НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

ВОВК ОКСАНА МИХАЙЛІВНА

УДК 539.3

АНАЛІТИКО-ЧИСЛОВЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ТЕРМОПРУЖНОСТІ ЗА КОНВЕКТИВНО-ПРОМЕНЕВОГО ТЕПЛООБМІНУ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник | доктор технічних наук, старший науковий співробітник

Попович Василь Степанович

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України,

заступник директора з наукової роботи.

Офіційні опоненти: | Член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор

Бурак Ярослав Йосипович,

Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів, науковий керівник центру;

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Козлов Володимир Ілліч,

Інститут механіки ім. Тимошенка НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник.

Захист відбудеться 25 березня 2008 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

Автореферат розіслано 23 лютого 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук О.В. Максимук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Елементи конструкцій сучасної техніки при їх виготовленні та експлуатації часто зазнають впливу високотемпературного оточуючого середовища за одночасної дії на них силового навантаження. Правильне передбачення наслідків такого навантаження елементів конструкцій з огляду на забезпечення їх міцності та надійності є ключовою проблемою у різних галузях промисловості: теплотехніці, ядерній енергетиці, металургії, ракетній техніці та інших. Існуючі моделі не завжди точно та повно описують реальні процеси розповсюдження тепла та спричинений відповідним розподілом температури напружено-деформований стан і в багатьох випадках не задовольняють сучасні вимоги практики. Тому очевидною є необхідність розробки методів визначення та дослідження напружено-деформованого стану тіл, що моделюють елементи конструкцій, за їх високоградієного нагрівання чи охолодження.

Як відомо, теплообмін між тілом і середовищем, що його оточує, може відбуватись трьома основними способами: теплопровідністю, конвекцією та тепловим випромінюванням. У природі та техніці ці процеси передачі тепла дуже часто проходять сумісно, і у такому випадку кажуть, що має місце складний теплообмін, врахування якого дозволяє точніше описати реальні процеси. Ще одним фактором для більш адекватного опису температурного поля та визначення спричиненого ним напружено-деформованого стану за умов високоградієнтного в часі та просторі нагрівання є врахування в їх математичних моделях залежності теплових і механічних характеристик матеріалу від температури. Це дозволяє точніше описати реальні процеси теплообміну, водночас істотно ускладнює відповідні розрахунки, оскільки приводить до нелінійних крайових задач математичної фізики, а при визначенні напружено-деформованого стану – до крайових задач для систем диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.

Задачі термопружності для термочутливих тіл зі складним теплообміном у загальному випадку є доволі складними. Для їх розв’язування переважно приймають певні спрощення щодо температурних залежностей їх теплових та механічних характеристик (нехтують температурною залежністю окремих характеристик або допускають специфічний вигляд цих залежностей), що істотно спрощує знаходження їх розв’язків, або використовують суто числові методи. Для якісного аналізу термопружного стану, а також для оцінки достовірності суто числових розв’язків безперечно цінними є аналітичні та аналітико-числові розв’язки, побудовані у вигляді явних формул. У літературі відомі методи побудови таких розв’язків за умов відсутності на обмежуючих поверхнях тіла силових навантажень у випадках задання на них температур або потоків тепла, чи конвективного теплообміну з зовнішнім середовищем певної температури. З огляду на це, актуальною є тема дисертаційної роботи, яка спрямована на вирішення наукового завдання – розробку ефективної аналітико-числової методики розрахунку компонент термопружного стану тіл, що зазнають високоградієнтного нагрівання, перебувають в умовах конвективно-променевого теплообміну з зовнішнім середовищем на основі моделей, що враховують реальну температурну залежність усіх теплових та механічних характеристик матеріалу.

