МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКА ДЕРЖАВНА АГРОТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ

МАНОЙЛЕНКО ОЛЕНА СЕМЕНІВНА

УДК 515.2

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ У МЕТОДАХ

ДИСКРЕТНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

Спеціальність 05.01.01 –

Прикладна геометрія, інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Мелітополь - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Херсонському державному технічному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: - доктор фізико-математичних наук, професор

Хомченко Анатолій Никифорович,

завідувач кафедри прикладної математики і

математичного моделювання, Херсонський

державний технічний університет

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, доцент,

Корчинський Володимир Михайлович,

завідувач кафедри автоматизації проектування,

Дніпропетровський національний університет

- кандидат технічних наук, доцент,

ЯхненкоВіктор Мифодійович,

доцент кафедри графіки і нарисної геометрії,

Запорізька державна інженерна академія

Провідна установа: - Київський національний університет

будівництва і архітектури, кафедра нарисної

геометрії, інженерної і машинної графіки,

Міністерство освіти і науки України,

м.Київ

Захист відбудеться 18.06.2002р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К18.819.02 у Таврійській державній агротехнічній академії за адрес

72312, Мелітополь, проспект Б.Хмельницького, 18, зал засідань

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Таврійської державної агротехнічної академії за адресою:

72312, Мелітополь, проспект Б.Хмельницького, 18

Автореферат розісланий 14.05.2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради В.М. Малкіна

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Задачі відновлення функцій на дискретних елементах мають особливе значення у прикладних дослідженнях. Частіше всього задачі відновлення функцій розв'язуються за допомогою методів апроксимації та інтерполяції. Важливе значення задачі відновлення функцій мають для методу скінчених елементів (МСЕ). Поруч з алгебраїчним підходом, який використовується традиційно, в останні роки все частіше застосовуються геометричні методи моделювання базисних функцій. У дисертації дістав подальшого розвитку і застосування ефективний і зручний геометричний підхід до конструювання дискретних елементів.

Актуальність теми. Наукові дослідження, проектно-конструкторські роботи здійснюються за допомогою широкого використання ПЕОМ. У зв'язку з цим виникає актуальна проблема зниження розміру задач та прискорення обчислень. Альтернативою алгебраїчного методу визначення базисних функцій на дискретному елементі є простий, наочний і зручний геометричний метод. Переваги геометричного підходу над традиційним алгебраїчним підходом найбільш відчутні на елементах сирендипової сім'ї вищих порядків. Поява альтернативних моделей, побудованих за допомогою геометричного підходу, дає можливість розв'язування актуальної задачі оптимізації базисних функцій з метою покращення інтерполяційних і обчислювальних властивостей моделі.

Поширення геометричного моделювання на дискретні елементи дозволило відмовитись від дискретних схем блукань у методі Монте-Карло. Суттєве спрощення і значну економію часу дають однокрокові схеми. Модель блукань по мультиплексах, що запропонована у роботі, спирається на геометричну імовірність. Нанесення сітки стає непотрібним, а метод перестає бути статистичним. Для обгрунтування однокрокові схеми випадкових блукань була побудована модель “блукань по мультиплексу”, розроблено алгоритм, складена і реалізована програма комп'ютерного тестування. У методах дискретних елементів ці проблеми є найбільш актуальними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у рамках наукової програми “Геометричне моделювання в алгоритмах обчислювальної математики” (№ державної реєстрації 0101U008069) кафедри прикладної математики та математичного моделювання Херсонського державного технічного університету.

Мета і задачі дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є розробка методу геометричного моделювання інтерполяційних поліномів для функцій двох та трьох невідомих на дискретних елементах, побудова нових моделей, придатних для інженерних розрахунків, розробка програмного комплексу для дослідження інтерполяційних якостей дискретних моделей, побудова обчислювальних формул у схемі випадкових блукань на двовимірному і тривимірному мультиплексі з поглинаючими, відбиваючими та неідеально відбиваючими вузлами.

Об'єктом дослідження є двовимірні, тривимірні дискретні елементи у декартових прямокутних, полярних та циліндричних координатах.

Предметом дослідження є базисні інтерполяційні функції дискретних елементів як результат геометричного моделювання.

Методи дослідження: методи інтерполяції, імовірнісно-геометричні методи, методи крайових задач теплопровідності, матричні та сіточні методи, ітераційні методи та методи розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь, методи типу Монте-Карло. Для побудови базисних функцій використовується метод геометричного моделювання, який спирається на геометричної імовірності. Для розробки обчислювальних алгоритмів на мультиплексі використані ідеї методу Монте-Карло, закон великих чисел у формі Я. Бернулі.

