НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ КІБЕРНЕТИКИ імені В. М. Глушкова

КОЛОМІЄЦЬ Олександр Вікторович

УДК 517.912

РОЗРОБКА МЕТОДІВ ТА ІНСТРУМЕНТАРІЮ

ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ КОЛИВНИХ ПРОЦЕСІВ

У НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМАХ

З ВИПАДКОВИМ ЗБУРЕННЯМ

01.05.02 — математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Перевозчикова Ольга Леонідівна, Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, завідувач відділу автоматизації програмування

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Скопецький Василь Васильович, Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, завідувач відділу математичних систем моделювання проблем екології та енергетики, доктор фізико-математичних наук, професор Коренівський Данило Григорович, провідний науковий співробітник, Інститут математики НАН України

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра

Захист відбудеться “14”  червня  2002 р. о 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26 194 02 при Інституті кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, 03187, МСП, Київ, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, проспект Академіка Глушкова, 40.

Автореферат розісланий “11”  травня  2002 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Синявський В. Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На сьогодні важливе значення має ефективне проведення геолого-пошукових робіт для виявлення родовищ нафти і газу, покладів руди, вуглеводневих запасів тощо. Серед методів, що застосовуються для вивчення земних надр, набули поширення методи геофізичної розвідки і, зокрема, сейсмічної розвідки, що включають в себе сукупність методів дослідження геологічної будови земної кори, що ґрунтуються на вивченні розповсюдження в ній штучно збуджених пружних хвиль. Сейсморозвідка дозволяє з підвищеною точністю визначати глибину залягання та форму геологічних границь, а також судити про склад геологічних порід, через які пройшла хвиля. З високою точністю також вдається простежувати кути нахилу шарів осадової товщі навіть при великій глибині їхнього залягання.

Проте застосування методів сейсмічної розвідки наштовхується на ряд труднощів, пов'язаних з виникненням у товщі порід та у вимірювальній апаратурі різноманітних акустичних й електричних шумів і завад. Якщо завади мають значну інтенсивність, то вони відчутно утруднюють виділення корисних хвиль. Тому однією з важливих задач методики та техніки сейсморозвідки є розробка прийомів зниження завад при реєстрації коливань, а також методів та інструментарію для ефективного виділення корисної інформації в масиві даних, отриманих за результатами сейсмічного спостереження. Питаннями дослідження хвильових процесів у деяких середовищах займались В. В. Скопецький, А. В. Гладкий, І. В. Сергієнко та ін. Методиці геологічної картопобудови присвячені роботи В. І. Аронова, А. М. Волкова, В. Г. Тульчинського та ін. Методикам аналізу нечітких даних та технологіям розробки і вдосконалення інтерфейсів інструментальних систем присвячені роботи О. Л. Перевозчикової.

З метою коректного визначення істинних властивостей, умов та характеру залягання геологічних порід, особливостей їхньої літологічної будови необхідно враховувати усі наявні геолого-геофізичні та геолого-промислові дані, а також враховувати вплив випадкових збурень зовнішнього середовища. Тому великого значення набуває дослідження впливу випадкових зовнішніх збурень на процеси вимірювань геофізичних параметрів у разі геологічної розвідки, а також розробка методів і ефективних алгоритмів їхньої оцінки та адекватного врахування при геологічних побудовах.

Розв'язанням зазначених проблем обумовлені дослідження функціонально-диференціальних рівнянь та систем з випадковими збуреннями. Теорія диференціально-різницевих рівнянь одержала значний розвиток за останні десятиріччя. Її розробкою займались Р. Беллман, К Кук, А. Д. Мишкіс, Дж. Хейл, Л. Е. Ельсгольц, М. М. Красовський, Ю. О. Митропольський, Д. І. Мартинюк, А. Халанай, Я. Курцвейл, В. П. Рубаник, В. І. Фодчук, Д. Я. Хусаїнов та інші. На відміну від детермінованих рівнянь з постійними відхиленнями, дослідження функціонально-диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями набагато складніші; вони почалися порівняно недавно і відповідна теорія на теперішній час не повністю завершена. Кількість публікацій, присвячених цій тематиці, незначна. Можна виділити роботи В. Б. Колмановського, В. Р. Носова, В. К. Ясинського, Д. Г. Коренівського, М. Л. Свердана, Є. Ф. Царькова. Дослідження коливань з урахуванням випадкових зовнішніх впливів є важливим для якнайточнішого опису процесів у фізичній системі, оскільки дає змогу з максимальною ефективністю використовувати знання про перебіг коливних процесів у системі, а також передбачати появу небажаних коливань, яких слід уникати.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась за планом наукових досліджень у рамках бюджетних науково-дослідних тем Інституту кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України “Розробка методів конструювання і адаптації інтерфейсів користувача в професіональних програмних системах” (ДР 0196U005086), “Розробка методів інтерфейсу користувача з сукупністю раціональних агентів” (ДР 0199U001032), “Розробка інструментарію прототипування застосувань за алгебро-граматичними специфікаціями моделі предметної області” (ДНТП 06.02) (ДР 0197U005618), та господарчого договору на науково-дослідну роботу “Розробка інформаційного і технологічного забезпечення комп'ютеризованої інтерпретації геолого-геофізичних матеріалів по рудних свердловинах” (г/д 1647 від 22 липня 1998 р.).

