Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова

МАРТИНЮК Петро Миколайович

УДК 519.633.2

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФІЛЬТРАЦІЙНОЇ КОНСОЛІДАЦІЇ ГРУНТІВ З УРАХУВАННЯМ ПЕРЕНОСУ СОЛЕЙ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної математики Рівненського державного технічного університету Міністерства освіти та науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, доцент Власюк Анатолій Павлович, Рівненський державний технічний університет, завідувач кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Дейнека Василь Степанович, Інститут кібернетики ім.В.М.Глушкова НАН України, завідувач відділу математичних методів і програмних засобів прикладної інформатики;

кандидат фізико-математичних наук Кремез Віталій Семенович, старший науковий співробітник відділу прикладної гідродинаміки Інституту гідромеханіки НАН України.

Провідна установа:

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра системного аналізу та теорії прийняття рішень.

Захист відбудеться “25” січня 2002 р. об 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.194.02 при Інституті кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України, 03187, МСП, м.Київ, просп. акад. Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту кібернетики ім.В.М.Глушкова НАН України за адресою: м.Київ, проспект акад. Глушкова, 40

Автореферат розісланий “14” грудня 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Питання консолідації грунтових масивів мають дуже важливе значення в механіці грунтів взагалі і особливо для цивільного та промислового будівництва. Дослідження стійкості основ будівель, укосів, енергетичних та гідротехнічних об’єктів включає в себе задачу вивчення і прогнозування протікання процесів консолідації грунтів. Вперше зробив постановку одновимірної задачі ущільнення грунту та сформулював її математичну модель відомий німецький вчений K. Terzaghi. Великого розвитку теорія консолідації грунтів набула в працях М.М.Герсеванова, В.А. Флоріна, M.Biot, W.Derski, R.E.Gibson, Tan Tjong-kie, Ю.К.Зарецького, З.Г.Тер-Мартиросяна, М.М.Веригіна, Л.В.Горелика, Н.А.Цитовича, І.А.Лучко, О.Я.Олійника, А.Л.Гольдіна, А.Ф.Клементєва і ін. Але всі вищеназвані вчені розглядали в якості порової рідини чисту воду. Це було цілком виправданим для 30-х-70-х років XX століття. Та в даний час все більших масштабів набуває вплив людської діяльності на природу, з яким, як показують факти, не можна не рахуватись.

Швидкі темпи розвитку промислового виробництва в останні десятиріччя все гостріше ставлять перед людиною нагальні проблеми забруднення грунтів та грунтових вод різними хімічними речовинами та відходами виробництва. Досить часто грунтові основи будівель, гідротехнічних те енергетичних об’єктів, які знаходяться в процесі консолідації, зазнають впливу як самих хімічних речовин так і забруднених фільтраційних потоків грунтових вод. Це, як свідчать факти, є однією з причин порушення нормальної роботи вищезгаданих споруд. Доказом необхідності врахування впливу техногенних факторів на процеси консолідації грунтів є аварійні ситуації, які виникають на промислових об’єктах.

Протікання самого процесу консолідації грунту зумовлюється багатьма факторами. Це і наявність в порах грунту газу, і властивості повзучості скелету грунту та структурної міцності грунтів а також фільтраційні властивості (зокрема, коефіцієнт фільтрації) грунтів. Як показують досліди, проведені А.П.Власюком та М.Т.Кузло коефіцієнт фільтрації піщаного грунту значно залежить від концентрації сольового розчину, який фільтрується через даний грунт. Також експерементальні досліди Б.Ф.Рельтова, Н.А.Новицької та Ю.С.Большакової вказують на наявність осмотичної фільтрації в зв’язних грунтах при нерівномірному їх засоленні. Математичне моделювання в поєднанні з розвитком сучасних комп’ютерних технологій дозволяє все в повнішій мірі враховувати вплив вищевказаних факторів та створювати адекватніші математичні моделі даного фізичного явища. Цьому також сприяє розробка потужних чисельних методів, зокрема методу скінченних елементів, які дозволяють ефективно враховувати багато практично важливих факторів, зокрема, таких як складна геометрія, різноманітність граничних умов. Зокрема, в плані застосування та вдосконалення даного методу, загальновідомими є роботи як українських науковців І.В.Сергієнка, В.В.Скопецького, В.С.Дейнеки, Я.Г.Савули, Г.А.Шинкаренка, В.Н.Вовка, І.І.Дияка, І.М.Молчанова, Л.Д.Ніколенко так і зарубіжних К.Бате, Е.Вілсона, О.Зенкевича, Ф.Сярле, Г.Стренга, Д.Фікса, Ж.Деклу, Дж.Одена, M.Zlamal, I.Douglas, T.Dupont, I.Babushka, L.Franka, D.S.Burnett.

