Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка

Жук Ярослав Олександрович

УДК 539.376

ЗВ’ЯЗАНІ ЗАДАЧІ ТЕРМОМЕХАНІКИ ФІЗИЧНО

НЕЛІНІЙНИХ ТІЛ ПРИ ГАРМОНІЧНОМУ НАВАНТАЖЕННІ

В ОДНОЧАСТОТНОМУ НАБЛИЖЕННІ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико – математичних наук

Київ – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка

Національної академії наук України, м. Київ.

Науковий консультант – доктор фізико – математичних наук, професор

Карнаухов Василь Гаврилович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

завідувач відділу.

Офіційні опоненти: член–кореспондент НАН України

доктор фізико – математичних наук, професор

Шульга Микола Олександрович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

завідувач відділу;

доктор фізико – математичних наук, професор

Селезов Ігор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

завідувач відділу;

доктор фізико – математичних наук

Лепіхін Петро Павлович,

Інститут проблем міцності НАН України,

заступник директора інституту з наукової роботи.

Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів.

Захист відбудеться 08.10.2002 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України
за адресою: 03057, Київ, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України за адресою: Київ, вул. Нестерова, 3.

Автореферат розіслано 04.09.2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фізико–математичних наук, професор І.Ю. Бабич

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Наукові та науково-технічні проблеми, що виникають при дослідженні поведінки матеріалів елементів конструкцій при їх експлуатації та розробка основ новітніх технологічних процесів вимагають адекватного описання реакції матеріалу в нелінійній області деформування. Вимоги зниження матеріалоємності й собівартості конструкції, збільшення строків її роботи також призводять до необхідності прогнозування поведінки матеріалу за границею пружності. Для цього використовуються теорії в’язкопружності, пластичності і в’язкопластичності. Інтенсивні процеси непружного деформування супроводжуються тепловими ефектами як оборотної (термопружні), так і необоротної природи (розігрів внаслідок внутрішньої дисипації механічної енергії). Спільний розгляд механічних і теплових ефектів поведінки матеріалу важливий при проектуванні елементів енергетичного устаткування, аерокосмічної техніки, об’єктів металообробної промисловості, пристроїв для гасіння вібрацій і т.д. Аналіз подібних зв’язаних явищ складає основу таких прикладних технологій, як термографічний контроль макродефектів, ультразвукове зварювання термопластів, оцінка ефективності гумових віброізоляторів та інш. Він відіграє провідну роль при формулюванні критеріїв термічного втомного руйнування матеріалів.

Описання поведінки матеріалу з врахуванням теплових ефектів проводиться в рамках термомеханіки зв’язаних полів. У її розвитку можна виділити два основні напрямки. В рамках першого розглядають процеси інтенсивного монотонного або циклічного деформування в непружній області. При цьому, за деяких умов, наприклад при резонансних коливаннях, дисипативний розігрів може досягати значного рівня. Другий напрямок пов’язаний з поглибленим експериментально-теоретичним дослідженням визначальних рівнянь непружних матеріалів. Отримання фактичної інформації при цьому критичним чином залежить від результатів тонких термо- і калориметричних вимірювань.

В коливальних процесах спостерігаються різні форми проявів нелінійності й внутрішніх втрат: енергетичні витрати на підтримку коливань тіла, наявність петлі гістерезису, обмеженість амплітуди резонансних коливань, згасання вільних коливань, вібраційний розігрів тощо. Систематизоване описання різноманітності циклічного деформування матеріалів, встановлення взаємозв’язку з різними мірами їх дисипативних і жорсткісних властивостей, використання цих результатів для кількісного аналізу поведінки елементів конструкцій можливе тільки в рамках експериментально і теоретично обгрунтованої зв’язаної феноменологічної теорії. З цією метою використовувались теорії внутрішнього тертя із мікропластичним механізмом втрат і цілий ряд моделей макропластичної циклічної поведінки непружних матеріалів, які базуються на принципі Мазинга (класичні та структурні моделі), ендохронна теорія і феноменологічні моделі циклічної пластичності.

Значних успіхів в описанні циклічної непружної поведінки матеріалів досягнуто завдяки застосуванню узагальнених моделей непружної течії, які використовують набір внутрішніх змінних для характеризації ізотропного і направленого зміцнення, повзучості, релаксації напруження тощо. Проте до останнього часу ці моделі не були узгоджені з термодинамікою необоротних процесів і не були побудовані на їх основі теорії зв’язаної термомеханічної поведінки, а також спрощені моделі циклічного деформування.

Існує два підходи до описання поведінки фізично нелінійних дисипативних (непружних) матеріалів при циклічному навантаженні. Перший з них полягає в інтегруванні повної системи визначальних рівнянь, які вважаються справедливими для довільних історій деформування. Другим підходом, який дозволяє радикально спростити описання циклічного деформування матеріалів, є побудова т. зв. амплітудних рівнянь, що зв’язують амплітуди силових та кінематичних величин. Обидва підходи мають свої недоліки: перший є надзвичайно витратним через необхідність чисельного інтегрування повної системи визначальних рівнянь і надає дуже об’ємну і часто надмірну інформацію для аналізу задачі; другий є недостатньо обгрунтованим через брак в літературі даних по оцінці точності наближеної (амплітудної) постановки.

