Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна

ПЄНКІН Юрій Михайлович

УДК 537.86

ЗБУДЖЕННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ

В ОБЛАСТЯХ ІЗ КРИВОЛІНІЙНИМИ КООРДИНАТНИМИ

ГРАНИЦЯМИ

01.04.03 – радіофізика

Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук

Харків – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна, Міністерство освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор

Горобець Микола Миколайович,

Харківський національний університет

ім. В.Н. Каразіна, завідувач кафедри

прикладної електродинаміки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор,

академік Національної академії наук України

Литвиненко Леонід Миколайович,

Радіоастрономічний інститут

НАН України (м. Харків), директор;

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент Національної академії наук України

Назарчук Зіновій Теодорович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка

НАН України (м. Львів), заступник директора;

доктор фізико-математичних наук,
старший науковий співробітник

Мележик Петро Миколайович,

Інститут радіофізики та електроніки ім. О.Я.Усикова

НАН України (м. Харків), заступник директора.

Провідна установа: Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”,

кафедра теоретичних основ радіотехніки, Міністерство освіти і науки України, м. Київ.

Захист відбудеться “ 25 ” квітня 2002 року о 14 00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.051.02 Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4, ауд. 3-09.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна за адресою:
61077, м. Харків, пл. Свободи 4.

Автореферат розісланий “ 12 ” березня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Ляховський А.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Удосконалення радіофізичних методів досліджень у системах зв'язку, радіонавігації і радіолокації, радіоуправління і радіотелеметрії, освоєнні космічного простору і радіоастрономії, а також їхнє використання в біології, медицині, охороні навколишнього середовища та інших галузях народного господарства, ставить перед радіофізикою нові проблеми. Однією з головних таких проблем є дослідження збудження електромагнітних хвиль в різноманітних просторових областях, а також розширення можливостей математичного моделювання цього процесу, що дозволяє суттєво скоротити часові і матеріальні витрати при розробці нових елементів, пристроїв і систем. Особливо це стосується пристроїв і систем, що виготовлені з технологічно нових матеріалів, та що розташовуються на мобільних об'єктах складної форми, експериментальна доробка яких є вкрай трудомістким, тривалим і дорогим процесом.

Математичне моделювання електромагнітних полів у довільному електродинамічному об’ємі насамперед ґрунтується на розв’язанні у тій чи іншій формі задачі збудження хвиль. У зв'язку з цим раніше невідомий розв’язок задачі збудження для будь-якого “нового” електродинамічного об’єму становить науковий інтерес, оскільки в цілому розширює можливості побудови фізично коректних математичних моделей. Зрозуміло, найбільш універсальними серед таких розв’язків є аналітичні, котрі, як відомо, можуть бути визначені для об’ємів з координатними границями або методом власних функцій, або методом функції Гріна. Через те, що функції Гріна в загальному випадку являють собою породжене точковим джерелом поле в точці спостереження, останній метод є дуже ефективним для вивчення задач збудження і широко застосовується у математичному моделюванні. Він дозволяє в замкнутій формі одержати компактні вирази для хвильового поля, яке збуджене сторонніми чи наведеними струмами. Важливо і те, що за допомогою функцій Гріна вдається досліджувати деякі загальні властивості полів, зокрема, в області джерел, безвідносно до конкретного виду останніх. Також без них не обійтись при формулюванні інтегральних рівнянь у задачах про розсіювання електромагнітних хвиль на різних неоднорідностях у певному електродинамічному об’ємі.

У теорії електродинаміки використовують два типи функцій Гріна: функції для векторних потенціалів і функції для електромагнітних полів. Вони мають, нарівні з іншими, одне суттєве розходження. Якщо функції Гріна для векторних потенціалів в області джерела мають особливість, яка інтегрується, то у випадку функцій Гріна для поля її безпосередньо інтегрувати неможливо. Для аналізу останніх доводиться вдаватися до апарату теорії узагальнених функцій з метою їхньої регуляризації в області джерела, що помітно ускладнює задачу побудови таких функцій Гріна. У зв'язку з цим більш зручними для застосування в чисельному аналізі виявляються функції Гріна просторових областей для векторних потенціалів.

Панченком Б.О. були побудовані тензорні функції Гріна рівнянь Гельмгольця для векторних потенціалів Герца у випадках замкнутих і відкритих областей, границі яких утворені комбінаціями координатних поверхонь систем узагальнених циліндричних координат (у тому числі прямокутних). Відзначимо, що внутрішнє заповнення областей передбачалось однорідним і ізотропним, а граничні поверхні ідеально провідними. Однак, для однорідних областей, що мають границі сферичної форми, а також сферичних і циліндричних областей з неоднорідним шаруватим діелектричним заповненням, граничні поверхні яких повністю чи частково характеризуються розподіленим імпедансом, вирази для функцій Гріна такого типу до робіт автора в літературі були відсутні.

Відзначимо, що дослідженню електромагнітних полів у сферичних і циліндричних об’ємах присвячена велика кількість теоретичних і експериментальних робіт. Це свідчить про значний практичний інтерес з боку розроблювачів НВЧ-пристроїв і систем до подібних досліджень. Дійсно, коло застосування результатів досліджень крайових задач для сферичних і циліндричних просторових областей дуже широке: при створенні екранованих і відкритих діелектричних резонаторів, що використовуються як коливальні системи НВЧ-генераторів та квантових дискримінаторів; інтегральних схем НВЧ і КВЧ діапазонів; установок для вимірювання параметрів різних матеріалів на НВЧ; ізольованих антенних елементів, які розміщуються в різних матеріальних середовищах і мають сферичну форму ізоляції; різних НВЧ-пристроїв на базі циліндричних і прямокутних хвилеводів.

