Харківський національний університет

ім. В.Н. Каразіна

ПАРФЬОНОВА Наталія Дмитрівна

УДК 517.518.6

МЕРОМОРФНІ МАЙЖЕ ПЕРІОДИЧНІ ФУНКЦІЇ

ТА ЇХ УЗАГАЛЬНЕННЯ

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти та науки України.

Науковий керівник: доктор фіз.-мат. наук, професор

Фаворов Сергій Юрійович,

завідувач кафедри теорії функцій та функціонального аналізу Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна.

Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. наук, професор

Гришин Анатолій Пилипович,

завідувач кафедри математичного аналізу,

Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна;

кандидат фіз.-мат. наук, доцент

Гірник Маркіян Олексійович,

доцент кафедри вищої математики

Львівської комерційної академії.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ комплексного аналізу і теорії потенціалу, Київ.

Захист відбудеться 10.01.2003 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 при Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна.

Автореферат розіслано 06.12.2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Л.В. Фардигола

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Першою роботою, яку можна віднести до теорії майже періодичних функцій є робота Лагранжа 1782 року, де він розглядає питання про існування середнього руху узагальненого тригонометричного полінома і відповідає на нього в окремому випадку. Деякою мірою завершений вигляд теорія неперервних майже періодичних функцій на дійсній вісі набула після появи робіт Г. Бора в двадцятих роках минулого століття. Подальший розвиток вона дістала в роботах Г. Бора, Г. Вейля, Н. Вінера, Дж. фон Неймана, С. Бохнера, А.С. Безіковича, А.С. Кованько, Н.Н. Боголюбова, М.Г. Крейна, Б.Я. Левина, Б.М. Левитана, В.А. Марченко та інших.

Одночасно з теорією майже періодичних функцій на дійсній вісі, зокрема у зв'язку зі спробою довести гіпотезу Рімана, розвинулася теорія голоморфних майже періодичних функцій у смузі в роботах Г. Бора, Б. Йессена. Особливо відзначимо фундаментальну роботу Б. Йессена і Г. Торнехава, де зокрема були описані асимптотики розподілу нулів голоморфних майже періодичних функцій у смузі. Неасимптотичний опис нулів для різних класів голоморфних майже періодичних функцій було одержано в роботах М.Г. Крейна та Б.Я. Левина, Г. Торнехава.

Наприкінці двадцятого століття з'явилися роботи Л.І. Ронкіна, О.Ю. Рашковського, С.Ю. Фаворова, де результати про голоморфні майже періодичні функції у смузі поширювалися на функції, голоморфнi в трубчастих областях. Зокрема, був одержаний повний опис нулів голоморфних майже періодичних функцій у смузі.

Природним узагальненням голоморфних майже періодичних функцій є мероморфні майже періодичні функції. У цьому напрямку працювали такі математики, як М.П. Бессонов, M. Фавард, X. Иошида. Систематичне вивчення мероморфних майже періодичних функцій зробив Ф. Суньєр-і-Балагєр у сорокових роках минулого сторіччя. Однак, багато важливих властивостей мероморфних майже періодичних функцій, зокрема критерій збереження майже періодичності при додаванні та множенні, а також опис дивізорів мероморфних майже періодичних функцій не були одержані.

З іншого боку, існує постійний інтерес фахівців з комплексного аналізу і диференціальних рівнянь до вивчення нормальних сімейств голоморфних і мероморфних функцій. Особливий інтерес становлять так звані нормальні функції, тобто такі мероморфні функції в області, що сімейство їхніх суперпозицій із групою конформних автоморфізмів цієї області нормально. При цьому часто розглядають не тільки мероморфні функції, але й голоморфнi криві, тобто голоморфнi відображення з комплексної області в комплексний проективний простір. У зв'язку з цим є цікавим вивчення мероморфних майже періодичних функцій і голоморфних майже періодичних відображень зі смуги у проективне простір, сімейство всіх зсувів уздовж дійсної вісі котрих утворюють нормальне сімейство відносно топології рівномірної збіжності в кожній меншій смузі.

Сказане вище робить актуальним подальше вивчення мероморфних майже періодичних функцій і голоморфних кривих та повний опис їх дивізорів і, відповідно, дивізорів координатних функцій голоморфних кривих.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках тем "Функціональні простори і теорія операторів" (0197U015780 номер державної реєстрації 2-11-97) і "Функціональні простори і напiвгрупи" (0100U003348 номер державної реєстрації 2-11-00).

Мета і задачі дослідження. Об'єктами дослідження є майже періодичні функції і відображення, а також майже періодичні дивізори.

