ІНСТИТУТ РАДІОФІЗИКИ ТА ЕЛЕКТРОНІКИ ім. О. Я. УСИКОВА

КУРИЛЯК ДОЗИСЛАВ БОГДАНОВИЧ

УДК 621.3:538.5:517.9

РОЗРОБЛЕННЯ АНАЛІТИКО - ЧИСЛОВИХ МЕТОДІВ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ДИФРАКЦІЇ ДЛЯ КОНІЧНИХ, КЛИНОПОДІБНИХ ТА ЦИЛІНДРИЧНИХ ОБЛАСТЕЙ

01.04.03- радіофізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків - 2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Фізико – механічному інституті ім. Г.В. Карпенка Національної академії наук України.

Науковий

Консультант: | .доктор фізико-математичних наук, професор,

,член-кореспондент НАН України

Назарчук Зіновій Теодорович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України (м. Львів), заступник директора з НДР.

Офіційні опоненти: | .доктор фізико-математичних наук, професор,

.академік НАН України

Литвиненко Леонід Миколайович,

Радіоастрономічний інститут

НАН України (м. Харків), директор;

.доктор фізико-математичних наук, професор

Кириленко Анатолій Опанасович,

Інститут радіофізики та електроніки

ім. О.Я. Усикова НАН України (м. Харків), завідувач відділу прикладної електродинаміки;

.доктор фізико-математичних наук, старший .науковий співробітник

Колчигін Микола Миколайович,

Харківський національний університет

.ім. В.Н. Каразіна, професор кафедри теоретичної радіо-фізики, в.о. завідувача кафедри теоретичної радіофізики.

Провідна установа: | Київський національний університет ім. Т.Г. Шевченка; кафедра квантової радіофізики.

Захист відбудеться “20” червня 2002 року о 15:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.157.01 Інституту радіофізики та електроніки

ім. О.Я. Усикова НАН України за адресою: 61085, м. Харків, вул. ,ак. Проскури, 12.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України за адресою: 61085, м. Харків,

вул. ,ак. Проскури, 12.

Автореферат розісланий “17травня 2002р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради О. Я. Кириченко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Активне освоєння в сучасній радіофізиці міліметрового (мм) і субміліметрового (субмм) діапазонів електромагнітних хвиль вимагає створення ефективних засобів аналізу фізичних закономірностей їх взаємодії з розсіювачами у резонансній області. Проте за наявності потужної обчислювальної техніки існуючі програмні засоби орієнтовані, в основному, на використання найзагальніших чисельних та асимптотичних методів, які не завжди повною мірою вра-ховують специфіку конкретного розсіювача, дифракційну взаємодію його елементів та оточуючих провідників, а отже вносять неконтрольовані похибки і не забезпечують отримання достовірних результатів. Вирішення цієї проблеми базується на побудові нових еталонних моделей взаємодії електромагнітних полів з елементами радіофізичної апаратури мм і субмм діапазонів, які допускають строгий електро-динамічний аналіз. Ключову роль у цьому відіграють структури, утворені з сукуп-ності елементів певних канонічних поверхонь (конічних, біконічних, сферичних, клиноподібних, циліндричних тощо). Наприклад, проблема коректного врахування дифракційного зв’язку елементів конічної форми виникає при конструюванні сучасних широкосмугових щілинних антен, у розрахунках полів відкритих коаксіальних резонаторів, при використанні конічних рупорів як елементів фазованих антенних решіток. Елементи конічної форми містяться в антенах багатоканальних комунікаційних систем, малогабаритних приймальних комплексах супутникових сигналів для телепрограм, у радіотелескопах. Розроблення радіофізичних пристро-їв з діелектричними резонаторами (антен, генераторів, фільтрів) у багатьох випад-ках вимагає повного електродинамічного аналізу разом із металічними вставками канонічної форми, які використовуються для розрідження спектрів коливань вищих типів. Конічні, клиноподібні та циліндричні розсіювачі є моделями елементів конструкцій літальних апаратів, а тому строгий електродинамічний аналіз їх окремих вузлів дозволяє скорегувати наближені методи з метою зменшення попе-речників розсіювання або підвищення можливості ідентифікації. Аналіз у ближній зоні полів електродинамічних систем, що складаються з хвилеводних випроміню-вачів, може застосовуватись при розробленні сучасних технологій використання ефекту надроздільної здатності у мікрохвильових мікроскопах, а також для конструювання опромінювачів гостронаправлених дзеркальних та лінзових антен. Наявність у цих структурах гострих країв та вершин дозволяє, з одного боку використовувати їх як моделі дефектів при проектуванні апаратури неруйнівного контролю, а з другого _як вимірювальні зонди чи моделі самих об’єктів контролю. Зокрема, задача дифрак-ції на вузькому скінченому конусі, зануреному в діелектричну кулю, з одного боку, може бути використана для моделювання гіпертермії при дослідженні процесів нагрівання біологічних тканин, а з другого – для визначення спектра відкритих діелектричних резонаторів. Згадані поверхні дозволяють також моделювати взаємодію полів з ландшафтними та атмосферними неоднорідностями. Наприклад, основні закономірності та особливості роботи дипольної антени над підвищенням місцевості можна пояснити за допомогою

розв’язку задачі дифракції на біконічній поверхні, одне з плечей якої є напівбез-межним конусом, а друге – скінченим конусом зі зрізаною вершиною. Тому питання про дифракцію хвиль на конічних поверхнях, клинах та циліндрах є практично важливим.

