т., Карнау-хова В. Г., Кіта Г. С., Коваленка А. Д., Коздоби Л. О., Козлова В. І., Коляно Ю. М., Кули-ка О. М., Кушніра Р. М., Лавренюка В. І., Ломакіна В. А., Мацевитого Ю. М., Можа-ров-сько-го М. С., Мотовиловця І. О., Немировського Ю. В., Никитенка М. І., Новацького В, Осадчука В. А., Паркуса Г., Писаренка Г. С., Підстри-га-ча Я. С., Поповича В. С., Постоль-ника Ю. С., Процюка Б. В., Прусова І. О., Савули Я. Г., Савченка В. Г., Седова Л. І., Сули-ма Г. Т., Тимошенка С. П., Улітка А. Ф., Хая М. В., Швеця Р. М., Шевченка Ю. М., Шев-чука П. Р., Шинкаренка Г. А. та інших авторів.

Розрахунки температурних полів, які є першим етапом при визначенні темпера-тур-них напружень, отримані на основі існуючих моделей, у багатьох випадках не задоволь-няють сучасні вимоги інженерної практики. Одним із шляхів вирішення цієї проблеми є використання досконаліших математичних моделей, які точніше враховують ті чи інші властивості реальних матеріалів і дозволяють формулювання нових математичних задач, які вимагають вдосконалення існуючих та розробки нових методів їх розв’язання.

Відомо, що теплофізичні характеристики матеріалів змінюються зі зміною темпе-ра-тури. Тому математичні моделі, що враховують залежності теплофізичних характеристик матеріалу від температури, повніше описують реальні процеси розповсюдження тепла, особливо в умовах високотемпературного нагріву. Водночас справа ускладнюється тим, що сформульовані на основі таких математичних моделей крайові задачі математичної фізики є нелінійними. На сьогодні відомо лише деякі аналітичні розв’язки таких задач для тіл простої геометрії.

Проведений огляд і аналіз літератури показує, що точні аналітичні розв’язки нелі-нійних нестаціонарних крайових задач теплопровідності можна отримати для тіл, виго-тов-лених з матеріалів з простою нелінійністю (коефіцієнт теплопровідності і об’ємна теп-лоємність яких залежать від температури, а коефіцієнт температуропровідності прийма-ється за сталу величину), у випадку, коли на поверхні тіла задана температура або тепло-вий потік. У випадках, коли враховується конвективний, радіаційний чи конвективно-ра-діаційний теплообмін з поверхонь тіл, переважно використовують чисельні методи.

Безперечно цінними є аналітичні та аналітико-чисельні розв’язки таких задач, які побудовані у вигляді явних формул, що містять елементарні чи спеціальні функції. Такі розв’язки є зручними для якісного аналізу теплових режимів, оскільки явно відображають вплив на розподіл температури визначальних факторів, дозволяють оцінити їх значення і виділити головні з них. Вони також можуть слугувати критерієм оцінки достовірності чисельних розв’язків.

З цього випливає актуальність теми дисертації – розробка аналітико-чисельних під-хо-дів до розв’язування нестаціонарних крайових задач теплопровідності та відповідних за-дач термопружності для термочутливих тіл в умовах конвективного теплообміну з їх по-верхонь, а також дослідження впливу залежності від температури фізико-механічних ха-рак-теристик матеріалу на величину і характер розподілу температури та напружено-де-фор--мований стан однорідних чи кусково-однорідних тіл.

Зв'язок роботи з науковими планами й темами. Робота виконана в рамках бюджетних науково-дослідних тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, а саме:

“Розробити методи розв’язування нелінійних крайових задач термопружності для тіл неоднорідної структури” (I квартал 1994 р. – IV квартал 1997 р., шифр теми 1.1.3.210, № державної реєстрації 01.940015278);

“Розробка методів розв’язування задач термопружності при імпульсних ре-жимах навантаження термочутливих тіл неоднорідної структури” (I квар-тал 1998 р. – IV квартал 2002 р., № державної реєстрації 0198U002530).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка та апробація методики побудови аналітико-чисельних розв’язків нелінійних нестаціо-нарних крайових задач теплопровідності, що описують розповсюдження тепла в тілах з залежними від температури характеристиками в умовах конвективного теплообміну з їх поверхонь, а також визначення впливу залежностей від температури теплофізичних і механічних характеристик матеріалу на термонапружений стан тіла.

