МІ-НІ-С-ТЕР-С-Т-ВО ОСВІ-ТИ І НА-У-КИ УКРА-Ї-НИ

ОДЕСЬ-КИЙ НА-ЦІ-О-НА-ЛЬ-НИЙ УНІ-ВЕР-СИ-ТЕТ

ІМЕ-НІ І. І. МЕЧНИКОВА

МАХНЕЙ ОЛЕКСАНДР ВО-ЛО-ДИ-МИ-РО-ВИЧ

УДК 517.927

СИНГУЛЯРНІ КВАЗІДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ ОПЕРАТОРИ

НА СКІНЧЕННОМУ ІНТЕРВАЛІ

01.01.02 - ди-фе-ре-н-ці-а-ль-ні рі-в-нян-ня

АВ-ТО-РЕ-ФЕ-РАТ

ди-се-р-та-ції на здо-бут-тя на-у-ко-во-го сту-пе-ня

ка-н-ди-да-та фі-зи-ко--ма-те-ма-ти-ч-них на-ук

Одеса – 2005

Дисертацією є ру-ко-пис.

Ро-бо-та ви-ко-на-на на кафедрі будівельної механіки Національного університету “Львівська політехніка”.

На-у-ко-вий ке-рі-в-ник - до-к-тор фі-зи-ко--ма-те-ма-ти-ч-них на-ук, про-фе-сор Тацій Роман Мар’янович, Національний університет “Львівська політехніка”, професор кафедри “Мости та будівельна механіка”

Офі-цій-ні опо-не-н-ти:

доктор фі-зи-ко--ма-те-ма-ти-ч-них на-ук, професор Сторож Олег Георгійович, Львівський національний університет імені Івана Франка (м. Львів), професор кафедри математичного і функціонального аналізу;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Щоголев Сергій Авенірович, Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова (м. Одеса), доцент кафедри вищої математики.

Про-ві-д-на уста-но-ва – Інститут математики НАН України, відділ диференціальних рівнянь та теорії коливань, м. Київ.

За-хист від-бу-деть-ся 4 березня 2005 р. о 1500 го-ди-ні на за-сі-дан-ні спе-ці-а-лі-зо-ва-ної вче-ної ра-ди К .051.05 у Одесько-му на-ці-о-на-ль-но-му уні-вер-си-те-ті іме-ні І. І. Мечникова за ад-ре-сою: 65026, м. Одеса, вул. Дворянсь-ка, 2, аудиторія 73.

З ди-се-р-та-ці-єю мо-ж-на озна-йо-ми-тись у на-у-ко-вій біб-ліо-те-ці Одесько-го на-ці-о-на-ль-но-го уні-вер-си-те-ту іме-ні І. І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24.

Ав-то-ре-фе-рат ро-зі-сла-ний 31 січня 2005 р.

Вче-ний се-к-ре-тар спе-ці-а-лі-зо-ва-ної вче-ної ра-ди Вітюк О. Н.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Диференціальні рівняння з узагальненими функ-ці--я-ми в коефіцієнтах і правих частинах є сучасними математичними моделями фізичних явищ дискретно-неперервної природи. Це – новий напря-мок у теорії диференціальних рівнянь і певні аспекти його ще зовсім не розвинені. Необ-хід-ність дослідження таких проблем продиктовано реальними задачами, що вини-кають при дослідженні систем із дискретно-неперервним розподілом пара-мет-рів.

Вивченню властивостей лінійних диференціальних операторів на скінчен-ному проміжку присвя-чено ряд робіт. В них, зокрема, досліджується несамо-спря-жений диференціальний оператор із сумовними за Лебегом коефіцієнтами. Актуальним є поширення цих результатів на випадок квазідиференціальних операторів, коли коефіцієнти відповідних квазідиференціальних рівнянь є мірами.

Перші спроби це здійснити були запропоновані ще в 50-х роках минулого століття в роботах І. С. Каца, М. Г. Крейна і Ф. Р. Гантмахера, де детально вивчались крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь другого і четвертого порядків, які описують відповідно вільні коливання струни та балки, що крім неперервно розподіленої маси несуть на собі ще й точкові маси – бусинки.

