НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Ніщенко Ірина Іванівна

УДК 519.21

ПЕРЕХІДНІ ЯВИЩА В ТЕОРІЇ БАГАТОВИМІРНОГО ВІДНОВЛЕННЯ

ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В ДОСЛІДЖЕННІ

АСИМПТОТИЧНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ВИПАДКОВИХ ЕВОЛЮЦІЙ

01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

КИЇВ – 2002

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор Єлейко Ярослав Іванович,

завідувач кафедри теоретичної та прикладної статистики

Львівського національного університету імені Івана

Франка Міністерства освіти і науки України

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

Дороговцев Андрій Анатолійович,

провідний науковий співробітник

відділу теорії випадкових процесів

Інституту математики НАН України (м. Київ);

кандидат фізико-математичних наук

Чані Олександр Семенович,

старший науковий співробітник

відділу теорії ймовірностей та математичної статистики

Інституту прикладної математики і механіки

НАН України (м. Донецьк)

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

кафедра теорії ймовірностей та математичної статистики

Захист відбудеться “ 11 ” червня 2002 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, Україна, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики

НАН України.

Автореферат розісланий “ 8 ” травня 2002 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

Підписано до друку 7.05.2002 р. Формат 60х90/16.

Папір офсетний. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 1.0. Наклад 100.

Надруковано у Національному університеті “Львівська політехніка”

79013, м. Львів, вул. Ст. Бандери, 12

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Необхiднiсть у дослiдженнi перехiдних явищ для рiвнян-ня вiдновлення виникла у зв’язку з вивченням гiллястих процесiв, близьких до кри-тичних, граничних розподiлiв функцiоналiв вiд процесiв з марковським втру-чанням випадку, граничних задач для випадкових блукань. Задачi на перехiднi явища вини-кають також в теоремах усереднення в схемі серій для випадкових еволюцiй та при асимптотичному аналiзi деяких класiв систем масового обслу-гову-вання. Особли-вістю таких задач є те, що у рівнянні від-нов-лення, якому задоволь-няють певнi харак-те-ристики досліджуваних процесів, разом зі зміною часового аргументу змінюються міра та вільний член, за якими це рівняння побудо-вано. Щоб дослiдити властивостi таких процесiв, необхiдно було отримати деякi аналоги результатiв класичної теорiї вiдновлення для рівняння відновлення у схемі серій.

Вперше узагальнення теореми вiдновлення для рiвняння вiдновлення у схемi серiй було розглянуто Д.С. Сільвестровим. Для рiвняння вiдновлення з невласти-ви-ми функцiями розпо-дiлу ним було доведено твердження, що є варiантом теореми Блекуела в схемi серiй. Крiм того, було знайдено асимптотику розв’язку такого рiв-няння та встановлено умови, при вико-наннi яких збiжнiсть розв’язку до вiдпо-вiдної границi є рiвномiрною за деяким класом функцiй розподiлу. Отриманi результати дозволяють довести деякi важливi ергодичнi та граничнi теореми про збiжнiсть за розподiлом функцiоналiв типу моментiв зупинки для регенеруючих процесiв.

Дослiдження перехiдних явищ для рівняння багатовимiрного вiдновлення та аналiз їх застосування до адитивних функцiоналiв вiд процесiв з марковським втручанням випадку та гiллястих процесiв, близьких до критичних, здiйснено В.М. Шуренковим. Основним припу-щенням при цьому щодо послідовності матрич-но-значних мiр були нерозкладнiсть граничної матрицi повних мас мiр та рiвнiсть одиницi її перронового кореня.

В.М. Шуренков та П.П. Куцiя дослiдили також перехiднi явища для рiвняння багато-вимiрного вiдновлення з матрицею повних мас мiр, близькою до одиничної, тобто макси-мально розкладної.