Мета і задачі дослідження. Розробити методи та інструментарій для покращення точності початкового калібрування приладів сейсмічної розвідки, а також проведення аналізу вихідних результатів сейсмічних та акустичних досліджень щодо виявлення закономірностей в масиві нечітких даних, отриманих під впливом випадкових збурень зовнішнього середовища та шумів вимірювальної апаратури. Розробити та реалізувати алгоритми у вигляді інструментарію для покращення побудови моделей геологічних родовищ. Розробити методи розв'язання диференціальних рівнянь та систем диференціальних рівнянь з відхиленнями аргументів та випадковими збуреннями конкретних типів. Застосувати наближені числові методи для знаходження усереднених числових характеристик випадкових коливних процесів, які виникають у системах, що розглядаються.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі сформульовано математичну модель тракту проходження сигналу під час проведення сейсмічної розвідки геологічних родовищ з урахуванням впливу випадкових збурень середовища та шумів апаратури у вигляді квазілінійної диференціально-різницевої системи з випадковим збуренням.

Розроблений та обґрунтований алгоритм розв'язання квазілінійних диференціально-різницевих рівнянь з постійним додатним відхиленням аргументу та випадковими збуреннями правої частини типу білого шуму. Подальшого розвитку отримала схема сумісного застосування асимптотичних методів нелінійної механіки і методів стохастичних диференціальних рівнянь до дослідження квазілінійних диференціально-різницевих рівнянь з постійними відхиленнями аргументу та випадковими збуреннями. Вперше для таких типів рівнянь застосовано числові методи Рунґе – Кутта з метою дослідження амплітуди, фази та переміщення випадкових коливань, а також наближеного знаходження їхніх числових характеристик. Для вивчення перебігу випадкових коливань з плином часу до рівняння Фоккера – Планка – Колмогорова (ФПК) щодо щільності розподілу амплітуди випадкових коливань застосовано метод різницевих схем.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертаційній роботі алгоритми розрахунку квазіперіодичних коливань під впливом випадкових зовнішніх збурень використовуються для врахування впливу зовнішнього середовища при інтерпретації даних акустичних методів дослідження в свердловинах та сейсмічних досліджень на площі родовища, а також при сумісному використанні даних геофізичних досліджень свердловин та сейсмолітмологічних досліджень місцевості.

Ці алгоритми реалізовані в складі пакета “ГеоПошук”, що дозволило підвищити достовірність геологічного моделювання родовищ корисних копалин за допомогою пакета. Розроблені спеціалізовані утиліти для попереднього аналізу та моделювання коливань під впливом зовнішніх збурень дали змогу ефективно проводити підготовку даних геофізичних досліджень для використання в пакетах геологічного моделювання. Результати дослідження також використані для вдосконалення пакета повнохвильового моделювання геологічних розрізів “Tesseral 2-D”, що розробляється на замовлення фірми Tesseral Technologies Inc.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, які становлять суть дисертаційної роботи, отримані здобувачем особисто. У роботі [4] описано структуру та особливості програмної реалізації технології розміщення об'єктів у комп'ютерній системі “Електронна карта” СУБД “МікроПошук”. У роботі [5] розроблено та програмно реалізовано алгоритм сумісної кореляції даних геофізичного дослідження свердловин і даних сейсмолітмологічних досліджень для побудови геологічних моделей нафтогазових покладів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на Всеукраїнській конференції молодих учених (Київ, 1995), Міжнародній конференції „Асимптотичні методи в теорії нелінійних коливань” (Київ, 1997), Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 1998), Всеукраїнській конференції з нелінійних проблем математичної фізики (Кременчук, 2000), Міжнародній науковій конференції “Диференціальні й інтегральні рівняння” (Одеса, 2000), Міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю від дня народження академіка М. О. Лаврентьєва (Київ, 2000), Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київ, 2001), Міжнародній конференції „Диференціальні рівняння та нелінійні коливання” в рамках „Українського математичного конгресу” (Чернівці, 2001), Міжнародній конференції “Dynamical Systems modeling and stability investigation” (Київ, 2001) та доповідались на семінарах в Інституті математики НАН України та Інституті кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в друкованих працях [1-8].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаної літератури (102 найменування). Текст дисертації викладений на 139 сторінках машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми, дано короткий огляд результатів, які мають безпосереднє відношення до теми роботи, вказані мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація та структура роботи.