Взагалі кажучи, рівняння з узагальненими коефіцієнтами містять в собі проблему множення узагальнених функцій на розривні, а останні добутки не завжди існують в сенсі теорії узагальнених функцій. Важливий внесок у розвиток теорії узагальнених диференціальних та пов’язаних з ними інтег-ральних систем зроблено в роботах П. Антосіка, Ф. Аткінсона, Д. Векс-лє-ра, В. Я. Дер-ра, Ю. В. Єгорова, С. Т. Заваліщина, А. Ю. Левіна, Я. Лігези, Н. А. Пе-рестюка, Я. В. Радино, А. М. Самойленка, О. М. Сєсєкіна, Т. Гільде-брандта, С. Швабіка та інших авторів.

В роботах Р. М. Тація та його учнів В. В. Кісілевича, Б. Б. Пахолка, М. Ф. Стасюк, започатковано і розвинуто напрямок в теорії узагальнених диференціальних рівнянь, який ґрунтується на новому коректному означенні розв’язку і критеріях коректності диференціальних рівнянь, явно виражених через коефіцієнти і праві частини цих рівнянь. На основі концепції квазі-по-хід-них побудовано лінійну теорію скалярних і матричних квазідиференціальних рівнянь з коефіцієнтами-мірами і правими частинами – узагальненими похід-ни-ми високих порядків від функцій обмеженої варіації. В роботах цих авторів і В. В. Мазуренка отримано основні положення спектральної теорії крайових задач для таких рівнянь із самоспряженими квазідиференціальними виразами. В той же час, вартим уваги є дослідження спектральних властивостей несамо-спря-жених задач, що є предметом досліджень в даній дисертаційній роботі.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, тема-ми. Дисер-та-ційне дослідження проведене в рамках наукового плану кафедри будівельної механіки Національного університету “Львівська політехніка” за напрямом “Розвиток методів розрахунку міцності, стійкості і коливання інженерних конструкцій і споруд, направлених на розробку принципово нових конструк-тив-них форм” (зареєстрований картою РК шифр КСМ-1).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи – отримати властивості сингулярних квазідифе-рен-ці-альних операторів довільного порядку і більш загальних крайових задач на скінченному про-між-ку. Задачі дисертаційного дослідження: вивчення асимптотичної поведінки власних значень і влас-них функцій сингулярних квазідиференціальних операторів і більш загальної крайової задачі з вагою на скінченному проміжку, побудова розвинення в ряди за власними функціями вказаних операторів.

Дослідження асимптотичної поведінки власних значень і власних функцій спирається на побудову асимптотики фундаментальної системи розв’язків і їхніх квазіпохідних при великих значеннях параметра відповідних квазідиференціальних (диференціальних) рівнянь. Вивчення останньої здійсню-ється за допомогою концепції квазіпохідних шляхом застосування методу інтегро-квазідиференціальних та інтегро-диференціальних рівнянь і оцінок функції Коші та її змішаних квазі-похідних. В роботі побудовано функ-цію Гріна, для вивчення її властивостей застосовано лінійну теорію квазіди-фе-ренціальних рівнянь, спряжені крайові умови та основну лему варіаційного числення. Побудова розви-нення за власними функціями спирається на оцінку дослідженої в роботі функції Гріна, структуру функції Коші і елементи теорії лишків.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше досліджено асимптотику власних значень і власних функцій сингулярних квазідиференціальних операторів (а також більш загальної крайо-вої задачі), породжених несамоспряженими квазідиференціальними виразами з мірами; узагальнено відомі результати щодо асимптотичної поведінки власних значень і власних функцій крайової задачі для диференціального рівняння з вагою при параметрі на випадок, коли частина коефіцієнтів є мірами; вперше побудовано спряжені крайові умови в явному вигляді через квазіпохідні спряженої задачі; вперше побудовано функцію Гріна (і досліджено її властивості) для квазідиференціального оператора з мірами, породженого несамоспряженим квазідиференціальним виразом; доведено теореми про розвинення за власними функціями задач на власні значення для розглянутих класів рівнянь.

