Міністерство освіти і науки України

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна

Мазуренко Наталія Іванівна

УДК 515.12

ПОГЛИНАЮЧІ СИСТЕМИ В ГІПЕРПРОСТОРАХ,

ПОВ'ЯЗАНІ З ВИМІРОМ ГАУСДОРФА

01.01.04 – геометрія і топологія

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Зарічний Михайло Михайлович,

Львівський національний університет імені Івана Франка,

декан механіко-математичного факультету.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Семенов Павло Володимирович,

Московський міський педагогічний університет департаменту освіти

міста Москви, Російська Федерація,

професор кафедри математичного аналізу і методики його викладання;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Плахта Леонід Петрович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

імені Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів,

старший науковий співробітник відділу нелінійного математичного аналізу.

Провідна установа:Інститут математики НАН України, відділ топології (м. Київ).

Захист відбудеться  .05.2006 р. о 15-30 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 при Харківському національному університеті імені В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитись в Центральній науковій бібліотеці Харківського на-ціонального університету імені В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий 11.04.2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради _________________________ Скорик В. O.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задача топологічної характеризації (розпізнавання) топологічних об'єктів належить до класичних задач топології. Одержані в цьому напрямку результати знаходять широке застосування не лише в самій топології, а й у суміжних математичних дисциплінах (функціональному аналізі, теорії ймовірностей і т. п.). Вже на початку минулого століття було одержано характеризаційні теореми для деяких нульвимірних просторів (канторової множини, раціональних та ірраціональних чисел) та початкові результати в напрямку топологічної характеризації скінченновимірних многовидів – задачі, яка дотепер не одержала свого повного розв'язання.

У порівнянні зі скінченновимірними многовидами, ситуація виявилась простішою у випадку нескінченновимірних многовидів. На початковому етапі розвитку нескінченновимірної топології її об'єктами переважно були многовиди, модельовані на гільбертовому кубі (-многовиди) та гільбертовому просторі (-многовиди або -многовиди). Характеризаційні теореми для таких многовидів довів польський математик Г. ТоруньчикTorunczyk H. On CE-images of the Hilbert cube and characterization of Q-manifolds // Fund. Math. – 1980. – Vol. 106. – P. 31 – 40. Torunczyk H. Concerning locally homotopy negligible sets and characterisation of -manifolds // Fund. Math.–1978.–Vol. 101.–P.93–110.. Зауважимо, що однією зі складових частин теорем Торуньчика є властивість бути абсолютним околовим ретрактом (-простором), тобто бути околовим ретрактом кожного оточуючого метричного простору, що замкнено містить розглядуваний простір. Це дало значний поштовх започаткованій К. Борсуком Borsuk K. Theory of Retracts.–Warsaw: PWN.–1967. теорії ретрактів; з'явився цілий ряд результатів, що дозволяють встановити властивість бути -простором. Одержані характеризаційні теореми для -многовидів та -многовидів було застосовано до теорії гіперпросторів (просторів, елементами яких є замкнені, компактні і т. п. множини). Зокрема, нове, значно простіше доведення здобула теорема Веста - Кертіса - Шорі Curtis D.W., Schori R.M. Hyperspaces of Peano continua are Hilbert cubes// Fund. Math.–1978. – Vol. 101–P.19–38. про гіперпростори континуумів Пеано. Було описано також топологію гіперпросторів опуклих компактів Montejano L. The hyperspace of compact convex subsets of an open subset of // Bull. Pol. Acad. Sci. Math. –1987. – Vol. 35, №11/12 – P. 793 – 799. Nadler S. B., Quinn Jr. J., Stavrokas N. M. Hyperspace of compact convex sets //Pacif., J. Math. – 1979. – Vol. 83. – P. 441 – 462., гіперпросторів компактів в некомпактних просторах, суперрозширень Иванов А. В. Суперрасширения открыто-порождённых бикомпактов // Докл. АН СССР – 1981.–т. 259, № 2 –C. 275 – 278. (просторів максимальних зчеплених систем) та гіперпросторів включення. Зокрема, доведено, що суперрозширення (відповідно гіперпростір включення) метричного компакта гомеоморфний гільбертовому кубові тоді і лише тоді, коли цей компакт є невиродженим континуумом.