При дослiдженнi перехiдних явищ для рiвняння вiдновлення у схемi серiй важливим є питання про те, як повиннi бути пов’язанi часовий аргумент i параметр серiї для того, щоб при зростаннi до нескiнченностi першого i прямуваннi до нуля другого iснувала б нетривiальна границя розв’язку рiвняння вiдновлення. Для ска-лярного рiвняння швидкiсть зростання часу є обернено пропорцiйною до швидкостi прямування до нуля дефекту невластивої функцiї розподiлу, за якою це рiвняння побудовано; для рiвняння багатовимiрного вiдновлення з нерозкладною матрицею повних мас мiр перехiднi явища виникають, коли швидкiсть зростання часу є обер-нено пропорцiйною до швидкостi прямування до одиницi перронового кореня догра-ничної матрицi повних мас мiр. Для рiвняння з одиничною граничною матрицею повних мас мiр за умови, що швидкiсть збiжностi елементiв дограничної матрицi повних мас мiр до вiдповiдних елементiв одиничної матрицi пропорцiйна параметру серiї, перехiднi явища дослiджувались у масштабi часу, обернено пропорцiйному до параметра серiї.

Поряд з отриманими результатами недослiдженими залишались перехiднi явища для рівняння багатовимiрного вiдновлення з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мiр. Рiвняння такого типу виникають, наприклад, при аналiзi стохастичних систем, якi допускають асимптотичне укрупнення простору станiв, зокрема, високонадiйних систем, а також деяких класів систем масового обслуго-вування в умовах малої ймовiрностi втрати вимоги.

Дослідження потребували асимптотичні властивості функції відновлення, гранична поведінка розв’язку вказаного типу рівняння та знаходження масштабу часу, в якому б границі цих матричнозначних функцій були б нетривіальними.

Актуальним залишалось також питання про iснування такого нормуючого множника, що при обернено-пропорцiйнiй залежностi мiж ним i часом iснувала б нетривiальна границя розв’язку рiвняння вiдновлення без припущень про аналі-тич-ний характер залежностi догра-ничної матрицi повних мас мiр вiд параметра серiї.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати дисертацiї отримано у рамках виконання держбюджетної теми “Побудова матема-тичних моделей та розробка методiв дослiдження крайових задач для диферен-цiаль-них рiвнянь i випадкових еволюцiй” (шифр теми МД - 23 Б, номер державної реєстрацiї 0100U001411).

Мета і задачі дослідження. Мета дослідження – поширити основні резуль-тати класичної теорії відновлення на клас рівнянь багатовимірного відновлення у схемі серій, побудованих за сім’єю залежних від малого параметра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір.

Об’єктом дослідження у дисертаційній роботі є рівняння багатовимірного відновлення у схемі серій, побудоване за сім’єю залежних від малого параметра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір.

Предметом дослідження є перехідні явища – явища, які виникають в асимптотиці розв’язку такого рівняння, коли разом зі зростанням часового аргумента параметр серії прямує до нуля.

Методи дослідження: у дисертації використано аналітичний апарат теорії відновлення, результати і методи функціонального аналізу та теорії матриць.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше досліджено перехідні явища для рівняння багатовимірного відновлення у схемi серiй, побудо-ваного за сім’єю залежних від малого параметра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір.

Доведено iснування масштабу часу, в якому асимптотика матричнозначної функцiї вiдновлення та розв’язку такого рiвняння є нетривiальними.

Доведено нові теореми типу теореми Блекуела, елементарної та вузлової теорем віднов-лення про асимптотику приросту матричнозначної функцiї вiднов-лення на iнтервалi скiнченної довжини, її поведiнку на нескiнченностi та граничну поведінку розв’язку такого рівняння.

Встановлено асимптотику нормуючого множника, що визначає вище згаданий масштаб часу, у припущені, що для дограничної матриці повних мас мір має місце асимптотичний розклад за деякою шкалою нескінченно малих величин.