При побудові нових математичних моделей, що описуються крайовими задачами для диференціальних рівнянь чи систем рівнянь у частинних похідних виникають актуальні питання існування та єдиності розв’язку даних крайових задач. Так у дослідженнях існування та єдиності розв’язку лінійних та квазілінійних рівнянь та систем рівнянь параболічного типу загальновідомими є роботи О.А.Ладиженської, Н.Н.Уральцевої, В.А.Солонникова, С.Н.Кружкова, С.Д.Ейдельмана і ін.

Отже, побудова нових математичних моделей задач фільтраційної консолідації грунтів з урахуванням переносу солей, дослідження існування та єдиності розв’язків відповідних крайових задач, конструювання чисельних схем їх розв’язування є актуальною і важливою прикладною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Праця виконувалась згідно наукової тематики кафедри прикладної математики Рівненського державного технічного університету, а саме, плану робіт за темою І-25 “Математичне моделювання складних фізико-хімічних процесів підземної гідромеханіки з урахуванням впливу техногенних факторів”, № держреєстрації 0198U005711.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є вдосконалення існуючих математичних моделей задач фільтраційної консолідації грунтів в плані подальшого урахування переносу солей, знаходження чисельних розв’язків відповідних крайових задач та встановлення закономірностей впливу переносу солей на даний процес.

Для досягнення сформульованої мети в процесі досліджень вирішувались наступні задачі:

§

§

§

§

§

§

Об’єкт дослідження. Процеси та задачі консолідації грунтів.

Предмет дослідження. Задачі теорії фільтраційної консолідації грунтів з урахуванням переносу солей.

Методи досліджень. Математичне моделювання та відомі чисельні методи, зокрема методи скінченних різниць та скінченних елементів. Для встановлення існування та єдиності розв’язку деяких крайових задач використовувався загальновідомий принцип Лере-Шаудера про існування нерухомої точки функціонального оператора.

Наукова новизна одержаних результатів. Задачі фільтраційної консолідації грунтів розглянуті в новій некласичній постановці, яка досі не розглядалась, пов'язані зі зміною сольового режиму порової рідини. Для їх дослідження використані потужні чисельні методи. На основі побудованих алгоритмів створене програмне забезпечення для ЕОМ.

Загалом проведені теоретичні дослідження дали змогу отримати ряд нових результатів:

§

§

§

§

§

§

Достовірність отриманих в роботі результатів забезпечується строгою математичною постановкою крайових задач, доведенням існування та єдиності розв’язку деяких крайових задач, застосуванням для їх розв'язання теоретично обгрунтованих чисельних методів, фізичною інтерпритацією отриманих чисельних результатів, а також достатнім співпаданням наближених розв’язків, отриманих двома чисельними методами.

Практичне значення одержаних результатів. Проведені в дисертаційній роботі дослідження по розрахунку полів надлишкових та п’єзометричних напорів можуть бути використані при зведені будівель, енергетичних та гідротехнічних об’єктів, а також при розрахунку стійкості земляних споруд і для прогнозування осідань основ будівель в умовах фільтрації сольових розчинів. Доведена теорема існування та єдиності класичного розв’язку першої крайової задачі для спеціальної системи квазілінійних диференціальних рівнянь параболічного типу може бути використана при дослідженні початково-крайових задач, що описують подібні математичні моделі процесів різноманітної природи.

Результати роботи застосовані при прогнозуванні протікання процесів фільтраційної консолідації з урахуванням переносу солей та їх впливу на стійкість укосів грунтової греблі хвостосховища Стебницького державного гірничо-хімічного підприємства "Полімінерал".

