НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ОХРІМЕНКО Сергій Антонович

УДК 517.53

КОНФОРМНІ МОДУЛІ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНІ МЕТРИКИ

У НЕОРІЄНТОВНИХ РІМАНОВИХ МНОГОВИДАХ

01.01. 01. – математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник

· доктор фізико-математичних наук, професор

ТАМРАЗОВ Промарз Мелікович,

Інститут математики НАН України,

зав. відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу.

Офіційні опоненти:

· доктор фізико-математичних наук, професор

ШЕВЧУК Ігор Олександрович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

зав. кафедри математичного аналізу;

· кандидат фізико-математичних наук, доцент

ГЕРУС Олег Федорович,

Житомирський державний педагогічний університет МОН України,

зав. кафедри математичного аналізу.

Провідна установа

· Львівський національний університет імені Івана Франка МОН України.

Захист відбудеться “18“ лютого 2003 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою:

01601, м. Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий “ 03 “ січня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук Романюк А. С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Конформні модулі та екстремальні метрики сімей кривих у областях евклідових просторів та ріманових многовидів є одними з найважливіших об'єктів та засобів досліджень у багатьох розділах сучасної математики, зокрема, у теорії аналітичних функцій, у комплексному аналізі, у геометричній теорії функцій, у теорії конформних та квазіконформних відображень, у теорії потенціалу (особливо нелінійній), у конструктивній теорії функцій, у теорії однолистих та багатолистих функцій, у теорії ріманових поверхонь, у диференціальній геометрії та топології.

Дисертація присвячена дуже важкій проблематиці – знаходженню екстремальних метрик та конформних модулів сімей кривих, що лежать у неорієнтовних ріманових многовидах.

Цей напрям був започаткований роботою 1952 року американського математика П. П'ю (Pu P. Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds // Pasif. J. Math. – 1952. – Vol. 2, № 1. – P. 55 – 71) та роботою 1960 року швейцарського математика К. Блаттера (Blatter C. Zur Riemannschenn Geometrie im Grossen auf dem Mobiusband // Compos. Math. – 1960. – Vol. 15, № 1. – S. 88 – 107). Усі подальші результати у цьому напрямі отримані П. М. Тамразовим та його учнями.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. У даній роботі вибраний напрям досліджень зв'язаний з науковими програмами, планами і темами Інституту математики НАН України. Тема досліджень “Проблеми і методи комплексного аналізу та теорії потенціалу” №0198U003050.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження проблеми конформного модуля сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, сімей “складених” кривих, що лежать у багатозв'язних областях на цьому рімановому многовиді, сімей кривих, що лежать на неорієнтовних n-вимірних ріманових многовидах. Об'єктом дослідження є ріманів листок Мьобіуса, багатозв'язні області на ньому та неорієнтовні n-вимірні ріманові многовиди. Предметом дослідження є проблема конформного модуля сімей кривих, що лежать у цих ріманових многовидах. При отриманні основних результатів дисертаційної роботи використовуються методи класичного аналізу, методи теорії функцій та конформних відображень, варіаційні методи.

Наукова новизна отриманих результатів. Всі результати дисертації є новими. У роботі отримано наступні результати.

· Розв'язано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів “поперечних” сімей дуг, що лежать на рімановому листку Мьобіуса.

· Досліджено парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, та вивчено їх поведінку в залежності від геометрії цього ріманового многовиду. Знайдено також оцінки для цих добутків, у тому числі універсальні оцінки, вид яких не залежить від геометрії ріманового листка Мьобіуса. Також отримано непокращувану нижню оцінку парного добутку конформних модулів “спряжених” сімей кривих через абсолютну константу, яка не залежить від геометрії цього ріманового многовиду.

· Розв'язано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів деяких гомотопічних сімей “складених” кривих, що лежать у багатозв'язних областях на рімановому листку Мьобіуса.

· Розв'язано задачу про обчислення екстремальної метрики та конформного модуля “поперечної” сім'ї дуг, що лежать у багатозв'язних областях на рімановому листку Мьобіуса.

· Досліджено парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей “складених” кривих, що лежать у багатозв'язних областях на рімановому листку Мьобіуса, та вивчено їх поведінку в залежності від геометрії цих ріманових областей. Знайдено також оцінки для цих добутків, у тому числі універсальні оцінки, вид яких не залежить від геометрії багатозв'язних областей на рімановому листку Мьобіуса. Також отримано непокращувану нижню оцінку парного добутку конформних модулів “спряжених” сімей “складених” кривих через абсолютну константу, яка не залежить від геометрії цих ріманових областей.

