ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ ім. А. М. ПІДГОРНОГО

Онуфрієнко Ольга Григорівна

УДК 517.925:534.1

ДОСЛІДЖЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ КОЛИВАНЬ

ОРТОТРОПНИХ ПЛАСТИН СКЛАДНОЇ ФОРМИ

ЗА ДОПОМОГОЮ МЕТОДУ R – ФУНКЦІЙ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у відділі прикладної математики та обчислювальних методів Інституту проблем машинобудування ім. А.М.Підгорного Національної академії наук України, м. Харків

Науковий керівник – доктор технічних наук, професор

Курпа Лідія Василівна,

Національний технічний університет „ХПІ”,

завідуюча кафедрою прикладної математики

Офіційні опоненти – доктор технічних наук, професор

Шупіков Олександр Миколайович,

Інститут проблем машинобудування ім. А.М.Підгорного НАН України,

головний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, професор

Григоренко Олександр Ярославович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,

завідуючий відділом

Провідна установа – Інститут технічної механіки НАН України та НКА України,

м. Дніпропетровськ

Захист відбудеться „15” грудня 2005р. о 14-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А.М.Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий „11” листопада 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

д.т.н. Стрельнікова О.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В умовах постійно зростаючих вимог до забезпечення надійного функціонування сучасних механізмів і конструкцій посилюється потреба дослідження їх динамічної поведінки. Особливу увагу треба приділити нелінійним коливанням тонкостінних конструкцій, які широко застосовуються, наприклад, у авіабудівництві, цивільному будівництві, кораблебудуванні та ін. При цьому багато елементів таких тонкостінних конструкцій мають складну форму і різні умови закріплення. Прикладами таких об’єктів дослідження можуть бути окремі частини обшивки крила літака, обшивки днища корабля, перекриття у будівельних конструкціях, обшивки затворів у гідротехнічних спорудах, лопатки компресорів та вентиляторів та ін. Проектування таких елементів вимагає розробки ефективних методів, за допомогою яких можна дослідити вплив різноманітних геометричних та фізичних параметрів на коливання та стійкість деформівних систем. Матеріали, які використовують для виготовлення сучасних конструкцій, як правило, є анізотропними. Тому вивчення ортотропних пластин відноситься до ряду актуальних проблем нелінійної механіки. Незважаючи на велику кількість публікацій, присвячених даній проблемі, досі залишаються мало вивченими питання дослідження нелінійних коливань пластин та оболонок, план яких відрізняється від прямокутника, кола, кільця та еліпса. Це пов’язано з труднощами, які виникають при зведенні нелінійної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними до відповідної системи звичайних диференціальних рівнянь, тобто з труднощами зведення вихідної початково-крайової задачі до задачі Коші, і подальшим дослідженням нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь. Для переходу до задачі Коші необхідно мати повну систему лінійно незалежних базисних функцій, які представлені в аналітичному вигляді та задовольняють крайовим умовам задачі. У випадку областей складної геометрії або складного типу крайових умов побудова подібних систем стає проблематичною. Один з універсальних підходів, який може бути використаним для розв’язку цієї проблеми, базується на використанні теорії R-функцій. Ця теорія дозволяє будувати повні системи координатних функцій для різних типів крайових умов та практично довільних областей. Про це свідчить багато робіт, в яких теорія R-функцій була використана для дослідження лінійних коливань пластин і пологих оболонок з різним планом, кривиною та видом крайових умов. В даній роботі вперше теорія R-функцій разом з варіаційними методами застосовується для дослідження нелінійних вільних та вимушених коливань елементів тонкостінних конструкцій, розрахунковими схемами яких є ортотропні пластини довільної геометрії при різних видах умов закріплення.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі прикладної математики та обчислювальних методів Інституту проблем машинобудування ім. А.М.Підгорного НАН України у відповідності до

- держбюджетної теми „Високоінтелектуальні системи, програмно орієнтовні на використання алгебраізованих структурних формул розв’язку крайових задач” (ДР№0194U035430) (в період з 1993р. до 1997р.);

- грантом Міністерства науки і технологій України фундаментальних досліджень “Розробка нових методів математичного моделювання задач механіки суцільного середовища на основі теорії R-функцій і теорії неархімедових обчислень” (ДР№019000009451) (в період з 1997р. до 1998р.);

- держбюджетної теми „Розвиток теорії R-функцій, поширення її предметної області, удосконалення конструктивних і програмуючих засобів” (ДР№0198U004125) (в період з 1998р. до 2001р.);

- держбюджетної теми „Розвиток чисельних методів теорії R-функцій і їх використання” (ДР№019000009451) (в період з 2002р. до 2005р.).