Недостатньо розробленою залишається амплітудна теорія для класу суттєво фізично нелінійних (зокрема в’язкопластичних) матеріалів. Всі результати, отримані до цього часу, присвячені механічно лінійним та нелінійно в’язкопружним матеріалам. Великий інтерес викликають проблеми коливань і вібраційного розігріву фізично нелінійних тіл в областях частот як хвильового, так і квазістатичного деформування. Особливо виразно ефекти нелінійності й вібраційного розігріву виявляються на резонансах. Тому дослідження термомеханічної поведінки нелінійних тіл (зокрема тіл скінченних розмірів, тонкостінних шаруватих елементів конструкцій) в резонансній області має велике теоретичне і практичне значення.

Таким чином, термодинамічне обгрунтування моделей циклічно деформованих тіл та спрощених варіантів таких моделей, постановка зв’язаних задач і розробка методів їх розв’язування, а також дослідження на цій основі закономірностей термомеханічної поведінки суттєво нелінійних тіл при гармонічному навантаженні є актуальною науковою проблемою сучасної механіки деформівного твердого тіла.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, результати яких викладено в дисертації, передбачені програмами і планами наукових досліджень з природничих наук на 1990–2002 р.р. НАН України, були виконані та увійшли до звітів науково дослідних робіт, виконаних у відділі термопружності Інституту механіки НАН України. Зокрема: № 291 “Розробка математичних методів розв’язання задач про нелінійні термомеханічні спряжені процеси в непружних структурно-неоднорідних тілах”, № д.р. 0197U008132; № 404п “Розробка моделей теплового руйнування тіл з дисипативних матеріалів при циклічному навантаженні”, № д.р. 0199U000909; № п “Моделювання зв’язаних термомеханічних процесів в плоских і осесиметричних дисипативних тілах з циліндричними включеннями”, № д.р. 0101U002865; 429п/2“А” “Дослідження зв’язаної термомеханічної поведінки однонаправлених композитів з металічною матрицею при циклічних навантаженнях”, № д.р. 0101U007005.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є узгодження узагальненої моделі непружної течії з термодинамікою необоротних процесів, її подальше узагальнення на випадки суттєво нелінійного і багатомодового зміцнення; розробка за її допомогою спрощеної зв’язаної теорії термомеханічної поведінки фізично нелінійних дисипативних матеріалів при гармонічному навантаженні; розробка відповідних постановок крайових задач і дослідження основних закономірностей квазістатичної і динамічної термомеханічної поведінки однорідних та неоднорідних тіл обертання, плоских, а також тонкостінних тіл. Для досягнення мети вирішувались наступні задачі:

·

·

·

·

·

·

·

Об’єктом дослідження є зв’язані термомеханічні процеси в суттєво фізично нелінійних дисипативних матеріалах та елементах конструкцій з них під дією гармонічного навантаження. Вивчаються квазістатичні й динамічні процеси в тілах, що мають як просту форму (циліндр, пластина), так і об’єкти зі складними геометричними параметрами (тіла з неоднорідностями, концентраторами напружень і макродефектом, тонкостінні шаруваті елементи конструкцій).

Предмет дослідження – коливання і дисипативний вібророзігрів фізично нелінійних непружних тіл під дією гармонічного навантаження.

Методи досліджень. Використані основні рівняння й співвідношення механіки і термодинаміки середовищ із внутрішніми змінними стану для термодинамічного розширення узагальненої моделі течії. Розроблено рівняння спрощеної (одночастотної) моделі, яка грунтується на концепції комплексних модулів і модифікованому методі гармонічної лінеаризації. На базі розвинених моделей дані постановки зв’язаних крайових задач. Внаслідок їх суттєвої нелінійності вони розв’язувались чисельно. Просторова дискретизація реалізована в рамках методу скінченних елементів як для повної постановки (з використанням узагальненої моделі течії), так і для наближених постановок, що грунтуються на спрощеній моделі циклічної термомеханічної поведінки матеріалу. Задачі про коливання і дисипативний розігрів тонкостінних елементів розв’язувались методом ортогональної прогонки в поєднанні з методом скінченних різниць.

Нелінійні диференціальні рівняння жорсткого типу, які описують еволюцію непружної деформації і параметрів зміцнення, інтегруються неявним методом Ейлера. Система нелінійних трансцендентних рівнянь, що виникає на кожному часовому кроці, розв’язується методом простої ітерації. Для прискорення збіжності ітераційного процесу застосовується процедура типу Стефенсена–Ейткена. Для розв’язання задачі в динамічній постановці використовувалась схема Кренка–Нікольсона.

Обгрунтування спрощеної моделі (моногармонічного наближення) проводиться зіставленням розв’язків типових задач кожного класу в наближеній і повній постановках. При розв’язуванні конкретних крайових задач значна увага приділялась як розробці теоретичних питань, пов’язаних із взаємодією механічних і теплових полів в нелінійних дисипативних тілах при гармонічному навантаженні, так і систематизації й узагальненню розрахункових даних з метою визначення впливу окремих чинників термомеханічної поведінки у різних типових випадках.