· Розв'язано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів деяких сімей замкнених, гомотопічно нетривіальних кривих, що лежать на неорієнтовних n-вимірних ріманових многовидах.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Результати роботи мають теоретичний характер. Одержані результати можна використати для подальшого розвитку геометричної теорії функцій.

Особистий внесок здобувача. Визначення напряму дослідження, а також постановка задач належать науковому керівнику – професору П. М. Тамразову. У сумісній роботі [1] П. М. Тамразова та дисертанта теорема про екстремальні метрики та конформні модулі “поперечних” сімей дуг, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, належить особисто дисертанту (цей результат наведено у розділі 2, підрозділі 2.2); теореми про парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, отримані дисертантом сумісно з П. М. Тамразовим, причому внесок обох співавторів однаковий (ці результати наведені у розділі 2, підрозділі 2.3). Усі інші результати належать особисто дисертанту.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались:

· на багатьох засіданнях семінару відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу Інституту математики НАН України (керівник семінару – доктор фізико-математичних наук, професор П. М. Тамразов),

· на об'єднаному семінарі з теорії функцій Інституту математики НАН України (керівники семінару: академік НАН України М. П. Корнєйчук, член кореспондент НАН України О. І. Степанець, професор П. М. Тамразов),

· на Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (Львівський національний університет, керівник семінару – доктор фізико-математичних наук, професор А. А. Кондратюк),

· на міжнародній конференції з теорії наближення функцій та її застосувань, присвяченій пам'яті В. К. Дзядика (Україна, м. Київ, 26 – 31 травня 1999 р.),

· на установчій конференції “New Trends in Complex Analysis and Potential Theory” у рамках INTAS-програми (Україна, м. Львів, 6 – 9 жовтня 2000 р.),

· на міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю з дня народження М. О. Лаврентьєва (Україна, м. Київ, 31 жовтня – 3 листопада 2000 р.),

· на міжнародній конференції з комплексного аналізу та теорії потенціалу (Україна, м. Київ, 7 – 12 серпня 2001 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у фахових виданнях [1 – 3], у збірнику наукових праць міжнародної конференції [4] та у тезах міжнародних конференцій [5 – 7].

Структура і загальний обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, основної частини, що складається з трьох розділів, загальних висновків та списку цитованої літератури, що містить 38 першоджерел. Загальний обсяг дисертації – 114 сторінок машинописного тексту, обсяг основної частини – 110 сторінки машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Дана робота присвячена проблемі знаходження екстремальних метрик та конформних модулів деяких сімей кривих, що лежать у неорієнтовних ріманових многовидах.

Перший розділ дисертації присвячений огляду літератури за темою роботи.

Нехай . У комплексній площині розглянемо множину

.

Ототожнимо кожну точку з відповідною точкою і у склеєній множині введемо природну структуру гладкого топологічного многовиду. Отриманий многовид з лінійним елементом довжини є неорієнтовним рімановим многовидом. Позначимо його через P (з топологічної точки зору це листок Мьобіуса). З теоретико-множинної (але не з топологічної) точки зору у подальшому будемо ототожнювати з P.

Нехай – замкнена жорданова крива в P, що задається рівнянням .

Введемо наступні сім'ї кривих: – сім'я усіх локально спрямлюваних, замкнених, гомотопічно нетривіальних кривих ; – сім'я усіх , які гомотопні на P. Для натурального k через позначимо k-тий степінь кривої . Тепер через позначимо сім'ю усіх замкнених кривих , які гомотопні . Легко бачити, що , . Позначимо для довільних натуральних s і m.

Екстремальні метрики та конформні модулі вищезазначених сімей кривих обчислив П. М. Тамразов.

Нехай задано компакт такий, що множина є неорієнтовною багатозв'язною областю на P.

Розглянемо дволисту покривну многовиду P, що має вигляд

з фундаментальною областю , проектуванням і групою зсувів , твірна якої є антиконформним гомеоморфізмом , і .

Нехай - повний прообраз E у проектуванні . Очевидно, що - компакт у . Покладемо . Легко бачити, що є багатозв'язною орієнтовною областю на .

Далі за допомогою відображення відобразимо на кільце

З того, що - компакт у випливає, що і - компакт у K.

Позначимо , .

