НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНЕ КОСМІЧНЕ АГЕНТСТВО УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ КОСМІЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ

ПАНОВА НАТАЛІЯ ВОЛОДИМИРІВНА

УДК 681.513

МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗКУ НЕКОРЕКТНИХ ЗАДАЧ ІДЕНТИФІКАЦІЇ
ДИСКРЕТНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ

01.05.04. – системний аналіз і теорія оптимальних рішень

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті космічних досліджень НАН та НКА України

Науковий керівник: доктор технічних наук

Губарєв Вячеслав Федорович,

Інститут космічних досліджень НАН та НКА України,

заступник директора

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

Личак Михайло Михайлович,

Інститут космічних досліджень НАН та НКА України,

завідувач відділу № 21

доктор технічних наук, професор

Панкратова Наталія Дмитрівна,

Інститут прикладного системного аналізу НАН та

Міносвіти України, заступник директора

Провідна установа: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України

Захист відбудеться "_14_" ____березня___ 2002 р. о __15__ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.205.01 в Інституті космічних досліджень НАН та НКА України за адресою 03022, м. Київ-22, пр. Акад. Глушкова, 40

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Інституту космічних досліджень НАН та НКА України, 03022, м. Київ-22, пр. Акад. Глушкова, 40

Автореферат розісланий "_11_" ___лютого___ 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Зєлик Я.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА

Актуальність теми. Останнім часом у зв'язку із зростанням вимог до процесів керування в умовах невизначеності проблема синтезу математичних моделей стає винятково важливою. Не можна забезпечити якісне керування системою, якщо її математична модель не відома з достатньою точністю. Для побудови математичної моделі можуть бути використані як теоретичні (на основі дослідження фізичних процесів у системі), так і експериментальні методи. Методи синтезу математичних моделей за результатами експериментальних досліджень є предметом теорії ідентифікації.

Побудова алгоритмів ідентифікації, орієнтованих на синтез систем робастного керування, — сучасний напрямок у системній ідентифікації, що швидко розвивається. Методи робастного керування дозволяють синтезувати регулятори, які гарантують необхідні оптимальні властивості цілого класу динамічних систем в умовах невизначеності щодо властивостей як самого об'єкта керування, так і діючого на нього збурення, і розроблялися в роботах Кунцевича В.М., Куржанського А.Б., Личака М.М., Milanese M., Ципкіна Я.З., Doyle J.C., Dahleh M.A. Породжений потребами керування, цей напрямок синтезу моделей спричинив відновлення інтересу до множинного підходу, який дозволяє окрім оцінки моделі об'єкта одержувати необхідні границі точності оцінки моделі.

В кінці 80-х років у роботах Helmicki A.J., Jacobson C.A., NettMakilд P., Milanese M., Partington J.R. ?озроблялись задачі - і l1-ідентифікації на основі непараметричного підходу: оцінюється передавальна функція або імпульсна реакція лінійних стаціонарних, можливо, нескінченновимірних систем за умови обмеженого (у l1, , ) збурення шляхом оптимізації певного функціонала якості. Використовуючи мінімум апріорної інформації про систему — характер поводження імпульсної реакції об'єкта і границі змінення шуму — вони забезпечують знання границі точності оцінки моделі, що визначає робастну збіжність і асимптотичну оптимальність методу ідентифікації.

Центральне місце серед питань, що вирішують - і l1-ідентифікація, займає питання робастної збіжності. Дотепер не знайдене його прийнятне рішення, оскільки розв'язування задач - і l1-ідентифікації стандартними методами в умовах нестохастичної невизначеності часто приводить до некоректних розв'язків. Наявні в літературі результати є незадовільними, тому що тільки для деяких нелінійних алгоритмів ідентифікації отримані умови робастної збіжності, які є, крім того, обтяжними: довжина експерименту жорстко залежить від порядку оцінюваної моделі. Ця залежність має вигляд степеневої і навіть показникової функції, що приводить до необхідності накопичувати дуже багато експериментальних даних. Причина такої ситуації полягає в природі просторів і l1, норми яких використовуються при обчисленні границі точності оцінки в умовах нестохастичної невизначеності, що встановлено в роботах Makilд P.

