НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИ

IНСТИТУТ МЕХАНIКИ IМ. С.П.ТИМОШЕНКА

Лук'янова Тетяна Олександрiвна

УДК 517.962.2

ДОСТАТНI УМОВИ СТIЙКОСТI ЗА ЛЯПУНОВИМ

I ЛАГРАНЖЕМ ДИСКРЕТНИХ ЗА ЧАСОМ СИСТЕМ

Спецiальнiсть 01.02.01 - теоретична механiка

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Київ - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механiки iм. С.П.Тимошенка НАН України.

Науковий керівник - член-кореспондент НАН України,

доктор фізикo-математичних наук, професор

Мартинюк Анатолiй Андрiйович,

завiдувач вiддiлу стiйкостi процесiв Інституту

механiки iм. С.П.Тимошенка НАН України.

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук

Мазко Олексiй Григорович, провiдний науковий

спiвробiтник вiддiлу динамiки та стiйкостi багатовимiрних

систем Iнституту математики НАН України (м.Київ).

- кандидат фізико-математичних наук

Бичков Олексiй Сергiйович, доцент кафедри

прикладної статистики факультету кiбернетики Київського

нацiонального унiверситету iм. Тараса Шевченка (м.Київ).

Провідна установа - Iнститут прикладної математики i механiки

НАН України (м.Донецьк).

Захист відбудеться “ 8 ” жовтня 2002 р. о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механiки iм.С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м.Київ, вул.Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механiки iм.С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м.Київ, вул.Нестерова, 3.

Автореферат розісланий “3” жовтня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фiзико-математичних наук Бабич I.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Метод векторних функцiй Ляпунова разом з декомпозицією є поширеним та зручним iнструментом для аналiзу динамiчних властивостей дискретних за часом систем. Проте, у випадку великомасштабних систем вiн не завжди враховує взаємозв'язки в системi з необхiдною повнотою i приводить до надто достатнiх умов стiйкостi та грубих чисельних оцiнок. Тому для таких випадкiв є природним розвинення другого методу Ляпунова, пов'язане з декомпозицiєю вихiдної системи на бiльш простi складовi частини з урахуванням її внутрiшньої структури. В неперервному випадку М.Iкеда та Д.Д.Шильяк запропонували використати дворiвневу ієрархічну регулярну декомпозицiю. Це дозволило розширити клас дослiджуваних систем та спростити процес побудови вiдповiдної функцiї Ляпунова. У дискретному випадку А.А.Мартинюком та Ю.М.Крапiвним було використано iнший тип ієрархічної декомпозицiї, пов'язаний з видiленням незалежних (i,j) - пар пiдсистем. Побудована цими авторами функцiя Ляпунова дозволила подолати основне обмеження векторного пiдходу - умову про квазiмонотоннiсть системи порiвняння. Але при цьому сам процес побудови та перевiрка умов на знаковизначенiсть стають досить складними, тому для дискретної системи має сенс розвинення методу ієрархічної регулярної декомпозицiї та побудова вiдповiдної функцiї Ляпунова.

При моделюваннi реальних явищ, якi мають механiчну, електричну та iн. природу, не можна з певнiстю стверджувати, що параметри системи мають конкретнi значення. Можна лише констатувати, що вони належать до деяких iнтервалiв з вiдомими межами. Тому, великого значення останнiм часом набуло дослiдження неточних динамiчних систем. Другий метод Ляпунова широко застосовується для аналiзу таких систем. Однак, практичнi труднощi, що при цьому виникають, спонукають до розвитку iснуючих методiв дослiдження в напрямку врахування ієрархічної структури системи.

Таким чином, актуальнiсть теми даної дисертацiї полягає в необхiдностi розвитку та вдосконалення методiв побудови функцiй Ляпунова для великомасштабних дискретних за часом динамiчних систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослiдження проводились згiдно з темою “Пошук алгоритмiв оцiнки границь робастностi лiнiйних неперервних i дискретних систем” плану наукових дослiджень Iнституту механiки iм. С. П. Тимошенка НАН України

(тема № ДР 0101U002867).