Об’єктом дослідження є напружено-деформований стан однорідних і кусково-однорідних термочутливих тіл при конвективному теплообміні.

Предметом дослідження є температурні поля і зумовлені ними компоненти напружено-деформованого стану простору зі сферичною порожниною, системи контактуючих циліндричних тіл і суцільного циліндра при конвективному теплообміні та їх залежність від термочутливості матеріалів.

Методи досліджень. Для досягнення сформульованої мети використано відомі та роз-винуто нові методи. Зокрема, при лінеаризації нелінійних крайових задач теплопро-від-ності застосовано перетворення Кірхгофа та сплайн-апроксимацію нелінійної залежності температури від змінної Кірхгофа; при розв’язуванні лінеаризованих задач – інтегральне перетворення Лапласа за часовою змінною та метод колокацій. При чисельному розв’язу-ванні – метод прямих і багатокрокові лінійні різницеві методи. Квазістатичні задачі тер-мопружності розв’язувались методом збурень.

Наукова новизна одержаних результатів:

Ш

Ш

Ш

Достовірність отриманих у роботі результатів забезпечується: строгістю та коректністю постановки крайових задач і математичних методів, які застосовані для знаходження їх розв’язків; порівнянням чисельних результатів розв’язків, отриманих різними підходами; фізичною інтерпретацією отриманих чисельних результатів; застосуванням методів, які забезпечують необхідну точність, а також тим, що при розв’язуванні нелінійних крайових задач теплопровідності за допомогою запропонованої методики використовується існуючий, добре апробований, потужний апарат класичних методів розв’язування відповідних лінійних задач; застосуванням апробованих пакетів програм для математичних розрахунків.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблена в роботі методика може ефективно використовуватися при розв’язуванні нелінійних крайових задач теплопровідності і відповідних задач термопружності для термочутливих тіл, коли враховується конвективний теплообмін. Знайдені за допомогою запропонованої методики розв’язки нелінійних задач теплопровідності дозволяють проводити якісний аналіз теплових процесів. Отримані результати можуть служити критерієм оцінки для відповідних чисельних розв’язків.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 10 наукових праць, у тому числі – 4 у наукових журналах, які входять до Переліку фахових видань ВАК України [1-4].

Основні результати дисертації отримано здобувачем самостійно. У працях [1-10] науковому керівнику В. С. Поповичу належать постановки задач, основні ідеї методик розв’язування, участь в обговоренні та формулюванні висновків за результатами проведених досліджень. У роботі [3] співавтор Р. М. Кушнір брав участь в обговоренні отриманих результатів та формулюванні висновків. При написанні роботи [4] М. В. Кутнів консультував з питань розв’язання систем жорстких диференціальних рівнянь. Дисертант брала участь у формулюванні задач, обговоренні результатів, виконала всі аналітичні викладки при побудові розв’язків конкретних задач та здійснила їх числову реалізацію.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати досліджень дисертаційної роботи доповідалися на: Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики”, присвяченій 70-річчю від дня народження академіка НАН України Я. С. Підстригача та 25-річчя заснованого ним Інституту прикладних проблем механіки і математики (Львів, 1998); науковій конференції ”Математика і механіка у Львівському університеті (історія і сучасність)” секції “Сучасні проблеми механіки”, присвяченій 60-річчю від заснування кафедри механіки і 50-річчю її наукової спеціалізації (Львів, 1999); V-тій Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000); 5-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (16-18 травня 2001 р.); Міжнародній науковій конференції (м. Дрогобич, 1-5 жовтня 2001 р.). У повному обсязі робота доповідалась та обговорювалась на семінарі відділу термомеханіки та кваліфікаційному семінарі з механіки деформівного твердого тіла Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, на науковому семінарі під керівництвом академіка НАН України Ю. М. Шевченка за напрямком “Механіка зв’язаних полів в матеріалах та елементах конструкцій” при Інституті механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, на об’єднаному семінарі кафедр механіки та інформаційних систем Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, які містять 28 рисунків і 5 таблиць, висновків та списку літератури. Табличний матеріал включено в текст. Загальний обсяг роботи становить 155 сторінок. Бібліографія складається із 158 джерел і займає 15 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сфор-мульовано мету і задачі досліджень; відзначено наукову новизну та практичне значення одержаних результатів роботи, її зв’язок з науковими програмами.

