український науково-дослідний інститут зв'язку

Григоренко Олена Григорівна

УДК 621.372.061:621.011.71

ОБЧИСЛЕННЯ НУЛІВ І ПОЛЮСІВ ФУНКЦІЙ КІЛ ПРИ ПРОЕКТУВАННІ РАДІОТЕХНІЧНИХ ПРИСТРОЇВ

Спеціальність 05.12.13 — “Радіотехнічні пристрої та засоби телекомунікацій”

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ - 2002Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті України “Київський політехнічний інститут”.

Науковий керівник: кандидат технічних наук, доцент Рибін Олександр Іванович, доцент кафедри теоретичних основ радіотехніки Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Бойко Іван Федорович, професор кафедри радіоелектроніки Національного авіаційного університету Міністерства освіти і науки України; кандидат технічних наук, доцент, Мілютченко Іван Олександрович, доцент кафедри основ радіотехніки Харківського національного університету радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України.

Провідна установа: Науково-виробниче об'єднання “Квант” Мінпромполітики України

Захист відбудеться “25 ” червня 2002 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.849.01 в Українському науково-дослідному інституті зв'язку за адресою: 03680, м. Київ-110, вул. Солом'янська, 13.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічній бібліотеці Українського науково-дослідного інституту зв'язку за адресою: 03680, м. Київ-110, вул. Солом'янська, 13.

Автореферат розісланий “10” травня 2002р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Михайлов В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одна з найбільш складних задач проектування радіотехнічних кіл і пристроїв полягає у визначенні часових реакцій та аналізі стійкості, для чого необхідно обчислювати корені многочленів визначників радіотехнічних кіл. Існуючий алгоритм пошуку коренів (рис.1, ліва частина) може бути умовно розбитий на ряд етапів: складання системи рівнянь рівноваги схеми, що аналізується; отримання аналітичного виразу для обчислення функції кола по матриці коефіцієнтів системи рівнянь рівноваги; перетворення отриманих виразів для функцій кола до вигляду, зручного для пошуку координат коренів; вибір методу пошуку координат коренів і їх обчислення.

Рис.1

При цьому, навіть при одержанні полінома оператора р, виникають методичні похибки, пов'язані із взаємною залежністю елементів матриці коефіцієнтів системи рівнянь рівноваги (внаслідок того, що провідності незаземлених елементів входять до чотирьох клітин матриці). Такі параметри при розкритті визначників у символьному вигляді призводять до появи виразів, які взаємно знищуються (дублікації). При чисельному аналізі дублікації призводять до значних (часто катастрофічних) похибок внаслідок обмеженої кількості розрядів операндів.

Ще більш складна картина виникає при розв'язанні задачі пошуку коренів одержаних поліномів. При цьому методична похибка пов'язана з особливостями ітераційної процедури, внаслідок чого у більшості алгоритмів (після відділення вже знайденого з деякою похибкою кореня) похибка обчислення наступних коренів при їх послідовному пошуку накопичується. При паралельному пошуку коренів (QR-алгоритм) похибку усіх коренів можна вважати однаковою, але її оцінка прив'язана до абстрактно-математичних норм, часто досягаємих лише при режимах кратної точності, що призводить до збільшення витрат машинного часу. Отже, відомі чисельні абстрактно-математичні методи обчислення полюсів функції кола мають суттєві недоліки, особливо при аналізі радіотехнічних (частотно-селективних) кіл. Символьні методи пошуку полюсів (для поліномів, порядку вище 5-го) не відомі в сучасній математиці.

Отже, актуальною є задача підвищення точності пошуку полюсів функцій радіотехнічних (частотно-селективних) кіл із погано зумовленими матрицями коефіцієнтів систем рівнянь рівноваги за рахунок зменшення впливів операційної і усунення методичної похибок обчислень. При цьому великого значення набуває реалізація можливості незалежного (паралельного) обчислення полюсів, внаслідок чого (при паралельній роботі процесорів) як підвищується швидкодія відповідних алгоритмів, так і збільшується точність за рахунок взаємної незалежності похибок обчислень коренів. Крім того, внаслідок наявності дублікацій і пов'язаних з цим похибок обчислень коефіцієнтів поліномів доцільно обчислювати полюси без попереднього складання системи рівнянь рівноваги та відповідних для них поліномів, що дозволяє усунути пов'язану з цим методичну похибку.

