НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ

МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

КРИВЕНЬ

Василь Андрійович

УДК 539.375

РОЗВИТОК ДИСКРЕТНО-ЛІНІЙЧАСТИХ І КОНТИНУАЛЬНИХ ПЛАСТИЧНИХ ЗОН В ОКОЛІ КОНЦЕНТРАТОРІВ НАПРУЖЕНЬ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Львів – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя Міністерства освіти і науки України, м Тернопіль.

Науковий консультант – доктор фізико-математичних наук, професор

Сулим Георгій Теодорович,

Львівський національний університет

імені Івана Франка, завідувач кафедри механіки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Осадчук Василь Антонович,

завідувач кафедри зварювання і діагностики конструкцій,

Національний університет “Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України, м. Львів;

доктор фізико-математичних наук, професор

Саврук Михайло Петрович,

завідувач відділу механіки композиційних матеріалів,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка

НАН України, м. Львів;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий

співробітник

Сенченков Ігор Костянтинович,

головний науковий співробітник відділу термопружності,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка

НАН України, м. Київ.

Провідна установа: Донецький національний університет,

кафедра теорії пружності та обчислювальної математики,

Міністерство освіти і науки України, м. Донецьк.

Захист відбудеться “ 16 ” вересня 2002 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою:

79060 м. Львів, МСП, вул. Наукова, 3-Б.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою:

79060 м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

Автореферат розісланий ” 14 ” сернпя 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико-математичних наук П.Р. Шевчук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. До сучасних завдань механіки деформівного твердого тіла належить прогнозування деформаційних та міцнісних параметрів деталей машин і елементів конструкцій у машинобудуванні та будівництві, гірських порід тощо. Вимоги до надійності таких прогнозів постійно зростають. Узагальнення теоретичних моделей вимагає урахування нелінійних ефектів, зокрема – розвитку пластичних деформацій. При експериментальних дослідженнях форм пластичних зон за неоднорідної деформації багатьох конструкційних матеріалів і гірських порід спостерігається нестабільність таких зон та можливість локалізації їх у тонких смугах. Спостережувані структури зон не завжди узгоджуються з формами, отриманими за допомогою класичних неперервних розв’язків пружно-пластичних задач. Це пояснюється також і нестабільністю форми пластичної зони, зумовленою зеренною структурою матеріалу, яка впливає на кількість смуг пластичності, що можуть виникати для релаксації напружень і спричиняти при цьому значний розкид вимірюваних значень розкриття вістря тріщини. Назріла потреба у розробці таких математичних моделей зон пластичності, які давали би уніфікований метод побудови дискретно-лінійчастих та континуальних зон пластичності, дали можливість на основі розв’язку для дискретно-лінійчастої зони робити висновки щодо розмірів і форми континуальної пластичної зони. Її вирішення визріло як логічне продовження досліджень розвитку пластичних смуг, орієнтованих, передусім, на наближене врахування явищ пластичності в околі концентраторів напружень. Такий підхід до моделювання континуальних зон використовується відомими українськими та зарубіжними науковими школами з механіки. Розробка методів дослідження пластичних зон дискретно-лінійчастих структур та вивчення на їх основі закономірностей розвитку пластичних смуг в околі концентраторів напружень, а також аналіз взаємопов’язаності між зонами з континуальною та дискретно-лінійчастою структурою є важливим та актуальним завданням. Методика обчислення розкриття тріщини за допомогою коефіцієнта інтенсивності напружень (КІН) пружного розв’язку слушна для досить малих пластичних зон, котрі розвиваються майже автомодельно, також вимагає свого обґрунтування. Виникає питання про межі застосовності формул для характеристик пластичної зони, виражених через КІН. Залишається важливою розробка аналітичних методів дослідження та розв’язування пружно-пластичних задач, придатних для тіл ускладненої геометрії, котрі давали би можливість досліджувати пластичні зони в околі концентраторів різного типу, враховувати їхню взаємодію та вплив меж тіла.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Ідеї і методи, розвинуті під час підготовки дисертації, знайшли застосування при виконанні держбюджетних науково-дослідних робіт: ”Розробка контролера та системного програмного забезпечення кольорової півтонової динамічної візуалізації оцінок параметрів і характеристик моделей фізичних полів” (1991–1993 рр., № держреєстрації 0193U039359, дисертант – виконавець), ”Розробка технологій виготовлення і дослідження напружено-деформованого стану оболонкових конструкцій з заданими експлуатаційними властивостями” (1994–1996 рр., № держреєстрації 0194U030609, дисертант – відповідальний виконавець), ”Числово-аналітичне розв’язування пружно-пластичної задачі та прямої й оберненої задач електростатики” (1997–1999 рр., № держреєстрації 0197U004550, дисертант – відповідальний виконавець), ”Математичне моделювання виникнення, визначення та оптимізації рівня залишкових технологічних напружень в плитах і пластинах” (номер держреєстрації 0100U000788, дисертант – відповідальний виконавець, тема виконується з 2000 р.).