Мета i задачi дослiдження. Метою даної роботи є розвинення другого методу Ляпунова для великомасштабних дискретних за часом систем. Об'єктом дослiдження є великомасштабнi дискретнi системи загального вигляду, неточнi великомасштабнi квазiлiнiйнi та нейроннi дискретнi системи. Предметом дослiдження є стiйкiсть та зв'язна стiйкiсть великомасштабних дискретних систем загального вигляду, стiйкiсть та обмеженість розв'язкiв неточних дискретних систем. Метод дослiдження полягає у використаннi одно- або дворiвневої декомпозицiї системи та побудовi iєрархiчної функцiї Ляпунова як лiнiйної комбiнацiї допомiжних функцiй, сконструйованих для незалежних пiдсистем попереднiх рiвнiв iєрархiї. Задачi дослiдження полягають у побудовi достатнiх умов стiйкостi, нестiйкостi та ієрархічної зв'язної стійкості для дискретних великомасштабних систем, у знаходженнi границь робастної стiйкостi неточних квазiлiнiйних та нейронних систем, у отриманнi достатнiх умов квадратичної обмеженості рухiв дискретних квазiлiнiйних неточних систем.

Наукова новизна одержаних результатiв. Результати роботи є новими i полягають

·

· у вивченнi iєрархiчної зв'язної стiйкостi та отриманнi вiдповiдних достатнiх умов;

· у знаходженнi границь робастної стiйкостi неточних квазiлiнiйних та нейронних систем;

· у дослiдженнi умов квадратичної обмеженості рухiв квазiлiнiйних неточних великомасштабних систем.

Обґрунтованість i достовiрнiсть одержаних у дисертацiйнiй роботi результатiв забезпечується повним та строгим доведенням усiх викладених тверджень на основi класичних теорем другого методу Ляпунова.

Практичне значення одержаних результатiв. Результати роботи та методика їх отримання можуть бути використанi при подальшому розвиненнi методiв якiсного дослiдження великомасштабних дискретних систем, а також при вивченнi поведiнки конкретних систем, що мають механiчну, електромеханiчну та iншу природу.

Особистий внесок здобувача. Усi результати дисертацiї одержанi особисто здобувачем. Результати робiт, якi написанi у спiвавторствi, були отриманi дисертантом самостiйно. Спiвавтору належить вибiр напрямку дослiдження, постановка задач та аналiз отриманих результатiв.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на семінарах відділу стiйкостi процесiв Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України; на семінарах секції “Динамiка та стійкість руху механiчних систем” Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України; на міжнародній конференції “Modelling and Investigation of Systems Stability'” (травень 2001 р., Київ); на Українському математичному конгресi “УМК-2001”' (серпень 2001 р., Київ); результати роздiлiв 2, 4 дисертацiї включено до узагальнюючої монографiїа.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у 4 статтях у фахових наукових журналах та 2 тезах наукових конференцiй.

Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiйна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг роботи становить 127 сторiнок, з яких 1 сторiнку займає 1 рисунок, 10 сторiнок займає список 103 використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi до дисертацiї обґрунтовано актуальнiсть теми, сформульовано мету та задачi дослiдження, вiдображено наукову новизну та практичну цiннiсть, наведено апробацiю дисертацiї. Пояснюється структура дисертацiї, а також стисло сформульовано основнi результати роботи.

У першому розділі дисертацiйної роботи наведено огляд лiтератури за темою дисертацiї. Висвiтленi основнi етапи розвитку дослiджень дискретних систем в рамках другого методу Ляпунова. Вказано на розробку напрямку, пов'язаного з дослiдженням великомасштабних дискретних систем на основi ієрархічних функцiй Ляпунова. Роздiл закiнчено перелiком задач в цьому напрямi, якi залишилися нерозглянутими.

У другому розділі дослiджується стiйкiсть станiв рiвноваги великомасштабних дискретних за часом динамiчних систем.

В пiдроздiлi 2.1 розглянуто механiчну систему, рух якої описується рiзницевими рiвняннями вигляду

S: x(?+1)=f(?,x(?)), (1)

де ? e T?={t0+k, k=0,1,2,…}, t0 e R, x e Rn, f: T?‰Rn® Rn, функцiя f така, що iснує єдиний розв'язок

x(?;?0,x0) системи (1) для всiх ? e T? при будь-яких (?0,x0) e T?‰Rn. Крiм того, припускається, що функцiя f неперервна вiдносно змiнної x, f(?,0)=0 для будь яких ? e T? i стан x=0 є єдиним станом рiвноваги системи (1).