Параметрична версія характеризаційної теореми Торуньчика, доведена Торуньчиком і Вестом Torunczyk H., West J. Fibrations and bundles with Hilbert cube manifold fibers. – Mem. Am. Math. Soc. – 1989. – 406 – 75 p., дала змогу охарактеризувати локально тривіальні розшарування з шаром, що є -многовидом; разом зі спектральною технікою Щепіна дала змогу довести характеризаційну теорему для тихоновських многовидів, тобто многовидів, модельованих на тихоновському кубі незліченної ваги .

Характеризаційна теорема для -многовидів дала змогу знайти нове доведення теореми Бессаги-Пелчинського-Андерсона-Кадеця про гомеоморфізми сепарабельних банахових просторів. Ряд застосувань у функціональному аналізі здобули також характеризаційні теореми для многовидів, модельованих на несепарабельних гільбертових просторах.

Теорема Веста-Кертіса-Шорі про гіперпростір континуумів Пеано та теорема Надлера-Квінна-Ставрокаса Nadler S. B., Quinn Jr. J., Stavrokas N. M. Hyperspace of compact convex sets // Pacif., J. Math. – 1979. – Vol. 83. – P. 441 – 462. про гіперпростір опуклих компактів відкрили можливості для опису топології гіперпросторів (опуклих) компактів з певними топологічними чи геометричними властивостями. Першими результатами такого типу стали теореми про гіперпростори скінченних та нульвимірних компактів, компактів заданого виміру та когомологічного виміру.

Зупинимось на цьому дещо детальніше. У міжвоєнний період різними авторами (в основному польськими топологами) було одержано цілий ряд результатів про борелівський тип тих чи інших гіперпросторів. Для прикладу відзначимо, що, як показав Мазуркевич, гіперпростір локально зв'язних континуумів є множиною борелівського типу у гіперпросторі континуума Пеано. Оскільки останній гіперпростір, як завважено вище, гомеоморфний гільбертовому кубові, то природно постає питання про геометрію розміщення гіперпростору підконтинуумів Пеано в гіперпросторі та про опис топології самого гіперпростору підконтинуумів Пеано. Такого типу результати можна було одержувати лише після доведення відповідних характеризаційних теорем нескінченновимірної топології для пар просторів. Першими такими теоремами стали теореми Андерсона та Бессаги-Пелчинського про так звані -скелетоїди; вони дали змогу одержати топологічну характеризацію пари , де – псевдовнутрішність гільбертового куба (або, що еквівалентно, характеризацію доповняльної пари , де – псевдомежа гільбертового куба ), а також пари , де – підпростір фінітних послідовностей у гільбертовому кубі. При цьому характеризацію пар та було дано в термінах поглинання компактних (відповідно, компактних скінченновимірних) множин.

Простір , маючи борелівський тип , належить до першого адитивного борелівського класу . У фундаментальній праці Bestvina M., Mogilski J. Characterizing certain incomplete infinite-dimensional absolute retracts // Michigan Math. J. – 1986. – Vol. 33. – P. 291 – 313. М. Бествіна та Є. Могільські заклали основи теорії поглинаючих множин для довільних топологічних класів, зокрема, для довільних адитивних і мультиплікативних борелівських класів та . Вони означили універсальні поглинаючі множини та в цих класах та довели характеризаційні теореми для пар та . Застосування цих теорем дало змогу, зокрема, описати топологічний тип гіперпростору всіх континуумів Пеано в евклідовому просторі Gladdines H., van Mill J. Hyperspaces of peano continua of Euclidian spaces // Fund. Math. – 1993. – 142 – P. 174 –178., гіперпростору всіх -компактів Dobrowolski T., Rubin L. R. The space of ANR 's in .// Fund. Math. – 1994. – Vol. 146. – P. 31 – 58. і т.п.