У першому розділі виконано огляд літератури з теплопровідності та термопружності однорідних та кусково-однорідних тіл, фізико-механічні характеристики яких є сталими, залежать від координат чи температури.

У другому розділі дана загальна постановка нестаціонарних задач теплопровідності та квазістатичних задач термопружності для термочутливих тіл. В умовах конвективного теплообміну нестаціонарні крайові задачі теплопровідності є нелінійними і, зокрема, можуть мати вигляд

, (1)

або (i = 1,2,3), (2)

, (3)

де - залежні від температури коефіцієнт теплопровідності та об’ємна теплоємність, - коефіцієнт теплообміну з поверхні .

Відповідна задача термопружності, якщо за вихідні взяті рівняння в переміщеннях, має вигляд

, (4)

, (5)

при заданих граничних умовах. Тут – залежні від температури ко-ефіцієнти Ляме; – залежний від температури коефі-цієнт лінійного розширення.

Методом збурень здійснено зведення задачі термопружності до послідовності крайових задач, де системи рівнянь мають вигляд

(основне наближення) (6)

(k-те наближення) (7)

з відповідними граничними умовами. Диференціальні оператори мають такий самий вигляд, як у задачі термопружності для нетермочутливого тіла. Розв’язок вихідної задачі є сумою розв’язків крайових задач для основного і k-х наближень. Тут же методом збурень виконано зведення осесиметричної задачі термопружності для контактуючих циліндричних тіл до послідовності відповідних крайових задач.

У третьому розділі викладено методику побудови аналітико-чисельних розв’язків задач теплопровідності для термочутливих тіл з простою нелінійністю при врахуванні конвективного теплообміну з їх поверхонь та адаптовано метод прямих до розв’язування такого типу задач.

Розглянуто нестаціонарну крайову задачу теплопровідності для термочутливого тіла

, (8)

або , (9)

. (10)

Суть запропонованої методики полягає в тому, що нелінійна крайова задача (8)-(10) після переходу до безрозмірних величин та подання теплофізичних характеристик у вигляді: , частково лінеаризується за допомогою введення зміннної Кірхгофа і набуває вигляду

, (11)

або , (12)

. (13)

Якщо вважати, що коефіцієнт температуропровідності є сталою величиною, що має місце для багатьох теплоізоляційних матеріалів, шамоту, графіту, деяких марок сталей, чистих металів, то рівняння (11) на змінну Кірхгофа стає лінійним, а нелінійність залишається в умові конвективного теплообміну (13) у вигляді нелінійної залежності температури від змінної Кірхгофа. Остаточна лінеаризація задачі здійснюється за допомогою спеціально побудованих сплайнів нульового чи першого порядку, значення яких в точках розбиття співпадають зі значеннями шуканої температури на поверхні тіла , а на кожному з часових проміжків інтерполюють її сталою величиною або лінійною функцією, а саме:

, (14)

. (15)

В результаті цього отримуємо лінійну крайову задачу на змінну Кірхгофа, розв’язок якої знаходимо зручним класичним методом у вигляді . Здійснивши обернене перетворення Кірхгофа, яке, наприклад, у випадку має вигляд

, (16)

знаходимо температуру як функцію координати, часу та невідомих парамет-рів сплайн-апроксимації

. (17)

Записавши вираз (17) на поверхні та використавши метод колокацій, отримуємо систему алгебричних рівнянь для визначення невідомих параметрів сплайн-апроксимації

(18)

Підстановка знайдених параметрів сплайн-апроксимації в (17) завершує розв’язок вихідної задачі.