Особливо варто виділити науковий напрямок, який пов'язаний з дослідженням і практичним застосуванням сферичних поверхневих антен. У загальному вигляді вони становлять собою системи випромінювачів і розсіювачів. Як відомо корпус об'єкта впливає на електродинамічні параметри слабоспрямованих антен, що розміщені поблизу чи на його поверхні. Характер цього впливу визначається насамперед формою і розмірами об'єкту. Для розрахунку зовнішніх характеристик таких антен у загальному випадку необхідно розв’язати задачу дифракції електромагнітних хвиль на розсіювачі складної форми, яким є реальний об'єкт (наприклад, літальний апарат). Однак, розв’язок задачі в такій постановці зустрічає значні математичні труднощі. Це зумовлено тим, що розміри об'єкта зрівняні з довжиною робочої хвилі. Отже, для розв’язку задачі не можуть бути застосовані асимптотичні довгохвильові чи короткохвильові (квазіоптичні) методи. Тому при теоретичному аналізі корпус об'єкту чи ту його частину, де розташована антена, замінюють тілами правильної геометричної форми, для яких можливі строгі розв’язки задачі. Серед них, поряд з іншими, часто використовуються сфера і напівсферичний виступ над нескінченною площиною (наприклад, при описі форми штучних супутників Землі, різних кулястих зондів тощо). У деяких випадках виникає необхідність врахування скінчених значень провідностей матеріалів, з яких виготовлені корпус об'єкту чи його елементи, наприклад, врахування впливу тонких захисних покриттів чи складних геометричних структур поверхні.

Відсутність коректних і ефективних математичних моделей, які не потребують апріорних обмежень на їх параметри, в зазначених випадках не дозволяє чисельно досліджувати електромагнітні поля в довільних точках просторових областей, конкретизувати геометрію збуджуючого елемента і визначати його характеристики випромінювання. Тому є актуальною проблема побудови функцій Гріна векторних потенціалів Герца для просторових областей, які мають шарувате діелектричне заповнення та криволінійні граничні поверхні, що повністю чи частково характеризуються розподіленим імпедансом.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, які представлені в дисертації, є складовою частиною науково-дослідних робіт, що протягом багатьох років виконувалися кафедрою прикладної електродинаміки ХНУ ім. В.Н. Каразіна у межах наукової міжвузівської програми “Випромінювання” (проблеми № 1, 2, 4, 5), і тісно пов'язані з пріоритетним напрямком розвитку науки і техніки “Перспективні інформаційні технології, прилади комплексної автоматизації, системи зв'язку” у рамках координаційних планів науково-дослідних робіт Міністерства освіти і науки України. Результати роботи увійшли до звітів за держбюджетними НДР (номери держреєстрації UA 100 8658Р, UA 100 8659Р, UA100 8687Р, UA0194U18563, 1094U018564, 0100U003339).

Мета і задачі досліджень. Метою роботи є розробка строгих математичних методів дослідження проблеми збудження електромагнітних хвиль у просторових областях, що мають однорідне чи шарувате діелектричне заповнення та ідеально провідні чи імпедансні криволінійні координатні поверхні, які задані в системі сферичних або узагальнених циліндричних координат.

В дисертації вирішувались такі основні наукові задачі:

1. Побудова функцій Гріна електричного і магнітного типів для:–

сферичних резонаторів і простору поза сферичними розсіювачами, що мають як ідеально провідні, так і імпедансні граничні поверхні, однорідне чи концентрично шарувате заповнення;–

нескінченних і напівнескінченних циліндричних областей, а також резонаторів, що мають як ідеально провідні, так і імпедансні плоскі поперечні граничні поверхні, однорідне чи поздовжньо-неоднорідне заповнення у вигляді дво- або тришарової діелектричної структури.

2. За допомогою одержаних функцій Гріна дослідження характеристик випромінювання і створення математичних моделей для найбільш типових сферичних поверхневих антен.

3. Вивчення фізичних закономірностей, що виявляються при збудженні електромагнітних хвиль у зазначених електродинамічних об’ємах.

Об’єктом дослідження в роботі є фізичний процес збудження електромагнітних хвиль у просторових областях, які мають криволінійні ідеально провідні або імпедансні граничні поверхні та однорідне або шарувате діелектричне заповнення.

Предметом дослідження в роботі є електромагнітні поля, що збуджуються у зазначених електродинамічних об’ємах конкретними типами випромінювачів.