Перший розділ присвячений опису методики та інструментарію сейсмічної розвідки. Описана структура сейсморозвідувального каналу, а також підсистема каналу, яка досліджується в роботі.

Розглядається замкнений контур, що охоплює апаратуру збудження сейсмічних хвиль, сейсмогеологічний канал та апаратуру реєстрації коливань, — сейсмовимірювальний канал.

Розглянемо електричні коливання в тракті проходження сигналу в каналі сейсмічного вимірювання. Позначимо u(t) падіння напруги електричного струму в тракті, утвореному джерелом сейсмічних хвиль, сейсмогеологічним каналом (товщею порід, що досліджуються) та приймачем сейсмічних хвиль. Нехай затримка приходу сигналу в сейсмовимірювальному каналі – t1, а період розповсюдження пакету хвиль в сейсмогеологічному каналі – t2. Тоді зміна падіння напруги в контурі сейсмовимірювального каналу описується диференціальним рівнянням із запізненням і випадковою функцією вигляду

, (1)

де u = u(t) — залежна від часу функція падіння напруги; t1 та t2 — додатні сталі, що характеризують затримки приходу сигналів; h та — коефіцієнти затухання в середовищі сейсмовимірювального каналу; n та — власні частоти коливань у системі; F — збурююча дія сейсмоджерела на систему; G — збурююча дія середовища сейсмогеологічного каналу та теплових шумів апаратури сейсмічного вимірювання, залежна від випадкового процесу .

Значення власних частот коливань n, та вигляд функції збурення коливань F у системі вважаються наперед відомими. Для знаходження коефіцієнтів затухання застосовують багатокрокову процедуру уточнення, виходячи з деяких початкових значень. Функція G є характеристикою сейсмовимірювального каналу і залежна від випадкового процесу. Вигляд цієї функції визначається внаслідок попередніх досліджень властивостей геологічного горизонту, що вивчається, і може уточнюватися в процесі вимірювань. Умови на коефіцієнти рівнянь та вигляд функцій і процесів, що входять до них, сформульовані в другому розділі роботи в процесі дослідження відповідних рівнянь та побудови алгоритму їх розв'язання.

У першому розділі роботи зроблено огляд сучасного стану досліджень у галузі функціонально-диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями, вказано на переваги запропонованого в роботі підходу до їхнього дослідження. Обговорені питання застосування теорії збурених функціонально-диференціальних рівнянь при проведенні геолого-геофізичних досліджень та інтерпретації геолого-пошукових робіт з використанням геолого-інформаційного пакета “ГеоПошук”.

У другому розділі подано основні означення та положення теорії ймовірностей та випадкових процесів, методу рівнянь ФПК, теорії рівнянь з детермінованими відхиленнями аргументів та інші допоміжні математичні факти, що використовуються в роботі. Розглянуто квазілінійні диференціально-різницеві рівняння типу (1) першого, другого порядків, а також системи рівнянь.

Диференціально-різницеве рівняння першого порядку з відхиленнями аргументу та випадковим збуренням типу білого шуму має вигляд

де k1, k2 — постійні коефіцієнти; і — достатньо гладкі функції; D1  і D2  — постійні відхилення аргументу; e — малий додатний параметр; — стаціонарний випадковий процес, який при перетворюється в стандартний білий шум (,. Тут символ M – математичне сподівання; d(t) — дельта-функція Дірака). До цього рівняння застосовано асимптотичні методи та метод рівнянь ФПК.

Доведена наступна теорема про загальний вигляд розв'язку квазілінійного диференціального рівняння з запізненням та випадковим збуренням при спеціальному вигляді процесів, що визначають випадкові збурення, та за певних умов на функції в правій частині.

Теорема 1.