Мета і задачі досліджень. Метою роботи є вирішення важливої наукової проблеми, шляхом розробки моделей і методів визначення напружено-деформованого стану в ідеально пружно-пластичному середовищі з використанням теорії дискретно-лінійчастих пластичних зон, що включає розв’язання таких задач:

Ш

Ш

Ш

Ш

Ш

Ш

Ш

Об’єкт досліджень – ідеально пружно-пластичні тіла з концентраторами напружень.

Предмет досліджень – континуальні і дискретно-лінійчасті пластичні зони, що виникають в ідеально пружно-пластичному тілі поблизу концентраторів напружень.

Методи досліджень – теоретичні дослідження проводилися з використанням сучасних методів механіки деформівного твердого тіла (теорії ідеально пружно-пластичного середовища, моделювання смуг пластичності лініями стрибка тангенціального переміщення); апарату теорії функцій комплексної змінної (методи конформних відображень, задача Келдиша-Сєдова); методів послідовних наближень для розв’язування систем нелінійних рівнянь при визначенні параметрів перетворення Крістофеля-Шварца і забезпеченні умов обмеженості розв’язків задачі Келдиша-Сєдова.

Наукова новизна одержаних результатів.

Ш

Ш

Ш

Ш

Ш

Ш

Ш

Практичне значення одержаних результатів. На основі запропонованого критерію автомодельності розвитку пластичних зон надано строгого змісту поняттю малої пластичної зони. На його основі визначено інтервали навантажень, для яких коректне обчислення використовуваного механікою руйнування розкриття вістря тріщини за допомогою коефіцієнта інтенсивності напружень пружного розв’язку. Для вищих навантажень зроблено двосторонню оцінку цього розкриття. Характеристики дискретно-лінійчастих пластичних зон можна використовувати у механіці руйнування для оцінки форми континуальної зони, розкиду величини розкриття тріщини, спричиненого появою смуг ковзання. Методика обчислення ефективних модулів зсуву композита, армованого системою ромбічних волокон з урахуванням їх часткового пластичного відшаровування становить інтерес для прогнозування деформаційних характеристик армованих жорсткими волокнами композитів при інтенсивних навантаженнях. Методика розрахунку характеристик пластичних зон має практичне значення для механіки руйнування та міцності матеріалів, що можуть зазнавати значних пластичних деформацій, а також у геомеханіці для визначення опору зсуву та зрізуванню. Модель пластичного відшаровування жорстких включень і отримані розв’язки задач про відшаровування включень можна використовувати для дослідження руйнування, зумовленого пластичним проковзуванням. Результати досліджень пластичних зон при вершині односторонньо відшарованих включень придатні для побудови критеріїв руйнування за неідеального механічного контакту.

