імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

КОВАЛЬ Тетяна Валеріївна

УДК 519.41/47

ГРУПИ З УМОВАМИ

ЩІЛЬНОСТІ НОРМАЛЬНОСТІ

ДЛЯ НЕЦИКЛІЧНИХ ПІДГРУП

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2002

Дисертація є рукопис

Робота виконана в Академії державної податкової служби України Державної податкової адміністрації України

Науковий керівник:

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, доцент

СЕМКО Микола Миколайович

Академія державної податкової служби України,

доцент кафедри вищої математики та математич- них методів в економіці

заслужений діяч науки і техніки, доктор фізико-математичних наук, професор

Курдаченко Леонід Андрійович,

Дніпропетровський національний університет , завідувач кафедри алгебри і геометрії

доктор фізико-математичних наук, доцент

ПЕТРАВЧУК Анатолій Петрович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри геометрії

Провідна установа: |

Інститут математики НАН України, відділ алгебри

Захист відбудеться 21.04.2003 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01107, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий “ 27 ” березня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради _____________________Плахотник В. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вивчення груп із заданими властивостями підгруп поповнює конкретну базу теорії груп і збагачує її новими результатами Цей напрямок вивчення груп бере свій початок з груп Гамільтона, груп Міллера-Морено, груп Шмідта. Особливу роль в подальшому розвитку цього напрямку зіграли роботи О.Ю.Шмідта, Р.Бера, О.Г.Куроша, С.М.Чернікова, Ф.Холла, Б.Неймана. У цій ділянці досліджень одержано багато важливих результатів, які можна знайти в роботах Б.Амберга, Г.Баумслага, З.І.Боревича, Н.Блекберна, Х.Віланда, В.Гашюца, В.М.Глушкова, Ю.М.Горчакова, Ф.Джіованні, Д.І.Зайцева, Л.С.Казаріна, М.І.Каргаполова, О.Кегеля, П.Г.Конторовича, М.Ф.Кузенного, Л.А.Курдаченка, С.С.Левіщенка, Ф.М.Лимана, В.Д.Мазурова, А.І.Мальцева, О.О.Махньова, Ю.І.Мерзлякова, В.С.Монахова, О.Ю.Ольшанського, А.П.Петравчука, І.В.Протасова, Б.І.Плоткіна, В.Н.Ремесленнікова, Д.Робінсона, Я.П.Сисака, А.І.Старостіна, С.Стоунхевара, В.І.Сущанського, М.Томкінсона, Б.Хартлі, Г.Хайнекена, М.Холла, В.С.Чаріна, М.С.Чернікова, С.А.Чуніхіна, Л.О.Шеметкова, В.П.Шункова та багатьох інших алгебраїстів. До цього напрямку досліджень і належить дисертаційна робота.

Починаючи з класичних робіт Р.Дедекінда та Р.Бера, у яких описані дедекіндові групи (групи, всі підгрупи яких нормальні), почалося вивчення довільних груп G, у яких деяка система підгруп ? групи G задовольняє умову нормальності. Цей напрямок є одним з важливих в теорії груп. Його головною метою є опис узагальнень дедекіндових груп. Одне із таких узагальнень здійснюється шляхом звуження системи підгруп ?, що є нормальними в усій групі. Назване узагальнення дедекіндових груп можна знайти в роботах багатьох авторів, наприклад, у роботах О.Ю.Шмідта, С.М.Чернікова, Ф.М.Лимана, Г.М. Ромаліса, Ф.М.Сесекіна, В.Т.Нагребецького, О.О.Махньова, М.Ф.Кузенного, М.М.Семка, М.С.Чернікова, Л.А.Курдаченка, Д.Кеппіта.

У 1968 році А. Манн почав вивчати групи, у яких нормальні не всі підгрупи системи ?, а ті групи G, що мають нормальну підгрупу N, розміщену між будь-якими двома підгрупами A і B із ?, де А – власна немаксимальна підгрупа з B. У нього ? – система всіх підгруп групи G.