Особистий внесок здобувача. Узагальнений закон Дарсі-Герсеванова на випадок руху сольових розчинів при врахуванні нормальної осмотичної фільтрації та виведення математичної моделі фільтраційної консолідації двохфазного грунту без урахування повзучості його скелету були запропоновані А.П.Власюком та О.В.Жеребятьєвим. Всі інші теоретичні та практичні результати були отримані автором самостійно. В публікаціях [1-4], [6-10], які написані у співавторстві, А.П.Власюку належать постановки задач та участь в обговоренні теоретичних результатів та результатів чисельних експериментів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались:

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Публікації За темою дисертації опубліковано 10 наукових праць, з яких 5 надруковано у виданнях, що входять у перелік наукових видань, затверджених ВАК України і 1 робота опублікована без співавторів.

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаної літератури та додатків. Її повний зміст викладений на 221 сторінці друкованого тексту, у тому числі на 165 сторінках основного тексту, і включає 72 рисунки та один додаток. Список літератури складається зі 172 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено наукову новизну отриманих результатів та їх практичне значення.

Перший розділ має в основному реферативний характер. В ньому розглядаються два усталених підходи до математичного моделювання процесів консолідації грунтів. Перший з них базується на фільтраційній теорії консолідації Терцагі-Герсеванова-Флоріна, а другий – на теорії об’ємних сил Біо-Флоріна. Обгрунтовано вибір подальших напрямків досліджень, які пов'язані з урахуванням осмотичних явищ та залежності параметрів фільтрації від концентрації сольового розчину.

У другому розділі виводяться математичні моделі процесів консолідації грунтів з урахуванням переносу солей на основі фільтраційної теорії консолідації Терцагі-Герсеванова-Флоріна. Так, математична модель r-вимірної задачі консолідації трьохфазного грунту в області з урахуванням переносу солей при лінійній залежності між напруженнями та деформаціями на основі “основної розрахункової” моделі Флоріна описується наступною крайовою задачею:

(1)

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

де ; - коефіцієнт об’ємної стискуваності газу; e – коефіцієнт пористості грунту; -коефіцієнт бічного тиску грунту; a-коефіцієнт стисливості грунту; - питома вага води; - напір; , * - напір та сума головних напружень в скелеті грунту в припущенні його миттєвої консолідації; t – час; K, , D – коефіцієнти (тензори) фільтрації, осмосу та конвективної дифузії відповідно; c, N - концентрація солей в рідкій та твердій фазах; - об’єм порової рідини в одиниці об’єму грунту; , - вектори швидкості фільтрації та руху твердої фази грунту відповідно; m - об’єм твердих частинок в одиниці об’єму грунту; - константи швидкості масообміну; Cm, N* - концентрація солей в рідкій та твердій фазах в умовах повної стабілізації; , - оператори, що задають граничні умови для напору та концентрації на бічній поверхні циліндра .

Залежність (4) є визначальною в даній математичній моделі. Вона являє собою узагальнений закон Дарсі-Герсеванова на випадок фільтрації сольових розчинів і встановлює залежність між швидкістю фільтрації, швидкістю руху твердих частинок грунту та градієнтами напору і концентрації сольового розчину.

При фільтрації сольових розчинів у зв’язних грунтах спостерігаються осмотичні явища. Б.Ф.Рельтов, Н.А.Новицька та Ю.С.Большакова детально дослідили найбільш характерні прояви осмосу – осмотичну фільтрацію та осмотичну деформацію зв’язних грунтів. Зокрема вказується, що осмотичні властивості зв’язних грунтів і взагалі дисперсних систем можуть бути виражені залежністю , де - швидкість осмотичної фільтрації.

А.П.Власюком та О.В.Жеребятєвим запропонований узагальнений закон Дарсі-Герсеванова на випадок руху сольових розчинів для двохфазного грунту при врахуванні нормальної осмотичної фільтрації

.

Однак даний закон можна дещо узагальнити. В роботах Б.Ф.Рельтова, Н.А.Новицької, Ю.С.Большакової відмічається спостереження нормального осмосу, коли розчинник (вода) рухається від зони з меншою концентрацією сольового розчину до зони з більшою концентрацією сольового розчину та аномального осмосу (протилежного до нормального). Також вказується, що для деяких грунтів при малих концентраціях електролітів спостерігається фільтрація, спрямована в сторону меншої концентрації солі. Швидкість даної фільтрації закономірно збільшується зі збільшенням концентрації солі до 10%, а потім зменшується, і при 20% спостерігається нормальна осмотична фільтрація. В зв’язку з цим узагальнений закон Дарсі-Герсеванова на випадок руху сольових розчинів для трьохфазного грунту можна записати у вигляді (4), де знак “+” відповідає нормальній осмотичній фільтрації, а знак “-” - аномальній.

