Національна Академія Наук України

Інститут теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова

УДК 530.145

Павлюк Анатолій Миколайович

УЗАГАЛЬНЕНІ АВТОДУАЛЬНІ ПОЛЯ

В N=2 СУПЕРСИМЕТРИЧНІЙ

ТЕОРІЇ ЯНГА-МІЛЛСА

Спецiальнiсть 01.04.02 – теоретична фізика

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Київ - 2002

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України.

Науковий керiвник: | доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник ЯЦУН Володимир Андрійович, Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України.

Офiцiйнi опоненти: | доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник СКРИПНИК Володимир Іванович, Інститут математики НАН України,

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник ШАДУРА Віталій Миколайович, Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України.

Провiдна установа: | Київський національний унiверситет iмені Тараса Шевченка, фізичний факультет, м. Київ.

Захист вiдбудеться " 30 " грудня 2002 року об _11_ годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 26.191.01 в Інституті теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України за адресою: 03143, м.Київ, вул.Метрологічна, 14-Б.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України.

Автореферат розiсланий " 28 '' листопада 2002 року.

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради

доктор фіз.-мат. Наук |

В.Є. КУЗЬМИЧЕВ

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Пошуки точних класичних розв'язків рівнянь руху в теоріях Янга-Міллса, які є нелінійними рівняннями другого порядку з частинними похідними, є дуже важливою і в той же час дуже складною задачею внаслідок нелінійності цих рівнянь. Відомі лише деякі частинні розв'язки, серед яких найбільше значення мають частинкоподібні розв'язки з нетривіальними топологічними властивостями (інстантони, монополі). Одним із напрямків пошуків є знаходження і розв'язування рівнянь руху першого порядку, тобто диференціальних рівнянь першого порядку, всі розв'язки яких є розв'язками рівнянь руху другого порядку. Рівняння руху першого порядку, як правило, є простішими для розв'язування, ніж рівняння руху другого порядку. Знамените рівняння автодуальності, яке є рівнянням руху першого порядку, стало вихідним пунктом при розробці ефективних методів побудови монопольних та інстантонних конфігурацій. Ця обставина стимулює пошук можливих узагальнень рівняння автодуальності в теоріях Янга-Міллса зі скалярними полями, а також узагальнення рівнянь суперавтодуальності в суперсиметричних теоріях Янга-Міллса. Введення узагальнених автодуальних полів дозволяє знаходити системи диференціальних рівнянь першого порядку, всі розв'язки яких є розв'язками рівнянь руху другого порядку, і які є значно простішими від них.

Розробка ефективних методів виділення рівнянь руху першого порядку із рівнянь руху другого порядку базується, зокрема, на концепції квазіавтодуальності, запровадженій в теоретичну фізику В.А. Яцуном для евклідових теорій Янга-Міллса в 1986 р. Практичне застосування концепції квазіавтодуальності, в рамках якої В.А. Яцу-ном були відкриті квазіінстантони, пов'язане зі значними труднощами внаслідок того, що знайдені ним системи рівнянь першого порядку в просторі Евкліда мали громіздкий вигляд. Одним із завдань дисертаційної роботи є подальший розвиток концепції квазі-автодуальності, зокрема, поширення цієї концепції на простір Мінковського, знаходження компактних і елегантних рівнянь квазіавтодуальності, пошуки простіших методів доведень.