Наукова новизна результатів роботи визначається положеннями:

·

·

·

·

·

Практичне значення отриманих результатів полягає

·

·

·

·

·

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались на наукових конференціях, симпозіумах, семінарах і колоквіумах, зокрема на: VII Українській конференції “Моделювання і дослідження стійкості систем” (Київ, 1996 р.); International Conference “Dynamic System Modelling and Stability Investigation” (Київ, 1997, 2001 р.р.); міжнародній конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998 р.); міжнародній конференції “Сучасні проблеми концентрації напружень” (Донецьк, 1998 р.); міжнародній науковій конференції “Зварювання і споріднені технології в XXI століття” (Київ, 1998 р.); EUROMECH 400 Colloquium “Impact Damage Tolerance Modelling of Composite Materials and Structures” (London, 1999); annual scientific conferences GAMM-2000 and GAMM-2001 (Gottingen, 2000; Zurich, 2001); 20th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics ICTAM-2000 (Chicago, 2000); 5th International Conference on Vibration Problems ICOVP-2001 (Москва, 2001 р.); міжнародній науково-практичній конференції “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецьк, 2001 р.).

У завершеному вигляді дисертація доповідалась і обговорювалась на семінарі відділу термопружності Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (керівник – д.ф.–м.н., професор В.Г.Карнаухов, 2002р.); на науковому семінарі за напрямком “Механіка зв’язаних полів в матеріалах і елементах конструкцій” при Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (керівники – академік НАН України Ю.М.Шевченко, член–кор. НАН України О.М.Шульга 2002р.); на загальноінститутському науковому семінарі з механіки Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (керівник –– академік НАН України О.М.Гузь, 2002р.) і здобула позитивну оцінку.

Окремі частини роботи підтримувались грантами і стипендіями Президента України, Президії НАН України для молодих вчених, а також Royal Society/NATO Fellowship.

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано в 40 наукових працях. В авторефераті наведено 36 праць, де викладено основний зміст дисертації, з них 28 праць опубліковано у фахових виданнях.

Особистий внесок здобувача. Теоретичні та практичні результати дисертації належать здобувачу особисто, що відображено у 10 самостійних працях. У працях, опублікованих разом з д.ф.-м.н. І.К.Сенченковим, співавтору належить задум у проведенні досліджень, постановка задач, а також участь обговоренні отриманих результатів; у працях, опублікованих разом з д.ф.-м.н. В.І.Козловим, співавтор брав участь в розробці варіаційних підходів до розв’язання задачі в повній постановці; у працях, опублікованих разом з к.ф.-м.н. О.П.Червінко, співавтор брала участь в розробці методики чисельного розв’язання задачі в наближеній постановці; а у працях, опублікованих разом з інж. Г.А.Табієвою, співавтор брала участь в розробці методики чисельного розв’язання задачі в повній постановці.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, восьми розділів, висновків та списку літератури. Загальний об’єм дисертації становить 370 стор., разом із додатком, 119 рисунками, розміщеними на 60 сторінках, 16 таблицями та списком літературних джерел з 319 найменувань.

Автор висловлює глибоку і щиру подяку науковому консультанту д.ф.–м.н., професору В.Г. Карнаухову і д.ф.–м.н. І.К. Сенченкову за постійні консультації, увагу до роботи та допомогу при її виконанні.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику дисертації; розкрито стан наукової проблеми, обгрунтовано актуальність теми дисертації, її зв’язок з науковими програмами; сформульовано мету роботи і задачі дослідження; відзначено наукову новизну і практичне значення одержаних результатів; наведено дані про апробацію результатів дисертації, а також про публікацію результатів роботи.

В першому розділі проведено огляд літератури за темою дисертації. Відзначається, що перші досліди, які виявили нелінійність зв’язку між напруженнями і деформаціями в реальних матеріалах, проводились ще Лейбніцем, Кулоном, Вебером, Біо, Вертгеймом, Кольраушем та іншими. Історично склались два підходи до дослідження нелінійної поведінки матеріалів. Перший з них розвивається в інтересах фізики і матеріалознавства і грунтується на використанні отриманих механічних характеристик для інтерпретації внутрішньої структури матеріалу або використовує їх для розробки технологій виробництва матеріалів. Другий підхід розвивається в рамках механіки, використовує переважно феноменологічне описання і орієнтований на формулювання аналітичних моделей і практичне розв’язання крайових задач, які описують поведінку деформованих тіл під дією навантаження. Значний внесок в розробку моделей непружної нелінійної поведінки тіл зробили, зокрема, А.А.Ільюшин, А.О.Лебедєв, П.П.Лепіхін, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, Б.Є.Победря, Ю.Н.Работнов, Ю.М.Шевченко, Прагер, Хілл та інші.