Для напівмарковського процесу, що допускає асимптотичне укрупнення мно-жи-ни станiв, знайдено масштаб часу, в якому iснують нетривіальні границі перехід-них ймовірностей, без припущення, що характер залежностi вкладеного у напiвмар-ковський процес ланцюга Маркова вiд параметра серiї задано аналітично.

Методом безпосереднього аналітичного аналізу багатовимірного рівняння від-нов-лення доведено теорему усереднення в схемі асимптотичного фазового укруп-нення для напів-мар-ков-ської еволюції та теорему усереднення для випадкової ево-люції, заданої рiвнянням переносу на регенеруючому процесi.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоре-тичний характер і є певним внеском у побудову загальної теорії відновлення. Їх можна вико-ристати для доведення граничних та ергодичних теорем для розподілів процесів з марковським втручанням випадку та функціоналів від них. Результати можуть також стати корисними при асимптотичному аналізі cкладних систем, що функціонують у випадковому середовищі, та в теорії систем масового обслуговування.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації отримано автором самостійно. У сумісних роботах [1, 2] науковому керівникові Я.І. Єлейку належить постановка задачі та загальне керівництво роботою.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались і обговорювались на:

·

·

·

·

·

·

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 7 роботах. З них 5 – у наукових фахових журналах, що входять до переліку № ВАК України, 2 – у тезах конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Повний обсяг дисертаційної роботи становить 114 сторінок. Список використаних джерел займає 3 сторінки і включає 35 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

У першому розділі аналізується стан проблеми на даний час. Викладено огляд резуль-татів, споріднених з проблематикою даної роботи, які отримано іншими авторами, а також коротко сформульовано нові наукові положення, що виносяться на захист.

Другий розділ присвячено дослідженню перехідних явищ, які виникають в асимптотиці матричнозначної функції відновлення та розв’язку рівняння багатови-мірного відновлення у схемі серій

X (t)= A (t)+ F (du) X (t-u), t0 (1)

побудованого за сім’єю залежних від малого параметра ? заданих невід’ємних матрично-знач-них функцій A(t) та сім’єю невід’ємних матричнозначних мір F(dt). Основні припущення щодо останньої є наступними:

1)

2)

3)

4)

5)

Ключовим результатом другого розділу є аналог теореми Блекуела про асимптотику при

0,--t приросту матричнозначної функції відновлення H(t) = на інтервалі скінченної довжини.

Теорема 2.1. Якщо виконуються умови 1) – 5), то існують ненульова матри-ця С розміру r r і нормуючий множник такі, що при i Es, j Ek

,

де – лівий власний вектор матриці , що відповідає її максимальному власному значенню одиниці, .

Наступною теоремою описується асимптотика при 0 нормуючого множ-ника та задається явний вигляд елементів матриці С, існування яких стверджу-ється в теоремі 2.1 і визначених при її доведенні, у припущенні, що для дограничної матриці повних мас мір має місце асимптотичний розклад

F =F+1( ) B1 + 2( ) B2 + + n ( ) B n + o( n ( )), (2)

де B1, B2,…, Bn - матриці зі скінченними елементами, а послідовність функцій 1( ), 2( ),…, n( ) утворює шкалу нескінченно малих величин з властивістю

1( ) 0, 0

n+1 ( )= o( n ( )), n 1

Позначимо

, ,

де V – узагальнена обернена матриця до матриці [I-F].

Теорема 2.2. Нехай ms – перший номер, для якого і нехай m=min{m1, m2,…, mr}. Якщо існує таке s , що , то

i) при 12 ( )= o( m ( ))

;

ii) при 12 ( )= m ( )

;

iii) при m ( )= o( 12 ( ) )

; .

У підрозділі 2.3 доведено аналог елементарної теореми теорії відновлення про поведінку функції відновлення на нескінченності.

Теорема 2.4. Нехай виконуються умови 1) – 5). Тоді при i Es , j Ek

,

де , С – ті ж нормуючий множник та матриця, що й у теоремі 2.1.

