НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ

МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

ХАПКО

Богдан Степанович

УДК 539.3

НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНИЙ СТАН ПЛАСТИН І ПОЛОГИХ ОБОЛОНОК ЗІ ЗЛОМАМИ ПРИ ЛОКАЛЬНОМУ НАГРІВІ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико–математичних наук

Львів – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України.

Науковий керівник - кандидат фізико–математичних наук, старший науковий співробітник ШВЕЦЬ Роман Миколайович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, м. Львів, провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор
ВАСИЛЕНКО Анатолій Тихонович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України , м. Київ, головний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник КУШНІР Роман Михайлович,
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, м. Львів, завідувач відділу.

Провідна установа - Донецький національний університет , кафедра теоретичної і прикладної механіки, Міністерство освіти і науки України, м. Донецьк.

Захист відбудеться 16 вересня 2002 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3-б).

Автореферат розіслано 15 серпня 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико–математичних наук П. Р. Шевчук

загальна характеристика роботи

Актуальність. Тонкостінні елементи конструкцій пластинчатого і оболонкового типу різноманітної конфігурації знаходять широке застосування у багатьох галузях машинобудування, промисловому та цивільному будівництві, що породжує задачі, пов’язані з проблемою визначення напружено-деформованого стану пластин і оболонок за наявності концентраторів напружень. До таких задач, зокрема, відноситься проблема дослідження термомеханічного стану тонких пластин і оболонок із нерегулярною поверхнею (зломами) за локальних теплових навантажень. Такі оболонкові системи утворюються при складанні із криволінійних чи плоских елементів. Іноді для підвищення загальної жорсткості тонкостінних конструкцій їм надають відповідних складок, зломів, гофрів і т.п. Раціональне конструювання виробів зі зломами поверхні, які працюють в умовах нерівномірного нагріву, вимагає врахування впливу на їх напружено-деформований стан, окрім термопружних параметрів матеріалу, і геометричних характеристик поверхні, зокрема зміни кривини. Потреба в математичному описанні розривних параметрів поверхні та локальних теплових навантажень обумовила необхідність використання узагальнених функцій, зосереджених на кривій або обмеженій області поверхні.

Експериментальні дані показують, що наявність злому в оболонці зумовлює істотне збурення згинних і мембранних напружень у порівнянні з ідеальною (гладкою) оболонкою. При теоретичному дослідженні напружено-деформованого стану реальних оболонок (враховуються геометричні нерегулярності їх серединних поверхонь) приходимо до постановки некласичних задач термопружності для оболонок, рівняння яких містять зосереджені кривини на лініях злому. Складність розв’язання таких задач, які по суті є багатоконтактними, полягає в необхідності побудови розв’язків на основі моментної теорії оболонок.

Розрахунку гладких оболонок присвячено багато досліджень, однак кількість відомих праць в рамках моментної теорії пологих оболонок зі зломами обмежена і дослідження в них проводились при силовому навантаженні. Дослідження напружено-деформованого стану оболонок зі зломами за теплового навантаження, зокрема локального теплового навантаження, нам невідомі.

Вивчення термопружної поведінки тонких пластин і оболонок із розривними параметрами вимагає створення ефективних методів розрахунку їх напружено-деформованого стану. В зв’язку з цим постановка і розв’язок крайових задач теплопровідності і термопружності для пологих оболонок з нерегулярностями серединної поверхні типу злому за наявності локального теплового навантаження та дослідження напружено-деформованого стану таких тонкостінних елементів конструкцій є актуальним і важливим науково-технічним завданням.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами.

Дослідження за темою дисертації виконувалися в рамках держбюдже-тних наукових тем за відомчими замовленнями НАН України: “Розвинути теоретичні основи і методи дослідження взаємодії деформівних тепломасопровідних тіл при наявності поверхневих неоднорідностей” (№ дер-жреєстрації 01.87.0067375, 1987-1992 рр.); “Розробка математичних методів дослідження контактної взаємодії тіл неоднорідної структури з врахуванням процесів фізичної і механічної природи” (№ держреєстрації 0193U009590, 1992-1997 рр.); “Розробка математичних моделей і методів дослідження фізико-механічних полів і контактно-поверхневих явищ при взаємодії складених тіл” (№ держреєстрації 0197U017670, 1997-2002 рр.), та проекту Державного фонду фундаментальних досліджень № 1.4/223 “Некласичні математичні моделі й методи досліджень механіки шаруватих структур і тіл з покриттями у взаємозв’язку з процесами немеханічної природи при комплексній зовнішній дії” (1997-1998 рр.).