Практичне значення одержаних результатів. Результати ди-сер-тації носять теоретичний характер і є певним внеском у побудову загальної теорії крайових задач для диференціальних і квазідиференціальних рівнянь. Їх також можна використати для дослідження математичних моделей реальних фізичних процесів і явищ дискретно-неперервної природи: коливання і стійкість систем (стержнів, пластинок і т. п.) з дискретно-неперервним розподілом параметрів (зосереджені маси, моменти, жорсткості, узагальнені зовнішні зусилля і т.п.), теплопровідність тіл з точковими внутрішніми і зовнішніми джерелами тепла тощо.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних роботах [, , , ] науковому керівнику Та-цію Р. М. належить постановка задач, передбачення та аналіз отриманих здо-бу--вачем результатів. У роботі [] автору дисертації належить побудова функції Гріна та вивчення її властивостей, в [] – дослідження асимптотики власних значень, а в роботах [, ] – доведення основ-них результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації допо-ві-дались та обговорювались на Міжнародній школі-семінарі „Ланцюгові дроби, їх уза-гальнення та застосування” (Ужгород, 19–24 серпня 2002 р.); на Міжнародній науковій конференції „Шості Боголюбовські читання” (Чернівці, 26–30 серпня 2003 р.); на III Всеукраїнській науковій конференції „Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 9–12 вересня 2003 р.); на конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Під-стри-гача (Львів, 24-26 травня 2004 р.); на Міжнародній математичній конфе-рен-ції ім. В. Я. Скоробогатька (Дрогобич, 27 вересня – 1 жовтня 2004 р.); на засіданнях Львівського міського семінару з диференціальних рівнянь (Львів, 2002–2003 рр.); на засіданнях наукових семінарів кафедри математичного і функціонального аналізу ЛНУ ім. Івана Франка (Львів, 2001–2004 рр.); на засіданнях наукових семінарів кафедри будівельної механіки НУ „Львівська політехніка” (Львів, 2000–2002 рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 9 роботах. В їх числі: 1 – в науковому журналі, 3 – у збір-ни-ках наукових праць і 5 – у матеріалах та тезах наукових конференцій. Серед публікацій – 4 праці у наукових фахових виданнях ВАК України і інших країн.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку викорис-та-них джерел, що містить 135 найменувань. Повний обсяг роботи становить 147 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку професору Р. М. Тацію за наукове керівництво і корисні поради при написанні роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Надалі будемо використовувати такі позначення: – множини натуральних, дійсних і комплекс-них чисел відпо-відно; – відкритий інтервал та відрізок дійсної осі; – число, комплексно спряжене до числа a; – вектор-стовпець;  – лінійний простір комплексних матриць з нормою ; – прос-тір оператор-функцій таких, що їх компоненти є неперервними справа на відрізку [a, b] скалярними функціями обмеженої варіації, такими, що ; – прос-тір числових функцій , сумовних за Лебегом у p-му степені на відрізку [a, b]; – простір Соболєва функцій, s-та похідна яких належить простору ; – стрибок функції у точці ; o(1) для означає функцію вигляду таку, що достатньо малого таке, що для ; означає функцію вигляду , де для і деяких сталих L і N.

У вступі дисертації розкрито сутність і стан наукової проблеми, обґрунтовано актуальність тематики дисертації, сформульовано мету і задачі досліджень.

У першому розділі окреслено основні етапи розвитку наукової думки за тематикою дисер-та-ції, викладено загальну методику досліджень, наведено деякі допоміжні відомості, що вико-ристо-ву-ються у наступних розділах, а також сформульовано постановку задачі, яка досліджується у двох наступних розділах роботи.

В дисертації розглядається крайова задача

,

,

де на , , л – комплексний параметр, – комплекс-ні числа, а квадратними дужками тут позначено квазіпохідні, які вводяться для рівняння формулами

За допомогою вектора рівняння зводиться до диференціальної систе-ми

.

Диференціювання і рівність в і розуміємо в сенсі теорії узагальнених функцій, вважаючи, що система і відповідне їй рівняння є коректними у тому розумінні, що виконується умова . Під розв’язком коректної диференціальної системи розуміється функція з класу , що задовольняє рівність в сенсі теорії узагаль-не-них функцій , де – вектор, складений з неперервних фінітних на [a, b] функцій.

Ква-зі-диферен-ці-аль-ний вираз , визначений формулою , і крайові умови породжу-ють квазідиференціальний оператор L з областю визначення

який діє з простору в простір мір.

Другий розділ присвячено дослідженню асимптотичної поведінки власних значень і власних функцій крайової задачі , . Як допоміжний результат, у підрозділі 2.1 будується асимптотика для великих значень параметра фундаментальної системи розв’язків рівняння .