Для досягнення мети у роботі поставлені і розв'язані наступні задачі:

·

· розповсюдити геометричний підхід на елементи з криволінійною границею у полярних та циліндричних координатах;

· дослідити якості отриманих дискретних моделей шляхом розв'язання тестових задач;

· виконати серію обчислювальних експериментів за допомогою ПЕОМ з метою оптимізації інтерполяційних та обчислювальних властивостей моделей, запропонованих у дисертаційній роботі;

· побудувати обчислювальні формули з поглинаючими, відбиваючими та неідеально відбиваючими вузлами для розв'язання дво- та тривимірних еліптичних задач на мультиплексі удосконаленим методом Монте-Карло;

· розробити математичну модель, алгоритм і програму випадкових блукань частинки по вузлах нанесеної решітки для перевірки та обгрунтування гіпотези, згідно з якою апостеріорні перехідні імовірності у схемах випадкових блукань заміняють апріорними перехідними імовірностями.

Теоретичною базою для даних досліджень послужили роботи провідних вчених:

- у галузі обчислювальної геометрії: В.В. Ваніна, В.М. Корчинського, Л.М. Куценка, В.Є. Михайленка, В.М. Найдиша, А.В. Найдиша, В.С. Обухової, А.В. Павлова, О.Л. Підгорного, А.М. Підкоритова, М.М. Рижова, К.О. Сазонова, І.А. Скидана, А.Н. Хомченка, В.І. Якуніна, Дж. Алберга, Р. Баттерфілда, П. Без'є, М. Кокса, Коксетера, С. Кунса, Е. Нільсона, М. Пратта, Уачспресса, А. Фокса, І. Шенберга та інших;

-у галузі геометричного моделювання: Ю.І. Бадаєва, В.Н. Кислоокого, Л.М. Куценка, В.Є. Михайленка, А.В. Найдиша, В.М. Найдиша, К.О. Сазонова, Д. Роджерса, Дж.Фолі, А. Фореста та інших.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Завдяки новому геометричному підходу, вперше одержано нові моделі двовимірних та тривимірних елементів сирендипової сім'ї. У схемах випадкових блукань на мультиплексі вперше розглядались ідеально відбиваючі та неідеально відбиваючі вузли.

2. Для покращення властивостей та зменшення складкоутворень функцій форми побудованих моделей запропонована удосконалена процедура згладжування інтерполяційного полінома.

3. У роботі дістав подальшого розвитку безсітковий метод зваженого усереднення ступенів волі у двовимірному і тривимірному мультиплексі. У прискореному алгоритмі моделюється стрибок частинки безпосередньо у кутовий вузол, завдяки чому суттєво прискорюється обчислення.

4. Вперше побудовані обчислювальні формули для розв'язання дво- і тривимірних еліптичних задач із змішаними граничними умовами. Проведені комп'ютерні експерименти підтверджують гіпотезу, що результати, отримані за допомогою сіткових методів і запропонованих у роботі формул, практично співпадають. При цьому використання розробленої автором методики значно скорочує час обчислень.

Обгрунтованість і достовірність наукових положень підтверджується коректним використанням математичних підходів у порівнянні з відомими результатами, що одержані іншими методами та іншими авторами, серією комп'ютерних експериментів, а також фізичних експериментів, що свідчать про збіжність наближених результатав до точних.

Практичне значення одержаних результатів полягає у створенні каталога моделей сирендипової сім'ї: 6 альтернативних моделей сирендипової сім'ї з 16 вузлами, 6 альтернативних моделей для тривимірного елемента сирендипової сім'ї на 44 вузли. Крім того у дисертації розвинуті прості та ефективні методи розв'язання граничних задач. Побудовані моделі та алгоритми швидких обчислень можуть бути застосовані у науково-дослідницьких, конструкторських та проектних організаціях при розрахунках споруд, конструкцій, теплонавантажених елементів машин. Наукові результати і запропоновані методи знайшли застосування у ВАТ ДКБ “Пріор” (м. Херсон; голова правління Зозуля П.І.), у АТОВ “ЭСО” (м. Каховка; головний інженер Окул В.І.).

Новий підхід використовується у навчальному процесі ХДТУ (лабораторні і практичні заняття, курсові роботи) при вивченні курсів “Обчислювальної математики” та “Прикладної математики”.