Метою роботи є розробка з єдиних позицій методики розв’язування крайових задач теплопровідності і термопружності для пластин і пологих оболонок із регулярною та нерегулярною серединними поверхнями при тепловому навантаженні. В методику входять:

·

·

·

·

Об’єктом дослідження є напружено–деформований стан тонких пластин і пологих оболонок із регулярними і нерегулярними серединними поверхнями .

Предметом дослідження є температурні поля і зумовлені ними термона-пруження в пластинах і пологих оболоноках зі зломами за конвективного теплообміну із зовнішнім середовищем та нагріву джерелами тепла.

Методи досліджень. Дослідження напружено-деформованого стану зазначених конструкцій вимагає застосування математичного апарату і розвинення відповідних методів, які дозволили б розв'язувати з єдиних позицій крайові задачі теорії пластин і пологих оболонок зі зломами за дії джерел тепла. В роботі для опису нерегулярної серединної поверхні оболонки та виведення ключових рівнянь теплопровідності та термопружності тонкостінних елементів конструкцій, нагрітих локально чи шляхом конвективного теплообміну, застосовується апарат узагальнених функцій. Крайові задачі для скінченних оболонок зі зломами розв’язуються методом кінцевих інтегральних перетворень, який приводить нестаціонарні задачі теплопровідності до системи інтегральних рівнянь типу згортки з різницевими ядрами експоненціального вигляду в часі, а стаціонарні задачі теплопровідності та статичні і квазістатичні задачі термопружності – до системи алгебраїчних рівнянь.

Наукова новизна роботи полягає в тому, що:

·

·

·

·

·

Вірогідність отриманих результатів забезпечується строгістю математичних постановок крайових задач, використанням апробованих для гладких оболонок аналітичних методів розрахунку, відповідністю одержаних результатів експериментальним і теоретичним даним досліджень за силового навантаження.

Практичне значення результатів роботи полягає в можливості їх застосування для аналізу напружено-деформованого стану просторових тонкостінних конструкцій із нерегулярною поверхнею і оцінки залежності рівня термонапружень в таких об’єктах від геометричних і фізико-механічних параметрів. Результати досліджень можуть бути використані в будівельній індустрії, енергетиці, машино- та авіабудуванні для математичного обґрунтування інженерних рішень на стадії проектування складчастих оболонкових елементів, що функціонують в умовах нерівномірного нагріву.

Окремі теоретичні та практичні результати роботи були використані при виконанні госпдоговору № 251/41-183 “Дослідження впливу теплових і дифузійних процесів на напружений стан елементів конструкцій” ( замовник - НДІ НВО “Луч”, м. Подольск Московської обл., 1990-1992 рр.).

Апробація результатів роботи. Основні результати роботи доповідались й обговорювались на республіканській науковій конференції "Диференціальні і інтегральні рівняння і їх застосування" (Одеса, 1987), 3-ій Всесоюзній конференції з механіки неоднорідних структур (Львів, 1991), 2-ому міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій” (Львів-Дубляни, 1996), Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998), 5-ій міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000), 3-ому та 4-ому Міжнародних симпозіумах Українських інженерів-механіків (Львів, 1997, 1999), Міжнародній науковій конференції “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 2001).

В повному обсязі робота доповідалась на семінарі відділу математичних методів механіки руйнування і контактних явищ Інституту прикладних проб-лем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, на кваліфі-каційному семінарі “Механіка деформівного твердого тіла” цього ж інституту, на семінарі кафедри теоретичної і прикладної механіки Донецького національ-ного університету.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковані у 12 наукових роботах [1-12], з яких 11 – статті в наукових журналах і збірниках праць, в тому числі 8 статей [1,4-7,9-11] у фахових виданнях з переліку ВАК України.

Основні результати роботи автором отримані самостійно. У всіх працях, опублікованих у співавторстві, автору належить постановка або участь у постановці задач, розвиток і реалізація підходу, який базується на застосуванні методу кінцевих інтегральних перетворень до дослідження термопружного стану пластин і пологих оболонок зі зломами, що обмінюються теплом із зовнішнім середовищем та знаходяться під дією джерел тепла, розподілених вздовж кривої або на області. Так, у статтях [5-7] автор брав участь у постановці задач та інтерпретації результатів, отримав аналітичні розв’язки. В публікаціях [8-12] автор брав участь у математичній постановці задач та аналізі результатів, побудував замкнуту систему частково-вироджених диференціальних рівнянь, що описують напружено-деформований стан пологих оболонок з нерегулярною поверхнею, отримав аналітичні розв’язки крайових задач та здійснив їх числову реалізацію.