Нехай , а – всі різні корені r-го степеня з . Всю комплексну с-площину можна розбити на сектори , . Через позначимо сектор (з вершиною в точці ), що утворюється з шляхом зсуву . Області і називатимемо просто областями і .

У пункті 2.1.1 розглядається спрощене квазідиференціальне рівняння без мір, для якого на основі результатів В. С. Рихлова побудовано асимптотику для великих значень параметра фундаментальної системи розв’язків та їхніх квазіпохідних. У наступному пункті, як допоміжний результат, отримано асимптотичні формули для квазіпохідних функції Коші цього ж квазідифе-рен-ці-аль-ного рівняння. Пункт 2.1.3 присвячено переходу від спро-ще-ного квазідиференціального рівняння без мір до більш загального квазіди-фе-рен-ціального рівняння з мірами. За допомо-гою результатів попереднього пункту і розуміння доданків, які містяться в , але відсутні у спрощеному рівнянні, як “неоднорідності”, тобто правої частини квазідифе-рен-ціального рівняння , отримано систему інтегро-квазідиферен-ці-аль-них рівнянь типу Вольтер-ра-Стільтьєса, аналіз якої здійснюється в наступних пунктах.

У пункті 2.1.4 доведено допоміжну лему і сформульовано основний результат підрозділу 2.1.

Теорема 2.1. За вищезгаданих умов на коефіцієнти квазідиферен-ціаль-но-го рівняння , воно у всій області комплексної с-площини має r лінійно незалежних розв’язків , регуляр-них відносно для досить великих і таких, що для задовольняють співвідно-шен-ня

,

де

.

У підрозділі 2.2 досліджується асимптотика власних значень і власних функцій крайової задачі , . Зокрема, у пункті 2.2.1 вводиться означення регулярних крайових умов та аналізується його близькість до відомих з літератури означень регулярності. За допомогою операції нормування крайові умови можна подати у вигляді

,

де .

Нехай

з – деяке, взагалі кажучи, комплексне число, .

Означення 2.1. Для r непарного (r = 2м – 1) нормовані крайові умови назвемо регулярними для розглядуваної задачі , , якщо числа і , що визначаються співвідношенням

,

відрізняються від нуля. Для r парного (r = 2м) нормовані крайові умови називатимемо регулярними для цієї задачі, якщо будуть відмінними від нуля числа і , що визначаються рівністю

,

де визначник D відрізняється від визначника з тим, що ()-й стовпець складається з елементів .

Пункт 2.2.2 присвячено прикладу регулярних крайових умов типу Штурма, а у пункті 2.2.3 з’ясовується асимптотика власних значень крайової задачі , .

Теорема 2.2. Власні значення задачі на власні значення , з регулярними крайовими умовами утворюють дві нескінченні послідовності , де . Для непарного r

де , верхній знак відповідає r = 4p – 1, а нижній – ; – деяке фік-соване значення натурального логарифма, а і – корені рівнян-ня , що відповідає області з q відповідно непарним і пар-ним.

Для парного r, r = 2м і

де і – корені рівняння

,

що відповідає області ; причому верхній знак у формулах відповідає парному, а нижній – непарному м.

Нарешті, для парного r, r = 2м і

де о – (двократний) корінь рівняння , що відповідає області , а вибір верхнього чи нижнього знака у формулах слід здійснювати за тим самим правилом, що й у формулах .

У перших випадках всі власні значення, починаючи з деякого, є простими, а в останньому (формули ), – починаючи з деякого, простими чи дво-кратними.

Пункт 2.2.4 містить теореми 2.3 і 2.4, які стосуються побудови асимптотики власних функцій крайової задачі , з точністю до o(1) при .

Підрозділ 2.4 присвячено частинному випадку крайової задачі , з гладкими коефіцієн-та-ми (всі решта коефіцієнтів задовольняють накла-де-ні на них у першому розділі умови). У пункті 2.4.2 отримано уточнену асимптотичну поведінку для великих значень параметра фундамен-таль-ної системи розв’язків рівняння , в якій у замість o(1) для фігурує .

Пункт 2.4.3 містить зауваження про те, що за цих умов будуть справедливими аналоги теорем 2.2, 2.3 і 2.4 з уточненими оцінками вигляду замість , замість і замість o(1) у формулах для власних значень і власних функцій.