За допомогою наведених вище результатів у підрозділі 2.4 доведено аналог вузлової тереми теорії відновлення про асимптотику при 0,--t розв’язку рівняння (1).

Теорема 2.5. Нехай сім’я матричнозначних функцій A(t) є рівномірно безпосередньо інтегровною за Ріманом на [0,), і існують границі . Якщо виконуються умови 1) –- 5), то існують ненульова матриця С розміру r r і нормуючий множник такі, що при i Es, j Ek

,

де Dk= [ Dij, i Ek, j E ].

Асимптотику розв’язку рівняння багатовимірного відновлення знайдено також для ви-пад-ку, коли перронів корінь кожної з нерозкладних матриць Fs вздовж діагоналі матриці F рівний оди-ниці, а перронів корінь дограничної матриці повних мас мір F прямує при 0 до оди-ниці згори 1. Тобто ми відмовляємося від умови стохастичності граничної матриці пов-них мас мір та умови субстохастичності дограничної матриці повних мас мір. Всі інші при-пу-щення щодо сім’ї F(dt) залишаються без змін, а також ми вважаємо, що має місце асимп--то-тич-ний розклад (2). У цьому випадку асимптотика розв’язку рівняння бага-то-вимір-но-го-відновлення описується наступною теоремою.

Теорема 2.6. Нехай сім’я матричнозначних функцій A(t) є рівномірно безпосередньо інтегровною за Ріманом на [0,), існують границі і нехай для деяких s k. Тоді при i Es , j Ek

,

де - відповідні перроновому кореню правий і лівий власні вектори матриці ,

, .

Аналітичний апарат, розвинений у другому розділі, застосовується до знахо-дження гра-нич-ної поведінки випадкових процесів, що допускають асимптотичне фазове укрупнення. А саме, нехай x(t), t 0 – напівмарковський процес, який залежить від деякого малого пара-метра > 0. Вважаємо, що процес має скінченну множину станів E={1, 2,…, m} і задається напів-марковською матрицею, елементи якої визначають ймовірності

де – момент першого стрибка напівмарковського процесу.

Припустимо, що виконуються такі умови:

1) існують границі Fij (dt)= в сенсі слабкої збіжності мір;

2) вкладений в граничний процес x(t) ланцюг Маркова, перехідні ймовірності якого визна-чаються матрицею F(), є розкладний, тобто фазовий простір E можна подати у вигляді об’єд-нан-ня скінченної кількості неперетинних множин E1,…,Er таких, що pij= Fij()=0 при

i Es , j Ek , s k. Крім того, у кожному класі станів Ek граничний вкла-де-ний ланцюг Маркова є ергодичним зі стаціонарним розподілом ;

3) часи перебування у станах є рівномірно інтегровними на [0,);

4) розподіли часів перебування у станах є негратчастими.

При виконанні цих умов справедлива наступна теорема про асимптотику перехідних ймовірностей напівмарковського процесу x(t) при 0,--t .

Теорема 3.1. Існують нормуючий множник та ненульова матриця С розміру

r r такі, що при i Es, j Ek

,

де – стаціонарний розподіл граничного напівмарковського процесу.

Підрозділ 3.2 присвячено дослідженню асимптотичних властивостей випадкової еволю-ції, яка функціонує у випадковому середовищі, породженому напівмарковським процесом x(t), і задається наступним чином

Тут {x E, t 0 } – сім’я рівномірно неперервних напівгруп додатніх стисних операторів в , які визначають неперервну складову еволюції на інтервалах сталості напів-мар-ковсь-кого процесу x(t). Сім’я { , x E } лінійних стисних операторів у визна-чає стриб-ки еволюції в моменти відновлення .