У дисертаційній роботі для побудови робастно збіжних в нормах просторів l1 і лінійних алгоритмів розв'язання задачі l1-ідентифікації застосовується метод регуляризації для модифікації методу найменших квадратів (МНК). Це дозволяє зняти жорсткі обмеження на довжину експерименту, не піклуватися про інформативність вхідної послідовності й одержувати збіжні оцінки параметрів моделей в умовах нестохастичної невизначеності.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті космічних досліджень НАН і НКА України у відділі аналізу перспективних космічних проблем в рамках науково-технічної роботи "Моделювання еволюціонуючих систем та розробка методів гарантованого оцінювання і робастного управління", підрозділ "Розробка теорії ідентифікації та синтезу управління нелінійними динамічними системами" (0101U000786), а також в рамках проектів "Науково-методичний супровід робіт з ДЗЗ в частині інформаційного забезпечення та вирішення тематичних задач" (0101U004152) і "Дослідження некоректно поставлених задач оцінювання і ідентифікації та розробка методу їх розв'язування".

Мета і задачі дослідження. Мета досліджень, проведених у дисертаційній роботі, полягає в побудові робастно збіжних лінійних методів синтезу моделей, що розв'язують задачу l1-ідентифікації й орієнтовані на керування динамічними об'єктами різної природи в умовах нестохастичної невизначеності. Для досягнення поставленої мети розв'язуються такі задачі:

§

§

§

§

§

Наукова новизна одержаних результатів.

1.

2.

3.

4.

5.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер, отримані результати дозволяють поповнити клас алгоритмів синтезу моделей, що використовуються при проектуванні систем робастного керування в умовах невизначеності. Розроблені методи дають можливість зняти жорсткі обмеження на довжину експерименту, не піклуватися про інформативність вхідної послідовності й одержувати збіжні оцінки за умов обмеженого збурення.

Запропоновані методи застосовані для ідентифікації лінійних за входом-виходом динамічних систем, що описуються не тільки лінійними і дробово-раціональними, але і трансцендентними моделями, які можна представити у вигляді розкладання, лінійного по невідомих параметрах. Їх застосовано для розв'язання задачі відновлення зображень поверхні Землі, отриманих за допомогою космічної фотозйомки.

Побудовані регуляризовані РМНК, що настроюють регуляризуючу добавку при надходженні даних, можуть використовуватись як для розв'язання задач l1-ідентифікації, так і для більш широкого класу задач, пов'язаних з оцінюванням параметрів.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, викладені в дисертації, отримані особисто автором дисертації і містяться в роботах [1-9]. В публікаціях, написаних у співавторстві, Губарєву В.Ф. належать: у роботах [6, 7] — постановка задачі, а також участь в обговоренні результатів, отриманих автором, у роботах [2, 5, 8, 9] — участь в обговоренні результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались і обговорювались на П'ятій українській конференції з автоматичного керування "Автоматика – 98" (Київ, 1998), на 14-му Світовому Конгресі IFAC World Congress (Пекін (Китай), 1999), на Міжнародній конференції з автоматичного керування "Автоматика – 2000" (Львів, 2000), на Міжнародній конференції з ідентифікації систем і задач керування “SICPRO'2000” (Москва, 2000), на Міжнародній конференції з автоматичного керування "Автоматика – 2001" (Одеса, 2001), а також на наукових семінарах Інституту космічних досліджень НАН і НКА України (Київ, 2001, 2002), Інституту прикладного і системного аналізу НАН і Міносвіти України (Київ, 2002), Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАНУ (Київ, 2002).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 9 друкованих працях. З них 5 публікацій — статті в фахових наукових виданнях, 2 — в збірниках праць наукових конференцій і 2 публікації — тези доповідей наукових конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів основної частини, висновків, списку використаних літературних джерел та додатку. Обсяг дисертації становить 152 сторінки. Додаток А займає 21 сторінку. Робота містить 8 рисунків, 3 таблиці. Список використаних джерел налічує 134 найменування.

КОРОТКИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику дисертаційної роботи. Розкрито сучасний стан досліджень, пов'язаних з проблемами математичного моделювання динамічних систем в умовах невизначеності, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету роботи.

В першому розділі приведений аналіз розвитку і сучасного стану проблеми математичного моделювання, орієнтованого на синтез робастного керування, в умовах нестохастичної невизначеності. Окреслено коло невирішених питань в цій області, зроблено висновки щодо необхідності проведення подальших досліджень, наведено постановки задач, які підлягають розв'язанню.

В другому розділі приводиться постановка основної задачі дисертаційної роботи — побудови робастно збіжних лінійних методів синтезу моделей, які розв'язують задачу l1-ідентифікації і орієнтовані на керування динамічними об'єктами різної природи в умовах нестохастичної невизначеності. Розглядаються причинно-обумовлені дискретні лінійні системи зі скалярним обмеженим входом і скалярним обмеженим виходом , що описуються імпульсною реакцією

, .