Розроблені методи, алгоритми, програми і побудовані розв’язки конкретних задач використані при виконанні держбюджетних науково-дослідних робіт у Тернопільському державному технічному університеті ім. Івана Пулюя.

Результати роботи використані у Тернопільському державному науково-технічному підприємстві “Промінь” при розробці пакету прикладних програм аналізу формування дзеркальних антен шляхом пневмогідровитяжки та у Львівському національному університеті ім. Івана Франка при підготовці спеціалістів за напрямком “Механіка”.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується достовірністю положень механіки деформівного твердого тіла, покладених в основу використаних та запропонованих моделей розвитку пластичних зон, фізичною та математичною коректністю формулювань крайових задач, використанням обґрунтованих аналітичних та числових методів, відповідністю висновків і результатів фізичній суті досліджуваних явищ, а також повним узгодженням отриманих результатів для окремих часткових та граничних випадків із відомими у літературі теоретичними і експериментальними даними.

Особистий внесок здобувача. Теоретичні і практичні розробки дисертації належать здобувачу особисто, що відображено у 14 самостійних статтях і 7 самостійно підготовлених виступах і тезах наукових конференцій. У всіх опублікованих у співавторстві працях автору належить постановка або участь у постановці задач. У роботах, виконаних у співавторстві з С.Р. Гром’яком, М.І. Яворською, Д.В. Іващуком, Є.М. Ланьош, О.Б. Гнатюк, С.В. Пастернаком, автору належить постановка задач, вибір методу їх розв’язування та інтерпретація результатів. У статтях, виконаних спільно з Г.Т. Сулимом, автору належить участь у постановці задач і формулюванні висновків, проведення аналітичних викладок та числових експериментів.

Апробація результатів роботи. Основні результати досліджень доповідалися і обговорювалися на 3-ій Всесоюзній конференції ”Смешанные задачи механики деформируемого тела” (Харків, 1985), 4-ій Республіканській науково-технічній конференції ”Неметаллические включения и газы в литейных сплавах” (Запоріжжя, 1985), 1-ій Всесоюзній конференції ”Механика разрушения материалов” (Львів, 1987), Всесоюзній конференції ”Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики” (Владивосток, 1990), 8-ій Міжнародній конференції по руйнуванню (ICF8) (Київ, 1993), 4-ій Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995), 4-му Міжнародному симпозіумі ”Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій” (Тернопіль, 2000), Міжнародній конференції ”Оцінка і обґрунтування продовження ресурсу елементів конструкцій” (Київ, 2000), 5-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 2001), Міжнародній науково-практичній конференції ”Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела” (Донецьк, 2001), 11-ій Міжнародній науковій школі ім. академіка С.А. Христіановича ”Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках” (Сімферополь, 2001).

У повному обсязі робота доповідалася і обговорювалася на семінарах: ”Прикладна механіка і математика” Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя під керівництвом проф. О.М. Шаблія, ”Проблеми механіки” Київського національного університету імені Т.Г. Шевченка під керівництвом академіка НАН України В.Т. Грінченка і члена-кореспондента НАН України А.Ф. Улітка, “Механіка зв’язаних полів в матеріалах та елементах конструкцій” Інституту механіки імені С.П. Тимошенка НАН України під керівництвом академіка НАН України Ю.М. Шевченка, “Статична міцність“ Інституту проблем міцності НАН України під керівництвом академіка НАН України А.О. Лєбедєва, кафедр теорії пружності і обчислювальної математики, теоретичної і прикладної механіки Донецького національного університету та відділу аналітичних методів механіки гірських порід Інституту прикладної математики і механіки НАН України під керівництвом академіка НАН України О.С. Космодаміанського, "Проблеми механіки деформівного твердого тіла” Інституту прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригача під керівництвом члена-кореспондента НАН України Г.С. Кіта, кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка під керівництвом проф. Г.Т. Сулима, відділу механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України під керівництвом проф. М.П. Саврука.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 30 (21 одноосібних) друкованих наукових працях, в тому числі у 21-ій статті у наукових журналах і збірниках праць з переліку фахових видань ВАК України публікацій результатів дисертаційних робіт на здобуття наукового ступеня за обраною спеціальністю.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, семи розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 247 назв. Обсяг основного тексту дисертації – 287 с. Робота містить три повні сторінки рисунків і одну сторінку таблиць, решта рисунків і таблиці наведено у тексті.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан вивчення наукової проблеми, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі досліджень, висвітлено наукову новизну отриманих результатів та їх практичне значення, наведено дані про апробацію отриманих результатів і публікацій, що відображають основний зміст роботи.