Нехай у рівнянні (2) k1 і k2 — постійні коефіцієнти, D1 і D2 — постійні додатні відхилення аргументу, функції f(x,y) і g(x,y) — достатньо гладкі, коефіцієнти k1 і k2 задовольняють умовам

і вираз

є простим коренем системи

Тоді коливний розв'язок рівняння (2) у першому асимптотичному наближенні має вигляд

Після проведення викладок згідно зі схемою асимптотичного методу, система рівнянь (7) набуває вигляду

Функції A11, A12, B11, B12 знайдені в роботі в явному вигляді. Завдяки цій методиці дослідження рівняння (2) зведено до звичайних диференціальних рівнянь з випадковими функціями. Розв'язок рівнянь (8) в границі при збігається до двовимірного марковського процесу. Тепер для дослідження граничних рівнянь (8) можна використати рівняння ФПК для щільності сумісного розподілу ймовірностей амплітуди і фази. Має місце наступна

Теорема 2.

Нехай виконані умови теореми для рівняння (2). Тоді щільність сумісного розподілу ймовірностей амплітуди та фази, що визначаються із стохастичних диференціальних рівнянь (8) у границі при m ®  задовольняє рівнянню ФПК

Коефіцієнти переносу Ka, Kq і дифузії Da, Daq, Dq амплітуди і фази знайдені в роботі в явному вигляді.

Далі в роботі детально розглянуто знаходження стаціонарної щільності сумісного розподілу амплітуди і фази, яка задовольняє стаціонарному рівнянню ФПК

і не залежить від початкового розподілу. За допомогою цього рівняння можна аналізувати числові характеристики перебігу коливного процесу. Стійкі стаціонарні амплітуди випадкових коливань збігаються з точками, в яких стаціонарна щільність розподілу амплітуди досягає максимуму. І навпаки: точки, в яких досягає максимуму, відповідають стійким стаціонарним станам вихідної системи.

Розглянуто приклад конкретного рівняння, для якого проведений аналіз коливних розв'язків згідно з розробленою методикою.

Диференціальне рівняння другого порядку з відхиленнями аргументу та випадковим збуренням має вигляд

, (10)

де k1, k2, k3, k4 — постійні коефіцієнти; і — гладкі функції; D0 і t0 — постійні запізнення; e — малий додатний параметр; — стаціонарний випадковий процес, що залежить від додатного параметра m та збігається при до стандартного білого шуму.

Теорема 3.

Нехай у рівнянні (Ошибка! Закладка не определена.) з постійними коефіцієнтами k1, k2, k3, k4 і постійними запізненнями D0 і t0 функції и мають неперервні похідні другого порядку, коефіцієнти k1, k2, k3, k4 задовольняють одній з двох груп умов:

1) , ;

2) , , ,

де

,

— стаціонарний випадковий процес, що збігається при до стандартного білого шуму. Тоді коливний розв'язок рівняння (Ошибка! Закладка не определена.) у першому асимптотичному наближенні має вигляд

, (11)

де частота w  визначається з виразу

, (12)

а випадкові функції амплітуди a(t) та фази q (t) є розв'язками диференціальних рівнянь з випадковими функціями

, . (13)

Після перетворень система рівнянь (13) набуває вигляду (8). Так само, як і у випадку диференціального рівняння першого порядку, зведення рівняння другого порядку з відхиленнями аргументу до стохастичних рівнянь дозволяє застосовувати для дослідження процесів у відповідній системі з запізненням математичний апарат теорії марковських процесів. Зокрема, для знаходження щільностей розподілу ймовірностей можна використати метод рівнянь ФПК.

Теорема 4.

Нехай виконані умови теореми 3 для рівняння (Ошибка! Закладка не определена.). Тоді щільність сумісного розподілу ймовірностей амплітуди та фази, що визначаються із стохастичних диференціальних рівнянь (13), у границі при m ®  задовольняє рівнянню ФПК

. (14)

Коефіцієнти переносу Ka, Kq та дифузії Da, Daq , Dq знайдені в дисертаційній роботі в явному вигляді.

У роботі викладено також дослідження стаціонарного рівняння ФПК для щільності розподілу амплітуди та фази коливань.

Розглянуто приклад дослідження випадкових коливань у нелінійній системі, яка описується диференціальним рівнянням типу Ван-дер-Поля

, (15)

де k1, k2 — сталі коефіцієнти; D0, t0, r — додатні постійні величини; e — малий додатний параметр; — стаціонарний випадковий процес, що збігається при m ®  до процесу стандартного білого шуму. У рівнянні (15) функції f  і g мають вигляд

Стаціонарна щільність розподілу амплітуди Wст(a) є розв'язком такого стаціонарного рівняння ФПК:

причому всі вирази для g1, g2, g3 знайдені в роботі в явному вигляді і виражені через коефіцієнти початкового рівняння.