Особливо важливі характеризаційні результати одержано в теорії виміру. Оскільки сім'я скінченновимірних просторів природно градуйована множиною невід'ємних цілих чисел, виникла потреба у характеризаційних теоремах, що описують топологію таких систем множин. Такого типу теореми існували в так званій теорії поглинаючих систем, що була розвинена Dijkstra J.J., van Mill J., Mogilski J. The space of infinite-dimensional compacta and other topological copies of //Pacific J. Math. – 1992. – Vol.152 – P. 255 – 273. van Mill J. Infinite-Dimensional Topology. – Amsterdam: Vrije Universiteit, 1989. – 401 p. van Mill J. The Infinite-Dimensional Topology of Function Spaces. – Amsterdam: Elsevier, 2001. – Vol. 64. –630p. як узагальнення теорії поглинаючих множин Бествіни-Могільського. Застосування цих характеризаційних теорем дало змогу одержати топологічний опис системи вигляду

(тут означає гіперпростір всіх компактів лебегового виміру ). Ряд наступних результатів стосувався поширення цього опису на інші простори замість , зокрема, на зліченні добутки континуумів Пеано Gladdines H. Absorbing systems in infinite-dimensional manifolds and applications. – Amsterdam: Vrije Universiteit, 1994. – 117 p. та на випадок континуума Пеано, кожна непорожня відкрита підмножина якого містить множини довільного скінченного виміру Cauty R. Suites -absorbantes en theorie de la dimension // Fundamenta Mathematicae. – 1999. – Vol. 159, № 1942. – P. 115 – 126.. Аналогічні результати одержано також і для когомологічного виміру Dobrowolski T., Rubin L. R. The hyperspace of infinite-dimensional compacta for covering and cohomological dimension are homeomorphic // Pacific J. Math. – 1994. – 164, № 1 – P. 15 – 39..

У фрактальній геометрії, метричній геометрії і т. п. вимір Гаусдорфа має більше значення, ніж топологічний (лебеговий) вимір. Це робить актуальною задачу опису топології гіперпростору компактів заданого виміру Гаусдорфа і, більш загально, геометрію систем (тут означає гіперпростір всіх компактів простору виміру Гаусдорфа ). Принципова новизна цієї задачі у порівнянні з дослідженням топології систем гіперпросторів компактів заданого лебегового та когомологічного виміру полягає також і в тому, що вперше одержуються застосування нескінченних поглинаючих систем, індексованих множинами, складнішими ніж натуральні числа, а навіть і незліченними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження проведене в рамках плану наукової роботи кафедри геометрії і топології Львівського національного університету імені Івана Франка за темою № МТ224Ф: "Тополого-алгебраїчні структури та їх застосування", номер державної реєстрації 0104И002128.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є топологічне розпізнавання гіперпросторів компактів заданого виміру Гаусдорфа та топологічна характеризація (частково) упорядкованих систем таких гіперпросторів. Для досягнення поставленої мети в дисертації потрібно розв'язати такі задачі: –

описати топологію систем гіперпросторів компактів та континуумів у яких вимір Гаусдорфа пробігає довільну зліченну підмножину в [0,n) (відп. [1,n)) з класу зліченних множин у просторах та відповідно, для простору , – області в та – зв'язного -вимірного компактного ріманового многовиду для (відп. ); –

описати топологію частково впорядкованої системи гіперпросторів компактів у гільбертовому кубі заданого виміру Лебега і виміру Гаусдорфа, де вимір Лебега пробігає множину невід'ємних цілих чисел, а вимір Гаусдорфа – довільну зліченну підмножину в , впорядковану за типом ; –

описати топологію зліченної системи функціональних просторів, пов'язаних з виміром Гаусдорфа, впорядкованої за типом .

Об’єкт дослідження – гіперпростори компактів з заданими властивостями.