Наведений алгоритм обчислень (рис.1) має такі істотні недоліки, що не враховує особливостей поставленої задачі для радіотехнічних кіл з наданою структурою. Окремі пункти алгоритму дозволяють використати інформацію про структуру пристроїв, що аналізуються, але сам алгоритм є абстрактно математичним. Актуальність теми визначається відсутністю алгоритмів пошуку координат нулів, полюсів функцій кола, який би враховував особливості і структуру радіотехнічних кіл, і наприклад, малу зв'язність графу кола (велике число нулів в матриці системи рівнянь рівноваги вузлових напруг). Існуючі найбільш поширені методи пошуку коренів многочленів: метод Ньютона, метод Лагерра, алгоритм QR є абстрактно математичними і не враховують інформацію про структуру аналізуємого кола. Чисельні методи пошуку коренів, запрограмовані в прикладних пакетах Mathcad, Mathlab, які широко використовуються серед розробників радіоапаратури, не забезпечують потрібної точності обчислень нулів і полюсів функцій кіл (приводять до великих похибок при обчисленні коренів многочленів вище 5-го, 6-го порядків, а часто взагалі до помилкових результатів для погано зумовленої системи рівнянь рівноваги), а загальноприйняті критерії оцінки точності обчислень коренів часто виявляються недостовірними. Тому необхідно розробити такі алгоритми пошуку полюсів функцій кола, які б долали вказані вище недоліки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Розробка алгоритмів обчислення нулів і полюсів пов'язана з роботами, що проводяться на кафедрі теоретичних основ радіотехніки РТФ НТУУ “КПІ” і кафедрі реєстрації і відображення інформації ФЕТ. Розроблені алгоритми використовувалися для розрахунку S-параметрів пристроїв на магнитостатичних хвилях, для аналізу джерел вторинного електроживлення.

Мета і задачі дослідження. Мета — створення алгоритмів пошуку координат полюсів функцій радіотехнічних кіл з підвищеною точністю за рахунок усунення методичної та зменшення впливів операційної похибок. Досягнення поставленої мети забезпечується (і ілюструється) розв'язанням наступних задач: розробка математичного апарату і алгоритмів, що дозволяють знаходити координати коренів многочленів без накопичення похибок та без використання трудомісткої процедури обчислення коефіцієнтів многочленів визначника і алгебраїчних доповнень функцій кола, оцінювати точність обчислень за критерієм, зручним з інженерної точки зору, враховувати вплив технологічного розкиду параметрів компонентів, а також вплив паразитних параметрів.

Методи дослідження. Теоретичні дослідження, виконані в роботі, базуються на математичному апараті теорії кіл, який включає матричні методи лінійної алгебри, перетворення Лапласа, на запропонованому О.І.Рибіним чисельно-символьному узагальненому методі модифікацій, який дозволяє розв'язувати задачу пошуку полюсів функції кола без попереднього складання систем рівнянь рівноваги і обчислення відповідних поліномів. У роботі використаний також апарат математичного аналізу: розкладання функції в ряд Тейлора, розкладання дробово-раціональних функцій на прості множники. Для оцінки впливу паразитних параметрів і технологічного розкиду параметрів на координати нулів, полюсів використаний апарат теорії ймовірностей: математичне очікування, дисперсія. Коректність підходу підтверджена розрахунками тестових прикладів, в тому числі і на ПЕОМ. Метод модифікацій для пошуку нулів, полюсів функцій кола заснований на використанні лінійної залежності визначника матриці іммітансів системи рівнянь рівноваги від змінюваного параметра кола (провідність в канонічній системі вузлових напруг). Для визначення полів допусків зміни координат коренів з урахуванням впливу технологічного розкиду параметрів і паразитних параметрів також використана апроксимація координати кореня багатомірним рядом Тейлора.

Наукова новизна отриманих результатів. Розроблений алгоритм пошуку коренів визначників з підвищеною точністю за рахунок усунення методичної похибки “вирощуваного” параметру і за рахунок незалежного пошуку полюсів. При цьому операційна похибка не накопичується і усувається за рахунок корекції значення параметра (параметрична похибка) за точною аналітичною формулою. Розроблений алгоритм заснований на використанні явної залежності “вирощуваного” параметра від координати кореня, що дозволяє враховувати структуру кола, що досліджується, спрощує і підвищує точність обчислень в порівнянні із загальноприйнятими методами (метод Ньютона, метод Лагерра, QR-алгоритм), які є абстрактно математичними.

Запропоновано використання параметричного критерію оцінки точності знайдених нулів, полюсів функцій кола, відмінність якого від загальноприйнятих (рівність нулю визначника при підстановці значення кореня і збіг коефіцієнтів з вихідними при відновленні многочленів по знайденим кореням) полягає в точному обчисленні коренів визначника не для заданої схеми, а для деякої гіпотетичної, параметри якої відрізняються від заданих на вельми малу величину, що контролюється. “Малість” похибки повністю визначається технологічною точністю виготовлення “вирощуваного” параметра, що зручно при схемотехнічному проектуванні.

Запропоновано алгоритм пошуку полюсів при розкладанні елементів оберненої матриці іммітансів на прості множники, заснований на методі модифікацій. Це дозволяє знаходити корені без трудомісткої процедури обчислення коефіцієнтів многочленів визначників.

Розроблено алгоритми пошуку полюсів функцій кола з урахуванням впливу паразитних параметрів і технологічного розкиду параметрів з використанням методу модифікацій. На відміну від відомих прийомів урахування паразитних параметрів: багаторазового розв'язку системи рівнянь рівноваги для різних значень паразитних параметрів, побудови гістограм функції кола по щільності ймовірностей параметрів за методом Монте Карло і їх подальшого багаторазового аналізу, запропоновано спочатку, на першому етапі, провести аналіз номінальної схеми (тобто без урахування паразитних параметрів), а на другому етапі аналіз з урахуванням впливу паразитних параметрів. При цьому, на відміну від існуючих підходів, завжди видно до яких кількісних змін приводить урахування того або іншого паразитного параметра, оскільки це є особливістю методу модифікацій, що використовується.

Обгрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій підтверджується аналітичним виведенням всіх формул, що використовуються в роботі, і показана при розрахунку численних прикладів, вибраних з міркувань ілюстрації розроблених алгоритмів, а також можливості простої і швидкої перевірки результатів. Крім того, обгрунтованість і достовірність наукових положень і висновків базується на коректному математичному апараті перетворень Фур'є і Лапласа, матричної алгебри, матрично-топологічних методах, зокрема на методі модифікацій для обернення матриць і методі взаємних похідних компактного символьного представлення залежності визначників функцій кола від провідності, методі сумарних алгебраїчних доповнень.

Наукове значення роботи. Полягає в створенні нових алгоритмів знаходження нулів, полюсів функцій кола з підвищеною точністю на базі врахування особливостей структури радіотехнічних кіл. Застосування розроблених алгоритмів дозволяє точно (в сенсі параметричного критерію) і швидко знаходити нулі, полюси функцій кола і правильно оцінювати точність їх обчислень. Це важливо при організації схемотехнічного проектування (аналізу, синтезу, оптимізації) різних радіотехнічних пристроїв і систем. Запропоновані в дисертації алгоритми знаходження нулів, полюсів функцій кола є внеском в розвиток розв'язання проблеми аналізу радіотехнічних пристроїв, їх функціональних вузлів, що має теоретичне значення при розробці математичного апарату реалізації (програмного забезпечення) алгоритмів аналізу і проектування лінійних і лінійно-параметричних кіл, оцінки стійкості і т.п., де корені обчислюються з точністю, що контролюється.

Практичне значення отриманих результатів. Полягає в реалізації отриманих теоретичних результатів при створенні програмного математичного забезпечення методик проектування лінійних і лінійно-параметричних кіл з урахуванням впливу технологічного розкиду і паразитних параметрів. Результати дисертації впроваджені при виконанні робіт по створенню таких методик в Технопарку “Перспектива” (м.Київ), заводі автоматики ім. Г.І.Петровського (акти впровадження приведені в додатку до дисертації).

Основні положення, що виносяться на захист.

1. Алгоритм пошуку координат коренів, що включає прогноз значення кореня за рядом Тейлора і корекцію за явною залежністю “вирощуваного” параметра від координати кореня.

2. Алгоритм обчислення похідних від координати кореня по “вирощуваному” параметру, що вимагають мінімального числа операцій, а його точність в основному залежить від точності обчислення коефіцієнтів поліномів.

3. Алгоритм реалізації параметричного критерію оцінки точності обчислення координат коренів, що дозволяє контролювати точність пошуку коренів відповідно до технологічної точності виготовлення параметрів компонентів.

4. Алгоритм знаходження координат полюсів за формулою корекції без попереднього прогнозу за рядом Тейлора, що дозволяє значно спростити обчислення.

5. Алгоритм пошуку полюсів при розкладанні елементів оберненої матриці іммітансів на прості множники, що дозволяє уникнути трудомісткої процедури обчислення коефіцієнтів поліномів.

6. Алгоритм пошуку полюсів з урахуванням впливу паразитних параметрів, технологічного розкиду параметрів, що полягає в розділенні етапів пошуку номінальних коренів і їх значень з урахуванням паразитних параметрів. Це дозволяє значно підвищити точність обчислень.

7. Співвідношення для оцінки впливу “слабо” впливаючих паразитних параметрів на координати нулів, полюсів функцій кола. Розгляд “квазінайгіршого” випадку при урахуванні цих параметрів дозволяє визначити поля допусків полюсів функцій кола.

Особистий внесок дисертанта полягає в розробці нових алгоритмів обчислення похідних від координати кореня по параметрах компонентів для функцій кола, представлених у вигляді многочленів [1], по матриці провідностей з урахуванням структури кола [3], в розробці нових алгоритмів корекції для апроксимації траекторії кореня при зміні “параметра [2], що вирощується", в розробці алгоритму оцінки стійкості по узагальненому критерію Найквіста [4], в доведенні алгоритмів обчислення коефіцієнтів поліномів до програмної реалізації [5], в розробці нового алгоритму параметричної оцінки точності обчислення коренів і елементів оберненої матриці іммітансів [6,7,10] для реалізації алгоритмів [1 3], в розробці алгоритмів апроксимації частотної залежності S-параметрів НВЧ кіл [8], в розробці методу і алгоритму обчислення коефіцієнтів поліномів оберненої матриці іммітансів [9]. Роботи [11,12] написані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи опубліковані в статтях [1—12], а також докладалися на конференції по функціональній електроніці (Київ, КПІ, 1985) і на міжнародній конференції Radioelectronica 96 в м. Брно [13].

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 12 статтях [1—12], 9 статей у наукових журналах,1 — у збірнику наукових праць, 2 — депоновані.

Об'єм і структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, 4 розділів, висновків, списку використаних джерел (101 найменування) і додатка. Загальний обсяг — 190 сторінок, серед яких основний текст — 149 сторінок, 28 рисунків займають 19 сторінок, 8 таблиць — 5 сторінок, список використаних джерел — 9 сторінок, додаток —3 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан задачі пошуку власних значень функцій кіл, показана значущість і актуальність її для проектування радіотехнічних кіл та систем, сформульовані мета і задача дослідження, вказана наукова новизна, результати і висновки, що виносяться на захист.