Особистий внесок здобувача. Особисто автором за допомогою геометричного способу побудовані моделі двовимірних дискретних елементів сирендипової сім'ї, виконане згладжування інтерполяційного полінома на 16-вузловому елементі, розв'язані задачі, пов'язані із знаходженням температурного поля та спектрального розподілу отриманих моделей; побудовані базисні функції для елемента з криволінійною границею у полярних та циліндричних координатах, геометричний підхід узагальнений на випадок трьох змінних для елемента у формі куба та призми з трикутним перерізом, розроблені обчислювальні формули для випадкових блукань броунівської частинки у мультиплексі, за допомогою серії комп'ютерних експериментів доведено доцільність заміни у методах типу Монте-Карло апостеріорних перехідних імовірностей апріорними імовірностями переходів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на VIII Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (м. Київ, 2000), Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Донецьк, 2000), Міжнародній науковій конференції “Інформаційна інфраструктура вищих закладів освіти” (м. Херсон, 2000), Першій Всеросійські науковій internet-конференції “Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках” (м.Тамбов, 2001), Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Харків, 2001), Міжнародній конференції з математичного моделювання (м. Херсон, 2001). Окремі результати дисертації доповідались на міжвузівському семінарі ХДТУ з математичного моделювання у 1999, 2000, 2001 роках.

Робота в цілому доповідалась на міжкафедральному науковому семінарі ХДТУ під керівництвом професора Крючковського В.В. (м. Херсон, 2002), на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки ТДАТА під керівництвом професора Найдиша В.М (м. Мелітополь, 2002) .

Публікації. За результатами досліджень опубліковано 12 статей (7 статей у збірниках наукових праць, 5 статей у матеріалах і тезах конференцій), з них 4 одноосібно та 7 статей у виданнях, які рекомендовано ВАК України.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, які викладені на 132 сторінках, висновків, списку літературних джерел із 135 найменувань та додатків. Робота містить 58 малюнків, 19 таблиць.

ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить загальну характеристику роботи. Обгрунтовується актуальність теми досліджень, сформульовано мету та задачі дисертаційної роботи, її наукову новизну та практичне значення.

У першому розділі окреслені основні етапи розвитку наукової думки за проблемою, що розглядається у дисертаційній роботі. Висвітлені роботи попередників, названі ті питання, що залишились невирішеними, визначено місце здобувача у розв'язанні проблеми.

У другому розділі розглянуто сучасні підходи до розв'язання задач відновлення функцій. Важливе значення задачі відновлення функцій мають для методу скінчених елементів (МСЕ), який відрізняється простотою та наочністю, високою алгоритмічністю, великою кількістю прикладних комплексів програм та іншими позитивними факторами. Поруч з алгебраїчним підходом, якому надається перевага, в останні роки все частіше застосовуються геометричні методи моделювання базисних функцій. У дисертації дістав подальшого розвитку і застосування геометричний метод конструювання фінітних функцій, які дістали поширення у задачах відновлення функцій. Алгебраїчний підхід до побудови базисних функцій (функції форми) достатньо трудомісткий, він приводить до необхідності побудови та розв'язання великих систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Інколи труднощі, що виникають, неможливо подолати у рамках алгебраїчного підходу. Мова йде про виникнення сингулярних матриць системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Це стимулює пошук нових підходів, що дозволяють вийти за рамки традиційних уявлень.

Новий підхід до моделювання базисних функцій, що запропоновано у дисертаційній роботі, дозволяє звільнити процедуру побудови інтерполяційного полінома від цих недоліків і, найголовніше, будувати велику кількість альтернативних моделей.

У роботі головна увага приділяється елементам сирендипової сім'ї, які, у порівнянні з елементами лагранжевого типу, дозволяють за рахунок відсутності внутрішніх вузлів значно скоротити обсяг обчислень. Протягом 40 років ці елементи привертають увагу фахіфців. Геометричні прийоми моделювання тут виявили себе з кращого боку. Вони допомагають зменшити розмір задач, які виникають у методі дискретних елементів, легко та швидко одержувати не тільки відомі моделі сирендипових скінчених елементів, але й будувати нові.

Як приклад розглядається 16-вузловий елемент сирендипової сім'ї. 16-вузловий елемент належить до елементів вищого порядку та становить особливий інтерес для геометричного моделювання поліноміальних базисів.

У загальному вигляді інтерполяційний поліном має 16 параметрів:

Матричний підхід передбачає побудову та розв'язання СЛАР 16 порядку. У роботі, за рахунок вибору відповідних композицій прямих ліній та кривих другого порядку, безпосередньо будується функція форми, що асоціюється з обраним вузлом.

При побудовi використана композицiя з прямих, що проходять через вузли 5-6-7-8-9, 9-10-11-12-13, 3-15 та елiпса, що проходить через вузли 2-4-14-16 (рис.1).

Система базисних функцій має наступний вигляд:

(1)

Щоб отримати базиснi функцiї для вузлiв 6,8,14,16 треба у формулi (1) зробити перестановку та .