У першому розділі роботи зроблено короткий огляд досліджень розвитку пластичних зон поблизу концентраторів напружень.

Сучасна теорія пружно-пластичного середовища сформувалася під впливом праць Г. Генкі, Д. ДраккераД.Д. Івлєва, О.А. Ільюшина, Л.М. Качанова, В.Т. Койтера, А.А. Надаї, В. Праґера, В.В. Соколовського, Р. Хілла, Ф. Ходжа, Ю.М. Шевченка та інших. Важливі прикладні дослідження розвитку пластичних деформацій у тілах з концентраторами напружень виконані Б.Д. Анніним, Л.А. Галіним, В.А. Ібрагімовим, Б.В. Костровим, Ф. Макклінтоком, Л.В. Нікітіним, Дж. Райсом, А.Е. Сєгаловим, І.К. Сенченковим, Я. Хальтом, Г.П. Черепановим, Ю.М. Шевченком, Є.І. Шем’якіним та іншими.

Дослідженням розвитку пластичних смуг в околі вершин тріщин і смуговим моделям пластичних зон присвячені праці багатьох вчених: О.Є. Андрейківа, П. Артура, Л.Т. Бережницького, Б. Білбі, У. Блекберна, К. Ватанабе, П.М. Витвицького, Д.С. Дагдейла, Ю. Йошікави, А.О. Камінського, Л.А. Кіпніса, Б.В. Кострова, А. Котрела, В.Д. КулієваМ.Я. ЛєоноваЙ. Лі, В.М. Мірсалімова, Л.В. Нікітіна, М.М. Николишина, В.А. Осадчука, В.В. Панасюка, Дж. Райса, М.П. Саврука, Ю. Сато, К. Свіндена, Г.Т. Сулима, М. Тойя, Ф. Філда, Г.П. Черепанова, М.Ю. Швайка та інших.

Пластичні зони, що виникають внаслідок навантажування тіла, не завжди відразу формуються як континуальні. Можлива поява спочатку одної або декількох пластичних смуг та збільшення їх кількості з ростом навантаження. Велика кількість пластичних смуг, зливаючись, утворює континуальну пластичну зону.

У розділі сформульовані постановки пружно-пластичних антиплоских задач для ідеально пружно-пластичних тіл за активного навантаження для континуальної пластичної зони і для дискретно-лінійчастих пластичних зон, утворених системою окремих пластичних ліній розриву переміщення. Відмінність у постановках задач для континуальної пластичної зони і дискретно-лінійчастої полягає у тому, що у першому випадку поява пластичних деформацій не призводить до таких проковзувань, за яких виникає тангенціальний розрив переміщення. Розв’язок задачі для континуальної пластичної зони шукається у класі неперевно-диференційовних, а для дискретно-лінійчастої – у класі кусково неперервно-диференційовних переміщень. У антиплоскому стані за ненульового переміщення уздовж осі аплікат у пружній частині тіла функція напружень є аналітичною функцією комплексної змінної ; умова пластичності має вигляд ( – зсувний поріг текучості матеріалу тіла).

На основі проведеного аналізу літературних даних обґрунтовано вибір напряму і мети цієї роботи.