Враховуючи властивості щільності розподілу амплітуди, розв'язком рівняння (16) є функція

. (17)

Досліджуючи функцію (17) на екстремум, переконуємося, що вона має єдиний максимум при

, , . (18)

Тому в системі (15) можливі стійкі стаціонарні випадкові коливання з амплітудою (18).

Вигляд коефіцієнтів значно спрощується, якщо D0 t0. У випадку, коли k1 , k2 , t0  і за відсутності випадкових збурень, амплітуда a , що узгоджується з детермінованою теорією нелінійних коливань.

У роботі проведено застосування асимптотичних методів нелінійної механіки до дослідження систем квазілінійних диференціально-різницевих рівнянь з відхиленнями аргументу та випадковим збуренням правої частини. Дослідження проведено аналогічно вищеописаному для рівнянь першого та другого порядків.

Розглянуто квазілінійну систему, рух якої описується системою диференціально-різницевих рівнянь з випадковими збуреннями

, (19)

де x(t) — n-вимірний вектор ; A і B — постійні квадратні матриці розміром ; D і t — постійні додатні запізнення; F — n-вимірний вектор, компонентами якого є достатньо гладкі за всіма аргументами функції; G — -матриця, елементами якої є також достатньо гладкі функції; e — малий додатний параметр, x(t, m) — n-вимірний векторний стаціонарний процес, який при асимптотично перетворюється в n-вимірний векторний білий шум , тобто , .

Для системи (19) у дисертаційній роботі сформульовано та доведено теореми про можливість застосування асимптотичного одночастотного методу нелінійної механіки в комбінації з методом рівнянь ФПК для знаходження щільності розподілу ймовірностей амплітуд та фаз коливань.

Розроблені алгоритми розв'язання диференціально-різницевих рівнянь з випадковими збуреннями використані при аналізі даних сейсмолітмологічних досліджень для побудови геологічних моделей родовищ. Дані сейсмічних досліджень території мають великий обсяг і нечітку структуру, що ускладнює їхній аналіз. Враховуючи методику вимірювання при проведенні сейсмічних досліджень, а також зовнішній збурюючий вплив типу білого шуму, що зазнають датчики вимірювальних приладів, можна застосовувати розроблену методику дослідження до задач моделювання геологічних родовищ. Застосування проведено на прикладі програми для картопобудови геолого-інформаційного пакета “ГеоПошук”.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячений числовим методам розв'язання деяких типів рівнянь, що розглянуті в розділі 2. Дослідження розв'язків диференціальних рівнянь з відхиленнями аргументів та випадковими збуреннями за допомогою аналітичних методів є дуже важливим для виявлення критеріїв виникнення випадкових коливань. Проте через складність відповідних рівнянь, таке розв'язання часто неможливе або дуже громіздке. В той же час при застосуванні до задач геофізики, як і в інших прикладних галузях науки та техніки, де застосовуються системи з запізненням та випадковим збуренням, особливо важливим є знаходження наближених числових характеристик коливань. Тому дослідження рівнянь, що розглядаються, на предмет можливості їх наближеного розв'язання, а також побудова відповідних алгоритмів та програм набуває особливого значення.

У цьому розділі застосовуються методи Рунґе – Кутта для наближеного знаходження конкретних реалізацій випадкових процесів, що описують амплітуду, фазу та переміщення коливань, а також метод різницевих схем Кранка – Ніколсона для наближеного розв'язання рівняння в частинних похідних ФПК, що описує щільність розподілу ймовірностей амплітуди випадкових коливань.

Методи Рунґе – Кутта четвертого порядку застосовані до розв'язання стохастичних диференціальних рівнянь, що описують амплітуду та фазу випадкових коливань у граничному випадку.

Розглянемо систему рівнянь (8). Далі працюємо з граничною при m ®  системою рівнянь

, . (20)

Методи Рунґе – Кутта були запропоновані для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, проте легко поширюються і на випадок стохастичних рівнянь типу (20). Найкраще співвідношення між точністю обчислень і алгоритмічною ефективністю забезпечує метод Рунґе – Кутта четвертого порядку, оскільки для методів вищого порядку складність обчислень зростає швидше, ніж точність отримуваних результатів. Тому скористаємося цим методом.