Оскільки рівняння автодуальності в чистій теорії Янга-Міллса в просторі Мінковського не має дійсних розв'язків, актуальним є завдання знайти таке узагальнення рівняння автодуальності в теоріях Янга-Міллса зі скалярними полями, яке б, з однієї сторони, допускало дійсні розв'язки, і, з другої сторони, не накладало на поля додаткових обмежень, як це робить відоме рівняння Богомольного (статичність полів, рівність нулю часової компоненти калібрувального поля).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Результати, що увійшли в дисертаційну роботу, були отримані в рамках планової наукової тематики відділу математичних методів в теоретичній фізиці Інституту теоретичної фізики НАН України (тема "Квантові симетрії калібрувальних і інтегровних взаємодій", 1991-1995 рр.; тема "Представлення квантових груп і калібрувальні інтегровні взаємодії", 1996-2000 рр.; тема "Квантові симетрії і властивості інтегровних та квантово-польових систем", 2001-2002 рр.).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка ефективних методів знаходження рівнянь руху першого порядку, всі розв'язки яких є розв'язками нелінійних рівнянь руху другого порядку в N=2 супер-симетричній теорії Янга-Міллса, шляхом узагальнення автодуальності та порушення суперавтодуальності, а також дослідження симетрійних властивостей цих рівнянь і їх формулювання в рамках суперпольового формалізму. Розробка методів виділення узагальнених автодуальних польових секторів передбачає, зокрема, використання та подальший розвиток концепції квазіавтодуальності, автором якої є В.А. Яцун.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі одержано ряд нових наукових результатів:

·

·

·

·

·

·

·

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати мають теоретичний характер і є важливими в класичній теорії поля з точки зору розробки ефективних методів знаходження узагальнених автодуальних рівнянь першого порядку в N=2 суперсиметричній теорії Янга-Міллса, всі розв'язки яких є розв'язками рівнянь руху другого порядку, і які є значно простішими від них. Оскільки рівняння автодуальності в просторі Мінковського допускає лише комплексні розв'язки, зрозумілою є важливість запропонованих в дисертації узагальнених рівнянь квазіавтодуальності, які допускають дійсні розв'язки в просторі Мінковського. Важливим також є той факт, що отримані рівняння не накладають на поля додаткових обмежень, як це робить відоме рівняння Богомольного, яке приводить до монопольних конфігурацій. Очікується, що розв'язування знайдених узагальнених рівнянь автодуальності приведе до відкриття нових важливих конфігурацій, відмінних від монопольних. Отримані в дисертації результати розвивають концепцію квазіавтодуальності В.А. Яцуна, в роботах якого ця концепція розглядалась лише в евклідовому просторі. В дисертації концепцію квазіавтодуальності поширено на теорію в просторі Мінковського. Всі отримані узагальнені автодуальні рівняння мають компактний і елегантний вигляд.

Розроблені в дисертації методи виділення узагальнених автодуальних польових секторів в N=2 суперсиметричній теорії Янга-Міллса можуть бути поширені на інші моделі Янга-Міллса. Очікується, що за допомогою редукції чотиривимірних узагальнених рівнянь автодуальності для полів Янга-Міллса будуть отримані нові інтегровні системи нижчих розмірностей. Всестороннє дослідження узагальнених рівнянь автодуальності допоможе глибше зрозуміти структуру суперсиметричних теорій.

Особистий внесок здобувача. Робота по знаходженню рівнянь квазіавтодуальності, дослідженню їх симетрійних властивостей та супер-польовому формулюванню цих рівнянь проводилась автором під керівництвом В.А. Яцуна. Оцінка результатів і намічення напрямків подальших досліджень проводились під час спільних обговорень. Решта роботи (узагальнена квазіавтодуальність, суперсиметричні рівняння руху першого порядку), включаючи постановку задачі, виконана автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Матеріали, включені в дисертацію, доповідались і обговорювались на семінарах відділу математичних методів в теоретичній фізиці ІТФ НАН України (Київ, 1992-2002); на міжнародному симпозіумі з математичної та теоретичної фізики “Mathematical Physics -- for Today, Priority Technology -- for Tomorrow” (Київ, травень 1997); на першій, другій, третій та четвертій міжнародних конференціях “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Київ, липень 1995; липень 1997; липень 1999; липень 2001).