В дисертації для розв’язання задач були використані такі методи:–

метод функцій Гріна рівняння Гельмгольця для векторних потенціалів Герца у задачах збудження електромагнітних хвиль в областях з криволінійними границями;–

метод Морса Ф. і Фешбаха Г. для визначення конкретних представлень тензорів Гріна в сферичній і циліндричній системах координат. Цей метод ґрунтується на можливості визначення компонент тензорів у вигляді рядів за системою трьох типів вихрових і потенційних векторних функцій (поздовжньої і двох поперечних), які виражені через скалярні власні функції крайової задачі;–

метод варіації довільних сталих для розв’язку неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку, з яких визначаються в області джерела залежності функцій Гріна від радіальних координат у випадку сферичних областей або поздовжніх координат у випадку циліндричних областей для заданої крайової задачі. Граничні умови для цих функцій на імпедансних поверхнях формулюються з використанням польових наближених граничних умов Щукіна-Леонтовича;–

метод послідовних наближень за малим параметром для визначення розподілу струму уздовж тонкого несиметричного радіального вібратора, що знаходиться на імпедансній сфері та збуджується ?-генератором напруги, з рівняння, яке подібне відомому в теорії тонкодротяних антен рівнянню Галена;метод дискретного перетворення Фур'є у задачі синтезу розподілу струмів для кільцевих еквідистантних решіток радіальних електричних диполів, які розташовані на ідеально провідній сфері;

– методи наведених електрорушійних і магніторушійних сил для визначення власних та взаємних опорів і провідностей випромінювання антенних елементів електричного та магнітного типів.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

1. Вперше методом функцій Гріна для векторних потенціалів Герца досліджена проблема збудження електромагнітних хвиль цілого класу просторових областей, що мають однорідне або шарувате діелектричне заповнення та ідеально провідні або імпедансні криволінійні координатні поверхні, які задані в системі сферичних чи узагальнених циліндричних координат.

1.1. Отримані нові конкретні представлення:

а) тензорів Гріна електричного і магнітного типів для областей з ідеально провідними сферичними границями та однорідним внутрішнім заповненням: сферичного резонатора, резонатора у вигляді порожнини між концентричними оболонками, нескінченного простору поза сферичним розсіювачем;

б) електричних і магнітних функцій Гріна для зазначених сферичних областей, що мають імпедансні границі та збуджуються радіально орієнтованими джерелами і джерелами, які знаходяться безпосередньо на імпедансних поверхнях;

в) функцій Гріна для сферичних шаруватих діелектричних і метало-діелектричних структур, що збуджуються радіальними електричними та магнітними джерелами: однорідної діелектричної кулі і відкритого резонатора у вигляді двох концентричних шарів діелектрика, які розташовані у нескінченному просторі; сферичного резонатора з металевою стінкою і двошаровим чи тришаровим діелектричним внутрішнім заповненням; резонансної порожнини між концентричними металевими оболонками з двошаровим діелектричним заповненням; однорідного простору поза ідеально провідною чи імпедансною сферою, які покриті концентричним шаром діелектрика;

г) функцій Гріна електричного і магнітного типів для циліндричних областей (нескінченних, напівнескінченних, а також резонаторів з торцевими плоскими ідеально провідними границями) з поздовжньо-неоднорідним двошаровим чи тришаровим діелектричним заповненням, які збуджуються поздовжньо орієнтованими джерелами при розташуванні останніх у різних діелектричних шарах;

д) електричних і магнітних функцій Гріна для циліндричних областей (напівнескінченних і резонаторів) з торцевими плоскими границями, що характеризуються поверхневим розподіленим імпедансом, у випадках збудження областей поздовжніми сторонніми струмами;

є) функцій Гріна обох типів для напівнескінченного прямокутного хвилеводу з імпедансним торцем у випадку його збудження джерелами, що задані на торцевій поверхні.

1.2. Обґрунтовано модифікації отриманих функцій Гріна, що дозволяє знаходити електромагнітні поля, які збуджені радіально орієнтованими джерелами або аксіально-симетричним кільцевим магнітним струмом:

а) у резонаторах з напівсферичною геометрією, що розташовані над ідеально провідним екраном;

б) у напівпросторі над ідеально провідним нескінченним екраном з напівсферичним виступом.

2. Вперше в строгій постановці досліджено характеристики випромінювання важливих для практичних застосувань типів сферичних поверхневих антен.

2.1. Розв’язана задача синтезу розподілу струмів у решітках радіальних електричних диполів, які довільно розташовані на ідеально провідній сфері, у випадку середньоквадратичного наближення заданої комплексної діаграми спрямованості випромінювання антенної системи. Для кільцевих еквідистантних антенних решіток за допомогою дискретного перетворення Фур'є отримана формула безпосереднього визначення комплексних амплітуд струмів диполів.

2.2. Визначено методом послідовних наближень розподіл струму тонкого несиметричного дротяного вібратора, що знаходиться на імпедансній сфері та збуджується генератором ?-подібної напруги. Нульове наближення придатне для вібраторів будь-яких електричних довжин, як нерезонансних, так і резонансних. З використанням цього наближення побудована коректна математична модель сферичної поверхневої антени зазначеного типу.

2.3. Побудовано строгі математичні моделі сферичних поверхневих антен таких типів:

а) розташованого поблизу ідеально провідної сфери симетричного тонкого дугового дротяного вібратора довжиною близькою до ?/2;

б) розміщеної на ідеально провідній сфері Г-подібної вібраторної шлейфової антени;

в) вузької кільцевої щілини, що прорізана в імпедансній сфері, у випадку аксіально-симетричного збудження;

г) розташованого на ідеально провідній сфері вузького лінійного щілинного випромінювача довжиною близькою до ?/2 у випадках порожньої щілини і щілини, апертура якої заповнена тришаровою діелектричною структурою;

д) вузького кільцевого щілинного випромінювача, а також тонкого несиметричного вібратора, які розташовані на напівсферичному виступі над нескінченним ідеально провідним екраном.