Мета та основні задачі дослідження. Метою даної роботи є розробка ефективного методу дослідження нелінійних вільних та вимушених коливань ортотропних елементів тонкостінних конструкцій, які моделюються пластинами довільної форми в плані з різними умовами закріплення.

Реалізація цієї мети полягає у вирішенні таких задач: розробка на базі теорії R-функцій методу переходу від початково-крайової задачі до задачі Коші у випадку довільної планформи пластини для рівнянь руху, представлених як у мішаній формі, так і у переміщеннях; побудова функціоналів і відповідних базисних функцій для розв’язку послідовності лінійних задач (знаходження власних частот і власних функцій, визначення функції зусиль, розв’язання системи плоских задач теорії пружності); виведення формул, які визначають коефіцієнти у системі звичайних диференціальних рівнянь для задачі Коші, при одномодовій та двохмодовій апроксимації невідомих функцій; розв’язок задачі Коші для системи нелінійних диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта і Бубнова-Гальоркіна; створення програмного комплексу, який реалізує запропонований метод дослідження; тестування запропонованого методу на модельних лінійних і нелінійних задачах, обґрунтування його достовірності; розв’язок нових задач коливання пластин при великих амплітудах; дослідження геометрично нелінійних коливань конкретних об’єктів, а саме, робочих лопаток компресорів авіадвигунів; дослідження стійкості форм нелінійних коливань ортотропних пластин складної планформи за допомогою теорії R-функцій, варіаційних методів, „обмеженого критерію стійкості за Ляпуновим” та методу Рунге-Кутта.

Об’єкт дослідження – нелінійні пружні механічні системи, які знаходяться під дією зовнішніх динамічних навантажень.

Предмет дослідження – нелінійні коливання ортотропних пластин складної форми в плані при різних способах закріплення.

Методи дослідження – комплексне застосування варіаційно-структурного метода (RFM), варіаційного метода Рітця, процедури Гальоркіна, метода Рунге-Кутта для дослідження нелінійних коливань і стійкості форм нелінійних коливань ортотропних пластин складної форми в плані при різних способах їх закріплення.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у наступному:

·

·

·

·

Практична цінність роботи полягає в тому, що запропоновані методи реалізовані у вигляді програмного комплексу. Застосування цього комплексу дає можливість дослідити динамічну поведінку елементів тонкостінних конструкцій складної форми в плані. Розроблені методи та створений комплекс програм разом з системою POLE-RL дозволяють з достатньою точністю визначати власні частоти і форми коливань, амплітудно-частотні характеристики та характер відгуку елементів конструкцій, що проектуються, при дії зовнішніх періодичних навантажень. Таким чином, отримані результати можуть бути використані для розв’язання проблеми міцності та надійності елементів тонкостінних конструкцій. Розробки та результати дисертаційної роботи були використані при виконанні держбюджетної теми “Розробка методів для розв’язку нелінійних диференціальних рівнянь, які моделюють статичні та динамічні процеси деформування в елементах тонкостінних конструкцій складної форми” за координаційним планом Міністерства освіти та науки України (№205-II від 11.02.2002) на кафедрі прикладної математики НТУ “ХПІ” (ДР№0102V000980, заключний звіт за 2004р., п.п.3.1, 3.2).

Особистий внесок здобувача. Основний зміст дисертаційної роботи опубліковано в 10 роботах [1-10]. Основні результати за темою дисертації отримані особисто автором. У працях, опублікованих у співавторстві, особистий внесок здобувача полягає у розробці методу дослідження нелінійних коливань ортотропних пластин, здійсненні математичних викладок, розробці і програмній реалізації чисельних алгоритмів, проведенні тестування і аналізі отриманих результатів [1-3, 5-10].

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на Х-ХIII міжнародних науково-практичних конференціях MicroCad’2002,2003,2004,2005 (Харків, Україна, травень 2002-2005рр.); 5-й Міжнародній науково-технічній конференції „Фізичні та комп’ютерні технології у народному господарстві” (Харків, 2002р.); 2-й Міжнародній конференції „Research and Education” (Угорщина, м. Мішкольц. 2004р.); 1-й Міжнародній конференції „Nonlinear Dynamic” (ХПІ, м. Харків, 2004 р.); міжнародній конференції „Dynamical system modeling and stability investigation” (Київ, Україна, 2005); на засіданнях наукового семінару кафедри прикладної математики НТУ „ХПІ”, на засіданні науково-технічної проблемної ради „Динаміка та міцність машин” під керівництвом чл.-кор. НАН України О.Є.Божка (ІПМаш ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків,2005р.); 7 Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків (Львів, Україна, 2005р.).

