ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені В.Н. КАРАЗІНА

ГРИШАНОВ Микола Іванович

УДК 533.951

„ДІЕЛЕКТРИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ПЛАЗМИ БЕЗ ЗІТКНЕНЬ У ДВОВИМІРНО-НЕОДНОРІДНИХ АКСІАЛЬНО-СИМЕТРИЧНИХ МАГНІТНИХ ПАСТКАХ”

01.04.08 - фізика плазми

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті високих технологій Харківського

національного університету імені В.Н. Каразіна.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України АЗАРЄНКОВ Микола

Олексійович, Харківський національний університет імені

В.Н. Каразіна, проректор.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Черемних Олег Костянтинович, Інститут космічних

досліджень НАН України та НКА України, заступник

директора з наукової роботи;

доктор фізико-математичних наук, професор

Єгоренков Володимир Дмитрович, Харківський

національний університет імені В.Н. Каразіна, професор

фізичного факультету;

доктор фізико-математичних наук

Греков Дмитро Леонідович, Інститут фізики плазми Національного наукового центру „Харківський фізико-технічний інститут” НАН України, провідний науковий співробітник.

Захист відбудеться «_14_» _березня_ 2008 р. о _15.00_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.051.12 Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61108, м. Харків, пр. Курчатова, 31, аудиторія 301.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, площа Свободи, 4.

Автореферат розісланий «_12__» __лютого___ 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Письменецький С.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В дисертації у кінетичному наближенні вивчаються діелектричні властивості аксіально-симетричних плазмових конфігурацій, таких як плазмовий циліндр у прямому та гвинтовому магнітних полях; токамак з великим та малим аспектним відношенням, з коловим, еліптичним та D-подібним перерізом концентричних магнітних поверхонь; D-подібна тороїдна плазма в умовах рівноваги за Соловйовим; магнітний пробкотрон; магнітосферна плазма у полі точкового та лабораторного магнітного диполя. Отримана інформація необхідна для розвитку кінетичної теорії хвиль у системах з двовимірною (2D) неоднорідністю параметрів плазми і утримуючого магнітного поля. Актуальність теми дисертації зумовлена тим, що дослідження хвилевих процесів відносяться до фундаментальних у фізиці плазми. Вони базуються на розв’язанні рівнянь Максвелла для електромагнітних полів і густини електричного струму. Як відомо, для розвитку лінійної теорії необхідно знати компоненти тензору діелектричної проникності для високочастотних (ВЧ) хвиль малої амплітуди. Форма цих компонент істотно залежить від моделі плазми і рівноважного магнітного поля, від системи координат у геометричному просторі, від частотного діапазону та інших умов. Найбільш повна інформація про діелектричні характеристики плазми та взаємодію хвиля-частинка отримується шляхом розв’язання кінетичних рівнянь (рівняння Власова у плазмі без зіткнень) для функції розподілу заряджених частинок у фазовому просторі. Інтерес до кінетичної теорії хвиль в замагніченій плазмі викликаний у першу чергу практичними застосуваннями плазми в експериментальних пристроях (токамаки, стеларатори, пробкотрони, магнітосферна плазма у полі лабораторного магнітного диполя) і у космосі (сонячна корона, сонячний вітер, магнітосфера Землі та інших планет). Підтвердженням цьому є розвиток ВЧ методів додаткового нагрівання плазми, підтримування безіндукційного струму та вилучення домішок в тороїдних і циліндричних пастках, коли використовується беззіткненне поглинання ВЧ хвиль на частинках (електронах або іонах) у відповідних діапазонах частот.