(2)

Щоб отримати базиснi функцiї для вузлiв 7,15 треба у формулi (2) зробити перестановку та .

Рис.1 Геометричні композицiї для побудови функцiї

Легко можна перевірити, що побудовані функції задовольняють усім основним умовам, кожна функція дорівнює одиниці в однойменному вузлі і дорівнює нулю в інших вузлах, а також сума базисних функцій дорівнює одиниці.

На 16-вузловому елементі сирендипової сім'ї автором отримано шість альтернативних моделей. Поява альтернативних моделей, сконструйованих геометрично, відкриває широкі можливості для розв'язування дуже актуальної задачі - оптимізації базисних функцій з метою покращення інтерполяційних і обчислювальних властивостей моделі. Оптимізація досягається “зважуванням” альтернативних базисів за формулою:

(3)

де - різноманітні базиси елемента,

- ваговий коефіцієнт .

Формула (3) дозволяє розширити каталог придатних базисів для елемента з обраною кількістю вузлів.

Тривимірні зображення функцій форми на комп'ютері дозволяють візуально дослідити інтерполяційні якості моделей, а також виявити аномалії (наявність глибоких мінімумів, високих максимумів та складкоутворення на поверхні) побудованих моделей (рис.2).

Для дослідження інтерполяційних якостей та обчислювальних властивостей у роботі використано спеціальний тест. Один із поширених тестів пов'язаний з обчисленням спектра вузлових навантажень рівномірної масової сили. Вузлові долі навантаження визначаються подвійним інтегралом по області скінченого елемента від відповідної базисної функції, яка зважена з поверхневою щільністю :

Для однорідної пластини . У задачах теплопровідності інтеграли даного типу дають вузлові долі тепла внутрішнього джерела, що генеруються у скінченому елементі. Існують інші інтерпретації даного тесту.

Деякі моделі у кутових вузлах мають від'ємні долі навантаження. Як зазначив О. Зенкевич, вiд'ємнi тепловi навантаження у кутових вузлах не узгоджуються з фiзичною интуїцiєю. Однак, у практичних розрахунках, як показує досвiд, навіть цi моделi можуть давати цiлком прийнятнi результати.

У якості іншого тесту для порівняння інтерполяційних властивостей альтернативних моделей сирендипових елементів використовується задача Діріхлє для рівняння Лапласа у квадраті, яка зводиться до розв'язання рівняння з граничними умовами першого роду.

Цей приклад добре ілюструє сильні і слабкі сторони цілого ряду чисельних методів, що застосовуються для розв'язання задачі Діріхлє. Для розв'язку цієї задачі порівнюються з одного боку метод скінчених різниць (з використанням методу Гауса для розв'язку системи скінчено-різницевих рівнянь), ітераційні методи, з іншого - формула зваженого усереднення, яка запропонована у роботі. Ця формула, за допомогою якої може бути обчислена температура у будь-якій внутрішній точці області, має наступний вигляд:

(4)

де - значення температури у граничних вузлах,

- базисні функції обраної моделі.

Температура має вигляд математичного сподівання вузлових температур у будь-якій внутрішній точці елемента. При використанні скінченно-різницевих методів температура визначається у результаті розв'язання великих систем лінійних алгебраїчних рівнянь тільки у вузлах нанесеної сітки. Обчислення температури у будь-якій точці міжвузлового простору вимагає застосування додатково процедури інтерполяції. Обчислення за формулою (4) виключають необхідність застосування вище перерахованих процедур і дають температуру у довільній точці області. Температурне поле пластини можна будувати за допомогою одного скінченого елемента сирендипової сім'ї, що значно зменшує час порівняно з традиційними прийомами.

Нагадаємо, що завдяки процедурі “зважування” альтернативних базисів за формулою (3) можна корегувати властивості температурного поля пластини.

Звичайні базисні функції на елементах вищих порядків мають суттєвий недолік: вони викликають паразитні ефекти у певному класі задач, наприклад, при аналізі консольної балки під дією рівномірного навантаження. Була сформульована гіпотеза, що відхилення результатів розрахунків і експериментальних результатів зумовлене присутністю “зайвих” членів і викликає розходження результатів. Для усунення або послаблення цього недоліку використовується процедура згладжування інтерполяційного полінома. Субститут-базис можна отримати за допомогою методу найменших квадратів у інтегральній формі. Згладжена апроксимація для 16-вузлового елемента має таку властивість: у будь - якому напрямку поле має однаковий характер. Кожна субституційна функція є лінійною комбінацією площини і поверхонь вищого порядку (Рис.3).