Предмет дослідження – топологія систем гіперпросторів компактів заданого виміру Гаусдорфа.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використано результати і методи теорії поглинаючих систем у гільбертовому кубі та гільбертовому просторі, теорії виміру, фрактальної та метричної геометрії, функціонального аналізу, -теорії, теорії ріманових многовидів та загальної топології.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації вперше отримано такі нові результати: –

визначено борелівський тип гіперпростору компактів заданого виміру Гаусдорфа; –

для (відп. ) описано топологію системи (відп. ) гіперпросторів компактів (континуумів) заданого виміру Гаусдорфа у просторі (відп. ), де пробігає клас зліченних цілком впорядкованих множин та деякі інші класи зліченних підмножин в , для простору -вимірного куба, області в та зв'язного -вимірного компактного ріманового многовиду. Показано, що система (відп. ) є -поглинаючою у просторі (відп. ) у випадку незліченної множини , а саме, коли (відп. ); –

для (відп. ) описано топологію пари (відп. ), для простору -вимірного куба, області в та зв'язного -вимірного компактного ріманового многовиду; –

описано топологію зліченної частково впорядкованої системи гіперпросторів компактів заданого виміру Лебега і виміру Гаусдорфа у гільбертовому кубі, де вимір Лебега пробігає множину невід'ємних цілих чисел, а вимір Гаусдорфа – довільну зліченну підмножину в , впорядковану за типом (множина ); –

описано топологію зліченної системи просторів функцій, визначених на , графіки яких мають заданий вимір Гаусдорфа, а множина впорядкована за типом .

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані в топології нескінченновимірних многовидів, теорії виміру, фрактальній геометрії, теорії функцій.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації одержано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на міжнародній конференції "Functional Analysis and its Applications" присвяченій 110-ій річниці С. Банаха (Львів, 2002р.); на міжнародній конференції "Комплексний аналіз і його застосування" (Львів, 2003р.); на ІІІ Всеукраїнській науковій конференції "Нелінійні проблеми аналізу" (Івано-Франківськ, 2003р.); на міжнародній конференції "Geometric Topology: Infinite – Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications" (Львів, 2004р.); на засіданнях Львівського міського семінару "Topology and its Applications" (Львів, 2003 – 2004рр.); на засіданнях наукового семінару факультету математики та інформатики Прикарпатського університету імені Василя Стефаника (Івано-Франківськ, 2001 – 2004рр.).

Публікації. За матеріалами проведених досліджень опубліковано 8 статей та тез конференцій. Серед публікацій 4 праці у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 69 найменувань (на 6 сторінках). Повний обсяг роботи становить 112 сторінок. Для її оформлення використано видавничу систему LaTeX .

Автор висловлює щиру подяку професору Михайлу Михайловичу Зарічному за наукове керівництво.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Надалі використовуватимемо такі позначення: через позначаємо інтервал , – -вимірний куб. Далі, – простори всіх натуральних, раціональних і дійсних чисел відповідно. Гільбертів куб – це зліченний нескінченний добуток .

Стандартний сепарабельний гільбертів простір позначаємо .

Вживаючи термін простір, розуміємо сепарабельний метризовний топологічний простір. Якщо не зазначено інше, всі функції і відображення між просторами вважаємо неперервними.

Нехай – простір і . Для деякого невід'ємного дійсного числа і означимо

,

де інфінум береться по всіх -покриттях множини .

Нехай . Тоді існує єдине дійсне число – вимір Гаусдорфа множини – таке, що якщо і якщо . Позначаємо . Для довільного дійсного числа через (відповідно через ) позначаємо підпростір простору (відп. ), всі елементи якого мають вимір Гаусдорфа . За аналогією означуємо підпростори , (відп. , ). Для дійсного та цілого невід’ємного через позначаємо підпростір простору , всі елементи якого мають вимір Гаусдорфа і вимір Лебега .

У вступі дисертації розкрито суть і стан наукової проблеми, якій присвячене дисертаційне дослід-ження, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі до-слідження.

У першому розділі окреслено основні етапи розвитку наукової думки за даною проблемою, детальніше висвітлено публікації, що близькі до тематики дисертаційної роботи, відзначено ті питання які залишились невирішеними або потребують глибшого дослідження.

У другому розділі дисертації наведено деякі допоміжні відомості з загальної топології, -теорії, теорії виміру, теорії поглинаючих систем у гільбертовому кубі, фрактальної та метричної геометрії, які використовуються у наступних розділах дисертації.