Публікації. За темою дисертаційної роботи А.М. Павлюком виконано 16 робіт, 14 з яких опубліковано у вигляді статтей у наукових журналах: “Український фізичний журнал” (7 статтей), “Доповіді НАН України” (5 статтей), “Український математичний журнал” (1 стаття), “Journal of Nonlinear Mathematical Physics” (1 стаття); 2 статті опубліковано в “Працях Інституту математики НАН України”.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 127 сторінках; складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел із 88 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, її значущість, підстави і вихідні дані для розробки теми. Зроблено огляд літератури за темою, обгрунтовано актуальність теми та сформульовано мету роботи. Визначена наукова новизна та практичне значення одержаних результатів, наведено інформацію про апробацію результатів роботи та публікації. Коротко викладено зміст кожного розділу дисертації.

У першому розділі описано властивості рівняння автодуальності чистої теорії Янга--Міллса, розглянуто суть і значення концепції квазіавтодуальності, як ефективного способу узагальнення автодуальності для теорій Янга-Міллса зі скалярними полями та реалізовано цю концепцію для бозонного сектора N=2 суперсиметричної теорії Янга-Міллса.

Розглянемо в просторі Мінковського бозонний сектор N=2 суперсиметричної SU(2) теорії Янга-Міллса, який включає калібрувальне поле Vm і два дійсні скалярні поля A,B та описується лагранжіаном

L=Tr{–1/4 Fmn Fmn –1/2 DmA DmA –1/2 DmB DmB+1/2g2[A,B]2}, (1)

де Fmn - тензор Янга-Міллса, Fmn=dmVn-dnVm+ig [Vm,Vn],

Dm - коваріантна похідна, Dm=dm+ig[Vm, .],

g - стала зв'язку калібрувального поля.

Тут і далі усі поля задаються в приєднаному представленні калібрувальної групи SU(2)

Перейдемо від лоренцевих індексів до спінорних індексів (=1,2) за правилом

Відомо, що рівняння руху чистої теорії Янга—Міллса (тобто теорії (1) при A=0, B=0) задовольняються на розв'язках рівняння автодуальності

(2)

В спінорних індексах рівняння автодуальності (2) має вигляд

(3)

В роботі запропоновано наступне узагальнення рівняння автодуальності

(4)

де - комплексні сталі коефіцієнти, що задовольняють умови симетрич-ності та унімодулярності:

(5)

Рівняння квазіавтодуальності накладає певні додаткові умови на скалярні поля.

Концепція квазіавтодуальності вимагає, щоб ці додаткові умови також були рівняннями руху першого порядку. Рівняння квазіавтодуальності разом з рівняннями для скалярних полів утворює систему рівнянь квазіавтодуальності.

Ця система є системою рівнянь руху першого порядку.

В теоремі 1 доведено, що система рівнянь квазіавтодуальності для теорії (1) має вигляд

(6)

Таким чином, в першому розділі концепцію квазіавтодуальності, введену В.А.Яцу--ном для теорій Янга--Міллса зі скалярними полями в просторі Евкліда,

розвинуто для теорії в просторі Мінковського.

У другому розділі систему рівнянь квазіавтодуальності (6) розширено до систем рівнянь суперквазіавтодуальності в N=1 та N=2 суперпросторах, а також знайдено формулювання отриманих систем в рамках суперпольового формалізму.

N=2 суперсиметрична теорія Янга-Міллса в N=1 суперпросторі (інша назва: суперсиметрична теорія Янга-Міллса із скалярним мультиплетом) задається двома мультиплетами компонентних полів – векторним мультиплет-том V і скалярним мультиплетом :

В теоремі 2 доведено, що система рівнянь суперквазіавтодуальності в N=1 суперпросторі включає систему (6) та рівняння не вище першого порядку для спінорних та допоміжних полів.

Система рівнянь суперквазіавтодуальності в N=1 суперпросторі інваріантна відносно N=1 суперсиметричних перетворень в тривимірному підпросторі чотиривимірного простору параметрів цих перетворенью.