Особливістю розвитку нелінійної теорії на сучасному етапі в рамках другого підходу є намагання сформулювати її в достатньо загальному вигляді із залученням термодинаміки необоротних процесів і з використанням строго визначених понять. Якраз ці якості притаманні найкращим роботам вітчизняних і закордонних науковців, які зробили вагомий внесок в дослідження нелінійної і, зокрема, в’язкопластичної поведінки матеріалів. Фундаментальні результати в області розробки термодинамічних теорій отримали: А.А.Ільюшин, Л.П.Хорошун, Коулмен, Немат-Нассер, Трусдел, Тупін, Циглер та інші – в загальній термодинамічній теорії непружних матеріалів; Валаніс, Гуртін, Дей, Коулмен та інші – в термодинамічній теорії середовищ із згасаючою пам’яттю; А.А.Ільюшин, Гуртін, Кестін, Коулмен, Лехман, Люблінер, Пежина, Шепері – в загальній теорії середовищ із внутрішніми змінними; Еделен – в теорії середовищ диференціального типу; А.А.Ільюшин, В.Г.Карнаухов, В.В.Москвітін, Б.Є.Победря, Крістенсен, Шепері – в теорії зв’язаної термов’язкопружності; І.К.Сенченков – в теорії нелінійної термов’язкопружності.

Термодинамічна методологія не тільки суттєво підвищила якість моделювання суто механічної поведінки в’язкопружних і в’язкопластичних матеріалів, але й виявилась єдиним засобом дослідження тонких маловивчених термомеханічних ефектів. До них відноситься, зокрема, дисипація механічної енергії, прихована накопичена енергія, які необхідно враховувати при аналізі зв’язаних термомеханічних процесів. Аналіз літератури по темі дослідження показує, що гострота питань, пов’язаних з описанням механічної поведінки і ефектів дисипації, пом’якшується не тільки для деяких досить вузьких класів матеріалів, але й для широких класів матеріалів, підданих специфічним історіям деформування. До останніх належить циклічне, зокрема гармонічне, навантаження. Однією з перших моделей циклічного деформування була теорія гістерезису Н.Н.Давиденкова. Вона широко використовувалась при вивченні коливань елементів конструкцій в роботах Н.В.Василенка, В.В.Матвєєва, Г.С.Писаренка, В.В.Хільчевського та інших. Спрощений варіант цієї теорії – модель комплексного внутрішнього тертя – була розроблена в працях Є.С.Сорокіна, Л.Ф.Кочнєвої, Я.Г.Пановко, В.А.Пальмова, Г.С.Писаренка, В.М.Чернишова та інш. Для цієї стадії розвитку зв’язаної теорії при циклічному навантаженні характерним є розгляд мікропластичного механізму втрат.

Втрати внаслідок макронепружного деформування були залучені до розгляду на більш пізньому етапі. Для цього використовувались класичні теорії пластичності й структурна модель з наступним застосуванням принципу Мазинга; різні феноменологічні моделі, зокрема ендохронна теорія. У зв’язку з цим напрямком слід відзначити роботи М.В.Бородія, Д.А.Гохфельда, А.П.Гусенкова, М.К.Кучера, В.Ю.Маріни, Н.А.Махутова, В.В.Москвітіна, С.В.Новікова, Г.С.Писаренка, Ю.Н.Работнова, О.С.Садакова, В.А.Стрижала, Ю.М.Шевченка, Валаніса, Гао, Кремпла, Лазана, Лю, Мілера, Черноцкі, Чженя та інших.

На сучасному етапі досить поширеним підходом до моделювання складної фізично нелінійної поведінки матеріалів є застосування т. зв. узагальнених моделей непружної течії. Їх основним математичним апаратом є апарат внутрішніх змінних. При цьому кожний елементарний об’єм тіла розглядають як локальну термодинамічну систему і визначають його стан множиною внутрішніх і зовнішніх змінних. Найбільше поширення отримали моделі, розроблені Боднером, Крігом, Мілером, Партомом, Робінсоном, Шабошем і Уокером. Суттєвий внесок у розвиток цього напрямку зробили Ділон, Ліндхольм, Роуд, Чжань, Шмідт та інші.

Один з підходів до описання поведінки фізично нелінійного матеріалу при циклічному навантаженні полягає в інтегруванні повної системи визначальних рівнянь, які вважаються справедливими для довільних історій деформування. Така методика має два суттєві недоліки: пряме чисельне інтегрування повної системи рівнянь є надзвичайно витратним з точки зору комп’ютерного часу і надає велику за обсягом надмірну для аналізу задачі інформацію. Одним з напрямків подолання вказаних недоліків є побудова т. зв. амплітудних рівнянь, що зв’язують амплітуди напружень і деформацій. Значний внесок у розвиток математичного фундаменту отримання цих рівнянь зробили М.М.Боголюбов і Ю.А.Митропольський. Розробці теорії спрощених амплітудних рівнянь присвячені роботи В.Г.Карнаухова, В.В.Москвітіна, В.А.Пальмова, І.К.Сенченкова, Є.С.Сорокіна та інших. Проте, до нинішнього часу не розроблена змістовна феноменологічна теорія циклічного деформування суттєво фізично нелінійних дисипативних матеріалів, яка б синтезувала загальну термодинамічну теорію матеріалів і методи теорії нелінійних коливань. Недостатньо розробленою є амплітудна теорія для даного класу матеріалів. Отже, недосліджений весь комплекс питань, починаючи із структурних аспектів теорії і закінчуючи її використанням для розв’язання конкретних крайових задач. Дану роботу присвячено саме цьому колу проблем.

В другому розділі наведено основні рівняння й співвідношення механіки і термодинаміки середовищ із внутрішніми змінними стану. Подано рівняння і характеристику узагальненої моделі непружної поведінки Боднера–Партома – найчастіше застосовуваної і експериментально обгрунтованої з узагальнених моделей непружної течії. Ця модель не містить критерій текучості в явному вигляді й складається зі співвідношень адитивності швидкостей пружної і непружної деформацій

,

закону Гука

,

закону течії Прандтля–Рейса й умови непружної нестисливості

кінетичного рівняння

,

еволюційних рівнянь для параметрів ізотропного і направленого зміцнення

де

У рівняннях прийняті наступні позначення: , , – тензори повної, пружної і непружної деформацій відповідно; – тензор напружень, і – девіатори тензорів деформації та напружень; і – змінні ізотропного і направленого зміцнення відповідно; , і – модуль зсуву, об’ємний модуль і коефіцієнт лінійного теплового розширення; – абсолютна температура; – символ Кронекера;, і – параметри моделі.

В розділі виконано узгодження даної моделі з термодинамікою необоротних процесів. З цією метою був введений термодинамічний потенціал (вільна енергія Гельмгольца) у вигляді квадратичної функції зовнішніх і внутрішніх змінних

,

де – тензор теплової деформації, , – одиничний тензор другого рангу, – слід тензора .

У виразі через і позначені відповідно пружна і непружна складові потенціалу . При цому визначальні рівняння для напруження і ентропії отримано у вигляді

.

Параметри ізотропного і направленого зміцнення інтерпретуються як термодинамічні сили. Спряжені до них термодинамічні переміщення позначимо відповідно через і . Тоді для непружних частин термодинамічного потенціалу приймається (для матеріалу з ізотропним зміцненням) і (для матеріалу з направленим зміцненням), де і – константи матеріалу. За допомогою стандартного термодинамічного формалізму отримано еволюційні рівняння і моделі. Таким чином, знайдено зв’язок між цими еволюційними рівняннями і термодинамічним потенціалом

.

Використовуючи дисипативну нерівність

,

встановлено обмеження, що накладаються термодинамікою на параметри моделі

,

де – швидкість накопичення прихованої енергії.

Аналіз дисипативної нерівності дозволив виділити складові, які відповідають прихованій накопиченій енергії і кількісно описують ту частину розсіяної енергії, що не перетворюється в тепло. Видно, що це другий і третій доданки в . З’ясовано, що відповідальним за цей ефект є механізм зміни границі непружності, який обумовлений зміцненням матеріалу.

Застосовність термодинамічно узгодженої моделі Боднера–Партома для аналізу накопиченої і дисипованої енергії оцінено для алюмінієвого сплаву АМг–6 в умовах монотонного розтягу. Проведено порівняння результатів розрахунків з використанням рівнянь моделі з наявними в літературі експериментальними даними. На рис.1 кривою 1 представлено залежність параметру , від величини непружної деформації при , . Крива 2 відповідає значенням , . Кружками позначено експериментальні дані, взяті з літератури. Видно, що модель дає задовільне якісне описання накопиченої енергії, а відповідним вибором констант досягається і задовільна кількісна відповідність з експериментом.

Знайдені константи використані для дослідження ефектів прихованого накопичення і дисипації при гармонічному навантаженні. Встановлено (див. рис.2), що величина є значною на початковій стадії коливань. Крива 1 відповідає кінематичному циклу навантаження, а крива 2 – силовому циклу кручення трубчатого зразка з частотою . Отже, при стабілізації циклічного процесу внески накопиченої енергії ізотропного і направленого зміцнення прямують до нуля, а дисипована в тепло механічна енергія повністю асоціюється з непружною роботою. Середня за період швидкість дисипації дорівнює потужності напружень.

Рис. 1 |

Рис. 2

В третьому розділі стандартна механічна модель Боднера–Партома, яка використовується для описання фізично нелінійної поведінки матеріалів, модифікується з метою врахування багатомасштабності й суттєвої нелінійності зміцнення, залежності початкової границі непружності від температури і зовнішніх параметрів напруженого стану. Для випадку суттєво нелінійного зміцнення самі параметри ізотропного і направленого зміцнення зручно інтерпретувати як термодинамічні переміщення (внутрішні змінні стану), а непружну частину термодинамічного потенціалу вибирати у вигляді степеневої функції

,

де , , і – деякі константи.

Термодинамічні сили, спряжені внутрішнім змінним, у цьому випадку визначаються співвідношеннями

,

а дисипативна нерівність набирає вигляду

.

За допомогою співвідношень і описуються одномодові механізми зміцнення. Якщо має місце спектр таких механізмів, то непружні частини потенціалів і узагальнюються відповідно наступним чином:

,

,

де та, , – термодинамічні переміщення, що спряжені до і відповідно.

Використовуючи методологію, розвинену в Розд.2, знайдено еволюційні рівняння для та, а також обмеження, що накладаються дисипативною нерівністю на константи матеріалу.

Показано, що найпростіша форма еволюційних рівнянь для внутрішніх змінних стану, яка дозволяє врахувати вплив швидких змін зовнішніх змінних на параметри внутрішнього стану, повинна містити члени, лінійні відносно швидкостей зовнішніх змінних

,

де – набір внутрішніх змінних стану, – набір зовнішніх змінних, – набір векторних функцій.

Проте еволюційні рівняння вигляду не є інваріантними відносно переходу до іншої системи внутрішніх змінних і призводять до появи некласичних членів у визначальних рівняннях для напруження і ентропії. Тому в дисертаційній роботі для врахування впливу швидкостей зовнішніх змінних застосовано інший підхід. Він полягає у зведенні еволюційних рівнянь до дисипативної форми

,

за допомогою переходу до нової множини змінних. Визначено, що умовою існування такого невиродженого перетворення є (для випадку, коли не залежить від) існування векторної функції, такої, що

.

При цьому рівняння приводиться до дисипативного формулювання

.

Із застосуванням цієї методики еволюційні рівняння моделі Боднера–Партома модифікуються з метою врахування впливу зміни поточної величини температури і гідростатичного тиску на внутрішні параметри непружного стану матеріалу. Так, наприклад, модифікація рівнянь до вигляду

де дозволили коректно описати залежність границі непружності від швидких змін температури і гідростатичного тиску в областы пружного деформування. Дійсно, для історій зміни температури, які показані на рис.3, стандартна модель дає однакову реакцію напруження на розтяг з постійною швидкістю деформації (суцільна лінія 1 на рис.4), яка відповідає ізотермічному навантаженню. Реакція модифікованої моделі на вказані неізотермічні процеси є механічно коректною і показана штриховими лініями на рис.4. Криві 6 і 7 ілюструють поведінку параметра ізотропного зміцнення і відповідно. В розділі викладено загальну методику і набір базових експериментів для визначення констант моделі Боднера–Партома. Для двох матеріалів – алюмінієвого сплаву АМг–6 і сталі 12ХН3А – згідно з цією методикою визначено всі параметри моделі.

В найбільш загальному вигляді сформульовано постановку зв’язаної задачі термомеханіки фізично нелінійних тіл для розглянутої моделі при довільних історіях навантаження. Вона використовує припущення адитивності деформації і включає в себе співвідношення Коші, закон Гука для пружних складових деформації, вираз для теплової деформації, рівняння течії Боднера–Партома для непружної деформації, умови непружної нестисливості, еволюційні рівняння для параметрів ізотропного і кінематичного зміцнення, а також рівняння руху і теплопровідності, що наведені нижче в порядку перерахування

де – вектор переміщень, і – коефіцієнти теплоємності і теплопровідності відповідно, – густина, а – потужність заданих внутрішніх джерел тепла.

Постановка замикається заданням відповідних початкових і граничних умов. Модель і постановку далі будемо називати повними.

Зважаючи на жорсткий тип нелінійності системи рівнянь, розроблено підхід до чисельного розв’язання задачі. Він грунтується на модифікованому методі типу пружних розв’язків і використовує подвійний ітераційний процес. Перший з них – внутрішній – пов’язаний з інтегруванням в часі системи нелінійних рівнянь еволюції непружної деформації і параметрів зміцнення з використанням неявної схеми, а другий – зовнішній – з розв’язанням задачі руху або рівнянь рівноваги і теплопровідності. Дискретизацію крайової задачі проведено в рамках методу скінченних елементів. Жорсткий тип нелінійності системи визначальних рівнянь зумовив використання неявної схеми інтегрування з автоматичним вибором кроку за часом. Динамічна задача розв’язувалась за допомогою схеми Кренка–Нікольсона.

Четвертий розділ присвячений розробці і обгрунтуванню спрощеної моделі зв’язаної термомеханічної поведінки фізично нелінійних дисипативних тіл при гармонічному навантаженні. Припускається, що при гармонічному деформуванні або навантаженні відповідна реакція елементів тіла також близька до гармонічної

.

Далі вводяться комплексні амплітуди девіаторів повної і непружної деформацій, і, а також девіатора напружень. Ці величини зв’язуються в -ому циклі за допомогою комплексного модуля зсуву, і коефіцієнта непружності,

де і є функціями інтенсивності тензора амплітуд деформації (або напруження ), частоти і, в загальному випадку, температури

.

Шарові частини тензорів напруження і деформації зв’язані лінійним співвідношенням

.

Модель, будемо називати спрощеною. Вона має значно простіший вигляд, ніж повна модель непружної течії. Комплексні модулі можуть бути знайдені шляхом прямого чисельного інтегрування рівнянь повної моделі в рамках методу гармонічної лінеаризації. Проте, дослідження показали, що значення амплітуд напруження і непружної деформації знаходяться із значною похибкою. Для підвищення точності обчислення цих амплітуд проведено модифікацію схеми гармонічної лінеаризації. Вона полягає в обчисленні модулів накопичення і за допомогою узагальнених циклічних діаграм, або, , що представляють собою залежності інтенсивностей амплітуд характеристик напружено-деформованого стану від інтенсивності амплітуд девіаторів напруження або деформації на заданій частоті навантаження. Модулі втрат при цьому, як і раніше, обчислюються через середню за період швидкість дисипації. Циклічні діаграми знаходяться за допомогою чисельного інтегрування повної системи рівнянь моделі для випадку кручення тонкостінної трубки. Отже, вирази для уявних і дійсних частин комплексних модулів в остаточному вигляді записуються так:

де – період коливань.

Типові циклічні діаграми, розраховані для алюмінієвого сплаву АМг–6 при кінематичному циклі навантаження і, представлені на рис.5. Цифрами позначено номери циклів. Внаслідок підвищення циклічної границі непружності з номером спостерігається помітний ефект фізичної пристосовуваності матеріалу. При досить великих рівнях навантаження діаграми характеризуються відсутністю циклічного зміцнення.

Співвідношення, і вирази, отримані в рамках модифікованого моногармонічного наближення, формують спрощену модель нестаціонарного циклічного деформування фізично нелінійних матеріалів.

Якщо при розгляді задачі можна знехтувати перехідним процесом стабілізації циклу коливань, то модель – дозволяє подальше спрощення. При цьому нестаціонарні комплексні модулі і циклічні діаграми замінюються відповідними модулями й діаграмами для граничних стабілізованих циклів

для достатньо великих.

Таку модель будемо називати спрощеною моделлю стаціонарного циклічного деформування. Результати розрахунку комплексного модуля для АМг–6 і 12ХН3А при представлені на рис.6 лініями 1,3 і 2,4 відповідно.

Слід зазначити, що фактично стаціонарний і нестаціонарний варіанти спрощеної моделі описують петлю гістерезису для довільної фізичної нелінійності еліпсом. При цьому використовується стандартна інтерпретація комплексних модулів: модулі втрат пропорційні механічній енергії, дисипованій за цикл коливань (площі еліптичної петлі), а модулі накопичення визначаються нахилом осі еліпсу. Загалом обидві методики обчислення модулів (стандартна і модифікована) дають однакові значення модуля втрат, але різні значення модуля накопичення. Для визначення модулів у випадку просторового стану як еквівалентні деформації або напруження використовуються відповідні інтенсивності або . Для алюмінієвого сплаву АМг–6 і сталі 12ХН3А виконано розрахунок параметрів спрощеної моделі.

В рамках даної моделі розвинуто уніфікований підхід, згідно з яким комплексні модулі використовуються для описання циклічної поведінки матеріалів в областях як мікропластичного, так і макронепружного деформування. Для конкретизації деформаційної залежності комплексних модулів в області мікропластичності використані експериментальні дані по залежності кута втрат і швидкості розповсюдження хвиль або резонансних частот від рівня навантаження.

На основі спрощеної моделі циклічної непружної поведінки матеріалу сформульована наближена постановка зв’язаної задачі термомеханіки для фізично нелінійних дисипативних тіл при гармонічному навантаженні. Крім рівнянь – (або їх стаціонарних варіантів), вона містить комплексні аналоги співвідношень Коші

,

рівняння стаціонарних коливань

,

а також осереднене за період коливань рівняння теплопровідності

,

де знехтувано впливом термопружних ефектів на осереднену температуру

.

У рівняннях – , – вектор комплексних переміщень, а для осередненої температури збережено попереднє позначення.

Осереднюючи співвідношення , для швидкості дисипації маємо

,

або для стаціонарних процесів внаслідок результатів Розд.2

.

Сформульована постановка формально аналогічна задачі лінійної термопружності з тією різницею, що всі механічні польові величини і модулі є комплексними, причому модулі залежать від частоти, температури й інтенсивності амплітуд деформацій або напружень.

В розділі також розроблено підхід для чисельної реалізації цієї задачі. Він відрізняється від підходу, розробленого для повної постановки, відсутністю внутрішнього ітераційного процесу для інтегрування рівнянь еволюції параметрів зміцнення і непружної деформації.

В п’ятому розділі досліджено квазістатичні й динамічні задачі про зв’язану термомеханічну поведінку двовимірних фізично нелінійних тіл при гармонічному навантаженні. Для цих задач проведено аналіз застосовності спрощеної моделі для гармонічного навантаження шляхом порівняння розв’язків задач в повній і наближеній постановках. Досліджено основні закономірності планарних коливань і дисипативного розігріву прямокутної пластини (,) і диску (,) при кінематичному і силовому збудженні. Порівняння результатів проводилось за наступними характеристиками стаціонарних коливань: за розмахами прогину (або переміщення); інтенсивності розмахів повних зсувних деформацій, непружних деформацій і дотичних напружень ; осередненою за період коливань швидкістю дисипації, максимальною за період коливань накопиченою енергією, а також середньооб’ємними значеннями і величин і. Відповідні вирази для цих характеристик в рамках повної і наближеної постановок наведені в лівому і правому стовпчиках співвідношень Тут,.

Аналіз результатів, отриманих в квазістатичній постановці, засвідчує, що, незважаючи на спадання точності модифікованої спрощеної моделі при зростанні параметру навантаження, вона при рівні інтенсивності непружних деформацій 1,6% дозволяє обчислювати переміщення з точністю до 5%, максимальні напруження – до 10%, дисиповану енергію до 20% і накопичену енергію – до 1%. Показано, що ефект накопичення прихованої енергії виявляється істотним для декількох перших циклів і не впливає на стаціонарний термомеханічний стан.

Типові дані для процесу дисипативного розігріву прямокутної пластини зі сторонами, при планарних коливаннях в адіабатичних умовах представлені на рис.7. Пластина знаходилась під дією кінематичного згину, що задається граничними умовами в повній і наближеній постановках відповідно,

Для параметру навантаження приймалось,.

Лінією 1 зображено еволюцію температури вібророзігріву в точці з координатами, , яка відповідає задачі в повній постановці з врахуванням прихованої накопиченої енергії. Крива 2 отримана осередненням цього розв’язку. Крива 3 відповідає розв’язку задачі в наближеній постановці з використанням моделі нестаціонарних зв’язаних процесів, а крива 4 – моделі стаціонарних зв’язаних процесів. Еволюція температури є суперпозицією монотонно зростаючої осередненої та осцілюючої складових. Вони зумовлені відповідно дисипативними і термопружними ефектами. Зміна температури в інших точках відрізняється тільки амплітудами і фазами коливань. Модель нестаціонарних процесів добре узгоджується з осередненим точним розв’язком (криві 2 і 3), тоді як модель стаціонарних процесів дає завищену температуру. Ця різниця формується внаслідок нехтування прихованою енергією на перших циклах коливань.

Головною відмінністю силового гармонічного навантаження від кінематичного є формування постійної складової непружної деформації за першу чверть періоду. В результаті наступні цикли виявляються несиметричними по кінематичних параметрах процесу. Але встановлено, що амплітуди польових величин при цьому слабко залежать від постійної складової.

Закономірності резонансних коливань розглядались на прикладі згину алюмінієвого диску, моментними навантаженнями. Граничні умови для повної і наближеної постановок мають вигляд

Диск має першу частоту для осесиметричної згинної моди. Частота навантаження вибиралась рівною.

Аналіз згинних резонансних коливань диску показує (рис.8), що максимальні прогини спостерігаються в його центральній частині. Трикутниками і кружками показані дані повного розрахунку для параметрів навантаження і , а суцільні лінії з індексами a і b відповідають розв’язкам наближеної задачі для тих же навантажень відповідно. Рис.9 ілюструє аналогічні розподіли для деяких польових характеристик з .

Загалом, незважаючи на присутність суттєвих непружних деформацій, розподіл переміщень вздовж радіусу близький до пружного, що узгоджується з правилом Відлера. Структура розподілів механічних польових величин в цілому визначається пружною резонансною формою коливань. При цьому поява і збільшення непружних деформацій, практично не впливаючи на розподіл переміщень, призводить до суттєвої трансформації розподілу напружень, особливо в пучностях. В цій зоні формується плато із значеннями, близькими до циклічної границі непружності. Аналогічний вигляд має і розподіл максимальної за період накопиченої енергії.

Незважаючи на суттєву фізичну нелінійність, залежності від часу переміщень і компонент повної деформації в околі резонансу не дуже сильно відрізняються від гармонічного закону. Однак, відповідні залежності напружень і непружних деформацій відрізняються від гармонічних наявністю платоподібних ділянок непружної течії. Отже, фільтраційні властивості динамічної системи на резонансі проявляються тільки для кінематичних характеристик, тоді як фізичні характеристики (напруження і непружна деформація) знаходяться під сильним впливом вищих гармонік.

На рис.10 показані амплітудно-частотні характеристики для прогину (крива 1), інтенсивності дотичних напружень (крива 2), непружних деформацій (крива 3) і температури (крива 4). Тонкими лініями показано відповідні лінійно-пружні характеристики. Порівняння кривих дозволяє виділити основні ефекти непружності і нелінійності: обмеженість резонансних амплітуд, формування характеристик м’якого типу, платоподібна форма залежності інтенсивності напружень від частоти, існування непружних деформацій і дисипативного розігріву в обмеженій області частот.

Загалом, як для квазістатичних, так і для динамічних задач спрощені моделі дають задовільні оцінки максимальних по об’єму значень параметрів напружено-деформованого стану, їх просторових розподілів, інтегральних енергетичних характеристик, а також температури вібророзігріву.

В шостому розділі повна і наближена постановки зв’язаної задачі термомеханіки фізично нелінійних непружних тіл при гармонічному навантаженні застосовані для дослідження поведінки кусково-неоднорідних тіл. Вивчено планарні згинні коливання і дисипативний розігрів тришарової пластини; зв’язані термомеханічні процеси при коливаннях шаруватого диску і комплекс питань, пов’язаних з характеризацією властивостей і поведінки однонаправлених волокнистих композитів при гармонічному навантаженні.

Розглянуто квазістатичну задачу про коливання і дисипативний розігрів тришарової пластини–демпфера і задачу про резонансні згинні коливання тришарового диску. В цих задачах проведено порівняльний аналіз просторових розподілів і максимальних за період амплітудних значень основних польових величин і встановлено добре узгодження результатів, отриманих в рамках повної і наближеної постановок.

Для тришарової пластини приймалось

де – товщини шарів. Частота навантаження.

Коливання збуджуються кінематичним згинним навантаження, якому відповідають граничні умови. Розглянуто дві можливі конфігурації: 1) зовнішні шари алюмінієві, а середній – сталевий (А–Ст–А); 2) зовнішні шари сталеві, а середній – алюмінієвий (Ст–А–Ст). Порівняння результатів, отриманих в рамках повної і наближеної постановки, проводиться по характеристиках. Розподіли по товщині в перетині характеристик