ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ і м. В.Н.КАРАЗІНА

ОЛЕФІР Олена Іванівна

УДК. 517.5

ІНТЕГРАЛЬНІ ОЦІНКИ НОРМ РЕЗОЛЬВЕНТ ТА БЕЗУМОВНІ БАЗИСИ, ЩО ПОРОДЖУЮТЬСЯ СИСТЕМОЮ ВАГ МАКЕНХАУПТА

01.01.01 – математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Південноукраїнському державному педагогічному

університеті ім. К.Д.Ушинського (м.Одеса)

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Губреєв Геннадій Михайлович,

завідувaч кафедри математичного аналізу.

Південноукраїнського державного педагогічного університету

ім К.Д.Ушинського (м.Одеса),

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор,

Золотарьов Володимир Олексійович,

декан механіко-математичниго факультету

Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна;

Кандидат фізико-математичних наук, доцент,

Маламуд Марко Михайлович,

доцент кафедри математичного аналізу та теорії функцій

Донецького національного університету

Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ диференціальних

рівнянь з частинними похідними (м.Київ)

Захист відбудеться 27.12.2002 р. о 13-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К.64.051.11 Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, майдан Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитися в Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна, за адресою: 61077, м. Харків, майдан Свободи, 4.

Автореферат розісланий 25.11. 2002 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради Фардигола Л.В.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У дисертаційній роботі досліджуються базисні властивості сімей функцій у просторі вектор-функцій L2([0, a], В n) та у просторі L2 [0, a], які за допомогою канонічної процедури будуються по заданій системі А2 – ваг Макенхаупта w(1 Ј k Ј n ) на дійсній вісі С (див. формули (14),(15)). Відзначимо, що елементи сімей , що розглядаються, збігаються з власними векторами п – вимірних збурень вольтерового оператора інтегрування у відповідних просторах. В основі розв'язання задач, що розглядаються у дисертації, лежить метод інтегральних оцінок норм резольвент скінченновимірних збурень вольтерових операторів.

У найпростішому випадку п = 1, w(х) є 1, х О С, досліджувані сім'ї функцій збігаються з системами експонент , задача про безумовну базисність яких в просторі L2 (0, a) була поставлена Н.Вінером та Р.Пелі. Ця задача була розв'язана Б.С.Павловим за допомогою методу, що в подальшому було названо методом проектування. У циклі робіт М.М.Джрбашяна та його співробітників, переважно класичними методами, вивчалися базисні властивості сімей функцій типу Міттаг-Леффлера. Згодом з'ясувалось, що цими авторами фактично досліджувались системи власних функцій спеціальних 1-вимірних збурень найпростішого вольтерового оператора інтегрування в L2 (0, a). У роботах Г.М.Губреєва запропоновано метод інтегральних оцінок норм резольвент, який узагальнює метод проектування і дозволяє досліджувати спектральні властивості довільних 1-вимірних збурень загальних класів дисипативних вольтерових операторів, що діють у абстрактних гільбертових просторах. У дисертації цей метод поширюється на скінченновимірні збурення оператора інтегрування, що є актуальним для спектральної теорії несамоспряжених операторів. Відзначимо, що скінченновимірні збурення інтегральних вольтерових операторів вивчалися в роботах Г.М.Губреєва, М.М.Маламуда, А.А.Шкалікова, А.П.Хромова та інших.

В окремому випадку w(х) є 1, 1 Ј k Ј n , досліджувані сім'ї виду (14) збігаються з системами векторних експонент

, О Вп , lр О В

у просторах L2([0, a], В n). У роботах Б.С.Павлова, С.А.Авдоніна, С.А.Іванова були одержані ознаки безумовної базисності систем векторних експонент. У циклі робіт С.А.Авдоніна та С.А.Іванова показано, що ряд задач теорії керування системами з розподіленими параметрами ( керування системою струн, багатоканальними акустичними системами, керування коливаннями мембрани тощо.) приводять до необхідності вивчення базисних властивостей сімей векторних експонент. Наприклад, можливість заспокоїти коливання неоднорідної струни за допомогою керування, що діє на її кінці, за довільний час, більший за акустичну довжину струни є простим наслідком того, що спеціальна система двохкомпонентних векторних експонент утворює безумовний базис своєї замкнутої оболонки у просторі L2([0, a], В 2). Цими прикладними задачами пояснюється наш інтерес до загальних систем вектор-функцій виду (14).