Публікації. Основні результати опубліковано у 10 роботах [1-10], з них 6- у наукових журналах та збірниках, 4 - у тезах доповідей на наукових конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 145 найменувань (на 13 стор.) і двох додатків. Загальний обсяг роботи складає 199 сторінок, включаючи 47 рисунків та 45 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дослідження, визначено об’єкт та предмет дослідження, сформульовані мета і основні задачі роботи, визначені наукова новизна і практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі проведено аналіз стану проблеми нелінійних динамічних задач теорії пластин та оболонок, а також існуючих методів для її подальшого розвитку. Значний внесок у розвиток нелінійної динаміки пластин та оболонок зробили видатні вчені-механіки із багатьох країн: В.В.Болотін, А.С.Вольмір, Е.І.Григолюк, О.Я.Григоренко, Я.М.Григоренко, В.І.Гуляєв, Б.Я.Кантор, В.Д.Кубенко, Л.В.Курпа, Ю.А.Мітропольський, В.Л.Рвачов, С.П.Тимошенко, Є.Рейсснер, Л.Доннелл, Г.Шмідт, Leissa, Reddy, Chia та ін. Достатньо широко стан проблеми розглянуто в оглядових статтях В.Д.Кубенка, П.С.Ковальчука, Я.М.Григоренка, Я.Г.Савули, І.С.Мухи, В.І.Гуляєва, K.M.Liew, C.W.Lim, S.Kitipornchai, F.Moussaoui, R.Benamar та інших. На основі виконаного огляду опублікованих робіт сформульовані нові постановки задач досліджень, які направлені на подальший розвиток нових ефективних методів розрахунку нелінійних коливань ортотропних пластин та оболонок складної форми з різними типами граничних умов.

Із загальної кількості проблем сучасної нелінійної динаміки в роботі виділена проблема нелінійних вільних та вимушених коливань ортотропних пластин, які обумовлені дією зовнішніх періодичних навантажень. При цьому розглянуто геометричну нелінійність, яка породжується нелінійною залежністю деформацій від переміщень.

У другому розділі виконана математична постановка задач, наведено основні співвідношення та рівняння руху, а також граничні та початкові умови. В цьому розділі запропоновано метод дослідження нелінійних коливань ортотропних пластин складної геометрії при різних способах закріплення. Аналітично виконано перехід від початково-крайової задачі до задачі Коші. Метод застосовано для двох способів постановки задачі: в переміщеннях та в мішаній формі; отримані аналітичні вирази для коефіцієнтів звичайного диференціального рівняння (у випадку одномодової апроксимації) і коефіцієнтів системи звичайних диференціальних рівнянь (при двохмодовій апроксимації).

Математична постановка задачі виконана в рамках класичної теорії, яка базується на гіпотезах Кірхгофа-Лява. Припустимо, що пластина виготовлена із пружно ортотропного матеріалу, підпорядкованого закону Гука, а прогини можливо порівняти з товщиною, однак вони малі у порівнянні з основними розмірами пластини. Формули для визначення деформацій гнучкої пластини було отримано за умови, що вона приймає значні прогини w, однак переміщення u, v у площині пластини малі. Такі самі припущення було зроблено і по відношенню до похідних переміщень. Будемо розглядати динамічний процес без урахування розповсюдження пружних хвиль, тобто сили інерції в напрямку осей ОХ і ОУ не враховуємо.

В рамках прийнятої теорії, рівняння руху пластини приймають вигляд:

·

·

Суть запропонованого методу зводиться до наступного: функція прогину була представлена у вигляді скороченого ряду Фур’є. Розкладання проводилося за власними функціями, які було знайдено в процесі розв’язання відповідної лінійної задачі. Завдяки застосуванню RFM та варіаційних методів, системи базисних функцій були побудовані в аналітичному вигляді, універсальному щодо геометрії пластини.

У випадку двохмодової апроксимації функція прогину приймає вигляд:

, (6)

де - власна функція, яка відповідає основній частоті вільних лінійних коливань пластини, - наступна власна функція.

Після підстановки (6) у рівняння (2), отримаємо:

Розв’язок рівняння (7) будемо знаходити у вигляді:

, (8)

де функції є розв’язками наступних диференціальних рівнянь:

оператор визначається як: . .