Предметом дослідження є мероморфні майже періодичні функції та їх дивізори, голоморфнi майже періодичні відображення у проективний простір і дивізори їх координатних функцій.

Основні задачі дослідження наступні:

1. описати дивізори мероморфних майже періодичних функцій у смузі;

2. повністю описати мероморфні майже періодичні функції, які можливо представити у вигляді відношення голоморфних майже періодичних функцій без спільних нулів;

3. знайти критерій того, що добуток двох мероморфних майже періодичних функцій у смузі також є майже періодичною функцією;

4. одержати повний опис дивізорів координатних функцій голоморфних майже періодичних відображень, що діють зі смуги у проективний простір.

Методами дослідження є методи теорії динамічних систем, а також методи комплексного аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. вперше доведено, що рівномірно неперервна мероморфна функція у смузі, що майже періодична на одній прямій у цій смузі, є майже періодичною в усій смузі;

2. вперше знайдений повний опис тих неперервних відображень з Боровської компактифікації смуги на сферу Рімана, яким відповідають мероморфні майже періодичні функції у смузі;

3. вперше описані дивізори мероморфних майже періодичних функцій у смузі;

4. вперше повністю описані мероморфні майже періодичні функції, які можливо представити у вигляді відношення двох голоморфних майже періодичних функцій без спільних нулів;

5. вперше одержаний критерій того, що добуток двох мероморфних майже періодичних функцій у смузі також є майже періодичною функцією;

6. вперше одержаний повний опис дивізорів координатних функцій голоморфних майже періодичних відображень, що діють зі смуги у проективний простір;

7. вперше доведено, що рівномірно неперервне голоморфне відображення зі смуги у проективний простір, що є майже періодичним на одній прямій у цій смузі, є майже періодичним в усій смузі;

8. вперше одержана необхідна і достатня умова того, що покоордінатний добуток двох голоморфних майже періодичних відображень зі смуги у проективний простір також є майже періодичним відображенням.

Усі результати є новими.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять чисто теоретичний характер. Вони можуть бути використані в теорії розподілу значень мероморфних функцій і голоморфних кривих, у теорії динамічних систем, а також в інших розділах сучасної математики.

Особистий внесок здобувача. Постановки задач належать науковому керівнику С.Ю. Фаворову. Усі результати дисертації одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися та обговорювалися на Міжнародній конференції "Математичний аналіз і економіка" (Суми, 19-22 жовтня 1999 року); Міжнародній конференції "Цілі і мероморфні функції", присвяченій 70-річчю А.А. Гольдберга (Львів, 23-25 травня 2000 року); Міжнародній науковій конференції "Комплексний аналіз і теорія потенціалу" (Київ, 7-12 серпня 2001 року); Міжнародній науковій конференції "Теорія функцій і математична фізика", присвяченій 100-річчю Н.І. Ахієзера (Харків, 13-17 серпня 2001 року); IX Міжнародній науковій конференції ім. М.Ф. Кравчука (Київ, 16-18 травня 2002 року); Міжнародній науковій конференції "Функціональний аналіз та його застосування", присвяченій 110-річчю Стефана Банаха (Львів, 28-31 травня 2002 року); семінарі з функціонального аналізу Вільного університету Берліна (керівник семінару професор Д. Вернер); Харківському міському семінарі з теорії функцій (керівник семінару професор А.Ф. Гришин).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 3 статтях і в 4 тезах конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних літературних джерел з 86 найменувань. Обсяг роботи - 125 сторінки тексту. Список використаних джерел займає 9 сторінок.

Автор щиро дякує науковому керівнику Фаворову Сергію Юрієвичу за постановки задач та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, проведено короткий огляд питань, що вивчаються в дисертації, сформульовано мету дослідження.

У першому розділі зроблено огляд літератури за темою дисертації, виділено напрямки дослідження, наведені означення основних понять та допоміжні результати.

В авторефераті означення та теореми наводяться під тими номерами, які вони мають у тексті дисертації.

Другий розділ дисертації присвячений вивченню мероморфних майже періодичних функцій та дивізорів їх нулів та полюсів.

Означення 1.17. (Ф. Суньєр-і-Балагер). Мероморфна у смузі S функція називається мероморфною майже періодичною функцією у цій смузі, якщо для будь-якого додатного числа e та будь-якої підсмуги множина -майже періодів

є відносно щільною на дійсній вісі, де r - сферична метрика на Рімановій сфері .