Структура роботи. Дисертація складається із вступу, 5 розділів, які містять 62 рисунки, висновків та списку літератури із 174 найменувань. Загальний обсяг роботи – 145 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи; сформу-льовано мету та завдання досліджень; охарактеризовано новизну, вірогідність та практичну значимість отриманих результатів; наведено дані про апробацію ре-зультатів роботи та її зв’язок із науковими програмами і планами, що вико-нуються в установі, де працює автор; вказано кількість публікацій за темою дисертації і особистий внесок здобувача.

У першому розділі наведено огляд близьких за напрямком досліджень наукових праць, висвітлено сучасний стан проблеми теоретичного дослідження тонких оболонок із нерегулярними серединними поверхнями; вказано місце роботи серед досліджень, що проводяться з даної проблематики.

Другий розділ присвячено виведенню основних рівнянь термопружності тонких пологих оболонок зі зломами серединної поверхні, постановці крайових задач теплопровідності й термопружності пластин і оболонок та розвиненню методики їх розв’язання.

В першому підрозділі наведено необхідні відомості з теорії узагальнених функцій, які далі використовуються для побудови розрахункових моделей термопружних пологих оболонок з урахуванням зломів серединної поверхні за температурних навантаженнь.

Розглянуто окремі нерегулярні поверхні другого порядку, зокрема записано рівняння поверхонь обертання і поверхні подвійної кривини, порушення регулярності (гладкості) внутрішньої геометрії яких зумовлені зломами. Показано, що для малих кутів зломів, які знаходяться в межах допущень про пологість оболонок, головні кривини оболонок, складених з окремих криволінійних елементів, контури яких збігаються з координатними лініями (рис. ), можна записати так

. (1)

Тут , _головні кривини гладких частин поверхні; – функція Дірака; , _кути зломів, що утворюються при переході дотичної площини через лінію злому , відповідно; m, n _кількість зломів вздовж координатних ліній. Аналогічні подання одержано і для поверхні обертання зі зломом вздовж колової координати.

В змішаній криволінійній системі координат для пологих оболонок, які перебувають в нерівномірному температурному полі, наведено рівняння рівноваги, геометричні та фізичні співвідношення, де головні кривини є задані функції координат серединної поверхні. Враховуючи вищезазначені рівняння і подання (1) для кривин нерегулярної поверхні, одержано систему двох частково-вироджених диференціальних рівнянь симетричної структури для визначення напружено-деформованого стану таких оболонок. За допомогою подання функцій прогину і напружень через комплексну функцію напружень ці рівняння зведено до одного частково-виродженого диференціального рівняння в частинних похідних

, (2)

де, ,

,,

, E_модуль Юнга, t, _коефіцієнти лінійного температурного розширення і Пуассона відповідно, 2h _товщина оболонки; qn – функція, що описує розподіл зовнішнього силового навантаження; A=A(,), B=B(,) _коефіцієнти першої квадратичної форми серединної поверхні, T1, T2 _інтегральні характеристики, пов’язані з температурою t співвідношенням

. (3)

Якщо в рівнянні (2) знехтувати членом з оператором , який відображає наявність зломів, то приходимо до відомого рівняння термопружності гладких пологих оболонок типу В.З. Власова.

Наведено також основні рівняння термопружності оболонок в прямокутній системі координат. Якщо оболонка складена тільки із плоских елементів (k1=k2=0, k=0), тоді частково-вироджені диференціальні рівняння (2) для знаходження функції прогину та напружень спрощуються, але залишаються взаємозв’язаними завдяки врахуванню кривин на лініях зломів (0). Термонапружений стан такої складчастої оболонки відображає взає-мовплив згинних і мембранних напружень плоских елементів. Із цих рівнянь при =0 одержуємо два бігармонічні рівняння термопружності для пластин.

Для оболонок зі зломами записано систему диференціальних рівнянь на зусилля та моменти задачі термопружності в квазістатичному випадку, а також рівняння руху в переміщеннях.