Треба відмітити, що диференціальні рівняння (9) відрізняються тільки правою частиною, яка повністю визначається власними функціями W1, W2. Однак, розв’язання кожної з цих задач в загальному випадку (складна геометрія, різні умови закріплення) пов’язано зі значними математичними труднощами. Тим більше, що ці розв’язки також бажано мати в аналітичному вигляді, оскільки вони використовуються для розв’язання основного рівняння руху (1). Сумісне використання теорії R – функцій і чисельного методу Рітця дозволяє відшукати функції в аналітичному вигляді. Саме цей факт відіграв головну роль у розробці запропонованого методу.

Припустимо, що зовнішнє навантаження збуджує першу форму коливань і його можливо представити у вигляді:

(10)

Після підстановки виразів (6), (8), (10) у рівняння (1), отримаємо:

Проектуючи послідовно рівняння (11) на власні функції , та враховуючи їх ортогональність, а також рівності: , ,

отримаємо наступну систему звичайних нелінійних диференціальних рівнянь:

, (12)

де ij (i=1,2, j=0,…,4), 15 мають вигляд:

, , ,

,

, , . (13)

Розглянемо алгоритм розв’язку системи рівнянь (3)-(5) у переміщеннях при двохмодовій апроксимації функції прогину. Після підстановки (6) у перші два рівняння (3), (4), отримаємо:

(14)

де оператори ,, мають вигляд:

Розв’язки , системи (14) були представлені у вигляді: , (19)

, (20)

де , і - рішення систем:

(21)

Лінійні системи рівнянь (21) були доповнені відповідними крайовими умовами та розв’язані методом RFM. Після підстановки знайдених функцій , , , у рівняння (5) і застосування методу Бубнова-Гальоркіна отримаємо систему звичайних нелінійних диференціальних рівнянь виду (12), але коефіцієнти ij (i=1,2, j=0,…,4), 15 цієї системи є подвійними інтегралами від функцій .

У випадку одномодової апроксимації функції прогину для рівнянь руху, записаних у мішаній формі, задача приймає більш простіший вигляд і за аналогічною процедурою зводиться до звичайного нелінійного диференціального рівняння типу Дуффінга

(22)

відносно часу, де коефіцієнти визначаються формулами:

Методи розв’язання отриманого рівняння добре відомі. Це може бути метод гармонічного балансу, чисельний метод Рунге-Кутта, Гальоркіна та ін. Якщо шукану функцію представити у вигляді , то після застосування методу Бубнова-Гальоркіна до рівняння (12) на проміжку , отримаємо явну залежність відношення нелінійної частоти коливань до лінійної від амплітуди А та зовнішнього навантаження

. (24)

Аналогічно, в роботі були отримані коефіцієнти рівняння типа Дуффінга для рівнянь руху, записаних у переміщеннях (3)-(5). У цьому разі необхідно було розв’язати задачу теорії пружності (3),(4), права частина яких залежить від W1 і відіграє роль фіктивних масових сил. Розв’язки цієї задачі, тобто функції U і V, були представлені у вигляді , , (25)

причому крайові умови для u1 і v1 обиралися такими, як і для U і V. Далі, діючи аналогічно, як і при дослідженні рівнянь руху у мішаній формі, було знайдено коефіцієнт г рівняння (22) у вигляді: . (26)

У третьому розділі запропонована методика і створене програмне забезпечення для системи POLE – RL застосовані для дослідження нелінійних вільних та вимушених коливань ортотропних пластин різної форми в плані, при різних умовах закріплення, в тому числі для дослідження нелінійних коливань робочих лопаток компресорів, які моделюються консольними пластинами. Перевірка достовірності створеного комплексу програм виконана в результаті розв’язання низки тестових задач. Наведемо деякі з них.

Розглянемо задачу про нелінійні вільні коливання прямокутної ортотропної пластини довжиною а і шириною b, що жорстко закріплена вздовж всього краю. Досліджено залежність амплітудно-частотних характеристик для різного типу матеріалів, фізичні властивості яких представлені в таблиці 1.

В таблиці 2 наведено порівняння одержаних результатів з відомими.

Отримані результати відрізняються від відомих не більше, ніж на 6%. Перевірка вірогідності отриманих результатів виконувалася в результаті аналізу практичної збіжності при зміні розмірності апроксимуючих просторів та збільшенні кількості вузлів інтегрування.