У другому окремому випадку

w(х) є , 1/2 < ak < 3/2, k = 1, 2, …, n

функції системи (15) збігаються з лінійними комбінаціями функцій типу Міттаг-Леффлера. Задача про безумовну базисність таких систем функцій у просторі L2 (0, a) неодноразово, починаючи з 1961 року, ставилась М.М.Джрбашяном. З'ясувалось, що повний розв'язок задачі М.М.Джрбашяна тісно пов'язаний з прогресом в області спектральної теорії несамоспряжених операторів у гільбертових просторах. У роботі наведено розв'язок цієї задачі у рамках загальної побудови всієї дисертації.

І, нарешті, одержані в дисертації інтегральні оцінки норм резольвент знаходять своє застосування не тільки в задачах про безумовну базисність сімей власних векторів несамоспряжених операторів. У роботі наведені застосування таких оцінок (матричної умови Макенхаупта) до теорії однопараметричних півгруп операторів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень дисертації передбачений тематичним планом наукової роботи Південноукраїнського державного педагогічного університету за темою : “

Дослідження лінійних операторів та лінійних стаціонарних систем у гільбертових просторах та пов'язаних з ними проблем теорії функцій, математичної фізики та теорії керування” № 0101V000273

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є:

1. Одержання інтегральних оцінок норм резольвент скінченновимірних збурень оператора інтегрування у просторах L2([0, a], В n) та L2 (0, a).

2. Доведення теорем про повноту систем власних функцій скінченновимірних збурень оператора інтегрування у відповідних просторах.

3. Доведення теорем про безумовну базисність сімей функцій, що породжуються системою п А2 – ваг Макенхаупта. Розв'язання задачі М.М.Джрбашяна про безумовну базисність лінійних комбінацій функцій типу Міттаг-Леффлера у просторі L2 (0, a).

4. Пошук застосування інтегральних оцінок норм резольвент до інших задач спектрального аналізу скінченновимірних збурень операторів інтегрування

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше одержані інтегральні оцінки норм резольвент, що формулюються у термінах матричних А2 – ваг Макенхаупта.

2. Вперше одержані теореми про повноту систем власних векторів скінченновимірних збурень оператора інтегрування, що формулюються у термінах матричних ваг Макенхаупта.

3. Вперше доведені теореми про безумовні базиси сімей функцій, що породжуються системою А2 – ваг Макенхаупта. Вперше сформульовано умови, за яких лінійні комбінації функцій типу Міттаг-Леффлера утворюють безумовні базиси простору L2 (0, a).

4. Вперше знайдено застосування матричних А2 – ваг Макенхаупта до теорії лінійних диференціальних рівнянь.

5. При дослідженні п – вимірних збурень вольтерових операторів були виявлені принципово нові ефекти. З'ясувалося, що із подібності п- вимірного (п > 1) збурення вольтерового оператора нормальному оператору не випливає, що його спектр задовольняє умову Карлесона, а оператор, що збурюється, не повинен бути одноклітинним. Разом з цим, для довільного 1- вимірного збурення широкого класу вольтерових операторів ці обидві умови є необхідними для подібності нормальному оператору.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер, а її методи знаходять застосування в загальній спектральній теорії несамоспряжених операторів у гільбертовому просторі, в теорії лінійних диференціальних рівнянь зі зсувом аргументу і, можливо, в деяких задачах теорії керування системами з розподіленими параметрами.

Особистий внесок здобувача. Всі результати роботи одержано автором самостійно. Науковому керівнику Г.М.Губреєву належать постановки задач, ідеї доведення теорем 1.1, 2.1 та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи неодноразово доповідались на Одеському міському семінарі зі спектральної теорії операторів та теорії функцій (кер. Д.З.Аров), на І Українському математичному конгресі (м.Київ, 2001 р.), на семінарі з теорії несамоспряжених операторів Харківського національного університету (кер. В.О. Золотарьов), на семінарі відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними Інституту математики НАН України (кер. М.Л.Горбачук).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 4 роботах (2 роботи - у виданнях, що включені в перелік ВАК України, 1 робота – в одному з провідних російських фахових видань та 1 робота – тези доповідей).

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації – 143 сторінки. Список використаних джерел займає 5 сторінок і включає 53 найменування.

Основний зміст роботи. Усі теореми автореферату наводяться під тими номерами, які вони мають у тексті дисертації.