Підґрунтям для проведених у дисертаційній роботі досліджень є моделі та методи класичної термопружності, які передбачають незалежність теплових та механічних характеристик матеріалу від температури. Їх побудові та розвитку, а також дослідженню термомеханічних процесів тіл за врахування взаємодії полів різної фізичної природи присвячені праці Андрейківа О.Є., Божидарніка В.В., Бу-рака Я.Й., Гачкевича О.Р., Григолюка Е.І., Григоренка О.Я, Грінченка В.Т., Гузя О.М., Гудра-мовича В.С., Калоєрова С.О., Кіта Г.С., Коваленка А.Д., Коля-на Ю.М., Кубенка В.Д., Кушніра Р.М., Максимовича В.М., Максимука О.В., Мартиняка Р.М., Мелешка В.В., Михаськіва В.В., Можаровського В.В., Мосса-ковського В.І., Новацького В., Николишина М.М., Няшина Ю.І., Осадчука В.А., Панасюка В.В., Писаренка Г.С., Підстригача Я.С., Піскунова В.Г., Попова Г.Я., Пру-сова І.О., Рвачова В.Л., Саврука М.П., Сяського А.О., Сулима Г.Т., Тимошенка С.П., Тер-лецького Р.Ф., Трощенка В.Т., Улітка А.Ф., Хорошуна Л.П., Чаплі Є.Я., Чеку-ріна В.Ф., Шаблія О.М., Швайка М.Ю., Шевченка В.П., Швеця Р.М., Шевчука П.Р., Яснія П.В., Яреми С.Я.

При виконанні роботи автор спирався на оригінальні праці з термомеханіки термочутливих тіл Бурака Я.Й., Василенка А.Т., Вігака В.М., Воробйова Ю.Є., Гачкевича О.Р., Григолюка Е.І., Григоренка Я.М., Дробенка Б.Д., Євтушенка О.О., Жука Я.О., Карнаухова В.Г., Коздоби Л.О., Козлова В.І., Коляна Ю.М., Куш-ніра Р.М., Ломакіна В.А, Махоркіна І.М., Недосєки А.Я., Немировського Ю.В., Під-стригача Я.С., Поповича В.С., Постольника Ю.С., Процюка Б.В., Сенченкова І.К., Стеблянка П.О., Сулима Г.Т., Терлецького Р.Ф., Федика І.І., Шевченка Ю.М., Ясінського А.В., Hata T., Noda N., Parida J. і Das A.K., Koizumi T. і Taniwaki T., Kishigami H., Nowinski J., Staniљiж M.M. і McKinley R.M., Nyuko H. і Takeuti Y., Atsumi A., Tauchert T.R., Tang S., Kamiya N., Kameyama E., Newman M. і Forray M., J.Minardi та ін.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках бюджетних науково-дослідних тем ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України, а саме: „Розробка методів розв’язування задач термопружності при імпульсних режимах навантаження термочутливих тіл неоднорідної структури” (1998-2002рр., № державної реєстрації 0198U002530), „Розробка аналітико-чисельних методів дослідження напруженого стану неоднорідних тіл з тепловими та залишковими деформаціями та дефектами структури” (2003-2006рр., № державної реєстрації 0103U000131), „Розробка математичних моделей і методів для дослідження та оптимізації нелінійних термодифузійних процесів у багатокомпонентних електропровідних і діелектричних середовищах неоднорідної структури” (2002-2004рр., № державної реєстрації 0102U001616), „Розробка моделей та методів розрахунку теплового і напружено-деформованого стану структурно-неоднорідних елементів конструкцій з урахуваннями фізичної нелінійності матеріалу” (2007р. № державної реєстрації 0107U000357).

Внесок здобувача як виконавця цих науково-дослідних тем полягає у розробці та апробації аналітико-числових підходів до розв’язування задач термопружності термочутливих тіл за конвективно-променевого теплообміну.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка та апробація аналітико-числової методики визначення температурних полів і спричиненого ними квазістатичного напружено-деформованого стану тіл, які зазнають високоградієнтного нагрівання та одночасної дії силових навантажень і перебувають в умовах конвективно-променевого теплообміну з зовнішнім середовищем на основі математичних моделей, що враховують залежність їх теплофізичних і механічних характеристик від температури.