Третій розділ присвячений дослідженню деяких зліченних і незліченних поглинаючих систем пов’язаних з виміром Гаусдорфа у гіперпросторах та гіперпросторах континуумів.

Теорема 3.8. Нехай , – довільна зліченна впорядкована множина з класу , – область в , тоді

(1) якщо , то існує гомеоморфізм такий, що для кожного

;

(2) якщо і , то існує гомеоморфізм такий, що для кожного

.

У четвертому розділі дисертаційної роботи досліджуються гіперпростори компактів із заданими вимірами Гаусдорфа та Лебега у гільбертовому кубі.

Підрозділ 4.1 присвячено опису модельної частково впорядкованої поглинаючої системи у гільбертовому кубі. Нехай , – дві довільні спадні системи множин (множини і впорядковані відношенням ). Добутком, таких систем вважаємо систему множин – частково впорядковану відношенням : якщо і тільки якщо і , де , .

Вважаємо, що простір задовольняє властивість -наближення, якщо для кожного компактного простору кожне відображення , що є -вкладенням на деякій компактній підмножині в , можна достатньо наблизити -вкладенням для якого .

Нехай – довільний топологічний, спадково-замкнений клас просторів.

Теорема 4.1. Для нехай простір – метризовний, топологічно повний який задовольняє властивість -наближення і – зліченна, впорядкована відношенням , множина з першим елементом. Якщо система є сильно -універсальною у просторі для , то система є сильно -універсальною у просторі .

Наслідок 4.2. Якщо і спадна система множин є -поглинаючою у просторі (для ), то добуток є -поглинаючою системою у просторі .

Наслідок 4.3. Система є - поглинаючою у просторі .

У підрозділі 4.2 розглядається система множин , заіндексована частково впорядкованою множиною , де , . Для того, щоб система зберігала порядок індексів відносно включення, індексна множина розглядається з оберненим порядком і, крім того, вимагається виконання необхідної умови: . Позначимо .

Теорема 4.4. Система – -поглинаюча у просторі .

Наслідок 4.5. Пара гомеоморфна парі .

Метою п'ятого розділу дисертаційної роботи є дослідження послідовностей неперервних функцій, визначених на -вимірному кубі, для яких вимір Гаусдорфа їх графіків набуває фіксованих значень із заданої впорядкованої множини (з очевидних міркувань випливає, що такий вимір може набувати значення з інтервалу . Головний результат полягає в тому, що такі послідовності є поглинаючими послідовностями для класу -просторів.

Для i позначаємо . Для довільного зафіксуємо довільну зліченну множину для якої . Розглянемо тепер відповідну послідовність підпросторів простору .

Теорема 5.7. Якщо , – довільна зліченна множина для якої , то існує гомеоморфізм такий, що для кожного

.

ВИСНОВКИ

У дисертації вперше в теорії виміру одержується застосування теорії нескінченних поглинаючих систем, індексованих множинами, складнішими, ніж множина натуральних чисел, навіть і незліченними. Основні результати дисертації доповнюють вже відомі результати про топологічну будову гіперпросторів, одержані в теорії виміру.

У дисертації отримано такі результати: –

описано зліченну -поглинаючу систему у гільбертовому кубі, яка може бути модельною для зліченних -поглинаючих систем довільного впорядкування; –

описано -поглинаючу систему у гільбертовому кубі, яка може бути модельною для зліченної, частково впорядкованої -поглинаючої системи; –

описано борелівський тип гіперпростору компактів, вимір Гаусдорфа яких не перевищує довільного, наперед заданого, дійсного додатнього числа; –

для (відп. , ) описано топологію системи (відп. ) гіперпросторів компактів (континуумів) заданого виміру Гаусдорфа у просторі (відп. ), де – довільна зліченна підмножина множини (відп. ) з класу зліченних множин (тут – клас зліченних множин, який складається з цілком впорядкованих множин, множин, скінченна похідна яких дорівнює , та множин, порядково ізоморфних множині раціональних чисел ), для простору , – області в та – зв'язного -вимірного компактного ріманового многовиду; –