Зазначені математичні моделі, які є близькими до реальних антенних систем, дали змогу дослідити електромагнітні поля випромінювання та їх особливості як у ближній, так і у хвильовій зоні сферичних поверхневих антен у випадках, коли розміри сферичних розсіювачів зрівнянні з довжиною робочої хвилі і асимптотичні та наближені теорії не можуть бути застосовані. Вперше вивчено вплив на властивості спрямованого випромінювання сферичних антен імпедансу, що розподілений на поверхні сфери, а також геометричних параметрів їхніх елементів збудження.

2.4. Отримані аналітичні вирази і чисельно досліджені:

а) власні і взаємні опори дротяних дугових вібраторів, що розташовані поблизу ідеально провідної сфери;

б) власні і взаємні провідності лінійних вузьких щілин, які прорізані в ідеально провідній сфері;

в) власні і взаємні провідності вузьких кільцевих щілин, які прорізані в імпедансному сферичному розсіювачі.

Практичне значення одержаних результатів полягає в наступному. Побудовані в дисертації функції Гріна суттєво розширюють можливості математичного моделювання електромагнітних полів в областях, що мають однорідне чи шарувате діелектричне заповнення та ідеально провідні чи імпедансні криволінійні координатні поверхні, які задані в системі сферичних або узагальнених циліндричних координат. Тим самим суттєво розвинуто важливий сучасний науковий напрямок в електродинаміці, який орієнтований на розробку теоретичних основ автоматизованого проектування НВЧ-пристроїв різноманітного призначення. Суть цього напрямку складається в створенні чисельних алгоритмів, що призначені для розв’язання широкого кола крайових задач електродинаміки в областях із криволінійними границями.

Отримані в роботі результати чисельних і експериментальних досліджень дали можливість зробити ряд фізичних узагальнень і можуть бути безпосередньо використані в розробках складних пристроїв, зокрема, сферичних поверхневих антен.

Особистий внесок здобувача. В дисертаційній роботі узагальнені матеріали самостійних досліджень автора [5–11, 14–16, 19, 20, 23, 27–32, 36–39]. В дисертацію також увійшли результати, які отримані в співавторстві за його безпосередньою участю. Особистий внесок автора при проведенні спільних робіт, що опубліковані у співавторстві, полягає в постановці задач, виборі методу їхнього розв’язання, одержанні рішень, розробці алгоритмів розрахунків і програм, в аналізі чисельних і експериментальних результатів, виявленні, трактуванні й узагальненні фізичних закономірностей. Автор був ініціатором більшості спільних робіт. Ідеї винаходів [24–26] запропоновані здобувачем. Розрахункові формули, що наведені в роботі, наукові висновки та положення, які виносяться на захист, належать авторові особисто.

Апробація результатів дисертації. Матеріали роботи були представлені та обговорені на: V Всесоюзній конференції “Метрологічне забезпечення антенних вимірів” (Єреван, 1990 р.); Міжрегіональній науково-технічній конференції “Складні антенні системи і їхні компоненти. Теорія, застосування, експериментальні дослідження” (Ленінград, 1991 р.); XLIX наукової сесії РНТО РЭС ім. А.С. Попова (Росія, Москва, 1994 р.); Міжнародній конференції ММЕТ-98 “Математичні методи в електромагнітній теорії” (Україна, Харків, 1998 р.); VI Міжнародній конференції “Електродинаміка і техніка НВЧ і КВЧ” (Росія, Самара, 1999 р.); 3-й, 7-й і 10-й Міжнародних Кримських конференціях “НВЧ-техніка і телекомунікаційні технології” (Україна, Севастополь, 1993 р., 1997 р., 2000 р.); I, III і IV Міжнародних симпозіумах MSMW “Physics and Engineering of Millimeter and Submillimeter Waves” (Україна, Харків, 1994 р., 1998 р., 2001 р.).

Публікації. Основний зміст дисертації опублікований у 23 статтях в фахових наукових журналах і науково-технічних збірниках, а також у 7 статтях, що опубліковані у перекладі в журналі “Telecommunications and Radio Engineering”, 8 тезах доповідей у матеріалах наукових конференцій і симпозіумів, 3 авторських свідоцтвах на винаходи.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, семи розділів, висновків, списку використаних джерел та чотирьох додатків. Загальний обсяг роботи складає 312 сторінок, включаючи 68 рисунків та 3 таблиці (із них 11 сторінок цілком містять таблиці), список використаних джерел з 167 найменувань на 19 сторінках, а також 4 додатки на 19 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито загальну характеристику стану проблеми, мету і задачі досліджень, обґрунтовано необхідність їхнього проведення та актуальність теми дисертації. Викладено зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Визначено об’єкт і предмет досліджень, методи досліджень, наукову новизну і практичну цінність одержаних автором результатів, його особистий внесок у роботи, опубліковані в співавторстві. Зазначено форми апробації і публікації результатів дисертації.

Перший розділ “Збудження хвиль в електродинамічних об’ємах із криволінійними координатними границями” у великій мірі носить оглядовий і основоположний характер. У ньому представлені рівняння, загальні співвідношення електродинаміки і граничні умови для електромагнітних полів, що використовуються потім протягом усієї роботи.