У зв’язку з вище сказаним проблема створення нових еталонних моделей на базі використання елементів конічної, біконічної, клиноподібної та циліндричної форми для пояснення взаємодії електромагнітних полів з елементами радіофізичної апаратури та розроблення аналітико-числових методів їх строгого електродинаміч-ного аналізу є актуальною. Її вирішення суттєво розширює клас еталонних задач радіофізики і теорії дифракції, в яких розсіювачі містять різні типи геометричних сингулярностей, дозволяє отримати достовірні фізичні результати стосовно особливостей формування полів такими структурами у широкому частотному діапазоні, включаючи і резонансний, де наближені та асимптотичні методи є непридатними і є основою для тестування та розроблення нових наближених підходів.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота є узагальненням результатів досліджень, проведених автором у ФМІ НАН України, які увійшли в наукові звіти держбюджетних тем: “Розробка строгих методів розрахунку електромагнітних полів широкочастотного діапазону у макро-неоднорідних тілах і створення на цій основі програмних засобів аналізу шаруватих структур з локальною дефектністю”, №ДР0194U012579 (1992-1994р.р.); “Розробка основ теорії електромагнітного та акусто-емісійного неруйнівного кон-тролю матеріалів з використанням нових підходів до розв’язання задач математичної фізики”, №ДР0194U040232 (1994-1996р.р.); “Дослідження взаємодії електромагнітних та ультразвукових хвиль із макродефектами шаруватого матеріалу для ство-рення нових методик і засобів багатопараметрового неруйнівного контролю”, №ДР0197U013067 (1997-1999р.р.); “Розробка теорії та експериментальних засобів моделювання електромагнітного поля дефектів матеріалу і створення автоматизо-ваної апаратури для його виявлення”, №ДР0100U004864 (2000-2002р.р.), а також тем фінансованих Державним Фондом Фундаментальних Досліджень: “Розробка методів розв’язку сингулярних інтегральних і інтегродиференціальних рівнянь на основі квадратурно-інтерполяційних підходів для векторної теорії дифракції”, №Ф2/401 (1993р.); “Чисельний аналіз нерегулярних хвилеводів з краями та розгалу-женнями на основі сингулярних інтегральних рівнянь”, №Ф11.3/92 (1994р.); “Дифракція та поширення електромагнітних хвиль у шаруватих діелектриках з провідни-ками складного профілю”, №Ф2.4/687 (1997р.). У всіх темах автор відпові-дав за виконання робіт, пов’язаних з розробленням аналітико-числових методів дослідження дифракції електромагнітних полів.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є:

- розроблення на базі єдиної методології (аналітичної регуляризації) аналі-тико-числових методів розв’язання задач дифракції на елементах конічних повер-хонь, клинів і на циліндричних кавернах;

- отримання на цій основі розв’язків нових задач дифракції електромагнітних хвиль в однорідних та кусково однорідних середовищах і створення ефективних алгоритмів обчислення електродинамічних характеристик відповідних розсіювачів;

- виявленні та дослідженні нових і мало вивчених явищ і закономірностей у хвильових процесах, які виникають при дифракції хвиль на цих структурах, а також розроблення рекомендацій для їх практичного використання.

Для досягнення цієї мети в дисертаційній роботі:

а) розроблено метод “напівобертання” для отримання математично строгих розв’язків задач дифракції електромагнітних хвиль на структурах, які складаються зі співвісних відрізків конічних поверхонь у однорідних та кусково однорідних діелектричних середовищах, на розгалуженнях напівбезмежних конічних хвилево-дів відрізками конічних поверхонь та на елементах клиноподібних поверхонь;

б) розвинуто метод Вінера-Хопфа для розв’язання задач дифракції електро-магнітних хвиль на напівбезмежних клинах та клинах, розгалужених напівплощи-ною з різними типами граничних умов на протилежних гранях або їх частинах, на циліндричних кавернах, а також на конусах з краями у квазістатичному наближенні;

в) на основі цих підходів отримано розв’язки нових задач теорії дифракції та проведено всебічний аналіз формування електромагнітних полів досліджуваних структур.

Об’єктом дослідження у роботі є фізичні процеси взаємодії електро-магнітних полів із розсіювачами, які містять різні типи геометричних сингулярнос-тей, розміщені в однорідних середовищах та в середовищах з границями розділу.