Для системи (1) проводиться дворiвнева регулярна декомпозицiя. На першому рiвнi iєрархiї система (1) декомпонується на s взаємозв'язаних пiдсистем

i : xi(?+1)=gi(?,xi(?))+hi(?,x(?)), i=1,2,…,s, (2)

де xi e Rn, x=(x1T,x2T , … ,xsT)T , Rn=‰ ‰… ‰ , gi : T?‰®,hi :T?‰Rn® .

Видiляються незалежнi пiдсистеми

Si : xi(?+1)=gi(?, xi(?)), i =1,2, … ,s, (3)

та припускається, що функцiї gi(?,xi) неперервнi вiдносно змiнних xi, gi(?,0)=0 при всiх ? e T? i стани рiвноваги xi=0 є єдиними для пiдсистем (3).

На другому рiвнi iєрархiї кожна з пiдсистем (3) декомпонується на mi взаємозв'язаних компонент

ij : xij(?+1) = pij(?,xij(?)) + qij(?,xi(?)), (4)

де xij e , xi=(xi1T, xi2T, … ,)T, =‰‰ …‰, pij: T?‰® , qij: T?‰® , i =1,2,…,s, j=1,2, … , mi.

Рiвняння

Cij : xij(?+1) = pij(?, xij(?)) (5)

описують динаміку незалежних компонент пiдсистем (3) . Припускається, що функцiї pij(?, xij) неперервнi вiдносно змiнних xi, pij(?,0)=0 при всiх ? e T? i стани рiвноваги xij = 0 є єдиними для компонент (5).

Дослiдження системи (1) засновано на iєрархiчнiй функцiї Ляпунова, яка будується в два етапи. Спочатку припускається, що для компонент (5) iснують допомiжнi функцiї vij з певними властивостями, i на їх основi для пiдсистем (3) будуються допомiжнi функцiї vi за формулами

vi(?, xi) = Sj=1 dij vij (?, xij), (6)

де dij - додатнi сталi. Потiм, для системи (1) будується остаточна функцiя

v(?, x) = Si=sdi vi (?, xi), (7)

де di - додатнi сталi.

Достатнi умови стiйкостi стану рiвноваги x=0 системи (1) формулюються у виглядi такого твердження :

Теорема 1. Припустимо, що рiвняння збуреного руху (1) дозволяють декомпозицiю (2)-(5) та виконуються умови:

(1) iснують iнварiантнi в дискретному часi околи NijНстанiв рiвноваги xij=0 компонент(5),

функцiї порiвняння fij,?ij,?ij О K2) , дiйснi сталi aij, bij, pij> 0, і 0 та допомiжнi функцiї vij:T?‰® e неперервнi вiдносно змiнних xij i такi, що при всiх ? e T? vij(?,0)=0 та мають мiсце нерiвностi:

(а) aij fij (|| xij ||) Ј vij(?,xij) Ј bij?ij(|| xij ||) ;

(б) Dvij(?,xij)Ј - pij ?ij (|| xij ||) ;

(в) Dvij(?,xij)- Dvij(?,xij)Ј ?ik (|| xik ||),

при всiх (?,xij) e T? ‰ Nij, де || xij || - норма вектора xij, i =1,2, … ,s , j=1,2,…mi;

(2) iснують iнварiантнi в дискретному часi околи Ni Н станiв рiвноваги xi=0,пiдсистем (3),

функцiї порiвняння ?i e K; функцiї vi: T?‰® R+, що побудованi за формулами (6), при всiх (?,xi) e T? ‰ Ni задовольняють нерiвностi:

(г) Dvi(?,xi)Ј - pi ?i (|| xi ||) ;

(д) Dvi(?,xi)- Dvi(?,xi)Ј xij ?j (|| xj ||),

де pi > 0, xij і 0 - дiйснi сталi, ,i=1,2, …,s.

Тодi, якщо матрицi W1,W2, …,Ws та W являються М-матрицями3) , то стан рiвноваги x=0, системи (1) асимптотично стiйкий.

Якщо умови (1) i (2) виконуються коли Nij = , Ni= i функцiї fij e KR2) , то має мiсце

асимптотична стiйкiсть в цiлому.

Тут Wi=() та W=(wij) є матрицями з елементами

=

wjk=

вiдповiдно.

Далi у пiдроздiлi 2.1 встановлено достатні умови нестійкості системи (1), якi також формулюються в термінах М-матриць.

