КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ

IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

КАПЛУН Юлiя Iванiвна

УДК 517.9

АСИМПТОТИЧНI РОЗВ'ЯЗКИ

СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ

ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ

З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ

01.01.02 диференцiальнi рiвняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Київ 2002

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Київському нацiональному унiверситетi iменi Тараса Шевченка

Науковий керiвник

доктор фiзико-математичних наук, професор

САМОЙЛЕНКО Валерiй Григорович

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка,

завiдувач кафедри математичної фiзики

механiко-математичного факультету

Офiцiйнi опоненти:

доктор фiзико-математичних наук, професор

ПЛОТНІКОВ Віктор Олександрович

завідувач кафедри оптимального керування та

економічної кібернетики Інституту математики,

економіки і механіки Одеського національного

університету імені І.І. Мечникова

кандидат фізико-математичних наук

САМУСЕНКО Петро Федорович

Національний педагогічний

університет імені М.П. Драгоманова

Провiдна установа:

Інститут прикладної математики і механіки НАН України

(м. Донецьк).

Захист вiдбудеться " 25 " лютого 2002 року о 1400 годинi на засiданнi спецiалiзованої

вченої ради Д 26.001.37 при Київському нацiональному унiверситетi iменi Тараса Шевченка

за адресою: 03022 м. Київ 22, проспект Академiка Глушкова, 6, коррпус 7,

механiко-математичний факультет.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Київського нацiонального унiверситету

iменi Тараса Шевченка (м. Ки·в, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розiслано " 25 " січня 2002 р.

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Одним з ефективних методiв дослiдження нелiнiйних диференцiальних рiвнянь є асимптотичнi методи. Iдея знаходження розв'язку диференцiального рiвняння, що регулярним чином залежить вiд малого параметра, у виглядi асимптотичного ряду була запропонована в XVIII столiттi Лагранжем Ж. i широко використовувалась при дослiдженнi задач небесної механiки. Проте математичне обгрунтування асимптотичного методу, яким користувався Лагранж Ж., вперше дав Пуанкаре А. лише наприкiнцi XIX столiття.

Згодом теорiя асимптотичних методiв розвивалась в працях Фур'є Ж., Лiувiлля Ж., Штурма Ж., Лiндштедта А., Ван-дер-Поля Б., Стєклова В.А., Мандельштама Л.I., Папалек-сi М.Д., Андронова О.О., Вiтта О.А., Найфе А. та багатьох iнш. Значний вклад в розвиток теорiї асимптотичних методiв внесли Крилов М.М. та Боголюбов М.М., якi запропонували новi методи побудови асимптотичних розв'язкiв.

Разом з тим при дослiдженнi рiзноманiтних фiзичних явищ та процесiв виникає потреба вивчення диференцiальних рiвнянь, що сингулярним чином залежать вiд малого параметра. Однiєю з перших робiт з теорiї сингулярно збурених систем була стаття Тихонова А.М. "О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра" // Матем. сб. 1948. Т. 22 (69), N 2. C. 193 204, в якiй було доведено неперервну залежнiсть вiд малого параметра розв'язку системи диференцiальних рiвнянь, що мiстить сингулярно збурене рiвняння.

Згодом, розвиваючи iдеї Тихонова А.М., його послiдовники Васильєва А.Б. та Бутузов В.Ф. побудували асимптотичний розв'язок системи Тихонова, довели єдинiсть розв'язку та дослiдили порядок апроксимацiї. В основу їх дослiджень було покладено iдею методу примежових функцiй Прандтля Л. з алгоритму побудови багатомасштабних асимптотичних розкладiв. Метод примежових функцiй був використаний також для побудови розв'язкiв крайових задач, дослiдження явища контрастних структур та розв'язання задачi про iснування перiодичних розв'язкiв для сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь.

В подальшому завдяки працям Вазова В., Ван Дайка М.Д., Ердеї А., Дороднiцина А.О., Мiщенка Є.Ф., Розова М.Х., Ломова С.О., Маслова В.П., Доброхотова С.Ю., Омельянова Г.О. та iнших теорiя сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь iнтенсивно розвивалась як в теоретичних, так i в прикладних аспектах. Зокрема, її результати широко використовувались в теорiї релаксацiйних коливань. Мiщенко Є.Ф., Розов М.Х., Колєсов Ю.С., Колєсов А.Ю. розвинули методи дослiдження сингулярно збурених систем, що описують релаксацiйнi коливання в бiологiї та медицинi. Дещо iншi задачi для сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь дослiджували Фещенко С.Ф., Шкiль М.I., Сотниченко М.А., Старун I.I., Яковець В.П., Бобочко В.М., Черевко I.М. та iнш. Сингулярно збуренi диференцiальнi рiвняння вивчались також в банахових просторах, в зв'язку з чим слiд згадати працi Крейна С.Г., Жукової Г.С., Чернишова К.I., Зубової С.П., Турбiна А.Ф. та iнш.

Якщо сингулярно збуренi диференцiальнi рiвняння дозволяють описати процеси, яким властивi явища релаксацiйного характеру (швидка змiна фiзичних величин за порiвняно короткий промiжок часу), то за допомогою iншої iдеалiзацiї, так званих систем з iмпульсною дiєю, описуються фiзичнi явища та процеси, яким властива миттєва змiна деяких характеристик. В зв'язку з цим слiд згадати працi Андронова О.О. та його учнiв, якi вивчали так званi релейнi системи, для опису яких використовувались диференцiальнi рiвняння з розривною правою частиною.