У наступних прикладах було розглянуто пластини складної геометрії при різних умовах їх закріплення, які мають вирізи, виступи та інші особливості (рис.1,4,6). Дослідження динамічної поведінки таких пластин представляє практичний інтерес, бо їх можна розглядати як розрахункові моделі окремих частин обшивки крила літака або днища корабля, як складові елементи у будівельних конструкціях. Так, було розглянуто задачу про нелінійні вільні та вимушені коливання ортотропної пластини (рис.1), яка виготовлена з різних матеріалів (табл.1) та має різні умови закріплення: (А) – жорстке закріплення – рухомий край : , ;

(Б) –вільно оперта - рухомий край:, .

Розв’язок задачі було отримано для мішаної постановки при використанні одномодової апроксимації функції прогину та функції зусиль. Застосовуючи R-функції, рівняння межі області представлено у вигляді: , де, , , , .

Залежність амплітуди та частотного відношення нелінійної частоти до основної лінійної зображено на рис.2 (а, б).

Треба зазначити, що при зафіксованому значенні амплітуди частотне відношення суттєво залежить від типу крайових умов та виду матеріалу. Показано, що для типу закріплення (А) це відношення є меншим для графітних пластин, ніж для пластин, виготовлених з вуглепластику та склопластику. Але в разі закріплення (Б) це відношення є більшим для графітної пластини, ніж для пластин, виготовлених з вуглепластику та склопластику. При цьому, як і в разі лінійних коливань, відношення є більшим для жорстко закріплених пластин, ніж для вільно опертих. На рис.3(а, б) наведено амплітудно-частотну характеристику для вимушених коливань пластини, виготовленої з графіту при Р0=0; 0.2; 0.4; 0.6 для двох типів закріплення. За отриманими результатами можна зробити висновок, що при збільшенні навантаження на пластину та фіксованій додатній амплітуді частотне відношення зменшується, а при від’ємній амплітуді воно збільшується.

Розглянемо задачу про нелінійні вільні та вимушені коливання ортотропної пластини (рис.4). Граничні умови для W: пластина вважається жорстко закріпленою на частині контуру та вільно опертою на . Для переміщень у площині пластини розглянуто наступні умови: І–нерухомий край: , ІІ–нерухомий в тангенційному напрямку край: ; ІІІ–край, нерухомий у нормальному напрямку: ; IV–рухомий край: . Розв’язання задачі було виконано у переміщеннях, застосовуючи одномодову та двохмодову апроксимації шуканих функцій. Треба відмітити, що на двох сторонах пластини відбувається зміна умов закріплення: жорстке закріплення змінюється на шарнірне. В цьому разі проблема побудови системи координатних функцій у вигляді єдиного аналітичного виразу є досить складною. Але застосування RFM дозволяє досить просто вирішити цю проблему. Так, для функції W відповідна структура розв’язку має вигляд: , де - рівняння усієї границі області, - рівняння жорстко закріпленої ділянки, яке будується за допомогою теорії R – функцій. У наведеній структурі Р є невизначена компонента, яка розкладається в обмежений ряд по деякій повній системі координатних функцій. Коефіцієнти цього розкладу знаходяться з умов мінімуму відповідного функціоналу. В роботі було вивчено вплив довжин вільно опертої ділянки та типу матеріалів на амплітудно-частотні характеристики. Наприклад, на рис.5 (а,б,с) представлено залежність амплітуди та частотного відношення нелінійної частоти до основної лінійної для різних типів закріплення I-III та для наступних значень геометричних параметрів: а/а1=2, а/b=1.

Розглянемо задачу про нелінійні вільні коливання ортотропної пластини (рис.6), яка має технологічний виріз. Пластина має мішані умови закріплення для функції прогину та виготовлена із різних типів матеріалів (табл.1). Для переміщень U і V у площині пластини розглядаються умови типу I–IV. Слід відзначити, що у випадку ізотропної пластини для граничних умов типу I та для значень геометричних параметрів а1=b1=0, тобто коли точка з координатами (а1,b1) співпадає з початком координат, подібні дослідження були проведені у [*]. В даній роботі вирішена низка нових задач, пов’язаних з дослідженням впливу матеріалу та способів закріплення на амплітудно-частотні характеристики пластин такого виду. Деякі з одержаних результатів наведено на рис. 7(а,б,с,д). Як видно з порівняння (рис.7.а), результати для ізотропної пластини з граничними умовами типу I практично співпадають з відомими результатами [*].

[*] – Shi Y., Mey C. A finite element time domain modal formulation for large amplitude free vibrations of beams and plates // Journal of Sound and Vibration – 1996. – 193 (2), - p.453-464.