Групи, введені А. Манном, С.М. Черніков у 1975 році назвав групами з умовою щільності нормальності для всіх підгруп. Він же ввів поняття умов щільності і строгої щільності для будь-якої теоретико-групової властивості V (доповнюваності, субнормальності, майже нормальності і т.д.) системи підгруп ?. Властивість V підгруп групи G називається щільною (строго щільною) по відношенню до системи підгруп ?, якщо для будь-яких підгруп A і B із ?, де A – власна немаксимальна підгрупа з B, існує така підгрупа H із властивістю V, що A H B (A < H < B). Ці поняття широко використовувалися в роботах С.М.Чернікова і його учнів (М.С.Черніков, Л.А.Курдаченко, М.Ф.Кузенний, В.В.Пилаєв, В.Е. Горецький, М.М.Семко)

Різноманітні умови щільності нормальності для системи підгруп ? групи G у роботах М.М. Семка базуються на поняттях: відрізка ([A; B]) –, інтервалу ((A; B)) –, напівінтервалу ((A; B]) –, напівінтервалу ([A; B)) підгруп групи G, кожний із яких є множиною всіх підгруп X групи G таких, що A і B із ?, A – підгрупа з B і відповідно: A X B; A < X < B; A < X B; A X < B. Потужність відрізка, інтервалу, півінтервалу підгруп групи G називається його модулем, порядком або довжиною і позначається відповідно: |[A; B]|; |(A; B)|; |(A; B]|; |[A; B)|. За означенням |[A; B]| 1, тобто A – підгрупа з B, при |[A; B]| > 1 A – власна підгрупа з B, при |[A; B]| > 2 A – власна немаксимальна підгрупа з B.

У цій термінології А. Манн розглядав групи, у яких ? – система всіх підгруп групи G і для кожного відрізка [A; B] такого, що |[A; B]| > 2 справедливе співвідношення [A; B) ? N G.

В.Е. Горецький вивчав нескінченні групи, у яких |[A; B]| > 2 і ? – система всіх: нескінченних –, нескінченних абелевих –, нескінченних неабелевих підгруп групи G, для яких [A; B] ? N G.

М.М. Семко описав локально ступінчасті групи G, у яких ¦[А; В]¦> 1, ? – система всіх підгруп групи G, [А; В] ? N G та їх підкласи.

Якщо ? – система всіх нециклічних підгруп групи G, ¦[А; В]¦> 1 і [A; B] ? N G, то одержимо класи груп з різноманітними умовами щільності нормальності для нециклічних підгруп. Зауважимо, що ці класи груп є нові і вони значно узагальнюють клас дедекіндових груп, класи груп з різними умовами щільності нормальності для всіх підгруп, клас груп з нормальними нециклічними підгрупами.

Узагальненням дедекіндових груп, яке здійснюється завдяки різноманітним умовам щільності нормальності для нециклічних підгруп і присвячена дисертаційна робота. Це підкреслює її актуальність.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.Тема дисертаційної роботи пов’язана з тематикою наукових досліджень Інституту математики НАН України і Академії державної податкової служби України (номер державної реєстрації 0198U001999).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є дослідження наступних класів груп з умовами щільності нормальності для нециклічних підгруп:

·

·

Задачі дослідження:

·

·

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації вперше отримано нові теоретичні результати:

·

·

·

·

Допоміжним новим результатом, що має і самостійне значення, є:

·

Всі ці результати мають строге доведення.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Описані в дисертації класи груп розширюють конкретну базу груп з нормальними підгрупами. Результати дисертації можуть використовуватися в різних теоретико-групових дослідженнях.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати, які ввійшли в дисертаційну роботу, одержані самостійно і опубліковані у фахових виданнях [1 – 3] без співавторів. Співавтором робіт [4, 8, 9] є Семко М.М., якому належать уточнення формулювань та доведень результатів із цих робіт.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися і опубліковані в тезісах матеріалів:

міжнародних математичних конференціях ім. акад. М. Кравчука (Київ – 1998; 2000 р.);

VII Білоруській математичній конференції (Мінськ – 2000 р.);

ІІІ міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Суми – 2001 р);

Українського математичного конгресу 2001 (Київ – 2001).