В першому розділі розглянуто місце задачі пошуку координат полюсів функцій кола при проектуванні радіотехнічних кіл та систем. Важливе значення розв'язку цієї задачі обумовлено широким використанням математичного апарату перетворення Лапласа, де координати нулів, полюсів функцій кола відіграють ключову роль. В теорії радіотехнічних кіл на основі пошуку нулів, полюсів функцій кола вирішуються такі задачі, як обчислення реакції лінійного кола на довільну дію, аналіз стійкості, аналіз лінійно-параметричних кіл, синтез.

В роботі запропонована оцінка стійкості за узагальненим критерієм Найквіста при зміні будь-якого параметру кола:

де F—возвратна різниця, —змінюваний параметр кола, — значення визначника при номінальних значеннях параметрів схеми і нульових (e +1)-го, …, k-го; xee(e–1) — нормована похідна, розрахована за (e–1)-ою модифікацією оберненої матриці у відповідності до .

Вказана значущість пошуку координат нулів, полюсів функцій кіл при аналізі лінійно-параметричних кіл. Розроблений в роботі алгоритм обчислення елементів оберненої матриці у вигляді розкладу на прості множники дозволяє значно спростити процедуру аналізу. При цьому одночасно вирішується задача аналізу стійкості.

В першому розділі розглянуті також найпоширеніші методи пошуку нулів, полюсів функцій кіл метод Ньютона-Рафсона, метод Лагерра, QR-алгоритм. Вказані їх особливості і недоліки для аналізу радіотехнічних кіл.

Особливе значення мають критерії оцінки точності обчислення полюсів функцій кіл. Найбільш поширені: 1. , де — норма вектору нев'язок, D(pi*) — значення визначника многочлена D(p)=anpn +…+a1p+a0 при подстановці обчисленого значення i-го кореня pi*, e — наперед задана мала величина (близька до “машинного” нуля); 2. , де — норма вектору відхилень, ai — коефіцієнт вихідного многочлена D(p), аi* — коефіцієнт многочлена D(p), відновленого за його знайденими коренями р*. Але в зв'язку з накопиченням похибок при обчисленні коренів визначників погано обумовлених матриць використання цих критерієв призводить до помилок. Запропоновані в роботі алгоритми реалізації параметричного критерію дозволяють достовірно оцінити координати знайдених нулів, полюсів функцій кола.

В другому розділі розроблені алгоритми обчислення коренів многочленів визначників з використанням методу модифікацій. Суть цього методу для пошуку коренів полягає в наступному. Відомо, що визначник матриці іммітансів системи рівнянь рівноваги D є лінійною функцією змінюваного параметру W (провідності – в канонічній системі вузлових напруг):

, (1)

де D0 — визначник матриці, коли вітка з параметром W відсутня, тобто W=0;—

сумарне алгебраїчне доповнення; c, d — номера вузлів, до яких підключене джерело струму (спрямоване від c до d), кероване напругою між вузлами a і b (потенціал a вище за b). При W=0 знаходимо корені pj визначника D0. Якщо відомі корені визначника D, які відповідають колу з номінальним значенням W (W№0), то вираз (1) при подстановці значень коренів буде дорівнювати нулю, звідки отримаємо:

(2)

Таким чином, маємо явну залежність провідності W від відповідних їй значень координат кожного з коренів (m — степінь поліному визначника D), в той час як задача пошуку коренів формулюється для поліному D(p) при номінальному значенні W, що приводить до загальновідомих обчислювальних труднощів.

Для пошуку нових значень коренів достатньо довільно або цілеспрямовано змінювати старі координати коренів pj за формулою (2) до тих пір, доки провідність не досягне свого номінального значення W, заданого в схемі. Таким чином за допомогою розривання провідностей W1= W2=…=Wk=0 схему будь-якої складності можна представити шерегом більш простих підсхем, для яких корені знаходяться просто (наприклад: за аналітичними формулами). Далі при послідовному “вирощуванні” за формулою (2) “розірваних” раніше провідностей шляхом зміни для кожної всіх раніше знайдених коренів отримаємо значення координат коренів для заданої складної схеми.

В роботі запропонований алгоритм пошуку власних значень при розкладанні координати кореня в ряд Тейлора в залежності від змінюваного параметру W:

, (3)

де , p=s+jw — комплексна частота , pj — значення кореня в системі координат, де — значення кореня в новій системі координат з і початковим значенням W=0. Для використання формули (3) розроблений алгоритм обчислення похідних від координати кореня за змінюваним параметром W. Він полягає в наступному. Похідна k-го порядку від координати кореня по провідності W :

(4)

З формули (4) видно, що похідні від координати кореня по параметру з точністю до константи відповідають лишкам функції : (5)

З іншого боку лишки знаходяться як коефіцієнти при при розкладанні в ряд Лорана. Таким чином, обчислення An в (5) зводиться до виділення з функції Fn доданків , а обчислення похідних — до піднесення до степеня n функції F і діленню полінома чисельника на поліном знаменника. Згідно із запропонованим алгоритмом обчислювана похідна — це в:

(6)

Для розрахунків за формулою (6) розроблена рекурентна формула для обчислення елементів оберненої матриці будь-якого порядку для будь-якого заданого ступеню t полінома знаменника функції F(v=1/r) : з врахуванням, що i>t, індекси не можуть бути від'ємними і однакові доданки в круглих дужках записуються один раз. Порядок оберненої матриці дорівнює порядку обчислюваної похідної. Обернена матриця знаходиться за коефіцієнтами знаменника функції F, є нижньотрикутниковою та має однакові елементи в діагоналі. Крім того, в матриці А число діагоналей з ненульовими елементами дорівнює числу коефіцієнтів знаменника функції F(v=1/r) і дорівнює степені цього полінома плюс 1.