Цей опис охоплює достатньо широкий клас входо-вихідних моделей, включаючи модель скінченної імпульсної реакції, авторегресійну, ковзного середнього, модель авторегресії і ковзного середнього, модель авторегресії і проінтегрованого ковзного середнього, модель авторегресії і ковзного середнього з додатковим вхідним сигналом, часові ряди і т.д.

На основі експериментальних даних , , , де N — тривалість експерименту, n — кількість параметрів, оцінка вектора параметрів стійкої системи з в момент обчислюється як розв'язок системи рівнянь

. (2)

Адитивний шум обмежений за модулем в

(3)

і описує нестохастичну невизначеність. В розділі подано короткий огляд методів розв'язку задачі l1-ідентифікації, зроблено акцент на побудові точкових оцінок. Для них використовуються критерії робастної збіжності в нормах просторів l1 і . Проблема розбіжності при розв'язуванні задачі l1-ідентифікації лінійними методами має місце і досі не вирішена. Задача побудови збіжних лінійних оцінок параметрів моделей динамічних систем визначена як некоректно поставлена і розглянуто ряд регуляризованих методів розв'язання некоректних задач.

В третьому розділі запропоновано використати модифікований алгоритм найменших квадратів синтезу моделей, що ґрунтується на тихонівскій регуляризації. В розділі розглянута оцінка імпульсної реакції системи, що доставляє мінімум згладжуючому функціоналу

, , (4)

де — параметр регуляризації, а — стабілізуючий функціонал. Квадратна симетрична матриця вибирається диагональною і додатно визначеною.

Задача (4) завжди має єдиний розв'язок . Згідно з теорією розв'язання некоректних задач для забезпечення робастної збіжності алгоритму параметр обирається узгодженим з . В роботі використовується квазіоптимальний параметр регуляризації .

В якості запропоновано вибрати , або , ; . Тоді за умови (6) помилка оцінки збігається при . В роботі вирішене питання оптимального вибору матриці стабілізатора.

На основі описаного регуляризованого методу створений чисельний алгоритм ідентифікації, а також чисельні методи підбору квазіоптимальних значень параметра регуляризації і стабілізуючого функціонала. Алгоритм випробувано в чисельному експерименті, установлено, що регуляризований МНК дає хороші результати у випадку виродженої матриці .

Окремо в роботі досліджено параметр регуляризації і виявлено, що він залежить від кількості даних N і порядку моделі n. Окрім того, на впливає і вибір параметру стабілізатора. Залежність параметра регуляризації від тривалості експерименту засвідчила про необхідність створення рекурентних алгоритмів, в котрих параметр регулюється залежно від надходження нових даних. Їх побудовано у розділі 4.

В цьому розділі по результатах експерименту встановлено, що існує квазіоптимальний параметр , який дозволяє дістати найкраще наближення нормального розв'язку задачі (4). В роботі запропоновано алгоритм знаходження квазіоптимального стабілізатора.

В четвертому розділі на базі регуляризованого методу

,

побудовано рекурентний регуляризований алгоритм з рекурентним виразом для матриці .

Теорема 2. Вектор і матриця задовольняють рекурентним співвідношенням

(12)

, .

Вибір матриці діагонального виду дозволив на порядок скоротити число операцій, необхідних для обчислення рекурентної оцінки.

Проведені в роботі численні експерименти показали, що немає потреби обчислювати і змінювати параметр на кожному кроці. Його можна обчислювати спочатку через один крок, потім через два, три і т.д., значно економити обчислювальні ресурси за умов великої кількості даних і діставати задовільні оцінки, якщо накопичено мало даних.

В наступному підрозділі отримано і сформульовано математичні вирази залежності векторів і матриць від їх початкових значень, а також дано рекомендації щодо їх вибору.

Запропоновано вибирати , , . Прийнято , тоді асимптотичні властивості рекурентної оцінки збігаються із властивостями оцінки, отриманої по накопичених даних.

В наступному підрозділі одержано регуляризований РМНК з рекурентною матрицею на основі МНК з усередненням

, .

Теорема 4. Вектор і матриця задовольняють рекурентним співвідношенням

(14)

,

Розглянуто способи вибору параметра регуляризації і організації економної чисельної процедури. Рекурентну процедуру необхідно починати з кроку .

Описані вище методи виявились швидкими і ефективними у тих випадках, коли потрібно розв'язати не одну задачу ідентифікації, а ряд таких задач.