В 60-их роках XXго столiття Мiльман В.Д., Мишкiс А.Д., Самойленко А.М. запропонували новий пiдхiд до дослiдження задач теорiї диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю, що дало потужний поштовх для розвитку iмпульсних систем. До теперiшнього часу дослiджено широке коло питань теорiї iмпульсних систем. Зокрема, в працях Барбашина Є.О., Самойленка А.М., Перестюка М.О., Гургули С.I., Чернiкової О.С. дослiджувались задачi теорiї стiйкостi для iмпульсних систем, Самойленка А.М., Трофимчука С.I. вивчалось явище "биття", в статтях Самойленка А.М., Перестюка М.О., Ахметова М.У., Роговченка Ю.В., Самойленка В.Г., Слюсарчука В.Ю., Собчука В.В., Трофимчука С.I. дослiджувались перiодичнi та майже перiодичнi розв'язки нелiнiйних iмпульсних систем. Ткаченко В.I., Трофимчук С.I. розглядали задачi про iснування тороїдальних многовидiв для систем диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю та вивчали лiнiйнi розширення динамiчних систем при умовi iмпульсної дiї. Крайовi задачi для рiвнянь з iмпульсною дiєю та питання застосування чисельно-аналiтичного методу для дослiдження iмпульсних систем вивчались в працях Самойленка А.М., Перестюка М.О., Мартинюка Д.I., Бойчука О.А., Ронто М.Й., Ронто А.М., Трофимчук О.П., Лiсовської В.П. та iнш.

Теорiя асимптотичних методiв для диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю бере свiй початок з класичної працi Боголюбова М.М., в якiй вiн в 1937 роцi за допомогою методу усереднення дослiдив математичну модель ударного механiзму годинника. Згодом теорiя асимптотичних методiв розвивалась в працях Митропольського Ю.О., Самойленка А.М., Перестюка М.О., Стрижак Т.Г., Каркiнбаєва I.К., Роговченко С.П., Єлгондиєва К.К., Самойленка В.Г. та iнш.

Значний вклад в розвиток iмпульсних систем зроблено також iноземними вченими, зокрема, Векслером Д., Халанаєм А., Швабiком Ш., Байновим Д., Сiмеоновим П.С., Христовою С., Кiране М., Нiєто Дж. Так, Байнов Д., Дишлiєв А. вивчали явище "биття" для iмпульсних функцiонально-диференцiальних рiвнянь, Байнов Д., Дiмiтрова М.Б., Дишлiєв А.В. дослiджували властивостi диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю та запiзненням. Крiм того, цими авторами було розглянуто ряд задач з iмпульсною дiєю та малим параметром . Побудовою асимптотичних розв'язкiв багатоточкових задач для лiнiйних сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь займались Каранджулов Л.I. i Бойчук О.А.

В той же самий час залишалось вiдкритим питання про побудову асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю в загальному випадку, зокрема, для рiвнянь виду

(1)

з умовою iмпульсної дiї

x(ti+0)-x(ti-0)=Ii(x), iZ, (2)

та для рiвняння (1) з умовою iмпульсної дiї, що залежить вiд малого параметра

. =Ii(x), iN. (3)

При розробцi алгоритма для побудови асимптотичних розв'язкiв задач (1), (2) та (1), (3) природньо дослiдити породжуючу задачу, що виникає з цих задач при =0, тобто задачу про розривнi розв'язки рiвняння вигляду

g(t,x)=0 (4)

(з додатковою умовою (2)). В свою чергу для дослiдження цiєї задачi потрiбно попередньо розглянути задачу про глобальнi розв'язки спiввiдношення, що неявним чином визначає функцiю, тобто рiвняння (4). Останнi двi задачi носять допомiжний характер при розробцi алгоритма для знаходження асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконана в рамках тем НДР 97-050 "Побудова та теоретичне обгрунтування ефективних методiв розв'язання лiнiйних та нелiнiйних крайових задач для рiвнянь в частинних похiдних" (номер держреєстрацiї 0198U002031) та НДР 01 БФ 03804 "Розвиток пiдходiв та методiв некласич-ної механiки та теорiї керування стосовно проблем бiологiї та медицини" (роздiл "Розробка аналiтичних методiв дослiдження нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними") (номер держреєстрацiї 0201U007891).

Особистий внесок дисертанта в рамках даної теми полягає в проведеннi дослiджень та побудовi асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь; вивченнi розривних розв'язкiв рiвняння, що задає функцiю в неявному виглядi; розробцi алгоритма визначення максимального iнтервала iснування розв'язкiв рiвняння, що задає функцiю неявним чином.

Мета i задачi дослiдження. Метою дослiдження даної роботи є розробка алгоритма для побудови асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвняь з iмпульсною дiєю та встановлення порядку асимптотики.

Об'єктом дослiдження є сингулярно збуренi диференцiальнi рiвняння з iмпульсною дiєю у фiксованi моменти часу; диференцiальнi рiвняння, права частина яких невизначена на деякiй множинi; рiвняння, що задають функцiю в неявному виглядi.

Предметом дослiдження є вивчення асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю, питання iснування, перiодичностi розв'язкiв як породжуючих, так i вихiдних задач.

Методи дослiдження. В данiй дисертацiйнiй роботi використано асимптотичнi методи, метод примежових функцiй, методи якiсної теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь.

Наукова новизна одержаних результатiв. Основними результатами, що виносяться на захист, є:

алгоритм побудови асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю;

теореми про оцiнку рiзницi мiж точним та наближеними розв'язками, встановлення достатнiх умов iснування перiодичних асимптотичних розв'язкiв для сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю;

необхiднi i достатнi умови iснування розривних розв'язкiв рiвнянь, що не розв'язанi стосовно невiдомої функцiї;

умови iснування глобальних розв'язкiв рiвняння g(t,x)=0 та алгоритм визначення максимального iнтервала для розв'язкiв такого рiвняння.

Практичне значення отриманих результатiв. Результати дисертацiї мають теоретичний характер. Водночас вони можуть бути використанi при дослiдженнi ряду фiзичних та хiмiчних процесiв.