Для просторових областей з імпедансними границями проведено аналіз доказів теореми єдиності, які у літературі викладені суперечливо. Так, у різних авторів вимоги до знака реальної частини поверхневого імпедансу ? при доказі теореми протилежні. Обґрунтовано, що це протиріччя знімається при фізично коректному визначенні розподіленого поверхневого імпедансу, як у роботі Фельда Я.Н. На підставі властивостей перестановочної інваріантості рівнянь Максвела стосовно сторонніх струмів виявлена особливість застосування принципу двоїстості для областей з імпедансними границями. Установлена необхідність введення додаткової двосторонньої перестановки ??? , з якої випливає, що принцип двоїстості може бути реалізований тільки при відповідній заміні імпедансних структур у еквівалентних електродинамічних задачах. Оскільки є умовою фізичної здійсненності пасивних імпедансних структур, то така заміна можлива тільки для поверхонь, що характеризуються суто реактивними імпедансами.

Визначено шлях розв’язання задач збудження областей із криволінійними границями, в основу якого покладений метод тензорної функції Гріна векторного рівняння Гельмгольця для потенціалів Герца. Надано характеристику загальних властивостей і зв'язку тензорних функцій Гріна для векторних потенціалів Герца та функцій Гріна для електромагнітного поля. У загальному вигляді наведено метод Морса Ф. і Фешбаха Г. побудови тензорних функцій Гріна для векторного рівняння Гельмгольця в системах ортогональних криволінійних координат (). Згідно з цим методом компоненти тензорів визначались у вигляді розкладання в ряди за системою трьох типів векторних функцій Гансена (поздовжньої і двох поперечних):

(1)

де , і – скалярні власні функції крайової задачі; – орт для координати , – хвильове число; та – для циліндричних систем координат; – для сферичної системи координат.

Таким чином, отримано представлення тензорних функцій Гріна електричного і магнітного типів для векторних потенціалів Герца в сферичній системі координат:

;

(2)

;

,

де – координати точки джерела; – координати точки спостереження; – функції Лежандра першого роду; – символ Кронекера.

Універсальність виразів (2) для компонентів тензорів полягає в тім, що вони містять функціональні залежності та від радіальних координат у неявному вигляді.

З використанням результатів, що отримані зазначеним методом Панченком Б.О., представлено тензорні функції Гріна в циліндричних системах координат, а також в системах прямокутних координат. У цих випадках вирази для функцій Гріна містять у неявному вигляді функціональні залежності від поздовжніх координат. Зазначені функціональні залежності від радіальних чи поздовжніх координат визначені в роботі далі з неоднорідних диференціальних рівнянь при формулюванні граничних умов для цих функцій відповідно до заданої в радіальному або поздовжньому напрямках геометрією крайової задачі.

Відзначено, що за допомогою теореми додавання многочленів Лежандра вираз для радіальної компоненти функції Гріна сферичної області виявляється можливим представити в більш зручному для чисельної реалізації вигляді:

. (3)

В другому розділі “Функції Гріна сферичних резонаторів” розглянуті задачі збудження електромагнітних коливань у резонаторах, що мають сферичні границі. Визначено граничні умови для функцій радіальних координат електричного і магнітного типів та на ідеально провідній сферичній поверхні в загальному випадку довільної орієнтації джерел збудження; на імпедансній сферичній поверхні у випадках радіально орієнтованих джерел і джерел, які безпосередньо розташовані на ній; для функцій на граничній поверхні між концентричними діелектричними шарами для випадку радіально орієнтованих джерел. Отримані граничні умови застосовуються в роботі і далі.

Можливість самоузгодженого формулювання граничних умов на імпедансній сферичній поверхні ґрунтується на тому фізичному ефекті, що при відбитті від неї електромагнітних хвиль, які збуджуються у резонаторі радіальними сторонніми струмами, структура полів зберігається незмінною. Тобто відсутня взаємна трансформація хвиль електричного і магнітного типів. Структура полів у цьому відношенні зберігається і при збудженні радіальними струмами концентричних діелектричних шарів. У випадку магнітних і електричних струмів, які задані на імпедансній поверхні, використовується їхній зв'язок між собою за допомогою імпедансних граничних умов Щукіна-Леонтовича.

Функції радіальних координат визначаються з неоднорідного диференціального рівняння Беселя методом варіації довільних сталих в областях, де знаходяться джерела, і з аналогічних однорідних рівнянь в інших областях, якщо розглядається сферично-шарувата структура. При цьому, де це необхідно, використовуються також умова обмеженості поля в центрі резонатора та умова випромінювання на нескінченності.

Таким чином, остаточно визначаються компоненти тензорів Гріна електричного і магнітного типів для однорідно заповнених сферичного резонатора і резонансної порожнини між концентричними оболонками з ідеально провідними стінками; електричні і магнітні функції Гріна для таких же резонаторів з імпедансними стінками у випадках збудження резонаторів радіальними джерелами чи джерелами, які задані на імпедансних поверхнях; функції Гріна обох типів для однорідної діелектричної кулі та двошарового діелектричного сферичного резонатора, які розміщені в однорідному нескінченному просторі і збуджені радіальними сторонніми джерелами. Також визначено функції Гріна металевого сферичного резонатора і резонансної порожнини між концентричними ідеально провідними оболонками у випадках, коли резонатори мають двошарове чи тришарове діелектричне заповнення та збуджуються радіально орієнтованими магнітними і електричними джерелами.