Треба відмітити, що отримані амплітудно-частотні характеристики достатньо близькі для I та III типів закріплення, але достатньо відрізняються для типів II, IV. Задача була розв’язана в переміщеннях при одномодовій та двохмодовій апроксимації невідомих функцій.

В останньому параграфі даного розділу було розглянуто декілька практичних задач. Так, було досліджено динамічну поведінку робочої лопатки компресору, розрахунковою схемою для якої було обрано консольну пластину зі скошеною межею закріплення. Було розглянуто залежності частот власних коливань від зміни кута скосу закріплення, а також побудовано скелетні криві для різних видів межі закріплення.

У четвертому розділі розглянуто питання про дослідження стійкості форм нелінійних коливань тонких ортотропних пластин. Необхідність розгляду цього питання обумовлена сучасними високими вимогами при проектуванні багатьох конструкцій, які працюють під дією динамічних періодичних навантажень. Дослідження стійкості форм нелінійних коливань проведено за „обмеженим критерієм стійкості за Ляпуновим”, який був запропонований у роботах Ю.В.Міхліна. Суть цього методу полягає у наступному: досліджується нелінійна система двох звичайних диференціальних рівнянь (12). У відповідності до введеного критерію нестійкість форми коливань у2=0 фіксується, якщо , для . Тобто, нестійкість форми коливань у2=0 визначає нестійкість першої гармоніки скороченого ряду Фур’є (6) по відношенню до збурень, які задані якою-небудь іншою гармонікою.

Для чисельної реалізації запропонованого критерію стійкості було розв’язано задачу Коші для нелінійної системи звичайних диференціальних рівнянь (12). В даній роботі чисельне інтегрування цих рівнянь виконувалось за допомогою метода Рунге-Кутта. Запропонований критерій надає змогу знаходити зони стійкості і нестійкості форм руху системи у залежності від значень коефіцієнтів системи (12). Зони стійкості / нестійкості представлені у площині параметрів , де F – амплітуда зовнішнього періодичного навантаження, , - частота діючого навантаження.

Наприклад, на рис.8-10 представлені зони стійкості/нестійкості форм нелінійних коливань ортотропної пластини (рис.6) з фіксованими граничними умовами закріплення для прогину та різними умовами для переміщень у площині пластини: І тип - нерухомий край, ІІ тип - край нерухомий у тангенціальному напрямку, ІІІ тип - край нерухомий у нормальному напрямку. Параметри , F змінювалися в межах: , . Розрахунок проводився у вузлах сітки з кроком . Час стабілізації меж областей стійкості та нестійкості для всіх прикладів складає (тобто наведені значення повністю співпали для і ). Заштрихованою на рис.8-10 представлено області нестійкості форм нелінійних коливань пластин. Наведені результати відповідають наступним початковим умовам: у1(0)=0.5, (0)=0, у2(0)=0.005, (0)=0. Значення геометричних параметрів розглядалися наступними: а/b=1, а1=0, b1=0. За представленими результатами можна зробити наступні висновки: при дослідженні впливу крайових умов з’ясовано, що області нестійкості для нерухомого краю та краю рухомого в нормальному напрямку (умови І, ІІІ) мають найбільші області нестійкості. В результаті дослідження впливу матеріалу було встановлено, що найбільш стійкими з трьох розглянутих матеріалів є пластини, які виготовлено з вуглепластику.

ВИСНОВКИ

1. Розроблено новий метод дослідження динамічної поведінки елементів тонкостінних конструкцій, які моделюються ортотропними пластинами. Новизна методу полягає в тому, що система базисних функцій, яка використовується для розкладу шуканого розв’язку в ряд, побудована в аналітичному вигляді за допомогою теорії R-функцій. Це дозволяє знаходити базисні функції практично для довільних областей і типів крайових умов.

2. Запропоновано алгоритм перетворення нелінійної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними до нелінійної системи однорідних диференціальних рівнянь відносно змінної часу. В основу алгоритма покладено одномодову та двохмодову апроксимацію шуканих функцій за допомогою базисних функцій, які співпадають з власними функціями лінійних коливань пластини.

3. Запропонований підхід реалізовано для рівнянь руху в переміщеннях, а також для рівнянь руху, записаних в мішаній формі, тобто представлених функцією прогину та функцією зусиль.

4. Виконано варіаційну постановку складових лінійних задач: про вільні коливання ортотропних пластин і задач теорії пружності для двох способів завдання розв’язуючих диференціальних рівнянь руху. Побудовані відповідні структури розв’язку, які задовольняють заданим крайовим умовам.