Пiдроздiл 2.2 присвячено вивченню зв'язної стiйкостi системи (1). Припустимо, що для системи (1) має мiсце декомпозицiя (2) -(5). Відомо, що функції зв'язку між незалежними підсистемами системи (2) можна описати функцiями

hi(?,x)=hi(?, зi1xi1, зi2xi2, … , зisxis), i=1,2, …, s,

де E= ( зij) - фундаментальна матриця зв'язкiв в системi (2) з елементами

зij =

Нехай функції дискретного аргументу eij: T?®[0,1] при всіх ? e T? задовольняють нерівностям

eij(?) Ј зij.

Сталi визначають ступінь зв'язку між незалежними підсистемами (3), а матриця E(?)=(eij(?)) описує структурні збурення системи (1).

У випадку, коли E(?) 0, система (1) декомпонується на s незалежних підсистем (3), кожна з яких є композицією взаємозв'язаних компонент (4). Функції зв'язку між незалежними компонентами (5) записуються у вигляді

qij(?,xi) = qij(?, xi1, xi2, … , x ),

де

=

Розглядаються функцiї дискретного аргументу : T?®[0,1] такi, що при всіх ? e T? виконуються нерівності

(?) Ј .

Матриці = () є фундаментальними матрицями зв'язкiв для підсистем (3) і описують початкові зв'язки між незалежними компонентами (5), а матриці Li(?)=((?)) характеризують структурні збурення підсистем (3).

Для системи (1) запроваджене таке означення.

Дискретна система (1) називається ієрархiчно зв'язно стійкою, якщо при E(?) 0 стани рівноваги xi=0 підсистем Si асимптотично стійкі в цілому для будь-яких структурних матриць Li(?), i = 1, 2, …, s; при Li(?) стан рівноваги x=0 системи S асимптотично стійкий в цілому для будь-якої структурної матриці E(?).

Замiсть умов (1),(2) теореми 1 запровадимо такi умови:

Припущення 1. Нехай:

(1) умови (1а),(1б) теореми 1 виконуються при Nij = , та jijО KR, умова (2г) теореми 1

виконується при Ni = ;

(2) першi рiзницi функцiй vij задовольняють нерiвностям

Dvij(?,xij)-Dvij(?,xij)Ј (?) yik (|| xik ||);

(3) першi рiзницi функцiй (6) задовольняють нерiвностям

Dvi(?,xi)- Dvi(?,xi)Ј eip(?)zipyp(|| xp ||);

де zijі 0, ,yiі 0 – дiйснi сталi, i = 1, 2, …, s; j,k = 1, 2, …, mi .

В цьому випадку елементи матриць Wi та W залежать вiд елементiв матриць Li(?) та E(?). Матрицi, якi вiдповiдають фундаментальним матрицям зв'язкiв 1, 2, … , s та позначаються через , , … , та .

Ознака зв'язної стiйкостi системи (1) формулюються так:

Теорема 2. Припустимо, що рiвняння збуреного руху (1) дозволяють декомпозицiю (2) – (5) i виконуються всi умови припущення 1. Тодi, якщо матрицi , , … , та являються М-матрицями, то стан рiвноваги x=0 системи (1) iєрархiчно зв'язно стiйкий.

В пiдроздiлi 2.3 iєрархiчний пiдхiд застосовується до квазiлiнiйної дискретної за часом системи вигляду

x(?+1) = A(?) x(?) + h(?,x(?)). (8)

де A : T?® Rnґn, h : T? ґ Rn ®Rn . Припускається, що iснує єдиний розв'язок x(?;?0,x0) системи (8) для всiх ? О T? при будь-яких (?0,x0) О T? ґ Rn, та функцiя h неперервна вiдносно змiнної x, h(?,0)=0 для будь яких ? О T? i стан x=0 є єдиним станом рiвноваги системи (8).

Допомiжнi функцiї vij в цьому випадку вибираються нормоподiбними vij(?,x)=(xTPij(?))1/2 з матрицями Pij(?), якi знаходяться з певних матричних рівнянь. Достатнi умови асимптотичної стiйкостi в цiлому стану рiвноваги системи (8) отримано як наслiдок теореми 1.

Результати, викладенi у пiдроздiлах 2.1 та 2.2, проiлюстровано на модельних прикладах.