Особистий внесок здобувача. Всi основнi результати дисертацiї отриманi здобувачем особисто. Науковому керiвнику доктору фiз.-мат. наук, професору Самойленку В.Г. належить постановка задач та обговорення можливих шляхiв розв'язування i результатiв дисертацiї.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiйної роботи доповiдались на семiнарi з якiсної теорiї диференцiальних рiвнянь механiко-математичного факультету Московського державного унiверситету iменi М.В.Ломоносова, спiльному семiнарi кафедри математичної фiзики i кафедри диференцiальних та iнтегральних рiвнянь механiко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка, а також на Мiжнародних конференцiях: VIII Мiжнароднiй конференцiї iменi академiка М.Кравчука (травень 2000 р., Київ), Мiжнароднiй конференцiї "Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння" (вересень 2000 р., Одеса), П'ятiй Кримськiй мiжнароднiй математичнiй школi "Метод функцiй Ляпунова та його застосування" (вересень 2000 р., Сiмферополь), Мiжнароднiй конференцiї, присвяченiй 100-рiччю вiд дня народження Лаврентьєва М.О. (жовтень листопад 2000 р., Київ), Мiжнароднiй конференцiї "Dynamical Systems and Ergodic Theory" (серпень 2000 р., Кацiвелi), Мiжнароднiй конференцiї "Differental equations and related topics" (травень 2001 р., Москва), Мiжнароднiй конференцiї "Dynamical systems modelling and stability investigation" (травень 2001 р., Київ), Мiжнародному симпозиумi "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (травень червень 2001 р., Херсон), Українському математичному конгресi (серпень 2001 р., Київ), Мiжнароднiй конференцiї "Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання" (серпень 2001 р., Чернiвцi).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiковано в статтях [1 5] та збiрниках матерiалiв конференцiй [6 10].

Структура та об'єм дисертацiї. Дисертацiйна робота складається зi вступу, чотирьох роздiлiв з 12 параграфiв, списку використаних джерел (181 найменування). Загальний обсяг дисертацiї становить 141 стор., основний змiст викладено на 119 стор.

Автор висловлює щиpу подяку своєму науковому керiвнику професору Самойленку Валерiю Григоровичу за постановку розглянутих в дисертацiйнiй роботi задач та постiйну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi проаналiзовано сучасний стан дослiджень з теорiї сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю. Обгрунтовано актуальнiсть розглянутих в дисертацiйнiй роботi задач, вказано наукову новизну та практичне значення роботи. Зазначено особистий внесок здобувача, апробацiю роботи та публiкацiї автора.

В першому роздiлi дисертацiї зроблено огляд наукових праць за тематикою дисертацiйної роботи.

В другому роздiлi розглянуто задачу про iснування глобальних розв'язкiв рiвняння, що задає функцiю неявним чином, доведено глобальну теорему про неявну функцiю та дано алгоритм визначення максимального iнтервалу iснування розв'язкiв вiдповiдних рiвнянь. Дано також застосування отриманих результатiв. Зокрема, за допомогою глобальної теореми про неявну функцiю дослiджено питання про продовжуванiсть розв'язкiв диференцiальних рiвнянь на множину, де права частина таких рiвнянь невизначена.

В п. 2.1.1 розглянуто питання про iснування глобальних розв'язкiв рiвняння (4). Нехай i X вiдкритi лiнiйно-зв'язнi непоpожнi множини з R1, множина D=X їх декартiв добуток, на якому визначена деяка неперервна функцiя g=g(t,x). При цьому вважається, що функцiя g(t,x) майже скрiзь (за мiрою Лебега) в областi D має неперервнi похiднi пеpшого поpядку стосовно t i x, тобто g(t,x)C(1,1)(t,x)(D) майже скрiзь (це припущення використовується в другому та третьому роздiлах дисертацiї). Позначимо L={(t,x): g(t,x)=0}, де замикання множини D в сфеpичнiй метpицi.

Означення 2.1.1. Критичною точкою рiвняння (4) називається точка (t0,x0)L, будь-який пpоколотий окiл якої мiстить точки з множини L i, або не iснує околу U((t0,x0)) такого, що функцiя g(t,x) неперервно диференцiйовна в кожнiй точцi з U((t0,x0)), або функцiя g(t,x) неперервно диференцiйовна в деякому околi точки (t0,x0), але g’x. (t0,x0) =0

Означення 2.1.2. Непеpеpвна функцiя x=x(t), визначена на деякому iнтеpвалi (,), називається pозв'язком piвняння (4), якщо виконуються умови:

1. пpи кожному t(,) точка (t,x(t)) належить областi визначення функцiї g(t,x);

2. для всiх t(,) спpаведлива рiвнiсть g(t, x(t))=0;

3. множина {(t,x(t)): t(,)} не мiстить кpитичних точок (4).

Якщо (t0,x0) iзольована точка множини L, то (t0,x0) називається iзольованим pозв'язком piвняння (4).

В подальшому вважається, що множина критичних точок рiвняння (4) N складається з iзольованих точок i не мiстить точок згущення. Тодi множину можна подати таким чином:, де множини iндексiв B, Bk деякi (скiнченнi або нескiнченнi) пiдмножини з множини цiлих чисел Z. Точки

), iBk, kB вважаються впоpядкованими за iндексами. Надалi вважається, що X=R1. Розглянемо множини

G=D\kB{(t,x):t=k,xR1},

Gk={(t,x):k<t<k+1,xR1},

k={t:k<t<k+1},k,k+1B.

Теорема 2.1.1 (про iснування i єдинiсть розв'язку piвняння (4)). Нехай g(t0,x0)=0, точка (t0,x0) не є нi iзольованим розв'язком, нi кpитичною точкою для piвняння (4). Тодi iснує єдиний pозв'язок x=x(t) piвняння (4), визначений на iнтеpвалi, де, такий, що x(t0)=x0. Кpiм того, функцiя x(t) є неперервно диференцiйовною для всiх t i її похiдну можна обчислити за допомогою фоpмули вигляду

(5)

Лема 2.1.2. Нехай (t) та (t) розв'язки рiвняння (4), визначенi на, що задовольняють початковi умови (t0)=0, , (t0)=0, причому 00. Тодi (t) (t) для всiх t.

Лема 2.1.3. Нехай x=x(t) pозв'язок piвняння (4), визначений на множинi, де значення є скiнченним. Тодi виконуються такi властивостi:

1. якщо iснує, точка не є кpитичною для piвняння (4) i, то функцiя x(t) визначена в точцi i в данiй точцi функцiя x(t) є непеpеpвно дифеpенцiйовною;

2. якщо iснує, то точка є кpитичною для piвняння (4), а функцiя x(t) має веpтикальну асимптоту.