5. Запропоновано новий метод дослідження стійкості форм нелінійних коливань пластин, заснований на сумісному застосуванні теорії R-фукнкцій, варіаційних методів Рітця і Бубнова-Гальоркіна, “обмеженому критерії стійкості за Ляпуновим” та методі Рунге-Кутта.

6. Розроблений метод дослідження динамічної поведінки ортотропних пластин реалізовано в рамках системи POLE-RL. Обґрунтовано вірогідність запропонованого підходу, проведено широке тестування лінійних та нелінійних коливань пластин класичної геометрії та класичних видів крайових умов (рухомий та нерухомий шарнір та закріплення).

7. Отримано нові амплітудно-частотні залежності для пластин складної планформи, які виготовлені з різних видів матеріалів, для різних способів їх закріплення; досліджено динамічну поведінку робочої лопатки з урахуванням геометричної нелінійності Розглянуто вплив періодичних навантажень, анізотропії, способів закріплення та геометрії об’єкту на амплітудно-частотні характеристики.

8. Знайдено зони стійкості та нестійкості форм коливань при зміні амплітуди та частоти періодичних навантажень для пластин різних конфігурацій та видів їх закріплення.

ОПУБЛІКОВАНІ ПРАЦІ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Курпа Л.В., Шматко Т.В., Онуфриенко О.Г. Вынужденные нелинейные колебания ортотропных пластин сложной формы// Доповіді НАН України. - 2005.-№3.-С.42-46.

2. Шматко А.В., Шматко Т.В., Онуфриенко О.Г. //Построение математической модели для исследования устойчивости первой формы нелинейных колебаний ортотропных пластин и пологих оболочек// Вестник НТУ ”ХПИ” -2004.-№20.-С.145-150.

3. Курпа Л.В., Пільгун Г.В., Онуфрієнко О.Г. Застосування методу R-функцій для дослідження нелінійних коливань пластин складної форми// Машинознавство. 2003.-№9(75).-С.3-7.

4. Курпа Л.В., Онуфриенко О.Г., Пильгун Г.В. Исследование геометрически нелинейных колебаний тонких пластин с помощью теории R-функций// Теоретическая и прикладная механика.-2003.-Вып. 37.-С.151-156.

5. Онуфриенко О.Г. Нелинейные свободные колебания ортотропных пластин// Вестник НТУ ”ХПИ” -2003.-№8, т.3.-С.19-24.

6. Курпа Л.В., Онуфриенко О.Г., Пильгун Г.В. Применение метода R-функций к задачам о свободных колебаниях консольных ортотропных пологих оболочек с заданным планом// Вестник НТУ ”ХПИ”-2002.-№9, т.8.-С.125-131.

7. Л.Курпа, О.Онуфрієнко, Т.Шматко Дослідження нелінійних коливань ортотропних пластин складної планформи за допомогою R – функцій// 7-й Міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові. – Тези доповідей. – 2005.- С. 23.

8. L.V. Kurpa, T.V. Shmatko, O.G. Onufrienko Researches of the nonlinear forced vibrations of orthotropic plates with complex form// The International Conference “Nonlinear Dynamics”.-NTU “KhPI”. -Kharkov, Ukraine. 2004.-P.108-112.

9. L.V. Kurpa, T.V. Shmatko, O.G. Onufrienko Researches of nonlinear vibrations of orthotropic plates with arbitrary form by the R-functions method// 2-nd International Conference of “Research and Education”.-2004.-Miskolc.-P.109 -114.

10. Курпа Л.В., Онуфриенко О.Г., Пильгун Г.В. Собственные колебания пологих оболочек сложной формы в плане// Труды 5-й Международной научно-технической конференции ”Физические и компьютерные технологии в природном хозяйстве”.-Харьков.-2002.-С.673-676.

АНОТАЦІЯ

Онуфрієнко О.Г. Дослідження нелінійних коливань ортотропних пластин складної форми за допомогою методу R-функцій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04- механіка деформівного твердого тіла. – Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2005.

Дисертаційна робота присвячена розробці нового ефективного методу досліджень нелінійних вільних та вимушених коливань ортотропних елементів тонкостінних конструкцій, які можуть бути представлені пластинами та пологими оболонками довільної форми та дослідженню стійкості форм їх нелінійних коливань під дією періодичних навантажень. Запропонований метод базується на спільному застосуванні теорії R-функцій, варіаційних методів, методів Рунге-Кутта і Бубнова-Гальоркіна та “обмеженого критерію стійкості за Ляпуновим”. Для розв’язання поставлених задач було запропоновано розглядати одно- і двохмодовий підхід для розкладу функції прогину у скорочений ряд Фур’є. Задача була вирішена у двох постановках: в переміщеннях та мішаній формі. Розроблено та проведено тестування програмного забезпечення у рамках системи POLE-RL. Розв’язані нові задачі з нелінійних коливань ортотропних пластин складної форми при різних способах їх закріплення, навантаження та властивостей ортотропного матеріалу.