У третьому роздiлi проведено якiсне дослiдження руху дискретних за часом великомасштабних квазiлiнiйних систем з неточними значеннями параметрiв.

У пiдроздiлi 3.1 розглянуто дискретну квазiлiнiйну систему вигляду

x(?+1) = (A+DA) x(?)+g(x(?)), (9)

де ? О T? , xОRn, A – n ґ n постiйна вiдома матриця, DA – n ґ n матриця з неточними значеннями елементiв, про яку вiдомо тiльки те, що вона належить до деякої компактної множини W Н Rnґn, x є 0 – єдиний стан рiвноваги системи (9) в околi U Н Rn, g : U ® Rn , g О C(U).

Границi робастної експоненцiальної стiйкостi системи (9) отримано на основi скалярного, векторного та iєрархiчного пiдходiв. Наведемо результати, отриманi в рамках iєрархiчного пiдходу.

Система (9) дозволяє декомпозицiю типу (2) – (5): спочатку видiляються двi взаємозв'язанi пiдсистеми

: x1(?+1) = (A1+DA1) x1(?)+ (B1+DB1) x2(?)+g1(x(?)),

: x2(?+1) = (A2+DA2) x2(?)+ (B2+DB2) x1(?)+g2(x(?)), (10)

а потiм чотири взаємозв'язані компоненти

: xij(?+1) = (Aij+DAij) xij(?)+ (Bij+DBij) xik(?), (11)

Тут Ai, Bi, DAi, DBi , Aij , Bij ,DAij ,DBij – субматрицi вiдповiдних розмiрiв матриць A,DA,Ai,DAi,Bi, DB,

g= ( g1T, g2T)T, giО C(U), i = 1,2.

Допомiжнi функцiї vi та v будуються на основi нормоподiбних компонент

vij ( xij ) = (xijT Pij xij)1/2

за формулами (6) та (7) вiдповiдно, де матрицi Pij є розв'язками матричних рівнянь

AijT Pij Aij – Pij = – Eij

з одиничними матрицями Eij.

Наступне твердження є основним для iєрархiчного пiдходу в задачi про робастну стiйкiсть системи (9).

Теорема 3. Припустимо, що для неточної системи (9) має мiсце дворiвнева декомпозицiя (10), (11) i виконуються умови:

(1) номiнальнi пiдсистеми

xij (t+1) = Aij xij(t), i,j = 1,2,

асимптотично стiйкi;

(2) iснують сталi gi О (0,1), з якими виконуються нерiвностi

|| Bi1 || ||Bi2|| < gi2mi1 mi2 , i = 1,2;

(3) при всiх i, j, k = 1, 2 виконується нерiвнiсть < m;

(4) lim ||x||®0 ||g(x)|| ¤ ||x|| = 0.

Якщо субматрицi DAij ,DBij та матриць DAi та DBi задовольняють нерiвностi

||DAij || Ј (1-gi)mij , ||DBij || Ј , ||D || < m –

при всiх i,j,k = 1,2, то стан рiвноваги x = 0 системи (9) експоненцiально стiйкий в цілому.

Тут 0< < ei, сталi mij, ei, m визначаються по вiдомим субматрицям матрицi A.

Наведено спосiб вибору сталих dij так, щоб величина m була найбiльшою. Пiдроздiл закiнчено прикладом, який iлюструє перевагу iєрархiчного пiдходу.

В пiдроздiлi 3.2 вивчаються неточнi квазiлiнiйнi дискретнi системи вигляду

x(t+1) = A x(t) + G w(t,x(t)). (12)

Матрицi A i G розмiру n ґ n є постiйними i вiдомими, w : T? ґ Rn ® Rn. Вектор-функцiя w описує нелiнiйностi системи (12) i / або дiючi на систему збурення, про якi є неповна iнформацiя. Припускається, що функцiя w рiвномiрно обмежена, ||w|| Ј 1. Крiм того, для будь-яких початкових даних (t0, x0) О T? ґ Rn iснує єдиний розв'язок x(t) системи (12), такий що x(t0) = x0.

Квадратична обмеженість розв'язкiв системи (12) визначається як обмеженість, встановлена за допомогою квадратичної функцiї v(x) = xT P x. Достатнi умови такої обмеженості отримано в рамках скалярного пiдходу в термiнах знаковизначенностi спецiальних матриць, побудованих за матрицями A, G та P.