У третьому розділі побудовано спряжені крайові умови, функцію Гріна крайової задачі , , досліджено її властивості, а також одержано розвинення за власними функціями крайової задачі.

У підрозділі 3.1 будуються спряжені крайові умови. Пункт 3.1.1 показує, що, якщо крайові умови для квазідиференціального рівняння записуються в термінах квазіпохідних , то крайові умови спряженої крайової задачі обов’язково повинні будуватись за допомогою квазіпохідних в сенсі рівняння, спряженого до рівняння .

У наступному пункті наведено приклад спряжених крайових умов у випадку квазідиференці-ального рівняння другого порядку.

У пункті 3.1.3 вводиться поняття спряженого квазідиференціального оператора L*, пород-же-ного спряженим квазідиференціальним виразом і спряженими крайовими умовами.

Підрозділ 3.2 присвячено побудові функції Гріна квазідиференціального оператора L – лу1 і дослідженню її властивостей.

Теорема 3.1, зокрема, стверджує, що розв’язок крайової задачі

,

де , з крайовими умовами в припущенні, що л не є її власним значенням, можна подати у вигляді

,

а функція Гріна разом зі своїми квазіпохідними за першою змінною до (n – 1)-го порядку є неперервною функцією двох змінних x, t і абсолютно неперервною за кожною змінною при фіксованій іншій, в той же час, старші квазіпохідні мають обмежену на проміжку [a, b] варіацію за першою змінною і (на відміну від «класичного» випадку гладких коефіцієнтів), взагалі кажучи, є розривними. Крім того, функція Гріна за змінною x задовольняє рівняння і крайові умови .

У пункті 3.2.2 отримано, як допоміжний результат, розв’язувальне ядро (матричний аналог скалярної функції Гріна) для системи диференціальних рівнянь , до якої за допомо-гою вектора зводиться квазідиференціальне рівняння .

У пункті 3.2.3 за допомогою розв’язувального ядра з’ясовано зв’язок між функціями Гріна спряжених крайових задач.

Теорема 3.2. Для , якщо л не є власним значенням крайової задачі , , функції Гріна спряжених крайових задач пов’язані між собою співвідношенням

.

У підрозділі 3.3 досліджуються можливості розвинення функцій в ряди за власними функціями крайової задачі , . У теоремі 3.3 встановлено, як допоміжний результат, оцінку зверху функції Гріна квазідиференціального оператора L – лу1 у випадку регулярних крайових умов.

Пункт 3.3.2 присвячено розвиненню функцій з області визначення оператора L.

Теорема 3.6. Нехай всі власні значення крайової задачі , з регулярними крайовими умовами є простими полюсами функції Гріна. Тоді будь-яка функція з області визначення квазідиференціального оператора L розвивається у рівномірно збіжний ряд за власними функціями крайової задачі ,

,

де за виконання умови нормованості

,

а , – власні функції крайових задач , і спряженої до неї, відповідні власним значенням і .

При додатковому припущенні, що і для парного r, крім того, справджується нерівність , для крайової задачі , у пункті 3.3.4 отримано більш сильний результат: власні функції утворюють базис Рісса в , тобто будь-яку функцію з можна розвинути в ряд за власними функціями крайової задачі , .

У підрозділі 3.4 розглянуто приклад, який демонструє можливості застосування отриманих у дисертаційній роботі результатів до розв’язання прикладних задач механіки.

Четвертий розділ присвячено дослідженню як асимптотики власних значень і власних функцій, так і розвиненню за ними у випадку крайової задачі для звичайного диференціального рівняння.

Підрозділ 4.1 є аналогом підрозділу 2.1 для асимптотики фундаментальної системи розв’язків. У пункті 4.1.1 розглядається крайова задача

,

,

де на , .

За допомогою вектора рівняння зводиться до системи типу коректної внаслідок того, що .

У пункті 4.1.2 наведено деякі відомі результати щодо спряженого квазідиференціального рівняння і функції Коші.

У пункті 4.1.3 отримано асимптотику фундаментальної системи розв’язків спрощеного диференціального рівняння

.

Нехай , а  – всі різні корені n-го степеня з –1. Як і в пункті 2.1.1, всю комплексну с-площину можна розбити на 2n секторів і 2n секторів , які будемо називати просто областями і .