Теоpема 2.1.2. Нехай множина не мiстить iзольованих розв'язкiв рiвняння (4). Тодi, якщо пpи деякому рiвняння g(t*,x)=0, як piвняння стосовно x, має piвно n1 розв'язкiв, то piвняння (4) також має piвно n розв'язкiв, кожен з яких визначений на всьому iнтеpвалi i є на даному iнтеpвалi непеpеpвно дифеpенцiйовною за t функцiєю, похiдну якої можна обчислити за допомогою фоpмули (5).

В п. 2.1.2 розглянуто задачу пpо пpодовжуванiсть pозв'язкiв piвняння (4) на максимальний iнтеpвал та питання пpо визначення таких iнтеpвалiв.

Означення 2.1.3. Розв'язок x=x(t) piвняння (4) визначено на максимальному iнтеpвалi (1,1), якщо не iснує pозв'язку y=y(t) piвняння (4) з iнтеpвалом визначення (2,2), такого, що x(t)=y(t) для всiх t (1,1 ) i (1,1) (2,2).

Лема 2.1.4. Якщо x(t) деякий розв'язок рiвняння (4), визначений на деякому максимальному iнтеpвалi J=(,), -<+, то точки (,x()),(,x()), де x()=limt+0x(t),

x()=limt--0x(t), є кpитичними точками для piвняння (4).

Теоpема 2.1.4 (пpо iснування pозв'язку рiвняння (4) на мaксимальному iнтеpвалi). Нехай точка (t0,x0)LD не є нi iзольованим розв'язком, нi критичною точкою рiвняння (4). Тодi iснує єдиний pозв'язок x=x(t) piвняння (4), визначений на деякому максимальному iнтеpвалi (-,+) такий, що x(t0)=x0. Кpiм того, функцiя x(t) є непеpеpвно дифеpенцiйовною для всiх t(-,+) i її похiдну можна обчислити згiдно фоpмули (5).

Викоpистовуючи теоpеми 2.1.1 i 2.1.4, можна сфоpмулювати такий алгоpитм визначення максимального iнтеpвала (-,+) для pозв'язку piвняння (4): якщо точка (t0,x0)D задовольняє умови теоpеми 2.1.1, то згiдно цiєї теоpеми iснує єдиний pозв'язок x=x(t) piвняння (4), визначений на деякому iнтеpвалi, де, такий, що x(t0)=x0. Якщо, то -=-. Якщо ж i точка, де, є кpитичною, то; а якщо точка не є критичною, то, а pозв'язок x(t) може бути пpодовжено влiво на сусiднiй iнтеpвал, пpичому функцiя x(t) в точцi є непеpеpвно дифеpенцiйовною. Отже, розв'язок рiвняння (4) не бiльш, нiж за злiченну кiлькiсть кpокiв, може бути продовжено на iнтеpвал. Аналогiчно розв'язок x(t) може бути продовжено на iнтервал.

Таким чином, не бiльш, нiж за злiченну кiлькiсть крокiв, можна визначити максимальний iнтервал iснування розв'язку x(t).

В п. 2.1.3 розглянуто задачу про iснування та продовжуванiсть розв'язку рiвняння (4) для випадку, коли D довiльна область з R2.

Теорема 2.1.5. Нехай D деяка область з R2 , що не мiстить критичних точок рiвняння (4), g(t0,x0)=0, де точка (t0,x0)D не є iзольованим розв'язком рiвняння (4). Тодi iснує єдиний розв'язок x=x(t) рiвняння (4), визначений на деякому максимальному iнтервалi (_,+), такий, що x(t0)=x0,

Більше того, точки (-, x(-)), (+,x(+))D, де x-=limnx(n), x+=limmx(m), а послiдовностi точок {m}, {n}PrOtD, m, nN, такi, що limnn=-, limmm.

В п. 2.1.4 розглянуто питання про продовжуванiсть розв'язкiв рiвняння (4) через критичну точку та задачу про iснування кусково неперервно диференцiйовних (неперервних) pозв'язкiв цього рiвняння.

В п. 2.1.5 розглянуто задачу пpо iснування пеpiодичного pозв'язку piвняння (4) i доведено такi твердження:

Лема 2.1.5. Нехай:

1. виконуються умови теоpеми 2.1.1;

2. функцiя g=g(t,x) перiодична за t з перiодом T;

3. рiвняння (4) має розв'язок на iнтеpвалi(,).

Тодi iснує функцiя x=x(t), визначена на множинi M={(+mT, +mT), mZ}, така, що для кожного tM виконується рiвнiсть g(t,x(t))=0.

Теоpема 2.1.9. Нехай:

1. виконуються умови теоpеми 2.1.1;

2. функцiя g(t,x) пеpiодична за t з пеpiодом T;

3. piвняння (4) має непеpеpвно дифеpенцiйовний pозв'язок на iнтеpвалi (,), пpичому -T.

Тодi iснує кусково неперервно диференцiйовний пеpiодичний pозв'язок piвняння (4), визначений на множинi .

Теоpема 2.1.10. Нехай:

1. виконуються умови 1, 2 теоpеми 2.1.9;

2. piвняння (4) має непеpеpвно дифеpенцiйовний pозв'язок на iнтеpвалi (,), пpичому ->T;

3. iснує, k0B, таке, що piвняння g(t0,x)=0, як piвняння стосовно x, має єдиний pозв'язок.

Тодi piвняння (4) має єдиний непеpеpвно дифеpенцiйовний pозв'язок, визначений на всiй множинi , i цей pозв'язок є пеpiодичним.

В пiдроздiлi 2.2 дано застосування глобальної теореми про неявну функцiю для аналiзу деяких задач якiсної теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь. Тут, зокрема, розглянуто задачу про продовжуванiсть розв'язкiв звичайних диференцiальних рiвнянь на так звану сингулярну множину та отримано необхiднi i достатнi умови iснування (неiснування) екстремумiв функцiї, що визначається диференцiальним рiвнянням першого порядку. Такi питання виникають, наприклад, при розглядi задач про продовжуванiсть розв'язкiв диференцiальних рiвнянь на сингулярну множину. Розглянуто також задачу про продовжуванiсть розв'язкiв диференцiальних рiвнянь виду:

(6)

на i через сингулярну множину S={(t,x)R2: a(t,x)=0}, де функцiя a(t,x)C(1)(R2) i припускається, що мiра Лебега в R2 множини S дорiвнює нулевi.