Адаптовано метод прямих до розв’язування такого типу задач, коли всі теплофізичні характеристики залежать від температури, що дало можливість перевірити достовірність отриманих аналітико-чисельних розв’язків. При цьому просторову дискретизацію здійс-не-но методом заміни похідних скінченно-різницевими співвідношеннями та інтегро-інтер-по-ляційним методом. Досліджено, з якою похибкою апроксимації за кроком розбиття об-ласті зміни просторової координати отримана напівдискретна задача (задача Коші для си-стеми звичайних диференціальних рівнянь) наближає вихідне рівняння теплопровідності та граничні умови. Запропоновано прийом підвищення порядку апроксимації граничної умови без збільшення шаблону у випадку, коли розв’язок вихідної задачі не може бути продовжений за межі заданої області.

У четвертому розділі побудовано аналітико-чисельний розв’язок ква-зістатичної за-дачі термопружності для термочутливого простору зі сферич-ною порожниною радіуса R, який нагрівається шляхом конвективного тепло-обміну з середовищем сталої температури через поверхню порожнини, яка вільна від силових навантажень. У даному випадку крайові задачі для визначення складових розв’язку задачі термопружності мають вигляд

(основне наближення), (19)

(k-те наближення), (20)

, (21)

а крайова задача на змінну Кірхгофа, через яку визначається температура, має вигляд

, (22)

. (23)

Розв’язки крайової задачі (22)-(23), знайдені після лінеаризації умови конвективного теплообміну сплайнами (14) або (15) за допомогою інтегрального перетворення Лапласа, мають вигляд

, (24)

або

. (25)

Задача (22)-(23) розв’язана також методом прямих. З метою підвищення порядку апроксимації умови конвективного теплообміну (23) застосовано прийом підвищення порядку апроксимації без збільшення шаблону, так як розв’язок задачі не може бути продовжений за межі порожнини. Це дозволило отримати напівдискретну задачу з другим порядком точності за кроком розбиття за просторовою змінною.

На основі отриманих розв’язків задачі теплопровідності проведено чисельні дослідження нестаціонарного температурного поля в термочутливому просторі зі сферичною порожниною, матеріал якого є сталь з коефіцієнтом теплопровідності Вт/м·K. Розрахунки виконані з вихідними даними: ; 6; 15. При переході до безрозмірних величин за опорну взято температуру гріючого середовища K, а за характерний розмір – радіус сферичної порожнини R. Дослідження проводились з врахуванням того, що При чисельному розв’язуванні задачі методом прямих, розв’язок напівдискретної задачі знайдений за допомогою формул диференціювання назад (частковий випадок методів Гіра зі стрічковою тридіагональною структурою матриці Якобі). Отримали добре співпадіння чисельних результатів розв’язків. Проведений аналіз отриманих результатів показує, що запропонована методика побудови аналітико-чисельних розв’язків ефективно працює у всій області зміни часу на відміну від методу прямих, де виникають проблеми при обчисленні значень температури при малих часах і що доцільніше проводити остаточну лінеаризацію умови конвективного теплообміну сплайном першого порядку, а не нульового, що приводить до економії об’єму пам’яті та комп’ютерного часу за рахунок меншого розбиття області зміни часу. Знайдено розв’язок крайової задачі для аналогічного нетермочутливого простору при Вт/м·K. Різниця температур у термочутливому і нетермочутливому просторах найбільша поблизу сферичної порожнини і становить приблизно 4-5%.