доведено, що система (відп. ) є -поглинаючою у просторі (відп. ) у випадку – незліченної множини, а саме, коли () для (відп. ); –

для (відп. ) описано топологію пари (відп. ), для простору , – області в та – зв'язного -вимірного компактного ріманового многовиду; –

описано топологію зліченної частково впорядкованої системи гіперпросторів компактів заданого виміру Лебега і виміру Гаусдорфа у гільбертовому кубі, де вимір Лебега пробігає множину невід'ємних цілих чисел, а вимір Гаусдорфа – довільну зліченну, впорядковану за типом , підмножину в ; –

описано топологію зліченної, впорядкованої за типом , системи просторів функцій, означених на , графіки яких мають заданий вимір Гаусдорфа.

Результати роботи мають теоретичний характер і можуть бути використані в топології нескінченновимірних многовидів, теорії виміру, фрактальній геометрії, теорії функцій.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Анотація

Мазуренко Н. І. Поглинаючі системи в гіперпросторах, пов’язані з виміром Гаусдорфа.– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 – геометрія і топологія. – Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, Харків, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню топології гіперпросторів компактів заданого виміру Гаусдорфа. Якщо – метричний компакт, у гіперпросторі природно виникає система підмножин , де множина всіх компактів в з властивістю . У 90-х роках минулого століття було розвинено потужну техніку поглинаючих систем, яку зразу ж було застосовано до опису топологічного типу систем гіперпросторів, пов’язаних з поняттям лебегового виміру. Застосування тут знайшли лише поглинаючі системи, індексовані підмножинами множини натуральних чисел. На відміну від топологічного виміру, вимір Гаусдорфа, маючи неперервну шкалу значень, дозволяє розглядати складніші системи множин, які, зокрема, можуть бути індексовані незліченними множинами.

У дисертації автором описано топологію систем множин компактів (континуумів) заданого виміру Гаусдорфа у гіперпросторі скінченновимірного куба , індексованих зліченними множинами деякого класу , що містить, зокрема, цілком впорядковані множини, множини з порожньою скінченною похідною та множини, порядково ізоморфні множині раціональних чисел. Ці результати поширено на випадок гіперпростору області в та -вимірного компактного зв’язного ріманового многовиду. Доведено, що система таких множин у гіперпросторі скінченновимірного куба , індексована множиною , є -поглинаючою системою. У гіперпросторі гільбертового куба , описано топологію частково впорядкованої системи множин компактів із одночасно заданими вимірами Гаусдорфа та Лебега. Результати теорії поглинаючих систем у -многовидах у дисертації застосовано, також, для опису топології послідовності множин функцій, означених на скінченновимірному кубі, графіки яких мають заданий вимір Гаусдорфа.

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані в топології нескінченновимірних многовидів, теорії виміру, фрактальній геометрії, теорії функцій.

Ключові слова: гіперпростір, вимір Гаусдорфа, гільбертів куб, гільбертів простір, поглинаюча система.

Аннотация

Мазуренко Н. И. Поглощающие системы в гиперпространствах, связанные с размерностью Хаусдорфа. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по спе-циальности 01.01.04 – геометрия и топология. – Харьковский национальный универси-тет имени В. Н. Каразина, Харьков, 2006.

Диссертация посвящена исследованию топологии гиперпространств компактов заданной размерности Хаусдорфа. Задача топологической характеризации (различения) топологических объектов принадлежит к классическим задачам топологии. Полученные в этом направлении результаты широко применяются не только в самой топологии, но и в смежных математических дисциплинах (функциональном анализе, теории вероятностей и т.п.). Если – метрический компакт, в гиперпространстве естественно возникает система подмножеств , где множество всех компактов в со свойством (здесь обозначает размерность Хаусдорфа). В 90-х годах прошлого века была развита мощная техника поглощающих систем, которая сразу же была применена к описанию топологического типа систем гиперпространств, связанных с понятием лебеговой размерности. Применение здесь нашли только погло-щающие системы, индексированы подмножествами множества натуральных чисел. В отличии от топологической размерности, размерность Хаусдорфа, имея непрерывную шкалу значений, позволяет рассматривать более сложные системы множеств, которые, в том числе, могут быть индексированы несчётными множествами.