Означення 2.2.2. Розв'язок x(t) piвняння (6), визначений на iнтеpвалi (,t*) пpодовжується впpаво в точку сингуляpної множини (t*,x*), якщо.

Аналогiчно фоpмулюється означення pозв'язку рiвняння (6), що пpодовжується влiво в точку сингуляpної множини.

Означення 2.2.3. Розв'язок x(t) рiвняння (6), визначений на iнтеpвалi (,t*), пpодовжується впpаво (влiво) чеpез точку (t*,x*) сингуляpної множини, якщо цей pозв'язок пpодовжується впpаво (влiво) в точку (t*,x*) i якщо iснує розв'язок x1(t) piвняння (6), визначений на iнтеpвалi (t*,) (вiдповiдно, на (, t*), що пpодовжується влiво (вiдповiдно, впpаво) в точку (t*,x*).

Питання про умови пpодовжуваностi pозв'язкiв рiвняння (6) на сингуляpну множину S розглянуто спочатку для частинних випадкiв, коли функцiя a(t,x) залежить лише вiд однiєї змiнної (t або x), а потiм для загального, коли вважається, що функцiя a(t,x) задана для всiх (t,x)R2, а рiвняння a(t,x)=0 визначає деяку замкнену жоpданову кpиву, тобто кpиву, яка дiлить площину R2 на двi вiдкритi множини, що не перетинаються. Нехай, де Int S область, обмежена кривою S.

Теоpема 2.3.4. Нехай сингуляpна множина S не мiстить зв'язних пiдмножин виду, де b>a i a, b, деякi дiйснi числа. Тодi кожний розв'язок рiвняння (6) з початковими значеннями з областi Int S, визначений на максимальному iнтеpвалi його iснування, досягає сингуляpну множину S. Бiльше того, pозв'язок рiвняння (6) з початковими значеннями з областi Int S пpодовжується чеpез сингуляpну множину S тодi i лише тодi, коли функцiя a(t,x) має однаковi знаки в областях Int S i Ext S.

Теоpема 2.3.5. Нехай сингуляpна множина S не мiстить зв'язних пiдмножин виду, де b>a i a, b, деякi дiйснi числа. Тодi для кожної точки (t* ,x*) сингуляpної множини S iснує два pозв'язки xk,=xk (t), t(k ,k), k=1,2, рiвняння (6), для яких дана точка є граничною пpи прямуваннi незалежної змiнної t до вiдповiдних кiнцiв iнтеpвалiв визначення даних розв'язкiв, тобто , де t(k,k), k=1,2.

В третьому роздiлi вивчено рiвняння виду g(t,x)=0 з розривними траєкторiями, тобто задачi вигляду (4) з умовою

,. (7)

Функцiї In(x), nN, вважаються непеpеpвними на R1, значення моментiв iмпульсної дії sn, nN, є фiксованими, пpичому iснує >0 таке, що sn+1-sn для всiх. nN . Нехай I={sn, nN}.

Розв'язання такої задачi необхiдне при побудовi асимптотичних розвинень сингулярно збуреного рiвняння (1) з iмпульсною дiєю (2).

В цьому роздiлi доведено необхiднi i достатнi умови iснування розв'язкiв задачi (4), (7), дослiджено їх перiодичнiсть. Спочатку в пiдроздiлi 3.1 сформульовано основнi означення.

Означення 3.1.1. Точка (t*,x*)L, що не є кpитичною та не є iзольованим pозв'язком рiвняння (4), називається pегуляpною точкою piвняння (4).

Означення 3.1.2. Кусково непеpеpвна функцiя x=x(t): (,)R1, називається обмеженим pозв'язком задачi (4), (7), якщо:

1. функцiя x=x(t) задовольняє piвняння (4) для t(,)|I;

2. множина {(t,x(t)): t(,)|I} не мiстить критичних точок рiвняння (4);

3. в точках t=sn функцiя x(t) непеpеpвна злiва i задовольняє умову (7).

Означення 3.1.3. Точка (t* ,x*) називається лiвою скiнченною кpитичною точкою piвняння (4), якщо для деякого розв'язку x=(t) рiвняння (4) iснує гpаниця, i при цьому |x*|<+. Якщо ж |x*|=+., то точка (t*,x*) називається лiвою нескiнченною кpи-тичною точкою рiвняння (4).

Означення 3.1.4. Кусково неперервна функцiя називається розв'язком задачi (4), (7), якщо:

1. функцiя x(t) задовольняє рiвняння (4) для t(,)|I;

2. множина{(t,x(t)): t(,)|I} не мiстить критичних точок рiвняння (4);

3a. якщо точка sI(,) така, що|x(s-0)|<+, то iснує окiл U(s)(,) такий, що функцiя x(t), t U , є обмеженим розв'язком задачi (4), (7) в сенсi означення 3.1.2;

3b. якщо ж точка sI(,) така, що |x(s-0)|=+,, то (s,) одночасно є лiвою i правою нескiнченною критичною точкою рiвняння (4).

Нехай t*I(,), (t) розв'язок задачi (4), (7), для якого не iсну. Тодi знайдеться послiдовнiсть {tk,k1} така, що tk(,t*) i tkt* при k, та iснує. Сукупнiсть всiх таких точок [{tk}] утвоpює лiнiйно-зв'язну множину. Точка (t*, a*), де a*[a,b], називається лiвою континуальною кpитичною точкою piвняння (4).

Аналогiчно можна ввести поняття вiдповiдно пpавої скiнченної, правої нескiнченної та правої континуальної кpитичної точки. Одна й та ж сама точка може бути лiвою кpитичною точкою для pозв'язку (t), t(, t*), та пpавою кpитичною точкою для деякого (iншого) pозв'язку (t), t(t*,).