Інтегральні температурні характеристики T1 і T2, які входять в рівняння (2), знаходимо з розв’язку відповідної крайової задачі теплопровідності для оболонок із нерегулярною поверхнею. У випадку, коли оболонка зазнає дії джерел тепла і обмінюється теплом із зовнішнім середовищем за законом Ньютона, рівняння теплопровідності мають вигляд

, (4)

де p, ap, 0, 1p, 2p, p (p=1, 2), a, _теплофізичні характеристики матеріалу, tp визначаються температурою зовнішнього середовища, Wp _інтегральні характеристики джерел тепла, , T1=2(F1 _ 2F2)/0T2=(2F2 _ F1)/0 .

Одержані рівняння (2) і (4) складають повну систему рівнянь температур-ної задачі тонкої пологої оболонки зі зломами. Ці диференціальні рівняння теплопровідності та термопружності оболонки містять в собі імпульсні коефі-цієнти, які враховують відхилення кривини реальної оболонки від кривини відповідної оболонки з регулярною поверхнею. Беручи до уваги фільтруючу властивість -функції, можна розглядати члени з операторами і як дію на лінії злому зосереджених теплових і силових чинників із невідомими інтенсивностями, що підлягають визначенню в процесі розв’язування задачі про температурне поле і термонапружений стан оболонки зі зломом.

Для розв’язування крайових задач для цих рівнянь запропоновано підхід, який базується на використанні апарату узагальнених функцій і методу кінцевих інтегральних перетворень з алгоритмом формування функцій ядра.

З цією метою розглядається крайова задача для диференціального рівняння другого порядку параболічного типу зі змінними й імпульсними коефіцієнтами та сингулярною правою частиною. За наявності імпульсних коефіцієнтів у рівняння входять невідомі значення шуканих функцій та їх похідних на лініях злому. Застосування кінцевих інтегральних перетворень по просторових координатах із попередньо визначеними ядрами та ваговими функціями приводить вихідне рівняння до звичайного диференціального рівняння відносно часу для шуканої функції в зображеннях. Розв’язавши це рівняння першого порядку відносно часу з урахуванням початкової умови і застосувавши до знайденого розв’язку обернені інтегральні перетворення, отримуємо розв’язок вихідного рівняння, в який входять невідомі значення на лініях злому шуканої функції та її першої похідної в зображеннях по координатах, що змінюються вздовж ліній злому. Для знаходження цих значень отримано систему інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду з експоненціальним різницевим ядром відносно часу.

У випадку стаціонарної задачі для визначення невідомих значень функцій в зображеннях на лінії злому матимемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Відзначимо, що як система інтегральних рівнянь так і система алгебраїчних рівнянь будуть скінченними при скінченній кількості зломів.

Підстановкою в розв’язок знайдених із цих систем значень на лінії злому функції і її похідної в зображеннях одержимо аналітичний розв’язок вихідної крайової задачі.

Третій розділ присвячено розв'язуванню задач теплопровідності і термопружностi для тонких пластин, коли джерела тепла є функціями координат і часу. Зазначені теплові навантаження можна описати за допомогою узагальнених функцій. У роботі інтегральні характеристики джерел тепла, які зосереджені в точцi, розподiлені вздовж лiнiї та на обмеженій області поверхнi пластини, подано у вигляді

(5)

де _густини джерел тепла, зосереджених в точках , розподiлених вздовж кривих та на поверхнях : , , відповідно. Це подання використане при знаходженні температурного поля в пластинках і оболонках, що перебувають під дією розривних теплових навантажень. В загальному випадку криві, на яких зосереджені джерела тепла, та криві, які обмежують область нагріву, не збігаються з координатними лініями.

В першому підрозділі розв’язана квазістатична задача термопружності про згин круглої пластинки за дії джерел тепла, що розподілені вздовж відрізку кривої. Між поверхнями пластинки і зовнішнім середовищем відбувається теплообмін за законом Ньютона. Початкова температура є довільною функцією координат. На контурі пластинки виконуються умови вільного опирання або жорсткого закріплення. Сформульована задача розв’язується методом кінцевих інтегральних перетворень із попередньо знайденими ядрами перетворень.

Розглянуто окремі випадки нагріву. Детально вивчено прогин пластинки за дії миттєвого джерела, розміщеного вздовж дуги кола , . Досліджено вплив коефіцієнта тепловіддачі, довжи-ни дуги нагріву на величину прогину і моментів. Виявлено, що максимальне значення прогину пластинки з часом зміщується до її центру (рис. 2).