Крім того, результати дисертаційної роботи доповідались на алгебраїчних семінарах Українського національного педагогічного університету ім. М.П. Драгоманова (1998 – 2000 роки) та Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2001 р. ).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 4 наукових статтях і в 5 тезах доповідей наукових конференцій (це публікації [1 – 4] та відповідно [5 – 9] із списку робіт, які наведені в кінці автореферату).

Структура і об’єм дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох основних розділів (які містять 7 підрозділів), висновків і списку використаних джерел. Список використаних джерел складається із 140 найменувань. Загальний обсяг дисертації – 116 сторінок.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність дослідження, показаний зв’язок теми, що досліджується в роботі, із планами наукових досліджень, формулюється мета і задачі дослідження, охарактеризовано наукову новизну роботи, практичне значення отриманих результатів, особистий внесок дисертанта, апробацію результатів дисертації, наведено структуру й обсяг дисертації. В структурі дисертації виділяється чотири основних розділи I – IY.

Узагальнення дедекіндових груп можна здійснювати шляхом звуження системи підгруп , що є нормальними в усій групі. Зрозуміло, що узагальнення таких груп можна одержати накладаючи обмеження нормальності на деякі підсистеми із . Однією з ефективних властивостей, що дає можливість виділяти підсистеми із , є включення однієї підгрупи із в іншу. З використанням цієї властивості багато авторів вивчали групи з різними умовами щільності нормальності для підгруп. Група G називається групою з різними умовами щільності нормальності для підгруп, якщо для довільної підгрупи А з підгрупи В в групі G існує така нормальна підгрупа N, що А N В. Зрозуміло, що так виділені групи можуть мати досить складну будову. А тому їхній опис можливий лише при додаткових обмеженнях, серед яких можна виділити таке досить широке обмеження як локальна ступінчастість.

У розділі І “Огляд літератури” дається огляд літератури, присвяченої дослідженням узагальнень дедекіндових груп та наведено короткий виклад відомих результатів, які використовуються в подальшому.

Розділ II “Будова локально ступінчастих УЩН[]-груп з циклічними чи мінімальними нециклічними власними підгрупами” присвячений деяким результатам про групи з умовами щільності нормальності для нециклічних підгруп. Завдяки проміжку (відрізок, інтервал, напівінтервал) вводиться вісім різних означень щільності і досліджуються властивості деяких з них (теорема 2.1.1). Наведено опис локально ступінчастих УЩН[]-груп з циклічними чи мінімальними нециклічними власними підгрупами (теорема 2.2.1). Цей розділ складається з двох підрозділів.

У підрозділі 2.1 “ Попередні результати” наводяться деякі відомі та нові необхідні означення і результати. Наведемо деякі із них.

О з н а ч е н н я 2.1.1. Нехай G – група, A і B – її підгрупи, A B. Відрізком (інтервалом) [A;B] ((A;B)) називається множина всіх тих і тільки тих підгруп Х із G, для яких A X B (A < X < B).

Напівінтервалом (A;B] чи [A;B) називається множина всіх тих і тільки тих підгруп X із G, для яких A < X B чи A X < B.

Проміжком {A;B} називається відрізок, інтервал або напівінтервал.

О з н а ч е н н я 2.1.2. Модулем проміжку |{A;B}| називається число його елементів.

О з н а ч е н н я 2.1.3. Нехай у групі G для довільного відрізка [A;B], де A та B – нециклічні підгрупи, існує нормальна підгрупа N із G така, що:

1) при |[A;B]| 1: 1.1) N [A;B];

2) при |[A;B]| > 1: 2.1) N (A;B]; 2.2) N [A;B); 2.3) N [A;B];

3) при[A;B]| > 2: 3.1) N (A;B); 3.2) N (A;B]; 3.3) N [A;B); 3.4) N [A;B].