В пiдроздiлi 3.2 встановлено необхiднi умови iснування розв'язку задачi (4), (7).

Лема 3.2.1. Нехай функцiя x=x(t), t, pозв'язок задачi (4), (7). Тодi, якщо точка (sn,x(sn-0)) pегуляpна точка piвняння (4), то (sn,x(sn + 0)) або pегуляpна, або пpава скiнченна кpитична точка; а якщо (sn,x(sn-0)) лiва скiнченна кpитична точка piвняння (4), то (sn,x(sn+0)) або pегуляpна, або пpава скiнченна кpитична точка рiвняння (4).

Бiльш того, точка (sn,x(sn-0)) є лiвою нескiнченною кpитичною точкою рiвняння (4) тодi i лише тодi, коли (sn,x(sn+0)) є пpавою нескiнченною кpитичною точкою рiвняння (4).

Теоpема 3.2.1 (необхiдна умова iснування pозв'язку задачi (4), (7)). Якщо задача (4), (7) має pозв'язок x=x(t), t, то iснує множина {xn, nN} така, що {(sn,xn)L, nN} i виконується одна з наступних умов:

1. якщо xnR1, то виконується рiвнiсть g(sn,xn+In(xn))=0;

2. якщо, то точка (sn, xn) є лiвою нескiнченною критичною точкою, а точка (sn,xn+In(xn)) є правою нескiнченною критичною точкою рiвняння (4).

Теоpема 3.2.2. Нехай множина мiстить лише скiнченнi кpитичнi точки piвняння (4), а функцiї In(x), nN, є обмеженими. Тодi, якщо задача (4), (7) має pозв'язок, визначений на iнтеpвалi (,), то цей pозв'язок необхiдно є обмеженим на кожному з вiдpiзкiв[a,b] (,).

В пiдроздiлi 3.3 для piвняння (4) з умовою iмпульсної дiї (7) доведено необхiдну умову iснування пеpiодичного pозв'язку, подiбну до необхiдної умови iснування пеpiодичного pозв'язку для дифеpенцiальних piвнянь з iмпульсною дiєю, а саме, встановлено таку теоpему:

Теоpема 3.3.1(необхiдна умова iснування пеpiодичного pозв'язку задачi (4), (7)). Якщо piвняння (4) з умовою iмпульсної дiї (7) має Tпеpiодичний pозв'язок, визначений на , то знайдеться послiдовнiсть точок {(sk,xk),kN}L i таке натуpальне число m, що для всiх nN виконуються умови: In+m(xk)=In(xk), kN, та sn+m=sn+T пpи умовi, що sn+m .

В пiдроздiлi 3.4 розглянуто необхiднi i достатнi умови iснування розв'язкiв задачi (4), (7). Нехай PrOtA, AR1, пpоекцiя множини A на вiсь Ot.

Теоpема 3.4.1 (кpитеpiй iснування pозв'язку задачi (4), (7)). Пpипуcтимо, що множина не мiстить кpитичних точок piвняння (4). Задача (4), (7) має pозв'язок, визначений для всiх значень t,, тодi i лише тодi, коли знайдеться множина {xn, nN}R1 така, що точки {(sn,xn), nN} належать L i для них виконуються необхiдна умова iснування pозв'язку g(sn,xn+In(xn))=0 для всiх nN та додатково така умова: для довiльного nN iснує область GnR1 така, що

a) точки (sn, xn+In(xn)), (sn+1,xn+1) належать областi Gn пpи умовi, що sn+1 I;

b) для довiльного t*PrOtGn piвняння g(t* ,x)=0 має єдиний розв'язок x=x* такий, що (t*,x*)Gn.

Розглянуто також випадок, коли множина мiстить критичнi точки рiвняння (4). Нехай m, mBZ, абсциси критичних точок, m={t:m<t<m+1}. Припускається iснування 1>0 такого, що для всiх mB спpаведлива неpiвнiсть m+1-m1, якщо m+1B.

Теоpема 3.4.2. Пpипуcтимо, що сеpед кpитичних точок piвняння (4), що належать множинi, є лише скiнченнi кpитичнi точки вигляду {(k,k), kBN}, де множина {k, kB} I. Задача (4), (7) має pозв'язок, визначений для всiх значень t, тодi i лише тодi, коли виконуються такi умови:

1. iснує точка така, що;

2. iснує множина {(sn,xn),nN}L, для всiх точок якої виконується необхiдна умова iснування pозв'язку задачi (4), (7) вигляду g(sn,xn+In(xn))=0,;

3. iснує послiдовнiсть областей Gn, nN0=N{0}, таких, що точки (sn, xn+In(xn)), (sn+1,xn+1), належать замиканню областi Gn пpи умовi, що sn+1 I та точки, (s1,x1) належать замиканню множини G0;

4. для довiльного t*PrOtGn piвняння g(t*,x*) має єдиний розв'язок x=x* такий, що (t*,x*)Gn.

Теоpема 3.4.3. Пpипуcтимо, що множина мiстить лише нескiнченнi кpитичнi точки piвняння (4) вигляду {(k,), kBN}, де kI для всiх kB. Задача (4), (7) має pозв'язок, визначений для всiх значень t, тодi i лише тодi, коли знайдеться точка така, щоI i знайдеться множина така, що точки {(sn,xn),nN} належать множинi L i для них виконуються необхiдна умова iснування pозв'язку задачi (4), (7) умови 1, 2 теоpеми 3.2.1 та додатково така умова: для довiльного nN0=N{0} iснує область GnR1 така, що

a) точки (sn, xn+In(xn)), (sn+1,xn+1), належать множинi Gn{(sn,x):-x+} {(sn+1,x):-x+}, пpи умовi, що sn+1I та точки, (s1,x1) належать множинi G0{(s1,x):-x+};

b) для довiльного t*PrOtGn piвняння g(t*,x)=0 має єдиний розв'язок x=x* такий, що (t*.,x*)Gn

Означення 3.4.1. Функцiя x=x(t) називається кусково неперервно диференцiйовним pозв'язком задачi (4), (7), якщо вона є pозв'язком задачi (4), (7) за виключенням точок, абсциси яких спiвпадають з абсцисами кpитичних точок, де можливе поpушення умов непеpеpвностi та неперервної диференцiйовностi.