Для забезпечення єдиності розв’язку задачі фільтраційної консолідації грунів в умовах руху сольових розчинів в області з границею потрібно задати початкові та граничні умов для шуканих функцій. Зокрема, нами виведена гранична умова для концентрації сольового розчину на рухомій вільній межі при нехтуванні кінетикою масообміну солей у випадку змінної пористості грунтового середовища

, (9)

де n – вектор напрямних косинусів зовнішньої нормалі до межі .

Початкові значення напорів в грунті залежать від багатьох факторів. Зокрема, на початкові значення напорів значно впливає наявність газу в поровому розчині, врахування або неврахування повзучості скелету грунту, вид ущільнюючого навантаження, наявність рухомих границь самої області консолідації . Відшукання початкових значень напорів в грунті, який консолідується, є самостійною задачею теорії консолідації і складність даної задачі значно залежить від її розмірності r. Тому початкові значення напорів знайдено окремо для кожної конкретної задачі теорії фільтраційної консолідації грунтів, які розв’язані в наступних розділах дисертаційної роботи.

Початкові значення концентрації сольового розчину задаються для кожної конкретної задачі з урахуванням її фізичної постановки в наступних розділах роботи.

Також в даному розділі наводиться залежність коефіцієнта фільтрації від концентрації сольового розчину. В результаті проведених А.П.Власюком та М.Т.Кузло експериментальних досліджень фільтрації сольових розчинів в піщаних грунтах, їх математичної обробки та поширення цих досліджень для глинистих грунтів, отримана залежність коефіцієнта фільтрації k від концентрації c сольового розчину, графічно представлена на рис. 1.

В роботах Б.Б.Бакенова, А.А.Мустафаєва, В.П.Петрухіна при дослідженні впливу засолення та розсолення на фізико-механічні властивості деяких глинистих ґрунтів наводяться аналогічні графіки залежності коефіцієнта фільтрації.

Третій розділ присвячено одновимірній задачі фільтраційної консолідації шару грунту товщиною l нескінченної ширини під впливом рівномірно прикладеного зовнішнього навантаження інтенсивністю (див. рис. 2) з урахуванням переносу солей. Грунт вважається двохфазним. Як відомо, наявність у поровому розчині газу (у розчиненому стані чи у вигляді окремих бульбашок) може значно впливати на початковий розподіл напорів в грунті, що консолідується, а також на час настання повної стабілізації. Але тенденції впливу переносу солей на процеси фільтраційної консолідації при розгляді двохфазного грунту будуть зберігатись і при розгляді трьохфазного грунту, адже наявність газу не може усунути вплив розчинених солей в поровій рідині. Тому, з огляду на вищесказане, а також з метою чіткого слідування основній цілі дисертаційної роботи, ми розглядали двохфазний грунт.

Як показано в розділі 2, математичну модель одновимірної задачі фільтраційної консолідації двохфазного грунту при лінійній залежності між напруженнями та деформаціями з урахуванням переносу солей можна описати наступною крайовою задачею:

, (10)

, (11)

, (12)

, (13)

, (14)

, (15)

, (16)

, (17)

де x є [0;l], t є (0;T]. , , - оператори, що задають граничні умови для напору та концентрації на кінцях відрізка [0;l].

Як видно з математичної моделі (10)-(17), рівняння кінетики масообміну ми взяли у вигляді лінійної залежності (12). Оскільки швидкість руху твердих частинок грунту на декілька порядків менша за швидкість фільтрації, то в узагальненому законі Дарсі-Герсеванова (13) нехтується швидкістю руху твердої фази грунту. Коефіцієнти фільтрації та конвективної дифузії покладаються залежними від концентрації сольового розчину.

В даному розділі також розглянуто стан питання існування та єдиності розв’язку крайових задач для квазілінійних рівнянь та систем рівнянь параболічного типу. Саме рівняння та системи рівнянь даного типу є складовими частинами математичних моделей теоріі фільтраційної консолідації грунтів як без урахування так і з урахуванням переносу солей.