Завершується перший розділ дослідженням зв’язку плоскої та антиплоскої задач для площини із колінеарною системою розрізів. Сформульовано і доведено теореми про аналогію таких задач, котрі дають достатні умови, за яких комплексні потенціали плоских задач для площини із колінеарною системою розрізів лінійно подаються через функцію напружень антиплоскої задачі.

Другий розділ стосується теорії дискретно-лінійчастих пластичних зон. Тут також запропоновано методику оцінки малості пластичної зони для обґрунтовання способу визначення розкриття тріщини через КІН.

Структура пластичної зони – в’язка довільної кількості пластичних смуг з центром у вершині клинового вирізу (рис. 2.1)

Пластичні смуги формуються внаслідок зсувів уздовж площинок максимального зсувного напруження. У кінцевих точках смуг площинки максимального зсувного напруження дотичні до смуг, тобто

. (2.2)

Визначення функції напружень зводиться до побудови конформного відображення, оскільки внаслідок умов (2.3) конформно відображає розрізаний уздовж відрізків, що відповідають пластичним смугам, кут на круговий сектор , .

Функція напружень знайдена у параметричній формі/

Довжини смуг визначаються за першою формулою (2.6): . Для кожної пластичної смуги максимальний розрив зміщення досягається у її початковій (спільній із вершиною вирізу) точці.

Цей вираз у пружній області збігається з розв’язком пружно-пластичної задачі для клинового вирізу з континуальною пластичною зоною, отриманим в інший спосіб Я. Хальтом і Ф. Макклінтоком. Зі збіжності послідовності функцій напружень для дискретно-лінійчастих пластичних зон до функції напружень для континуальної пластичної зони у області пружності випливає рівномірна збіжність поля переміщень для дискретно-лінійчастих зон до переміщення для континуальної зони у пластичній області.

Для декількох смуг при однакових кутах між сусідніми смугами форми дискретно-лінійчастих і континуальної зон для кута зображено на рис. .2.

У кутах між смугами матеріал перебуває у пружному стані, але максимальне зсувне напруження є близьким до порогу текучості. Це дає можливість наближеного визначення контура континуальної пластичної зони за розв’язками для дискретно-лінійчастої пластичної зони зі скінченною кількістю смуг. Межею пластичної зони при вершині тріщини у середовищі з порогом текучості () вважатимемо лінію , на якій для дискретно-лінійчастої пластичної зони максимальне зсувне напруження дорівнює .

Знайдені у такий спосіб за розривним розв’язком (для ) наближення границі зони і точна межа континуальної зони відображені на рис. .3. Криві 1, 2 – точні границі зони, – наближені. Наближення границі зони є досить добрим і значно кращим, від прогнозованого за пружним розв’язком.

Проаналізоване виникнення дискретно-лінійчастої пластичної зони при вершині тріщини у матеріалі із затримкою текучості. Пластична смуга починає розвиватися, коли на певній площинці дотичне зсувне напруження досягає рівня верхнього порогу текучості , і продовжує свій розвиток уздовж напряму, визначеного цією площинкою, за умови, що ( – нижній поріг текучості). Поза смугами зони зсувні напруження не можуть перевищувати верхнього порогу текучості: .

За умови рівності кутів між сусідніми смугами функція напружень для є такою:

Поза пластичними смугами зсувне напруження досягає максимальних значень біля вершини тріщини, причому Для ; для ; при . Таким чином, у тілі зі зубом на діаграмі в околі вершини тріщини виникатимуть дві пластичні смуги, якщо ; три, якщо ; чотири, коли ; п’ять, коли і т. д.

Запропоновано модель квазістатичного росту дискретно-лінійчастої пластичної зони для тріщини скінченної довжини

Функцію знайдено у вигляді (2.5) за допомогою конформних відображень:

Відповідні кінцям пластичних смуг точки площини відомі внаслідок умови прямолінійності розвитку смуг (2.2); точки цієї площини визначаються із умови рівності довжин берегів розрізів, які при конформному відображенні відповідають смугам зони:Довжини смуг і величини розривів зміщень у початкових точках смуг знаходяться так, як і у випадку клинового вирізу.