При апроксимації траекторії кореня рядом Тейлора за формулою (3) точність обчислень може оцінюватися по внеску похідних більш високого порядку (наприклад: 4-го та 5-го), який не повинен перевищувати малої, наперед заданої величини e. Інші умови, наприклад: , виконуються і при великих похибках обчислення pj.

При великій кількості кроків зміни параметру W і великому числі модифікацій схеми похибка обчислюваної координати кореня буде накопичуватися. Тому на кожному кроці апроксимації кореня рядом Тейлора необхідно проводити уточнення, корекцію отриманої координати кореня за формулою (2), де . При цьому одержимо значення параметра W, яке відрізняється від номінального на величину DW, що і складає параметричну похибку обчислення координати кореня pj. Якщо відхилення менше, ніж точність реалізуємого в колі параметра, то можна вважати, що корень знайдено. Хоч, він буде відповідати деякій гіпотетичній схемі, в якій параметр W відрізняється на DW від наданого.

В роботі розглянуті випадки помилкового переходу на траекторію іншого кореня при реалізації алгоритма корекції за формулою (2). Всі труднощі, пов'язані з цим, усуваються достатньо просто.

Використання алгоритму корекції (2) для пошуку нулів, полюсів функцій кіл методом модифікацій та оцінка точності їх значень за запропонованим параметричним критерієм особливо ефективні для радіотехнічних кіл з високодобротними полюсами, коли інші загальновідомі методи обчислюють полюси з великими похибками при хорошій відповідності формальних математичних критерієв наперед заданим умовам. Так, наприклад, для схеми на рис.2 корені знаменника коефіцієнта передачі по напрузі, розраховані як за програмою Mathcad 2000, так і за методом модифікацій. Але, одержаний за програмою Mathcad 2000 з використанням символьного процесору корінь r=±j викликає сумніви, бо імпульсна характеристика для даного стійкого кола (послідовне з'єднання двох стійких селективних підсилювачів) (рис.2) буде незатухаючою. Для цього кореня r = ±j (р= ±j1000000) приріст параметру W, якому відповідає схема з таким значенням кореня, є W(–j1000000)= –1,9940171Ч10–8, тобто 99,4% від номінального значення. Для подібного кореня р7,8= –0,74943750031640589404–j999999,99999971917172 за методом модифікацій W=1,0000009Ч10–8–j4,432Ч10–12. При цьому ЅDReW/WЅЧ100%=9Ч10–5 %, ЅDImW/WЅЧ100%=4,4Ч10–2 %, де DReW, DImW— абсолютне відхилення відповідно дійсної та уявної частин W від значення W, заданого в схемі.

Запропоновані алгоритми пошуку коренів і оцінки їх точності за параметричним критерієм дозволяють вирішити вище вказані проблеми.

g L C U1 SU1 g L C U2 SU2 g L C g L C U3 SU3 g L C U4 SU4 g L C

Рис.2

В третьому розділі запропонований алгоритм пошуку полюсів функцій кіл при розкладі елементів оберненої матриці іммітансів на прості множники. Завдяки цьому не треба обчислювати коефіцієнти поліномів визначників (алгебраїчних доповнень) та похідної від визначника по “вирощуваному” параметру для всіх кроків процедури модифікацій. Обчислення коефіцієнтів є значно трудомісткою процедурою і при цьому виникають похибки, які зменшують точність обчислення коренів. Тому запропоновано розбивати дану складну схему на прості підсхеми при розриванні провідностей-звязків між підсхемами. Для кожної підсхеми елементи оберненої матриці знаходяться просто і формуються у вигляді дробово-раціональних функцій, чисельники і знаменники яких розкладені на прості множники. Корекція значень коренів визначника при ”вирощуванні” провідності W1 між підсхемами проводиться за формулою:

(7)

Корекція значень коренів алгебраїчного доповнення — за формулою:

(8)

Якщо треба знайти всі елементи оберненої матриці як функції комплексної частоти р, то запропонований алгоритм має ряд переваг при порівнянні з безпосереднім обчисленням кожного доповнення і його коренів. Це пояснюється тим, що формується не поліном, а добуток простих множників за виразами (7,8). Використання процедури згортання підсхем при реалізації методу модифікацій оберненої матриці дозволяє різко скоротити число трудомістких операцій.

В четвертому розділі запропоновано алгоритм пошуку полюсів функцій кіл з урахуванням впливу паразитних параметрів та технологічного розкиду параметрів. Розглянуто характер та особливості паразитних параметрів, обгрунтовано використання методу модифікацій для пошуку полюсів функцій кіл.

Згідно із запропонованим алгоритмом урахування впливу паразитних параметрів при обчисленні нулів, полюсів функцій кіл відбувається в два етапи. На першому проводиться аналіз номінальної схеми (без урахування паразитних параметрів). При цьому всі нулі та полюси функцій кіл повинні бути знайдені з заданою точністю будь-яким відомим методом, в тому числі і методом модифікацій за запропонованими в другому та третьому розділах алгоритмами. На другому етапі проводиться “вирощування” (врахування) паразитного параметра і корекція значень нулів, полюсів функцій кола за методом модифікацій згідно з формулою (2).

Якщо значення координат полюсів отримали за рахунок “вирощування” паразитного параметру малі прирости , такі що, << e, где e — критерій малості, то на досліджуваному вході впливом паразитного параметру слід знехтувати. Оскільки значення паразитних параметрів не відомі, слід визначити значення паразитного параметра, яке приводить до зміни координати кореня. Якщо паразитний параметр набуває критичного значення , при якому відбувається різка зміна модуля функції колі на даній частоті, але не порівняно велике з його допустимим значенням , то ніякий з коренів визначника матриці провідностей не змінює своєї координати, наближаючись до уявної вісі. Таким чином, впливом такого паразитного параметра на аналізуємому вході можна знехтувати. Якщо і сумірні, то паразитну провідність слід вважати такою, що сильно впливає на відповідні корені. Тому необхідно вжити заходів по зменшенню паразитного параметра, навіть до зміни принципової схеми кола. Наведений в роботі приклад врахування паразитної ємності у вторинному джерелі електроживлення показав, що використання завадоподавляючого LC фільтру не усуває викиди за рахунок паразитної ємності, а є джерелом ще більшої завади.

В роботі показано, що завдяки роздільному обчисленню номінальних коренів і коренів з урахуванням паразитних параметрів останні не впливають на точність розрахунків, навіть, коли координати полюсів за рахунок паразитних параметрів мають більші значення дійсної та уявної частин у порівнянні з номінальними полюсами. Це виникає завдяки “вирощуванню” паразитних параметрів за формулою (2), в якій використовується відношення ¶D/¶Wk і D0 , тобто вплив паразитного параметра враховується окремо від номінального полінома. Це є більш ефективним, особливо, при малих значеннях паразитних параметрів, ніж традиційне формування многочлена з такими параметрами, при обчисленні коренів якого виникають значні похибки.

Запропоновано алгоритм аналізу впливу паразитних параметрів при проектуванні серійноздатних кіл, яка включає такі етапи:

1. Аналіз номінальної схеми кола методом модифікацій.

2. Аналіз впливу кожного з паразитних параметрів на координати полюсів, тобто корекція координат за формулою (9) при “вирощуванні” одного (кожного) паразитного параметра.

2.1. На даному етапі визначається можливість “катастрофічної” зміни функцій кола (координат їх полюсів) за рахунок впливу паразитного параметра і здійснюються заходи по усуненню таких параметрів. 2.2. Проводиться оцінка можливого впливу всіх “слабо” впливаючих паразитних параметрів на відповідну координату полюса. Для цього розглядають “квазінайгірший” випадок і використовують апроксимацію координат коренів рядом Тейлора:

де —відхилення i-го параметру регулярного компонента від його номінального значення (при врахуванні технологічного розкиду параметрів) або — значення паразитного параметра (при врахуванні впливу паразитних параметрів); m — число паразитних параметрів, які враховуються.

3. Наприкінці такої методики проектування отримуємо поля допусків (або дисперсії) на відповідні координати нулів, полюсів функцій кола.

ВИСНОВКИ

Основними результатами роботи є нові ефективні алгоритми пошуку нулів, полюсів функцій кола з підвищеною точністю, що враховують структуру і особливості радіотехнічних кіл і долають недоліки існуючих методів.

1. Розроблено новий алгоритм розкладання координати кореня в ряд Тейлора при “вирощуванні" провідності-зв'язку між підсхемами на базі методу модифікацій. Для цього запропонований ефективний алгоритм обчислення похідних від координати кореня по “вирощуваній" провідності, точність якого залежить в основному від точності обчислення коефіцієнтів поліномів визначників підсхем.

2. При реалізації алгоритму пошуку коренів шляхом апроксимації траекторії кореня рядом Тейлора для уникнення накопичення похибки розроблено алгоритм корекції координат коренів. Розглянуті різні випадки вироджень при корекції координат коренів і показані шляхи їх усунення.

3. Запропоновано алгоритм реалізації параметричного критерію оцінки точності обчислення нулів, полюсів функцій кола, зручний при проектуванні радіотехнічних кіл. Точність обчислень при цьому визначається технологічною точністю виготовлення параметрів компонентів кола. Таким чином, нулі і полюси визначаються не для заданої схеми, а для деякої гіпотетичної, параметри якої відрізняються від заданих на вельми малу величину, що контролюється.

4. Показана можливість пошуку нулів, полюсів функцій кола без використання попереднього прогнозу координати кореня за рядом Тейлора, заснована на використанні формули корекції явної залежності “вирощуваної“ провідності від координати кореня.

5. При використанні вище запропонованих алгоритмів необхідне точне і швидке обчислення коефіцієнтів поліномів визначників і алгебраїчних доповнень, що, однак, є дуже трудомісткою процедурою. Тому для уникнення обчислення коефіцієнтів поліномів був запропонований алгоритм пошуку нулів, полюсів функцій кола при розкладі елементів оберненої матриці іммітансів на прості множники.

6. Запропонований алгоритм особливо ефективний при обчисленні полюсів оберненої матриці, порядок якої менше числа вузлів схеми, що досліджується. Застосування при цьому процедури згортання підсхем вельми просте і дозволяє різко скоротити число трудомістких операцій.

7. У роботі запропоновано використання методу модифікацій і розроблених на його базі алгоритмів пошуку нулів, полюсів функцій кола для аналізу лінійних і лінійно-параметричних кіл з урахуванням впливу паразитних параметрів і технологічного розкиду параметрів.

8. Запропоновано методику аналізу впливу паразитних параметрів при проектуванні серійноздатних кіл, згідно з якою на першому етапі проводиться аналіз номінальної схеми і знаходяться нулі і полюси функцій кола, а на другому етапі проводиться корекція по методу модифікацій нулів, полюсів з урахуванням впливу паразитних параметрів. При цьому нормування виразів для визначника (алгебраїчних доповнень) і його похідної по провідності “вирощуваного" паразитного параметра проводиться роздільно, що дозволяє підвищити точність

обчислення нулів, полюсів.

9. У роботі запропоновані співвідношення для оцінки впливу “слабо" впливаючих паразитних параметрів на координати нулів, полюсів функцій кола. При цьому можна визначити поля допусків полюсів функцій кола.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Трохименко Я.К., Рыбин А.И, Плавнева (Григоренко) Е.Г. Вычисление корней определителей матрицы иммитансов методом модификаций. // Радиоэлектроника.— 1987. — №11. — С.30—37.

2. Трохименко Я.К., Рыбин А.И., Плавнева (Григоренко) Е.Г. Алгоритм коррекции для поиска корней определителей матрицы иммитансов // Радиоэлектроника. — 1988. — №1. — С.62—69.

3. Трохименко Я. К., Рыбин А.И., Ястребов Н.И., Плавнева (Григоренко) Е.Г. Разложение на простые множители элементов обращенной матрицы иммитансов с использованием метода свертывания подсхем // Радиоэлектроника. — 1988.— №3. — С.9—15.

4. Трохименко Я.К., Рыбин А.И., Плавнева (Григоренко) Е.Г. Параметрический анализ устойчивости электронных цепей по обобщенному критерию Найквиста с использованием метода взаимных производных // Радиоэлектроника. — 1987. — №8. — С.67—70.

5. Трохименко Я.К., Рыбин А.И., Григоренко Е.Г. Программная реализация алгоритма нахождения собственных значений матриц коэффициентов методом модификаций // Автоматизация проектирования в электронике: Респ.межвед.науч.-техн.сб. — 1993. — Вып.47. — С.72—78.

6. Трохименко Я.К., Рыбин А.И., Плавнева (Григоренко) Е.Г. Параметрический критерий оценки точности вычисления координат корней // Вестник Киев.политехн.ин-та. Радиотехника. 1988. Вып.25. С.63—64.

7. Трохименко Я.К., Рыбин А.И., Плавнева (Григоренко) Е.Г., Цымбалист С.А. Параметрический критерий оценки точности обращения матриц // Вестник Киев.политехн.ин-та. Радиотехника. 1987. Вып.24. С.82—83.

8. Трохименко Я.К., Рыбин А.И., Плавнева (Григоренко) Е.Г. Использование метода модификаций для вычисления частотных зависимостей параметров СВЧ цепей // Вестник Киев.политехн.ин-та. Радиотехника. 1990. Вып.27.С.69—72.

9. Трохименко Я.К., Рыбин А.И., Плавнева (Григоренко) Е.Г. Вычисление коэффициентов полиномов обращенной матрицы иммитансов электронных цепей // Радиоэлектроника. — 1990. (Изв.высш.учеб.заведений) —Деп. в ВИНИТИ 6.12.90. 6138—В90.

10. Трохименко Я.К., Рыбин А.И., Плавнева (Григоренко) Е.Г., Цымбалист С.А. Параметрический критерий точности обращения матрицы иммитансов методом модификаций // Сб.Функциональная электроника. Радиотехнические устройства. Киев, 1985.—Деп.

11. Григоренко Е.Г. Критерии точности вычисления нулей и полюсов функций радиотехнических цепей // Радиоэлектроника. — 2000. — №9. — С.51—56.

12. Григоренко Е.Г. Учет влияния паразитных параметров при вычислении нулей, полюсов функций цепи методом модификаций // Радиоэлектроника. — 2001. — №2. — С.52—61.

13. Трохименко Я.К., Рыбин А.И., Достал Т., Григоренко Е.Г. Diakoptic iteration of the admittance matrix eigenvalues, with respect to the network parasitic elements // Radioelektronica 96, Conference Proceedings, vol.1, p.p.66—68, Brno, April 23—24, 1996.