Неважко бачити, що дробово-лінійне перетворення від мероморфної майже періодичної функції знов є мероморфною майже періодичною функцією. З іншого боку, будь-яка голоморфна майже періодична функція також є майже періодичною в сенсі означення 1.17.

Означення 1.11. Дивізором мероморфної в області G функції називається множина , де - корені або полюси , |kn| - їх кратності, причому kn>0 для кореня та kn<0 для полюса.

Дивізор можна також трактувати як заряд, зосереджений у точках з масами kn; для дивізора мероморфної функції цей заряд дорівнює де оператор Лапласа розуміється в сенсі розподілів.

Означення 1.12. Дивізор у смузі S назвемо майже періодичним, якщо для будь-якої нескінченно диференційованої фінітної в S функції c (z) сума

є майже періодичною функцією дійсної змінної .

Теорема 2.7. Дивізор у смузі S є дивізором мероморфної майже періодичної функції у смузі S тоді і тільки тоді, коли виконуються наступні умови: a) носії дивізорів і відокремлені в будь-якій підсмузі , б) і - майже періодичні дивізори, в)

Третій розділ дисертації присвячений вивченню голоморфних майже періодичних відображень у проективний простір та дивізорів їх координатних функцій.

Означення 3.1. Голоморфне відображення зі смуги S у проективний простір CPm назвемо голоморфним майже періодичним відображенням, якщо для будь-якого додатного числа e і будь-якої підсмуги множина e, S'-майже періодів

є відносно щільною на дійсній вісі, де r - метрика Фубіні-Штуді у проективному просторі CPm.

Це означення еквівалентне тому, що з будь-якої дійсної послідовності можна виділити підпослідовність так, щоб послідовність відображень сходилася рівномірно по zО S' для будь-якої підсмуги (критерій Бохнера).

Теорема 3.11. Для того щоб дивізори у смузі S були б дивізорами координатних функцій для будь-якого голоморфного майже періодичного відображення , необхідно і досить виконання наступних умов: а) дивізори - майже періодичні,

б) елементи усіх дивізорів рівні, в) дивізори спільно відокремлені.

Узагальнимо теорему про продовження голоморфних майже періодичних функцій на Борівску компактифікацию дійсної вісі на клас голоморфних майже періодичних відображень у проективний простір.

Теорема 3.16. Нехай - голоморфне майже періодичне відображення зі смуги у проективний простір CPm з Z-модулем G(F). Тоді існує єдине неперервне відображення з у CPm таке, що . Навпаки, якщо з у CPm таке, що - голоморфне відображення, то є голоморфним майже періодичним відображенням зі смуги S у проективний простір CPm.

ВИСНОВКИ

У дисертації одержані нові результати з теорії майже періодичних функцій і відображень. Саме, було доведено, що рівномірно неперервна у смузі мероморфна функція, майже періодична на одній прямій у цій смузі, є майже періодичною в усій смузі. Було одержано критерій збереження майже періодичності при множенні та додаванні мероморфних майже періодичних функцій; була доведена теорема про те, що поліном від мероморфної майже періодичної функції завжди є мероморфною майже періодичною функцією.

Було показано, що дивізори нулів і полюсів мероморфної майже періодичної функції є також майже періодичними. Була доведена теорема про те, що будь-яку мероморфну майже періодичну функцію у смузі можливо представити у вигляді відношення двох голоморфних майже періодичних у цій смузі функцій, можливо, зі спільними нулями, при цьому приведений критерій того, коли спільних нулів у цих функцій немає.

Приведений повний опис дивізорів нулів і полюсів мероморфної майже періодичної функції. Визначений ў-модуль мероморфної майже періодичної функції та описані його властивості. Також одержана теорема про продовження мероморфної майже періодичної функції на Боровську компактифікацію смуги.

Визначені голоморфнi майже періодичні відображення. Доведено теорему про те, що голоморфне відображення з першою координатною функцією тотожно рівною одиниці та голоморфними майже періодичними іншими координатними функціями завжди є голоморфним майже періодичним відображенням. Також доведені теореми про рівномірну неперервність голоморфного майже періодичного відображення в метриці Фубіні-Штуді та про збереження майже періодичності при рівномірному граничному переході.

Отримано критерій того, що покоордінатний добуток двох голоморфних майже періодичних відображень є також голоморфним майже періодичним відображенням.

Крім того, доведено збереження майже періодичності при суперпозиції з поліноміальним відображенням з одного проективного простору в інше, а також доведена теорема про те, що рівномірно неперервне голоморфне відображення у смузі, що майже періодично на одній прямій у цій смузі, є майже періодичним відображенням в усій смузі.