Досліджено можливість використання імпедансного підходу для розв’язання задачі внутрішнього збудження радіальними джерелами діелектричної кулі, яка має меншу діелектричну проникність, ніж навколишній простір. За цих умов отримано аналітичні вирази для еквівалентних поверхневих імпедансів.

Обґрунтовано можливість модифікації отриманих функцій Гріна магнітного типу, що дозволяє знаходити електромагнітні поля, які збуджуються радіальним магнітним струмом в розташованих над ідеально провідним екраном напівсферичних резонаторах. В основу цього способу покладено відомий принцип неповного підсумовування у виразах для функцій Гріна, при якому виключаються доданки, що не відповідають вимогам граничних умов для полів на поверхні екрана.

У відповідних граничних випадках зроблено зіставлення отриманих виразів для функцій Гріна між собою чи зі скалярною функцією Гріна вільного простору, яка представлена у вигляді розкладання за сферичними гармоніками.

Третій розділ “Функції Гріна для нескінченого простору поза сферичним розсіювачем” присвячений розв’язанню задач збудження сферичних розсіювачів, які розміщені в однорідному ізотропному нескінченному просторі. Надано коротку характеристику найбільш поширених методів математичного моделювання полів сферичних поверхневих антен. Визначено функції радіальних координат компонент тензорів Гріна електричного і магнітного типів для простору поза ідеально провідною сферою.

Таким же чином отримано електричні і магнітні функції Гріна для простору поза сферичним розсіювачем, поверхня якого характеризується розподіленим ізотропним імпедансом, у випадках радіально орієнтованих джерел збудження і сторонніх струмів, які задані на імпедансній сфері.

Досліджено можливість використання імпедансного підходу для розв’язку задачі зовнішнього збудження діелектричної кулі радіальними струмами. Визначено аналітичні вирази для еквівалентних поверхневих імпедансів. Побудовано функції Гріна обох типів для простору поза сферичним розсіювачем, який збуджується радіально орієнтованими джерелами та покритий концентричним шаром діелектрика, у випадках ідеально провідної чи імпедансної поверхні сфери. Представлена методика, що дозволяє з аналітичних виразів для функцій Гріна виділити доданки, які визначають електромагнітні поля у вигляді суперпозиції первинного поля збудження вільного простору і розсіяного сферичним об'єктом.

Визначено модифікації побудованих функцій Гріна, що дозволяють знаходити збуджені радіальними електричними і магнітними сторонніми струмами поля у напівпросторі над ідеально провідним нескінченним екраном з напівсферичним виступом, який має ідеально провідну чи імпедансну поверхню, або покритий концентричним шаром діелектрика. Також визначено модифікацію функції Гріна, яку треба застосовувати при аксіально-симетричному збудженні кільцевими поверхневими струмами ідеально провідного чи імпедансного напівсферичного виступу над ідеально провідним екраном.

Здійснено граничні переходи, які підтверджують узгодження отриманих результатів між собою і з відомими в літературі.

У четвертому розділі “Електромагнітні поля дипольних випромінювачів, що розміщені на сферичних розсіювачах” розглянуті поля випромінювання диполів, які розташовані на поверхні сферичних розсіювачів. Відзначено, що в переважній більшості відомих робіт отримані розв’язки задачі збудження сфери дипольними випромінювачами не дозволяють знаходити поля в ближній зоні, а практично придатні тільки для розрахунку діаграм спрямованості випромінювання в припущенні ідеально провідної поверхні сфери.

За допомогою побудованих у попередньому розділі роботи функцій Гріна для векторних потенціалів Герца знайдено вирази для складових електромагнітних полів випромінювання радіально орієнтованого електричного диполя у випадках його розміщення на ідеально провідній сфері, імпедансній сфері і сферичному розсіювачеві, який покритий концентричним діелектричним шаром. Ці вирази дозволяють визначати поля як у ближній, так і в хвильовій зонах випромінювання сферичних антен. Реалізовано модифікації отриманих виразів, що дозволили визначити поля випромінювання радіального електричного диполя у напівпросторі над ідеально провідним нескінченним екраном при розміщенні диполя на напівсферичному виступі, який може мати поверхні зазначених типів.

Отримано вирази для компонент електромагнітного поля випромінювання магнітних елементарних вібраторів, які розташовані на ідеально провідній або на імпедансній поверхні сферичного розсіювача. Досліджено у хвильовій зоні властивості спрямованого випромінювання електричних та магнітних диполів, які розміщені на ідеально провідній сфері з радіусом R, в залежності від зміни дифракційного радіуса kR сферичного розсіювача.