Результатом розв’язання рівнянь Максвелла-Власова має бути відповідь на питання про просторову структуру електромагнітних полів у плазмових конфігураціях, про дисперсійні характеристики власних коливань, про умови баунс-резонансної взаємодії хвиля-частинка у криволінійному магнітному полі, про умови збудження, поширення і загасання хвиль в аксіально-симетричній плазмі. Через складності розв’язку 2D інтегро-диференціальних рівнянь навіть лінійну кінетичну теорію хвиль у тороїдній плазмі не можна вважати завершеною. Зараз можна вважати достатньо розробленими моделі одновимірно-неоднорідної (1D) циліндричної плазми, що утримується прямим або гвинтовим магнітним полем. Важливою особливістю цих моделей є аксіальна симетрія та радіальна неоднорідність стаціонарних параметрів. Для опису таких систем і розв’язку рівнянь Власова-Максвела зручно використати циліндричні координати. При цьому стає зрозумілим, що плоскі хвилі вже не є власними функціями задачі і класична теорія плоских хвиль має бути модифікована. Формально, модель плазмового циліндра у прямому полі зручна при дослідженні хвилевих процесів у центральній частині магнітного пробкотрона, у сонячному вітрі, у екваторіальній площині магнітосфери Землі. Моделі плазмового циліндру зі струмом (тобто з гвинтовим магнітним полем) та тотожними торцями довгий час успішно використовувалися при моделюванні ВЧ нагрівання і генерації безіндукційних струмів у тороїдній плазмі. Однак, істотною властивістю токамаків, стелараторів, магнітосфери Землі та інших відкритих пасток є 2D (а часом і 3D) неоднорідність рівноважних параметрів плазми і утримуючого магнітного поля, що змушувало розвивати відповідні 2D (та 3D) моделі плазми. Наші дослідження орієнтовані, у першу чергу, на вивчення діелектричних властивостей у 2D моделях циліндричної, тороїдної та магнітосферної плазми.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалась як частина досліджень, що проводились в Сухумському фізико-технічному інституті за темами „Дослідження альфвенівського нагрівання плазми в установках типу токамак” (№ держреєстрації У-18071), „Дослідження газодинамічної пастки з ВЧ нагріванням та плазмового фокусу з метою отримання потужних джерел жорсткого випромінювання” (№ держреєстрації У-2200Р); в Університеті штату Ріо де Жанейро „Вплив дрейфово-кінетичних ефектів на хвилеві властивості у тороїдній та магнітосферній плазмі” (№ реєстрації FAPERJ-E-26/150951/96), „Двовимірна кінетична теорія високочастотних хвиль у магнітосферній плазмі та у токамаків з малим аспектним відношенням” (№ реєстрації FAPERJ-E-26/150.843/2000); в Національній (Бразилія) лабораторії наукового програмування „Комп’ютерне моделювання хвилевих процесів в замагніченій плазмі токамаків та магнітосфери Землі” (№ реєстрації CNPq-300637/01-2), в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна „Збудження іонно-циклотронних хвиль в двовимірно-неоднорідних магнітних уловлювачах відкритого типу (магнітосфера Землі, плазмовий пробкотрон)” (№ реєстрації 05-07).

Мета і задачі досліджень. Основною метою дисертації є отримання компонент діелектричного тензора і розвиток кінетичної теорії хвиль в таких аксіально-симетричних плазмових системах без зіткнень, як

- плазмові циліндри у прямому та гвинтовому магнітному полі;

- токамаки з великим і малим аспектним відношенням, з концентричними магнітними поверхнями колового, еліптичного і D-подібного перерізу; D-подібні токамаки з рівновагою за Соловйовим та довільним аспектним відношенням;

- циліндрична плазма у пробкотроні з магнітними дзеркалами;

- магнітосферна плазма у полі лабораторного магнітного диполя, у полі точкового геомагнітного диполя, у полі з коловими силовими лініями.

Для досягнення цієї мети необхідно було вирішити такі задачі:

·

·

·

·

·

·

Об’єкт дослідження – аксіально-симетрична плазма без зіткнень у магнітному полі з 1D та 2D неоднорідністю стаціонарних параметрів плазми та утримуючого магнітного поля; відгук циліндричної, тороїдної і магнітосферної плазми на збурення електромагнітних полів у рамках лінійної теорії хвиль.

Предмет дослідження – тензор діелектричної проникності, дисперсійні характеристики, засоби збудження і поглинання власних коливань у 1D і 2D аксіально-симетричних системах, що пов’язані з конкретною геометрією утримуючого магнітного поля, розподілом плазмових параметрів та частотним діапазоном ВЧ полів; особливості взаємодії пролітних і запертих частинок з електромагнітними хвилями у двовимірно-неоднорідних плазмових конфігураціях в умовах черенковського та циклотронного резонансів.

Методи досліджень. В дисертації використані добре відомі методи теорії диференціальних рівнянь та аналітичної геометрії, теорії функцій комплексних змінних, асимптотичні методи, метод усереднення, метод малого параметру, метод стаціонарних фаз. Використані результати теорії спеціальних циліндричних та еліптичних функцій, повних і неповних еліптичних інтегралів першого, другого і третього роду, інтеграл ймовірності від комплексного аргументу.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше, на моделі однорідного плазмового циліндру у прямому магнітному полі, продемонстрована можливість сепарації ізотопів (або іонів домішок) за допомогою збудження двох біжучих циліндричних хвиль, котрі мають частоти близькі до частот ларморівського обертання ізотопів (іонів домішок) і поширюються у протилежному напрямку.

Вперше, на моделі плазмового пробкотрону з магнітними дзеркалами, у наближенні геометричної оптики, проаналізована просторова структура швидких альфвенівських та швидких магнітозвукових хвиль уздовж пробкотрону при фіксованих радіальних хвилевих числах. У діапазоні іонно-циклотронних частот (і нижче) отримані дисперсійні залежності, які зв’язують власні частоти і хвилеві числа при резонансному збудженні цих коливань у плазмі з одним або двома сортами іонів. Визначені точки відсічення для зони поширення швидких магнітозвукових хвиль; отримано вираз для критичної густини плазми, при перевищенні якої стає можливим резонансне збудження цих хвиль. Розібрано вплив домішки дейтерію на хвилеві процеси у такому плазмовому пробкотроні.

