Національний університет “Львівська політехніка”

Марущак Ярослав Юрійович

УДК62-83:62-50

СИНТЕЗ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ УЗАГАЛЬНЕНОГО ХАРАКТЕРИСТИЧНОГО ПОЛІНОМА

Спеціальність 05.09.03 - електротехнічні комплекси та системи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Львів 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному університеті “Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант – доктор технічних наук, професор

Лозинський Орест Юліанович,

завідувач кафедри електроприводу та автоматизації промислових установок Національного університету “Львівська політехніка”

Офіційні опоненти – доктор технічних наук, професор

Акімов Леонід Володимирович,

професор кафедри автоматизованих електромеханічних систем Національного технічного університету “Харківський політехнічний інститут”;

доктор технічних наук , професор

Радімов Сергій Миколайович,

професор кафедри електротехніки та електрообладнання суден Одеського національного морського університету;

доктор технічних наук, професор

Садовой Олександр Валентинович,

завідувач кафедри електрообладнання промислових підприємств Дніпродзержинського державного технічного університету.

Провідна установа – Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, кафедра електроприводу та автоматизації промислових установок Міністерства освіти та науки України.

Захист відбудеться “ 31 ” 01 2003 р. о “ 11 ” год. “ 00 ” хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.02 в Національному університеті “Львівська політехніка” (79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12, ауд. 114 ).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” (Львів, вул. Професорська, 1).

Автореферат розісланий “ 26 ” грудня 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради Коруд В. І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Розвиток сучасного промислового виробництва йде шляхом створення високоефективних промислових установок і систем автоматичного керування ними, завдяки яким відбувається інтенсифікація технологічних процесів, а це в свою чергу обумовлює те, що домінуючим режимом роботи електромеханічних систем (ЕМС) автоматизації є динамічні режими і тому більшість сучасних наукових досліджень направлені на удосконалення процесу керування саме в перехідних режимах.

Динамічні процеси в ЕМС автоматичного керування можуть бути спричинені дією керуючих і збурюючих впливів. Якість функціонування таких ЕМС визначається її здатністю забезпечити задані динамічні властивості регульованої координати. Практично весь спектр бажаних динамічних характеристик координат ЕМС може бути забезпечений стандартними формами (біноміальна, Баттерворта, Чебишева, Бесселя і т.п.) розподілу коренів характеристичного рівняння. Якщо в передавальній функції замкненої системи відсутні нулі, то тоді реалізація будь-якої стандартної форми перехідного процесу не є проблематичною. Якщо ж у передавальній функції є нулі, то методи синтезу таких систем розроблені тільки для окремих стандартних форм і вони не є універсальними тому, що не поширюються на весь спектр таких форм і, крім того, синтез обох класів ЕМС (з нулями і без них в передавальних функціях) здійснюється, як правило, на різних методологічних засадах.

Питанню синтезу електромеханічних систем при дії детермінованих впливів, виходячи з умови отримання необхідних динамічних показників, присвячені дослідження багатьох дослідників, зокрема, метод кореневого годографа, запропонований Евансом і Неймарком Ю.І.; метод логарифмічних частотних характеристик, запропонований Солодовніковим В.В.; метод Гуллєміна; метод динамічної компенсації запропонований Первозванським А.А.; кореневий метод та інші. Кожен із них має свої особливості і вирішує певний клас задач синтезу. У той же час жоден із них не дає можливості визначити передавальні функції всіх елементів змінюваної частини ЕМС, виходячи з умови забезпечення будь-якої стандартної форми розподілу коренів характеристичного рівняння при реалізації різних принципів побудови систем автоматичного керування і при наявності нулів у передавальній функції системи.

Відомо, що ЕМС повинна задовольняти певним вимогам і щодо дії збурень, які впливають на вихідну координату регулювання, відхиляючи її від заданого значення. Збурюючі впливи, що діють на системи, можна розділити на дві групи: детерміновані і випадкові. Під детермінованими будемо розуміти такі збурюючі впливи, величина і тривалість яких є достатніми, щоб ЕМС могла відпрацювати появу кожного такого впливу. Якщо ж черговість і величина появи збурень не відповідають вищезгаданій умові, причому вони появляються ще до завершення відпрацювання попередніх впливів, то такі збурення трактуються, як випадкові. Поведінка ЕМС в режимі стабілізації вихідної координати буде різною при дії цих двох груп збурень. Як правило, синтез ЕМС з випадковими збуреннями здійснюється за умови можливості їх переналагодження в функції ймовірнісних характеристик збурень. Цей шлях побудови таких систем є оправданим для випадку, коли випадкові процеси є стаціонарними, або об'єктові властиві стани, що мають явно виражені періоди стаціонарності.

Актуальність теми. Все вищесказане підтверджує необхідність створення методу синтезу ЕМС, передавальні функції яких можуть мати, чи не мати нулі, виходячи з умови забезпечення будь-якої стандартної форми перехідного процесу вихідної координати регулювання системи. Такий синтез різноманітних ЕМС повинен здійснюватися на єдиних методологічних засадах, в основу яких покладено стандартну форму розподілу коренів характеристичного рівняння. Цей метод синтезу повинен також знайти своє застосування і для систем з випадковими збуреннями за умови їх переналагодження відповідно до стану об'єкта.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Вибраний напрямок досліджень здійснено у відповідності з програмами 5.1.6 "Ресурсозберігаючі електромеханічні системи" та 6.4.4 "Апаратно-програмові засоби комплексної автоматизації на основі відкритих систем", затверджених Державним Комітетом України з питань науки й технології у 1993 р. та 1994 р., а також у відповідності з основними напрямками наукових досліджень Національного університету "Львівська політехніка", в які входить напрямок: "Створення математичних моделей електромеханічних перетворювачів і систем, автоматизації систем керування технологічними процесами і ЕМС автоматичного керування промисловим обладнанням, їх автоматизоване проектування".

Проведені дослідження виконувалися за участю автора в науково-дослідних роботах, зокрема, у держбюджетній роботі Державного Комітету України з питань науки ДК ”Метал” (держреєстрація №019U029565) протягом 1994-1996рр; держбюджетних роботах Міністерства освіти та науки України ДБ7/ЕС (держреєстрація №0193U040357), ДБ7/ЕС94(держреєстрація №0194U029588), ДБ7/ЕС“Вектор”(держреєстрація №0196U000178), ДБ7/”ВЕЕС”(держреєстрація №0198U007856), ДБ7/ВСЖ (держреєстрація №0198U002358) протягом 1993-2000рр.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є створення на єдиній методологічній основі методу синтезу різноманітних ЕМС, виходячи з умови забезпечення динамічних властивостей вихідної координати регулювання згідно з вибраною стандартною формою та врахування особливостей побудови таких систем при дії детермінованих і випадкових впливів на них.

Для досягнення цієї мети необхідно розв'язати наступні задачі:

·

· теоретичне обґрунтування та синтез методом УХП одно- та двомасових ЕМС постійного і змінного струму при різних структурах цих систем;

· теоретичні аспекти забезпечення необхідних статичних характеристик ЕМС, синтезованих розробленим методом;

· теоретичне обгрунтування застосування методу УХП для синтезу ЕМС з комбінованим керуванням за задавальною дією;

· теоретичне обґрунтування та розробка принципу зонного керування стохастичними об'єктами з адаптацією ЕМС до реальних умов функціонування об'єкта;

· теоретичне обґрунтування на основі моделі марківських процесів вимог до швидкодії ЕМС, яка перебуває під дією випадкових збурень;

· дослідження синтезованих ЕМС на моделях, експериментальних установках та доведення їх до практичного використання..

Об'єктом дослідження є процеси в ЕМС автоматичного керування технологічними установками та виробничими механізмами.

Предметом дослідження є розвиток теорії синтезу ЕМС, завдяки якому забезпечується будь-яка стандартна форма перехідних процесів з урахуванням дії детермінованих і випадкових впливів на такі системи.

Методи досліджень. В основу досліджень покладено методи синтезу та аналізу систем автоматичного керування, методи статистичної динаміки систем керування, застосування методів технічної діагностики в задачах керування стохастичними об'єктами а також результати робіт провідних вчених у галузі теорії ЕМС автоматичного керування та в галузі систем керування динамічними об'єктами.

Наукова новизна одержаних результатів:

1. Вперше розроблено загальні засади синтезу ЕМС методом УХП, який дозволяє підходити до проблем синтезу різних систем з єдиних методологічних позицій і забезпечити динамічні характеристики координат регулювання, що відповідають стандартним формам розподілу коренів характеристичного полінома.

2. Вперше синтезовано методом УХП ЕМС постійного та змінного струму, в яких може бути реалізована будь-яка стандартна форма перехідного процесу вихідної координати із заданою швидкодією в поєднанні із заданою статичною точністю відпрацювання дії зовнішніх впливів.

3. Запропонованим методом синтезовано астатичні ЕМС автоматичного керування, які побудовані за принципами підпорядкованого керування і в яких є можливість отримати будь-яку стандартну форму перехідного процесу відпрацювання задаючого впливу без введення на вхід системи додаткових ланок.

4. На основі методу УХП вперше здійснено синтез ЕМС з комбінованим керуванням за задавальною дією, в результаті чого отримано астатичну до дії момента статичного навантаження систему при зневажливо малій динамічній похибці і одночасно забезпечено реалізацію будь-якої стандартної форми перехідного процесу при заданій швидкодії вихідної координати регулювання.

5. На основі використання розробленого методу вперше удосконалено синтез двомасових ЕМС, завдяки чому вирішене питання забезпечення заданих динамічних показників без зниження швидкодії системи у поєднанні з астатизмом системи до дії збурень.

6. Запропоновано методику формування функції мети при оптимальному керуванні, виходячи з умови відповідності екстремалі будь-якій стандартній формі.

7. На основі теорії статистичних рішень розроблено метод визначення меж зони вихідної координати стохастичного об'єкта, вихід за рамки якої обумовлює втручання ЕМС в процес стабілізації цієї координати, а потрібна швидкодія системи визначається на основі марківської моделі випадкових процесів.

8. Для здійснення адаптації ЕМС в умовах дії випадкових збурень до реальних умов експлуатації розвинуто методи розпізнавання стану стохастичного об'єкта на основі теорії статистичних рішень, та вперше запропоновано модифікований метод розпізнавання стану стохастичного об'єкта при двовимірному законі розподілу його ідентифікаційних характеристик.

Практичне значення одержаних результатів.

1. Знайдені структура і параметри регуляторів статичних та астатичних ЕМС постійного та змінного струму при інтегральному, декомпозиційному і комбінованому варіантах синтезу методом УХП дають можливість забезпечити стандартні форми перехідних процесів вихідних координат регулювання при заданих статичних показниках відпрацювання системою дії детермінованих збурень.

2. Синтезовані регулятори двомасових ЕМС дозволяють вибрати раціональний варіант побудови структури цих систем і при цьому забезпечуються задані динамічні і статичні показники регулювання вихідної координати.

3. Визначені структура і параметри регуляторів ЕМС з комбінованим керуванням за задавальною дією, при яких реалізуються стандартні форми перехідного процесу відпрацювання завдання, а відносно дії збурень, як випливає з експериментальних досліджень, такі системи є практично інваріантними.

4. Знайдені передавальні функції регуляторів ЕМС з керуванням за неповним вектором стану забезпечують будь-яку стандартну форму перехідної функції без введення в структуру системи спостерігачів.

5. Отримані вирази для граничних значень вихідних координат стохастичних об'єктів та їх характеристик (величина і тривалість відхилення), які визначають зону втручання і не втручання ЕМС в процес керування, завдяки чому реалізується принцип зонного керування в режимі стабілізації вихідних координат стохастичних об'єктів, що обумовлює зниження дисперсії цих координат.

6. Сформульовані вирішальні правила та розроблена процедура їх реалізації для адаптації ЕМС до стану стохастичного об'єкта, коли стани змінюються хронологічно, або довільним чином, що дає можливість підвищити точність стабілізації вихідної координати регулювання.

Усі розроблені рішення пройшли перевірку на цифрових моделях, експериментальних та промислових установках і повністю готові для розширення сфери їх застосування, зокрема, результати, пов'язані з синтезом ЕМС керування детермінованими об'єктами, пройшли перевірку цифровим моделюванням, результати якого були підтверджені експериментами в лабораторії та на виробництві під час виконання госпдоговорів з Жидачівським целюлозо-паперовим комбінатом протягом 1999-2000рр. (госпдоговір №408 ”Налагодження електрообладнання паперового виробництва” та №517 ”Налагодження електроприводу млинів папероробної машини №5”).

Розроблені ЕМС автоматичного керування стохастичними об'єктами, крім перевірки на цифрових моделях, пройшли промислові випробування на дефібрері Жидачівського целюлозо-паперового комбінату, дугових сталеплавильних печах Львівського ВАТ “Автонавантажувач” а також Молдавського металургійного заводу (ММЗ) під час виконання госпдоговору з ММЗ №4849 у 1988-1989рр. (держреєстрація №01890028892). Підтверджений економічний ефект за цим госпдоговором становить 247509 крб.

Результати роботи використовуються у навчальному процесі, зокрема в лекційних курсах “Автоматизація типових технологічних процесів”, “Основи синтезу ЕМС з послідовною та паралельною корекцією”, “Розрахунок надійності електроприводів”, “Технічна діагностика” а також в лабораторному практикумі, курсовому та дипломному проектуванні при підготовці спеціалістів і магістрів за спеціальністю “Електромеханічні системи автоматизації та електропривід”.

Особистий внесок здобувача. Основні ідеї і розробки, які виносяться на захист належать авторові. Серед наукових праць, які опубліковані зі співавторами, автору належать наступні ідеї: [4, 6-9, 14, 18, 25, 32] – створення методу УХП та його застосування для синтезу статичних і астатичних ЕМС; [10,16,21,24,29] – математичні моделі детермінованих і стохастичних об'єктів регулювання, які необхідні для синтезу ЕМС керування ними; [30] – методика розрахунку та аналізу характеристик ЕМС; [1, 26] – розвиток методу синтезу ЕМС керування координатами стохастичних об'єктів; [19, 31] – розвиток методів адаптації ЕМС до стану стохастичного об'єкта.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати досліджень обговорювалися та були схвалені на дванадцяти Міжнародних та двох республіканських конференціях у 1995-2001рр. Серед них такі конференції: 1, 2, 3 Міжнародні науково-технічні конференції “Математичне моделювання в електротехніці, електроніці та електроенергетиці”, Львів 1995, 1997, 1999рр.; Республіканська та Міжнародні науково-технічні конференції “Проблеми автоматизованого електроприводу. Теорія та практика”, Харків – Крим, 1997-2001рр.; 2-а Міжнародна науково-практична конференція “Управління енерговикористанням”, Львів, 1997р.; 1-а Міжнародна науково-практична конференція “Проблеми економії енергії”, Львів, 1998р.; 4-а Республіканська та 7-а Міжнародна конференції з автоматичного управління “Автоматика 97”, Черкаси, 1997р., та “Автоматика 2000”, Львів, 2000р.; Міжнародна наукова конференція присвячена 150-річчю Івана Полюя, Львів, 1996р.; 3-а Міжнародна конференція “Інформаційні технології друкарства: алгоритми, системи, сигнали. Друкотехн – 2000”, Львів, 2000р.; на семінарах “Моделі та методи комп'ютерного аналізу електричних кіл та електромеханічних систем” Вченої ради НАН України з комплексних проблем “Наукові основи електроенергетики” у 1998 та 2001рр., та на науковому семінарі кафедри електроприводу та автоматизації промислових установок Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут” у 2002р., а також на наукових конференціях Національного університету ”Львівська політехніка” у 1990-2001рр..

Публікації. За результатами виконаних у дисертаційних роботі досліджень, опублікований 1 підручник, 43 статті у журналах, збірниках наукових праць та матеріалах науково-технічних конференцій. Із цих наукових праць у фахових виданнях опубліковані 32 роботи, серед яких 13 одноосібних.

Структура й обсяг публікації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків по роботі, списку використаних джерел із 244 найменувань та додатків, що підтверджують впровадження результатів роботи. Повний обсяг роботи – 353 сторінки, у тому числі 284 сторінки основної частини, 64 рисунки і 1 таблиця обсягом 37 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано необхідність проведення досліджень, сформульовано мету та основні задачі роботи, викладена наукова новизна і практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі здійснений аналіз сучасних методів синтезу ЕМС. Він показав велику кількість шляхів розв'язання цього завдання. Кожен із них з позиції своєї методології вирішує поставлені завдання, причому їм властиві як позитивні, так і негативні риси. Особливо слід відзначити такий недолік, як відокремленість методів синтезу ЕМС з детермінованими впливами і впливами, що описуються статистичними характеристиками, хоча в дійсності поділ збурюючих впливів на детерміновані та стохастичні є дещо умовним, адже в реальних системах практично ніколи наперед не відомі моменти появи, чи величина зміни збурень. Для цих двох класів ЕМС (детерміновані і стохастичні) однаковими є два режими роботи: режим відпрацювання задаючого впливу і режим стабілізації. Тому виникає завдання створення спільної методології синтезу таких ЕМС.

Серед детермінованих ЕМС автоматичного керування можна виділити дві групи. Одна група – це системи, передавальні функції яких не мають нулів і друга група – це системи, передавальні функції яких мають і нулі, і полюси. При параметричному синтезі систем, в яких динаміка вихідної координати регулювання визначається тільки полюсами передавальної функції, спільною основою синтезу може служити кореневий метод синтезу, який широко використовується для розрахунку параметрів модальних регуляторів. Аналогічним чином можуть бути розраховані змінювані параметри будь-якої ЕМС, структура якої обумовлює відсутність нулів у її передавальній функції.

Проведений аналіз найбільш поширених систем підпорядкованого регулювання (СПР) показав, що для СПР різних порядків можна реалізувати будь-яку стандартну форму розподілів коренів характеристичного рівняння Нст(р) = 0, причому:

Hст(p) = pn + a1wopn-1 + a2wo2pn-2 + … + an-1won-1p + won , (1)

де ai – коефіцієнти, що визначають конкретну стандартну форму; wo – задане значення середньогеометричного кореня системи; n – порядок системи.

Це можна зробити, якщо коефіцієнт кратності контурів СПР аi, буде визначатися такою отриманою рекурентною формулою:

, (2)

причому wo = 1/(a1Тm) . Для уніфікації форми запису аi, коли i =1 введемо фіктивну величину aо = 1. Так, наприклад, для забезпечення стандартної біноміальної форми четвертого порядку з (2) знайдемо, що а1 = а3 = 8/3; а2 = 9/4, а wо = 1/(а13а22а3) = 1/(4Тm). Аналогічним чином можна реалізувати будь-яку стандартну форму. При цьому зауважимо, що тепер, на відміну від традиційного модульного, чи симетричного оптимуму, коефіцієнти кратності контурів аі будуть різними для різних контурів. Внаслідок цього порушується уніфікація їх налаштування. Основним же недоліком забезпечення стандартних форм в СПР таким способом є те, що величина wо строго визначається співвідношенням wо = 1/(a1Тm). Позбавлені цього недоліку системи модального регулювання (СМР) за умови, що в їх передавальних функціях відсутні нулі.

Проведений аналіз методів синтезу ЕМС, передавальні функції яких мають і нулі, і полюси свідчить про відсутність методу синтезу на єдиній методологічній основі при розгляді різних структур ЕМС, в результаті якого можна було б отримати довільну стандартну форму перехідної функції вихідної координати регулювання без зниження швидкодії та запасу стійкості системи.

Серед існуючих методів синтезу детермінованих ЕМС можна виділити методи оптимального синтезу. При цьому поведінка вихідної координати регулювання відповідає екстремалі, що визначається вибраною функцією мети і, як правило, ця екстремаль відрізняється від стандартних форм. Забезпечення стандартних форм перехідній функції вихідної координати регулювання в результаті оптимального синтезу може бути отримане за допомогою методів параметричної оптимізації, якщо вирішити проблему вибору вагових коефіцієнтів функції мети. Ці коефіцієнти можуть бути визначені на основі рівняння Ейлера-Пуассона для функціонала W. Запишемо його.

,

де - похибка координати регулювання та її похідних до k-ї похідної включно; g1 … gk – вагові коефіцієнти.

Так, наприклад, для четвертого порядку функції F, на підставі цього рівняння запишеться такий характеристичний поліном:

H(p) = 1/g4 – g1p2/g4 + g2p4/g4 – g3p6/g4 + p8. (3)

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях р в (3) і виразі Нст(-р)·Нст(р) відповідного порядку, знаходяться: g1 = (a32 - 2a2)/wо2; g2 = [2(1-a1a3) + a22]/wо4; g3 = (a12 - 2a2)/wо6; g4 = 1/wо8. Аналогічним чином можуть бути визначені вагові коефіцієнти для будь-якого іншого порядку. Так в табл. 1. приведено вирази для розрахунку вагових коефіцієнтів, при яких екстремаль відповідатиме двом найбільш поширеним для ЕМС стандартним формам. Тут у чисельнику (зліва) вказано значення вагового коефіцієнта для біноміальної форми, а в знаменнику (справа) – для Баттерворта.

Таблиця 1

Значення вагових коефіцієнтів для двох стандартних форм

Зрозуміло, що аналогічним чином можна отримати вирази розрахунку вагових коефіцієнтів функції мети при параметричній оптимізації для будь-якої іншої стандартної форми, не обмежуючись четвертим порядком.

До недоліку методу параметричної оптимізації відноситься потреба визначення, хоча б приблизно, параметрів змінюваної частини системи в базовій (вихідній) точці оптимізації, а це робиться за допомогою відомих неоптимальних методів синтезу, тобто знову стикаємося з проблемами, які їм властиві.

Якщо на ЕМС діють випадкові збурюючі впливи, то синтез таких систем повинен враховувати їх статистичні характеристики за умови, що процеси в об'єкті є стаціонарними, або вони характеризуються певними станами з явно вираженими періодами стаціонарності. Вирішення синтезу такої ЕМС можливе з використанням математичного апарату методів статистичних рішень (мінімального ризику, мінімального числа помилкових рішень, мінімаксу, Неймана-Пірсона, чи найбільшої правдоподібності). Згідно з таким підходом до синтезу вдається визначити граничні значення координати, які визначають бажану і небажану зони її перебування. Пропонується так побудувати керування, щоб при перебуванні координати в бажаній зоні, ЕМС не втручалася б в процес зміни координати, а при перебуванні її в небажаній зоні, ЕМС повинна забезпечити її повернення в бажану зону. При цьому швидкодія системи визначається на основі марківської моделі ЕМС, яка перебуває під дією випадкових збурень, з використанням рівнянь Колмогорова-Чепмена. Таким чином, при керуванні вихідними координатами стохастичних об'єктів директивне значення координат для розпізнаного стану об'єкта встановлюється детермінованою ЕМС, яка синтезована методом УХП, а після відпрацювання директивних значень, система працює в режимі стабілізації. Швидкодія ЕМС при роботі за межами зони нечутливості диктується характером збурень, властивих для даного стану стохастичного об'єкта. І в режимі відпрацювання директивних значень, і в режимі стабілізації успішне функціонування стохастичної ЕМС потребує розпізнавання стану об'єкта регулювання, що є невід'ємною особливістю синтезу таких систем.

Другий розділ присвячений розробці методу синтезу детермінованих систем. Завданням цього методу є можливість отримання будь-якої стандартної форми перехідного процесу вихідної координати регулювання різних ЕМС на єдиній методологічній основі. Вимоги, які ставляться до опису об'єктів регулювання в рамках їх лінійного представлення є такими ж, як і в загальноприйнятих методах синтезу СМР, чи СПР. Для вирішення поставленої задачі пропонується метод синтезу, названий методом УХП. Розглянемо суть цього методу.

У загальному випадку передавальна функція W(р) замкненої ЕМС визначається передавальними функціями окремих складових її елементів, що її формують і які перебувають у певних функціональних зв'язках, що визначаються якоюсь заданою структурною схемою системи. Тому вираз W(р) може бути записаний так:

, (4)

де W1(p), W2(p),…Wk(p), … Ws(p) - передавальні функції всіх елементів системи.

Кількість аргументів функцій f та j може бути різною, або однаковою, і це залежить від конкретної структури системи. Серед таких аргументів виділено дві групи передавальних функцій. Одна - це відомі передавальні функції елементів ЕМС (як правило, це елементи незмінюваної частини системи), що описуються за допомогою відповідних коефіцієнтів підсилення K1, K2, …, Kr та сталих часу Т1, Т2,…, Тр. Друга група - це невідомі передавальні функції W1*(p), W2*(p), …, Wv*(p) елементів (як правило – це елементи змінюваної частини системи), які потрібно синтезувати, виходячи з умови забезпечення відповідності динамічних показників ЕМС стандартним формам.

Після підстановки передавальних функцій елементів, віднесених до першої групи, у вираз (4), отримаємо:

. (5)

Очевидно, що і в чисельник, і в знаменник виразу (5) буде входити оператор р в різних степенях. Якщо згрупувати члени, в які входять однакові степені р, по мірі їх спадання, то чисельник виразу (5) G(p) може бути представлений у вигляді полінома, де замість коефіцієнтів при р у відповідному степені є функціональні залежності:

G(p)=a0pm +®

®+a1pm-1 +…® (6)

®…+ amр0.

Аналогічним чином запишемо знаменник у вигляді виразу характеристичного полінома В(р) даної передавальної функції.

В(p)=b0pn +®

®+b1pn-1 +…® (7)

®…+ bnр0.

Вирази (6) і (7) приведені для найбільш загального випадку, коли в кожну функцію аі[...] та bj[...] входять всі відомі параметри елементів і всі невідомі передавальні функції. Звичайно, в конкретних випадках можуть бути ситуації, коли їх кількість у кожній функції аі[...] та bj[...] буде меншою, ніж приведено в (6) та (7). Крім цього, аі[...] та bj[...] можуть бути не тільки функціональними залежностями, але й приймати постійні значення, в тому числі й нульові у виразі (6). Якщо у виразі (7) виявиться відсутня складова з відповідним степенем р, то її слід утворити на основі будь-якої іншої складової, котру потрібно домножити і поділити на р в тому степені, якого бракує.

Для компактності запису надалі позначатимемо функції, що формують вирази (6) і (7), як аі(р) та bj(р). З урахуванням цього отримаємо:

(8)

і відповідно

. (9)

Тут H(p) – характеристичний поліном, який названо узагальненим (звідси назва методу), формується з урахуванням і нулів, і полюсів передавальної функції (5).

Поставимо вимогу, щоб шукані передавальні функції елементів ЕМС звели Н(р) до вигляду, при якому забезпечиться якась стандартна форма розподілу коренів характеристичного рівняння.

Переважна більшість стандартних форм представляється поліномом (1). В таких випадках вираз бажаної передавальної функції стосовно задаючого впливу запишеться так:

. (10)

де Kзз – коефіцієнт зворотного зв'язку за вихідною координатою регулювання введено у вираз (10) за аналогією з СПР (в принципі, замість Kзз може бути будь-яке бажане значення Kбаж).

З умови забезпечення тотожності виразів (8) і (10) УХП ЕМС представлено так:

. (11)

Аналізуючи вирази (11) та (1), одержано наступну систему n + 1 рівнянь, кожне з яких має вигляд:

(12)

за умови, що і = 0,1, . . . n, причому aо = an = 1.

Таким чином, у систему n+1 алгебраїчних рівнянь в операторній формі входить v невідомих W1*(р),...Wv*(р). Якщо v < n+1, то статус невідомої величини слід надати деяким параметрам Kr та Тр, які можна змінювати, або скорегувати кількість алгебраїчних рівнянь, щоб виконувалась умова v = n+1. Тоді порядок стандартного характеристичного полінома вибирано у відповідності до найвищого степеня оператора р в УХП. Для ілюстрації такого підходу вираз (9) представлено наступним чином:

.

Тепер при виборі Нст(р) n-1 порядку отримано систему на основі (12) з n рівнянь. Слід зауважити, що при такому способі забезпечення рівності v числу рівнянь системи, вирази знайдених передавальних функцій будуть складнішими, з точки зору їх реалізації, ніж у системах, де відразу виконується рівність v = n+1. Якщо ж v > n+1, то надлишкові невідомі передавальні функції можна вибрати довільно, в тому числі і нульовими. У деяких випадках можлива ситуація, коли система рівнянь на основі (12) складається з n, а не з n+1 рівнянь. Це може мати місце в ЕМС, де останнє рівняння (12) при і = n перетворюється в тотожність.

Процедура синтезу ЕМС методом УХП може здійснюватися двояко:

·

· розглядається по черзі кожен контур ЕМС і синтезуються передавальні функції його елементів, поки не буде здійснено синтез всієї системи, аналогічно, як це традиційно робиться при синтезі СПР (декомпозиційний, чи диференціальний варіант синтезу).

Синтезуємо двоконтурну СПР швидкості, яка показана на рис. 1.

Рис. 1 Структурна схема двоконтурної СПР швидкості при невідомих Wрс(р),Wрш(р)

Передавальні функції регуляторів струму і швидкості тут невідомі. Використаємо інтегральний варіант синтезу. Така СПР в результаті синтезу повинна забезпечити перехідну функцію швидкості згідно з будь-якою стандартною формою при заданому значенні wош.

Представимо вираз передавальної функції замкненої системи Wш(р) відносно завдання так, як це було зроблено у виразі (8).

Знайдемо вирази невідомих Wрш(р), Wрс(р) з умови забезпечення динаміки системи відповідно до якоїсь стандартної форми другого порядку. Отже система рівнянь (12) для даного випадку (13) конкретизована так:

Третє рівняння системи (14) є тотожністю. Тому з цих двох рівнянь отримано:

Бажане значення wош вибирається із умови забезпечення необхідного часу регулювання tр, причому wош Ј Ттп-1.

Вираз Wрс(р) в (15) відповідає ідеалізованому ПІД-регулятору. В дійсності диференціальна складова в ньому, тут і в усіх наступних дослідженнях, є реальним диференціатором, а тому компенсація Ттп таким регулятором не відбувається.

Проведено також синтез триконтурної позиційної СПР, в якій поведінка вихідної координати – переміщення j, також повинна відповідати якійсь стандартній формі. Структурна схема даної триконтурної позиційної системи отримана шляхом доповнення структури, показаної на рис. 1, регулятором переміщення Wрп(р), зворотним зв'язком Kп, а між wд та переміщенням j є ланка 1/р.

Передавальна функція такої замкненої системи записано у наступному вигляді:

Представивши Wп(р) з (16) так, щоб отримати вираз УХП, на підставі (12) для n = 3, записано систему рівнянь, розв'язками якої є:

Стандартна форма задана коефіцієнтами a1 і a2, а бажане значення wоп вибране довільно, але щоб не порушилася умова wоп < 1/Ттп.

Здійснено синтез також регуляторів струму та швидкості при декомпозиційному варіанті синтезу методом УХП для СПР, показаної на рис. 1. По черзі були синтезовані регулятори струму та швидкості, виходячи із забезпечення якоїсь стандартної форми перехідного процесу кожної координати. При цьому поставлена вимога, щоб номер контура відповідав порядку стандартного характеристичного полінома, тобто для струмового контура він є першим, а для контура швидкості - другим.

Передавальна функція струмового контура WI(р) без дії внутрішнього зворотного зв'язку за е.р.с. двигуна має вигляд:

Отже УХП НІ(р) з виразу (17) записано так:

Скориставшись виразом (12) для даного випадку, отримано систему з двох рівнянь, причому друге рівняння є тотожністю. Тоді повинна виконуватися умова:

де w0І – бажане значення середньогеометричного кореня струмового контура.

Із рівняння (18) отримано:

З урахуванням виразу (19) записано передавальну функцію замкненого контура швидкості Wш(р), з якої визначено УХП Нш(р):

Використовуючи вираз (12) для другого порядку, отримано такі два рівняння:

Надамо, крім Wрш(р), статус невідомих ще й w0І. Тоді:

Доповнивши отримані залежності виразом Wрс(р) із (19), маємо повну інформацію для налаштування двоконтурної СПР, виходячи зі стандартної форми розподілу коренів характеристичного рівняння кожного контура. Слід зауважити, що при стандартній біноміальній формі w0І = 2wош, а для форми Баттерворта це співвідношення буде w0І = 1.4wош. Якщо врахована дія внутрішнього зворотного зв'язку за е.р.с. двигуна, то

Проведені дослідження показали, що стосовно позиційної СПР доцільно застосовувати декомпозиційний варіант синтезу тільки для контуру струму, а контур швидкості та переміщення синтезується згідно з інтегральним варіантом. Це обумовлено тим, що при декомпозиційному варіанті синтезу всіх контурів необхідно, щоб: wош = wоп і wош = 1,5wоп. Такий варіант синтезу названий

комбінованим. Тоді:

Результати дослідження СПР, синтезованих методом УХП і за модульним оптимумом (МО), приведені в табл. 2.

Таблиця 2

Аналогічним чином були синтезовані регулятори моменту та швидкості в двоконтурній СПР електроприводу ТПН-АД. При цьому отримано такі вирази:

де Kr, Kм, Тm – параметри аперіодичної ланки першого порядку, якою представляється ТПН-АД.

Якщо в електроприводі ТПН-АД використовується тільки один контур, то

В рамках лінійного представлення системи ТПЧ–АД розглянуто синтез регуляторів двоконтурної СПР такого електроприводу. Структурна схема цієї системи показана на рис. 2.

Рис. 2. Структурна схема двоконтурної СПР електроприводу ТПЧ-АД

Поставимо вимогу, щоб перехідні процеси в обох контурах регулювання відповідали якійсь стандартній формі. На підставі рис. 2 записано вираз передавальної функції контура регулювання момента Wм(р).

.

З урахуванням цього виразу, УХП Нм(р) для даного контура має вигляд:

На підставі виразу (12) при n = 1 та виразу (20) отримано:

Звідси

З урахуванням виразу (21) записано передавальну функцію замкненого контура регулювання швидкості Wш(р), на основі якої знайдено УХП Нш(р):

Враховуючи (12) при n = 2 та вираз (22), отримано систему двох рівнянь, розв'язки якої мають вигляд:

Отже вирази (21) та (23) дають можливість побудувати двоконтурну СПР швидкості в електроприводі ТПЧ–АД при заданому wош, виходячи з якоїсь бажаної стандартної форми перехідного процесу кожної координати.

Розглянуто також загальну чотириконтурну структурну схему СПР постійного струму двомасової системи. З урахуванням того, що в неї, крім контура струму, входять ще регулятори швидкостей двигуна та виконавчого механізму Wрш1(p), Wрш2(р); момент інерції двигуна та приведений до вала двигуна момент інерції рухомого органа виконавчого механізму – J1, J2; приведений до валу двигуна коефіцієнт жорсткості пружного елемента – С12; приведений до валу двигуна коефіцієнт внутрішнього в'язкого тертя – b12; коефіцієнти зворотних зв'язків за швидкостями обох рухомих мас – Kш1, Kш2, знайдено вираз передавальної функції Wш2(р) = w2(р)/Uз(р) такої ЕМС.

де .