У підрозділі 1.1 зібрані всі факти про w – квазіекспоненти, які використовуються протягом усієї дисертації. Нехай w2 - довільна А2 – вага Макенхаупта на С. Вазі w2 відповідає єдина з точністю до унімодулярного постійного множника така зовнішня в області Im z < 0 функція w- , що

w2(x) |w_(x – i0)|2, x О С. (1)

Нехай тепер на С задана довільна система А2 – ваг Макенхаупта

w, 1 Ј k Ј n (4)

Розділ І присвячений з'ясуванню умов, за яких фредгольмові резольвенти довільних операторів К виду (5), (6) задовольняють інтегральним оцінкам

, (7)

С +bi

для будь-якого вектора h із відповідного простору. Тут і далі для bО С ми використовуємо таке позначення:

С + bi : = { x +bi, x О С }

Для ефективного застосування сформульованих теорем необхідно мати прості достатні умови, за яких матричні ваги Wb , Vb задовольняють умові (А). Сформулюємо тут відповідний результат, який стосується, наприклад, ваги Vb з формулювання теореми 1.4. Позначимо через uіj(z) елементи матриці Fw (див. формули (11), (12)), а через vkj(z) - елементи оберненої матриці, тобто

, det F (z) № 0 , 1 Ј k, s Ј n.

Теорема 1.5. Нехай для деякого b < 0 та деякого і0 (1 Ј і0 Ј n)

sup < 8

x О С+bi

при всіх k (1 Ј k Ј n ). Якщо ваги | u(z)|2 (1 Ј j Ј n ) задовольняють скалярну умову (А2) на прямій С +bi , то матрична вага Vb(x) , що визначена формулами (11), (12), задовольняє умову (А).

Розділ ІІ присвячено, в основному, дослідженню спектральної структури операторів К виду (5) та (6). Тут доведено теореми про повноту та безумовну базисність сімей власних векторів таких операторів. На цих результатах грунтуються критерії безумовної базисності сімей функцій, що будуються за системою ваг Макенхаупта.

У розділі ІІ розв'язані також дві задачі про безумовну базисність сімей функцій, що породжуються системою скалярних ваг Макенхаупта w (1 Ј k Ј n). У просторі L2 ([0, a], В n ) розглянемо сім'ю вектор-функцій

Y (lk, t) := col (c), cp : = col (c), lр О L,

(14)

де - w- квазіекспонента, що побудована по вазі w.

У дисертації наведено приклад базисної в L2([0, a], В2) системи (14) (п = 2) , для якої послідовність М не задовольняє умову (С), але розпадається на дві асимптотично незалежні карлесонові серії. З позицій теорії несамоспряжених операторів це означає, що існує двовимірне збурення неодноклітинного вольтерового оператора, яке подібне нормальному оператору, але спектр якого не задовольняє умову (С). Разом з цим, у роботах Г.М.Губреєва було доведено, що для широкого класу вольтерових операторів з подібності нормальним операторам їхніх одновимірних збурень випливає одноклітинність оператора, що збурюється, а також карлесоновість спектра самого збурення.

Розв'язок цієї задачі грунтується на попередньому дослідженні скінченновимірних збурень К виду (6). Дамо визначення матриці-функції F(z), що породжує системи функцій (15).

Тому у цьому випадку задача ІІ збігається з задачею М.М.Джрбашяна про безумовну базисність лінійних комбінацій функцій типу Міттаг-Леффлера

у просторі L2(0, а). Ми одержимо розв'язок цієї задачі, якщо в теорему 2.5 підставимо наведені вище формули для w .

У дисертації розглядається приклад, що ілюструє теорему 2.5 у випадку степеневих ваг Макенхаупта. Тим самим вперше доведено, що в просторах L2 (0, а) існують безумовні базиси із лінійних комбінацій функцій Міттаг-Леффлера.

Розділ ІІІ присвячено застосуванню теорем про інтегральні оцінки норм резольвент операторів К виду (5), (6) до теорії однопараметричних напівгруп операторів.

Розглянемо у просторі L2([0, a], Вn) довільний оператор К виду (5) і припустимо, що Ker K* = {0}. Для таких операторів завжди Ker K = {0} і тому коректно визначено щільнозаданий у цьому просторі оператор

А := К -1 . (16)

Необхідно з'ясувати умови, за яких напівгрупа операторів U(t) = exp {iAt}, t і 0 належить до класу С0 . Усі позначення, що зустрічаються нижче, мають той самий сенс, що і в теоремі 1.1. Крім цього ми будемо припускати наявність рівностей

hД= 0 , hД= па, := det F(z), (17)

а також простоту спектра оператора А (рівняння = 0 має тільки прості корені).

Теорема 3.1. Нехай А – довільний оператор виду (16) з простим спектром та виконана умова (17). Півгрупа U(t) = exp {iAt} , t і 0, належить до класу С0 тоді і тільки тоді, коли

1) ; 2) при деякому b < min {0, w0} матрична вага Wb(x) задовольняє умову ().