В п'ятому розділі на базі МНК застосовано ряд класів лінійних алгоритмів для розв'язання задачі -ідентифікації, які збігаються за умов нестохастичної невизначеності і довільної вхідної послідовності і працюють у некоректному випадку, коли вхідна послідовність неінформативна.

Розглянуто клас оцінок, що є лінійним перетворенням МНК

. (16)

Теорема 7. Нехай — передавальна функція системи, що описується імпульсною реакцією, — невироджена матриця із (16). Тоді для кожного -норма помилки оцінки (16) обмежена зверху

,

— одинична матриця.

В роботі отримані достатні умови -збіжності алгоритму (16)

, , при . (17)

Запропоновано вибирати , що дозволяє знаходити збіжну зміщену оцінку параметрів імпульсної реакції стійкого об'єкта.

Далі розглянуто випадок, коли скінченновимірна задача (4) може бути некоректною внаслідок виродженості матриці . Вивчено клас лінійних оцінок

, . (18)

Оцінка не залежить від числа вимірювань і справедлива при . Запропоновано вибирати , , де скалярний коефіцієнт регулюється.

В роботі одержані верхні оцінки норм помилок алгоритмів ідентифікації (16) і (18) в просторі l1, аналогічні оцінкам в із теорем 7 і 8.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі вирішена проблема побудови робастно збіжних лінійних методів синтезу моделей, що розв'язують задачу l1-ідентифікації й орієнтовані на керування дискретними динамічними стаціонарними об'єктами різної природи в умовах нестохастичної невизначеності.

1.

2.

3.

4.

5.

Усі запропоновані методи можуть використовуватись для розв'язання інших задач побудови математичних моделей у випадку як нестохастичної, так і стохастичної невизначеності. Розглянуті методи можна застосовувати для ідентифікації лінійних за входом-виходом динамічних систем, що описуються не тільки лінійними і дробово-раціональними, але і трансцендентними моделями, які мають розкладання, лінійне по невідомих параметрах. Регуляризовані РМНК можна використовувати як для розв'язання задачі l1-ідентифікації, де розглядаються тільки стійкі системи, так і для більш широкого класу некоректних задач, пов'язаних з оцінюванням параметрів моделей, що синтезуються.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

АНОТАЦІЇ

Панова Н.В. Методи розв'язку некоректних задач ідентифікації дискретних динамічних систем. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04. – системний аналіз і теорія оптимальних рішень. – Інститут космічних досліджень НАН та НКА України, Київ, 2002.

Дисертацію присвячено вирішенню проблеми побудови робастно збіжних орієнтованих на керування лінійних методів розв'язання задачі l1-ідентифікації стаціонарних причинно-обумовлених дискретних динамічних систем за умов нестохастичної невизначеності. Для стійких систем, яких може бути представлений у формі лінійного по параметрах розкладання, на основі методу найменших квадратів (МНК) і засобів регуляризації запропоновано ряд лінійних методів синтезу моделей, ефективних у некоректних випадках. Вивчено граничні властивості розглянутих методів, отримано верхні оцінки точності методів за умов нестохастичної невизначеності. Отримано умови квазіоптимального вибору регуляризуючих параметрів і матриць, за яких методи робастно збігаються в просторах і l1 і дають єдиний стійкий розв'язок при неінформативних вхідних даних. Для одного класу методів синтезу моделей реалізовано чисельний алгоритм і запропоновано чисельні процедури обчислення і настроювання квазіоптимальних значень параметрів алгоритму. Побудований регуляризований рекурентний МНК (РМНК) синтезу моделей динамічних систем з параметром регуляризації, що підстроюється при надходженні нових експериментальних даних, та із рекурентною оберненою матрицею, а також дві його модифікації — регуляризований РМНК з усередненням і регуляризований зважений РМНК. Досліджено способи оптимального вибору початкових значень вектора оцінки і оборотної матриці, отримано залежність оцінок на кожному кроці від обираних початкових значень. Дано рекомендації щодо ефективного використання розроблених рекурентних алгоритмів, теоретичні результати проілюстровано на модельних прикладах.

Ключові слова: методи математичного моделювання, умови невизначеності, синтез моделей, оптимізація, робастна збіжність, регуляризація, рекурентна процедура.

Панова Н.В. Методы решения некорректных задач идентификации дискретных динамических систем. — Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04. – системный анализ и теория оптимальных решений. – Институт космических исследований НАН и НКА Украины, Киев, 2002.