У дисертації також показано, що дивізори координатних функцій голоморфного майже періодичного відображення є також майже періодичними. Доведено, що в будь-якого голоморфного майже періодичного відображення поза дискретною множиною у смузі можна так вибрати однорідні координати, щоб вони всі були голоморфними майже періодичними в цій смузі функціями (можливо, зі спільними нулями).

Приведений повний опис дивізорів координатних функцій голоморфного майже періодичного відображення. Отримано необхідну і достатню умову для того, щоб у голоморфного майже періодичного відображення можна було вибрати однорідні координати так, щоб вони всі були голоморфними майже періодичними функціями без спільних нулів.

У дисертації введена функція зсуву для голоморфних майже періодичних відображень. Крім того, у дисертації визначений ў-модуль голоморфного майже періодичного відображення та одержана теорема про продовження голоморфного майже періодичного відображення на Боровську компактифікацію смуги.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Parfyonova N.D., Favorov S.Yu. Meromorphic almost periodic functions // Mat. Stud. Lviv. - 2000. - Vol. 13. - P.190-198.

2. Парфенова Н.Д. Мероморфные почти периодические функции и их непрерывное про-должение на Боровский компакт // Вiсн. Хар. нац. ун. - 2002. - № 542 - С.73-84.

3. Парфенова Н.Д. Голоморфные почти периодические отображения у проективное пространство // Мат. физика, анализ, геометрия - 2002. - Т.9 - № 2 - C.294-305.

4. Parfyonova N.D. Meromorphic almost periodic functions in a strip // Матеріали Міжнародної конференції "Комплексний аналіз і теорія потенціалу" - Kiev. - 2001. - C.43.

5. Парфенова Н.Д. О непрерывном продолжении мероморфных почти периодических функций на Боровский компакт // Матеріали Міжнародної наукової конференції "Теорія функцій і математична фізика" - Харьков. - 2001. - C.80.

6. Парфьонова Н.Д. Майже періодичні відображення у проективний простір // Матеріали

IХ-ої Міжнародної наукової конференції ім. М.Ф. Кравчука. - Київ. - 2002. - C.340.

7. Parfyonova N. Holomorphic almost periodic mappings in projective space // Матеріали Міжнародної наукової конференції "Функціональний аналіз та його застосування". - Lviv. - 2002. - C.154.

АНОТАЦІЯ

ПАРФЬОНОВА Н.Д. Мероморфні майже періодичні функції та їх узагальнення. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.01 - математичний аналіз. - Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, Харків, 2002.

У дисертації вивчаються мероморфні майже періодичні функції та голоморфнi майже періодичні відображення у проективний простір. Отримано критерій того, що добуток двох мероморфних майже періодичних функцій у смузі також є майже періодичною функцією. Описані дивізори мероморфних майже періодичних функцій у смузі. Отриманий повний опис мероморфних майже періодичних функцій, які можливо представити у вигляді відношення двох голоморфних майже періодичних функцій без спільних нулів. Знайдений повний опис тих неперервних відображень з Боровської компактифікації смуги на сферу Рімана, яким відповідають мероморфні майже періодичні функції у смузі. Доведено, що рівномірно неперервна мероморфна у смузі функція, що майже періодична на одній прямій у цій смузі, є майже періодичною в усій смузі. Отриманий повний опис дивізорів координатних функцій голоморфних майже періодичних відображень. Доведено, що рівномірно неперервне голоморфне відображення зі смуги у проективний простір, що майже періодичне на одній прямій у цій смузі, є майже періодичним в усій смузі.

Ключові слова: мероморфна функція, майже періодичні функції, голоморфнi криві, майже періодичні відображення, майже періодичний дивізор.

АННОТАЦИЯ

ПАРФЁНОВА Н.Д. Мероморфные почти периодические функции и их обобщение. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, Харьков, 2002.

Естественным обобщением голоморфных почти периодических функций являются мероморфные почти периодические функции. В этом направлении работали такие математики, как М.Ф.П. Бессонов, M. Фавар, X. Иошида. Систематическое изучение мероморфных почти периодических функций было сделано Ф. Суньером-и-Балагером. Однако, многие важные свойства мероморфных почти периодических функций, в частности, критерий сохранения почти периодичности при сложении и умножении, а также описание дивизоров мероморфных почти периодических функций, не были получены.