Вперше, на основі розв'язку рівнянь Власова для запертих частинок в 2D моделі циліндричного пробкотрона, отримані аналітичні вирази для елементів поздовжньої та поперечних компонент тензора діелектричної проникності, які придатні для чисельних розрахунків по альфвенівському та іонно-циклотронному нагрівання плазми в пастках відкритого типу. Проаналізовано вплив баунс-резонансних ефектів на поглинання хвиль у плазмовому пробкотроні. Доведено, що умови резонансної взаємодії хвилі із запертими частинками у 2D пробкотроні істотно відрізняються від умов резонансу у прямому магнітному полі. З цієї причини беззіткненна дисипація хвиль на запертих частинках у плазмовому пробкотроні істотно відрізняється від черенковського та циклотронного поглинання хвиль в плазмі з прямим магнітним полем.

Вперше розв'язані рівняння Власова для збурень функцій розподілу запертих і пролітних частинок в осесиметричних сферичних токамаках з коловим, еліптичним і D-подібним перерізом магнітних поверхонь, та в токамаках з рівновагою за Соловйовим. На основі цих розв’язків уперше отримані елементи поздовжньої та поперечних компонент тензора діелектричної проникності у цих моделях тороїдної плазми, які необхідні для розрахунків поглинання хвиль за рахунок іонно-циклотронного та електронного загасання Ландау у діапазоні частот швидких магнітозвукових та альфвенівських хвиль в токамаках з довільним аспектним відношенням.

Вперше доведено, що у токамаках з витягнутим перерізом магнітних поверхонь поряд зі звичними запертими та пролітними частинками можуть виникати додаткові групи запертих частинок на таких поверхнях, де рівноважне магнітне поле має два (і більше) локальних мінімуми. Для еліптичних токамаків отримано критерій існування додаткових запертих частинок, який зв’язує еліптичність, обернене аспектне відношення та запас стійкості на заданій магнітній поверхні.

Вперше розроблені числові коди для розрахунку внесків запертих і пролітних електронів в уявну частину поздовжньої проникності ВЧ полів в широкому діапазоні частот у плазмі токамаків із коловим, еліптичним і D-подібним перерізом магнітних поверхонь при довільному аспектному відношенні. Розрахунки дозволяють визначити внесок окремих баунс-резонансних членів, як запертих, так і пролітних частинок, в черенковське поглинання альфвенівських та швидких магнітозвукових хвиль у 2D тороїдній плазмі. Для токамаків з еліптичними магнітними поверхнями вперше проаналізоване поглинання ТАЕ мод (Toroidicity-induced Alfven Eigenmodes) поблизу раціональних магнітних поверхонь, де паралельна компонента хвилевого вектору міняє знак.

Вперше запропоновано метод розв’язку кінетичних рівнянь для функції розподілу запертих і пролітних частинок у 2D магнітосферній плазмі без зіткнень, як задачі з граничними умовами. Розглянуто 2D моделі рівноважної (максвелівської) плазми у полі точкового та лабораторного магнітного диполя, та магнітосферної плазми с коловими силовими лініями геомагнітного поля. Для цих моделей вперше отримано елементи поздовжньої та поперечних компонент тензора діелектричної проникності у діапазоні частот альфвенівських хвиль і іонно-циклотронного резонансу. Проаналізовано вплив баунс-резонансів на черенковське поглинання альфвенівських хвиль в 2D лабораторній і навколоземній магнітосферній плазмі.

Вперше проведено теоретичне дослідження впливу циклотронних і баунс-резонансів на стійкість ліво- і право-поляризованих хвиль у магнітосферній плазмі з анізотропною температурою. Отримані дисперсійні рівняння для іонно- та електронно-циклотронних хвиль, що поширюються вдовж силової лінії геомагнітного поля Землі. Проаналізовані дисперсійні характеристики іонно-циклотронних хвиль у 2D магнітосфері Землі в зоні геостаціонарних орбіт при урахуванні баунс-резонансної взаємодії з енергійними протонами.

Наукове значення роботи. Результати, отримані в дисертації, є внеском в кінетичну теорію електромагнітних хвиль у двовимірно-неоднорідних аксіально-симетричних плазмових системах, таких як токамаки з великим та малим аспектним відношенням, магнітосфера Землі та інших планет, магнітосферна плазма у лабораторних умовах, плазмові пробкотрони.

Практичне значення здобутих результатів. Наукові результати, які отримані в дисертації, належать до актуальних галузей фізики космічної та лабораторної плазми, що інтенсивно розвиваються і мають бути цікаві світовій науковій спільноті. Проведені дослідження показали, що одержані результати можуть бути застосовані для аналізу хвилевих процесів в тороїдній, магнітосферній і пробкотронній плазмах. Отримані компоненти тензору діелектричної проникності можуть бути використані для розвитку чисельних кодів розв’язку 2D рівнянь Максвелла для електромагнітних полів у названих моделях плазми. Головна особливість отриманих діелектричних характеристик є та, що вони можуть бути розраховані чисельними методами незалежно від рішення рівнянь Максвелла. Відповідні розрахунки внеску пролітних та запертих електронів в уявну частину елементів поздовжньої діелектричної проникності дозволили аналізувати черенковське поглинання альфвенівських та швидких магнітозвукових хвиль у таких токамаках як JET (Joint European Torus, UK), MAST (Mega-Ampere Spherical Tokamak, UK), NSTX (National Spherical Tokamak eXperiment, USA), START (Small Tight Aspect Ratio Tokamak, UK), TCABR (Tokamak Chauffage Alfven do BRasil, Brazil), ETE (Experimento de Tokamak Esferico, Brazil) та в експериментальній пастці LDX (Levitated Dipole eXperiment, USA), де плазма утримується полем лабораторного магнітного диполя. Через дослідження умов збудження іонно-циклотронних хвиль поблизу геостаціонарних орбіт магнітосфери Землі доведено, що інкременти нестійкості цих хвиль, які отримані на моделі 2D магнітосфери, значно менше відповідних виразів для плазми у прямому магнітному полі. Проведені дослідження підтверджують необхідність розвитку 2D кінетичної теорії хвиль у плазмі навколоземної магнітосфери, токамаків та інших плазмових пастках відкритого і замкненого типу.

Особистий внесок здобувача. У роботах [1-5] дисертантові належить участь у постановці задач, проведенні аналітичних розрахунків та написанні статей. У роботах [6-24] - постановка задач, вибір методів дослідження, проведення аналітичних та комп’ютерних розрахунків, розробка чисельних алгоритмів та написання статей. У роботі [25] - розробка моделі і постановка задач, формулювання систем рівнянь, проведення аналітичних і чисельних розрахунків та написання препринта. У роботі [26] дисертантові належить постановка задачі, участь у проведенні аналітичних розрахунків та написанні доповіді (комп’ютерні розрахунки виконані співробітниками Інституту прикладної математики імені М.В. Келдиша АН Росії).

Апробація результатів дисертації. Результати, які представлені у дисертації, доповідалися дисертантом на наступних наукових конференціях:

· 11-та Міжнародна Конференція-Школа з Фізики Плазми і Керованого Термоядерного Синтезу, Вересень 2006, Алушта, Україна.

· 8th Brazilian Meeting on Plasma Physics, November 2005, Rio de Janeiro, Brazil.

· 12th Int. Congress on Plasma Physics, October 2004, Nice, France.

· 1st LNCC Meeting on Computational Modelling, August 2004, Petrуpolis, Brazil.

· X Latin American Workshop on Plasma Physics & 7o Encontro Brasileiro de Fнsica dos Plasmas, December 2003, Sгo Pedro, Brazil.

· 2nd IAEA Techn. Committee Meeting on Spherical Tori & 7th Int. Spherical Torus Workshop, INPE, August 2001, Sгo Jose dos Campos, Brazil.

· VII Workshop on Partial Differential Equation, July 2001, Rio de Janeiro, Brazil.

· 14th IAEA Techn. Committee Meeting on Research Using Small Fusion Devices, June 2001, Sгo Paulo, Brazil.

· X Int. Congress on Plasma Physics & 42nd Annual Meeting of the Division of Plasma Physics of APS, October 2000, Quйbec City, Canada.

· 26th EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, June 1999, Maastricht, The Netherlands.

· 5o Encontro Brasileiro de Fнsica dos Plasmas & 7th Brazilian Plasma Astrophysics Workshop, December 1998, Бguas de Lindуia, Brazil.

· IX International Congress on Plasma Physics & 25th EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, July 1998, Prague, Republica Tcheca.

· 4o Encontro Brasileiro de Fнsica dos Plasmas & 6th Brazilian Plasma Astrophysics Workshop, September 1996, Бguas de Lindуia, Brazil.

· Int. Workshop on Magnetospheric Plasmas, March 1996, Rio de Janeiro, Brazil.

· 3o Encontro Brasileiro de Fнsica dos Plasmas & 5th Brazilian Plasma Astrophysics Workshop, December 1995, Бguas de Lindуia, Brazil.

· 1994 Int. Conference on Plasma Physics & VI Latin American Workshop on Plasma Physics, November 1994, Foz de Iguaзu, Brazil.

· Всесоюзное совещание по открытым ловушкам, Октябрь 1989, Москва, Россия.

Матеріали дисертації доповідалися дисертантом на семінарах в Сухумському фізико-технічному інституті, в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна, в Університеті штату Ріо де Жанейро, в Бразильській національній лабораторії наукового програмування (Петрополіс, Бразилія).

Публікації. По темі дисертації автором надруковано більше 80 робіт, включаючи матеріали конференцій. Основні результати дисертаційної роботи представлені в 24 статтях, опублікованих у міжнародних наукових журналах, у яких анонімне рецензування є обов’язковою процедурою і які задовольняють вимогам ВАК. Список основних наукових праць (26 найменувань) наведено в кінці автореферату.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Основний текст дисертації складається із вступу, п’яти розділів основного тексту з 61 рисунками, висновків, списку використаних літературних джерел з 235 найменувань. Повний обсяг дисертації становить 313 сторінок, список використаних літературних джерел міститься на 14 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі викладено вихідні дані і обґрунтовано актуальність теми дисертації, поясненна необхідність проведення роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, розкрито практичне значення та зв’язок робіт з науковими програмами і темами, подано відомості про апробацію результатів дисертації. Вступ містить стислий огляд літератури за темою дисертації та окреслює коло питань, що висвітлюється в роботі, обґрунтовується вибір теми досліджень, структура та основний зміст роботи.

У першому розділі, використовуючи циліндричні координати у геометричному просторі (r, q, z) і просторі швидкостей , наведено рівняння Власова для збурених функцій розподілу заряджених частинок сорту a у формі, зручній для опису лінійного відклику 1D- і 2D-неоднорідної аксіально-симетричної плазми на електромагнітні збурення малої амплітуди, підрозділ 1.1. Векторні величини розкладені на нормальну A1, бінормальну A2 і паралельну A3 проекції відносно до рівноважного магнітного поля Н0(r): , , , де . Як приклад 1D осесиметричних систем розглянуті моделі рівноважної циліндричної плазми без зіткнень з одним або кількома сортами іонів у прямому [, , ], підрозділ 1.2, та гвинтовому [, , ], підрозділ 1.3, магнітних полях з урахуванням дрейфових поправок у максвелівській функції розподілу іонів і електронів: , де

, ,

, , , .

У моделі з гвинтовим полем вважається, що рівноважний струм тече вздовж Н0, формується електронами, швидкість яких (при ), і генерує полоідне магнітне поле , . При цьому силові лінії поля навиваються на магнітні поверхні, котрі мають форму концентричних циліндрів колового перерізу, , довжиною . У загальному випадку така модель дозволяє розглянути струмонесучу плазму з широм () та радіальною неоднорідністю рівноважних параметрів: , , і . Коли , то і маємо плазму у гвинтовому магнітному полі без ширу (). Якщо , то і маємо модель 1D циліндричної плазми у прямому магнітному полі.

Збурена функція розподілу частинок в 1D плазмових циліндрах знаходиться через Фур’е-розклад по полярному куту у просторі швидкостей, як . При цьому необхідно врахувати, що компоненти збуреного струму визначаються гармоніками , і , яки знаходяться методом послідовних наближень в умовах, коли ларморівський радіус частинок є найменшим серед усіх характерних розмірів плазми, , упоперек Н0. Відповідне інтегрування у просторі швидкостей: , , , дозволяє отримати усі дев’ять компонент ВЧ провідності, , і, відповідно, дев’ять компонент тензора діелектричної проникності, , більшість яких мають диференціальні оператори по r. Отримані компоненти дозволяють аналізувати радіальну структуру ВЧ полів у 1D циліндричній плазмі (зі струмом і без струму, з широм і без ширу, однорідну і неоднорідну, враховуючи ефект діамагнітного послаблення зовнішнього магнітного поля). Наближення геометричної оптики, коли , дозволяє отримати дисперсійні характеристики власних коливань у діапазоні нижче, порядку і вище іонно-циклотронної частоти . Наприклад, дисперсійне співвідношення для швидких альфвенівських (ША), кінетичних альфвенівських (КА) і швидких магнітозвукових (ШМЗ) хвиль при , , має вигляд:

.

Тут

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , , , , .

Отримані вирази для , при , відповідають результатам роботи [Ross D.W., Chen G.L., Mahajan S.M., Phys. Fluids,-1982,-V.25,-p. 652] при , . Дослідження дисипації хвиль при показало, що умови іонно-циклотронного резонансу (ІЦР) у плазмі зі струмом в гвинтовому магнітному полі: , істотно відрізняються від умов у прямому магнітному полі: . У підрозділі 1.2 продемонстрована спроможність сепарації ізотопів (або іонів різної маси) в однорідній плазмі у прямому магнітному полі за допомогою біжучих циліндричних ВЧ хвиль у частотному діапазоні ІЦР. У підрозділі 1.3 на моделі неоднорідної плазми у гвинтовому полі проаналізовані умови генерації струмів захоплення біжучими хвилями альфвенівського діапазону.

У другому розділі проаналізовані умови збудження об'ємних коливань і ВЧ нагрівання в газодинамічній пастці відкритого типу на основі діелектричного тензору холодної плазми; а на основі кінетичної теорії досліджено вплив баунс-резонансів на поглинання ВЧ полів у 2D плазмовому пробкотроні, Рис.1.

Рис.1. Двовимірно-неоднорідний плазмовий пробкотрон з магнітними

дзеркалами на торцях при .

В наближенні геометричної оптики (підрозділ 2.1) для поперечних компонент Е-поля,

, ,

де , отримано дисперсійне співвідношення ША і ШМЗ хвиль в однорідній циліндричній плазмі у неоднорідному магнітному полі з великим пробковим відношенням в умовах, коли , де - напівдовжина пробкотрона, а - радіус плазми при :

.

Тут

, ,

, , , ,

а є i-ий корінь функції Бесселя , так що . Розподіл поздовжніх хвилевих чисел вздовж системи, , для ША і ШМЗ хвиль у водневій плазмі з домішкою дейтерію в пробкотроні КП-2М (Сухумський Фізико-Технічний Інститут): см, см, кГс, , і , зображена графічно на Рис.2.

Рис. 2. Розподіл вздовж системи для швидких хвиль у плазмовому пробкотроні.

Віддалення від центру пастки, де виникає відсікання зони поширення ШМЗ хвиль, , відзначається через параметр гіротропності плазми і густину плазми в . Звідси виникає ситуація, коли при густині протонів у плазмі нема зони прозорості для ШМЗ хвиль; якщо , то область існування ШМЗ хвиль обмежується інтервалом від до , де . Знаючи , можна визначити умови резонансного збудження хвиль: для ША хвиль, і для ШМЗ хвиль, де n – цілі числа. У діапазоні частот в плазмі виникає зона ІЦР при , де . Присутність малої домішки дейтерію практично не впливає на умови збудження ШМЗ хвиль при . Але поблизу зони іон-іонного гібридного резонансу, , особливість мають ША хвилі, для яких спостерігається розщеплення гілки коливань і стають можливими трансформаційні ефекти. Якщо , то поблизу ВЧ поля представляють собою суперпозицію ША і ШМЗ хвиль; при цьому можливі ефекти трансформації за участю ШМЗ коливань.

Крім дисипації власних об’ємних коливань, ВЧ нагрівання обмеженої по радіусу плазми може бути забезпечено через збудження поверхневих хвиль, які при мають дисперсію , підрозділ 2.2. Результати розрахунків структури ВЧ полів і поглинутої потужності при ІЦР нагріванні через штучно-модельну дисипацію хвиль в плазмі КП-2М за допомогою 2D коду FITA показані на Рис.3.

Рис.3. Ізолінії паралельної компоненти електричного поля (а, б) і залежність

поглинутої потужності, Р, від частоти ВЧ генератора при ІЦР нагріванні

плазми в пробкотроні на поверхневій (в) і ШМЗ (г) хвилях.

Для оцінки поглинутої ВЧ потужності у рівноважній плазмі без зіткнень, у підрозділі 2.3, отримані і проаналізовані елементи компонент тензору на основі рішення рівнянь Власова для збурення функції розподілу запертих частинок будь якого сорту у пробкотроні з 2D магнітним полем : , , . Для опису баунс-періодичного руху запертих частинок вздовж введені змінні замість : , , , що дозволяє отримати внесок частинок даного сорту у поздовжню, нормальну та бінормальну компоненти густини струму за формулами:

, , ,

де , , а індекси відповідають частинкам з позитивним або негативним напрямком паралельної швидкості відносно до : . Гармоніки з номерами , що необхідні для розрахунку компонентів густини струму, знайдені в нульовому наближенні по параметру замагніченості, . Для отримання елементів п’яти основних (діагональних і двох гіротропних) компонент діелектричного тензору використані Фур’є-розклади густини струму і електричного поля: , , де Фур’є-гармоніки зв’язані через елементи поперечної і поздовжньої діелектричної проникності, як

, .

Отримані елементи і мають резонансні знаменники, якими визначаються умови резонансної взаємодії хвиль із запертими частинками: , де є номери баунс-резонансів, параметр запертості співпадає з параметром повних еліптичних інтегралів першого та другого родів, а - баунс-частота частинок з заданими і v. Резонансні частинки з такими баунс-частотами відповідають за поглинання енергії хвиль у рівноважній плазмі. Рухаючись вздовж силової лінії утримуючого магнітного полю, вони втягуються у періодичний рух між точками повороту, багатократно взаємодіють з хвилею в зонах циклотронного резонансу, які розміщені симетрично відносно площини . Важливою особливістю 2D пробкотронної плазми є те, що весь спектр Е-поля (через ) дає внесок у задану п-гармоніку густини струму. Внеском пролітних частинок у і можна знехтувати оскільки вони втрачаються в позапробкових зонах за час одного прольоту магнітної пастки.В третьому розділі дисертації для моделей аксіально-симетричних токамаків з коловим (підрозділ 3.1, Рис.4а), еліптичним (підрозділ 3.2, Рис.4б) і D-подібним (підрозділ 3.3, Рис.4в) перерізом магнітних поверхонь розв'язані кінетичні рівняння для функцій розподілу пролітних та запертих частинок, нехтуючи дрейфовими ефектами і шириною бананових траєкторій. Розглянуті моделі токамаків з великим та малим аспектним відношенням, з концентричними поверхнями та з рівновагою за Соловйовим (підрозділ 3.4, Рис.4г).

Рис. 4. Осесиметричні токамаки з коловим (а), еліптичним (б), D-подібним (в)

перерізом концентричних магнітних поверхонь і з рівновагою за Соловйовим (г).

У загальному випадку для опису осесиметричних D-подібних токамаків використані квазітороїдні координати (r,q, f), які зв'язані з циліндричними (r,f,z) як , , , де а і R0 - малий і великий радіуси токамаку, b/a характеризує еліптичність поперечного перерізу магнітних поверхонь, а d/a - параметр їх трикутності. При цьому циліндричні проекції Н0 задаються як

, ,

, так що , де

, , , , .

Якщо , маємо перехід до моделі еліптичного токамака; при маємо перехід до моделі токамаків з коловим перерізом магнітних поверхонь; при моделі сферичних токамаків переходять у токамаки з великим аспектним відношенням.

Для розв’язку кінетичних рівнянь збурена функція розподілу заряджених частинок знаходиться у вигляді , де змінні v і m (енергія частинок та їх магнітний момент) вводяться замість поздовжньої і поперечної швидкостей, , , так що . Істотною особливістю витягнутих токамаків є можливість існування додаткових груп запертих частинок на таких магнітних поверхнях, де модуль поля Н0 має два (або більше) локальних мінімуми в залежності від полоідного кута q. В еліптичному токамаку критерій існування двічі запертих (d-запертих) частинок визначається формулою:

,

що зв’язує еліптичність , обернене аспектне відношення та запас стійкості токамаку на заданій магнітній поверхні.

Наприклад, для 2D токамаків з коловим перерізом магнітних поверхонь (, , ), найбільш простий вигляд внеску пролітних (и) і запертих (t) частинок в елементи поперечної (, ) і поздовжньої (, ) діелектричної проникності отримується у системі координат з „прямими” силовими лініями утримуючого магнітного поля:

, ,

, ,

,

.

Тут

,

,

, , ,

, ,

,

, ,

, ,

, ,

, , .

Умови резонансної взаємодії хвиля-частинка у тороїдній плазмі визначаються рівністю нулю знаменників в і : 1) - для пролітних частинок; 2) - для частинок запертих, де - безрозмірний модуль швидкості. При цьому, як завжди, маємо умови черенковського резонансу (), нормального іонно-циклотронного резонансу (), нормального електронно-циклотронного резонансу (), як для пролітних, так і для запертих частинок. Крім того, аналізуючи резонансну взаємодію хвиля-частинка в тороїдній геометрії, необхідно враховувати і фазові коефіцієнти , та , в умовах черенковського та циклотронного резонансів, відповідно. Наведені умови резонансів записані для частинок неозначеного сорту. Відповідні резонансні умови для електронів та іонів плазми отримуються через заміну безіменних маси М та заряду е на та .

Одним із основних механізмів ВЧ нагрівання тороїдної плазми є беззіткненне поглинання хвиль на пролітних та запертих електронах (поглинання Ландау) в умовах, коли паралельна компонента електричного поля взаємодіє з частинками завдяки черенковському резонансу [Каладзе Т.Д., Пятак А.И., Степанов К.Н., Физика Плазмы, -1982, -T. 8, -C. 823]. Особливості черенковського резонансу в тороїдній геометрії обумовлені тим, що: а) резонансні умови для пролітних і для запертих електронів істотно різні; б) весь спектр полоідних гармонік дає внесок в m-у гармоніку . В результаті, для оцінки ВЧ потужності, що поглинається у плазмі через механізм Ландау, , маємо формулу:

,

де ,

.

Таким чином, при заданих , п, m, r і амплітудах Е-поля, поглинання на пролітних і запертих електронах визначається їх різним внеском в уявну частину поздовжньої проникності: . У випадку збудження в плазмі ТАЕ мод [Cheng C.Z., Chance M.S., Phys. Fluids, -1986, -V.29, -p. 3695] з двома суміжними гармоніками () число доданків в істотно зменшується:

,

де є квадрат модулю електричного поля.

Іншим механізмом ВЧ нагрівання плазми є беззіткненна дисипація хвиль в області частот іонно-циклотронного та електронно-циклотронного резонансів, коли частинки ефективно взаємодіють з поперечними компонентами електричного поля [Лонгинов А.В., Степанов К.Н., Высокочастотный нагрев плазмы, ИПФ АН СССР, Горький, 1983]. При нагріванні плазми на основній (першій) циклотронній гармоніці для поглинутої ВЧ потужності, , маємо формулу

, .

Внесок пролітних і запертих частинок в уявну частину елементів поперечної проникності, і , визначається добре відомим методом лишків і правилом Ландау при обході полюсів резонансних знаменників.

Результати розрахунків діагональних () елементів і та їх порівняння з локальним циліндричним (1D) наближенням,

,

для мод з і в плазмі з параметрами: см, см, Т, , cм-3, кеВ представлені на Рис. 5 в залежності від радіусу і частоти ВЧ генератора. Через порівняння і , можна побачити, що черенковське поглинання хвиль з великою фазовою швидкістю, , відбувається через їх баунс-резонансну взаємодію з пролітними електронами.

Рис. 5. Внесок пролітних і запертих частинок в елементи поздовжньої проникності

токамака з коловим перерізом магнітних поверхонь в залежності від радіусу плазми

при а) МГц, б) МГц, в) МГц, г) МГц.

Як і у випадку циліндричної плазми, максимальне поглинання на пролітних частинках мають хвилі з . Іншою особливістю взаємодії хвиля-частинка у тороїдній плазмі є те, що роль запертих частинок стає істотною для повільних хвиль з vph << vTе, коли їх частота w зрівнюється з баунс-частотою t-запертих електронів , тобто при

.