Диссертация посвящена решению задачи построения робастно сходящихся, ориентированных на управление линейных методов решения задачи l1-идентификации стационарных причинно-обусловленных дискретных динамических систем в условиях нестохастической неопределенности, а также анализу свойств и условий эффективного применения полученных методов.

Для устойчивых систем, передаточный оператор которых представим в виде линейного по параметрам разложения, на основе метода наименьших квадратов (МНК) и метода регуляризации разработан ряд линейных методов синтеза моделей, эффективных в некорректных случаях: когда расходятся оценки известных линейных алгоритмов в условиях ограниченной помехи и когда входная последовательность не является информативной.

Построен базовый регуляризованный МНК, для него определен выбор параметра регуляризации и стабилизирующего функционала, которые гарантируют существование оценки единственной, устойчивой, сходящейся в пространствах и l1 при нестохастической неопределенности в случае псевдослучайной бинарной входной последовательности. Для данного метода реализован численный алгоритм и создано программное обеспечение, при помощи которого изучены свойства метода и предложены численные процедуры вычисления и настройки квазиоптимальных значений параметров алгоритма. На примере результатов численного моделирования показано, как на практике проводить выбор параметров регуляризации и оптимального стабилизирующего функционала — структуры и коэффициентов внутри структуры.

На основе изученного регуляризованного МНК синтеза моделей динамических систем построен регуляризованный рекуррентный МНК (РМНК) с параметром регуляризации, настраивающимся по мере поступления новых экспериментальных данных, и рекуррентной обратной матрицей, а также две его модификации — регуляризованный РМНК с усреднением и регуляризованный взвешенный РМНК. Исследованы способы оптимального выбора начальных значений рекуррентных алгоритмов (вектора оценки и обратной матрицы), получена зависимость оценок на каждом шаге от выбираемых начальных значений. Даны рекомендации по эффективному использованию регуляризованного РМНК и показано, что он понижает вычислительную сложность получения оценки модели на каждом шаге на порядок по сравнению с известными алгоритмами. Теоретические результаты проиллюстрированы на модельных примерах.

Обобщенные алгоритмы наименьших квадратов применены для решения задачи l1-идентификации в некорректных случаях. Изучены предельные свойства рассмотренных методов, получены верхние оценки точности методов в условиях нестохастической неопределенности. Определены условия выбора регуляризирующих матриц, при которых методы робастно сходятся в пространствах и l1 в условиях нестохастической неопределенности и дают единственное устойчивое решение при неинформативных входных данных. Получены необходимые и достаточные условия состоятельности оценок рассмотренных методов, ограничивающие рост входных данных.

Ключевые слова: методы математического моделирования, условия неопределенности, синтез моделей, оптимизация, робастная сходимость, регуляризация, рекуррентная процедура.

Panova N.V. The methods of solving the ill-posed identification problems of discrete dynamic systems. — Manuscript.

The thesis for the Candidate degree (physical and mathematical sciences) in speciality 01.05.04. – System analysis and optimal decision theory. – Space Research Institute of NAS and NSA of Ukraine, Kyiv, 2002.

The thesis is devoted to construction of robustly convergent control-oriented linear l1-identification methods of stationary causal linear discrete-time dynamic systems under the worst-case noise. For the transfer functions of stable systems, which are representable as expansion linear in parameters, on the basis of the least squares (LS) algorithm and regularization method a number of linear methods of model synthesis, effective in ill-posed cases is offered. The limit properties of the considered methods are investigated, the upper estimates of their error bounds under nonstochastic uncertainty are obtained. The quasioptimal regularization parameters and matrixes which ensure and l1 robust convergence of the analyzed methods under worst-case noise and provide a unique stable solution at inconclusive input data are defined. For one class of identification methods the numerical algorithm is realized and the numerical procedures of an evaluation and tuning of quasioptimal values of algorithm parameters are offered. Is constructed the regularized recurrent LS algorithm of model synthesis of dynamic systems with the regularization parameter adjusted as far as new experimental data come and with recurrent inverse matrix. The regularized recurrent LS algorithm with an average and the regularized recurrent weighed LS algorithm were proposed as its two modifications. The optimal choice of initial values of an estimation vector and an inverse matrix is studied, the dependence of recurrent estimates on selected initial values is obtained. The recommendations on an effective utilization of designed recurrent algorithms are made, the theoretical outcomes are illustrated with simulation examples.

Keywords: methods of mathematical modeling, uncertainty conditions, model synthesis, optimization, robust convergence, regularization, recurrent procedure.