В дисертації знайдено формулювання рівнянь суперквазіавтодуальності в суперпольовому формалізмі. Оскільки ця система не інваріантна відносно повних суперсиметричних перетворень, сформулювати її лише в термінах суперполів неможливо. Проте це можна зробити, якщо в суперпольові рівняння ввести грассманів множник, структура якого визначається структурою підпростору параметрів. Це означає, що рівняння суперквазіавтодуальності формулюються в рамках суперпольового формалізму не в повному суперпросторі, а в деякому його підсуперпросторі.

Таким чином, характерною рисою суперпольового формалізму в підсуперпросторі є наявність в суперпольових рівняннях суперквазіавто-дуальності грассманових координат в явному вигляді.

N=2 суперпростір є дванадцятивимірним многовидом, що парамет-ризується просторово-часовими координатами і антикомутуючими спінорними координатами.

В теоремі 3 знайдено дві системи рівнянь суперквазіавтодуальності для N=2 теорії Янга-Міллса в N=2 суперпросторі. Системи рівнянь суперквазі-автодуальності інваріантні відносно N=2 суперсиметричних перетворень в п'ятивимірному підпросторі восьмивимірного простору параметрів цих перетворень.

У третьому розділі введено поняття узагальненої квазіавтодуальності для бозонних полів теорії (1). Важливість цього поняття обумовлена тим, що узагальнене рівняння квазіавтодуальності в просторі Мінковського, на відміну від рівняння автодуальності (2) та рівняння квазіавтодуальності (4), допускає дійсні розв'язки. Узагальнене рівняння квазіавтодуальності для теорії (1), знайдене в цьому розділі, в лоренцевих індексах має вигляд

(7)

де – числові коефіцієнти, які можуть бути як комплексними, так і дійсними, причому

В явній компонентній формі рівняння (7) має вигляд

Звідси видно, що при дійсних узагальнене рівняння квазіавтодуальності допускає дійсні розв'язки.

Узагальнене рівняння квазіавтодуальності вимагає, щоб скалярні поля теорії задовольняли цілком певним рівнянням. Вигляд цих рівнянь випливає з того, що вони разом з узагальненим рівнянням квазіавтодуальності повинні задовольняти рівняння руху теорії. Систему рівнянь першого порядку, яка включає узагальнене рівняння квазіавтодуальності і відповідні рівняння для інших полів, і яка задовольняє рівняння руху теорії, назвемо системою узагальнених рівнянь квазіавтодуальності.

В теоремі 4 знайдено систему узагальнених рівнянь квазіавтодуальності для теорії (1).

У четвертому розділі отримано систему рівнянь руху першого порядку, яка інваріантна відносно N=2 суперсиметричних перетворень.

Система рівнянь суперавтодуальності в N=2 теорії Янга-Міллса з розширеною суперсиметрією включає рівняння руху другого порядку. Це рівняння другого порядку “розщеплено” на рівняння першого порядку таким чином, що одержана система рівнянь руху першого порядку є інваріантною відносно N=2 суперсиметричних перетворень.

У цьому розділі також запропоновано метод побудови рівнянь руху першого порядку в N=2 теорії Янга--Міллса з розширеною суперсиметрією шляхом порушення суперавтодуальності та наведено ряд прикладів використання цього методу. Отримані рівняння інваріантні відносно N=2 суперсиметричних перетворень у певних підпросторах параметрів перетворень.

ВИСНОВКИ

1. Знайдено рівняння квазіавтодуальності для N=2 суперсиметричної теорії Янга-Міллса в просторі Мінковського, яке є узагальненням рівняння автодуальності для чистої теорії Янга-Міллса і приводиться до нього при редукції до чистої теорії Янга-Міллса. Для бозонного сектора N=2 суперси-метричної теорії Янга-Міллса знайдено систему рівнянь квазіавтодуальності, яка є системою рівнянь першого порядку, що включає рівняння квазіавто-дуальності і відповідні рівняння для скалярних полів. Розв'язки системи рівнянь квазіавтодуальності є підмножиною розв'язків рівнянь руху другого порядку для бозонного сектора N=2 суперсиметричної теорії Янга-Міллса.