З метою дослідження впливу залежності від температури коефіцієнта температуропровідності на величину та характер розподілу температури знайдено розв’язки даної задачі, коли всі теплофізичні характеристики залежать від температури, і при опорному значенні коефіцієнта температуропровідності. Розбіжність між знайденими значеннями температур не перевищує 0,5%.

За відомим розподілом температури розв’язано крайові задачі (19)-(21). При цьому за матеріал вибрано сталь, коефіцієнт лінійного розширення якої є лінійною функцією температури:; модуль зсуву – квадратична функція температури: МПа. Коефіцієнт Пуассона вважається незалежним від температури і дорівнює 0,4. Обчислено основне і перше наближення для переміщення і напружень. Отримані чисельні результати показали, що приблизно 90-95% сумарних величин переміщення і напружень дають основні наближення. З проведених чисельних досліджень видно, що є монотонно зростаючими функціями від Fo, а зі збільшенням Fo зростає, досягає додатного максимуму і дальше прямує до від’ємних стаціонарних значень. Проведений аналіз отриманих числових результатів показує, що розбіжність між значеннями переміщень в залежності від Fo в термочутливому і нетермочутливому просторах досягає приблизно 35-40%, а між напруженнями 25-30%.

На рис. 1 показано розподіл температури в залежності від радіуса для різних значень критерію Fo при Bi ; на рис. , показано графіки розподілу переміщення і радіальних напружень в залежності від Fo, для Bi , а на рис. 4 – для колових напружень при Bi . Для порівняння на рис. –4 наведено графіки (штриховими лініями), що відповідають розв’язкам, отриманим при сталих значеннях характеристик: .

Отриманий розв’язок для переміщення має особливість, яка полягає в тому, що на поверхні сферичної порожнини , а зі збільшенням Bi та Fo зростає у від’ємному напрямку, на відміну від нетермочутливого простору, де .

У п’ятому розділі побудовано аналітико-чисельні розв’язки квазістатичних задач термопружності для системи контактуючих термочутливих циліндричних тіл, зовнішня поверхня якої вільна від силового навантаження і через неї здійснюється конвективний теплообмін з середовищем сталої температури, а на поверхні дотику циліндрів виконуються умови ідеального теплового та механічного контактів; суцільного термочутливого циліндра, поверхня якого вільна від силового навантаження і через неї відбувається конвективний теплообмін з середовищем сталої температури. У випадку системи контактуючих циліндрів розв’язання задачі термопружності зведено до побудови розв’язків систем рівнянь :

(основне наближення), (26)

(i=1,2),(k-те наближення) (27)

при граничних умовах

. (28)

Крайова задача спряження на змінні Кірхгофа, через які визначається температура системи, має вигляд

(29)

, (30)

, (31)

. (32)

Як бачимо, введення змінних Кірхгофа дозволило частково лінеаризу-вати вихідну задачу, а нелінійності залишилися в умовах, отриманих з рівності температур на поверхні контакту циліндрів та конвективного теплообміну через поверхню зовнішнього циліндра . Остаточну лінеаризацію умови конвективного теплообміну здійснено шляхом апрок-си-мації нелінійного виразу за допомогою сплайна нульового поряд-ку (14), а граничну умову рівності температур (30) – за допомогою введення так званого “лінеаризуючого параметра ”, запропонованого в роботах В.С. По-повича. В результаті отримано лінійну задачу спряження на змінні Кірхгофа, розв’язок якої побудовано за допомогою інтегрального перетворення Лапласа. Знайдено змінну Кірхгофа як функцію координати, часу та пара-метрів лінеаризації . Шуканий розподіл температури отримали в результаті здійснення оберненого перетво-рення Кірхгофа та визначення параметрів лінеаризації.