Нехай , . Розіб'ємо відрізок на N рівних частин точками , Покладемо

(21)

Тоді значення амплітуди та фази обчислюємо за формулами

Тут Dwi — прирости вінерівського процесу w(t) на відрізках , які є нормально розподіленими незалежними випадковими числами з математичним сподіванням і дисперсією . Переміщення обчислюємо за формулою

(24)

У середовищі Microsoft Excel розроблено програму, що моделює перебіг коливних процесів та знаходить можливі реалізації випадкових процесів, що описують амплітуду, фазу та переміщення коливань. Обчислення проведені для прикладу рівняння з запізненням та випадковим збуренням (15).

Для моделювання на комп'ютері використано наступні параметри:

k1 ;?k2 – ;?D0 p;?t0 ,5;?e ,01;?t О, ],?N . (25)

Вибираємо два значення інтенсивності збурюючого процесу: r1 , r2 . Результати роботи програми подано в графічному (рис. 3–5) та, вибірково, в числовому вигляді. Для змодельованих коливних процесів також розраховано числові характеристики – початкове, середнє значення та дисперсія.

Розраховані числові характеристики амплітуди:

r1  r2 

, , . , , .

Розраховані числові характеристики фази:

r1  r2 

, , . , , .

Далі в роботі описано застосування різницевих схем Кранка – Ніколсона до наближеного числового розв'язання нестаціонарного рівняння ФПК для щільності розподілу амплітуди випадкових коливань.

Розглянуто рівняння ФПК вигляду

, (26)

що відповідає системі стохастичних диференціальних рівнянь для амплітуди і фази (20).

Зводимо рівняння (26) до канонічного вигляду

. (27)

Розбиваємо площину сіткою прямих з кроками h та k. Розглядаємо значення функції щільності у вузлах сітки

, , .

Замінюємо вирази для похідних наступними різницевими виразами:

, , , . (28)

Наступні параметри не залежать від часу:

, , , . (29)

Підставляємо вирази (28), (29) в рівняння (27) і отримуємо систему різницевих рівнянь

, (30)

, ,

або у векторному вигляді

, де , , (31)

причому ненульові елементи матриць і розміщені лише на головній діагоналі, першій наддіагоналі та першій піддіагоналі. Усі елементи матриць виразу (31) знайдено в дисертаційній роботі в явному вигляді.

На кожному кроці для розв'язуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (31) за методом Гауса, причому завдяки спеціальному вигляду матриць алгоритм розв'язання значно спрощується.

У середовищі Microsoft Excel розроблено програму, що реалізує описаний алгоритм розв'язання рівняння ФПК.

Як приклад наведено результати розрахунків на комп'ютері рівняння (15) і відповідного йому нестаціонарного рівняння ФПК для щільності розподілу амплітуди коливань з наступним набором початкових параметрів:

k1 = 2;?k2 = – 1;?D0 = 2p;?t0 = 4,5;?r1 = 6;?e = 0,01;

h = 0,01;?k = 0,005;?M = 10000;?N = 500;?h = 0,1;?a0 = 2. (32)

Результати розрахунків наведені в роботі в графічному (рис. 6) та, вибірково, числовому вигляді.

Методи та алгоритми розв'язання функціонально-диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями використані при нарощуванні функціональності геолого-інформаційного пакета “ГеоПошук”, відтак поліпшено алгоритми побудови моделей геологічних родовищ та з'явилася можливість досліджувати літмологічні та фізичні характеристики пластів нафтогазоносних родовищ з урахуванням даних сейсмолітмологічних спостережень та геофізичних досліджень свердловин.

Описані в третьому розділі програми в середовищі Microsoft Excel використовуються для попереднього аналізу даних сейсмічної розвідки та моделювання коливань під впливом зовнішніх збурень середовища та шумів апаратури вимірювання. Це дає змогу зменшити неточність та розпливчастість даних геофізичних досліджень для використання в пакетах геологічного моделювання “ГеоПошук” та “Tesseral 2-D”.

У четвертому розділі дисертаційної роботи описано інструментарій для моделювання геологічних родовищ за даними сейсмічної розвідки та каротажних досліджень у свердловинах, їхній інтерфейс у складі пакетів “ГеоПошук” та “Tesseral 2-D”, а також спеціалізовані програми для моделювання коливних процесів у системах сейсмічного вимірювання.

Розроблено методику сумісного застосування даних геофізичних досліджень свердловин та даних сейсмолітмологічних досліджень родовища. Відповідна методика реалізована в пакеті “ГеоПошук”. Наведено приклади використання методики для моделювання конкретних горизонтів родовищ нафтогазових покладів.