Доведена теорема існування та єдиності розв’язку крайової задачі для спеціальної системи диференціальних рівнянь параболічного типу з граничними умовами першого роду.

Нехай в циліндрі , де , задана наступна крайова задача

, (18)

, , (19)

, . (20)

Початкову (19) та граничну умови (20) можна об’єднати в одну

.

Тут: – кількість рівнянь в системі (18); - невідома вектор-функція; ; ; - матриця розмірності , з коефіцієнтами залежними від x, t, u, ux, і яка має трикутний вигляд, тобто при , , ; , причому , де - матриці розмірності , які мають діагональний вигляд, а .

Доведення нижченаведеної теореми базується на роботах О.А.Ладиженської, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевої, А.В.Індіонкова, С.М.Кружкова.

Зробимо наступні припущення щодо матриці A(x,t,u,ux):

1. Коефіцієнти i-го рядка при не залежать від ;

2. Коефіцієнти i-го рядка можуть залежати лише від , , , , при врахуванні припущення 1.

Тоді систему (18) можна подати у вигляді

,

де матриця має трикутний вигляд, причому коефіцієнти i-го рядка визначаються рівностями та при ij; , де коефіцієнти матриці визначаються рівностями , , .

Нехай виконуються наступні умови:

a) , ;

b) , ;

c) , , ;

d), , ;

e), ; при , , , , функції , , , , є неперервними функціями, які задовольняють по x, t, , умові Гельдера з показниками , , , відповідно, , , ;

f) оператор (аналогічно, оператор ) є 2-параболічним за Петровським.

У вищенаведених умовах функції , , , є додатними неперервними функціями аргумента ; - неперервна функція, яка задовольняє по x, t умові Гельдера з показниками , відповідно; , де , , , .

Теорема. Припустимо що виконуються умови a)-f). Нехай при , і довільній вектор-функції q функції , неперервні, диференційовні по x, , , . Нехай при , , функції мають частинні похідні , , . Функції , , і виконуються умови узгодження початкових даних, граничних даних та самої системи рівнянь нульового та першого порядків.

При вищевказаних умовах існує єдиний розв’язок крайової задачі (18)-(20) з класу .

Нехай граничні умови (14)-(15) є граничними умовами першого роду. Тоді, при виконанні умов теореми 1, крайова задача (10)-(17) має єдиний розв’язок з класу .

Чисельний розв’язок крайової задачі (10)-(17) знайдено методами скінченних різниць та скінченних елементів.

Для дискретизації рівняння (10) використовувалась чисто неявна різницева схема, а для рівняння (11) - монотонна різницева схема Самарського. Оскільки система рівнянь (10)-(11) є нелінійною, то для її дискретизації використовувався метод лінеаризації: для знаходження невідомих функцій на часовому шарі (j+1) коефіцієнти приймались залежними від знайдених функцій на часовому шарі (j). Доведена теорема, що точність апроксимації диференціальних операторів відповідними скінченнорізницевими аналогами дорівнює при достатній гладкості відповідних коефіцієнтів та шуканих функцій. Граничні умови першого роду апроксимувались дискретизацією заданих функцій. При апроксимації граничних умов другого та третього родів з точністю застосовувались уточнені різницеві схеми. Оскільки чисто неявна і монотонна різницеві схеми є абсолютно стійкими, то наближений чисельний розв’язок збігається до точного розвязку крайової задачі (10)-(17) з точністю . Для знаходження розв’язку різницевих рівнянь використовувався метод прогонки. Умови стійкості прогонки виконуються.

Чисельний розв’язок крайової задачі (10)-(17) методом скінченних елементів знайдено при використанні поліноміальних базисних функцій. Доведено теореми про точність наближеного узагальненого розв’язку крайової задачі (10)-(17) при граничних умовах першого та другого родів, отриманого вищевказаним методом, при застосуванні схеми Кранка-Ніколсона.

Для чисельної реалізації побудованих алгоритмів складено програми для ПЕОМ з використанням сучасної технології візуального програмування в середовищі Delphi. Проведено ряд обчислювальних експериментів. Їх результати подано в графічному вигляді. На основі отриманих результатів встановлено, що урахування осмотичної фільтрації та залежності коефіцієнта фільтрації від концентрації сольового розчину в глинистих грунтах може значно впливати на проходження процесу консолідації. Так, наприклад, розглядалась задача фільтраційної консолідації шару грунту (див. рис. 2) на непроникному пласті солі. Встановлено, що при врахуванні впливу переносу солей (нормальна осмотична фільтрація) в даному випадку процес розсіювання надлишкових напорів в масиві грунту значно уповільнюється, аніж при розгляді процесу консолідації без урахування переносу солей.

Чисельні розв’язки отримані за допомогою двох методів достатньо добре співпадають. Хоча, при розв’язуванні нелінійних крайових задач типу (10)-(17) похибка більша, аніж при розв’язуванні задач де коефіцієнти дифузії та фільтрації є сталими. Але, незважаючи на дані похибки, тенденції впливу переносу солей на процеси консолідації глинистих грунтів в обох випадках співпадають.

В четвертому розділі розглянуто двовимірну задачу фільтраційної консолідації масиву двохфазного грунту в області з нерухомими межами при лінійній залежності між напруженнями та деформаціями з урахуванням переносу солей. Як показано в розділі 2, математичну модель даної задачі можна описати наступною крайовою задачею:

(21)

(22)

(23)

, , (24)

, (25)

, (26)

, (27)

, (28)

де , ; , - оператори, що задають граничні умови для напору та концентрації на бічній поверхні T циліндра QT.

Як видно з математичної моделі (21)-(28), зроблено припущення, аналогічні до розділу 3.

Для знаходження наближеного розв'язку крайової задачі (21)-(28) використано методи скінченних різниць та скінченних елементів. Як відомо, чисельний розв’язок крайової задачі (21)-(28) локально-одновимірним методом О.А.Самарського можна знайти, якщо область має довільну форму і на границі області для шуканих функцій задаються граничні умови першого роду або на границі області для шуканих функцій можуть задаватись граничні умови другого та третього роду і область складається з прямокутників, сторони яких паралельні осям координат.

Не зменшуючи загальності локально-одновимірним методом ми розв’язали задачу фільтраційної консолідації масиву грунту в області прямокутної форми (див. рис.3). Рівняння (21) та (22) подали у вигляді систем одновимірних диференціальних рівнянь і для їх дискретизації використали неявну та монотонну різницеві схеми відповідно. Оскільки система рівнянь (21)-(22) є нелінійною, то для її дискретизації використовувався метод лінеаризації, аналогічний до розділу 3. Доведена теорема, що точність апроксимації диференціальних операторів відповідними скінченнорізницевими операторами дорівнює (сумарна апроксимація) при достатній гладкості відповідних коефіцієнтів та шуканих функцій. Також граничні умови для шуканих функцій апроксимувались з точністю . Оскільки чисто неявна і монотонна різницеві схеми є абсолютно стійкими, то наближений чисельний розв’язок збігається до точного розвязку крайової задачі (21)-(28) з точністю . Для знаходження розв’язку різницевих рівнянь використовувався метод прогонки. Умови стійкості прогонки виконуються.

Чисельний розв’язок крайової задачі (21)-(28) методом скінченних елементів знайдено при використанні поліноміальних базисних функцій. При консолідації масиву грунту в області прямокутної форми (рис.3) використовувались прямокутні скінченні елементи, а при консолідації масиву грунту в області довільної форми (рис.4) – трикутні. Доведено теореми про точність наближеного узагальненого розв’язку крайової задачі (21)-(28) при граничних умовах першого та другого родів, отриманого вищевказаним методом, при застосуванні схеми Кранка-Ніколсона.

Також знайдено чисельний розв’язок крайової задачі, яка описує математичну модель процесу фільтраційної консолідації масиву грунту під плоским флютбетом та флютбетом зі шпунтом (див. рис.5) з урахуванням преносу солей.

Для чисельної реалізації побудованих алгоритмів складено програми для ПЕОМ з використанням сучасної технології візуального програмування в середовищі Delphi. Проведено ряд обчислювальних експериментів, їх результати подано в графічному вигляді. На основі отриманих результатів зроблено висновки, що урахування осмотичної фільтрації (нормальної та аномальної) та залежності коефіцієнта фільтрації від концентрації сольового розчину може значно змінювати протікання процесу фільтраційної консолідації глинистих грунтів.

П'ятий розділ присвячений дослідженню двовимірної задачі консолідації масиву двохфазного грунту в області з вільною рухомою межею з урахуванням переносу солей. Зокрема розглядається двовимірна задача консолідації тіла грунтової греблі та масиву грунту в її основі при лінійній залежності між напруженнями та деформаціями (див. рис. 6). Математична модель даної задачі фільтраційної консолідації з урахуванням переносу солей описується крайовою задачею (21)-(28). Граничні умови для напору та швидкості фільтрації на рухомій межі мають вигляд

,

і співвідношення описує вільну поверхню . Для концентрації сольового розчину на вільній поверхні задається гранична умова (9).

Знайдено чисельний розв’язок відповідної крайової задачі методом скінченних елементів.

Вся особливість даної задачі полягає в тому, що область фільтраційної консолідації змінюється з часом за рахунок зміни положення вільної поверхні. Тому постає необхідність в алгоритмі ітерування . Для цього метод, запропонований В.С.Дейнекою, І.В.Сергієнком, В.В.Скопецьким був застосований нами для нестаціонарної задачі.

У розділі наведено результати чисельних експериментів для задачі фільтраційної консолідації тіла глинистої греблі хвостосховища з нижньою непроникною межею. У випадку фільтраційної консолідації з урахуванням нормальної осмотичної фільтрації напори в тілі греблі в околі межі, що прилягає до верхнього укосу спадають. В результаті даного явища розподіл напорів в тілі греблі утворює своєрідну "хвилю". Причому на розподіл напорів також значно впливає урахування залежності . В процесі фільтраційної консолідації без урахування переносу солей даного явища не спостерігається. У випадку фільтраційної консолідації з урахуванням аномальної осмотичної фільтрації та залежності напори в тілі греблі значно зростають у порівнянні з фільтраційною консолідацією без урахування впливу переносу солей.

Отже, урахування осмотичних явищ та залежності порушують очікуваний розподіл напорів в тілі греблі. Тому при експлуатації гребель хвостосховищ, в яких зберігаються сильно концентровані сольові розчини, потрібно враховувати вплив переносу солей на проходження процесу фільтраційної консолідації з метою запобігання виникненню аварійних ситуацій.

ВИСНОВКИ

Проблема математичного моделювання та дослідження процесів консолідації грунтів являє собою складну математичну задачу. Сучасний розвиток науки та техніки вимагає більш адекватного підходу до математичного моделювання вищевказаних процесів, зокрема урахування впливу на природу так званих техногенних факторів людської діяльності. Основним підсумком проведених у дисертаційній роботі досліджень є розвиток актуального напрямку в математичному моделюванні і прогнозуванні складних фізико-хімічних процесів підземної гідромеханіки стосовно нової некласичної постановки і розв'язування крайових задач фільтраційної консолідації грунтів з урахуванням переносу солей.

Зокрема в роботі отримані наступні основні результати:

1.

2.

3.

4.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

АНОТАЦІЇ

Мартинюк П.М. Математичне моделювання фільтраційної консолідації грунтів з урахуванням переносу солей. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України, Київ, 2001.

У дисертації удосконалено узагальнений закон Дарсі-Герсеванова і на його основі побудовано математичну модель задачі фільтраційної консолідації грунтів з урахуванням переносу солей. Встановлено існування та єдиність розв’язку відповідної першої крайової задачі в одновимірному випадку. З використанням методів скінченних різниць та скінченних елементів отримано чисельні розв’язки одновимірної задачі, двовимірної задачі в області з фіксованими межами та задачі консолідації тіла грунтової греблі з вільною рухомою поверхнею з урахуванням переносу солей. Проведено численні чисельні експерименти та їх аналіз по розрахунку поля напорів та поля концентрації сольового розчину при урахуванні нормальної та аномальної осмотичних фільтрацій, а також залежності коефіцієнтів фільтрації та конвективної дифузії від концентрації солей в грунтових водах.

Ключові слова: математичне моделювання, масоперенос, фільтраційна консолідація грунту, осмос, крайова задача, нелінійні задачі, метод скінченних різниць, метод скінченних елементів, вільна границя.