Визначили температурне поле у циліндрі з алюмінієвого сплаву зі стальним покрит-тям. Прийняли К, а коефіцієнти теплопровід-ності матеріалів циліндра і покриття брали у вигляді: , , де Вт/м·K, Вт/м·K, . Значення коефі-цієнтів температуропровідності дорівнювали се-реднім їх значенням для даного діапазону температур, тому відношення . Значення термопружних характеристик для алюмінієвого сплаву брали у вигляді . Відповідні залеж-нос-ті для сталі: ; v2 = 0,3.

Отримано неперервну зміну температури в межах системи та рівність температур на лінії контакту. Температура в системі зі збільшенням підвищується. Розподіл переміщень і напружень цілком узгоджується з фізично очікуваними результатами. Радіальні переміщення і напруження на переході через лінію контакту циліндра і покриття неперервні, а колові напру-ження мають розрив, величина якого зростає із ростом темпера-ту-ри. Вста-новлено, що основний внесок у розв’язок задачі термопружності дає основне наближення, максимальний внесок пер-шого на-бли-жен-ня у напруження не перевищує 4%, а у напруженнях - 7,5%.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розв’язанню наукового завдання – розробці та апробації методики побу-дови аналітико-чисельних розв’язків нелінійних нестаціо-нарних крайових задач теплопровідності, що описують розповсюдження тепла в тілах із залежними від температури характерис-ти-ками в умовах конвективного теплообміну з їх поверхонь, а також визна-ченню впливу залежностей від температури теплофізичних і механічних характеристик матеріалу на термонапружений стан тіла.

У роботі отримано такі основні результати:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Анотація. Гарматій Г. Ю. Аналітико-чисельні підходи до розв’язування задач термопружності термочутливих тіл при конвективному теплообміні. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2002.

Дисертаційна робота присвячена розробці та апробації методики побу-дови аналітико-чисельних розв’язків нелінійних нестаціонарних крайових задач теплопровідності, що описують розповсюдження тепла в тілах з за-лежними від температури характеристиками в умовах конвективного теп-лообміну з їх поверхонь, а також визначенню впливу залежностей від темпе-ратури теплофізичних і механічних характеристик матеріалу на термона-пружений стан тіла.

За допомогою методу збурень задача термопружності для термо-чутливих тіл зведена до послідовності крайових задач, в яких диференціальні оператори мають такий же вигляд, як у задачах термопружності для нетермочутливих тіл.

Запропонованим підходом розв’язані квазістатичні задачі термо-пружності для: термочутливого простору зі сферичною порожниною; системи контактуючих термочутливих циліндричних тіл та суцільного циліндра, через поверхні яких здійснюється конвективний теплообмін з зовнішнім середовищем. Проведено чисельний аналіз впливу температурних залежностей теплофізичних і механічних характеристик матеріалу на величину і характер розподілу температури та, викликаний нею, напружено-деформований стан.

Ключові слова: теплопровідність, термопружність, термочутливе тіло, конвективний теплообмін, аналітико-чисельні методи.

Аннотация. Гарматий Г.Ю. Аналитико-численные подходы к решению задач термоупругости термочувствительных тел при конвективном теплообмене. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформи-руемого твердого тела. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2002.

Диссертация посвящена разработке и апробации методики построения аналитико-численных решений нелинейных нестационарных краевых задач теплопроводности, которые описывают распространение тепла в телах с зависящими от температуры характеристиками в условиях конвективного теплообмена с их поверхностей, а также определению влияния зависимостей от температуры теплофизических и механических характеристик материала на термонапряженное состояние. Суть предложенной методики состоит в том, что исходная нелинейная нестационарная краевая задача теплопровод-ности частично линеаризуется с помощью введения переменной Кирхгофа. После этого полученная краевая задача на переменную Кирхгофа линеа-ри-зуется с помощью специально построенных сплайнов нулевого или первого порядка и решается известными классическими методами, осуществляется обратное преобразование Кирхгофа и определяются параметры аппрок-си-мации из системы алгебраических уравнений, полученной в результате при-менения метода коллокаций. Таким образом найдено аналитико-численное решение исходной задачи, которое имеет вид аналитического выражения.

С целью проверки достоверности полученных аналитико-численных решений адаптировано метод прямых к решению нестационарных краевых задач теплопроводности для термочувствительных тел с учетом конвек-тивного теплообмена. Пространственная дискретизация осуществлена мето-дом замены производных конечно-разностными соотношениями и интегро-ин-терполяционным методом. Показано, что полученная полудискретная задача (задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений) приближает исходное уравнение теплопроводности и граничные условия со вторым порядком аппроксимации. В случае, когда решение задачи не может быть продлено за границы заданной области, предложен прием повыше-ния порядка аппроксимации граничного условия без уве-личения шаблона.

С помощью метода возмущений задача термоупругости для термочувствительных тел и осесимметричная задача для системы контактирующих цилиндрических тел сведены к последовательности краевых задач, в которых дифференциальные операторы имеют такой же вид как в задачах термоупругости для нетермочувствительных тел.

Предложенными подходами построены аналитико-численное и численное решения нестационарной нелинейной задачи теплопроводности для термочувствительного пространства со сферической полостью, через поверхность которой осуществляется конвективный теплообмен со средой постоянной температуры. При численном решении использован прием повышения порядка аппроксимации граничного условия конвективного теплообмена, так как решение задачи не может быть продлено за границы полости. Найдено решение данной задачи, когда все теплофизические характеристики зависят от температуры и исследовано влияние зависимости от температуры коэффициента температуро-проводности на величину и характер распределения температуры.

Используя последовательность краевых задач, полученных методом воз-мущений, решена соответствующая задача термоупругости для рассмат-рива-емого пространства со сферической полостью, когда поверхность по-лости свободна от силовой нагрузки. На основании полученных результатов иссле-довано влияние температурных зависимостей теплофизических и механи-чес-ких характеристик материала на напряженно-деформированное состояние.

С помощью предложенных подходов построены аналитико-численные решения квазистатических задач термоупругости и теплопроводности для: системы контактирующих термочувствительных цилиндрических тел, внешняя поверхность которой свободна от силовых нагрузок и через нее осуществляется конвективный теплообмен со средой постоянной температуры, а на границе контакта выполняются условия идеального теплового и механического контактов; сплошного цилиндра, поверхность которого свободна от силовых нагрузок и через нее осуществляется конвективный теплообмен с внешней средой. Проведен численный анализ влияния температурных зависимостей теплофизических и механических характеристик материала на величину и характер распределения температуры и напряженно-деформированное состояние.

Ключевые слова: теплопроводность, термоупругость, термочувстви-тельное тело, аналитико-численные методы.

Abstract. HarmatiyAnalytical-numerical Approaches for Solving of Thermoelasticity Problems for Thermosensitive Bodies at Convective Heat Exchange. – Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.02.04 – Mechanics of Deformable Solids. – Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, L'viv, 2002.

Thesis is dedicated to the development and approbation of the methodic of construction of analytical-numerical solutions of nonlinear nonstationary boundary-value heat conductivity problems, which describe heat propagation in the bodies with depending on temperature characteristics while convective heat exchange of their surfaces taking into account. Determining of the influence of dependences on temperature of heat-physical and mechanical characteristics of the material at the thermostressed state of the body is also taking into account.

Using perturbation method thermoelasticity problem for thermosensitive bodies is reduced to the sequence of boundary-value problems with differential operators of the same type as in the thermoelasticity problems for nonthermosensitive bodies.

Using the proposed approach quasistatic thermoelasticity problems are solved for: the thermosensitive space with a spherical cavity; system of contacting thermosensitive cylindrical bodies and solid cylinder with convective heat exchange with external environment through their surfaces. The numerical analysis of influence of temperature dependences of material heat-physical and mechanical characteristics on the value and distribution of temperature as well as on stressed-strained state, caused by temperature, is carried out.

Key words: heat conductivity, thermal elasticity, thermosensitive body, convective heat exchange, analytical-numerical methods.