Область G інваріантна відносно перетворення і виконується співвідношення .

Нехай .

Позначимо через клас усіх однолистих конформних відображень області G, для кожного з яких існує таке, що , , де .

П. М. Тамразов встановив наступну лему, що дає розв'язок задачі про максимум функціоналу на класі .

Лема 1.1. На класі варіаційна задача про максимум функціоналу є такою, що розв'язується, та її екстремаль єдина з точністю до довільного множника c, . При цьому: представляє собою нормальну (за Х. Грьотчем) область типу “кільце з радіальними розрізами (у цьому випадку кожна неодноточкова межова компонента області , що лежить у кільці , має вигляд радіального відрізку); та виступають ізольованими межовими компонентами образу; інваріантна відносно перетворення і виконується співвідношення .

Позначимо , .

Функція конформно відображає область на нормальну (за Х. Грьотчем) область S типу “кільце з радіальними розрізами”.

Другий розділ дисертації присвячений проблемі конформного модуля сімей кривих, що лежать на неорієнтовних ріманових многовидах.

У підрозділі 2.1 наводяться основні поняття, які використовуються у дисертації.

Наведемо означення П. М. Тамразова “складеної” кривої.

Означення 2.1. Нехай – відкрита множина у деякому топологічному просторі, а s – множина, що складається із скінченного числа попарно відокремлених один від одного проміжків числової осі з кінцями .“

Складеною” кривою c у будемо називати довільне неперервне відображення . При цьому ми кажемо, що c є “складена” крива в і пишемо . Якщо множина s – відкрита, то “складену” криву c будемо називати “складеною” дугою. Через будемо позначати звуження відображення c на проміжок . Якщо і , то “складену” криву c будемо називати просто кривою. У випадку криву c будемо називати замкненою, а відрізок з ототожненими кінцями будемо розглядати як топологічне коло. Якщо і , то “складену” криву c будемо називати просто дугою. При цьому ми ототожнюємо будь-які “складені” криві і , для яких існує гомеоморфізм з умовою (у випадку замкнених кривих проміжки та розглядаються як топологічні кола).

Наведемо означення конформного модуля сім'ї “складених” кривих, що лежать у n-вимірному рімановому многовиді. При цьому ми дотримуємося концепції Б. Фугледе.

Означення 2.2. Нехай В – ріманів многовид виміру . Через позначимо клас усіх визначених в В, борелівських, невід'ємних функцій.

Для функції і довільної локально спрямлюваної “складеної” кривої введемо позначення

,

де є лінійний елемент в В.

Для довільної сім'ї C локально спрямлюваних “складених” кривих через позначимо клас усіх , для яких

Функції називаються допустимими (за Фугледе) для C метриками.

Конформним модулем (за Фугледе) сім'ї C називається величина

,

де є елемент об'єму в В.

Функція називається екстремальною (за Фугледе) для C метрикою, якщо

.

У підрозділі 2.2 розв'язано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів “поперечних” сімей дуг, що лежать на рімановому листку Мьобіуса.

Нижче на дуги накладаємо деякі комбінації наступних умов:

(A1). Для довільного компакту існує компакт такий, що .

(A2). Існує компакт такий, що: який би не був компакт , на існують точки і , для яких довільна дуга в P з початком і кінцем , яка гомотопна в P дузі , має непорожній перетин з .

(A3). Множини та не є відносно компактними в P.

(A4). Дуга має непорожній перетин із замкненою кривою .

Позначимо через сім'ю усіх дуг , що задовольняють умови (A3) та (A4), а через – сім'ю усіх жорданових дуг вигляду , що задаються умовою або , де у є параметр, що приймає довільне стале значення із проміжку [-b, b). Позначимо через сім'ю усіх дуг , що задовольняють умовам (A1), (A2).

Можна переконатися, що . Нехай тепер D є довільна сім'я локально спрямлюваних дуг , що задовольняє умови .

Справедлива наступна

Теорема 2.1. Метрика

екстремальна в P для кожної із сімей , D, , причому

.

У підрозділі 2.3 досліджено парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, причому однією компонентою пари виступає довільна сім'я замкнених, гомотопічно нетривіальних кривих, а іншою – “поперечна” сім'я дуг, та вивчено їх поведінку в залежності від геометрії цього ріманового многовиду. Знайдено також оцінки для цих добутків, у тому числі універсальні оцінки, вид яких не залежить від геометрії ріманового листка Мьобіуса. Також отримано непокращувану нижню оцінку парного добутку конформних модулів “спряжених” сімей кривих через абсолютну константу, яка не залежить від геометрії цього ріманового многовиду.