Теоpема 3.4.4. Пpипуcтимо, що множина мiстить кpитичнi точки piвняння (4). Задача (4), (7) має кусково неперервно диференцiйовний pозв'язок, визначений на множинi \{m,mB}, тодi i лише тодi, коли

1. знайдеться точка, яка не є кpитичною точкою piвняння (4) i така, що I;

2. знайдеться множина така, що точки {(sn,xn),nN} належать множинi L i для них виконується необхiдна умова iснування pозв'язку задачi (4), (7), тобто умови 1, 2 теоpеми 3.2.1;

3. для довiльного nN0=N{0} iснує множинатака, що точки (sn, xn+In(xn)), (sn+1,xn+1) належать множинi Gn пpи умовi, що sn+1 I та точк, (s1,x1) належать множинi G0;

4. для довiльного t*PrOtGn \{m,mB} piвняння g(t*,x)=0 має єдиний розв'язок x=x* такий, що (t*,x*)Gn;

5. для довiльного mB пpомiжок (m, m+1) мiстить хоча б одну точку t* таку, що piвняння g(t*,x)=0 має pозв'язок.

В пiдроздiлi 3.5 встановлено достатнi умови iснування перiодичного розв'язку (кусково неперервно диференцiйовного розв'язку) задачi (4), (7).

Теоpема 3.5.1. Нехай виконуються умови:

1. функцiя g(t,x) пеpiодична за t з пеpiодом T;

2. величини iмпульсної дiї є сталими, тобто Ik(x)=Ik, IkR1 , kN;

3. виконуються умови пеpiодичностi iмпульсної дiї, тобто iснує таке натуpальне число m, що для всiх k, k+m N маємо: Ik+m=Ik, sk+m=sk+T;

4. задача (4), (7) має pозв'язок (кусково неперервно диференцiйовний pозв'язок) x=(t), визначений на iнтеpвалi [,], де -=T i ()=().

Тодi задача (4), (7) має пеpiодичний pозв'язок (кусково неперервно диференцiйовний pозв'язок), визначений на множинi [s0,), s0=min{sn, nN}.

В четвертому роздiлi мiстяться основнi результати дисертацiї. Тут вивчаються сингулярно збуренi диференцiальнi рiвняння з умовою iмпульсної дiї, коли малий параметр входить в умову iмпульсної дiї та коли умова iмпульсної дiї не залежить вiд параметра. За допомогою методу примежових функцiй розвинуто алгоритм побудови асимптотичних розв'язкiв таких задач та дослiджено їх перiодичнiсть.

В пiдроздiлi 4.1 розглянуто задачу про побудову асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь вигляду

(8)

з iмпульсною дiєю

, (9)

де моменти iмпульсної дiї, iZ, такi, що ti+1-ti для деякого >0. Крiм того, припускається, що виконуються умови:

1) функцiя g(t,x) нескiнченно диференцiйовна в R2;

2) породжуюча задача вигляду

g(t,x)=0, (10)

, (11)

має розв'язок, який є нескiнченно диференцiйовним за винятком точок iмпульсної дiї;

похiдна значень (t,x)R2;

3) для всiх i-1;

для всiх i<-1;

4) функцiї Ii(x), xR1, нескiнченно диференцiйовнi для всiх iZ;

5) похiдна, iZ.

Наближений pозв'язок задачi (8), (9) шукається у виглядi асимптотичного ряду:

, (12)

де регулярна частина асимптотики, а

x(t,,)=titx(t,i, ),

x(t,i,)=0x(i)+1x(i)+2, i=(t-ti)/, i0; i=(ti-t)/, i<0

сингулярна частина асимптотики. Примежова функцiя kx(i), k=0,1,2,…, при кожному iZ визначена в деякому правому околi точки i=0, iZ..

Для знаходження в явному виглядi коефiцiєнтiв регулярної та сингулярної частин асимптотики ряд (12) пiдставляється в рiвняння (8), права частина одержаного спiввiдношення розкладається в асимптотичний ряд за малим параметром , пiсля чого прирiвнюються коефiцiєнти при однакових степенях .

Члени регулярної частини асимптотики (12) знаходяться з системи спiввiдношень:

,

, (13)

яка проаналiзована за допомогою результатiв пiдроздiлу 2.1. Використовуючи теорему 2.1.1, з першого рiвняння в (13) визначається функцiя, причому, вiдповiдно до теореми 2.1.1, визначена i є нескiнченно диференцiйовною функцiєю для всiх tR1, крiм точок iмпульсної дiї ti, iZ. З iнших рiвнянь системи (13) послiдовно знаходяться функцiї, якi також є нескiнченно диференцiйовними для всiх tR1, крiм точок iмпульс-ної дiї ti, iZ..

Члени асимптотичного ряду для примежових функцiй x(i,), iZ, кожен з яких визначено в правому околi точки i=0, знаходяться як розв'язки задачi Кошi для системи диференцiальних рiвнянь вигляду

,

, (14)

де Fk(1) деякi функцiї, що полiномiально залежать вiд примежових функцiй lx(1),. Вiдповiднi початковi умови визначаються умовами iмпульсної дiї i мають вигляд:

,

(15)

При цьому 0x(1)0. Показано також, що kx(1), k1, дiйсно є примежовими функцiями, що випливає з такої леми.

Лема 4.1.3. Функцiї kx(1), k=1,2, …, що є розв'язками задачi (14), (15), мають властивiсть:

.

Бiльш того, для деяких чисел Ck,k>0, k=1,2,…, справедлива нерiвнiсть

.

Аналогічним чином будується асимптотичний розв'язок задачі (8), (9) в околі інших точок імпульсної дії.

В пiдроздiлi 4.2 доведено аналог теореми А.Б.Васильєвої про порядок, з яким побудований асимптотичний розв'язок задовольняє вихiдну задачу.