Більш того, повільні (зазвичай низькочастотні) хвилі ефективно взаємодіють з запертими електронами на зовнішніх магнітних поверхнях, де їх популяція зростає як . Цей параметр наближається до одиниці в сферичних токамаках (e ~ 1), і завжди малий в токамаках з великим аспектним відношенням (e << 1). Зокрема, ефективне нагрівання запертих електронів можливе в токамаках в умовах альфвенівського нагрівання, коли зона альфвенівського резонансу () знаходиться біля плазмової межі. Отримані залежності застосовані також для аналізу нагрівання плазми швидкими хвилями з , які мають ефективно взаємодіяти лише з пролітними електронами. Це означає, що при нагріванні плазми такими хвилями можна створити хороші умови для трансформації поздовжнього імпульсу хвилі в поздовжній рух пролітних електронів, що має забезпечувати генерацію квазі-стаціонарного струму захоплення [Колесниченко Я.И., Параил В.В., Переверзев Г.В., «Вопросы теории плазмы», М., Энергоатомиздат, вып. 17, 1989, с. 3-156].

Слід відзначити, що уявна частина поздовжньої проникності, як в тороїдній, так і в циліндричній плазмах, для хвиль з є експоненціально малою величиною. Однак, цікавою особливістю є те, що дисипація цих хвиль у токамаку на пролітних електронах при може бути сильніша (у кілька разів), Рис.5г, ніж у циліндричному наближенні. Через графіки на Рис.5 можна визначити магнітні поверхні, де слід чекати ефективне нагрівання пролітних або запертих частинок в осесиметричному токамаку. Зокрема, внесок запертих електронів в є головним лиш для низькочастотних хвиль (Рис.5а для МГц, що відповідає альфвенівським хвилям) і зменшується з ростом частоти (Рис.5в і Рис.5г для МГц і МГц, що відповідають діапазону ШМЗ і нижне-гібридних хвиль). Як можна побачити з Рис.5б, хвилі з МГц і заданими т і п ефективно взаємодіють з пролітними електронами поблизу магнітної осі та біля плазмової поверхні. На поверхнях середніх радіусів ці хвилі поглинаються в основному запертими електронами. Аналогічні результати отримані для токамаків з D-подібним, еліптичним і коловим перерізом магнітних поверхонь з великим і малим аспектним відношенням і іншими параметрами плазми і магнітного поля, включаючи токамаки з рівновагою за Соловйовим, де розраховано шафранівський зсув магнітних поверхонь.

Розрахунок недіагональних елементів і проведено при аналізі поглинання ТАЕ мод з хвилевими числами , , та частотою кГц у плазмі токамаку JET: см, , , Т, , , . При заданих параметрах хвилі і плазми, радіуси раціональних поверхонь, де і , рівні і для мод і , відповідно. Радіус же резонансної поверхні, де паралельні компоненти хвилевого вектору зрівняються, , є , де частота альфвенівських хвиль є кГц, так що . Поблизу інтервал існування ТАЕ мод визначається як , що відповідає діапазону кГц.

Графіки внесків пролітних та запертих електронів в і в залежності від радіусу плазми представлені на Рис.6. Порівнюючи , і видно що практично в усьому об’ємі плазми виключаючи зони раціональних магнітних поверхонь, і , де аргументи дисперсійної функції для пролітних електронів мають великі значення. Завдяки цьому і стають значно меншими, ніж внесок запертих частинок в : . Інші особливості радіальної структури діагональних елементів поздовжньої проникності спостерігаються поблизу резонансної поверхні , де . Структура недіагональних елементів поздовжньої проникності, представлена на Рис.6в. Порівнюючи результати Рис.6а і Рис.6б поблизу бачимо що і . Більш того, відповідно Рис.6в, змінює знак у цієї поверхні: при ; і при . Уявні частини діагональних елементів і , як і , позитивні при будь-яких радіусах незалежно від знаків мод т і п. Цю особливість слід враховувати при дослідженні механізмів стабілізації і збудження низькочастотних хвиль альфвенівського типу в тороїдній плазмі.

Рис. 6. Внесок пролітних і запертих електронів в уявну частину елементів

поздовжньої діелектричної проникності в діапазоні частот ТАЕ мод з

номерами п = 2 і а) , б) , в) , .

У четвертому розділі вивчені діелектричні властивості рівноважної магнітосферної плазми у полі точкового і лабораторного магнітного диполя та у магнітному полі з коловими силовими лініями, Рис.7. У магнітосфері Землі досліджена беззіткненна дисипація хвиль на основі розв’язку рівняння Власова для збурення функції розподілу запертих частинок (підрозділи 4.1-4.3). Щодо лабораторної магнітосферної плазми (підрозділ 4.4), то поглинання хвиль досліджене як на пролітних, так і на запертих частинках, при розрахунку скінченого радіусу а азимутального струму І, що генерує дипольне магнітне поле H0 з циліндричними проекціями:

, ,

, при ,

де використані квазітороїдні координати r = a + r cosq, z = - r sinq, f = f.

Рис. 7. Магнітосферна плазма у магнітному полі з коловими силовими лініями (а);

у полі точкового (б) і лабораторного (в) магнітного диполя.

Функція розподілу частинок в лабораторній магнітосфері знаходиться як

,

де , , , а для гармонік маємо рівняння:

, .

Тут , ,

, , .

Оскільки лабораторна магнітосфера являє собою 2D конфігурацію з замкненими силовими лініями і одним мінімумом рівноважного магнітного поля, то плазмові частинки мають ділитися на дві групи, так званих, запертих (t) і пролітних (u) частинок. У фазовому об’ємі така