Тоді G називається відповідно: Н()- , ЩН(]- , ЩН[)- , ЩН[]- , УЩН()_, УЩН(]- , УЩН[)- , УЩН[]-групою.

Вісім класів визначених тут груп будемо позначати відповідно через K(Н()), K(ЩН(]), K(ЩН[)), K(ЩН[]), K(УЩН()), K(УЩН(]), K(УШН[)), K(УЩН[]).

Л е м а 2.1.1. Всі 9 класів груп введені в означенні 2.1.3 замкнені за підгрупами та фактор-групами і незамкнені за прямими добутками.

Клас Н()-груп належить всім іншим 8 класам груп, а клас УЩН[]-груп містить всі інші 8 класів груп.

Клас ЩН()-груп належить перетину класів ЩН(] - та ЩН[)-груп, кожний з яких належить класу УЩН[]-груп.

Клас УЩН()-груп належить перетину класів УЩН(]- та УЩН[)-груп, кожний з яких належить класу УЩН[]-груп.

У підрозділі 2.2 “УЩН[]-групи з циклічними чи мінімальними нециклічними власними підгрупами” вивчаються групи із назви. Їх опис здійснено у теоремі 2.2.1.

Т е о р е м а 2.2.1. Всі групи G, у яких будь-яка власна немаксимальна підгрупа циклічна чи мінімальна нециклічна, є УЩН[]-групами і локально ступінчасті групи такого роду вичерпуються групами типів:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

Розділ III “Будова локально ступінчастих недисперсивних УЩН[]-груп” повністю присвячений опису локально ступінчастих недисперсивних УЩН[]-груп та їх підкласів. Цей розділ складається з двох підрозділів.

У підрозділі 3.1 “Недисперсивні УЩН[]-групи” дається опис груп із назви.

О з н а ч е н н я 3.1.1. Група G називається дисперсивною, якщо вона має силовський ряд , тобто ряд нормальних в G підгруп 1 = G0 G1 … Gi Gn = G таких, де n – ціле невід’ємне число, що при n = 0 G = 1, при n = 1 G – р-група, при n > 1, 0 < i < j n, Gi/Gi-1 – pi -група, Gj/ Gj-1 – рj-група , pi та рj – різні прості числа.

При цьому число n називається довжиною силовського ряду.

О з н а ч е н н я 3.1.2. Якщо група G не має силовського ряду, то вона називається недисперсивною.

О з н а ч е н н я 3.1.3. Недисперсивна група, у якій всі власні підгрупи дисперсивні, називається мінімальною недисперсивною групою.

О з н а ч е н н я 3.1.4. Локально дисперсивною групою називається група, у якої дисперсивні всі скінченно породжені підгрупи.

Н а с л і д о к 3.1.1. Всі дисперсивні, мінімальні недисперсивні та локально дисперсивні групи періодичні.

Л е м а 3.1.1. Локально ступінчасті УЩН[]-групи Шмідта мають вигляд G = P ? Q, де Р – нормальна в G силовська р-підгрупа порядку pб > 2, б {1, 2, 3, 4}, G? = P, Q – ненормальна циклічна силовська q-підгрупа з G порядку qв, в > 0, p i q – різні прості числа, P?= Ф(Р) Z(P), ¦Ф(Р )¦= p Д, Д {0, 1}, б – показник р по модулю q, Ф(Р) Q – максимальна підгрупа з G, Z(G) = Ф(Р) Ф(Q) та вичерпуються групами типів:

1)

2)

Л е м а 3.1.2. Локально ступінчасті УЩН[]-групи Міллера-Морено вичерпуються групами типів:

1)

2)

3)

4)

Л е м а 3.1.3. Скінченні розв’язні мінімальні недисперсивні УЩН[]-групи, комутант яких містить хоча б одну силовську підгрупу групи G, мають вигляд G = А ? D , А G, D = Q ? <b> – група Шмідта, Q – група порядку 3 та є групами одного з типів:

1) G = А ? D, А – група типу (2, 2), Q = <с>, А ? <b> та А ? <с> – групи Міллера-Морено, ¦b¦ {2, 4};

2) G = А ? D, А – група кватерніонів порядку 8, Ф(А) = Ф(<b>), А ? <b> – група кватерніонів порядку 24, Q = <с>, ¦ b ¦= 4, А ? <с> – група Шмідта.