Побудовані альтернативні моделі на одному сирендиповому елементі перевіряються на міжелементну неперервність за допомогою процедури ансамблювання моделей. За допомогою ансамблювання різних моделей доведено, що всі побудовані моделі на 16-вузловову сирендиповому елементі задовольняють вимогам міжелементної неперервності, таким чином зберігається - гладкість апроксимації. Графічні зображення, отримані за допомогою комп'ютерної програми, дозволяють підтвердити міжелементну неперервність, висвітлюють особливості побудованих моделей (рис.4).

Серія фізичних експериментів, яка виконана у заводській лабораторії АТОВ “ЭСО” підтвердила досить високу точність побудованих моделей. Максимальне відхилення результатів комп'ютерних експериментів від результатів фізичних вимірювань не перевищує 3,9%.

У третьому розділі досліджується можливість розповсюдження геометричного підходу на тривимірні елементи. При побудовi базису у методi скінчених елементiв традицiйно використовується апарат лiнiйної алгебри, який приводить до розв'язання системи алгебраїчних рiвнянь вiдносно параметрiв, що визначають iнтерполяцiйний полiном. Задача побудови базису, наприклад для 44-х вузлового сирендипова елемента

(рис.5), де вимагає побудови і розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь 44 порядку.

Для елементів лагранжевої сім'ї порядок систем ще вищий. Розв'язання цієї системи приводить тільки до єдиного розв'язку і можливості отримати єдину систему базисних функцій. Новий підхід до моделювання сирендипових скінчених елементiв та конструювання базисних функцiй грунтується на геометричних уявленнях і дає можливiсть отримання нових альтернативних моделей на тому ж самому скінченому елементі. У роботі на тривимiрному скінченому елементі сирендипової сім'ї з 44-а вузлами побудовано шість моделей, у яких використанi композицiї площин та поверхонь. Проведені розрахунки повузлового розподілу рівномірної масової сили для цих моделей. Розв'язана задача знаходження стаціонарного розподілу температури у внутрішніх точках куба.

Рис.5 Просторовий скінчений елемент з 44 вузлами

Базисні функції мають вигляд:

У роботі доведено припущення щодо застосування геометричного підходу відносно дискретних елементів різної форми. Базисні функції були побудовані для елементів з криволінійною границею у полярних та циліндричних координатах, для призми з перерізом у формі трикутника у декартових прямокутних координатах, а також за допомогою барицентричних координат.

У четвертому розділі розглядається геометрична схематизація броунівського руху стосовно до задач відновлення функцій на дискретних елементах. Досконале вивчення броунівського руху почалося у 1905 р. (А. Ейнштейн, М. Смолуховський), коли вперше були застосовані імовірнісні моделі.

Вивчення схем випадкових блукань у дисертації приводить до висновку, що базисні функції дискретних елементів можна ефективно використовувати у якості перехідних імовірностей. Ці ж базисні функції відіграють роль вагових коефіцієнтів у процедурах монте-карлівських усереднень. Виявляється, що для визначення перехідних імовірностей не обов'язково накопичувати статистичну інформацію. Можна скористатися простим і надійним способом, що спирається на геометричне моделювання. Геометричний підхід є досить універсальним. Він однаково ефективний на одновимірних, двовимірних та тривимірних моделях різноманітної форми. У дисертації встановлено глибокі зв'язки між функціями форми дискретних елементів, схемами випадкових блукань та барицентричним численням. З точки зору барицентричних уявлень базисні функції скінченого елемента - це відповідь на питання, які долі маси елемента слід сконцентрувати у його вузлах, щоб внутрішня досліджувана точка була барицентром дискретного елемента. Барицентричні уявлення розповсюджені на інші елементи. З точки зору імовірнісних уявлень базисні функції скінченого елемента - це відповідь на питання про те, які імовірності слід поставити у відповідність переходам блукаючої частинки із даної точки у вузли, щоб середня винагорода за вихід у вузол співпала із значенням інтерполянта скінченого елемента у даній точці.

У даній дисертації значна увага приділяється мультиплексу з поглинаючими, відбиваючими та неідеально відбиваючими вузлами. Вузли, які мають неідеальну ізоляцію, використані уперше, що дозволяє розв'язувати більш широке коло обчислювальних задач. Використання базисних функцій у ролі перехідних імовірностей відкривають нові можливості застосування схем випадкових блукань у мультиплексі для розробки прискорених алгоритмів методу типу Монте-Карло.

Цікавим залишається питання, пов'язане із геометричною схематизацією блукань броунівської частинки. Доведено твердження про незалежність перехідних імовірностей не тільки від форми маршруту, але і від форми дискретного елемента. Для трикутного елемента це було зроблено у попередніх роботах. У цій роботі розглядається елемент у формі квадрата. Комп'ютерні експерименти підтверджують гіпотезу, що перехідні імовірності, отримані за допомогою нанесення сітки і довгих зигзагоподібних блукань частинки по її вузлах (апостеріорні імовірності) та за допомогою обчислювальних формул методу барицентричного усереднення (апріорні імовірності), співпадають.

ВИСНОВКИ

До найбільш важливих наукових та практичних результатів дисертації можна віднести впровадження геометричного моделювання у сучасних методах дискретних елементів. Геометричні моделі відкривають нові можливості для використання принципу зваженого усереднення параметрів у задачах відновлення функцій. Задачі відновлення функцій мають важливе значення для науки та практики. Вони виникають у різних прикладних областях: при розв'язанні задач автоматизації вимірювань, в автоматизованих системах управління технологічними процесами, при плануванні машинних експериментів з моделями систем. В останні роки задачі відновлення функцій відіграють провідну роль у розвитку дискретних методів та реалізації на ПЕОМ.

При цьому одержані наступні результати, що мають наукову і практичну цінність.

1. З метою усунення відомих недоліків алгебраїчного методу конструювання базисних функцій запропонований геометричний спосіб моделювання дискретних елементів.

2. Базисні функції будуються за допомогою композиції ліній, які проходять через вузли дискретного елемента. Головна перевага геометричного моделювання полягає у тому, що цей підхід дає можливість прискорити процедуру побудови базисних функцій і, крім того, на відміну від алгебраїчного способу, будувати альтернативні моделі скінчених елементів. Наявність таких моделей спрощує розв'язання проблеми оптимізації інтерполяційних властивостей базисних функцій.

3. У дисертації вперше створено каталог моделей скінчених елементів сирендипової сім'ї вищих порядків інтерполяції. За допомогою розроблених алгоритмів і комп'ютерних програм виконане порівняння різноманітних моделей. Геометричне моделювання успішно пройшло перевірку у практичних задачах діагностики температурних полів. Зроблено порівняння одержаних результатів із результатами використання методу скінчених різниць та ітераційних методів, яке свідчить про високу ефективність розроблених моделей. Розв'язана задача побудови згладжених апроксимацій для 16-вузлового скінченого елемента сирендипової сім'ї за допомогою методу найменших квадратів для усунення паразитних ефектів.

4. З метою узагальнення геометричного способу побудови базисних функцій для тривимірних задач у дисертації запропоновані моделі сирендипових елементів з 44 вузлами. У тривимірних задачах ще більш виразно виявляються переваги геометричного моделювання порівняно з алгебраїчним. Сформульована і розв'язана задача побудови базисних функцій на елементі у вигляді призми, на елементі з криволінійною границею у полярних та циліндричних координатах.

5. Запропоновані прискорені статистичні іспити, в основі яких лежать ідеї методу Монте-Карло. В удосконалених схемах випадкових блукань, на відміну від звичайного методу Монте-Карло, де використовуються апостеріорні імовірності, застосовуються апріорні перехідні імовірності. У прискореному алгоритмі моделюється стрибок частинки з деякої внутрішньої точки у кутовий вузол, тобто броунівська частинка досягає границі за один крок. Застосування нових схем випадкових блукань значно зменшує обсяг обчислювальної роботи, витрати машиного часу.

6. Отримані нові обчислювальні формули схеми випадкових блукань на мультиплексі для двовимірних та тривимірних задач із змішаними граничними умовами. За допомогою комп'ютерних програм і проведених експериментів доведена гіпотеза, що значення перехідних імовірностей, отриманих за допомогою випадкових блукань броунівської частинки по вузлах нанесеної сітки співпадають з результатами швидкого обчислення за формулами, побудованими автором. Це дозволило удосконалити методику досліджень з точки зору якісних показників.

7. Достовірність отриманих результатів і працездатність побудованих моделей грунтуються на порівнянні з відомими розв'язками тестових задач. Для практичного використання результатів складені алгоритми та розроблені комп'ютерні програми. Пакети прикладних програм впроваджені у системах автоматизованого проектування у ВАТ ДКБ “Пріор” м. Херсон, АТВТ “ЭСО” м. Каховка. Отримані у дисертації результати можна рекомендувати для використання у ПКБ промислових підприємств, при створенні САПР, у задачах діагностики забруднення теріторії та в інших екологічних дослідженнях.

Основні положення дисертації опубліковано у таких роботах:

1.Манойленко О.С., Литвиненко О.І. Розвиток геометричного моделювання базисів дискретних елементів // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - К. - 2000. - Вип. 67 - С.166 -170.

2.Манойленко О.С., Колесникова Н.В. Геометричне моделювання тривимірних скінчених елементів вищих порядків // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - К. - 2001. - Вип. 68 - С. 147 -150.

3.Манойленко О.С. Моделювання скінчених елементів сирендипової сімї для дослідження температурних полів // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - К. - 2001.- Вип. 69. - С. 182-196.

4.Манойленко О.С., Колесникова Н.В., Хомченко А.Н. Деякі узагальнення схеми випадкових блукань у мультиплексах // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - Т.6. - Донецк: ИПММ.- 2001. - С. 75-79.

5.Манойленко О.С., Хомченко А.Н. Субститут-базис для згладженої апроксимації на елементі сирендипової сім'ї // Вестник Херсонского государственного технического университета. - Херсон: ХГТУ. - 2001. - №3(12). - С. 172-175.

6.Манойленко О.С., Колесникова Н.В., Хомченко А.Н. Просторові схеми випадкових блукань у мультиплексах // Вісник Запорізького державного університету. - Запоріжжя: ЗДУ. - 2001. - №1. - С. 61-64.

7.Манойленко О.С., Колесникова Н.В. Математична модель випадкових блукань у мультиплексі // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы. - 2001. - №2(9). - С. 21-27.

8.Манойленко Е.С. Схемы случайных блужданий в мультиплексах // Первая Всеросийская научн. internet-конф. “Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках”. - Тамбов: ТГУ им. Г.Р. Державина, 2001. - Вып. 2 - С. 17-19.

9.Манойленко О.С, Хомченко А.Н. Геометричне моделювання в задачах відновлення функцій // Зб. праць Міжнар. наук.-практ. конф. “Сучасні проблеми геометричного моделювання”. - Харків: ХДАТ та ОХ, 2001.- С. 102-105.

10.Манойленко Е.С. Геометрическое моделирование КЭ сирендипова семейства // Сб. тр. Междунар. научн.-практ. конф. “Современные проблемы геометрического моделирования”. - Донецк: ДонГТУ - 2000. - С. 109-111.

11.Манойленко Е.С., Колесникова Н.В., Хомченко А.Н. Геометрическое моделирование базисных функций в полярных координатах // Зб. праць Міжнар. наук. конф. “Інформаційна інфраструктура вищих закладів освіти”. - Херсон: ХДПУ - 2000. - С. 187-191.

12.Манойленко Е.С. Новые модели сирендиповых элементов высших порядков // Тези доп. VIII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. - Київ.: КПІ. - 2000. - С. 323.

Манойленко О.С. Геометричне моделювання у методах дискретних елементів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Таврійська державна агротехнічна академія, Україна, Мелітополь, 2002 р.

Традиційний підхід до побудови базисних функцій у методі скінчених елементів приводить до розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно параметрів, що визначають інтерполяційний поліном. Цей підхід спряжен з певними обчислювальними труднощами і вимагає великих витрат машинного часу. Розроблено новий геометричний підхід до побудови базисних функцій, який дає можливість отримання нових альтернативних моделей. Для порівняння обчислювальних властивостей побудованих моделей проводилося тестування отриманих базисів. У роботі показана методика геометричного моделювання тривимірних скінчених елементів сирендипової сім'ї.

Розглядаються питання, пов'язані з випадковими блуканнями. Удосконалення правил випадкових блукань дає можливість виконати конкретний перехід від блукань по вузлам цілочисленої решітки до блукань по області скінченого елемента. У ролі перехідних імовірностей виступають базисні функції, а скінчено-елементна апроксимація приймає форми середнього винагородження за вихід блукаючої частки у вузол.

Ключові слова: геометричне моделювання, скінчені елементи, інтерполяція, дискретні методи, випадкові блукання.

Манойленко Е.С. Геометрическое моделирование в методах дискретных элементов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата наук по специальности 05.01.01 - Прикладная геометрия, инженерная графика. - Таврическая государственная агротехническая академия, Украина, Мелитополь, 2002 г.

Традиционный подход к построению базисных функций в методе конечных элементов сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно параметров, определяющих интерполяционный полином, и к дальнейшему определению пробных функций. Этот подход сопряжен с определенными вычислительными трудностями и требует больших затрат машинного времени. Разработан новый геометрический подход к построению базисных функций, который дает возможность получения новых альтернативных моделей. На протяжении последних 25 лет были сформулированы гипотезы и получены первые результаты относительно использования нового направления геометрического моделирования, которое оказалось эффективным и удобным в задачах построения базисных функций методов дискретных элементов. Впервые, используя геометрический подход, автором было построено шесть моделей на двухмерном 16-узловом элементе сирендипова семейства. Ключевую роль при геометрическом моделировании получили прямые и кривые второго порядка (окружность, эллипс). В диссертации исследована возможность распространения геометрического подхода на трехмерные элементы с 44 узлами в форме куба. Предложенная методика построения базисных функций легко распространяется и на другие области двумерных и трехмерных конечных элементов сирендипова семейства в декартовых прямоугольных, полярных и цилиндрических координатах.

Для сравнения вычислительных свойств построенных моделей проводилось тестирование полученных базисов. Представляет интерес анализ результатов теста поузлового распределения равномерной массовой силы. В работе сформулирована и решена одна из актуальных температурных задач. Температура во внутренних узлах двумерных и трехмерных тел обычно определяется в результате решения больших систем линейных алгебраических уравнений в узлах нанесенной сетки. Вычисление температуры в произвольной точке межузлового пространства требует использования дополнительной процедуры интерполяции. В работе изучается возможность построения температурного поля с помощью одного конечного элемента. Этот подход дает значительное преимущество во времени в сравнении с традиционной поэлементной техникой метода конечных элементов. Решена задача построения сглаженных аппроксимаций при помощи метода наименьших квадратов в интегральной форме на 16-узловом элементе с целью устранения паразитных эффектов. Разработаны алгоритмы и программный комплекс для изучения интерполяционных и вычислительных качеств дискретных моделей, который позволяет решать такие задачи:

- визуализация функций формы;

- тестирование альтернативных моделей на межэлементную непрерывность; - восстановление функций двух и трех аргументов;

- оптимизация интерполяционных качеств дискретных моделей при помощи процедуры взвешивания альтернативных базисов.

В работе рассматриваются вопросы, связанные со случайными блужданиями. Вероятностные представления, которые находятся в основе случайных блужданий, помогают развить новый подход к теории конечных методов. Усовершенствование правил случайных блужданий даёт возможность осуществить переход от блужданий по узлам целочисленной решетки к блужданиям по области конечного элемента. Новые правила состоят в том, что частица стартует из какой-нибудь точки элемента и переходит в узел с вероятностью, которая зависит от положения старта частицы. В роли переходных вероятностей выступают базисные функции, а конечно-элементная аппроксимация принимает формы среднего вознаграждения за выход блуждающей частицы в узел. Такая схематизация случайных блужданий дает целый ряд преимуществ по сравнению с традиционными подходами.

Доказано утверждение о независимости переходных вероятностей не только от формы маршрута, но и от формы дискретного элемента. Получены новые вычислительные формулы для решения дву- и трехмерных эллиптических уравнений с поглощающими, идеально отражающими и неидеально отражающими узлами, позволяющие существенно расширить класс задач, исследуемых методом барицентрического усреднения.

Компьютерные эксперименты подтверждают гипотезу о том, что переходные вероятности, полученные с помощью нанесения сетки и долгих многошаговых и многократных зигзагоподобных блужданий частицы по ее узлам (апостериорные вероятности) и с помощью вычислительных формул метода барицентрического усреднения (априорные вероятности), совпадают.

В работе решены актуальные вопросы прикладной геометрии применительно к геометрическому моделированию броуновского вижения, задач восстановления функций на дискретных элементах. Результаты диссертационной работы нашли применение в ОАО КБ “Приор” (г. Херсон), в АООТ “ЭСО” (г. Каховка). Построенные в дисертационной работе модели можно рекомендовать к использованию в проектно-конструкторских бюро промышленных предприятий, в задачах диагностики загрязнения территории и в других экологических исследованиях.

Ключевые слова: геометрическое моделирование, конечные элементы, интерполяция, дискретные методы, случайные блуждания.

Manoilenko E.S. Geometrical modeling in the methods of discretic elements. - Manuscript.

The thesis for a scientific's degree of the candidate of technical sciences on a speciality 05.01.01 - Fppleid geometry, engineering graphics. Tavria state agrotechnical academ, Ukraine, Melitopol, 2002 y.

The traditional approach to the basal functions construction in the finite element method reduces to the solution of linear algebraic equations system relative to the parameters assigned the interpolar polynome, and to the further trial function estimation. This approach conjugates with the certain calculating difficulties and demands big expenditures of machine time. The new geometric approach to the basal functions construction is developed which gives the possibility to obtain the new alternative models. For the comparison of the calculating characteristics of the built models the testing of the obtained basis was conducted. The geometric modeling methods of the tree-dimensional finite elements of the serendip family are shown in the work. The questions look into the work, which associate with the random walks. The advance of the rules of the random walks enables to realize the change from the walks per blocks of the integer lattice to the walks per the field of the final element. The basic functions bulge in the role of the transitional probabilities, but the final elemental approximation accepts the forms of the middle compensation for the cross of the intermittent particle into the block.

Key words: geometrical modeling, finite elements, interpolation, discretic methods, random walks.