Пункт 4.1.4 є аналогом пункту 2.1.2 для диференціального рівняння і в ньому одержано асимптотичні формули для похідних і квазіпохідних у сенсі спряженого до рівняння функції Коші диференціального рівняння .

Пункт 4.1.5 присвячено переходу від диференціальної системи, відповідної рівнянню до системи інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра-Стільтьєса для рівняння .

В пункті 4.1.6 шляхом аналізу інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра-Стільтьєса встановлено основний результат підрозділу 4.1.

Теорема 4.1. За вищезгаданих припущень на коефіцієнти у всій області ком-плекс-ної с-площини рівняння має n лінійно незалежних розв’язків , ре-гу-ляр-них відносно для достатньо великих , таких, що задовольняють спів-від-но--шення

,

де

.

Підрозділ 4.2 є аналогом підрозділу 2.2 для диференціального оператора і присвячений асимптотиці власних значень і власних функцій крайової задачі , .

Означення 4.7. Для n непарного (n = 2м – 1) нормовані крайові умови назвемо регулярними для задачі , , якщо числа і , що визначаються співвідношенням , де – комплексне число,

,

відрізняються від нуля. Для n парного (n = 2м) нормовані крайові умови називатимемо регулярними для цієї задачі, якщо будуть відмінними від нуля числа і , що визначаються рівністю за тих самих припущень .

Нехай M – диференціальний оператор, породжений диференціальним виразом і крайовими умовами з областю визначення

,

який діє з простору в простір мір.

Теореми 4.2 і 4.3 виконують роль аналогів теорем 2.2, 2.3 і 2.4 для крайової задачі , і формулюються подібним чином.

Результати підрозділів 3.1 і 3.2 стосовно дослідження спряжених крайових умов і функції Гріна переносяться на випадок диференціального оператора у підрозділі 4.3. Зокрема, у пункті 4.3.1 вводиться квазідиференціальний оператор M *, спряжений до диференціального оператора M. Виявляється, що, хоча крайові умови записуються за допомогою звичайних похідних, спряжені крайові умови будуються вже у термінах квазіпохідних в сенсі спряженого до квазідиференціального рівняння.

У пункті 4.3.2 будується функція Гріна диференціального оператора M – лу1 і досліджуються її властивості.

Теорема 4.4, формулюється подібним чином до теореми 3.1 і, зокрема, стверджує, що всі похідні функції Гріна до (n – 2)-го порядку є абсолютно неперервними за кожною зі змінних x, t при фіксованій іншій, а (n – 1)-ша похідна функції Гріна, взагалі кажучи, є розривною.

Теорема 4.5. Для , якщо л не є власним значенням крайової задачі , , функції Гріна спряжених крайових задач пов’язані між собою співвідношенням

.

У підрозділі 4.4 досліджується можливість розвинення функцій в ряди за власними функціями крайової задачі , .

Теорема 4.8. Нехай всі власні значення крайової задачі , з регулярними крайовими умовами є простими полюсами функції Гріна. Тоді будь-яка функція з області визначення квазідиференціального оператора M розвивається у рівномірно збіжний ряд за власними функціями крайової задачі ,

,

де за виконання умови подається формулою , а , – власні функції крайових задач , і спряженої до неї, відповідні власним значенням і .

Підрозділ 4.5 присвячено частинному випадку крайової задачі , з гладкими коефі-ці-єнтами (всі решта коефіцієнтів задовольняють накладені на них у пункті 4.1.1 умови). У пункті 4.5.1 отримано уточнену асимптотичну поведінку для великих значень параметра фундаментальної системи розв’язків рівняння , в якій у замість o(1) для фігурує .

За цих умов у пункті 4.5.2 встановлено асимптотику власних значень і власних функцій крайової задачі , , яка відрізняється від результатів підрозділу 4.2 лише оцінками замість , замість і замість o(1). Крім того, результати Г. М. Ке-сель-мана і В. П. Михайлова про розвинення за власними функціями диференціального опера-то-ра із сумовними за Лебегом коефіцієнтами, поширено на випадок сингулярного диференціального оператора з мірами.