Введемо позначення .

Справедливі наступні теореми про парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей кривих, що лежать на P, у яких th позначає гіперболічний тангенс.

Теорема 2.2. За позначень

справедливі співвідношення:

і – строго спадна функція від j зі значеннями в інтервалі , причому

Теорема 2.3. За позначень

справедливі співвідношення:

і – строго спадна функція від зі значеннями в інтервалі , причому

Зокрема, , а – строго спадна функція від j зі значеннями в інтервалі , причому

Теорема 2.4. За позначень

вірне наступне. Якщо , то

Нехай тепер . Якщо , то

і – строго спадна функція від зі значеннями в інтервалі , причому

Якщо , то виконуються співвідношення:

1)

і – строго зростаюча функція від зі значеннями в інтервалі , причому

2)

і

3)

і – строго зростаюча функція від зі значеннями в інтервалі , причому

Зауваження. У теоремах 2.2 – 2.4 залежність величин від конформної (та метричної) структури P зосереджена лише у параметрі j (всі інші параметри залежать лише від числових індексів вибраних на P сімей кривих).

Для метрики введемо наступні позначення:

і для покладемо

.

Встановлені наступні результати.

Теорема 2.5. Справедливі оцінки

.

Теорема 2.6. Справедливі співвідношення

У підрозділі 2.4 розв'язано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів деяких сімей замкнених, гомотопічно нетривіальних кривих, що лежать на неорієнтовних n-вимірних ріманових многовидах.

Третій розділ дисертації присвячений проблемі конформного модуля сімей “складених” кривих, що лежать у багатозв'язних областях на рімановому листку Мьобіуса.

У підрозділі 3.1 розв'язано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів деяких гомотопічних сімей “складених” кривих, що лежать у багатозв'язних областях на рімановому листку Мьобіуса.

Позначимо

.

Очевидно, що межа множини P є однією із межових компонент множини D. Позначимо її через .

Далі для натурального k через позначимо сім'ю усіх “складених” кривих , що задовольняють наступні умови (A5) та (A6):

(A5). Існують межові компоненти області D, причому , такі, що точки в P, які є межовими для , лежать на ; при точки в P, які є межовими для , лежать на .

(A6). Для континуумів , для яких межами є відповідно , існує ізотопія , для якої при відображення задовольняють наступні умови: ; неперервно продовжується в множину і , , де – попарно різні точки, а ; відображення , що продовжене за неперервністю на множину , належить .

Нехай та для довільних натуральних s і m. Далі для натурального k позначимо . Нехай та для довільних натуральних s та m.

Справедлива наступна

Теорема 3.1. За позначень

справедливі формули:

Нехай s і m – натуральні. Тоді

,

,

,

,

В D наступні метрики екстремальні для відповідних сімей: метрика

екстремальна для і для при , метрика

екстремальна для , метрика

екстремальна для при , а для натуральних s і m метрика

екстремальна для і для при , метрика

екстремальна для і для при сукупності умов і , а метрика

екстремальна для при сукупності умов і . Екстремальна метрика та конформний модуль сім'ї не зміняться, якщо до останньої додати довільне число сімей і (або) з .

У підрозділі 3.2 розв'язано задачу про обчислення екстремальної метрики та конформного модуля “поперечної” сім'ї дуг, що лежать у багатозв'язних областях на рімановому листку Мьобіуса.

Позначимо через сім'ю усіх дуг , що задовольняють наступні умови (А7) та (А8):

(А7). Для довільного компакту існує компакт такий, що .

(А8). Дуга f має непорожній перетин з кожною кривою .

Справедлива наступна

Теорема 3.2. Метрика

екстремальна в D для сім'ї і

У підрозділі 3.3 досліджено парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей “складених” кривих, що лежать у багатозв'язних областях на рімановому листку Мьобіуса, причому однією компонентою пари виступає довільна гомотопічна сім'я “складених” кривих, а іншою – “поперечна” сім'я дуг, та вивчено їх поведінку в залежності від геометрії цих ріманових областей. Знайдено також оцінки для цих добутків, у тому числі універсальні оцінки, вид яких не залежить від геометрії багатозв'язних областей на рімановому листку Мьобіуса. Також отримано непокращувану нижню оцінку парного добутку конформних модулів “спряжених” сімей “складених” кривих через абсолютну константу, яка не залежить від геометрії цих ріманових областей.