Ключові слова: теорія R-функцій, ортотропні пластини, нелінійні коливання, стійкість форм коливань, метод Рунге-Кутта, метод Бубнова-Гальоркіна, “обмежений критерій стійкості за Ляпуновим”, програмуюча система POLE-RL.

АННОТАЦИЯ

Онуфриенко О.Г. Исследование нелинейных колебаний ортотропных пластин сложной формы при помощи метода R-функций. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела.- Институт проблем машиностроения им. А.Н.Подгорного НАН Украины, Харьков, 2005.

В диссертационной работе предложен метод исследования нелинейных свободных и вынужденных колебаний ортотропных элементов тонкостенных конструкций, которые моделируются пластинами и пологими оболочками произвольной формы, и исследованию устойчивости форм нелинейных колебаний ортотропных пластин под действием периодических нагрузок. Предложенный метод основан на комплексном применении теории R-функций, вариационных методов, методов Рунге-Кутта и Бубнова-Галёркина и “ограниченном критерии устойчивости по Ляпунову”. Основная сложность для решения данного класса задач заключается в сведении нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений и последующем ее исследовании. Данная проблема была решена ранее для классических областей и вполне определенных типов граничных условий. В данной работе, благодаря применению теории R – функций, удается построить базисные функции для практически произвольных областей и видов граничных условий. В качестве базисных функций были взяты собственные функции соответствующей линейной задачи. Очень важно, что эти функции представлены в аналитическом виде. Нахождение их осуществляется с помощью метода R-функций в результате решения краевой задачи о свободных колебаниях ортотропной пластины. Для сведения исходной системы к задаче Коши и определения коэффициентов системы обыкновенных дифференциальных уравнений необходимо было решить последовательность линейных задач: задачи теории упругости (в случае уравнений движения, записанных в перемещениях); задачи изгиба под действием фиктивной нагрузки (в случае уравнений движения, записанных в смешанной форме).

Полученная нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений была решена методом Рунге-Кутта, получены амплитудно-частотные характеристики для ортотропных пластин сложной геометрии. Для решения поставленных задач было предложено использовать одно- и двухмодовый подход для разложения функции прогиба в форме укороченного ряда Фурье. Были решены новые задачи нелинейных колебаний ортотропных пластин сложной формы для разных способов их закрепления, нагружения и свойств ортотропного материала. Разработано и проведено тестирование программного обеспечения в рамках системы POLE-RL.

Ключевые слова: теория R-функций, ортотропные пластины, нелинейные колебания, устойчивость форм колебаний, метод Рунге-Кутта, метод Бубнова-Галеркина, “ограниченный критерий устойчивости по Ляпунову”, программирующая система POLE-RL.

SUMMARY

Onufrienko O.G. Researches of the nonlinear vibrations of orthotropic plates with complex form by the R-functions method.- Manuscript.

Thesis for the scientific degree of Candidate of Technical Science by speciality 01.02.04 – mechanics of the deformable solids. A.N. Podgorny’s Institute for Problems in Machinery NAS Ukraine, Kharkiv, 2005.

The work is devoted to the development of the new effective research methods of nonlinear free and forced vibrations of orthotropic elements of thin-walled constructions that can be presented by plates and shallow shells with complex form; and forms stability of forced nonlinear vibrations of these plates under action of intensive periodic dynamic loads. The proposed methods are based on joint usage of R – function theory, variation methods, methods of Runge – Cutt and Bubnov – Galyorkin and “confined criterion of stability by Lyapunov”. For solving of problems put by was proposed usage of one-mode and two-modes ways for expansion of deflection function in short Furre’s series. The task was solved in deflections and in mixed forms. New tasks of nonlinear vibrations of orthotropic plates with complex form, different boundary conditions, dynamic loads and orthotropic properties of material were also solved. The developed algorithm was tested; numerical results were compared to the same presented in other works. Calculation was carried out using POLE – RL program system.

Key words: theory of R – functions, orthotropic plates, nonlinear vibrations, stability forms of vibrations, method of Runge – Cutt, method of Bubnov – Galyorkin, “confined criterion of stability by Lyapunov”, programming system POLE – RL.