Теорема 4.10. Нехай всі власні значення крайової задачі , є простими полюсами функції Гріна. За вищезгаданих умов на коефіцієнти у випадку регулярних крайових умов , якщо для парного n, крім того, справджується нерівність , власні функції крайової задачі , утворюють базис Рісса в .

Наслідок. У випадку регулярних крайових умов, якщо, крім того, для парного n виконується нерівність , будь-яку функцію з можна розвинути в ряд за власними функціями крайової задачі , за накладених у пункті 4.5.1 умов на коефіцієнти диференці-ального рівняння.

У підрозділі 4.6 розглянуто приклад конкретного диференціального рівняння другого порядку з д-функцією в коефіцієнті. Конструктивно побудовані розв’яз-ки цього рівняння мають отриману в дисертації асимптотичну поведінку при великих значеннях параметра.

У часткових випадках диференціальних та квазідиференціальних рівнянь із сумовними за Лебегом коефіцієнтами отримані в дисертації результати співпадають з уже відомими.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню властивостей сингулярних квазіди-фе-ренціальних і диференціальних операторів довільного порядку і більш за-гальних крайових задач на скінченному проміжку. Характерною особливістю цих операторів і крайових задач є наявність у коефіцієнтах відповідних квазі-диференціальних і диференціальних рівнянь узагальнених функцій. Такі рів-няння без додаткових умов на коефіцієнти є, взагалі кажучи, некоректними, бо містять добутки узагальнених функцій на розривні. Для вирішення цієї проб-ле-ми використано критерії коректної розв’язності таких задач, які явно вира-жа-ють-ся через коефіцієнти і праві частини цих рівнянь. Одержані в дисертації результати істотно узагальнюють і доповнюють уже відомі факти. В дисерта-ційній роботі:

· досліджено асимптотичну поведінку для великих значень параметра лінійно незалежної системи розв’язків сингулярного диференціального та квазі-диференціального рівнянь із вагою при параметрі в скалярному випадку;

· вивчено асимптотику власних значень і власних функцій сингулярного диференціального та квазідиференціального операторів у випадку регулярних крайових умов, а також асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій сингулярної крайової задачі з вагою при параметрі;

· побудовано спряжені крайові задачі для квазідиференціального і дифе-рен-ціального рівнянь;

· сконструйовано функції Гріна і вивчено їх властивості для сингулярного диференціального і квазідиференціального операторів, а також більш загальних крайових задач з вагою при параметрі;

· отримано розвинення у випадку простих полюсів функції Гріна і регу-ляр-них крайових умов функцій з області визначення сингулярних диференціальних і квазідиференціальних операторів в ряди за власними функціями цих опера-торів, а також розвинення за власними функціями більш загальних крайових задач з вагою при параметрі;

· в частинних випадках отримано розвинення довільних сумовних з квад-ратом функцій в ряди за власними функціями диференціальних і квазі-ди-фе-рен-ціальних операторів, причому ці власні функції утворюють базис Рісса.

Результати ди-сер-тації носять теоретичний характер і є певним внеском у побудову загальної теорії крайових задач для диференціальних і квазіди-фе-рен-ціальних рівнянь. Їх також можна використати для дослідження математичних моделей реальних фізичних процесів і явищ дискретно-неперервної природи: коливання і стійкість систем (стержнів, пластинок і т. п.) з дискретно-неперерв-ним розподілом параметрів (зосереджені маси, моменти, жорсткості, узагаль-не-ні зовнішні зусилля і т.п.), теплопровідність тіл з точковими внутрішніми і зовнішніми джерелами тепла тощо.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

АНОТАЦІЯ

Махней О. В. Сингулярні квазідиференціальні оператори на скінченному інтервалі. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціаль-ністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Одеський національний університет ім. І. І. Меч-ни-ко-ва, Одеса, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню задач на власні значення для диференціальних і квазідиференціальних рівнянь з узагальненими похідними функцій обмеженої варіації (мірами) в коефіцієнтах. В роботі одержано асимптотику для великих значень параметра фундаментальної системи розв’язків диференціальних і квазідиференціальних рівнянь, за допомогою якої досліджено асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій крайових задач. Побудовано спряжені крайові умови, функцію Гріна (а також досліджено її властивості) у випадку диференціальних та квазідиференціальних операторів. Знайдено умови розвинення функцій в ряди за власними функціями крайових задач. Отримані результати можуть бути використані для розв’язання, зокрема, прикладних задач механіки.