Таким чином, цією теоремою дається операторне трактування перших двох умов теореми 2.3.

Аналогічну теорему одержано і для того випадку, коли оператор А задається рівністю (16), де оператор К діє згідно з формулою (6). Відповідний результат грунтується на теоремі 1.4.

Теорема 3.3. Нехай

hД = 0 , hД = пa

і рівняння (20) має тільки прості корені. Тоді задача (18)-(19) поставлена коректно у тому і тільки у тому випадку, коли виконуються умови:

1) w 0 := > -; 2) при деякому b < min {0, w 0 } вага Wb задовольняє матричну умову Макенхаупта на С.

Якщо умови цієї теореми виконуються, то єдиний розв'язок задачі (18), (19) дається формулою:

u(t) = , t і 0,

С +bi

xk(и0 , z) = ,

де через Ykj(z) позначені елементи оберненої матриці F-1(z).

Висновки.

1. У дисертації одержані інтегральні оцінки норм резольвент скінченновимірних збурень операторів інтегрування у просторах L2 ([0, a], В n ) та L2(0, а), що формулюється у термінах матричних ваг Макенхаупта.

2. Доведені теореми про повноту системи власних функцій скінченновимірних збурень операторів інтегрування.

3. Розв'язано задачі про безумовну базисність сімей функцій, які за допомогою канонічної процедури будуються по системі скалярних А2- ваг Макенхаупта. Наведені ознаки безумовної базисності систем лінійних комбінацій функцій типу Міттаг-Леффлера у просторі L2(0, а).

4. Знайдено застосування матричної умови Макенхаупта до теорії однопараметричних півгруп операторів, до дослідження систем інтегро-диференціальних рівнянь зі зсувом аргументу.

Публікації автора за темою дисертації

1. Губреев Г.М., Олефир Е.И. Безусловная базисность некоторых семейств функций, матричное условие Макенхаупта и серии Карлесона в спектре.- Записки научных семинаров С.-Петербургского отделения МИ РАН .- 1999.- Т. 262. – С. 90 - 126.

2. Губреев Г.М., Олефир Е.И. Безусловная базисность линейных комбинаций функций Миттаг-Леффлера и матричное условие Макенхаупта.// –Доклады НАН Украины, сер. “Матем”. – 2000. - № 9 – С. 18 – 22.

3. Олефир Е.И. Равномерная корректность одной задачи Коши и матричное условие Макенхаупта. // Весник Харьковского национального университета. – 2001. – Т. 514. – С. 99 – 105.

4. Olefir E.I. Uncondifional bases of family of vector exponentials, Тези доповідей, Український математичний конгрес. – 2001. – С. 72.

Анотація

Олефір О.І. Інтегральні оцінки норм резольвент та безумовні базиси, що породжуються системою ваг Макенхаупта. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна, м. Харків, 2002 р.

У дисертації вивчаються базисні властивості сімей функцій у просторі L2 ([0, a], В n ) та у просторі L2(0, а), які за допомогою канонічної процедури будуються за заданою системою А2 - ваг Макенхаупта w, 1 Ј k Ј n. Досліджувані в роботі сім'ї функцій збігаються з системами власних функцій спеціальних п- вимірних збурень оператора інтегрування у відповідних просторах. Розв'язання задач, що розглядаються в дисертації грунтується на інтегральних оцінках норм резольвент скінченновимірних збурень оператора інтегрування. Ці оцінки вперше одержані в даній роботі і формулюються в термінах матричних А2- ваг Макенхаупта.

Доведено низку теорем про безумовні базиси просторів L2 ([0, a], В n ) та L2(0, а), складених із функцій, що породжуються системою ваг Макенхаупта. В окремому випадку степеневих ваг йдеться про безумовні базиси із лінійних комбінацій функцій типу Міттаг-Леффлера простору L2(0, а) (задача М.М.Джрбашяна). Знайдено застосування матричних ваг Макенхаупта до теорії однопараметричних півгруп операторів.

Ключові слова: скінченновимірні збурення вольтерових операторів, оцінки норм резольвент, ваги Макенхаупта, безумовні базиси, серії Карлесона, класи Харді, півгрупи операторів класу С0 .

Abstract

Olefir E.I. Integral estimates of norms of resolvents and unconditional bases generated by system of Muckenhoupt weights. - Manuscript. Thesis for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.01 – mathematical analysis. Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2002.