Л е м а 3.1.4. Не існують скінченних розв’язних мінімальних недисперсивних УЩН[]-групи G, комутант яких не містить жодної силовської підгрупи групи G.

Л е м а 3.1.5. Скінченні нерозв’язні мінімальні недисперсивні УЩН[]-групи є групами одного з типів:

1)

2)

Т е о р е м а 3.1.1. Скінченні недисперсивні УЩН[]-групи є мінімальними недисперсивними групами і вичерпуються групами наступних типів:

1) G = А ? D, А – група типу (2, 2), D = Q ? <b> – група Шмідта, Q = <с>, ¦с¦= 3, ¦b¦ {2, 4}, А ? <b> та А ? <с> – групи Міллера-Морено;

2) G = А ? D, А G , А – група кватерніонів порядку 8, D = Q ? <b> – група Шмідта, Q = <с>, ¦с¦= 3, Ф(А) = Ф(<b>), А ? <b> – група кватерніонів порядку 24, ¦b¦ = 4, А ? <с> – група Шмідта;

3) G SL (2, 5);

4) G PSL (2, p}, p {5, 13, 43, 67}.

Н а с л і д о к 3.1.1 Для скінченних недисперсивних УЩН[]-груп G справедливі твердження:

1)¦G¦ ділиться на 12, а для розв’язних груп G ¦G¦ділиться на 24;

2) існує тільки скінченне число неізоморфних груп такого роду;

3) порядок групи G обмежений.

Л е м а 3.1.6. Локально ступінчаста примарна група G розв’язна і ступінь її розв’язності обмежена фіксованим числом.

Л е м а 3.1.7. Ступінь розв’язності скінченної дисперсивної УЩН[]-групи G обмежена фіксованим числом.

Т е о р е м а 3.1.2. Нескінченна періодична локально ступінчаста недедекіндова УЩН[]-група G є черніковською дисперсивною групою і ступінь її розв’язності обмежена фіксованим числом.

Т е о р е м а 3.1.3. Нескінченні періодичні локально ступінчасті недисперсивні УЩН[]-групи G вичерпуються періодичними дедекіндовими групами, у яких / ? (G) / = 8.

Підрозділ 3.2 “Деякі наслідки” присвячений характеризації деяких дисперсивних локально ступінчастих УЩН[]-груп. Крім того,описані деякі підкласи локально ступінчастих недисперсивних УЩН[]-груп.

Т е о р е м а 3.2.1. Нескінченні періодичні локально ступінчасті недедекіндові УЩН[]-групи G є розв’язними дисперсивними черніковськими групами виду G = R•D, де R – центральна в G підгрупа, що розкладається в прямий добуток не більше ніж двох квазіциклічних підгруп, D – скінченна дисперсивна група, G/R –УЩН [ ]-група.

Н а с л і д о к 3.2.1. Періодичні локально ступінчасті недисперсивні УЩН[]-групи є скінченними мінімальними недисперсивними групами та вичерпуються групами типів 1 – 4 теоремі 3.1.1.

Т е о р е м а 3.2.2. Періодичні локально ступінчасті недедекіндові УЩН()- та УЩН[)-групи G є розв’язними дисперсивними черніковськими групами.