Пакет “ГеоПошук” спочатку використовувався для моделювання родовищ нафтогазових покладів. Внаслідок подальшого розвитку функціональності пакета тепер його засоби успішно застосовуються для моделювання рудних покладів, зокрема проведені дослідження рудних покладів Клинці Кіровоградської області. Зараз у складі пакета “ГеоПошук” розробляються методи для моделювання покладів вугілля.

ВИСНОВКИ

1. Ґрунтуючись на дослідженні впливу випадкових збурень середовища та шумів апаратури на проведення сейсмічної розвідки геологічних родовищ, сформульовано математичну модель у вигляді квазілінійної диференціально-різницевої системи з випадковим збуренням.

2. Розроблений та обґрунтований алгоритм розв'язання квазілінійних диференціально-різницевих рівнянь з випадковими збуреннями правої частини типу білого шуму. Дослідження проведені для рівнянь першого і другого порядків та для систем рівнянь за допомогою сумісного застосування асимптотичних методів нелінійної механіки та методу рівнянь Фоккера – Планка – Колмогорова.

3. Розроблені та програмно реалізовані алгоритми для

·

· наближеного розв'язання нестаціонарного рівняння Фоккера – Планка – Колмогорова для щільності розподілу ймовірностей амплітуди випадкових коливань.

4. Показано застосування методів та алгоритмів розв'язання збурених функціонально-диференціальних рівнянь при побудові моделей геологічних родовищ у випадку сумісного застосування даних геофізичних досліджень свердловин та матеріалів сейсмолітмологічних досліджень родовища.

5. Розроблені алгоритми програмно реалізовані й використовуються як інструмент для попередньої обробки даних сейсмічних та акустичних досліджень у складі пакетів геологічного моделювання “ГеоПошук” та “Tesseral 2-D”.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ТАКИХ ПРАЦЯХ:

1. Коломиец А. В. Применение дифференциальных уравнений со случайным отклонением аргумента к анализу колебаний в цепях задержки сигнала // Управляющие системы и машины. – 1996. – № . – С. –27.

2. Коломієць О. В. Про застосування числових методів до розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку з випадковими відхиленнями аргументу // УМЖ. – 1999. – 51, № . – С. –1441.

3. Коломієць О. В. Про числове розв'язання рівняння Фоккера – Планка – Колмогорова для диференціально-різницевого рівняння другого порядку з випадковими відхиленнями аргументу // Нелинейные колебания. – 1999. – № 4. – С. –510.

4. Технология размещения объектов добычи, подготовки и использования углеводородов / Ю. А. Боксерман, А. В. Коломиец, О. Л. Перевозчикова и др. // Экотехнологии и ресурсосбережение. – 2001. – № . – С. –18.

5. Красножон М. Д., Косаченко В. Д., Коломієць А. В. Розробка і впровадження програмного пакета побудови геологічних моделей нафтогазових покладів // Геофизический журнал. – 2001. – 23, № . – С. –60.

6. Коломиец А. В. Моделирование колебательных процессов в квазилинейной системе второго порядка с запаздыванием и случайным возмущением // Кибернетика и системный анализ. – 2001. – № . – С. –187.

7. Коломієць О. В. Про дослідження коливних розв'язків в квазілінійних диференціально-різницевих рівняннях першого порядку з випадковим збуренням // Вісн. Київського ун-ту. – 2001. – № 3. – С. 117–122.

8. Коломієць О. В. Про асимптотичне інтегрування квазілінійних диференціальних рівнянь з запізненням і випадковим збуренням // Вісн. Київського ун-ту. – 2001. – № . – С. 96–101.

Коломієць Олександр Вікторович. Розробка методів та інструментарію для моделювання коливних процесів у нелінійних системах з випадковим збуренням. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 — математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, Київ, 2002.

Дисертаційна робота присвячена вивченню впливу випадкових збурень зовнішнього середовища та шумів апаратури на перебіг коливних процесів у системах вимірювання фізичних параметрів геологічних порід під час проведення сейсмічних та акустичних досліджень родовищ, а також розробці методів та інструментарію для моделювання випадкових коливань у цих системах.

Сформульовано математичну модель коливних процесів у контурі вимірювання штучно збуджених сейсмічних хвиль під час проведення геологічної розвідки сейсмічними та акустичними методами у формі квазілінійного диференціально-різницевого рівняння з випадковим збуренням типу білого шуму.