Далi система (12) декомпонується на s взаємозв'язаних пiдсистем

xi(t+1) = Aik xk(t) + Gik wk (t,x(t)),

де xi О x = (x1T,x2T,…,xsT)T, Rn = ґ ґ … ґ , w = (w1T,w2T,…,wsT)T, Aik, Gik – постiйнi матрицi вiдповiдних розмiрiв, wi : T? ґ Rn ® , i, k = 1,2, … , s.

Квадратична функцiя Ляпунова має вигляд

v(x) = Si=1 xiT Pi xi,

де Pi ОRnґn – симетричнi додатно визначенi матрицi.

У випадку використання векторної функцiї Ляпунова умови квадратичної обмеженості формулюються так:

Теорема 4. Нехай iснують додатнi сталi a1,a2, … ,as та симетричнi додатно визначенi матрицi P1, P2, …, Ps, такi, що виконуються s нерiвностей

Qi - (a1+a2+ … +as+ c) Pi – ai–1 Bi і 0, i = 1,2, … , s, (13)

та s(s-1)/2 рiвностей

AijT Pi Aij = 0, k, j = 1,2, … ,s, k < j.

Тодi рухи системи (12) квадратично обмеженi.

Тут Qi, Bi та c – матрицi та стала, якi будуються за вiдомими матрицями Aij, Bi. Матрична нерiвнiсть (13) означає, що матриця, яка стоїть у її лiвiй частинi, є невiд'ємною.

У четвертому роздiлi розглядаються деякi конкретнi задачi з теорiї автоматичного керування та нейроннi системи.

У пiдроздiлi 4.1 дослiджується система Лур'є-Постнiкова, до якої застосовується iєрархiчна декомпозицiя типу (2)-(5) i на основi результатiв пiдроздiлу 2.3 встановлюються новi умови абсолютної стiйкостi стану рiвноваги. Пiдроздiл закiнчується чисельним прикладом, що iлюструє запропоновану технiку ієрархічних функцiй.

У пiдроздiлi 4.2 вивчаються обертальнi рухи керованого твердого тiла в середовищi з неповною iнформацiєю про сили опору, який описується рiвняннями вигляду

I1 = (I2 – I3) w3 w2 + ы1 + ,

I2 = (I3 – I1) w3 w1 + ы2 + ,

I3 = (I1 – I2) w1 w2 + ы3 + ,

де w = (w1, w2, w3)T – вектор кутової швидкостi тiла, I1, I2, I3 > 0 – головнi моменти iнерцiї тiла, ы = (ы1, ы2, ы3)T – iмпульсне керування, – опiр зовнiшнього середовища.

На основi однорiвневого iєрархiчного пiдходу при є cons встановлено достатнi умови квадратичної обмеженості рухiв розглядуваної системи.

У пiдроздiлi 4.3 дослiджується великомасштабна нейронна дискретна система з неточними значеннями параметрiв

x(t+1) = (G + DG) x(t) + (C + DC) s((T + DT) x(t) + (I + DI)), (14)

де t О T? , = (x1,x2,…,xn)T, xi О R – стан i-го нейрону, s(x) = (s1(x1),s2(x2),…,sn(xn)) , si : R ® (-1,1), T О Rnґn, G = diag {g1, g2 , … , gn}, gi О [-1,1], C = diag {c1, c2 , … , cn}, ci № 0 при всiх i=1,2,…,n. Припускається, що si – двiчi неперервно диференційовані, монотонно зростаючi, непарнi функцiї, DG, DC, DT О Rnґn, DI О Rn– матрицi та вектор з неточними значеннями параметрiв, про якi вiдомо тiльки те, що вони належать до деяких компактних множин.

Окремо вивчаються випадки для стану рiвноваги системи (14), збуреного та незбуреного вiдносно стану рiвноваги вихiдної системи

x(t+1) = Gx(t) + Cs(T x(t) + I). (15)

На основi скалярного, векторного та iєрархiчного пiдходiв розв'язано задачу про експоненцiальну робастну стiйкiсть дискретної нейронної системи (14). Пiсля iєрархiчної декомпозицiї системи (14) та лінеаризації отриманих пiдсистем та компонент, використовуючи теорему 3, отримано достатнi умови робастної експоненцiальної стійкості стану рiвноваги нейронної системи (14).