Т е о р е м а 3.2.3. Періодичні локально ступінчасті недедекіндові недисперсивні УЩН(]-групи G є скінченними мінімальними недисперсивними групами та вичерпуються групами типів:

1) G = A ? D, A – група типу (2, 2), D = Q ? <b> – група Шмідта, Q = <с>, ¦с¦= 3, ¦ b ¦ 2, 4, A ? <b> та A ? <с> – групи Міллера-Морено;

2) G = A?D, A G, A – група кватерніонів порядку 8, D = Q ? <b> – група Шмідта, Q = <с>, ¦с¦= 3, Ф(А) = Ф(<b>), A?<b> – група кватерніонів порядку 24, ¦ b ¦= 4, A ? <с> – група Шмідта;

3) G SL(2, 5);

4) G PSL(2, p), р 5, 13, 43, 67.

Т е о р е м а 3.2.4. Нескінченні періодичні локально ступінчасті недисперсивні ЩН[]-групи вичерпуються періодичними дедекіндовами групами, у яких ¦? (G)¦ = .

У розділі IV “Дисперсивні локально ступінчасті УЩН []-групи” вивчаються локально ступінчасті дисперсивні нескінченні УЩН[]-групи, що мають ненормальні силовські підгрупи (теорема 4.2.1). Виявилось, що при цьому суттєво використовується опис деяких класів скінченних груп, які не породжуються своїми нециклічними 2-максимальними підгрупами (теорема 4.1.1). Зауважимо, що теорема 4.1.1 має і певне самостійне значення. Цей розділ складається з двох підрозділів.

У підрозділі 4.1 “ Деякі корисні результати” дається доведення теореми 4.1.1. Для цього використовуються ряд лем. Наведемо деякі із них.

Л е м а 4.1.3. Група кватерніонів G порядку 2n тоді і тільки тоді породжується своїми нециклічними 2-максимальними підгрупами, коли n> 4.

Л е м а 4.1.4. Скінченні примарні групи G, що не породжуються своїми 2-максимальними підгрупами, вичерпуються групами типів:

1)

2)

3)

Л е м а 4.1.5. Всі скінченні групи G, що не породжуються своїми 2- максимальними підгрупами і мають таку нормальну підгрупу N типу (р, р), для якої G/N – примарна циклічна група (р – просте число), вичерпуються групами типів:

1)

2)

G = (<a> Ч <d>) ? <a>, ¦c¦= ¦ d¦ = p, ¦a¦ = q Д, Д > 0, p i q – різні прості числа, елемент a індукує на (<с>?<d>) незвідний автоморфізм.

Л е м а 4.1.6. Всі скінченні групи G, що не породжується нециклічними 2-максимальними і мають таку нормальну підгрупу N типу (р, р), для якої G/N – група кватерніонів порядку 8, вичерпуються групами типів:

1) G = <a> ·<b>, ¦а¦=¦b¦=8, ¦<a> < b >¦ = 2, b-1а b = а-1;

2) G = P ? Q – група Фробеніуса, Р – силовська підгрупа групи G типу (р, р), р > 2, Q = <a, b> – група кватерніонів порядку 8, будь-який елемент v із Q, що не належить <b>, індукує на Р незвідний автоморфізм.

Л е м а 4.1.7. Всі скінченні групи G, що не породжуються нециклічними 2-максимальними підгрупами і мають таку нормальну підгрупу N типу (р, р), що G /N – група типу 3 леми 4.1.4, вичерпуються групами типів:

1)

2)

3)

Т е о р е м а 4.1.1. Всі скінченні групи G, що не породжуються своїми нециклічними 2-максимальними підгрупами, мають таку нормальну підгрупу N типу (р, р), для якої G/N – одинична чи примарна група і яка не породжується своїми 2-максимальними підгрупами, вичерпуються групами типів:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

4)

Підрозділ 4.2 “Локально ступінчасті дисперсивні нескінченні УЩН[]-групи, що мають ненормальні силовські підгрупи” присвячений опису груп із назви.