У випадку одної смуги функція напружень (2.10) збігається із раніше отриманою іншим способом Б.В. Костровим і Л.В. Нікітіним.

Досліджено випадок зони, утвореної безмежною кількістю смуг, коли всі . Для цього введено послідовність аналітичних у функцій

. (2.12)

Тому у граничному випадку для приходимо в області до такої задачі Келдиша-Сєдова:

.

Її розв’язком є функція напружень для тріщини з континуальною пластичною зоною, раніше отриманою Г.П. Черепановим способом аналітичного продовження.

Заміною у рівності (2.12) функції на її граничне значення пружно-пластична задача в класі неперервних функцій лінеаризується стосовно нової невідомої функції

, (2.13)

де – координата центру в’язки смуг.

Завершується розділ введенням поняття автомодельності розвитку пластичної зони і формулюванням відповідного критерію. Розвиток зони вважається автомодельним, якщо її форма не змінюється під час розвитку. За міру неавтомодельності розвитку прийнято величину

, (2.14)

де – полярне рівняння границі зони; – перший ненульовий член розвинення в ряд функції за змінною ( , ). Вона характеризує відхилення (з точністю до гомотетії) контура зони від межі зони при безмежно малому навантаженні. Міру неавтомодельності розвитку поширено також на ріст пластичної смуги на продовженні тріщини () та розкриття тріщини (). Як і у випадку форми зони, ці величини дають відносну похибку при заміні відповідних функцій першими ненульовими членами розвинення їх у ряд за параметром зовнішнього навантаження. Показано, що при фіксованому навантаженні , а є значно меншою від . Таким чином, критерієм автомодельності розвитку зони може слугувати умова автомодельності розвитку смуги. Тоді автомоде-льність розвитку розкриття забезпечуватиметься з вищою точністю. Поки зона розвивається майже автомодельно, її характеристики можна визначати за КІН.

Згідно з Г.П. Черепановим а також С. Атлурі і А. Кобаясі, відношення ( – тип тріщини; – розриття вістря тріщини, визначене за континуальною і односмуговою моделями пластичної зони відповідно) є найбільшим у випадку поздовжнього зсуву (). Тому з урахуванням того, що , для тріщини нормального розриву () чи поперечного зсуву () можна отримати двосторонню оцінку розкриття на основі величини , відповідної односмуговій моделі зони (верхня оцінка), та параметра для відповідної антиплоскої задачі. Нижню оцінку дасть вираз .

У третьому розділі вивчається розвиток пластичних зон в околі вирізів і жорстких включень. Спочатку досліджено розвиток континуальної пластичної зони для двоперіодичної системи ромбічних вирізів (один період наведено на рис 3.1).

Вивчено розвиток пластичних зон для двоперіодичної системи жорстких ромбічних включень, що до навантаження перебували в ідеальному механічному контакті з середовищем. Форма включень повторює форму вирізів, зображених на рис. .1. Приймаються ті самі умови симетрії (3.1) для переміщення, що й у випадку вирізів, і умова Розглянуто дві схеми розвитку пластичних деформацій: континуальну і пластичне відшаровування. Зони пластичності розвиваються від кінцевих точок діагоналі, перпендикулярної до площини зсуву, у кінцевих точках іншої діагоналі напруження є нульовими.

Форма зони для цього випадку подана на рис. .3. Навіть для як завгодно близьких до порога текучості навантажень пластична зона охоплює лише частину поверхні включення. Границя зони при великих навантаженнях може як завгодно далеко відходити від поверхні включення.

Визначено ефективні модулі зсуву композита з двоперіодичною системою жорстких волокон ромбічної форми.