АНОТАЦІЯ

Григоренко О.Г. Обчислення нулів і полюсів функцій кола при проектуванні радіотехнічних пристроїв.—Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.12.13.—Радіотехнічні пристрої та засоби телекомунікацій.—Український науково-дослідний інститут зв'язку, Київ, 2002р.

В роботі запропоновані алгоритми пошуку нулів, полюсів, необхідні при розв'язанні задач обчислення часових характеристик радіотехнічних пристроїв і кіл, аналізу стійкості при номінальних значеннях параметрів і їх детермінованих і випадкових відхиленнях від номінальних значень, а також задач синтезу. Запропонований алгоритм урахування впливу паразитних параметрів при проектуванні серійноздатних радіотехнічних кіл. Існуючі методи розв'язання таких задач, як метод Лагерра, QR-алгоритм, а також безпосереднє інтегрування диференційних рівнянь часто не забезпечують отримання необхідної точності результатів. Особливо, це характерне для високодобротних радіотехнічних кіл, в яких полюси розташовані дуже близько до уявної осі на площині комплексної частоти. В таких випадках для оцінки стійкості і її запасу потрібна дуже висока точність обчислення полюсів. Запропоновані на основі символьно-чисельного методу — методу модифікацій алгоритми дозволяють істотно підвищити точність обчислення нулів і полюсів за рахунок урахування особливостей структури і параметрів схеми заміщення аналізуємого кола.

Ключові слова: нулі, полюси функцій кола, метод модифікацій, параметричний критерій точності, паразитні параметри.

АННОТАЦИЯ

Григоренко Е.Г. Вычисление нулей и полюсов функций цепи при проектировании радиотехнических устройств.—Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.12.13.—Радиотехнические устройства и средства телекоммуникаций.—Украинский научно-исследовательский институт связи, Киев, 2002г.

В работе предложены алгоритмы нахождения нулей, полюсов, необходимые при решении задач вычисления временных характеристик радиотехнических устройств и цепей, анализа устойчивости при номинальных значениях параметров и их детерминированных и случайных отклонениях от номинальных значений, а также задач синтеза. Предложен алгоритм учета влияния паразитных параметров при проектировании серийноспособных радиотехнических цепей. Существующие методы решения таких задач, как метод Лагерра, QR-алгоритм, а также непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений часто не обеспечивают получение требуемой точности результатов. Особенно, это характерно для высокодобротных радиотехнических цепей, в которых полюсы расположены очень близко к мнимой оси на плоскости комплексной частоты. В таких случаях для оценки устойчивости и ее запаса требуется очень высокая точность вычисления полюсов. Предложенные на основе символьно-численного метода — метода модификаций алгоритмы позволяют существенно повысить точность вычисления нулей и полюсов за счет устранения методической и уменьшения влияния операционной погрешностей, а также за счет независимого поиска полюсов. Разработанные алгоритмы основаны на использовании явной зависимости “выращиваемого” параметра от координаты корня, что позволяет учитывать информацию об особенностях структуры и параметрах схемы замещения анализируемой цепи. При этом операционная погрешность не накапливается и устраняется за счет применения разработанного алгоритма коррекции значения параметра (параметрическая погрешность) по точной аналитической формуле. На базе метода модификаций разработан новый алгоритм разложения координаты корня в ряд Тейлора при “выращивании” проводимости-связи между подсхемами. Для этого предложен эффективный алгоритм вычисления производных от координаты корня по “выращиваемой” проводимости. В работе разработан алгоритм реализации параметрического критерия оценки точности вычисления нулей, полюсов функций цепи, удобный при проектировании радиотехнических цепей. Точность вычислений при этом определяется технологической точностью изготовления параметров компонентов цепи. Предложен новый алгоритм вычисления нулей, полюсов функций цепи при разложении элементов обратной матрицы иммитансов на простые множители. Это позволяет избежать трудоемкой процедуры вычисления коэффициентов полиномов. Разработан алгоритм нахождения нулей, полюсов функций цепи для анализа линейных и линейно-параметрических цепей с учетом влияния паразитных параметров и технологического разброса параметров. Предложено на первом этапе проводить анализ номинальной схемы и находить нули, полюса функций цепи, а на втором этапе проводить коррекцию нулей, полюсов с учетом влияния паразитных параметров. В работе предложены соотношения для определения полей допусков полюсов функций цепи при оценке влияния “слабо” влияющих паразитных параметров.

Ключевые слова: нули, полюса функций цепи, метод модификаций, параметрический критерий точности, паразитные параметры.

SUMMARY

Gryhorenko O.G. Calculation of circuit function zeros and poles attached to designing of radiotechnical devices.—Manuscript.

Thesis for a candidate degree on speciality.—05.12.13—Radiotechnical devices and means of telecommunications.—Ukrainian Research Institute of Communication, Kiev, 2002.

In work the circuit function pole-zeros finding algorithms are created. These algorithms are necessary for solving problems of time-domain radiotechnical circuits analysis and steadiness analysis attached to nominal parameter significances and their determined and accidental deviations, and also synthesis tasks. The parasitic parameter influence algorithm are created for pole-zero analysis of linear circuits. All algorithms are based on generalized modification method and they are opened new possibilities for accuracy increasing of pole-zero analysis with circuit structure accounting.

Keywords: circuit function poles-zeros, modification method, parametrical criteria of accuracy, parasitic parameter.