Мартынюк П.Н. Математическое моделлирование фильтрационной консолидации грунтов с учётом переноса солей. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 — математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт кибернетики им.В.М.Глушкова НАН Украины, Киев, 2001.

В диссертационной работе теоретически исследуется вопрос консолидации грунтов в условиях фильтрации солевых расстворов воды. Улучшено обобщённый закон Дарси-Герсеванова и на его основании выведено математическую модель задачи теории фильтрационной консолидации грунтов с учётом переноса солей. Предусмотрена возможность наличия в поровом расстворе газа, а также учёта ползучести скелета грунта. Влияние переноса солей на скорость фильтрации объясняется нормальной и аномальной осмотическими фильтрациями, а также зависимостью коэффициента фильтрации от концентрации солевого расствора. Вышеуказанная математическая модель выведена с использованием “основной расчётной” модели В.А.Флорина, носит явно выраженый нелинейный характер и описывается начально-краевой задачей для системы двух уравнений параболического типа.

Доказана теорема существования и единственности решения первой краевой задачи для специальной системы параболических уравнений в одномерном случае. На основании этой теоремы установлено существование и единственность решения соответствующей краевой задачи, которая описывает математическую модель задачи фильтрационной консолидации грунтов с учётом переноса солей в одномерном случае.

В одномерном случае численное решение вышеуказаной математической модели найдено методами конечных разностей и конечных элементов. При решении методом конечных разностей использовалась монотонная разностная схема А.А.Самарского и чисто неявная разностная схема. Доказана теорема о точности аппроксимации дифференциальных операторов соответствующими конечноразностными аналогами. Поскольку математическая модель является нелинейной, то для дискретизации входящих в её состав уравнений использовался метод линеаризации: для нахождения неизвестных функций на временном шаре (j+1) коэффициенты уравнений принимались зависимыми от найденых функций на временном шаре (j). При практической реализации метода конечных элементов в качестве базисных функций использовались полиномы. Доказана теорема о точности приближенного обобщенного решения соответствующей краевой задачи в случае граничных условий первого и второго родов при использовании схемы Кранка-Николсона.

В двумерном случае численное решение задачи фильтрационной консолидации грунта с учётом переноса солей в области с неподвижными границами найдено локально-одномерным методом для областей специальной формы и методом конечных элементов в случае области произвольной формы. Доказана теорема о точности аппроксимации (суммарная аппроксимация) дифференциальных операторов соответствующими конечноразностными аналогами. При практической реализации метода конечных элементов в качестве базисных функций использовались полиномы. Доказана теорема о точности приближенного обобщенного решения краевой задачи в случае граничных условий первого и второго родов при использовании схемы Кранка-Николсона.

Найдено численное решение двумерной задачи фильтрационной консолидации тела грунтовой плотины с учётом переноса солей при подвижной свободной поверхности методом конечных элементов. При этом использовались треугольные конечные элементы и полиномиальные базисные функцыи. Использовался эффективный алгоритм итерирования свободной поверхности. Также выведено граничное условие для концентрации солевого расствора на депресионной кривой при пренебрежении кинетикой массообмена солей в случае переменной пористости грунта.

Сделана програмная реализация предложеных алгоритмов с использованием современной технологии визуального программирования в среде Delphi. Проведены многочисленные численные эксперименты, а их результаты представлены в графическом виде. Рассмотрены одномерная задача консолидации массива глинистого грунта ограниченной толщины и неограниченной ширины, а также двумерные задачи консолидации массива глинистого грунта при приложении мгновенной полосовой нагрузки, массива глинистого грунта под плоским флютбетом и флютбетом со шпунтом, а также консолидации тела грунтовой глинистой плотины на непроницаемом основании. Полученные результаты свидетельствуют о возможности значительного влияния концентрации порового солевого расствора воды на процесс консолидации грунта. При этом достаточно часто наблюдаются “тормозящие эффекты” – с учётом осмотических явлений и зависимости коэффициента фильтрации от концентрации солевого раствора напоры в грунтовом массиве рассеиваются намного медленнее, а иногда увеличиваются ещё в большей степени, нежели без учёта указанных факторов. Это может приводить к аварийным ситуациям как на этапе строительства так и в процессе эксплуатации разных промышленных и гидротехнических объектов. Вышеуказанные результаты численных экспериментов свидетельствуют о том, что влиянием переноса солей на процесы