Цi умови полягають у перевiрцi нерiвностей

max p,k = 1,2 { ||DGij||, ||DCij||, ||||, ||DIij|| }Ј Kij, i, j = 1,2,

для випадку незбуреного стану рiвноваги системи (14). DGij, DCij, та Gij, Cij, субматрицi вiдповiдних неточних та вiдомих матриць, сталi Kij, та D пiдрахованi по відомим матрицям.

Крiм того, у пiдроздiлi отримано достатнi умови експоненцiйної стiйкостi незбуреного та збуреного станiв рiвноваги системи (14) за допомогою скалярної та векторної функцiй Ляпунова. Основнi результати пiдроздiлу 4.3 проілюстровано на чисельних прикладах.

У висновках коротко сформульовано основнi результати дисертацiї.

ВИСНОВКИ

У дисертацiйнiй роботi розвинено iєрархiчний метод аналiзу динамiчних властивостей великомасштабних дискретних за часом систем. Основнi результати проведених дослiджень, якi представленi в дисертацiї, полягають у наступному:

1. Встановлено достатнi умови асимптотичної стiйкостi (в цiлому) та нестiйкостi рухiв великомасштабних дискретних за часом систем, достатнi умови асимптотичної стiйкостi в цiлому рухiв великомасштабних квазiлiнiйних неавтономних дискретних за часом систем на основi ієрархічної функцiї Ляпунова.

2. Вперше отримано достатнi умови iєрархiчної зв'язної стiйкостi великомасштабних дискретних за часом систем.

3. На основi iєрархiчної декомпозицiї знайдено границi робастної стiйкостi квазiлiнiйних дискретних за часом систем з неточними значеннями параметрiв.

4. Отримано новi достатнi умови квадратичної обмеженостi рухiв квазiлiнiйних дискретних систем з неточними значеннями параметрiв.

5. Знайдено границi експоненцiальної робастної стiйкостi нейронних неточних дискретних за часом систем.

СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ

1. Т.О. Лук'янова. Новi умови стiйкостi неавтономної дискретної системи // Доповiдi НАН України. – 2001. – № 7. – C. 56 – 62.

2. Т.А. Лукьянова, А.А. Мартынюк. Анализ связной устойчивости дискретной системы // Прикладная механика. – 2002. – Т. 38, № 1. – C. 102 – 110.

3. Т.А. Лукьянова, А.А. Мартынюк. Об оценке границы робастной устойчивости дискретной системы // Прикладная механика. – 2002. – Т. 38, № 2. – C. 123 – 130.

4. Т.А. Лукьянова, А.А. Мартынюк. О квадратичной ограниченности движений квазилинейной дискретной системы с неточным возмущением // Прикладная механика. – 2002. – Т. 38, № 5. – C. 130 – 136.

5. T.A.Lukyanova, A.A.Martynyuk. Robust stability: three approaches for discrete-time systems // Nonlinear dynamics and systems theory. – 2002. – Vol. 2, № 1. – P. 45 – 55.

6. Т.А. Лукьянова, А.А. Мартынюк. Анализ устойчивости дискретной системы при помощи иерархической функции Ляпунова // Тези доповiдей X Мiжнародної конф. “Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation”. – К.: Ки]вський нацiональний унiверситет iм.Т.Г.Шевченка. – 2001. – C. 71.

7. T.A.Lukyanova, A.A.Martynyuk. Exponential stability of motions of uncertain neural system // Тези доповiдей Українського математичного конгресу “УМК – 2001”, секцiя 8 “Обчислювальна математика i математичнi проблеми механiки”.– К.: Iн-тут математики НАН України. – 2001. – С. 30 – 31.

АНОТАЦIЯ

Лук'янова Т.О. Достатнi умови стiйкостi за Ляпуновим i Лагранжем дискретних за часом систем. – Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.02.01 – теоретична механiка. – Iнститут механiки iм.С.П.Тимошенка НАН України, Київ, 2002.

Дисертацiю присвячено дослiдженню на основi iєрархiчних функцiй Ляпунова великомасштабних дискретних за часом систем загального вигляду, великомасштабних дискретних за часом

квазiлiнiйних та нейронних систем з неточними значеннями параметрiв. В роботi встановлено новi достатнi умови асимптотичної стiйкостi (в цiлому) та нестiйкостi руху великомасштабних дискретних за часом систем, достатнi умови асимптотичної стiйкостi в цiлому рухiв великомасштабних квазiлiнiйних неавтономних дискретних за часом систем, достатнi умови iєрархiчної зв'язної стiйкостi дискретних систем, достатнi умови квадратичної обмеженостi рухiв квазiлiнiйних великомасштабних дискретних систем з неточними значеннями параметрiв.