Предметом дослідження є крайові задачі, що описують взаємодію хвиль з розсіювачами, діаграми спрямованості, поля та їх модова структура, потоки електромагнітної енергії через отвори в конічних поверхнях, моделі дефектів типу тріщин на конічних поверхнях, а також моделі частково поглинаючих покрить.

Методи дослідження. Вирішення поставлених в роботі задач базується на застосуванні строгих математичних методів розв’язання крайових задач теорії дифракції електромагнітних хвиль. У дисертації розглядаються скалярні та векторні задачі дифракції з гармонічною залежністю від часу. Для зображення компонентів поля використовуються скалярні потенціали, а процес дифракції хвиль описується крайовими задачами для рівняння Гельмгольца. В основу дослідження покладено метод зображення розв’язків рядами за власними функціями рівняння Гельмгольца для конічних, біконічних та клиноподібних областей, методи інтегральних перетво-рень Конторовича-Лєбедєва (Мелліна у квазістатичних випадках), метод суматор-них та дуальних інтегральних рівнянь. Побудова регуляризаційних операторів включає знаходження в аналітичному вигляді операторів, обернених до операторів типу згортки, а також методи факторизації скалярних та векторних рівнянь Вінера-Хопфа. Всі ці підходи модифікуються у відповідності до задач, що розглядаються в дисертаційній роботі.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що:

1. Розроблено аналітико-числовий підхід, який суттєво розширює можливості строгого електродинамічного аналізу ідеально провідних конічних, біконіч-них та клиноподібних поверхонь з краями і базується на єдиній ідеї - зведенні суматорних

рівнянь дифракційних задач до безмежних систем лінійних алгеб-раїчних рівнянь (БСЛАР) другого роду з використанням операторів типу згортки та їх обернених як регуляризаторів. У рамках цього підходу коректно враховуються геометричні сингулярності розсіювачів, наявність границь розділу середовищ і забезпечується знаходження розв’язків із заданою точністю при мінімальних обмеженнях на геометричні розміри. При цьому:

1.1. Запропоновано математично коректний метод розв’язання суматорних рівнянь для задач дифракції електромагнітних хвиль на співвісних елементах конічних поверхонь та на розгалуженні ними конічного хвилевода при осесиметричному збудженні та на клинах з щілинами при синфазному збудженні. Встановлено спільну властивість, яка полягає у тому, що розв’язки цих суматорних рівнянь у статичній границі для структур з одним краєм еквівалентні розв’язкам рівнянь типу згортки.

1.2. Побудована строга теорія розв’язання суматорних рівнянь задач дифракції для ідеально жорсткого та м’якого конусів з краєм при несиметричному збуд-женні акустичною хвилею.

1.3. Вперше запропоновано конструктивний алгоритм побудови сімейства регуляризуючих операторів і на цій основі розроблено техніку формальної регуля-ризації БСЛАР у задачах дифракції для конічних та біконічних розсіювачів.

1.4. Запропоновано та апробовано ефективний алгоритм побудови наближе-них БСЛАР, орієнтований на дослідження розсіяння хвиль конічними та біконічними структурами у високочастотній області.

1.5. Дано обгрунтування формалізму методу інтегральних перетворень Конторовича–Лєбедєва при розв’язанні скалярних задач дифракції на елемен-тах конічної, біконічної та клиноподібної форми. Вперше досліджено та з’ясовано особливості застосування цього інтегрального перетворення у векторній задачі дифракції електромагнітної хвилі на конусі з краєм при довільному несиметрич-ному збудженні.

2. На основі запропонованого підходу проведено числове та аналітичне дослідження нових і більш глибокий аналіз відомих задач дифракції електро-магнітних хвиль, зокрема за наявності конічних елементів з довільними кутами розхилу, а також сферичних і сегментних границь розділу середовищ. В рамках цих досліджень:

2.1. Вперше всесторонньо вивчено особливості формування поля випро-мінювання електродинамічної системи “скінчений конус - радіальний електричний диполь - зрізаний напівбезмежний конус” в умовах осесиметричного збудження. При цьому:

·

·

·

2.2. Вперше вивчено особливості формування осесиметричного електромаг-нітного поля, дифрагованого на скінченому конусі в середовищі зі сферичною та сектор-ними границями розділу. При цьому:

·

·

·

3. Розширено область застосування методу Вінера-Хопфа завдяки: а) поєднанню його з методом розкладу в ряди власних функцій; б) модифікації методів виведення рівнянь; в) використанню апарату факторизації матриць-функцій в нових задачах дифракції. Базуючись на цьому:

3.1. Отримано розв’язок двох нових крайових задач дифракції на клині та на розгалуженні клина бісектральною півплощиною з ідеально провідними та магнітними областями на розсіюючих поверхнях, де:

·

·

·

3.2. Отримано розв’язки векторної задачі дифракції для ідеально провідного напівбезмежного циліндра з внутрішньою дисковою перегородкою та для односто-ронньо закритого скінченого циліндра у скалярному випадку. При їх розв’язанні:

·

·

·

3.3. Розв’язано задачу про визначення осесиметричного електромаг-нітного поля кільцевої щілини, розміщеної біля вершини конуса, методом Вінера-Хопфа в поєднанні з інтегральним перетворенням Мелліна в квазіста-тичному наближенні. Дано обгрунтування цього наближення та встановлені особливості поведінки поля в околі щілини.