Побудовано розв’язок нестаціонарної задачі теплопровідності та динамічної задачі термопружності для тонкої прямокутної пластинки, коли джерела тепла розподiленi вздовж кривих ліній та на однозв’язних областях. Температурне поле визначено для випадку конвективного теплообміну пластинки із зовнішнім середовищем, коли початкова температура є заданою функцією координат. Динамічний прогин пластинки знайдено за умови її вільного опирання. У випадку, коли джерела тепла розподiлені на областi, обмеженій дугами синусiв, а початкова температура дорівнює нулю, аналітичні вирази для температури і прогину записано через функції Ломеля. Як приклад розглянуто прямокутну пластинку під дією миттєвого джерела тепла, розміщеного вздовж довільного кола.

Четвертий розділ присвячено дослідженню температурних полів, прогинів, моментів та зусиль в тонких гладких оболонках, які обмінюються теплом із зовнішнім середовищем за законом Ньютона та нагріваються джерелами тепла, зосередженими на відрізку кривої лінії.

Досліджено квазістатичні задачі термопружності для конічної, циліндричної та сферичної оболонок із регулярними поверхнями.

Розглянуто зрізану конічну оболонку, положення точки на серединній поверхні якої визначено ортогональними координатами , де – віддаль точки від вершини конуса вздовж твірної, – кут між початковою і довільною меридіональними площинами. Задача теплопровідності, за однакових коефіцієнтів теплообміну на лицевих поверхнях оболонки та довільної початкової температури, розв’язується методом кінцевих інтегральних перетворень із визначенням ядер перетворень і вагових функцій. Розв’язок одержано через функції Бесселя з дробовим індексом. Як приклад подано розв’язок задачі теплопровідності для конічної оболонки з кутом при вершині , яка нагрівається з моменту часу рівномірно розподіленими по відрізку твірної , джерелами тепла сталої потужності за нульових початкових та однорідних граничних умов третього роду. У цьому випадку в розв’язки входитимуть функції Бесселя з цілими парними індексами.

Далі розглянуто квазістатичну задачу термопружності для пологої прямокутної в плані циліндричної оболонки, яка нагрівається джерелами тепла за нульових початкової температури та температури на торцях. Коефіцієнти теплообміну на лицевих поверхнях різні. Оболонка вільно оперта на торцях. З проведеного числового аналізу для оболонки, яка нагрівається рівномірно розподіленими на прямій джерелами тепла, випливає, що вздовж лінії нагріву значних збурень зазнають не тільки моменти, а й зусилля. Перерізуюча сила при переході через лінію розподілу джерел тепла зазнає різких збурень і змінює знак на протилежний.

Одержано аналітичний розв’язок задачі термопружності для тонкої пологої сферичної оболонки, яка в початковий момент часу нагрівається джерелами тепла, розподіленими вздовж кривої лінії і перебуває в умовах конвективного теплообміну із зовнішнім середовищем нульової температури. У випадку прямокутної в плані сферичної оболонки, за несиметричного нагріву її по товщині, проведено числовий аналіз розподілу прогину, зусиль і моментів в залежності від координат. Для всіх силових величин характерною є різка зміна їх значень в зоні нагріву.

У п’ятому розділі одержано аналітичні розв’язки задач теплопровідності і термопружності для пологих оболонок із нерегулярностями серединної поверхні і на їх основі досліджено вплив зломів на напружено-деформований стан оболонок. Розглянуто пологі оболонки, складені з криволінійних та плоских елементів. При цьому така нерегулярна система розглядається як єдине ціле, що дає можливість дослідити локальний характер напружень на лінії з’єднань. Розв’язки зазначених задач для скінченних оболонок шукаємо за допомогою методики, описаної в другому розділі.

Спочатку розглядається осесиметрична задача термопружності для нескінченної пологої циліндричної оболонки, що має злом вздовж екваторіальної лінії і перебуває в тепловому контакті із зовнішнім середовищем. Коефіцієнти тепловіддачі з поверхонь є різними. Задача розв’язується методом інтегральних перетворень Фур’є та Лапласа. Нестаціонарну задачу теплопровідності зведено до розв’язування системи двох взаємозв’язаних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду

(6)

для знаходження невідомих значень функцій на лініях злому. Тут , , , ,_стала величина.