Одержано границi робастної стiйкостi квазiлiнiйних та нейронних неточних дискретних за часом систем на основi iєрархiчної декомпозицiї та iєрархiчної функцiї Ляпунова.

Ключовi слова: дискретна система, неточна система, нейронна система, стiйкiсть, зв'язна стiйкiсть, квадратична обмеженiсть, iєрархiчна функцiя Ляпунова.

АННОТАЦИЯ

Лукьянова Т.А. Достаточные условия устойчивости по Ляпунову и Лагранжу дискретных во времени систем. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 – теоретическая механика. – Институт механики им.С.П.Тимошенко НАН Украины, Киев, 2002.

Диссертация посвящена исследованию на основе иерархических функций Ляпунова крупно-масштабных дискретных во времени систем общего вида, крупно-масштабных дискретных во времени квазилинейных и нейронных систем с неточными значениями параметров. В работе установлены новые достаточные условия асимптотической устойчивости (в целом) и неустойчивости движения крупно-масштабных дискретных во времени систем, достаточные условия асимптотической устойчивости в целом движения крупно-масштабных квазилинейных неавтономных дискретных во времени систем, достаточные условия иерархической связной устойчивости крупно-масштабных дискретных во времени систем, достаточные условия квадратичной ограниченности движений квазилинейных неточных крупно-масштабных дискретных систем. Получены границы робастной устойчивости квазилинейных и нейронных неточных дискретных систем на основе иерархической декомпозиции и иерархической функции Ляпунова.

Ключевые слова: дискретная система, неточная система, нейронная система, устойчивость, связная устойчивость, квадратическая ограниченность, иерархическая функция Ляпунова.

SUMMARY

Lukyanova T.A. Lyapunov and Lagrange stability conditions for discrete-time systems. – Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.02.01 – theoretical mechanics. – S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2002.

In the thesis a general method of hierarchical Lyapunov functions for analysis of dynamics of large-scale discrete-time is developed. The main problem of a thesis is study of stability conditions for such systems with taking account of their hierarchical structure. For achieve this aim the two-level vertical decomposition of initial system into independent subsystems and components is realized.

Auxiliary functions vij for independent components are used as weighted items when auxiliary functions for independent subsystems are constructed:

vi = е j aij vij.

In one's turn, the functions vi are used as weighted items when final functions for initial system are constructed:

v = е i ai vi.

Such hierarchical approach, in comparison with single vector approach, makes possible more complete accounting of dynamic properties of independent subsystems and components.

In the thesis an hierarchical method is employed to investigations of dynamics of large-scale discrete-time systems of general form, nonautonomous quasilinear discrete systems, uncertain quasilinear and neural discrete-time systems.

The main results obtained in the thesis are:

1. Sufficient conditions of motion (global) asymptotic stability and instability of large-scale discrete-time systems of general form, sufficient conditions of global asymptotic stability of motions of nonautonomous quasilinear discrete systems by a hierarchical Lyapunov functions. The conditions are formulate in the term of M-matrices.

2. Definition of hierarchical connective stability is transferred to and discrete case. Sufficient conditions of such stability of large-scale discrete-time systems are obtained first. It is shown that discrete-time system can be hierarchical connective stable but not be connective stabile in a usual sense.

3. It is obtained estimates of robust stability bounds for large-scale quasilinear discrete-time systems in the term of three approaches based on scalar, vector and hierarchical Lyapunov functions. It is shown that the hierarchical Lyapunov function allows one to obtain the most wide bounds for the uncertain matrix in the investigation of discrete system.

4. New sufficient conditions under which an uncertain quasilinear discrete-time system is quadratically bounded. Conditions of quadratic boundedness are formulated as property of having fixed sign of special matrices which allow to get estimations for first differences of auxiliary functions.

5. New estimates of robust exponential stability bounds for large-scale neural discrete-time systems are obtained.

Key words: discrete-time system, uncertain system, neural system, stability, connective stability, quadratic boundedness, hierarchical Lyapunov function.