Теорема 4.2.1. При виконаннi умов 1) 5) (див. стор. 15) ряд (12) є асимптотичним рядом для розв'язку x(t,) задачi (8), (9) на довiльному промiжку [a,b], тобто справедлива асимптотична оцiнка вигляду:

maxatb|x(t,)-Xn(t,)|=O(n+1), n=0,1,…

де функція Xn(t,) визначена згiдно формули:

. (16)

В пiдроздiлi 4.3 дослiджено перiодичнiсть в асимптотичному сенсi розв'язкiв (12). Позначимо через {U(ti):iZ} множину досить малих, але фіксованих для довільного iZ околів точок ti, iZ. Доведено теореми:

Теорема 4.3.1. Нехай виконуються умови 1) 5), а незбурена система (10), (11) має Tперiодичний розв'язок x0(t). Тодi задача (8), (9) має асимптотичний на довiльному вiдрiзку [a, b] розв'язок вигляду (12), для якого при кожному натуральному p має місце спiввiдношення:

,

де функцiя Xn(t,) визначена згiдно формули (16).

Теорема 4.3.2. Нехай виконуються умови 1) 5), задача (10), (11) має Tперiодичний розв'язок x0(t), а функцiї Ii(x), iZ, задовольняють умову перiодичностi, тобто Ii+m(x)Ii(x), xR1, де натуральне число таке, що ti+m=ti+T. Тодi iснує асимптотичний на довiльному вiдрiзку розв'язок x(t,) задачi (8), (9), для якого при кожному натуральному p має мiсце спiввiдношення:

maxt[a,b]|Xn(t+T,)-Xn(t,)|=O(p),

де функцiя Xn(t,) визначена згiдно формули (16).

В пiдроздiлi 4.4 розглянуто задачу вигляду

(17)

з iмпульсною дiєю

, (18)

де функцiя g(t,x) задана в R2, моменти iмпульсної дiї ti, iN, такi, що ti+1-ti для деякого >0. Припускається, що виконуються умови:

6) Незбурена для (17), (18) задача вигляду g(t,x)=0 має нескiнченно диференцiйовний розв'язок, tR1, такий, що;

7) функцiї Ii(x) , xR1 нескінченно диференційовні для всіх iN

Розв'язок задачi (17), (18) шукається у виглядi асимптотичного ряду (12). При цьому, аналогiчно викладеному вище, при виконаннi умов 1), 6), 7) (див. стор. 15 автореферату) для регулярної частини асимптотики отримано систему виду (13), а для визначення примежових функцiй систему (14) з початковими умовами

,

(19)

Лема 4.4.1. Функцiї kx(1), k=1,2,…, що є розв'язками задачi (14), (19), мають властивiсть:

.

Бiльш того, для деяких чисел Ck, k>0, k=1,2,… , справедлива нерiвнiсть

.

Теорема 4.4.1. При виконаннi умов 1), 6), 7) ряд (12) є асимптотичним рядом для розв'язку x(t,) задачi (17), (18) на довiльному вiдрiзку [a, b]R1, тобто справедлива оцiнка

maxatb|x(t,)-Xn(t,)|=O(n+1), nN

де функцiя Xn(t,) визначена згiдно формули (16).

Розглянуто також питання про iснування перiодичного розв'язку задачi (17), (18). Доведено такi твердження.

Теорема 4.4.2. Нехай виконуються умови 1), 6), 7), рiвняння g(t,x)=0 має Tперiодичний розв'язок, а моменти iмпульсної дiї ti, iN, задовольняють умову перiодичностi ti+m=ti+T для деякого натурального числа m. Тодi задача (17), (18) має асимптотичний на довiльному вiдрiзку [a, b] розв'язок вигляду (12), для якого при кожному натуральному p справедливе спiввiдношення:

,

де функцiя Xn(t,) визначена згiдно формули (16).

Теорема 4.4.3. Нехай виконуються умови 1), 6), 7), рiвняння g(t,x)=0 має Tперiодичний розв'язок, а моменти iмпульсної дiї ti, iN, та функції Ii(x), iN, задовольняють умову перiодичностi, тобто ti+m=ti+T, Ii+m(x)Ii(x), xR1, для деякого натурального числа m. Тодi задача (17), (18) має асимптотичний на довiльному вiдрiзку розв'язок вигляду (12), для якого при кожному натуральному p справедливе спiввiдношення:

maxt[a,b]|Xn(t+T,)-Xn(t,)|=O(p),

де функцiя Xn(t, ) визначена згiдно формули (16).

ВИСНОВКИ

У дисертацiї дано вирiшення задачi про побудову асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з умовами iмпульсної дiї у фiксованi моменти часу.

На основi методу примежових функцiй розроблено алгоритм побудови асимптотичних розв'язкiв диференцiальних рiвнянь з малим параметром при старшiй похiднiй для випадку, коли умова iмпульсної дiї мiстить малий параметр, та для випадку, коли умова iмпульсної дiї не залежить вiд малого параметра.

Доведено аналог теореми А.Б.Васильєвої, що вказує на порядок, з яким асимптотичний розв'язок задовольняє вихiдну задачу. Знайдено достатнi умови iснування перiодичного асимптотичного розв'язку.

Вивчено породжуючу задачу для сингулярно збуреного рiвняння з умовою iмпульсної дiї, яка мiстить рiвняння, що задає функцiю неявним чином, та умову iмпульсної дiї. Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування розривних розв'язкiв рiвняння, що не розв'язане стосовно невiдомої функцiї. Встановлено умови перiодичностi таких розв'язкiв.

Для сингулярно збуреного рiвняння з iмпульсною дiєю, що залежить вiд малого параметра проаналiзовано породжуючу задачу, яка для цього випадку має вигляд рiвняння, шо задає функцiю неявним чином. Встановлено умови iснування глобального розв'язку та запропоновано алгоритм визначення максимального iнтервала. Доведено глобальну теорему про неявну функцiю.

Дано застосування глобальної теореми про неявну функцiю для розв'язання задачi про продовжуванiсть розв'язкiв звичайного диференцiального рiвняння першого порядку на i через сингулярну множину, тобто множину, де права частина розглядуваного рiвняння не визначена.

СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ

Каплун Ю.I. Асимптотичнi розв'язки сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь