Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Кушнір Володимир Олегович

УДК 517.53

АНАЛІТИЧНІ ФУНКЦІЇ

ОБМЕЖЕНОГО l-ІНДЕКСУ

01.01.01 – математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник –

доктор фізико-математичних наук, професор

Шеремета Мирослав Миколайович,

професор кафедри теорії функцій і теорії ймовірностей

Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти –

доктор фізико-математичних наук, професор

Виницький Богдан Васильович,

професор кафедри математичного аналізу Дрогобицького державного педагогічного

університету імені Івана Франка;

доктор фізико-математичних наук, професор

Боднар Дмитро Ількович,

професор кафедри автоматизованих систем і програмування

Тернопільської академії народного господарства.

Провідна установа:

Харківський національний університет імені Н.В.Каразіна,

кафедра теорії функцій та функціонального аналізу

Захист відбудеться 12 вересня 2002 р. о 15.20 год. На засіданні спеціалізованої вченої ради К35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м.Львів, вул.Університетська, 1, ауд.377

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м.Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий 9 серпня 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради ____________ Бокало М.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

Одним з важливих напрямків досліджень в теорії аналітичних функцій є теорія функцій обмеженого індексу. Поняття цілої функції обмеженого індексу ввів Б.Лепсон в 1968 році. Дослідженню влас-тивостей цілих функцій обмеженого індексу та їх застосуванням (в теоріях розподілу значень, диференціальних рівнянь, характеристич-них функцій ймовірносних законів та ін.) присвятили свої роботи та-кі математики як У.Хейман, С.Шах, Г.Фріке, Ш.Стреліц та багато ін-ших. С.Шах і У.Хейман довели, що кожна ціла функція обмеженого індексу є функцією експоненційного типу. Природно постала про-блема видозміни поняття цілої функції обмеженого індексу так, щоб можна було вийти за межі класу цілих функцій експоненційного типу з подальшим застосуванням в теорії диференціальних рівнянь та інших розділах сучасної математики.

Цю проблему розв'язали А.Д.Кузик і М.М.Шеремета, які в 1986 році ввели поняття цілої функції обмеженого l-індексу. В ряді праць ці автори отримали не тільки аналоги раніше відомих теорем про функції обмеженого індексу, але й нові результати, пов'язані з наяв-ністю в означенні функції l, вивчили можливе зростання цілих функ-цій обмеженого l-індексу, розподіл значень та поводження похідної.

В 1993 році М.М.Шеремета і С.М.Строчик ввели поняття аналі-тичної в D={z : |z|<1} функції обмеженого l-індексу, довели декілька аналогів отриманих раніше теорем для цілих функцій обмеженого l-індексу і вивчили зростання аналітичних в D функцій обмеженого l-індексу. Дослідження розподілу значень та поводження логариф-мічної похідної аналітичної в D функції обмеженого l-індексу М.М.Шеремета і С.М.Строчик не проводили.

В 1991 році М.М.Шеремета довів критерій обмеженості l-індексу

цілих функцій, який є аналогом відповідного критерію У.Хеймана для цілих функцій обмеженого індексу. Отриманий М.М.Шереме-тою критерій, з одного боку, дав можливість вивчати обмеженість l-індексу суперпозиції цілої функції і многочлена, а з іншого боку, привів до означення обмеженості лінійного l-індексу цілої функції, заданої абсолютно збіжним в усій площині рядом Діріхле.

Виникла потреба переходу від поняття обмеженості l-індексу функцій, аналітичних у стандартних областях, до поняття обмеженості l-індексу функції, аналітичної в довільній комплексній області. З введенням цього поняття актуальним стало вивчення властивостей аналітичних функцій обмеженого l-індексу. Цим проблемам присвячена запропонована дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Напрямок досліджень, обраний в дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка. Дослідження виконані в рамках держбюджетної теми Мт-380Б "Аналітичні функції та ряди Діріхле" (номер держреєстрації- 0198 U 004855).

Мета і задачі дослідження.Метою дисертації є розвиток теорії аналітичних функцій обмеженого l-індексу та її застосувань, що передбачає вирішення таких задач:

- введення поняття обмеженості l-індексу аналітичної в довільній комплексній області функції та одержання критеріїв такої обмеже-ності;

- дослідження властивості аналітичних в області функцій обмеже-ного l-індексу: поводження логарифмічної похідної та розподіл ну-лів, обмеженість l-індексу суперпозиції двох аналітичних функцій,

встановити зв'язок між обмеженістю l-індексу похідної та обмеже-ністю l-розподілу значень функції, встановити умови, за яких сім'я

аналітичних обмеженого l-індексу є компактною, довести аналог те-ореми Хеймана,вивчити зростання аналітичних в області функцій обмеженого l-індексу, вказати застосування в теорії розподілу зна-чень і теорії диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів.Усі одержані наукові результати є новими.У роботі:

- отримано ряд критеріїв, які описують обмеженість l-індексу ана-літичної функції в термінах локального поводження похідних, по-водження максимуму модуля на концентричних колах та поводжен-ня максимуму та мінімуму модуля на колах одного і того ж радіуса;

- досліджено поводження логарифмічної похідної та розподіл нулів аналітичної функції обмеженого l-індексу, доведено аналог теореми У.Хейманадля аналітичних в будь-якій області функцій, досліджено

обмеженість l-індексу суперпозиції двох аналітичних функцій, зо-крема обмеженість l-індексу суперпозиції аналітичної в крузі функ-ції та дробово-лінійного відображення, встановлено зв'язок між об-меженістю l-індексу похідної та обмеженістю l-розподілу значень

функції, а також встановлено умови, за яких сім'я аналітичних функ-цій, l-індекс яких не перевищує N, є компактною;

- досліджено зростання аналітичної функції обмеженого l-індексу на локально ліпшицевих вичерпаннях області і вказано деякі засто-сування в теорії розподілу значень і теорії диференціальних рівнянь.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисер-тації маютьтеоретичний характер і є певним внеском в теорію aна-літичних функцій. Вони можуть бути використані в теоріях дифе-ренціальних рівнянь, характеристичних функцій і ймовірносних за-конів, розподілу значень, а також в інших розділах сучасної мате-матики.

Особистий внесок здобувача. Викладені в роботі результати отри-мано автором самостійно. В опублікованих спільно з М.М.Шереме-тою і М.Т.Бордуляк статтях співавторам належать постановки задач. В опублікованій спільно з Т.О.Банахом статті, Т.О.Банаху належить ідея дослідження та доведення лем 4.4 і 4.5.(в дисертацію ці леми включені з дозволу Т.О.Банаха).

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на міжнародній конференції пам'яті Шаудера "Нелінійні диференційні рівняння" (Львів, 1999 р.), на

міжнародній конференції присвяченій 70-річчю від дня народжен-ня А.А.Гольдберга "Цілі і мероморфні функції"(Львів, 2000 р.), на міжнародній науковій конференції "Нові підходи до розв'язування

диференційних рівнянь"(Дрогобич, 2001 р.), на регіональному семі-нарі з математичного аналізу (Львів, кер. проф. М.М.Шеремета), на міському семінарі з теорії аналітичних функцій (Львів, керівники:

проф. А.А.Кондратюк, проф. О.Б.Скасків),на семінарі з теорії аналітичних функцій (Дрогобич, кер. проф. Б.В.Винницький), на міському семінарі з теорії аналітичних функцій (Харків, кер. проф. А.Ф.Гришин).

Ряд результатів цієї дисертаційної праці увійшли в монографію

M.M.Sheremeta "Analytic functions of bounded l-index"-Mathematical Studies: Monograph Series, V.6, Lviv, VNTL, 1999.-141p.

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 9 наукових статтях і повідомленнях, з них 7 (4 без співавторів) - у виданнях,

включених у перелік ВАК України.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації - 132 сторінки. Список використаних джерел займає 3 сторінки і включає 28 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, окреслюється мета і задачі дослідження, подається загальна характеристика дисертації.

В першому розділі подається огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи та основні результати дисертації.

В другому розділі дисертації введене означення аналітичної функції обмеженого l-індексу для будь-якої області і доведено декілька критеріїв, які описують обмеженість l-індексу в термінах локального поводження похідних, поводження максимуму модуля на концентричних колах та поводження максимуму та мінімуму модуля на колах одного і того ж радіуса. Вказано реалізацію цього означення для деяких стандартних областей: комплексної площини C, одиничного круга D={z : |z|<1}, півплощини П={s : Re s<0}, смуги S={s : |Im s|<1}, при цьому розглядаються також ряди Діріхле з додатними показниками та характеристичні функції ймовірносних законів.

Нехай G - довільна область із C, а l - додатна неперервна в G функція така, що для всіх zG

> , . (1)

Аналітичну в області G функцію f називатимемо функцiєю обмеженого l-iндексу, якщо iснує число таке, що для всiх i виконується наступна нерівність

.

Найменше з таких чисел N називатимемо l-iндексом функції f i

позначатимемо через N(f;l).

Для r [0, ] покладемо

i

.

Очевидно, що . Клас додатних неперервних в G функцій l, для яких, крім (1), для всiх r [0, ] виконується умова

0<

позначимо через .

Наступні теореми, отримані у дисертації є узагальненнями відпо-відних теорем для цілих функцій і теорем для аналітичних в D={z : |z|<1} функцій.

Теорема 2.1. Нехай і . Аналітична в G функція f має обмежений l-індекс тоді і тільки тоді, коли для будь-якого iснують числа i такi, що для кожного при дея-кому , виконується нерiвнiсть

Теорема 2.2. Нехай і . Аналітична в G функція f має обмежений l-індекс тоді і тільки тоді, коли для будь-яких чисел iснує число таке, що для кожного ви-конується нерiвнiсть

Теорема 2.3. Нехай і . Аналітична в G функція f має обмежений l-індекс тоді і тільки тоді, коли для будь-якого iснують числа і такі, що для кожного при деякому виконується нерівність

В третьому розділі дисертації розглянуто подальші властивості функцій обмеженого l-індексу.

Досліджено поводження логарифмічної похідної та розподіл нулів аналітичної функції обмеженого l-індексу, доведено аналог теореми У.Хейманадля аналітичних в будь-якій області функцій, встановлено зв'язок між обмеженістю l-індексу похідної та обмеженістю l-розпо-ділу значень функції, вказані наслідки для згаданих у другому роз-ділі стандартних областей, досліджено обмеженість l-індексу супер-позиції двох аналітичних функцій, зокрема обмеженість l-індексу суперпозиції аналітичної в крузі функції та дробово-лінійного відо-браження, а також встановлено умови, за яких сім'я аналітичних функцій, l-індекс яких не перевищує N, є компактною.

Нехай - нулі аналітичної в G функції f. Для r>0 покладемо

і

Наступна теорема є узагальненням відповідної теореми для цілих функцій.

Теорема 3.1. Нехай , і \. Аналітична в області G функція f має обмежений l-індекс тоді і тільки тоді, коли

1) для будь-якого iснує таке,

що для всіх виконується нерівність

;

2) для довільного існує число таке, що

для кожного .

Наступна теорема є узагальненням відповідної теореми для цілих функцій та теореми для аналітичних в D функцій.

В четвертому розділі дисертації досліджується зростання

аналітичних функцій обмеженого l-індексу та вказуються деякі застосування в теорії розподілу значень та диференціальних рівнянь.

Функція з одного метричного простору в інший

називається локально ліпшицевою, якщо для будь-якого

існує окіл і стала такі, що

для всіх .Для такої функції f і точки покладемо

Через exp(G) позначатимемо простір всіх непорожніх компактних

підмножин G.

Наступна теорема є певним аналогом відповідної теореми для цілих функцій та теореми для аналітичних в D функцій.

Теорема 4.1. Нехай - область, - локально ліпшицева функція, - аналітична функція обмеженого l-індексу N=N (f; l) в G, а - локально ліпшицева функція, де .

Тоді для всіх і

справедлива оцінка

(2)

де

Аналітичний гомеоморфізм з відкритого одиничного круга в область такий, що і називатимемо рімановим відображенням .

В підрозділі 4.3 розглядається диференціальне рівняння

(3)

де функції і аналітичні в деякій області .

Наступна теорема дає оцінку l-індексу і тому є новою навіть для цілих функцій.

Теорема 4.3. Нехай G - область із C, і - локально ліпшицеві функції, і - аналітичні в G функції обмеженого l-індексу.

Нехай і для кожного існує таке, що для всіх і j=1,2,...,n

Тоді аналітична функція f, що задовольняє рівнянню (3) має об-межений l-індекс і для всіх і виконується нерівність (2).

ВИСНОВКИ.

В дисертаційній роботі для будь-якої області введено поняття аналітичної в G функції обмеженого l-індексу і вказано реалізацію цього означення для областей конкретного вигляду.

Отримано критерії обмеженості l-індексу функції f в термінах

локального поводження її похідних, оцінок максимуму модуля на колі більшого радіуса через максимум модуля на колі меншого радіуса та оцінок максимуму модуля через мінімум модуля на колах певного радіуса.

В роботі отримано критерій обмеженості l-індексу функції f в термінах поводження її логарифмічної похідної та розподілу нулів, аналог відомого критерію У.Хеймана для цілих функцій обмеженого індексу, встановлено зв'язок між обмеженістю l-індексу похідної та обмеженістю l-розподілу значень функції, досліджено обмеженість l-індексу суперпозиції двох аналітичних функцій, зокрема обмеженість l-індексу суперпозиції аналітичної в одиничному крузі функції та дробово-лінійного відображення, встановлено умови, за яких сім'я аналітичних функцій, l-індекс яких не перевищує N, є компактною.

Досліджено зростання аналітичних функцій обмеженого l-індексу

та вказано деякі застосування в теорії розподілу значень та диференціальних рівнянь.

Результати дисертації маютьтеоретичний характер і є певним внеском в теорію аналітичних функцій. Вони можуть бути використані в теорії диференціальних рівнянь, в теорії характерис-тичних функцій та розподілу значень, а також в інших розділах сучасної математики.

Більшість результатів мають форму критеріїв. При їх отриманні

використовуються методи сучасної теорії аналітичних функцій.

Список наукових праць за темою дисертації

1. Kushnir V.O., Sheremeta M.M. Analytic functions of bounded

l-index// Математичні студії. - 1999. -Т.12. - N 1. - С.59-66.

2. Кушнір В.О. Аналог теореми Хеймана для аналітичних функцій

обмеженого l-індексу // Вісник Львівського ун.-ту. - 1999. - N 53. -

C.48-51.

3. Кушнір В.О. Обмеженість l-індексу та розподіл значень аналітичної в області функції // Вісник Львівського ун.-ту. - 1999. – N 54. C.114-116.

4. Banakh T.O., Kushnir V.O. On growth and distribution of zeros of analytic functions of bounded l-index in arbitrary domains// Математич- ні студії. - 2000. -Т.14. - N 2. - С. 165-170.

5. Кушнір В.О. Про аналітичні в крузі функції обмеженого l-індексу

// Вісник Львівського ун.-ту. - 2000. - N 58. - C.21-24.

6. Kushnir V.O. Analytic functions of bonded l-index // Нелинейные граничные задачи. - 2001. - Т.11. - С.100-104.

7. Бордуляк М.Т., Кушнір В.О. Про компактність сім'ї аналітичних функцій обмеженого l-індексу// Вісник Львівського ун.-ту. - 2001. - N 59. -C.41-44.

Анотація.

Кушнір В.О. Аналітичні функції обмеженого l-індексу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-мате-матичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2002.

У дисертаційній роботі вводиться означення обмеженості l-індексу

аналітичної в довільній комплексній області функції, доводяться критерії такої обмеженості, досліджуються властивості таких функцій, вивчається їх зростання, вказуються застосування в теорії розподілу значень і теорії диференціальних рівнянь.

Ключові слова: аналітична функція, обмеженого l-індексу; ряд Діріхле; хребтова функція;логарифмічна похідна; розподіл нулів; l-розподіл значень; компактність сім'ї функцій; локально ліпшицева функція; ріманове відображення.

Abstract.

Kushnir V.О. Analytic functions of bounded l-index. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical

degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2002.

In the thesis we define the concept of l-index boundedness of analytic function in arbitrary complex domain, prove some criteria of such boundedness, investigate some properties of such functions, including the possible growth, mention some applications in value distribution theory and differential equations theory.

Key words: analytic function of bounded l-index; Dirichlet series;

ridge function; logarithmic derivative; distribution of zeros; value l-distribution; compactness of the family of functions; locally Lipschitz function; Riemann map.

Аннотация.

Кушнир В.О. Аналитические функции ограниченного l-индекса. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Львовский национальний университет имени Ивана Франко, Львов, 2002.

Вводится определение ограниченности l-индекса аналитической в произвольной комплексной области функции, получены критерии такой ограниченности, исследуются дальнейшие свойства таких функций. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников. Объем диссертации - 132 страницы. Список используемых источников включает 28 наименований. Во введении дано обоснование актуальности темы, указываются цель и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и аппробация полученных результатов.

В первом разделе дан обзор результатов, имеющих непосред-ственное отношение к теме диссертационной работы и основные результаты диссертации.

Во втором разделе вводится определение аналитической функции

ограниченного l-индекса для произвольной области и доказывается несколько критериев, описывающих ограниченность l-индекса в тер-минах локального поведения производных, поведения максимума модуля на концентрических окружностях и поведения минимума модуля на окружностях одинакового радиуса.

В третьем разделеисследуется поведения логарифмической произ-водной и распределение нулей аналитической функции ограничен-ного l-индекса, получен аналог теоремы У.Хеймана на случай анали-тических в произвольной области функций, исследуется ограничен-ность l-индекса суперпозиции двух аналитических функций, в част-ности ограниченность l-индекса суперпозиции аналитической в еди-ничном круге функции и дробно-линейного отображения, установ-лена связь между ограниченностью l-индекса производной и огра-ниченностью l-распределения значений функции, установлены ус-ловия, при которых семья аналитических функций, l-индекс которых не превышает N, является компактной.

В четвертом разделе исследуется рост аналитических функций ограниченного l-индекса и рассматриваются некоторые приложения в теории распределения значений и дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: аналитическая функция, ограниченного l-индек-са; ряд Дирихле; хребтовая функция; логарифмическая производная; распределение нулей; l-распределение значений; компактность семьи функций; локально липшицевая функция; риманово отображение.

___________________________________________________________

Підписано до друку 18.07.2002р. Формат 60x90/16.

Папір офсетний. Ум. друк. арк. 0.9. Тираж 100. Зам. N 345.

Видавничий центр ЛНУ ім.І.Франка. 7900 Львів, вул. Дорошенка, 41