Припустимо, що для кожного x E існують границі за нормою операторів

і виконуються такі умови

(3)

(4)

Теорема 3.3. Нехай виконуються умови (3), (4) та умови 1) – 4) щодо напівмарковського процесу x(t). Тоді існують ненульова матриця С розміру r r і нормуючий множник такі, що в масштабі часу t / існує нетривіальна границя умовного математичного сподівання випадкової еволюції, а саме: при i Es, j Ek

В останньому підрозділі третього розділу доведено теорему усереднення для сім’ї випадкових еволюцій, заданих рівнянням переносу на регенеруючому процесі.

Нехай Е – повний метричний сепарабельний простір, – -алгебра його боре-ле-вих підмножин. У фазовому просторі (E,) розглянемо набір x1(t), x2(t),…, xd(t) регенеру-ючих процесів, кожний з яких визначений на проміжку [0, i ), . Через k=1,2,… позначимо моменти регенерації процесу xi(t), а через – незалежні копії процесу xi (t), t [0, i ) на проміжку .

Нехай – не залежний від даного набору процесів однорідний ланцюг Маркова зі скін-ченною множиною станів {1,2,…,d} і заданою перехідною ймовір-ністю за один крок . Покладемо

;

при

і розглянемо випадковий процес

при

функціонування якого відбувається наступним чином: якщо в початковий момент часу , то-на проміжку [0, i ) процес x(t) співпадає з xi (t); в момент часу i відбувається перемикання – з ймовірністю вибирається процес і процес x(t) співпадає з ним до моменту часу і т. д.

На траєкторіях процесу x(t) задамо процес переносу розв’язком задачі

= A(x(t)) T(t)

T(0)=I,

де І є одиничною матрицею, A(): E Rn– неперервна обмежена матричнозначна функція.

Припустимо, що виконуються такі умови:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

.

Наступною теоремою описується асимптотика умовного математичного споді-вання випад-ко-вої еволюції T(t).

Теорема 3.4. Нехай виконуються умови 1) – 6). Тоді існують ненульова матриця С розміру r r і нормуючий множник такі, що в масштабі часу t / існує нетривіальна границя умовного математичного сподівання Mi [ T(t), (t) = j ] випадкової еволюції, а саме: при i Es, j Ek

.

У висновках сформульовано основні результати дисертаційної роботи та можливі області їх застосування.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі основні результати класичної теорії відновлення поширено на клас рівнянь багатовимірного відновлення, побудованих за сім’єю залежних від малого пара-мет-ра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір. В ній до-слід-жено перехідні явища, які виникають в асимптотиці матричнозначних функції відновлення та розв’язку вказаного типу рівняння, коли разом зі зростанням часового аргумента параметр серії прямує до нуля. Досліджено також граничну поведінку деяких випадкових процесів, що до-пускають асимптотичне фазове укрупнення.

Основними результатами є такі:

1)

2)

3)

4)

5)

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

АНОТАЦІЇ

Ніщенко І.І. Перехідні явища в теорії багатовимірного відновлення та їх застосування в дослідженні асимптотичних властивостей випадкових еволю-цій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. – Інститут математики НАН України, Київ, 2002.

У дисертаційній роботі основні результати класичної теорії відновлення по-ширено на клас рівнянь багатовимірного відновлення, побудованих за сім’єю за-леж-них від малого пара-метра матричнозначних мір з блочно-розкладною гранич-ною матрицею повних мас мір. У ній досліджено перехідні явища, які виникають в асим-п-тотиці матричнозначних функції віднов-лення та розв’язку вказаного типу рівняння, коли разом зі зростанням часового аргумента параметр серії прямує до нуля.

Досліджено асимптотичні властивості перехідних ймовірностей розкладного напівмар-ковського процесу у схемі серій, а також доведено теореми усереднення в схемі асимптотичноо фазового укрупнення для напівмарковської випадкової еволю-ції та теорему усереднення для випадкової еволюції, заданої рівнянням переносу на регенеруючому процесі.