С другой стороны, существует постоянный интерес специалистов по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям к изучению нормальных семейств голоморфных и мероморфных функций. Особый интерес представляют так называемые нормальные функции, то есть такие мероморфные функции в области, что семейство их суперпозиций с группой конформных автоморфизмов этой области нормально. При этом часто рассматривают не только мероморфные функции, но и голоморфные кривые, то есть голоморфные отображения из комплексной области в комплексное проективное пространство. Простейшим нетривиальным примером нормальной функции в полосе являются как раз мероморфные почти периодические функции, а нормальными голоморфными кривыми в полосе - голоморфные почти периодические отображения из полосы у проективное пространство.

В диссертации получены новые результаты из теории почти периодических функций и отображений.

В разделе 2 приведены примеры мероморфных почти периодических функций, сумма и произведение которых не являются мероморфными почти периодическими функциями. Дан критерий сохранения почти периодичности при умножении мероморфных почти периодических функций. Доказана теорема о том, что полином от мероморфной почти периодической функции всегда является мероморфной почти периодической функцией. Доказано, что мероморфная равномерно непрерывная в полосе функция, почти периодическая на одной прямой в этой полосе, является почти периодической во всей полосе. Показано, что дивизоры нулей и полюсов мероморфной почти периодической функции являются также почти периодическими. Доказана теорема о том, что любая мероморфная почти периодическая функция в полосе представима в виде отношения двух голоморфных почти периодических в этой полосе функций, возможно, с общими нулями. Дан критерий сохранения почти периодичности при сложении мероморфных почти периодических функций. Также полностью описаны дивизоры нулей и полюсов мероморфной почти периодической функции. Кроме того, были приведены различные примеры дивизоров. Получены критерий и несколько достаточных условий для того, чтобы мероморфная почти периодическая функция была представима в виде отношения двух голоморфных почти периодических в этой полосе функций без общих нулей. Введена функция сдвига для мероморфных почти периодических функций. Определен ў-модуль мероморфной почти периодической функции и описаны его свойства. Также получена теорема о продолжении мероморфной почти периодической функции на Боровскую компактификацию полосы.

В разделе 3 определены голоморфные почти периодические отображения. Приведены примеры таких отображений. Также доказаны теоремы о равномерной непрерывности голоморфного почти периодического отображения в метрике Фубини-Штуди. Получен критерий того, что покоординатное произведение двух голоморфных почти периодических отображений является также голоморфным почти периодическим отображением. Кроме того, доказано, что полиномиальное отображение проективного пространства в другое проективное пространство сохраняет почти периодичность. Доказан аналог теоремы Бора: если равномерно непрерывное отображение из полосы у проективное пространство почти периодично на одной прямой в этой полосе, то оно почти периодично во всей полосе. Показано, что дивизоры однородных координат голоморфного почти периодического отображения являются также почти периодическими. Доказана теорема о том, что любое голоморфное почти периодическое отображение в полосе представимо в виде, где каждая однородная координата является голоморфной почти периодической в этой полосе функцией (возможно, они все имеют общие нули). Полностью описаны дивизоры однородных координат голоморфного почти периодического отображения. Кроме того, получен критерий того, что все однородные координаты голоморфного почти периодического отображения являлись голоморфными почти периодическими в этой полосе функциями без общих нулей. Введена функция сдвига для голоморфных почти периодических отображений. Определен ў-модуль голоморфного почти периодического отображения. Получена теорема о продолжении голоморфного почти периодического отображения на Боровскую компактификацию полосы.

Ключевые слова: мероморфна функция, почти периодические функции, голоморфные кривые, почти периодические отображения, почти периодический дивизор.

ABSTRACT

PARFYONOVA N.D. Meromorphic almost periodic functions and their generalization. - Manuscript.

Thesis for degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - V. Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2002.

Meromorphic almost periodic functions and holomorphic almost periodic mappings in a projective space are studied. We obtain a necessary and sufficient condition for the product of two meromorphic almost periodic functions in a strip to be an almost periodic one. Divisors of meromorphic almost periodic functions in a strip are described. We show that each meromorphic almost periodic function is a ratio of two holomorphic almost periodic functions without common zeros. A complete description of continuous mappings from the Bohr compactification of the strip to the Riemann sphere is found. These mappings correspond to meromorphic almost periodic functions in the strip. Then we prove that if a meromorphic uniformly continuous function in a strip and is almost periodic on a straight line belonging to this strip then this function is almost periodic in the whole strip. A complete description of divisors of coordinate functions for holomorphic almost periodic mappings is obtained. We also prove that if a holomorphic uniformly continuous mapping from a strip to a projective space is almost periodic on a straight line belonging to this strip then this mapping is almost periodic in the whole strip.

Key words: meromorphic functions, almost periodic functions, holomorphic curves, almost periodic mappings.