ВИСНОВКИ

Отже, у даній дисертаційній роботі отримані наступні результати.

· Розв'язано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів “поперечних” сімей дуг, що лежать на рімановому листку Мьобіуса.

· Досліджено парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, та вивчено їх поведінку в залежності від геометрії цього ріманового многовиду. Знайдено також оцінки для цих добутків, у тому числі універсальні оцінки, вид яких не залежить від геометрії ріманового листка Мьобіуса. Також отримано непокращувану нижню оцінку парного добутку конформних модулів “спряжених” сімей кривих через абсолютну константу, яка не залежить від геометрії цього ріманового многовиду.

· Розв'язано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів деяких гомотопічних сімей “складених” кривих, що лежать у багатозв'язних областях на рімановому листку Мьобіуса.

· Розв'язано задачу про обчислення екстремальної метрики та конформного модуля “поперечної” сім'ї дуг, що лежать у багатозв'язних областях на рімановому листку Мьобіуса.

· Досліджено парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей “складених” кривих, що лежать у багатозв'язних областях на рімановому листку Мьобіуса, та вивчено їх поведінку в залежності від геометрії цих ріманових областей. Знайдено також оцінки для цих добутків, у тому числі універсальні оцінки, вид яких не залежить від геометрії багатозв'язних областей на рімановому листку Мьобіуса. Також отримано непокращувану нижню оцінку парного добутку конформних модулів “спряжених” сімей “складених” кривих через абсолютну константу, яка не залежить від геометрії цих ріманових областей.

· Розв'язано задачі про обчислення екстремальних метрик та конформних модулів деяких сімей замкнених, гомотопічно нетривіальних кривих, що лежать на неорієнтовних n-вимірних ріманових многовидах.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

Основні результати дисертації опубліковані у наступних роботах.

1. Тамразов П. М., Охрименко С. А. Парные произведения модулей семейств кривых на римановом листе Мебиуса // Укр. мат. журн. – 1999. – Т. 51, № 1. – С. 110 – 116.

2. Охрименко С. А. Модули многосвязных областей на римановом листе Мебиуса // Укр. мат. журн. – 2000. – Т. 52, № 3. – C. 354 – 358.

3. Okhrimenko S. A. Pairwise products of moduli of families of curves in multiply connected domains on a Riemannian Mobius strip // Bulletin de la Societe des Sciences et Lettres de Lodz. – 2000. – Vol. 50. – P. 31 – 38.

4. Охрименко С. А. Некоторые проблемы модулей в многосвязных областях на римановом листе Мебиуса // Теорія наближення функцій та її застосування: Зб. наук. пр. Інст. математики НАН України. – Київ. – 2000. – Вип. 31. – С. 366 – 373.

5. Охрименко С. А. Модули многосвязных областей на римановом листе Мебиуса // Тези Міжнар. конф. з теорії наближення функцій та її застосування, присвяченій пам'яті В. К. Дзядика. – Київ. – 1999. – С. 100.

6. Okhrimenko S. A. Moduli of families of composite curves in multiply connected domains on a Riemannian Mobius strip // International conference dedicated to M. A. Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary, abstracts. – Kiev. – 2000. – P. 46 – 47.

7. Okhrimenko S. A. Extremal metrics and moduli of families of curves on nonorientable three-dimensional Riemannian manifold // International conference on complex analysis and potential theory, abstracts. – Kiev. – 2001. – P. 42 – 43.

Охріменко С. А. Конформні модулі та екстремальні метрики у неорієнтовних ріманових многовидах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01. 01. 01. – математичний аналіз. – Інститут математики НАН України, Київ, 2002.

Робота присвячена проблемі знаходження екстремальних метрик та конформних модулів сімей кривих, що лежать на неорієнтовних ріманових многовидах.

У дисертації вищезазначена проблема розв'язана для сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса, для сімей “складених” кривих, що лежать у багатозв'язних областях на рімановому листку Мьобіуса та для сімей кривих, що лежать на неорієнтовних n-вимірних ріманових многовидах.

Досліджено також парні добутки конформних модулів “спряжених” сімей кривих, що лежать на рімановому листку Мьобіуса та у багатозв'язних областях на цьому рімановому многовиді, та знайдено оцінки для цих добутків.