2. Одержано системи рівнянь суперквазіавтодуальності в N=1 та N=2 супер-----просто-рах, підсистемою яких є система рівнянь квазіавтодуальності. Рівняння суперквазіавтодуальності інваріантні відносно відповідних суперсиметричних перетворень в деякому підпросторі простору параметрів цих перетворень. При редукції до N=1 суперсиметричної теорії Янга-Міллса рівняння супер-квазі-автодуальності приводяться до рівнянь суперавтодуальності.

3. Знайдено формулювання рівнянь суперквазіавтодуальності в рамках супер-польового формалізму. При цьому в суперпольові рівняння у явному вигляді входить як множник деяка лінійна комбінація грассманових координат суперпростору. Структура цього множника визначається структурою підпростору параметрів інваріантності рівнянь суперквазіавтодуальності.

4. Запроваджено важливе узагальнення концепції квазіавтодуальності – узагалі-нену квазіавтодуальність. Узагальнені рівняння квазіавтодуальності в просторі Мінковського, на відміну від рівнянь автодуальності і квазіавто-дуальності в цьому просторі, допускають дійсні розв'язки.

5. Знайдено систему рівнянь руху першого порядку в N=2 теорії Янга-Міллса з розширеною суперсиметрією, яка є інваріантною відносно N=2 супер-симетричних перетворень.

6. Одержано ряд систем рівнянь руху першого порядку для N=2 теорії Янга- Міллса з розширеною суперсиметрією шляхом порушення суперавтоду-альності. Кожна з цих систем інваріантна відносно N=2 суперсиметричних пере--творень в деякому підпросторі параметрів цих перетворень.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Павлюк А.М. Варіанти рівнянь квазіавтодуальності в N=2 теорії Янга-Міллса // УФЖ. - 1995. - Т. 40, №3-4. - С.147-148.

2. Яцун В.А., Павлюк А.М. Суперпольове формулювання рівнянь квазіавто-дуаль-ності в N=2 теорії Янга-Міллса // УФЖ. - 1995. - Т. 40, №6. - С.522-526.

3. Pavlyuk A.M., Yatsun V.A. Generalized self-duality for the supersymmetric Yang-Mills theory with a scalar multiplet // УФЖ. - 1996. - Т. 41, №3. - С.349-353.

4. Яцун В.А., Павлюк А.М. Узагальнені рівняння автодуальності в N=1 суперсимет-ричній теорії Янга-Міллса із скалярним мультиплетом // Доп. НАН України. - 1996. - №10. - С.52-56.

5. Yatsun V.A., Pavlyuk A.M. Generalized self--duality for the supersymmetric Yang-Mills theory with a scalar multiplet // Nonlin. Math. Phys. - 1996. - Vol. 3, №3-4. - С.286-290.

6. Pavlyuk A.M. On self-duality in the N=2 Yang-Mills theory // УФЖ. - 1998. - Т. 43, №3. - С.368-370.

7. Pavlyuk A.M., Yatsun V.A. Quasi--self--duality equations in the N=2 Yang--Mills theory // УФЖ. - 1998. - Т. 43, №3. - С.371-373.

8. Pavlyuk A.M., Yatsun V.A. On quasi-selfduality for the N=2 Yang-Mills theory // УФЖ.- 1998. - Т. 43, №7. - С.844-846.

9. Павлюк А.М., Яцун В.А. Узагальнені рівняння автодуальності в N=2 суперсимет-ричній теорії Янга-Міллса // Доп. НАН України. - 1999.- №6. – С.96-98.