В стаціонарному випадку для визначення невідомих одержуємо систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь. Виявлено, що наявність в оболонці злому серединної поверхні зумовлює локальне збурення температурного поля. Величина і градієнт збурення залежать від кута злому (рис. ), товщини оболонки та коефіцієнтів тепловіддачі з поверхонь.

Локальне збурення температур-ного поля спричинює додатковий згин оболонки і концентрацію напружень вздовж лінії злому. Ширина зони збурення вздовж цієї лінії має порядок декількох товщин оболонки. Із віддаленням від неї напружений стан в оболонці із нерегулярною поверхнею асимптотично наближається до напруженого стану у відповідній гладкій оболонці. Величина напружень в околі злому суттєво залежить від кута злому і коефіцієнтів тепловіддачі з поверхонь оболонки. Зокрема, із збільшенням кута злому зростає величина напружень і збільшується їх градієнтність в околі злому. Особливістю напруженого стану оболонки є те, що збурень зазнають не тільки згинні моменти, але й кільцеві зусилля .

У наступному підрозділі розглянуто незамкнену тонку пологу циліндричну оболонку зі сторонами i , яка має зломи вздовж координатних ліній. Оболонка обмінюється теплом із зовнiшнiм середовищем за законом Ньютона, температура якого є функцією координат і часу, та нагрівається джерелами тепла, розподіленими вздовж кривої лінії , . Коефiцiєнти теплообмiну на лицевих поверхнях оболонки різні. На контурі виконуються умови вільного опирання та підтримується нульова температура. Початкова температура рівна нулю. Серединна поверхня оболонки має зломів в меридіональному (вздовж координатної лінії ) i зломів в екваторіальному напрямку (вздовж координатної лiнiї ).

Розв'язок задачi знайдено як комбiнацiю гладких i розривних функцiй, що вiдповiдає характеру імпульсних коефiцiєнтiв, які входять у вихiднi рiвняння.

Як приклад розглянуто прямокутну в плані циліндричну оболонку із двома взаємноперпендикулярними зломами в екваторіальному і меридіональному напрямках. Аналітично визначено прогини, зусилля і моменти в оболонці для випадку, коли температура зовнішнього середовища є сталою. Проведено числовий аналіз впливу геометричних і теплофізичних параметрів оболонки із нерегулярною поверхнею на її деформований і напружений стан. Виявлено, що в зонах, близьких до точки перетину зломів, спостерігається локальне зменшення прогину у порівнянні з іншими ділянками оболонки.

Коли злом розташований вздовж меридіана посередині оболонки, зміни прогинів ідеальної і реальної оболонок мають різний характер (рис. 4). В оболонці зі зломом крива прогину (товстіша крива) в околі точки злому має локальний мінімум, а величина прогину значно менша від прогину відповідної гладкої оболонки. Звідси випливає, що зломи поверхні впливають на прогини оболонки подібно до елементів підкріплень, оскільки зумовлюють локальне збільшення жорсткості.

Аналогічну поведінку прогину оболонки спостерігаємо у випадку, коли злом розташований вздовж екваторіального перерізу (). Значного збурення зазнають в зоні злому згинні і нормальні напруження, що діють вздовж ліній з’єднання. Згинні моменти на ділянках між зломами є додатними, а в зоні злому різко зменшуються і при певних значеннях параметрів можуть стати від’ємними. Суттєвого перерозподілу зазнають зазначені нормальні зусилля, які на деяких ділянках оболонки можуть ставати розтягувальними. Перерізуючі зусилля на лініях злому мають стрибки і змінюють знак на протилежний. З наведеного випливає, що наявність злому зумовлює значну концентрацію термічних напружень в оболонці, що потрібно враховувати при її розрахунках на міцність.

В наступному підрозділі досліджено напружено-деформований стан пологої призматичної оболонки, утвореної із плоских () елементів, за конвективного теплообміну із зовнішнім середовищем та нагріву джерелами тепла, коли температура на торцях дорівнює нулю. Отримано аналітичний розв’язок квазістатичної задачі термопружності для складчастої оболонки, серединна поверхня якої має сталу кривину () в одному напрямі і зломів в іншому напрямі (). Деформований стан такої оболонки описується рівняннями, які відображають взаємний вплив деформації згину і деформації розтягу (стиску) плоских елементів, оскільки кривина . Розподіл температурних характеристик, прогину, зусиль та моментів проаналізовано на прикладі призматичних оболонок, складених з двох чи трьох плоских елементів, за сталої температури зовнішнього середовища. На рис. 5 показано розподіл моментів вздовж екваторіального перерізу () оболонки, яка складається з трьох плоских елементів (граней) і має зломи в точках . Згинні моменти досягають максимальних значень на ділянках між зломами, а на лініях зломів мають локальні мінімуми. Значних змін зазнають в зоні зломів також нормальні зусилля, які діють в перерізах, перпендикулярних до ліній зломів, що якісно узгоджується з експериментальними даними для оболонок, які перебували під дією рівномірно розподіленого силового навантаження.