Практичне значення одержаних результатів визначається, у першу чергу, новим аналітико-числовим підходом до розв’язання широкого класу задач дифрак-ції на структурах, що містять конічні, біконічні або клиноподібні поверхні з краями, який базується на єдиних принципах, що зближує точки зору в побудові строгої теорії дифракції на кусково координатних поверхнях. Отримані в дисертаційній роботі результати можуть використовуватись як еталонні при розробці та апробації наближених методів. Розв’язки задач про дифракцію на розгалуженні конічного хвилевода відрізками конічних поверхонь закладають основи строгої теорії нерегулярних хвилеводів, а розв’язки задач про розсіяння хвиль скінченим конусом у кусково-однорідних середовищах суттєво доповнюють теорію дифракційної взає-модії провідників із сферичними діелектричними резонаторами, які широко вико-ристовуються в сучасній радіофізичній апаратурі. Запропоновані у дисертації моди-фікації методу Вінера-Хопфа дозволи розширити його застосування для аналізу ета-лонних задач при моделюванні поглинаючих покрить і з’ясувати особливості взає-модії електромагнітних полів з циліндричними кавернами. Встановлені закономір-ності поведінки електромагнітних полів, а також створені програмні засоби для їх визначення використані при розробленні пристроїв для неруйнівного контролю і діагностики матеріалів.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. В роботах, опублікованих у співавторстві [1,2,6,8,10, 17,18,21,25,27], здобувачем самостійно розроблено методи розв’язання задач дифракції, проведено аналітичні дослідження, створено програмне забезпечення, отримано числові результати, прийнято участь в обговоренні фізичних результатів і формулюванні висновків; у роботах [4,9,26,28-33] здобувачу належить ідея моди-фікації методу, постановка задач, проведення аналітичних досліджень, та участь в обговоренні результатів і формулюванні висновків.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на міжнародних конференціях “Mathematical Methods in ElectroTheory” (Алушта, 1991; Львів, 1996; Харків, 1998, 2000), на наукових семінарах “Прямі та обернені задачі теорії електромагнітних та акустичних хвиль” (Львів-Брюховичі, 1990, 1995, 1997, 1999; Тбілісі, 1998), на міжнародних симпо-зіумах “Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики” (Харків, 1993; Феодосія, 1997), на Всеукраїнській науковій конференції “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” (Львів, 1995), на Симпозіумі з електромагнітної теорії (Ямагучі, Японія, 1997; Нікко, Японія 1998, Токіо, Японія 2000), на Генеральній Асамблеї URSI (Торонто, Канада, 1999), на міжнародному робочому семінарі “Прямі та обернені задачі розсіювання хвиль” (Гебзе, Туреччина, 2000), на міжнародних конференціях “PIERS 2001, Progress in Electromagnetics Research Symposium” (Осака, Японія, 2001), “2001 Asia-Pacific Radio Science Conference” (Токіо, Японія, 2001), на міжнародному робочому семінарі “Advance Electromagnetics” (Токіо, Японія, 2001). За результатами дисертаційної роботи прочитано лекції в Чуо Університеті, Токіо, Японія, 1997, 2000, окремі результати роботи лягли в основу лекцій, прочитаних автором у Ніхон та Токіо Університетах (Токіо, Японія, 1997, 2000), а також у Кумамото Університеті (Кумамото, Японія, 1997). Робота [28], що лягла в основу доповіді на міжнародній конференції ”Mathematical Methods in Electromagnetic Theory” (Харків, 1998), була нагороджена премією ім. В.Г.Сологуба за вагомий внесок у розвиток аналітичних методів регуляризації в обчислювальній електродинаміці.

Публікації. За результатами роботи після захисту кандидатської дисертації автором опубліковано: монографій 1, окремих розділів у довідниковому посібнику – 1, статей у наукових журналах і збірниках - 22 (з них самостійних – 14), статей у збірниках праць закордонних наукових інститутів – 1, праць у матеріалах міжнарод-них конференцій – 8.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів висновків, списку використаних джерел на 26с., рисунків на 48с. Загальний обсяг дисертації 360 с.

Зміст дисертації

Вступ містить загальну характеристику стану проблеми, обгрунтування необ-хідності проведення досліджень за темою дисертації та їх актуальність. В ньому сформульовані мета та задачі дисертаційної роботи, визначено новизну і практичну цінність отриманих результатів.