Досліджено розвиток континуальних пластичних зон при витягуванні жорсткої правильної -кутної призми із необмеженого середовища. Сила діє вздовж осі призми.

У цьому випадку знайдено границю зони пластичних деформацій (рис. .5), протяжність пластичної зони вздовж граней призми, величину розриву зміщення у вершинах призми. Найменше значення сили, за якої вся призма охоплюється пластичною зоною, дає можливість перевірити якість механічного з’єднання волокна і матриці.

Дослідження розвитку пластичних зон в околі ромбічного та правильного призматичного включень дають змогу проаналізувати пластичні зони в околі включення квадратного перерізу як при навантаженні, прикладеному на нескінченності, так і під дією прикладеної до включення сили. Становить інтерес дослідження пластичних зон для прямокутного включення при довільному співвідношенні його вимірів. Зокрема випадок сильно видовженого прямокутного включення важливий для механіки руйнування, де тонкі включення спрощено вважаються нескінченно тонкими.

Досліджено пластичне відшаровування прямокутного включення під впливом діючої вздовж осі призми сили або внаслідок прикладеного на безмежності навантаження (рис. .6). Знайдено довжини горизонтальної і вертикальної пластичних смуг та величину розриву зміщення у вершині включення.

Якщо прикладене на нескінченності навантаження діє паралельно до горизонтальних сторін включення, завжди, незалежно від , спочатку (при ) настає повне відшарування горизонтальних боків включення. Величина визначається формою включення.

При витягуванні прямокутного включення процес відшаровування розпочинається у вершинах прямокутника і поширюється вздовж кожної із сторін. Першими повністю відшаровуються менші сторони. Закон росту пластичної смуги уздовж більших сторін при витягуванні тонкого включення кількісно близький до закону зміни довжини смуги при відшаровуванні безмежно тонкого включення.

Граничним переходом при знайдено пружний розв’язок задачі для прямокутного включення. Показники сингулярності поля напружень для безмежно тонкого включення і включення скінченної товщини відповідно дорівнюють 1/2 та 1/3. Пружні поля напружень тонкого і безмежно тонкого включень суттєво відмінні, але процеси їх пластичного відшаровування кількісно близькі.

Асиметрія розвитку пластичних смуг для прямокутного включення обумовлена взаємодією концентраторів напружень (різних вершин включення). Іншою причиною несиметричного розвитку може бути вплив границі тіла, який досліджено для випадку тонкого включення (), паралельного до межі півпростору , під дією перпендикулярних до включення зсувних навантажень, прикладених у безмежно віддаленій точці.

На початковій стадії пластичні зони в околі кутової точки вирізу (див. рис. .2) і включення (див. рис. .3, рис. .5) розвиваються приблизно гомотетично. При вищих навантаженнях відхилення від автомодельності розвитку може бути більш чи менш значимим. Області у просторі навантаження – геометрія системи, у яких відхилення від автомодельності не перевищує сталої величини, подані для півпростору з клиновим вирізом (рис. .7, – кут при вершині) та для колінеарної одноперіодичної системи тріщин (рис. .8). Автомодельність розвитку зони є наслідком її малості проти концентратора. Однак ця умова не є достатньою, що випливає із аналізу розвитку зони в околі вершин двох паралельних півбезмежних тріщин під дією прикладених на безмежності паралельно до тріщин зсувних зусиль (рис. .9).

Розділ 4 стосується вивчення розвитку пластичних зон в околі односторонньо відшарованих тонких жорстких включень. Досліджено маломасштабну дискретно-лінійчасту пластичну зону в околі вершини півнескінченного одностороньо відшарованого тонкого включення . Один бік включення перебуває в ідеальному механічному контакті з середовищем, другий – не контактує з середовищем. Пластичним смугам відповідають відрізки (2.1),  – кут між -ою смугою і невідшарованим берегом включення (рис. .1). На відміну від тріщини асимптотика функції напружень на нескінченності є іншою: при .