Ключові слова: квазідиференціальне рівняння, узагальнені функції, власні значення, власні функції, асимптотична поведінка, функція Гріна.

АННОТАЦИЯ

Махней А. В. Сингулярные квазидифференциальные операторы на конечном интерва-ле. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова, Одесса, 2005.

Диссертация посвящена исследованию задач на собственные значения для дифференциальных и квазидифференциальных уравнений с обобщенными производными функций ограниченного изменения (мерами) в коэффициентах. При этом в работе использованы эффективные критерии корректности дифференциальных и квазидифференциальных уравнений и систем с мерами, которые позволяют обойти проблему умножения обобщенных функций на разрывные. Кроме квазидифференциальных и дифференциальных операторов с мерами в диссертации рассматри-ва-ют-ся также и более общие краевые задачи с весом при параметре.

С помощью сведения дифференциальных и квазидифференциальных уравнений к интегро-дифференциальным и интегро-квазидифференциальным изучено асимптотику для больших значе-ний параметра фундаментальной системы решений дифференциальных и квазидифференциальных уравнений, а также их квазипроизводных. Выделен особый класс регулярных краевых условий (записанных для квазидиффернциальных уравнений в терминах квазипроизводных), в случае которых использование этого результата дает возможность получить асимптотическое поведение больших по модулю собственных значений и собственных функций соответствующих краевых задач.

В работе установлено, что сопряженные краевые условия (даже в случае дифференциальных операторов) записываются с помощью квазипроизводных в смысле сопряженного к исходному квазидифференциального уравнения. Построены функции Грина дифференциального и квазидиф-фернциального операторов и исследованы их свойства. С помощью оценок функций Грина и их свойств получено разложение произвольных функций из области определения квазидиффе-рен-ци-аль-ного (дифференциального) оператора в ряды по собственным функциям краевых задач с регулярными краевыми условиями (в случае простых полюсов функций Грина).

Кроме того, в частном случае (при достаточной гладкости коэффициентов при старших производных и гладком весе при параметре) удалось уточнить остаточный член асимптотик фундаментальной системы решений дифференциальных и квазидифференциальных уравнений, а также асимптотических формул для собственных значений и собственных функций соответству-ю-щих краевых задач. Уточненное асимптотическое поведение последних позволяет доказать, что собственные функции образуют базис Рисса в пространстве квадратично суммируемых по Лебегу функций и, следовательно, любую функцию из этого пространства можно разложить в ряд по собственным функциям краевой задачи.

В случае суммируемых по Лебегу коэффициентов уравнений полученные результаты совпада-ют с уже известными.

Диссертация имеет теоретический характер и является определенным вкладом в построение общей теории краевых задач для дифференциальных и квазидиффернциальных уравнений. Тем не менее, ее результаты могут быть использованы, например, для решения прикладных проблем механики.

Ключевые слова: квазидифференциальное уравнение, обобщенные функции, собственные значения, собственные функции, асимптотическое поведение, функция Грина.

ABSTRACT

Makhney O. V. Singular quasidifferential operators on a finite interval. – Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree of Physical and Mathematical Sciences by speciality 01.01.02 – differential equations. – Odessa I. I. Mechnikov National University, Odessa, 2005.

The dissertation is devoted to the investigation boundary value problems for differential and quasidifferential equations with generalized derivatives of functions of the boundary variations (measures) in the coefficients. In the work the asymptotic behaviour for large values of a parameter of fundamental system of differential and quasidifferential equations solutions is obtained. With the help of it the asymptotic behaviour of eigenvalues and eigenfunctions of boundary value problems is investigated. The adjoint boundary conditions and the Green function in the case of differential and quasidifferential operators are defined. The conditions of the development of functions to the series by eigenfunctions of boundary value problems are found. The obtained results may be used for solving, in particular, applied problems of mechanics.

Key words: quasidifferential equation, generalized functions, eigenvalues, eigenfunctions, asymptotic behaviour, Green function.

Підп. до друку 27.01.2005 р. Формат 60x84/16.

Гарнітура “Times New Roman”. Ум. друк. арк. 0,9.

Тираж 100. Віддруковано на різографі.

76025, м. Івано-Франківськ, вул. Шевченка, 57

Друкарня видавництва “Плай”

Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника