НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ

МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

МОНАСТИРСЬКИЙ

Богдан Євгенович

УДК 539.3

ОСЕСИМЕТРИЧНІ ЗАДАЧІ ТЕРМОПРУЖНОЇ

ВЗАЄМОДІЇ ТІЛ З ЛОКАЛЬНИМИ ГЕОМЕТРИЧНИМИ

НЕДОСКОНАЛОСТЯМИ ПОВЕРХОНЬ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико–математичних наук

Львів – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України.

Науковий керівник член-кореспондент НАН України, доктор фізико–математичних наук, професор КІТ Григорій Семенович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, директор Інституту.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ЖАРІЙ Олег Юрійович, Київський національний університет ім. Т.Г.Шевченка, професор кафедри;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник КУШНІР Роман Михайлович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, завідувач відділу.

Провідна установа: Одеський національний університет ім. І.І. Мечнікова, кафедра методів математичної фізики, Міністерство освіти і науки України, Одеса.

Захист відбудеться 01.04.2002 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3-б).

Автореферат розіслано 26.02.2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико–математичних наук П. Р. Шевчук

загальна характеристика роботи

Актуальність. Контактна взаємодія тіл є найпоширенішим видом взаємодії в природних структурах, техніці, будівництві, промисловості, тощо. Її теоретичне дослідження є однією з основних проблем механіки деформівного твердого тіла, що має важливе значення з точки зору практичних застосувань. При контакті тіл власне взаємодія відбувається безпосередньо через їх поверхні. В зв'язку з цим стан та структура поверхонь істотно впливають на напружено-деформований стан контактної пари. Тому для його визначення необхідно знати реальний розподіл напружень на поверхні спряження, який стає відомим лише після розв'язання контактної задачі. Таким чином набувають актуальності задачі про взаємодію тіл, при формулюванні яких враховується фактична структура поверхонь.

Під час виготовлення та обробки деталей їх поверхні набувають рельєфності, а приповерхневі тонкі прошарки – неоднорідності. Перше відображається у наявності малих локальних відхилень фактичної поверхні від її номінальної (проектної) форми, а друге проявляється у відмінності властивостей матеріалів поверхневих та глибинних шарів. Такі геометричні та фізичні неоднорідності, незважаючи на малі розміри, під час взаємодії тіл можуть зумовити високий рівень концентрації напружень, великі градієнти температури в приконтактних областях, що має істотний вплив на міцність елементів вузлів та з'єднань і багато в чому визначає надійність та довговічність їх роботи.

Такий висновок підтверджується експериментально. Зокрема, результати експериментів на контактну міцність показують, що руйнування тіл відбувається в околі поверхневих дефектів типу зазубрин, виїмок, виступів. Експериментальні дослідження останніх років виявили також істотний вплив термічних деформацій спряжених тіл та властивостей середовища у міжповерхневому просторі на деформативність і термічну провідність з'єднань.

При теоретичному дослідженні врахування локальних, насамперед геометричних, дефектів поверхні веде до постановки некласичних контактних задач – так званих контактних задач для тіл з узгодженими поверхнями. Їх характерною особливістю є наявність локальних ділянок на поверхні спряження, де прямий контакт тіл відсутній. Для задач цього класу не справджуються гіпотези Герца і вони вимагають розвитку нових підходів до їх розв'язання.

На сьогоднішній день в літературі відсутні системні дослідження контактних задач термопружності для тіл з локальними збуреннями поверхонь у просторовій постановці. У відомих роботах дослідження проводились в рамках двовимірної плоскої постановки, яка з усього спектру різноманітних поверхневих нерівностей охоплює лише один їх тип, а саме, тунельні. Наступним етапом розвитку контактних задач для тіл з локальними геометричними недосконалостями поверхонь є задачі в осесиметричній постановці.

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню наукового завдання – побудові математичних моделей і розвитку методів дослідження термопружної взаємодії тіл з локальними геометричними поверхневими нерівностями осесиметричного типу для встановлення закономірностей контактної поведінки тіл за наявності кругових та кільцевих міжконтактних зазорів та їх заповнювача при термомеханічному навантаженні. Вирішення цього завдання є актуальним для механіки деформівного твердого тіла і відображає прикладні запити різних галузей техніки щодо створення ефективних методів розрахунку контактної міцності, жорсткості, термічної провідності з'єднань з урахуванням широкого спектру поверхневих неоднорідностей і недосконалостей.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконувались в рамках держбюджетної наукової теми ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України "Розробка математичних моделей і методів дослідження фізико–механічних полів і контактно–поверхневих явищ при взаємодії складених тіл" (№ держреєстрації 0197U017670, 1997-2002 рр.) та проекту Державного фонду фундаментальних досліджень № .4/223 "Некласичні математичні моделі і методи дослідження механіки шаруватих структур і тіл з покриттями у взаємозв'язку з процесами немеханічної природи при комплексній зовнішній дії" (1998-1999 рр.)

Метою дисертації є встановлення закономірностей контактної взаємодії ізотропних термопружних тіл за наявності локальних геометричних недосконалостей поверхневої структури, для розподілу яких притаманна осьова симетрія, і теплопровідного стисливого середовища у міжповерхневому просторі. Досягнення поставленої мети включає:

·

· постановку нового класу осесиметричних контактних задач для тіл з узгодженими поверхнями;

· розробку аналітичних та числово–аналітичних методів їх розв'язання;

· розгляд низки задач з метою виявлення кількісних та якісних ефектів, зумовлених тепловими та механічними навантаженнями і неідеальністю контакту.

Об'єктом дослідження є контактно–поверхневі явища при термомеханічній взаємодії ізотропних тіл.

Предметом дослідження є односторонній статичний контакт тіл з локальними осесиметричної форми збуреннями поверхонь контакту за наявності середовища у міжповерхневому просторі при комплексній дії механічних та теплових навантажень.

Методи досліджень. Для досягнення сформульованої мети використано відомі та розвинуто нові методи. Зокрема, при виведенні інтегральних рівнянь задачі застосовано метод інтегральних перетворень до диференціальних рівнянь теплопровідності та рівноваги. Отримані інтегральні рівняння в окремих випадках розв'язувались аналітичними методами парних інтегральних рівнянь. При числовому розв'язанні інтегральні рівняння задачі за допомогою методу рядів Фур'є та методу колокацій зводились до системи нелінійних алгебричних рівнянь, для знаходження розв'язку яких, зокрема, застосовувалась числова процедура Ньютона.

Наукова новизна роботи полягає у постановці задач термопружної взаємодії тіл з осесиметричними контактно-поверхневими неоднорідностями, методиці їх розв'язання та отриманих результатах. В роботі:

·

· здійснено постановку нового класу осесиметричних контактних задач термопружності для тіл з узгодженими поверхнями за наявності локальних ділянок відсутності контакту;

· для розв'язання цього класу задач розвинуто метод функцій міжконтактних зазорів, який полягає у поданні температури, напружень і переміщень в тілах через задані на поверхні спряження функції – висоту зазорів та стрибок температури, і зведенні задач до інтегральних рівнянь відносно зображень за Ганкелем цих величин;

· на основі розв'язання конкретних задач виявлено низку контактно–поверхневих явищ та ефектів.

Теоретичне значення роботи полягає у поширенні методу функцій міжконтактних зазорів для розв'язання задач термопружності про контакт тіл з локальними поверхневими дефектами на випадок осьової симетрії, розробці моделей недосконалого теплового і механічного контакту тіл за умов множинного характеру поверхневих недосконалостей для визначення ефективних параметрів контакту. Отримані результати можуть знайти практичне застосування в енергетиці, авіа-, ракето-, машинобудуванні, гірничодобувній та будівельній індустрії для оцінки контактної міцності та герметичності вузлів і з'єднань механізмів, що працюють в умовах теплового та механічного навантаження.

Вірогідність отриманих результатів та висновків роботи забезпечується строгістю та коректністю математичного формулювання задач; використанням апробованих аналітичних і числових методик розв'язання; узгодженням отриманих деяких часткових результатів із відомими в літературі; застосуванням апробованих пакетів програм для математичних розрахунків.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 12 наукових праць, у тому числі 7 статей [1–7] у наукових журналах та збірниках, з них 6 [1–6] відповідають вимогам ВАК України до публікацій результатів дисертацій у фахових виданнях.

Основні результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно. У працях [1,2,4,5,7,10,11] науковому керівнику Г.С. Кіту належать постановки задач, основні ідеї методик розв'язання, участь у інтерпретації результатів. Дисертант брав участь у формулюванні задач, обговоренні результатів, виконав всі аналітичні викладки при побудові розв'язку та здійснив його числову реалізацію.

У роботі [6] автором виведено сингулярне інтегральне рівняння задачі пружності про контакт тіл з узгодженими поверхнями для осесиметричного випадку. У працях [9, 12] здобувачу належать результати, отримані в рамках осесиметричної постановки.

Апробація результатів. Результати досліджень за темою дисертації доповідались на наукових конференціях та семінарах, зокрема на Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки та математики" (Львів, 1998), 4–ому Міжнародному симпозіумі українських інженерів–механіків (Львів, 1999), 3–ому Міжнародному конгресі з термічних проблем "Thermal Stresses'99" (Краків, Польща, 1999), 3–ому Українсько–польському симпозіумі "Змішані задачі механіки неоднорідних структур" (Львів, 1999), 5–ій Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (Луцьк, 2000), Міжнародній науковій конференції "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь" (Дрогобич, 2001).

В повному обсязі робота доповідалась на семінарі відділу математичних методів механіки руйнування і контактних явищ Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, на кваліфікаційному семінарі "Механіка деформівного твердого тіла" цього ж інституту, на семінарі з механіки Варшавського університету, на семінарі із сучасних проблем механіки при Київському національному університеті ім. Т. Г. Шевченка, на семінарі "Математичні проблеми механіки" Одеського національного університету ім. І. І. Мечнікова.

Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, 6 розділів, які містять 82 рисунки і 6 таблиць, висновків та списку літератури із 190 найменувань. Загальний обсяг роботи – 215 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи; сформульовано мету та задачі досліджень; охарактеризовано новизну, вірогідність та практичну значимість отриманих результатів; наведено дані про апробацію результатів роботи та її зв'язок із науковими програмами та планами, що виконуються в установі, де працює автор; вказано кількість публікацій за темою дисертації і особистий внесок здобувача.

У першому розділі наведено огляд літературних джерел, в яких вивчаються питання, близькі за напрямком до теми дисертації; висвітлено сучасний стан проблеми математичного моделювання недосконалого механічного і теплового контакту тіл з узгодженими границями; вказано місце роботи серед досліджень, що проводяться з даної проблематики.

У другому розділі здійснено математичне формулювання задачі термопружності про безфрикційний односторонній контакт двох ізотропних тіл з локальними геометричними дефектами поверхонь з урахуванням поверхневого термоопору та наявності стисливого теплопровідного середовища у просторі між поверхнями; розвинуто методику її розв'язання; отримано інтегральні рівняння задачі.

Розглянуто два ізотропні пружні півпростори з локальними геометричними дефектами поверхневої структури, під якими розуміють малі гладкі відхилення реальної поверхні тіл від їх номінальної поверхні (площини). Тіла перебувають в умовах одностороннього безфрикційного статичного контакту під дією рівномірно розподілених на безмежності зусиль р. На безмежності заданий однорідний тепловий потік q, скерований перпендикулярно до номінальної поверхні спряження. Крім того, в тілах діють зосереджені та розподілені сили і джерела тепла (рис.1).

Вважається, що глобальне викривлення тіл, зумовлене дією теплового потоку q, компенсується прикладеними на безмежності (rҐ) напруженнями srr відповідної величини, так що номінальна поверхня спряження залишається плоскою.

Збурення границі зумовлюють недосконалий контакт тіл, що проявляється в існуванні міжповерхневих зазорів (просвітів) на поверхні спряження. Їх розміри, з огляду на гладкість початкових дефектів, заздалегідь невідомі і мусять бути визначені при розв'язанні задачі.

Зазори заповнені стисливою рідиною, кількість якої не змінюється в процесі навантаження. Внаслідок цього на поверхні зазорів чиниться певний тиск. Його значення в межах окремого зазору є сталим і наперед невідомим.

Припускається, що тепловий контакт тіл є неідеальним, що враховано постійним термічним опором R0, заданим на всій поверхні спряження. Крім того наявність зазорів та теплопроникного заповнювача в них моделюється додатковим термоопором, значення якого залежить від висоти зазору h(r) і коефіцієнта теплопровідності заповнювача k3. Таким чином, сумарний термоопір має вигляд R(r)=R0+h(r)/k3.

Задача полягає у визначенні полів температури t(i)(r, z), переміщень u(i)(r, z) та напружень s(i)(r, z) у тілах, розмірів ділянок зазорів S1 та параметрів P3j, що визначають тиск заповнювача в кожному зазорі.

Задача формулюється для осесиметричного випадку в рамках лінійної незв'язаної теорії термопружності. Математично вона полягає в інтегруванні

рівнянь теплопровідності: (1)

та рівнянь рівноваги в переміщеннях:

(2)

при виконанні наступних гранично-контактних умов:

,

, (3)

,

;

та умов одностороннього контакту:

. (4)

Для визначення тиску заповнювача та розмірів ділянок зазорів використовуються

рівняння стану стисливої рідини (5)

та умова плавного змикання берегів зазорів . (6)

У формулах (1)-(6) позначено – оператор Лапласа, w(r,z) – інтенсивність джерел тепла, br, bz – компоненти вектора масових сил, f(r) – рельєф поверхонь, k – коефіцієнт теплопровідності, a – коефіцієнт лінійного теплового розширення, n – коефіцієнт Пуассона, m – модуль зсуву, b3 – коефіцієнт пружності рідини, r0, r – густина рідини до і після прикладення навантажень, індекс і набуває значень 1, і відносить величини до нижнього та верхнього тіла.

Характерними особливостями сформульованої задачі є її нелінійність, що обумовлена зміною області контакту із зміною зовнішнього навантаження та нелінійністю виразу в умовах теплового контакту, і взаємозв'язаність температурного та механічного полів, причому цей взаємозв'язок реалізується не через ключові рівняння, а через граничні умови.

Для розв'язання сформульованої задачі використано метод міжконтактних зазорів, який в даній роботі поширено на випадок осьової симетрії. Згідно з цим підходом у розв'язку виділяються дві компоненти , . Перші з них відповідають контакту тіл з абсолютно узгодженими границями і їх визначення не складає принципових труднощів, а другі описують збурення, зумовлені початковим рельєфом та міжповерхневими зазорами. Для визначення поля збурень в результаті розв'язання допоміжної задачі отримано подання температури, переміщень та напружень в тілах через зображення Ганкеля функцій, які задані на поверхні спряження і мають прямий фізичний зміст – стрибок температури Dt(r) та висоту зазорів h(r):

;

(7)

,

.

Тут J0(x),J1(x) – функції Бесселя першого роду; F(x), DТ(x), Н(x) – трансформанти Ганкеля функцій f(r), Dt(r), h(r) відповідно; d=a(1+n)/k – коефіцієнт термічної дистортивності.

Після задоволення відповідних граничних умов задача зведена до системи нелінійних інтегральних рівнянь відносно DТ(x), Н(x), ядра яких містять функції Бесселя першого роду:

(8)1

(8)2

(8)3

Третій розділ присвячено дослідженню пружного контакту тіл за відсутності теплового навантаження. Для цього розглянуто контакт двох півпросторів за наявності кругової поверхневої виїмки; досліджено вплив заповнювача міжповерхневого зазору на контактну поведінку системи; вивчено питання про можливість локального порушення контакту між тілами з абсолютно узгодженими границями внаслідок дії зосередженої сили; на основі розв'язання контактної задачі для шару та півпростору зі збуреними поверхнями досліджено вплив зовнішньої границі шару.

У випадку взаємодії двох півпросторів за наявності однієї кругової пологої виїмки малої висоти інтегральні рівняння задачі (8) трансформуються у парні інтегральні рівняння

(9)

де а – радіус зазору. Для розв'язання рівнянь (9) використовується метод підстановок. Невідома функція H(x) шукається у вигляді . Задачу зведено до інтегрального рівняння Абеля, формула обернення якого відома. Таким чином отримується розв'язок задачі в квадратурах.

Для широкого класу конкретних форм виїмок, вибраних у вигляді , контактні параметри – розміри зазору та нормальні контакті напруження – обчислено аналітично. Висота зазору має вигляд

, де p*n – критичне значення зовнішнього навантаження, при якому зникає зазор, sj – відомі сталі.

Радіус зазору визначається з рівняння .

Для розподілу контактних нормальних напружень (рис.2) характерною є значна їх концентрація в околі краю початкової виїмки, причому із зростанням зовнішнього навантаження для n=1 їх максимум нерухомий, а для n=2 він переміщається в напрямку до центра зазору.

Аналіз розподілу радіальних та кільцевих напружень, показаного на рис.3, виявив наявність напружень розтягу, постійних в межах зазору. Їх величина залежить від прикладених зусиль на безмежності та від коефіцієнтів Пуассона матеріалів: .

На основі критеріїв руйнування – критерію максимальних нормальних напружень та критерію максимальних дотичних напружень – здійснено аналіз контактної міцності системи. Найбільш небезпечною ділянкою з точки зору втрати міцності для крихких матеріалів від стиску та для пластичних матеріалів є окіл краю початкового дефекту. Для крихких тіл можливе руйнування від розтягу в області міжповерхневого зазору, причому два напрямки поширення тріщин – кільцевий та радіальний – є рівноможливими.

Вплив заповнювача зазору досліджувався на основі розгляду задачі про взаємодію пружного півпростору і жорсткої основи, що має поверхневу виїмку, цілком заповнену стисливою рідиною. Виявлено, що заповнювач відіграє роль демпфера. У граничному випадку, коли рідина є абсолютно нестисливою, пружне тіло взагалі "не відчуває" нерівності основи.

Вивчалось питання про порушення контакту між тілами з абсолютно узгодженими поверхнями під дією зосереджених силових факторів. Розглядалась задача для пружного півпростору, що притискається рівномірними зусиллями до жорсткої основи і в якому на певній глибині d прикладена зосереджена сила Q, скерована перпендикулярно до поверхні всередину півпростору. Після розв'язання задачі за припущення про повний контакт тіл і перевірки умов одностороннього контакту (4), встановлено умову, при виконанні якої має місце контактне розшарування. Вона записується у вигляді Q>2p(1 – n)d 2 p/(2 – n). Загальний розв'язок задачі, вже з урахуванням ділянки відшарування, отримується з використанням вище описаної методики парних інтегральних рівнянь. Він записується в квадратурах, але величини на поверхні контакту отримано в аналітичному вигляді. Зокрема, радіус ділянки зазору дається виразом

. (10)

Виявлено цікавий ефект. Для матеріалів тіл, коефіцієнт Пуассона яких відмінний від нуля, радіус ділянки відставання буде максимальним не тоді, коли сила прикладена на границі півпростору, як можна було б сподіватись, а коли вона знаходиться на певній глибині (рис.4). Цей ефект найяскравіше проявляється для нестисливого матеріалу (n=1/2).

Розглядалась контактна задача для пружних шару та півпростору за локального збурення границі з метою дослідити вплив зовнішньої границі шару на контактну поведінку системи. У цьому разі для напружень та переміщень в шарі використовувались подання Вебера через дві гармонічні функції і задача зводилась до парних інтегральних рівнянь

(11)

де у функцію l(x) входить товщина шару h та пружні характеристики обох тіл.

Застосовуючи до рівнянь (11) метод підстановок і розв'язуючи рівняння Абеля, отримується інтегральне рівняння Фредгольма з неперервним ядром

. (12)

Рівняння (12) розв'язували числово. Шукану функцію g(r) апроксимували поліномом з непарними степенями g(r)”с1r+ј+сkr2k+1. Невідомі коефіцієнти визначали з системи лінійних алгебричних рівнянь, отриманої з рівняння (12) шляхом задоволення його у точках колокації. За останні вибрана система вузлів рівномірної сітки розбиття відрізка [0, a].

На основі аналізу отриманих результатів встановлено, що вплив зовнішньої границі є малопомітним для шару, товщина якого більша за характерний розмір ділянки початкової виїмки (її діаметр). Розміри зазору та критичне значення зовнішнього навантаження, при якому відбувається закриття міжповерхневого дефекту, є тим меншими, чим менша товщина шару. Для розподілу нормальних контактних напружень для тонких шарів (h/b=0.3, .4) спостерігається локальний максимум в області, що безпосередньо прилягає до ділянки початкової виїмки.

У четвертому розділі досліджено термопружний контакт двох півпросторів з різними термомеханічними характеристиками за наявності кругового зазору. Розглядається два види теплових навантажень: однорідний тепловий потік на безмежності та приповерхневий стік тепла.

Спочатку вивчається локальне відставання пружного півпростору, притиснутого рівномірними зусиллями р до абсолютно жорсткої основи, що підтримується при сталій температурі tосн=0, під дією зосередженого стоку тепла інтенсивності w, поміщеного на віддалі d від границі. На основі розв'язку задачі про повний контакт тіл встановлено умову на вихідні параметри задачі, при виконанні якої відбуватиметься відшарування. Вона має вигляд

w>2p(1–n)kpd/(1+n)am.

Контактна задача з урахуванням наявності зазору формулюється для двох випадків: коли поверхня тіла в межах зазору підтримується при температурі основи – t=tосн (випадок І) і коли вона є термоізольованою – ¶t/¶z=0 (випадок ІІ). Поза зазором виконуються умови ідеального теплового та безфрикційного механічного контакту. В обох випадках задача зводиться до систем парних рівнянь, які розв'язуються методом підстановок. У першому випадку отримано розподіл контактних параметрів у замкнутому вигляді, в другому – шляхом апроксимації правої частини інтегральних рівнянь задачі отримано наближений розв'язок. Встановлено, що для стоку тепла фіксованої інтенсивності максимум радіуса зазору досягається при певній глибині. У граничному випадку, коли стік тепла поміщений на границі півпростору, то відшарування між тілами не відбувається. Це є наслідком вимоги про незмінну температуру основи та ідеальний тепловий контакт тіл. Умова термоізоляції "сприяє" розкриттю зазору і збільшенню рівня концентрації контактних нормальних напружень.

Для випадку термічного навантаження у вигляді теплового потоку на безмежності спочатку розглядається задача, при формулюванні якої використовуються простіші умови теплового контакту, ніж ті, що записані у другому розділі. А саме, припускається, що на ділянках безпосереднього налягання поверхонь реалізуються умови ідеального теплового контакту, а в межах зазору виконується умова термоізоляції. Такі припущення значно спрощують задачу з математичної точки зору, що полягає у незалежності температури від характеристик механічного поля. Це дозволяє розв'язувати задачу почергово: спочатку задачу теплопровідності, а потім термопружності. Для цього випадку система рівнянь (8) трансформується у систему парних інтегральних рівнянь

(13)1

(13)2

Для розв'язання системи рівнянь (13) використовується метод підстановок. Для конкретної форми виїмки у вигляді f(r)=h0(1–r2/b2)3/2 cтрибок температури на зазорі та радіус зазору отримано в аналітичному вигляді, висота зазору та розподіл контактних напружень – у квадратурах. На основі аналізу отриманих результатів виявлено якісну залежність контактної поведінки системи від напрямку потоку тепла та співвідношення між термомеханічними властивостями матеріалів тіл. Для випадку, коли термічні дистортивності тіл однакові (d1=d2), контактні параметри – висота зазору та нормальні контактні напруження – не залежать від теплового навантаження, тобто вони є такими ж, як і для випадку пружної взаємодії тіл. Більше того, з формул (7) випливає, що незалежними від теплового фактору є також вектори напружень, що діють на площинках, паралельних до поверхні спряження z=0. Коли тепло тече від матеріалу з більшою термічною дистортивністю (d1>d2), збільшення теплового навантаження зумовлює зменшення розмірів міжповерхневого дефекту і рівня нормальних контактних напружень. Водночас для зворотного напрямку потоку тепла (d1<d2), ефект від збільшення інтенсивності теплового фактору є протилежним.

Коли тепловий потік скерований від матеріалу з більшою термічною дистортивністю (d1>d2), отриманий розв'язок виявився фізично некоректним. Це проявляється у тому, що не виконуються умови одностороннього контакту (4): в околі краю зазору його висота набуває від'ємних значень і контактні нормальні напруження стають напруженнями розтягу. Аналогічний ефект для випадку взаємодії тіл з неузгодженими поверхнями відомий як "ефект холодної кулі" [Barber Indentation of a semi-infinite elastic body by a hot sphere // Int. J. Eng. Sci. – 1973. – 15. – P.813].

Для побудови коректного розв'язку контактна задача формулюється з використанням більш реальних умов теплового контакту. Припускається наявність сталого термоопору на всій поверхні контакту R0 і додаткового термоопору h(r)/k3 в межах зазору, зумовленого теплопровідним заповнювачем, що не чинить опору на стиск. В цьому разі інтегральні рівняння задачі збігаються із рівняннями (8), в яких треба покласти P3j=0, S1={0<r<a}, S2={a<r<Ґ}. Для розв'язання цієї задачі в роботі розвинуто числовий метод.

Висота зазору h(r) шукається у вигляді розвинення за повною системою функцій, двічі неперервно-диференційовних на відрізку [0,a], за які вибрано власні функції відповідної задачі Штурма–Ліувіля: . Стрибок температури Dt(r) подано аналогічно: , при цьому зроблено припущення, що стрибок температури локалізований на відрізку [0, c]. При обчисленнях покладалось с=3b. Невідомі коефіцієнти Hn, Tl знаходили з системи нелінійних рівнянь, отриманої з рівнянь (8) із використанням методу колокацій. Для розв'язання нелінійної системи рівнянь застосовано ітераційну процедуру Ньютона. За початкове наближення вибрано висоту зазору, отриману з розв'язку відповідної задачі пружності та нульовий стрибок температури. Аналіз побудованого таким чином числового розв'язку задачі підтвердив залежність контактної поведінки системи від напрямку потоку тепла і співвідношення термомеханічних властивостей матеріалів тіл. Водночас він є фізично коректним для всього діапазону зміни теплового навантаження.

П'ятий розділ присвячено дослідженню взаємодії тіл, коли область відсутності контакту є двозв'язною. Це ускладнює задачу математично, що пов'язано з необхідністю визначення не одного лінійного розміру ділянки зазору, а двох.

Розглядається пружний контакт двох півпросторів за наявності початкової виїмки по кільцевій ділянці. Форма виїмки дається виразом . З використанням методики Ердогана [Erdogan Simultaneous dual integral equations with trigonometric and Bessel kernels // ZAMM – 1968 – 48, No. 4 – P. 217.] інтегральні рівняння задачі відносно трансформанти H(x) зведені до сингулярного інтегрального рівняння відносно похідної від висоти зазору hў(r):

, (14)

де а1, а2 – внутрішній та зовнішній радіуси зазору. Ядро має структуру: ( – неперервна функція своїх аргументів).

На основі дослідження рівняння (14) згідно з методикою Мусхелішвілі встановлено, що його розв'язок в класі необмежених на відрізку [a1, a2] функцій існує, визначається з точністю до константи і має сингулярність порядку кореня квадратного. В зв'язку з цим наближений розв'язок рівняння (14) шукається у вигляді

, (15)

де Тn(x) – поліноми Чебишева 1-го роду.

Для визначення невідомих величин сn, а1, а2 з рівняння (14) шляхом задоволення його в точках колокації (за останні вибрані нулі функції Чебишева 2-го роду ), з використанням умов плавного змикання берегів зазору hў(ak)=0 та умови неперервності висоти зазору h(ak)=0, отримано систему нелінійних алгебричних рівнянь. Для її розв'язання запропоновано числову ітераційну процедуру.

На основі отриманих результатів встановлено, що для вибраної форми початкової виїмки із ростом зовнішнього навантаження зазор дрейфує в напрямку від центра. Для розподілу нормальних контактних напружень характерний вищий їх рівень на внутрішній ділянці контакту (рис.6.). Ці ефекти проявляються в більшій мірі для широкого кільця. У граничному випадку, коли внутрішній радіус виїмки прямує до безмежності при фіксованій її ширині, отримані результати збігаються з розв'язком відповідної плоскої задачі.

У шостому розділі вивчається контактна взаємодія тіл за умов множинного характеру поверхневих недосконалостей. Використовується концепція ефективних параметрів контакту – певних приведених фізичних характеристик поверхні спряження, таких як контактний термічний опір, контактна податливість, за допомогою яких можна описати поведінку системи на макрорівні, далеко від поверхні контакту. Однак визначення цих величин вимагає формулювання відповідних тривимірних задач теплопровідності та пружності на мікрорівні з урахуванням взаємовпливу поверхневих неоднорідностей, які (задачі) з огляду на стохастичний характер розподілу та форми дефектів є достатньо складними. В роботі для випадку системи статистично рівномірно розподілених кругових поверхневих неоднорідностей, форма і розміри яких однакові, запропоновано такі моделі теплового та механічного контакту тіл, які дозволяють формулювати задачі в осесиметричній постановці і які враховують взаємовплив системи поверхневих дефектів. Крім того, розв'язок сформульованих на основі цих моделей осесиметричних задач отримується в рамках розвинутого в роботі підходу.

Спочатку досліджується стаціонарний процес теплопередачі між тілами під дією заданого на безмежності однорідного потоку тепла q. На поверхні спряження існує система статистично рівномірно розподілених однокових кругових ділянок термоізоляції радіуса а (рис.7.). Осесиметрична модель такого контакту тіл полягає в наступному. Поряд з довільно вибраною круговою ділянкою термоізоляції розглядається концентричний з нею круг радіуса с, названий елементарним. Параметр с вибирається з умови рівності площ елементарного круга і ділянки, на яку в середньому припадає одна поверхнева недосконалість. Вплив інших ділянок термоізоляції на перебіг процесу теплопередачі в межах елементарного круга враховується сталим стрибок температури ?t*, заданим в області с<r<Ґ (рис.8).

Значення параметра ?t* наперед невідоме, воно визначається з умови самоузгодженості

, (16)

яка означає, що стрибок температури ?t* дорівнює реальному стрибку температури на ділянці термоізоляції, усередненому на елементарному крузі.

З використанням методу міжконтактних зазорів задачу зведено до парних інтегральних рівнянь з правою частиною, що містить невідомий параметр ?t*. Парні рівняння розв'язуються методом підстановок. Після визначення фактичного стрибка температури (він дається у вигляді розвинення за малим параметром a=а/с) Дt* знаходиться з рівняння, яке продукується умовою (16). Контактний термічний опір R, який згідно з означенням визначається з формули R = Дt*/q, дається виразом

, (17)

де K=k1k2/(k1+k2).

Наступним розглядається механічний контакт тіл. Пружний півпростір з плоскою границею рівномірними зусиллями p на безмежності притискається до жорсткої основи, на поверхні якої є система рівномірно розподілених однакових гладких кругових виїмок радіуса b, форма яких описується функцією f(r). Далеко від поверхні спряження система реагуватиме на наявність поверхневих дефектів сталим зближенням тіл e, яке пов'язане з контактною податливістю В співвідношенням B=¶e/¶p.

Аналогічно до задачі теплопровідності побудовано осесиметричну модель, при цьому зроблено припущення про те, що в процесі навантаження ділянки зазорів, змінюючись за розмірами, залишаються круговими. Розглядається елементарний круг радіуса с, на який припадає один початковий дефект. Поза ним задаються переміщення за лінійним законом на ділянці ширини C–с, а в області С<r< Ґ – постійні нормальні переміщення -e. Схематично цю модель показано на рис. 9 (а – радіус зазору).

Параметр e визначається з умови самоузгодженості

. (18)

Розв'язок задачі отримується з використанням методу міжконтактних зазорів. У цьому випадку права частина відповідних парних інтегральних рівнянь містить перетворення Ганкеля від кусково-лінійної функції.

На основі отриманого розв'язку визначено контактну податливість В і досліджено залежність цього параметра від тиску на безмежності р. Вона показана на рис.10.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню наукового завдання – розробці математичних моделей і методів дослідження термопружної взаємодії тіл з локальними геометричними поверхневими недосконалостями осесиметричної форми для встановлення закономірностей контактної поведінки тіл за наявності міжконтактних зазорів і їх заповнювача при термомеханічному навантаженні.

У роботі отримано такі основні результати:

·

·

·

· подальше зведення задач до системи інтегральних рівнянь (типу парних) відносно зображень за Ганкелем цих функцій;

·

·

·

· при взаємодії шару та півпростору впливом зовнішньої границі шару можна нехтувати у випадку, коли товщина шару більша за характерний розмір ділянки початкового дефекту (її діаметр);

· при термопружній взаємодії тіл їх контактна поведінка якісно залежить від напрямку теплового потоку та співвідношення термомеханічних властивостей матеріалів. Зокрема, для випадку, коли термічні дистортивності тіл однакові, теплове навантаження не впливає на контактні параметри – висоту зазору та розподіл нормальних контактних напружень. При цьому підтверджено для взаємодії тіл з узгодженими поверхнями "ефект холодної кулі" – фізичну некоректність розв'язку, що проявляється у невиконанні умов одностороннього контакту в околі краю зазору;

· урахування теплопровідного заповнювача міжповерхневого дефекту та поверхневого термоопору при формулюванні задачі дозволяє побудувати фізично коректний розв'язок;

· наявність силових та теплових зосереджених факторів може зумовити локальну втрату контакту між тілами, поверхні яких абсолютно узгоджені;

· при пружній взаємодії тіл за наявності кільцевої виїмки міжповерхневий зазор із збільшенням навантаження "дрейфує" в напрямку до зовнішнього краю початкового дефекту. Для розподілу контактних напружень характерним є вищий їх рівень на внутрішній ділянці контакту. Ці ефекти проявляються в більшій мірі для широких кілець.

·

Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях:

1. Кіт Г.С., Монастирський Б.Є. Контактна задача для півпростору та жорсткої основи з осесиметричною виїмкою // Мат. методи і фіз.-мех. поля – 41, №4 – 1998. – С. 7-11.

2. Кіт Г., Монастирський Б. Про термопружний контакт двох півпросторів з однакових матеріалів за наявності поверхневого дефекту // Вісник Львів. нац. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1999. – Вип. . – С. 161-163.

3. Монастирський Б.Є. Осесиметрична контактна задача для півпросторів з геометричним збуренням поверхні // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 1999. – №6. – С. 22-26.

4. Кіт Г.С., Монастирський Б.Є. Осесиметрична контактна задача для шару та півпростору з геометричним збуренням поверхні // Мат. методи і фіз.-мех. поля – 43, №1 – 2000. – С.115-123.

5. Кіт Г.С., Монастирський Б.Є. Термопружний контакт двох півпросторів за наявності теплоізольованого зазору // Машинознавство – 2001 – №1 – С. 3-8.

6. Кіт Г.С., Мартиняк Р.М., Монастирський Б.Є. Метод потенціалів у задачах про локальну відсутність контакту // Вісник Дніпропетр. ун-ту. Сер.: механіка. – 2001. –Т.1., Вип. 4 – С. 69-77.

7. Кіт Г., Монастирський Б. Про одну осесиметричну модель недосконалого теплового контакту тіл та її застосування до обчислення контактного термоопору // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. В 2-х т. – Львів, 2000. – Т 2. – С. 98-101.

8. Монастирський Б. Осесиметрична задача про безфрикційну взаємодію двох пружних півпросторів при наявності геометричних збурень поверхні // Матеріали конференції "Сучасні проблеми механіки та математики", Львів, 25-28 травня, 1998. – С. 169.

9. Мачишин І., Монастирський Б. Проблеми контактної взаємодії тіл з геометричними дефектами поверхонь // Тези доповідей 4-го міжнародного симпозіуму українських інженерів-механіків у Львові, 19-21 травня, 1999. – С.55.

10. Kit H.S., Monastyrskyy B.Ye. Thermoelastic interaction of two semi-infinite bodies under condition of local contact absence // Proceedings of the 3rd International Congress on Thermal Problems "Thermal Stresses'99", Cracow (Poland), June 13-17, 1999. – P.118-124.

11. Кіт Г., Монастирський Б. Термопружна взаємодія двох півпросторів за наявності осесиметричного поверхневого дефекту типу пологої виїмки // Тези доповідей ІІІ-го українсько-польського наукового симпозіуму "Змішані задачі механіки неоднорідних структур", Львів, 7-10 вересня, 1999.– С.27.

12. Мартиняк Р.М., Мачишин І.М., Монастирський Б.Є., Нагалка С.П. Метод функцій міжконтактних зазорів у задачах термопружності з розривними граничними умовами // Тез. допов. Міжн. наук. конф. "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь", Дрогобич, 1-5 жовтня, 2001. – С.88.

Анотація. Монастирський Б.Є. Осесиметричні задачі термопружної взаємодії тіл з локальними геометричними недосконалостями поверхонь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 механіка деформівного твердого тіла. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, Львів, 2002.

Дисертацію присвячено дослідженню одностороннього статичного контакту двох ізотропних тіл з узгодженими границями при комплексній дії теплового та механічного навантаження з урахуванням локальних геометричних дефектів поверхні осесиметричної форми, неідеальності теплового контакту тіл та за наявності теплопровідної стисливої субстанції у просторі між поверхнями. В рамках лінійної невзаємозв'язаної теорії термопружності сформульовано новий клас осесиметричних контактних задач із локальною наперед невідомою областю відсутності контакту, для розв'язання яких розвинуто метод функцій міжконтактних зазорів. Він полягає у поданні температури, напружень та переміщень в тілах через функції, що визначені на поверхні спряження – стрибок температури та висоту зазорів, і зведенні проблеми до системи інтегральних рівнянь відносно зображень за Ганкелем цих функцій. На цій підставі отримано низку аналітичних та числово-аналітичних розв'язків, що дозволило встановити особливості контактної поведінки системи і виявити нові контактно-поверхневі явища та ефекти.

Ключові слова: термопружність, односторонній контакт, дефекти поверхні, метод функцій міжконтактних зазорів, заповнювач, розшарування, контактний термоопір.

Abstract. Monastyrskyy B.Ye. Axially symmetric problems of thermoelasticity for the bodies possessing local geometric surface imperfections. – Manuscript.

The thesis presented for degree of the Candidate in Physics and Mathematics, Speciality 01.02.04 – Mechanics of Deformable Solids. – Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv, 2002.

The thesis is devoted to investigation of unilateral static contact of elastic