In the thesis in space L2 ([0, a], В n ) and in the space L2(0, а) we investigate the basis properties of function families constructed according to given system of A2 – Muckenhoupt weights with the help of the canonical procedure. The function families investigated in the paper coincide with eigenfunction families of special n- dimensional perturbations of integral operator in the corresponding spaces. Solutions of the problems considered in the thesis are based on integral estimates of the resolvent norm of finite-dimensional perturbations of an integral operator. These estimates are obtained in this paper for the first time and they are formulated in the terms of A2 – Muckenhoupt matrix weights.

A series of theorems on unconditional bases in the space L2 ([0, a], В n ) and L2(0, а) is proved. These bases consist of functions generated by system of Muckenhoupt weights. In particular case of power weights we deal with unconditionale bases of linear combinations of the Mittag-Leffler type functions in the space L2(0, а) (M.M.Dzhrbashyan problem). An application of Muckenhoupt matrix weights to the theory of oneparameter operator semigroups is found.

Key words: finite-dimensional perturbations of Volterra operators, estimates of resolvent norm, Muckenhoupt weights, unconditional bases, Carleson series, Hardy class, operator semigroups of class C0.

Аннотация

Олефир Е.И. Интегральные оценки норм резольвент и безусловные базисы, порождаемые системой весов Макенхаупта. – Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. Харьковский национальный университет им. В.Н.Каразина, г. Харьков, 2002 год.

В диссертации изучаются базисные свойства семейств функций

Y (lp, t) := col (c), cp := col (c), lр О L, в пространстве L2 ([0, a], В n ) и семейств

YS (lp, t) := c , cp := col (c) lp О L,

в пространстве L2 (0, a), которые с помощью канонической процедуры строятся по заданной системе А2- весов Макенхаупта w, 1 Ј k Ј n. Исследуемые в работе семейства функций совпадают с системами собственных векторов специальных п– мерных возмущений K оператора интегрирования

Kh = Jh + ,

в первом случае и

Kh = Ja h + ,

во втором случае. Здесь J , Ja - операторы интегрирования в соответствующих пространствах, а системы векторов , , 1 Ј k Ј n строятся по заданным весам w.

Решение задач, которые рассматриваются в диссертации, опирается на интегральные оценки норм резольвент конечномерных возмущений оператора интегрирования. Эти оценки впервые получены в данной работе и формулируются в терминах матричных А 2 - весов Макенхаупта.

В диссертации показана равносильность интегральных оценок норм резольвент вида

,

С +bi

либо двухвесовым оценкам для преобразования Гильберта в L2 -пространстве вектор-функций либо эквивалентность этих оценок матричному условию Макенхаупта. В работе приведены достаточные условия наличия таких интегральных оценок в пространстве L2(0, a). Сформулированы простые достаточные условия, при которых возникающие в формулировках теорем матричные веса удовлетворяют матричному условию Макенхаупта.

Доказан ряд теорем о полноте и безусловной базисности семейств собственных векторов возмущений оператора интегрирования в соответствующих пространствах. На этих результатах основываются критерии безусловной базисности семейств функций, построенных по системе весов Макенхаупта. Интегральные оценки норм резольвент позволяют свести задачу о безусловной базисности семейств {Y(lp, t) : lp О L} , {YS (lp, t) : lp О L} к исследованию базисных свойств систем рациональных дробей в векторнозначных классах Харди с последующим применением результатов Н.К.Никольского- Б.С.Павлова о сериях Карлесона.

При исследовании п-мерных возмущений K вольтерровых операторов был и выявлены принципиально новые эффекты. Выяснилось, что из подобия п-мерного (п > 1) возмущения вольтеррового оператора нормальному оператору не вытекает, что его спектр удовлетворяет условию Карлесона, а вольтерров оператор не обязан быть одноклеточным. Вместе с тем, для произвольного одномерного возмущения широкого класса вольтерровых операторов эти оба условия являются необходимыми для подобия нормальному оператору.

Полученные в диссертации интегральные оценки норм резольвент находят своё применение не только в задачах о безусловной базисности семейств собственных векторов несамосопряженных операторов. В работе приведены также приложения таких оценок (матричного условия Макенхаупта) к теории однопараметрических полугрупп операторов. В частности, в диссертаци сформулированы условия, при которых полугруппы операторов

U(t) : exp {iK-1 t}, t і 0,

принадлежат классу С0 .

Ключевые слова: конечномерные возмущения вольтерровых операторов, оценки норм резольвент, веса Макенхаупта, безусловные базисы, серии Карлесона, классы Харди, полугруппы операторов класса С0 .