У першому розділі проведено огляд літературних даних. Проаналізовано аналітико-числові підходи, які використовуються для дослідження стаціонарних задач дифракції електромагнітних та акустичних хвиль на конічних, клиноподібних та циліндричних поверхнях, а також методи, які використовуються при дослід-женні близьких задач, що виникають у теорії пружності. З огляду літератури зроблено висновок, що відомі методи не дозволяють розв’язати сформульовані в дисертації задачі, а саме: врахувати строгими методами дифракційну взаємодію сукупності елементів вказаних канонічних поверхонь її векторний характер та наявність границь розділу середовищ. Для вирішення цієї проблеми в дисертації розроблено нові аналітико-числові підходи до розв’язування стаціонарних задач теорії дифракції, що базуються на ідеї “напівобертання” (розділи II-V) та на ідеях, пов’язаних з використанням методу Вінера-Хопфа (розділ VI). Вони орієнтовані на розв’язання задач дифракції для структур, що містять елементи канонічних поверхонь з різними типами геометричних сингулярностей.

Другий розділ присвячено розробленню математично строгого методу розв’язання парних суматорних рівнянь скалярних крайових задач дифракції на ідеальних (провідних, жорстких та м’яких у випадку звукових хвиль) кругових конусах з краєм (скінчений конус і конус зі зрізаною вершиною), які в загальному випадку містять ряди приєднаних функцій Лежандра з невідомими коефіцієнтами розкладу, де - корені трансцендентних рівнянь (), що характеризують модовий склад поля в конічних областях та вільному просторі. Їх виведення базується на зображенні скалярних потенціалів задач дифракції рядами власних функцій рівняння Гельмгольца в сферичній системі координат і на використанні методу спряження полів (компонент, потенціалів) на уявних сферичних поверхнях, що проходять через краї конусів.

Основна ідея, яка вперше запропонована в дисертації для розв’язання такого типу суматорних рівнянь, полягає в тому, щоб ряди приєднаних функцій Лежандра в цих рівняннях замінити сумами, які враховують скінчену кількість мод ( - у вільному просторі та і - в конічних областях, ) і встановити правило граничного переходу параметрів редукції рядів ,, , при якому розв’язки цих рівнянь забезпечать виконання умов Мейкснера на краях. Спочатку суматорні рівняння досліджено в статичній границі (, - хвильове число). Викорис-товуючи формули перерозкладу, вони зведені до систем лінійних алгебраїчних рівнянь, порядок яких обмежено параметрами редукції рядів. Розв’язки отриманих систем записано в аналітичному вигляді і досліджено при ,, . На основі проведеного аналізу встановлено загальне для даного класу задач правило: розв’язки суматорних рівнянь забезпечать виконання умов Мейкснера, якщо при переході від скінчених сум до рядів у них буде забезпечена рівність відношення параметрів редукції рядів в конічних областях і кутових розмірів цих областей). Цей результат узагальнює правило, що використовується для редукції БСЛАР в задачах дифракції на розгалуженнях плоских хвилеводів напівплощиною.

Доведено, що при виконанні сформульованого правила: а) розв’язання сума-торних рівнянь дифракційних задач на конусах з краєм в статичних границях зво-диться до обертання рівнянь типу згортки, а розв’язки цих рівнянь отримано в аналітичному вигляді на основі факторизації мероморфних функцій, які визнача-ються модовою структурою поля; б) відповідні матричні оператори типу згортки та їх обернені утворюють пари регуляризаційних операторів для БСЛАР першого роду задач дифракції на скінченому та зрізаному конусах. Останнє твердження базується на встановленій властивості, яка полягає у тому, що головні частини асимптотик матричних елементів цих систем при великих значеннях індексів прямують до статичної границі, а, отже, утворюють матриці, що допускають обертання в аналітичному вигляді. Матричні оператори типу згортки та відповідні обернені оператори використано для зведення БСЛАР першого роду до БСЛАР другого роду методом “напівобертання” і доведено, що розв’язки останніх знахо-дяться методом редукції з заданою точністю. Вияснено закономірності форму-вання систем рівнянь для знаходження коефіцієнтів розкладу потенціалів у віль-ному просторі та конічних областях. В результаті вперше розроблено коректний підхід до розв’язання суматорних рівнянь скалярних задач дифракції на скінче-ному та зрізаному конусах, який полягає у зведенні їх до БСЛАР другого роду методом “напівобертання”. Перевага запропонованого підходу над відомими методами, полягає у тому, що регуляризаційні оператори враховують усі характер-ні геометричні особливості конічних розсіювачів (змінну кривизну, особливості у вершині і на краях).

Зв’язок між методом суматорних рівнянь і методом інтегрального перетво-рення Конторовича-Лєбедєва показано на прикладі осесиметричної задачі дифракції ТМ- хвилі на конусі зі зрізаною вершиною. Для розв’язання цієї задачі використано метод дуальних інтегральних рівнянь. Наведена формальна (вимагає припущення, що хвильове число є уявним) методика їх зведення до БСЛАР першого роду. Вона включає перехід до сингулярного інтегрального рівняння і передбачає розклад неві-домої функції (дотичної складової електричного поля на конічній поверхні, що доповнює зрізаний конус до напівбезмежного) в ряд за модифікованими функціями Бесселя. Показано, що системи рівнянь, отримані для даної задачі методом суматор-них рівнянь і методом інтегральних перетворень, співпадають при уявних значен-нях хвильового числа. Доведено правомірність аналітичного продовження матрич-них елементів останньої (як функцій хвильового параметра) на область додатніх дійсних значень і обгрунтовано використання формалізму методу інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва для розв’язання задач дифракції на конусах з краєм. Методи-ка використання інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва для виведення БСЛАР задачі дифракції на зрізаному конусі узагальнена на випадок, коли конус має скінчену кількість кругових щілин.