10. Павлюк А.М. Суперпольові рівняння руху для N=1 теорії Янга-Міллса із скалярним мультиплетом // Доп. НАН України. - 1999.- №7. - С.79-83.

11. Pavlyuk A. Symmetric properties of first--order equations of motion for N=2 Super Yang-Mills theory // Proc. Third Int. Conf. “Symmetries in Nonlinear Mathemathical Physics” (Kyiv, July 1999). - 2000. - Part 2. - P.507-509.

12. Павлюк А.М. Суперсиметричні рівняння руху першого порядку // Доп. НАН України. - 2000. - №8. - С.79-82.

13. Павлюк А.М. Узагальнена квазіавтодуальність // УФЖ. - 2001. - Т. 46, №1.- С.14-16.

14. Павлюк А.М., Яцун В.А. Рівняння руху першого порядку в суперсиметричній теорії Янга-Міллса із скалярним мультиплетом // Укр. мат. журн. - 2001. - Т. 53, N1.- С.57 -63.

15. Павлюк А.М. Суперпольове формулювання рівнянь квазіавтодуальності // Доп. НАН України. - 2001. - №8. - С.73-78.

16. Pavlyuk A.M. First order equations of motion from breaking of super selfduality // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2002. - Vol. 43, Part 2. - P.663-665.

Павлюк А.М. Узагальнені автодуальні поля в N=2 cуперсиметричній теорії Янга-Міллса. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 – теоретична фізика.– Інститут теоретичної фізики НАН України, Київ, 2002.

Дисертація присвячена розробці ефективних методів знаходження систем узагальнених автодуальних рівнянь в N=2 суперсиметричній теорії Янга-Міллса в просторі Мінковського, дослідженню їх симетрій них властивостей, формулюванню цих рівнянь в рамках суперпольового формалізму. Введення узагальнених автодуальних полів дозволяє знаходити системи рівнянь першого порядку, всі розв'язки яких є розв'язками рівнянь руху другого порядку. Концепцію квазіавтодуальності, запроваджену В.А. Яцуном у просторі Евкліда, розвинуто для простору Мінковського. Запропоновано узагальнене рівняння квазіавтодуальності, яке, на відміну від рівняння автодуальності в просторі Мінковського, допускає дійсні розв'язки. Знайдено систему рівнянь руху першого порядку, яка інваріантна відносно N=2 суперсиметричних перетворень.

Ключові слова: теорія Янга-Міллса, автодуальність, квазіавтоду-альність, узагальнена автодуальність, рівняння руху першого порядку, суперсиметрія, суперпольовий формалізм.

Pavlyuk A.M. Generalized selfdual fields in the N=2 supersymmetric Yang-Mills theory. – Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.04.02 – theoretical physics. – Bogolyubov Institute for Theoretical Physics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2002.

The thesis is devoted to the development of the effective methods of searching the systems of generalized selfdual equations in the N=2 supersymmetric Yang-Mills theory in the Minkowski space, investigation of their symmetric properties, formulation of these equations within framework of superfield formalism. Introduction of generalized selfdual fields enables us to find the systems of first order equations, all solutions of which are the solutions of second order equations of motion. The conception of quasi-selfduality, introduced by V.A. Yatsun in the Euclidean space, is developed in the Minkowski space. The generalized quasi-selfduality equation, which admits real solutions, is proposed. The system of first order equations of motion, which is invariant under N=2 supersymmetric transformations, is found.

Key words: Yang-Mills theory, selfduality, quasi-selfduality, generalized selfduality, first order equations of motion, supersymmetry, superfield formalism.

Павлюк А.Н. Обобщенные автодуальные поля в N=2 суперсимметри-ческой теории Янга-Миллса. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук по специальности 01.04.02 – теоретическая физика. – Институт теоретической физики НАН Украины, Киев, 2002.