Ключові слова: “складена” крива, екстремальна метрика та конформний модуль сім'ї “складених” кривих, ріманів листок Мьобіуса, багатозв'язні області на рімановому листку Мьобіуса, неорієнтовний n-вимірний рімановий многовид, парний добуток конформних модулів “спряжених” сімей кривих.

Охрименко С. А. Конформные модули и экстремальные метрики в неориентируемых римановых многообразиях. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 01. 01. – математический анализ. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2002.

Работа посвящена проблеме нахождения экстремальных метрик и конформных модулей семейств кривых, которые лежат на неориентируемых римановых многообразиях.

Пусть . В комплексной плоскости рассмотрим множество

.

Отождествим каждую точку с соответствующей точкой и в склеенном множестве введем естественную структуру гладкого топологического многообразия. Полученное многообразие с линейным элементом длины является неориентируемым римановым многообразием. Обозначим его через P (с топологической точки зрения это лист Мебиуса). С теоретико-множественной (но не с топологической) точки зрения в дальнейшем будем отождествлять с P.

В работе решены задачи о вычислении экстремальных метрик и конформных модулей “поперечных” семейств дуг, которые лежат в P.

В диссертации исследованы парные произведения конформных модулей “сопряженных” семейств кривых, которые лежат в P, причем одной компонентой пары выступает произвольное семейство замкнутых, гомотопически нетривиальных кривых, а другой – “поперечное” семейство дуг, и изучено их поведение в зависимости от геометрии этого риманового многообразия. Найдены также оценки для этих произведений, в том числе универсальные оценки, вид которых не зависит от геометрии риманового листа Мебиуса. Также получена неулучшаемая нижняя оценка парного произведения конформных модулей “сопряженных” семейств кривых через абсолютную константу, которая не зависит от геометрии этого риманового многообразия.

В работе решены задачи о вычислении экстремальных метрик и конформных модулей некоторых семейств “составных” кривых, которые лежат в многосвязных областях на римановом листе Мебиуса.

Пусть задан компакт такой, что множество является неориентируемой многосвязной областью в P.

В работе решены задачи о вычислении экстремальных метрик и конформных модулей некоторых гомотопических семейств “составных” кривых, которые лежат в D. Аналогичная задача решена для “поперечного” семейства дуг, которые лежат в D.

В диссертации исследованы парные произведения конформных модулей “сопряженных” семейств “составных” кривых, которые лежат в D, причем одной компонентой пары выступает произвольное гомотопическое семейство “составных” кривых, а другой – “поперечное” семейство дуг, и изучено их поведение в зависимости от геометрии этой римановой области. Найдены также оценки для этих произведений, в том числе универсальные оценки, вид которых не зависит от геометрии многосвязной области на римановом листе Мебиуса. Также получена неулучшаемая нижняя оценка парного произведения конформных модулей “сопряженных” семейств “составных” кривых через абсолютную константу, которая не зависит от геометрии этой римановой области.

В работе также решены задачи о вычислении экстремальных метрик и конформных модулей некоторых семейств замкнутых, гомотопически нетривиальных кривых, которые лежат на неориентируемых n-мерных римановых многообразиях.

Ключевые слова: “составная” кривая, экстремальная метрика и конформный модуль семейства “составных” кривых, риманов лист Мебиуса, многосвязные области на римановом листе Мебиуса, неориентируемое n-мерное риманово многообразие, парное произведение конформных модулей “сопряженных” семейств кривых.

Okhrimenko S. A. Conformal moduli and extremal metrics on nonorientable Riemannian manifolds. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01. 01. 01. – Mathematical Analysis. – Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2002.

The thesis is devoted to the problem of finding the extremal metrics and the conformal moduli of families of curves lying on nonorientable Riemannian manifolds.

The problem is solved for the families of curves lying on a Riemannian Mobius strip, for the families of “composite” curves lying in multiply connected domains on this Riemannian manifold and for the families of curves lying on nonorientable n-dimensional Riemannian manifolds.

Pairwise products of conformal moduli of “conjugate” families of curves lying on a Riemannian Mobius strip and in multiply connected domains on this Riemannian manifold are investigated and estimates for these products are obtained.

Key words: “composite” curve, extremal metric and conformal modul of family of “composite” curves, a Riemannian Mobius strip, multiply connected domains on a Riemannian Mobius strip, a nonorientable n-dimensional Riemannian manifold, pairwise product of conformal moduli of “conjugate” families of curves.