Особливості застосування інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва при розв’язанні несиметричних задач дифракції електромагнітних хвиль на скінче-ному конусі з’ясовано на основі розв’язання векторної крайової задачі для рівнянь Гельмгольца, сформульованої відносно -х () гармонік Фур’є скалярних потен-ціалів ТМ- і ТЕ- хвиль дифрагованого поля. Вперше отримано коректні зображення потенціалів векторної задачі. Показано, що вони містить інтеграли Конторовича-Лєбедєва з невідомими трансформантами і лінійні комбінації розв’язків рівняння Гельмгольца (для -х гармонік Фур’є), що відповідають нульовій постійній розді-лення змінних, з невідомими коефіцієнтами. Задачу зведено до системи інтеграль-них рівнянь і запропонована схема однозначного переходу до БСЛАР першого роду без апріорних обмежень на співвідношення між невідомими коефіцієнтами в зобра-женнях потенціалів. Отримана система рівнянь строго враховує взаємодію ТМ- і ТЕ- типів хвиль та допускає перехід до БСЛАР другого роду методом “напів-обертання”. Показано, що регуляризаторами вихідних БСЛАР першого роду є матричні оператори типу згортки та їх обернені, елементи яких визначаються типом хвилі і кутом розхилу конуса.

Отримані в даному розділі результати в сукупності дають, строгий в матема-тичному плані, метод аналізу задач теорії дифракції на конічних поверхнях з края-ми, що базується на ідеї “напівобертання”.

У третьому розділі розширено область застосування запропонованого методу на випадки, коли розсіювачі містять скінчену кількість ідеально провідних спів-вісних відрізків конічних поверхонь з довільними кутами розхилу, які не формують біконічних областей і утворені з конусів зі спільною вершиною (див. рис.1,а). Показано, що зведення в цьому випадку задач дифракції до систем другого роду базується на використанні регуляризаційних операторів задач дифракції на краях окремих елементів цих розсіювачів. Всебічно досліджено осесиметричну задачу дифракції ТМ- хвилі на структурі, яка складається зі співвісних скінченого і зріза-ного конусів (див. рис.1,б). Отримано системи рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів розкладу потенціалів в конічних областях і в сферичній смузі, яка розділяє конуси. Для кожної з систем побудовані регуляризаційні оператори. Встанов-лено, що матричні оператори типу згортки та їх обернені дозволяють реалізувати метод “напівобертання” і отримати БСЛАР другого роду шляхом ліво- і правосто-ронньої регуляризації систем рівнянь першого роду. Досліджено системи рівнянь задачі дифракції ТМ- хвилі на конусі з двома азимутальними щілинами. У випадку вузьких щілин отримано якісні оцінки їх взаємного впливу на характеристики поля. Набір отриманих систем рівнянь забезпечує гнучкість даного підходу при розрахун-ку полів та перевірці результатів моделювання.

Для підвищення ефективності алгоритмів запропонована схема побудови сімейства регуляризаційних операторів. Показано, що його елемен-тами є оператори типу згортки з відповідними оберненими, які враховують модову структуру поля в асимптотичному наближенні (для мод високого порядку). Такий підхід дозволив спростити процедуру знаходження регуляризаційних операторів і розробити техніку формальної регуляризації скалярних задач дифракції на конусах з краями. Базуючись на ідеї врахування модової структури поля в асимптотичному наближенні, розроблено методику виведення наближених БСЛАР другого роду для аналізу полів, розсіяних конусами великих розмірів. Встановлено, що при значенні довжини твірної порядку у широкому діапазоні зміни кута розхилу конуса отри-муємо практично рівномірне (по куту спостереження) співпадіння діаграм спрямо-ваності, розрахованих за точними та наближеними рівняннями. Отримані наближені системи рівнянь характерні тим, що при довільній довжині твірної конуса прямують до точних, коли кут розхилу конуса .

На основі розробленого підходу вперше всебічно досліджено формування осесиметричного електромагнітного поля двоелементним розсіювачем (див. .рис. 1,б), який збуджується радіальним електричним диполем розміщеним на осі симет-рії. Спочатку вивчаються особливості дифракції хвиль на скінченому і зрізаному конусах. У широкій області зміни їх геометричних параметрів досліджено роль краю у формуванні поля. Проведено порівняння модового складу, діаграм спрямо-ваності, розподілу поля в ближній зоні для конусів з краєм та аналогічними харак-теристиками напівбезмежних конусів. На основі цих даних уточнено області та умови, при яких допустима апроксимація поля скінченого і зрізаного конусів полем напівбезмежного конуса, зокрема, в апертурі скінченого конічного рупора.