В диссертации автором описана счётная -поглощающая система в гильбертовом кубе, которая может быть моделью для счётных -поглощающих систем произвольного упорядочения. Также рассмотрена -поглощающая система в гильбертовом кубе, которая может быть моделью для счётной частично упорядеченной -поглощающей системы. Доказано, что гиперпространство компактов, размерность Хаусдорфа которых не превышает любого, наперёд заданного, действительного положительного числа, имеет борелевский тип . Описана топология систем множеств компактов (континуумов) заданной размерности Хаусдорфа в гиперпространстве конечномерного куба , индексированных счётными множествами из определённого класса , который состоит, в том числе, из вполне упорядоченных множеств, множеств с пустой конечной производной и множеств, упорядоченно изоморфных множеству рациональных чисел. Используя эти результаты, для (соответственно ) описана топология пары (соответственно ). Эти результаты распростране-ны на случай гиперпространства области в и -мерного компактного связного риманова многообразия. Доказано, что система таких множеств в гиперпространстве конечномерного куба , индексирована множеством , есть -поглощающей системой. В гиперпространстве гильбертова куба описана топология частично упорядоченной системы множеств компактов c заданными одновременно размерностями Хаусдорфа и Лебега. Результаты теории поглощающих систем в -многообразиях в диссертации применены также к описанию топологии последовательности множеств функций, определённых на конечномерном кубе, графики которых имеют заданную размерность Хаусдорфа.

В дисертации использованы результаты и методы теории поглощаюших систем в гильбертовом кубе и гильбертовом пространстве, теории размерности, фрактальной и метрической геометрии, функционального анализа, ANR-теории, теории римановых многообразий и общей топологии. Основные результаты диссертации дополняют уже известные результаты о топологическом строении гиперпространств, которые получены в теории размерности.

Результаты диссертации имеют теоретический характер и могут быть использованы в топологии бесконечномерных многообразий, теории размерности, фрактальной геометрии, теории функций.

Ключевые слова: гиперпространство, размерность Хаусдорфа, гильбертов куб, гильбертово пространство, поглощающая система.

Abstract

Mazurenko N. I. Absorbing systems in the hyperspace related to the Hausdorff dimension. – Manuscript.

Thesis for search of Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph. D.) by speciality 01.01.04 – geometry and topology. – Kharkiv National V. N. Karazin University, Kharkiv, 2006.

The thesis is devoted to investigations of topology of the hyperspaces of compact metric spaces with given Hausdorff dimension. For a compact metric space , a system of sets , where denotes the set of all compacta with , naturally arises in the hyperspace . A powerful technique of absorbing systems was developed; this technique was applied to description of the topological type of the systems of hyperspaces related to the Lebesgue dimension. There were applied only the systems indexed by subsets of the set of natural numbers. Unlikely to the topological dimension, the Hausdorff dimension, with its uncountable range, allows us to consider more complicated systems of sets that, in particular, can be indexed by uncountable sets.

In the thesis, the authors describes the topology of systems of compacta (continua) with given Hausdorff dimension in the hyperspace of finite-dimensional cube indexed by countable families of some class that contains, in particular, well-ordered sets, sets with empty finite derivative, and sets order isomorphic to the set of rationals. These results are extended to the case of hyperspace of domains in as well as Riemannian manifold. It is proved that the system of such sets in the hyperspace of a finite-dimensional cube indexed by the set is an -absorbing system. In the hyperspace of the Hilbert cube , the topology of a partially ordered system of sets of compacta with simultaneously given Hausdorff and Lebesgue dimensions is described. The results of the theory of absorbing systems in -manifolds are applied in the thesis to the description of topology of sets of functions, defined on a finite-dimensional cube whose graphs are of given Hausdorff dimension.

The results of thesis are of theoretical character and can be applied in the topology of infinite-dimensional manifolds, dimension theory, fractal geometry, theory of functions.

Key words: hyperspace, Hausdorff dimension, Hilbert cube, Hilbert space, absorbing system.