Диссертация посвящена разработке эффективных методов построения систем обобщенных автодуальных уравнений в N=2 суперсимметрической теории Янга-Миллса в пространстве Минковского, исследованию их симметрических свойств, формулированию этих уравнений в рамках суперполевого формализма. Введение обобщенных автодуальных полей позволяет находить системы уранений движения первого порядка, то есть такие системы первого порядка, все решения которых являются решениями уравнений движения второго порядка.

Концепцию квазиавтодуальности, сформулированную В.А. Яцуном в пространстве Евклида, развито для теории в пространстве Минковского. Предложено уравнение квазиавтодуальности, которое являетcя обобщением уравнения автодуальности для чистой теории Янга--Миллса. При редукции к чистой теории Янга--Миллса уравнение квазиавтодуальности превращается в уравнение автодуальности. Найдено систему уравнений квазиавтодуальности для бозонного сектора N=2 суперсимметрической теории Янга--Миллса. Эти уравнения являются уравнениями первого порядка для компонентных полей. Решения уравнений квазиавтодуальности образуют подмножество решений уравнений движения второго порядка. Уравнения квазиавтодуальности являются уравнениями движения первого порядка.

Система уравнений квазиавтодуальности расширена до системы уравнений суперквазиавтодуальности в N=1 и N=2 суперпространствах. Уравнения суперквазиавтодуальности не инвариантны относительно полных суперсимметрических преобразований.но инвариантны относительно соответствующих суперсимметрических преобразований в определенных подпространствах параметров преобразований. Показано, что уравнения суперквазиавтодуальности в N=1 суперпространстве инвариантны относительно N=1 суперсимметрических преобразований в трехмерном подпространстве четырехмерного пространства параметров этих преобразований. Уравнения суперквазиавтодуальности в N=2 суперпространстве инвариантны относительно N=2 суперсимметрических преобразований в пятимерном подпространстве восьмимерного пространства параметров преобразований. При редукции к N=1 суперсимметрической теории Янга-Миллса уравнения суперквазиавтодуальности приводятся к уравнениям суперавтодуальности.

Уравнения суперквазиавтодуальности сформулированы в рамках суперполевого формализма. В суперполевые уравнения входит как множитель линейная комбинация грассмановых координат суперпространства. Структура этого множителя определяется структурой подпространства параметров инвариантности уравнений суперквазиавтодуальности.

Предложено обобщение концепции квазиавтодуальности – обобщенную квазиавтодуальность. Обобщенные уравнения квазиавтодуальности в пространстве Минковского, в отличие от уравнений квазиавтодуальности и автодуальности в этом пространстве, допускают действительные решения. Эти уравнения, в отличие от уравнения Богомольного, не налагают на поля таких ограничений как статичность и равенство нулю временной компоненты калибровочного поля.

Исходя из системы уравнений суперавтодуальности в N=2 теории Янга-Миллса с расширенной суперсимметрией, которая является системой уравнений второго порядка, найдено систему уравнений движения первого порядка, которая инвариантна относительно N=2 суперсимметрических преобразований.

Предложен метод построения систем уравнений движения первого порядка в N=2 теории Янга--Миллса с расширенной суперсимметрией путем нарушения суперавтодуальности, приведен ряд примеров практической реализации этого метода. Полученные уравнения инвариантны относительно N=2 суперсимметрических преобразований в подпространстве параметров преобразований.

Ключевые слова: теория Янга-Миллса, автодуальность, квазиавтодуаль- ность, обобщенная автодуальность, уравнения движения первого порядка, суперсимметрия, суперполевой формализм.

Павлюк Анатолій Миколайович

Узагальнені автодуальні поля в N=2 суперсиметричній теорії

Янга-Мллса.

(Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата

фізико-математичних наук.)

Зам.- 44 Формат 60 90 / 16 Обл.-вид.арк.- 1.0

Підписано до друку 26 листопада 2002 р. Тираж 100 прим.

Поліграфічна дільниця ІТФ ім. М.М. Боголюбова НАН України.