Проведено дослідження особливостей формування енергії випромінювання диполя в присутності скінченого і зрізаного конусів. Виявлено її різке (понад 3 рази) збільшення, коли диполь розміщений ззовні над вузьким скін-ченим конічним рупором з радіусом апертури порядку , при малій різниці між радіальними координатами диполя і краєм рупора. Показано, що цей ефект обумов-лений дифракційним зв’язком диполя з освітленою конічною поверхнею та її кра-єм. Встановлено, що дифракційна взаємодія диполя з краєм приводить до збільшення випромінюваної енергії приблизно на 20%. Показано, що утворення максимумів потужності випромінювання меншого рівня спостерігається при радіусах апертур конічного рупора, близьких до кратних значень. Далі аналізуються особливості дифракційного зв’язку диполя зі зрізаним конусом. Показано, що для аналогічних ситуацій в зрізаному конусі цей зв’язок проявляється значно слабше, а при різниці між радіальними координатами краю зрізаного конуса і диполя, більшій , енергія, яку випромінює диполь у вільний простір, тільки перерозподіляється між конічними областями, утвореними зрізаним конусом.

Дані про розсіяння окремими краями лягли в основу пояснення поведінки поля в двоелементних структурах. Досліджено вплив параметрів конуса з кільцевою щілиною на перерозподіл енергії випромінювання диполя в суміжні конічні області з’єднані щілиною. Встановлено, що при переміщенні щілини фіксованої ширини (диполь утримується в центрі її нормального до осі конуса січення) вздовж твірної конуса відбуваються перемикання домінантних потоків електромагнітної енергії випромінювання диполя з однієї конічної області в іншу. Показано, що такі ефекти обумовлені осциляційною залежністю випромінюваної енергії від положення щілини на конусі. Встановлено, що аналогічні ефекти мають місце і при зміні кутового параметра конуса і, наприклад, достатньо широкі щілини () можна практично закрити для проходження електромагнітної енергії при певних значеннях кута розхилу конуса (див. поведінку кривої 2 на рис. 2,а при ). Показано, що для конусів з щілинами ширшими за половину довжини хвилі і збуджуваних диполем, розміщеним ближче, ніж на до апертури скінченого конуса, повна енергія випромінювання визначається електродинамічною системою “скінчений конус – диполь”, а ширина щілини тільки регулює її розподіл між конічними областями.

Проведено аналіз особливостей передачі енергії електромагнітного випро-мінювання з рупора у відкритий отвір зрізаного конуса (конуси розділені вузькою щілиною). Виявлено і пояснено ефект практично безвтратної передачі енергії, ви-проміненої вузьким конічним рупором у круговий отвір зрізу напівбезмежного ко-нуса, коли радіус апертури рупора має порядок , а різниця між кутами розхилу конусів не перевищує . Показано, що цей ефект обумовлений зростанням енергії випромінювання електродинамічної системи в цілому. Таке зростання енергії відповідає головному максимуму кривої 1 на рис. 2,б і пояснюється дифракційною взаємодією диполя з краями конусів та взаємним впливом країв. Величина голов-ного максимуму кривої 2 на цьому рисунку відповідає енергії випромінювання, яка проходить в отвір зрізу напівбезмежного конуса і її значення практично співпадає зі значенням енергії, яку випромінює конічний рупор у вільний простір. Тобто втрати енергії на випромінювання в бокову щілину компенсуються зростанням енергії випромінювання електродинамічної системи. Проведено дослідження діаграм спря-мованості двоелементних конічних структур при значеннях параметрів, які забезпе-чують утворення екстремумів енергетичних характеристик розсіювачів. Виявлено можливість ефективного погашення бокових пелюсток діаграм спрямованості в освітленій області (головна пелюстка змінюється незначно) при попаданні цієї електродинамічної системи в деякі локальні енергетичні мінімуми.

Досліджено ефекти екранування поля синфазного кільцевого - генератора напруги скінченим конічним рупором (поле прикладене між берегами нескінченно вузького непроникаючого прорізу на внутрішній поверхні конуса). При наближенні джерела до краю конуса виявлено зростання розмаху осциляцій поля в області тіні. Показано, що джерело можна практично повністю екранувати при певних поло-женнях біля краю конуса. Аналізуються особливості утворення областей в тіньовій зоні, де модуль компоненти поля однозначно залежить від координати джерела, що дозволяє визначити його положення на поверхні конуса за значенням цієї величини. Отримані залежності використано для моделювання поля дефекта типу тріщини та встановлення умов його виявлення.

У четвертому розділі розвинуто метод “напівобертання” для розв’язання скалярних задач дифракції на скінченому конусі в кусково однорідному діелектрич-ному середовищі з довільними сферичною та внутрішніми секторними границями розділу, що не проходять через край конуса. На основі розробленого підходу впер-ше строгим методом досліджено поведінку полів, розсіяних скінченим конусом зануреним в діелектричну кулю з вершиною в центрі (рис. 1,в) і на конусі з частково заповненими діелектриком конічними секторами (рис. 1,г).