З урахуванням WІ(р), використовуючи (24), знайдено вираз УХП Нш2(р), на підставі якого отримана наступна система рівнянь:

З третього і другого рівняння системи рівнянь (25) отримано:

З першого рівняння системи (25) при виконанні умов (26), випливає, що може бути визначений тільки добуток Wрс(р)Wрш1(р). Щоб встановити вирази передавальних функцій кожного регулятора окремо, задамося виразом передавальної функції регулятора струму як ПІД – ланки, котра є аналогічною виразові (19), тільки в ньому замість wОІ ввійде wош2. Тоді з першого рівняння системи рівнянь (25) знайдено:

Отже вирази (26) – (27) дають можливість здійснити налаштування двомасової системи на будь-яку стандартну форму при заданому значенні wош2.

При побудові чотириконтурних СПР може виникнути проблема, пов'язана з вимірюванням момента пружних деформацій. Її можна вирішити шляхом синтезу відповідного спостерігача, або використовуючи спеціальні давачі моменту. Попробуємо вирішити цю проблему, перейшовши до триконтурної СПР, в якій відсутній контур регулювання момента пружних деформацій. Це означає, що в чотириконтурній СПР слід прийняти Wрм(р) = 1, Kзм = 0. Тоді отримається триконтурна структурна схема. Підставивши ці умови в систему рівнянь (25), перейдемо до системи двох рівнянь, а порядок бажаної стандартної форми приймемо рівним n = 2. Розв'язавши цю систему рівнянь, з урахуванням виразу для Wрс(р), записано:

Для випадку a1 = 2 (біноміальна форма) проводилися дослідження триконтурної СПР на цифровій моделі. Результати такого моделювання показані на рис. 3 при wош2 = 60с-1; J1 = J2 = 0,078кгм2; С12 = 125Нм; b12 = 5Нмс; Kс = 0,02В/А; Kш1 = Kш2 = 0,032Вс. Параметри ТП-Д: Рн = 4,5кВт; Uн = 220В; Ін = 24,3А; nн = 3000об/хв.; Rя = 1Ом; Ттп = 0,015с; Тя = 0,034с; С = 0,678Вс; Kтп = 26. Крива 1 – це w1(t), а 2 – w2(t). При t = 0,4с мало місце накид навантаження DМс2 = 50Нм (”3Мн). Таке велике значення DМс2 вибрано спеціально тому, що при DМс2 = 17Нм (Мн) для вибраних масштабів рисунку, не було видно жодних змін швидкості так, ніби система інваріантна до дії збурення DМс2. В дійсності, як видно з рис. 3, триконтурна двомасова СПР є астатичною до дії Мс і в цьому є ще одна її перевага, крім простоти реалізації, перед чотириконтурною системою. У той же час, перехідний процес швидкості w2(t) при запуску відповідає вибраній біноміальній формі.

Третій розділ присвячений порівняльному аналізу статичних характеристик традиційних систем підпорядкованого та модального регулювання і статичних характеристик СПР, синтезованих запропонованим методом. Цей аналіз проведено як для одномасових, так і для систем з пружними деформаціями в елементах кінематичної схеми, як для приводів постійного , так і змінного струму. Крім цього, розглянуто питання синтезу методом УХП астатичних СПР швидкості, в яких умова астатичності поєднується з умовою отримання будь-якої, в тому числі і біноміальної, стандартної форми перехідного процесу координат регулювання. В таких двоконтурних СПР має місце ПІ регулятор швидкості з параметрами Трш і Kрш. Структурна схема даної системи матиме вигляд, показаний на рис. 1, якщо замість Wрш(р) ввести паралельні ланки Kрш та 1/(Тршр). Тоді передавальна функція замкненої системи має наступний вигляд:

Синтез параметрів регуляторів проведено з умови забезпечення динамічних властивостей згідно з якоюсь стандартною формою другого порядку. З урахуванням того, що контур струму вже синтезовано і він має тепер передавальну функцію WІ(р) = wОІ / [Kс(р + wОІ)], записано вираз Нш(р) для такої системи.

У даному виразі відсутня складова з оператором р. Тому представлено Kш = Kш1 + Kш2 і тоді:

Виходячи з умови, що , на підставі виразу (28) отримано систему трьох рівнянь, в якій третє рівняння є тотожністю, а тому:

У цій системі перше рівняння матиме сенс тільки тоді, коли KршТршр + 1 = р/wОІ + 1. З урахуванням останньої умови розв'язано систему рівнянь (29) і отримано:

Коефіцієнт Kш2 вибрано з умов статики згідно з загальноприйнятою методикою. Якщо записати wОІ = а1wош, то задаючись співвідношенням (величина а1) цих бажаних значень середньогеометричних коренів для обох контурів, видно, що дане співвідношення можна реалізувати за допомогою Kрш. Якщо а1 = 2, то отримується звичне для СПР, синтезованих за модульним оптимумом, співвідношення швидкодії контура струму і швидкості. При а1 = 1 швидкодія контура швидкості співпадатиме з швидкодією контура струму, а перехідний процес швидкості відповідатиме якійсь бажаній формі, наприклад, біноміальній, коли a = 2. При цьому ЕМС є астатичною до дії збурення у вигляді момента статичного навантаження і немає потреби вводити фільтр на вхід системи з метою зменшення коливності вихідної координати регулювання, як це має місце при побудові традиційних систем.

Були проведені експериментальні дослідження синтезованої