Розроблено та обґрунтовано конструктивний алгоритм розв'язання рівнянь такого типу, а також запропонована його програмна реалізація.

Розглянуто рівняння першого, другого порядків із запізненням аргументу та випадковим збуренням типу білого шуму, а також системи таких рівнянь. Розв'язок знайдено у формі першого асимптотичного наближення за допомогою асимптотичних методів нелінійної механіки. Для дослідження щільностей розподілу ймовірностей амплітуди та фази випадкових коливань застосовано метод рівнянь Фоккера – Планка – Колмогорова (ФПК).

Для числового розв'язання граничних стохастичних рівнянь, що описують амплітуду та фазу коливного процесу, застосовано метод Рунге – Кутта четвертого порядку. Для числового розв'язання рівняння ФПК щодо щільності розподілу амплітуди випадкових коливань застосовано метод різницевих схем.

Методи та алгоритми розрахунку квазіперіодичних коливань під впливом випадкових зовнішніх збурень використані для нарощування функціональності пакетів геологічно-інформаційних систем “ГеоПошук” та “Tesseral 2-D”. Також розроблені спеціалізовані утиліти для попереднього аналізу та підготовки даних геофізичних досліджень з метою використання в пакетах геологічного моделювання.

Ключові слова: математичне моделювання, нелінійні коливання, білий шум, диференціально-різницеві рівняння, сейсмічна розвідка.

Коломиец Александр Викторович. Разработка методов и инструментария для моделирования колебательных процессов в нелинейных системах со случайным возмущением. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 — математическое моделирование и вычислительные методы. – Институт кибернетики имени В. М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2002.

Диссертационная робота посвящена изучению влияния случайных возмущений внешней среды и шумов аппаратуры на протекание колебательных процессов в системах измерения физических параметров геологических пород во время проведения сейсмических и акустических исследований месторождений, а также разработке методов и инструментария для моделирования случайных колебаний в этих системах.

Сформулирована математическая модель колебательных процессов в контуре измерения искусственно возбужденных сейсмических волн во время проведения геологической разведки с применением сейсмических и акустических методов в форме квазилинейного дифференциально-разностного уравнения со случайным возмущением типа белого шума.

Разработан и обоснован конструктивный алгоритм решения уравнений такого типа, а также предложена его программная реализация.

Рассмотрены уравнения первого, второго порядков с запаздыванием аргумента и случайным возмущением типа белого шума, а также системы таких уравнений. Решение найдено в форме первого асимптотического приближения с помощью асимптотических методов нелинейной механики. Для исследования плотностей распределения вероятностей амплитуды и фазы случайных колебаний применен метод уравнений Фоккера – Планка – Колмогорова (ФПК).

Для численного решения предельных стохастических уравнений, описывающих амплитуду и фазу колебательного процесса, применен метод Рунге – Кутта четвертого порядка. Для численного решения уравнения ФПК относительно плотности распределения амплитуды случайных колебаний применен метод разностных схем.

Методы и алгоритмы расчета квазипериодических колебаний под влиянием случайных внешних возмущений использованы для наращивания функциональности пакетов геологических информационных систем “ГеоПоиск” и “Tesseral-2D”. Также разработаны специализированные утилиты для предварительного анализа и подготовки данных геофизических исследований с целью использования в пакетах геологического моделирования.

Ключевые слова: математическое моделирование, нелинейные колебания, белый шум, дифференциально-разностные уравнения, сейсмическая разведка.

Kolomiets Alexander Victorovich. Development of methods and tools for modeling oscillating processes in nonlinear randomly excited systems. – Manuscript.

Candidate degree thesis, specialty 01.05.02 — mathematical modeling and numerical methods. — The Glushkov Institute of Cybernetics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2002.

The thesis is dedicated to analysis of random environmental influences and noise of instrumentation on the oscillating processes in the systems for measuring physical properties of geologic rocks during seismic or acoustic researches of fields, and also to development of methods and tools for simulation of random oscillations in these systems.

A constructive algorithm for solving the problem has been developed, its programmatic implementation offered.

The methods and algorithms of simulating quasiperiodic oscillations under the influences of random external disturbances have been used to improve the Geological Interpretation Systems packages “GeoPoisk” and “Tesseral-2D”. Specialized utilities for the preliminary analysis of data obtained from geophysical investigations and their preparation for input into geological simulation packages have also been developed.

Keywords: mathematical simulation, nonlinear oscillations, white noise, difference-differential equation, seismic exploration.