У випадку середньоквадратичного наближення заданої комплексної діаграми спрямованості випромінювання сферичної поверхневої антени розв’язано задачу синтезу розподілу струмів у решітках радіальних електричних диполів, довільним способом розташованих на ідеально провідній сфері. Поширено методику розв’язання задачі синтезу решіток з максимальним коефіцієнтом спрямованої дії на випадок зазначених сферичних антенних решіток. За допомогою дискретного перетворення Фур'є для кільцевих еквідистантних решіток радіальних електричних диполів на сфері отримано формулу для безпосереднього визначення комплексних амплітуд струмів у випромінювачах без чисельного розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

П'ятий розділ “Електромагнітні поля тонких дротяних випромінювачів, що розміщені поблизу сферичних розсіювачів” присвячений дослідженню полів збудження та характеристик випромінювання тонких дротяних вібраторів, які розташовані біля чи на поверхні сферичних розсіювачів. Розглянуто несиметричний радіальний вібратор, що розташовується, у загальному випадку, на імпедансній сфері і збуджується ?-генератором напруги, дуговий вібратор – дротяний криволінійний випромінювач, що розміщується уздовж концентричної дуги поблизу ідеально провідної сфери і збуджується у його геометричному центрі, а також Г-подібний вібраторний шлейфовий випромінювач, який розташовується на ідеально провідній сфері, і складається з радіального стояка та дугового плеча (вигин вібратора передбачається гладким).

Для вибору апроксимуючих залежностей розподілів струму уздовж вібраторних випромінювачів зазначених геометрій були враховані дві обставини: апроксимація струму джерела повинна бути фізично коректною, а також повинна дозволяти інтегрування в аналітичному вигляді. Так, для струму уздовж дугового вібратора довжиною близькою до ?/2 використовувалася тригонометрична апроксимація, яка відома з теорії тонкодротяних антен, за умов сталості струму на периферії вібратора і нехтування струмами на його торцях.

Розподіл струму несиметричного радіального вібратора за тих же умов визначався з рівняння, яке подібне відомому інтегральному рівнянню Галена, методом послідовних наближень за малим параметром. В результаті чого отримано наближений аналітичний розв’язок (нульове наближення методу) у вигляді:

, (4)

де – комплексна амплітуда струму; та – відповідно сферичні функції Беселя та Неймана, які мають напівцілі індекси; L – довжина вібратора.

Представлення (4) придатне для вібраторів будь-яких електричних довжин: як нерезонансних, так і резонансних. Виявлено, що вплив імпедансного сферичного розсіювача на закон розподілу струму уздовж вібратора є ефектом другого порядку малості і при необхідності може бути врахований тільки в результаті визначення першого та наступних наближень.

Для струму уздовж Г-подібної вібраторної шлейфової антени запропонована апроксимація у вигляді кусково-заданої функції: на радіальному стояку випромінювача у вигляді розподілу (4), а на дуговому плечі у вигляді тригонометричної функції із заданою відповідним чином амплітудою. Ця тригонометрична функція є аналогічною до апроксимації струму, яка відома з теорії тонкодротяних випромінювачів, у випадку несиметричного вібратора над нескінченною ідеально провідною площиною. Використані апроксимації забезпечують виконання усіх вимог граничних умов для струму вібраторів (рівність нулю на вільних кінцях, безперервність у точці вигину, рівність скалярного потенціалу в точці збудження комплексній амплітуді ?-подібної напруги) і дозволили одержати аналітичні вирази для полів випромінювання сферичних поверхневих антен як у ближній, так і в хвильовій зонах.

Чисельно досліджено властивості спрямованості випромінювання несиметричного вібратора, що розташований на імпедансній сфері, в залежності від зміни розмірів сферичного розсіювача, величини розподіленого імпедансу і довжини вібратора. Так само в залежності від зміни геометричних параметрів системи чисельно досліджено в хвильовій зоні поля випромінювання несиметричного вібратора, який розташований на імпедансному напівсферичному виступі над ідеально провідною площиною.

Відзначимо, що при збільшенні дифракційного радіуса kR імпедансного сферичного чи напівсферичного розсіювача діаграми спрямованості випромінювання антен набувають більш порізаного, пелюсткового характеру. З фізичної точки зору осциляції амплітуди поля пояснюються тим, що при збудженні сфери чи напівсферичного виступу над екраном хвилі у певну зону простору попадають, поширюючись уздовж поверхні розсіювача в прямому та у зворотному напрямках (у випадку напівсфери, відбиваючись від екрана). В результаті інтерференції цих хвиль і утворюються осциляції в діаграмах спрямованості антен. Чим більший дифракційний радіус, тим більше число стоячих хвиль укладається на поверхні розсіювача і тим більшою кількістю пелюстків характеризується діаграма спрямованості. У випадку сферичного розсіювача найбільша осциляція поля випромінювання для коротких несиметричних вібраторів довжиною менше ?/2 спостерігається поблизу “темного полюса”, де амплітуди інтерферуючих хвиль приблизно однакові. З віддаленням від полюса різниця амплітуд прямої та зворотної хвилі зростає, а тому амплітуда осциляції поля зменшується. При збільшенні розмірів сфери форма діаграми спрямованості в передньому напівпросторі наближається до форми діаграми спрямованості вертикального вібратора тієї ж довжини над нескінченним ідеально провідним екраном, а в задньому напівпросторі при цьому амплітуда поля постійно зменшується в зв'язку з екрануючою дією сферичного розсіювача.