В кінці розділу розглянуто пологу оболонку сферичної форми, яка складається з дев’яти елементів і має зломи в двох напрямках. Оболонка вільно оперта і нагрівається зовнішнім середовищем постійної температури. Отримано аналітичні вирази для визначення температурного поля, прогину, моментів і зусиль. Аналіз числових результатів показує, як і у попередніх прикладах, що складчастість оболонки суттєво впливає на розподіл компонентів згинного напружено-деформованого стану, а також на нормальні зусилля в перпендикулярних до ліній зломів перерізах, які при заданих параметрах для сферичної оболонки є стискувальними. Перерізуюче зусилля при переході через лінію контакту елементів має стрибок і змінює знак.

Із наведеного випливає, що при дослідженні термонапруженого стану складчастих систем оболонкового типу необхідно враховувати реальну форму і дискретний характер розподілу зломів серединної поверхні оболонки.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вирішенню наукового завдання – постановці і розв’язуванню крайових задач теплопровідності і термопружності для пологих оболонок із нерегулярностями серединної поверхні типу злому за наявності локального теплового навантаження та дослідженню напружено-деформованого стану таких тонкостінних елементів конструкцій.

Із використанням теорії узагальнених функцій записана повна система частково-вироджених диференціальних рівнянь теплопровідності та термопружності оболонок, яка враховує за допомогою відповідно поданих кривин зломи їх поверхонь вздовж координатних ліній. Розглядаються пологі оболонки циліндричної і сферичної форми, які складені з криволінійних чи плоских елементів.

Розроблена методика дослідження задач теплопровідності і термопружності тонких пластин і пологих оболонок зі зломами за конвективного теплообміну на лицевих поверхнях та дії теплових джерел, які зосереджені вздовж кривих ліній або на обмежених областях поверхонь. Вона базується на використанні теорії узагальнених функцій та кінцевих інтегральних перетвореннях з формуванням їх ядра і дозволяє стаціонарну задачу теплопровідності, статичну і квазістатичну задачі термопружності звести до розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь, а нестаціонарну задачу теплопровідності – до розв’язування системи інтегральних рівнянь типу Вольтерра другого роду відносно часу.

Із застосуванням цієї методики одержано розв’язки квазістаціонарних задач термопружності для обмежених пластин і пологих оболонок, коли вони обмінюються теплом із зовнішнім середовищем за законом Ньютона і нагріваються джерелами тепла, розподіленими вздовж кривих ліній чи на обмежених областях поверхні. Розв’язано динамічну задачу термопружності для вільно опертої на контурі прямокутної пластинки, яка перебуває в стані спокою в початковий момент часу. Отримано аналітичні розв’язки низки задач термопружності для циліндричних і сферичних оболонок, що мають зломи серединної поверхні чи складені з плоских елементів, за конвективного теплообміну з їх поверхонь.

На основі побудованих розв’язків досліджено особливості розподілу температури, прогинів, зусиль і моментів у тонкостінних пластинчатих і оболонкових елементах, спричинених дією розподілених вздовж ліній і на обмежених областях джерел тепла та наявністю зломів вздовж координатних ліній, і встановлено наступне:

·

·

·

·

·

Якісний і кількісний аналіз отриманих розв’язків показав, що зломи серединної поверхні оболонки істотно впливають на її термічні прогини і напружений стан. Тому врахування реальної форми оболонок є одним із ключових моментів при побудові адекватних математичних моделей деформування тонкостінних об’єктів із нерегулярними серединними поверхнями в умовах нерівномірного нагріву. Отримані результати доповнюють систему знань про термомеханічну поведінку тонких елементів конструкцій із регулярною та нерегулярною поверхнями і можуть використовуватись для розрахунку деформативності і міцності складчастих елементів конструкцій за теплових навантажень.

Розроблена в роботі методика допускає узагальнення на задачі теплопровідності і термопружності для тонких оболонок з ребрами жорсткості і підкріпленнями.

Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Анотація. Хапко Б.С. Напружено-деформований стан пластин і пологих оболонок зі зломами при локальному нагріві. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матема-тичних наук за спеціальністю 01.02.04 _механіка деформівного твердого тіла. _Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, Львів, 2002.

В роботі для пологих оболонок записано ключову систему диференціальних рівнянь теплопровідності та термопружності, які враховують зломи її серединної поверхні. Оболонки нагріваються джерелами тепла, що описуються функціями координат і часу, та обмінюються теплом із зовнішнім середовищем.

Дана постановка і розроблена методика розв’язування крайових задач теплопровідності і термопружності оболонок зі зломами, яка базується на теорії узагальнених функцій та методі скінченних інтегральних перетворень.

На основі одержаних частково-вироджених диференціальних рівнянь розглянуто квазістатичні задачі термопружності для пластин і гладких пологих оболонок, які перебувають під дією локального теплового навантаження, зокрема джерел тепла, зосереджених вздовж кривих та на областях поверхні, які обмежені кривими. Досліджено термонапружений стан у вільно опертих по периметру кругових і прямокутних пластинках та сферичних і скінченних циліндричних оболонках при різних коефіцієнтах тепловіддачі на лицевих поверхнях.

Одержано аналітичні розв’язки крайових задач теплопровідності та термопружності для скінченних циліндричних оболонок зі зломами та складчастих (складених із плоских елементів) призматичних і сферичної форми оболонок зі зломами, розташованими вздовж координатних ліній. Для безмежної кругової циліндричної оболонки розглянуто випадок, коли злом розміщений вздовж колової координатної лінії.

Розв’язки подано у вигляді подвійних рядів за тригонометричними функціями. Проведено числовий аналіз розподілу зусиль і моментів у оболонках зі зломами і показано, що зломи суттєво впливають на перерозподіл термонапружень і зумовлюють значну їх концентрацію.

Ключові слова: термопружність, полога оболонка, пластинка, кривина, злом поверхні, джерела тепла, метод кінцевих інтегральних перетворень, узагальнені функції.

Аннотация. Хапко Б.С. Напряженно-деформированное состояние пластин и пологих оболочек с изломами при локальном нагреве. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-матема-тических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела.– Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С.Подстри-гача НАН Украины, Львов, 2002.

Записано для тонких пологих оболочек ключевую систему дифферен-циальных уравнений теплопроводности второго порядка и термоупругости четвертого порядка с импульсными коэффициентами, которые учитывают изломы срединной поверхности, нагрев источниками тепла, конвективный теплообмен с окружающей средой.

Дана постановка и разработана методика решения краевых задач теплопроводности и термоупругости оболочек с изломами, которая основана на теории обобщенных функций, а также методе конечных интегральных преобразований с формированием ядра преобразования и весовой функции. Стационарная краевая задача теплопроводности и задача термоупругости для оболочек с изломами сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений, а нестационарная задача теплопроводности – к решению системы интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода с экспоненциальными разностными ядрами относительно времени.

На основании полученных дифференциальных уравнений решены квази-стационарные задачи термоупругости для пластин и гладких пологих оболочек, находящихся под действием локальной тепловой нагрузки, в частности источников тепла, которые сосредоточены на кривых или областях поверхности, ограниченных произвольными кривыми. Исследовано термоупругое состояние свободно опертых по периметру круговых и прямоугольных пластин, а также сферических и конечных цилиндрических оболочек при различных коэффициентах теплоотдачи с лицевых поверхностей.

Построено решение осесимметричной задачи теплопроводности и термо-упругости для бесконечной цилиндрической оболочки, имеющей экваториаль-ный излом. Выявлено, что наличие в оболочке нерегулярности срединной поверхности типа излома приводит к локальному возмущению температурных характеристик и концентрации напряжений. Величина и градиент напряжений зависят от угла излома, толщины оболочки и коэффициентов теплоотдачи с поверхностей.

Получены аналитические решения краевых задач теплопроводности и термоупругости для конечных разомкнутых цилиндрических оболочек с изло-мами вдоль координатных линий при конвективном теплообмене с внешней средой и нагреве источниками тепла, распределенными по кривой линии. Проанализирован прогиб в различных сечениях цилиндрической оболочки с изломами в экваториальном и меридиональном направлениях. Выявлено уменьшение прогиба оболочки с изломом по сравнению с соответствующей гладкой оболочкой. Изучены особенности распределения усилий и