Т е о р е м а 4.2.1. Нехай G – локально ступінчаста дисперсивна нескінченна УЩН[]-група, що має ненормальні силовські підгрупи. Тоді G черніковська група з центральною повною частиною R виду G = U ? (Р ? V), де R не містить двох різних квазіциклічних підгруп, нескінченна підгрупа R Р локально циклічна, U – нільпотентна холлівська підгрупа із G, |(U)| < 4, V – локально скінченна черніковська група з циклічними власними немаксимальними підгрупами, Р – скінченна ненормальна в G силовська р-підгрупа групи G, для будь-якої неодиничної силовської q-підгрупи Q із U [Q, P] 1 і Р – група одного з типів:

1) Р = < а >, | а | = рб, б > 0;

2) Р = < а > · < b > – група кватерніонів, |а| {4, 8 }, | b | = 4, |< а > < b>| = 2, b-1 а b = а-1;

3) Р – група типу 1 теореми 4.1.1;

4) Р – група типу 2 теореми 4.1.1 при р = q;

5) Р – група типу 3 теореми 4.1.1;

6) Р – група типу 4 теореми 4.1.1;

7) Р – група типу 5 теореми 4.1.1;

8) Р = < а > ? < b >, | а | = 8 , | b | = 2, b-1 а b = а3.

Н а с л і д ок 4.1.1. Нехай G = U ? (Р ? V) – група із теоремами 4.2.1. Тоді G = U · D, де D = NG (P) і справедливе одне із тверджень:

1)

2)

3) D – нільпотентна п-максимальна підгрупа із G, п < 3, ¦G¦< , D ? G, D містить підгрупу F = P · N, де N – група типу (р, р) чи група кватерніонів порядку 8, [D : F] {1, s}, s – просте число;

4) D = P ? <d> – максимальна підгрупа скінченної групи G = U ? D, ¦d¦ = r – просте число, [Р, <d> ] 1, Р – група типу 2 чи 3 теореми 4.2.1;

5) D = P ? W – ненормальна максимальна підгрупа із скінченної групи G, D – ненільпотентна група, Р – циклічна група, всі 2-максимальні підгрупи із W циклічні;

6) D = P ? <d> – ненільпотентна ненормальна в G 2-максимальна підгрупа скінченної групи G = U ? D, P – циклічна група, ¦d¦= r, [Р, <d> ] = Р.

ВИСНОВКИ

Вивчення груп із заданими властивостями підгруп поповнює конкретну базу теорії груп і збагачує її новими результатами. Починаючи з класичних робіт Р. Дедекінда та Р. Бера, у яких описані дедекіндові групи (групи, всі підгрупи яких нормальні), почалося вивчення довільних груп G, у яких деяка система підгруп ? групи G задовольняє умову нормальності. Цей напрямок є одним з важливих в теорії груп. Його головною метою є опис узагальнень дедекіндових груп. В дисертаційній роботі здійснено узагальнення дедекіндових груп, яке базується на понятті щільності нормальності для нециклічних підгруп.

Вивчено до твірних елементів і визначальних співвідношень і подано конструкцію побудови локально ступінчастих УЩН[ ]-груп, у яких будь-яка власна немаксимальна підгрупа циклічна чи мінімальна нециклічна (теорема 2.2.1 );

Аналогічно охарактеризовано періодичні недедекіндові локально ступінчасті недисперсивні УЩН[ ]-групи та їх підкласи (теореми 3.1.1, 3.1.3, 3.2.2, 3.2.3 );

Встановлено, що нескінченні періодичні локально ступінчасті недисперсивні ЩН[ ]-групи дедекіндові (теорема 3.2.4 );

Знайдено конструкції побудови в термінах прямих, напівпрямих добутків та скінченних розширень локально ступінчастих дисперсивних УЩН[]-груп, що мають ненормальні силовські підгрупи (теорема 4.2.1).

Допоміжним новим результатом, що має і самостійне значення, є:

опис скінченних груп G, що не породжуються своїми 2-максимальними нециклічними підгрупами, містять нормальну підгрупу N типу (р, р) і G/N – примарна група (теорема 4.1.1).

Всі результати дисертаційної роботи мають строге доведення і базуються на класичних теоретико-групових методах.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.