Вивчено характеристики “несиметричного” аналога сферичної кутової антени О.О. Пістолькорса у вигляді радіального несиметричного вібратора довжиною L=?/4, який знаходиться на ідеально провідній напівсфері з одиничним дифракційним радіусом в точці з координатами та , В цьому випадку ідеально провідний нескінченний екран збіжний з меридіональною площиною сфери (). Для прикладу, на рис. 1 суцільною кривою представлена нормована до максимальної величини модуля повного поля |F| діаграма спрямованості зазначеної поверхневої антени у площині для . Відзначимо ще раз, що розглянута вібраторна антена разом із своїм дзеркальним зображенням становить аналог кутової вібраторної антени на ідеально провідній сфері. Відомо, що система з двох радіальних чвертьхвильових вібраторів, які живляться у протифазі і розміщені на сфері в екваторіальній площині під кутом 90°, відповідно до теорії цієї антени О.О. Пістолькорса, повинна бути слабоспрямованою. Експериментальні результати з монографії Резнікова Г.Б. показані на рис. 1 крапками. На підставі порівняння результатів розрахунку і експериментальних даних можна стверджувати, що діаграма спрямованості запропонованого аналога кутової антени є більш рівномірною у всьому секторі кутів спостереження, і така антена може бути використана як квазіітропна для напівпростору над екраном.

Визначено аналітичні вирази для власних і взаємних опорів випромінювання дугових вібраторів, які розташовані поблизу ідеально провідної сфери. Чисельно досліджено залежності їх величин від геометричних параметрів антенних систем. Отримані результати можуть бути безпосередньо використані при чисельному аналізі решіток дугових вібраторів, які знаходяться поблизу сфери, методом наведених електрорушійних сил.

Для прикладу, на рис. 2 представлені розрахункові залежності активної складової власного опору випромінювання тонкого дугового напівхвильового вібратора від відстані d поміж ним і поверхнею ідеально провідної сфери. На рис. 2 крива 1 відповідає випадку сфери з дифракційним радіусом kR=2,0, а крива 2 – сфери з дифракційним радіусом kR=10,0, крапками показані експериментальні результати з монографії під редакцією Айзенберга Г.З. для напівхвильового прямолінійного вібратору, що розміщений паралельно ідеально провідній площині. Як видно, залежності на рис. 2 мають осцилюючий характер. Амплітуди осциляцій залежностей при збільшенні d/? зменшуються і залежності асимптотично наближаються до величини Ом. Як відомо, зазначена асимптотика визначає величину власного опору симетричного напівхвильового тонкого вібратора у нескінченному просторі. Отже, на достатньо великій відстані між дуговим вібратором і сферою, коли їхня взаємодія стає незначною, а геометрія вібратора наближається до прямолінійної, величина його власного опору випромінювання збігається з величиною власного опору вібратора у нескінченному просторі. Як і слід було сподіватися, чим більший розмір сферичного розсіювача, тим більше схожим стає характер його впливу на величину опору дугового вібратору відносно з характером впливу нескінченної площини на величину опору випромінювання прямолінійного вібратора. Так вже для kR=10,0 результати розрахунків і експериментальні дані (див. рис. 2) для d > 0,15? добре узгоджуються між собою.

У шостому розділі “Характеристики випромінювання вузьких щілин, що прорізані в сферичних розсіювачах” розглянуті кільцева щілина у випадку аксіально-симетричного збудження, яка прорізана в площині, що паралельна екваторіальній площині сфери; лінійна щілина, довжина якої близька до ?/2, а поздовжня вісь паралельна лінії екватора сфери; лінійна щілина зазначеної геометрії із шаруватим діелектричним заповненням апертури. Для всіх типів випромінювачів електричне поле поперек щілин передбачалося постійним. Поле уздовж лінійної порожньої щілини апроксимувалося напівперіодом тригонометричної функції. Поле уздовж лінійної щілини, яка заповнена симетричною тришаровою діелектричною структурою, апроксимувалось розподілом поперечної складової електричного поля основної моди прямокутного хвилеводу, перетин якого збігається з апертурою щілинного випромінювача і має аналогічне діелектричне заповнення.

За допомогою знайдених раніше в роботі магнітних функцій Гріна отримано аналітичні вирази для полів випромінювання зазначених типів щілинних випромінювачів, які розташовані на ідеально провідній сфері. Також отримано вирази для полів випромінювання кільцевої щілини, яка прорізана в імпедансному сферичному розсіювачі або в ідеально провідному напівсферичному виступі над металевим екраном. Знайдені вирази дозволяють розраховувати електромагнітні поля випромінювання щілинних сферичних антен розглянутих типів як у ближній, так і в хвильовій зоні.

Для всіх зазначених типів щілинних антен отримано аналітичні вирази для власних і взаємних провідностей випромінювання, що можуть бути безпосередньо використані при чисельному аналізі характеристик щілинних решіток, які розташовані на сферичних розсіювачах, методом наведених магніторушійних сил. В залежності від зміни геометричних параметрів антенних систем проведено чисельні дослідження власних і взаємних провідностей кільцевих щілин, що прорізані в ідеально провідній чи імпедансній сферах; лінійних порожніх щілин, які прорізані в ідеально провідному сферичному розсіювачі; власної провідності кільцевої щілини, що прорізана в ідеально провідному напівсферичному виступі над нескінченним екраном.

У сьомому розділі “Збудження електромагнітних хвиль в областях з циліндричними координатними границями” побудовано функції Гріна електричного і магнітного типів для циліндричних областей з поздовжньо-неоднорідним двошаровим чи тришаровим діелектричним заповненням. Відзначимо, що