Ключові слова: рівняння відновлення, функція відновлення, перетворення Лапласа, напівмарковський процес, регенеруючий процес, напівгрупа операторів, напівмарковська випадкова еволюція.

Nishchenko I.I. Transition phenomena of many-dimensional renewal theory and it applito the investigation of the asymptotic properties of random evolutions. A manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the specialty 01.01.05 – Probability Theory and Mathematical Statistics. – Institute of Mathematics of the Ukrainian National Academy of Sciences, Kyiv, 2002.

Main results of the classical renewal theory is generalized to the class of many-dimensional renewal equations in the scheme of series built upon the family of depending upon a small parameter matrix-valued measures with the block-diagonal full measure matrix. Transition phenomena that appear in asymptotic of matrix-valued renewal function and solution of the renewal equation of mentioned above kind are investigated as the time argument tends to infinity and the series parameter tends to zero.

Asymptotic properties of the transition probability of reducible semi-Markov process in the scheme of series are investigated, as well as the theorem of averaging in a scheme of asymptotic phase marging for semi-Markov evolution and theorem of averaging for random evolution given by the transport equation on the regenerative process are proved.

Key words: renewal equation, renewal function, Laplase transformation, semi-Markov process, regenerative process, semigroup of operators, random evolution,

Нищенко И.И. Переходные явления в теории многомерного восстанов-ления и их применения в исследовании асимптотических свойств случайных эволюций. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 – теория вероятностей и математическая статис-тика.– Институт математики НАН Украины, Киев, 2002.

В диссертации основные результаты классической теории восстановления обобщены на класс уравнений многомерного восстановления в схеме серий, построенных по семейству зависящих от малого параметра матричнозначных мер с блочно-разложимой предельной матрицей полных масс мер. В ней исследуются переходные явления, возникающие в асимптотике матричнозначных функций восста-новления и решения уравнения восстановления указанного типа, когда вместе с возрастанием временного аргумента параметр серии стремится к нулю. Изучено также граничное поведение некоторых случайных процессов, допускающих асимптотическое фазовое укрупнение.

Первый раздел имеет вспомогательный характер. В нем приведен обзор литературы и основных результатов работы.

Ключевым результатом второго раздела является аналог теоремы Блэкуэлла для уравнения восстановления в схеме серий, построенного по семейству зависящих от малого параметра матричнозначных мер с блочно-разложимой предельной матрицей полных масс мер. Доказано существование такого нормирующего множителя , что в масштабе времени t / существует нетривиальный предел приращения матричнозначной функ-ции вос-ста-новления на интервале конечной длины .

Доказаны также теоремы типа элементарной и узловой теорем восстановления о поведении матричнозначной функ-ции восстановления на бесконечности и предельного поведения решения разложимого уравнения многомерного восста-новления при 0,-- t .

В предположении, что для допредельной матрицы полных масс мер имеет место асимптотическое разложение по некоторой шкале бесконечно малых величин, найдена асимпто-тика при 0 --вышеупомянутого нормирующего множителя .

Аналитический аппарат, развитый во втором разделе, применяется к иссле-дованию асимптотического поведения случайных процессов, допускающих асимп-то-тическое фазовое укрупнение. Без предположения об аналитической зави-симости вложенной в полумарков-ский процесс цепи Маркова от параметра серии доказано существование масштаба времени, в кото-ром асимп-тотика переходных вероят-ностей разложимого полумарковского процесса в схеме серий нетривиальна. Мето-дом непосредственного аналитического анализа уравнения мно-гомер-ного восста-новления доказана теорема усреднения в схеме асимптотического фазового укруп-нения для полумарковской случайной эволюции, а также теорема усреднения для случайной эволюции, заданной уравнением переноса на регенерирующем процессе.

Ключевые слова: уравнение восстановления, функция восстановления, пре-об-разование Лапласа, полумарковский процесс, регенерирующий процесс, полу-группа операторов, полумар-ковская случайная эволюция.