Вивчено закономірності формування поля діелектричної кулі з конічною вставкою при збудженні полем радіального електричного диполя, розміщеного всередині цієї кулі на осі симетрії конуса. Аналізуються випадки, коли випро-мінювання диполя проходить з оптично більш густого середовища у оптично менш густе і навпаки, а також розглядаються особливості формування поля в сферичному металічному резонаторі. Виявлено ефект “настроювання” металічного резонатора на основний - тип коливання за допомогою скінчених конічних вставок, який полягає у тому, що при певних значеннях параметрів конуса спостерігається різке (на декілька порядків) зростання поля резонансної моди в точці максимуму (див. рис. 3,а). Показано, що цей ефект проявляється, коли висота конуса не перевищує 10% від радіуса резонатора. Встановлено зв’язок, що показаний на рис. 3,б, між висотою і кутом розхилу конуса, при якому цей ефект спостерігається.

Досліджено вплив скінченого конуса на деякі типи резонансних коливань сферичних діелектричних резонаторів (). Показано, що на відміну від мета-лічного, в сферичному діелектричному резонаторі зростання поля резонансного коливання - типу проявляється в присутності коротких конусів з кутом розхилу (див. рис. 4), яке швидко гаситься зі збільшенням довжини твір-ної конуса. У випадку, коли кут розхилу конуса в діелектричній кулі прямує до , то конус тільки підтримує даний тип коливання. В цьому відношенні вплив близьких до диска конусів на - резонансне коливання діелектричного резонатора є аналогічним впливу такого конуса на - резонансне коливання металічного резо-натора. При збудженні - резонансного коливання у сферичному діелектрич-ному резонаторі зі скінченим конусом виявлено ефект, який полягає у стрибко-подібній перебудові поля в ньому при зміні, в вузькому інтервалі, довжини твірної конуса. Показано, що цей ефект обумовлений збудженням у цьому резонаторі резонансної і деяких сусідніх нерезонансних мод з близькими до резонансної або більшими амплітудами.

Виведені наближені БСЛАР другого роду для розв’язування задач дифракції осесиметричного електромагнітного поля на діелектричній кулі з короткою коніч-ною вставкою та на малому конусі, сектори якого частково заповнені діелектриком з різними діелектричними постійними. Отримано наближені розв’язки характеристичних рівнянь цих систем для визначення збурення спектра сферичних діелектричних резонаторів малими конічними вставками та секторних діелектрич-них резонаторів краєм короткої конічної діафрагми. Виведені формули для визна-чення зміщень резонансних частот, обумовлених такими конусами. Дано узагаль-нення цього підходу на випадок, коли скінчений конус поміщено в шарувату діелек-тричну кулю. Отримано наближену формулу для визначення зміщення резонанс-них частот електродинамічної системи, яка складається з двох секторних діелек-тричних резонаторів, що працюють на одній частоті і розділені скінченим конусом, з врахуванням їх взаємодії через край діафрагми. Показано, що спектр електро-динамічної системи з двох ідентичних напівсферичних резонаторів, розділених диском, складається з незбуреної частини - спектра напівсферичного діелектрич-ного резонатора на ідеально провідній площині і збурення, яке вносить край диска.

Вперше вияснено особливості взаємодії електромагнітного поля зі скінченим конусом (в квазістатичному наближенні), коли його край виходить на границю розділу діелектричних середовищ. Для цього розглянуто осесиметричну задачу дифракції електромагнітної хвилі ТМ – типу на скінченому конусі, один із секторів якого повністю заповнений діелектриком з параметрами відмінними від оточую-чого середовища. Вона зведена до БСЛАР першого роду. Обмежуючись статичною частиною матричного оператора цієї системи, розв’язок отримано в аналітичному вигляді модифікованим методом лишків. Доведено, що він забезпечує виконання умов Мейкснера з врахуванням діелектричних параметрів середовищ. Отримано вирази для коефіцієнтів трансформації мод закритого конуса. У часткових випадках виведені наближені формули для відношення коефіцієнтів відбивання закритого і відкритого конусів, які дають явну залежність цих характеристик від параметрів задачі. Встановлено зв’язок отриманих рівнянь з рівняннями, що виникають в задачах дифракції на розгалуженні плоского хвилевода напівплощиною з діелек-тричним заповненням однієї з областей.

У п’ятому розділі дисертації ідеї, які запропоновані у попередніх розділах, розвиваються і використовуються для розроблення методів строгого аналізу ска-лярних задач дифракції на ідеально провідних біконічних та клиноподібних струк-турах. Вирішення цієї проблеми базується на побудові розв’язків суматорних та інтегральних рівнянь для задач дифракції електромагнітних хвиль на розгалуженні конічної області та на скінченому клині.

Розв’язано задачу