Досліджено розвиток континуальної пластичної зони для одностороннього відшарованого тонкого жорсткого включення скінченної довжини. Деформація зумовлена паралельним до площини включення зсувним навантаженням, прикладеним на безмежності, та силою, що діє на включення у напрямку осі аплікат.

У п’ятому розділі досліджується розвиток пластичних деформацій при зрізуванні масивних тіл. Досліджено пружно-пластичне деформування півшару, зумовлене сталими зміщеннями верхньої і нижньої половин торця.

Розв’язок задачі для смуги з розрізом, при іншому способі навантаження випливає з розв’язку двоперіодичної задачі, отриманої у попередньому розділі. Це дає змогу перевірити вплив способу навантаження тіла одної і тої самої форми на умову автомодельності розвитку зони. Області автомодельного розвитку зон у координатах геометричні параметри – довжина смуги практично збігаються. Це також свідчить на користь важливої гіпотези, що умови автомодельності розвитку зони визначаються співвідношеннями геометричних вимірів тіла та зони, а не способом навантаження.

Розділ 6 стосується аналізу впливу закругленості концентратора напружень на розвиток пластичних зон. У попередніх розділах вершини вирізів і включень вважалися гострими з нульовим радіусом кривини. У цьому розділі досліджено вплив скінченності кривини концентраторів на пластичне відшаровування включень та розвиток континуальної зони біля вирізу.

Розглянуто випадок жорсткого циліндричного включення і включення еліптичної форми.

Досліджено вплив закругленості вершин вирізів на розвиток пластичних зон для двоперіодичної системи ромбічних вирізів зі округленими вершинами.

У розділі 7, де вивчається анізотропія текучості та умови локалізації пластичних деформацій у смугах, спочатку досліджено умови реалізації дискретно-лінійчастої структури зон пластичних деформацій в околі тріщини поздовжнього зсуву на основі відомого критерію вибору

. (7.1)

Досліджено вплив розміру кута при вершині вирізу на умову локалізації пластичних деформацій у площині його бісектриси. Визначена формулою (7.1) швидкість дисипації енергії у континуальній пластичній зоні в околі вершини кутового вирізу залежить від його кута розхилу.

Наприкінці досліджено вплив тертя берегів тріщини поздовжнього зсуву на локалізацію пластичних деформацій у площині тріщини. Оскільки найважливішою є початкова стадія розвитку зони, то тріщина вважається півнескінченною. Зумовлені силами тертя, напруження на берегах тріщини вважаються сталими.

За наявності тертя берегів тріщини пластичні деформації локалізуються у площині тріщини, щойно границя текучості у цій площині . Крива 2 (рис. .3) відображає максимальні значення , для яких за наявності тертя пластичні деформації локалізуються у площині тріщини. Для кутового вирізу  – розхил кута; для тріщини з взаємодіючими берегами – .

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота спрямована на формулювання і розв’язання важливої наукової проблеми – розробки моделей і методів визначення напружено-деформованого стану в ідеально пружно-пластичному середовищі з використанням теорії дискретно-лінійчастих пластичних зон. Вона також містить результати дослідження пластичних зон для нових типів і форм концентраторів напружень і відображає практичні потреби нелінійної механіки руйнування, теорії композиційних та армованих матеріалів, геомеханіки та інших галузей прикладних досліджень міцності та жорсткості матеріалів і конструкцій. У роботі отримано такі основні результати та висновки.

·

·

·

·

·

·

Отримані результати розширюють сферу застосувань аналітичних досліджень пластичних деформацій в околі концентраторів напружень і доповнюють теорію деформування тіл за межею пружності. Вони перспективні для нелінійної механіки руйнування при розрахунку деформативних особливостей та міцності тіл, що можуть зазнавати значних пластичних деформацій, для побудови стохастичних критеріїв руйнування, які враховують різнотипність можливих структур зон пластичних деформацій.

Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.