За нехтування перетворення механічної енергії у теплову сформульована задача термопружності є незв’язаною, і побудова її розв’язку зводиться до попереднього визначення температурного поля тіла, а потім – зумовленого ним і прикладеними силовими факторами напружено-деформованого стану. Досягнення поставленої мети здійснюється шляхом:

1) застосування аналітико-числової методики розв’язування нестаціонарних задач теплопровідності для тіл, що перебувають в умовах конвективно-променевого теплообміну з довкіллям, яка полягає в частковій лінеаризації вихідної нелінійної нестаціонарної крайової задачі теплопровідності за допомогою інтегрального перетворення Кірхгофа, використанні запропонованого варіанту методу послідовних наближень для розв’язування задачі на змінну Кірхгофа, обчисленні температури за відомою змінною Кірхгофа;

2) апробації запропонованої методики на нових нестаціонарних задачах теплопровідності для термочутливих шару, суцільної та порожнистої куль, простору зі сферичною порожниною та порівняння отриманих розв’язків з розв’язками, знайденими чисельно;

3) розробки аналітико-числової методики визначення стаціонарного температурного поля тонкої оболонки, що міститься всередині іншої тонкої оболонки і перебуває за умов променево-кондуктивного теплообміну, у вигляді ітераційного процесу, що передбачає почергове розв’язування задач променевого теплообміну та теплопровідності, а також її апробації на нових практично важливих задачах;

4) визначення компонент напружено-деформованого стану, зумовленого знайденим температурним полем, шляхом побудови розв’язку відповідної задачі термопружності;

5) дослідження впливу термочутливості теплофізичних та механічних характеристик матеріалу розглянутих тіл на їх напружено-деформований стан.

Об’єктом досліджень є термочутливі тіла простої геометричної форми та скінченні тонкі пластинчаті оболонки.

Предметом досліджень є температурні поля і зумовлені ними компоненти напружено-деформованого стану у термочутливих тілах за умов складного теплообміну.

Методи досліджень. У роботі використані метод послідовних наближень, інтегральні перетворення Кірхгофа та Лапласа, непрямий метод граничних елементів, стандартні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, інтегральний метод дослідження променевого теплообміну та метод збурень.

Достовірність результатів забезпечується: строгістю та коректністю постановок крайових задач; застосуванням при їх розв’язуванні відомих методів, що забезпечують необхідну точність; порівнянням розв’язків, отриманих з використанням запропонованої аналітико-числової методики з розв’язками, одержаними чисельно; фізичною інтерпретацією отриманих результатів та співпадінням їх у часткових випадках з відомими у літературі, які отримані іншими методами.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в:

· розвитку аналітико-числової методики побудови розв’язків квазістатичних задач термопружності для тіл простої геометричної форми на основі математичних моделей, що враховують залежність від температури всього спектру теплових та механічних характеристик матеріалу, конвективно-променевий теплообмін з зовнішнім середовищем через обмежуючі поверхні та одночасно зазнають силових навантажень;

· апробації розвинутої методики на нових квазістатичних задачах термопружності для термочутливих шару, суцільної та порожнистої куль, простору зі сферичною порожниною, через поверхні яких відбувається конвективно-променевий теплообмін з довкіллям;

· дослідженні впливу термочутливості матеріалу розглянутих об’єктів на розподіл та величину температурного поля і компонент спричиненого ним напружено-деформованого стану;

· розробці методики розв’язування задач променево-кондуктивного теплообміну між двома тонкими оболонками, яка включає зведення з використанням восьми вузлових елементів для апроксимації поверхонь тіл та густин потоків падаючої променевої енергії системи інтегральних рівнянь для їх визначення до системи лінійних алгебраїчних рівнянь;

· побудові розв’язків задач променево-кондуктивного теплообміну між двома неспіввісними циліндричними оболонками та призматичною і циліндричною оболонками, а також дослідженні їх термомеханічної поведінки.

Теоретичне значення роботи полягає у розвитку аналітико-числової методики розв’язування квазістатичних задач термопружності тіл за умов конвективно-променевого теплообміну через обмежуючі їх поверхні з довкіллям при урахуванні залежностей від температури всього спектру теплових та механічних характеристик за одночасної дії на них силових навантажень на основі моделі термочутливого тіла та розробці аналітико-числової методики розв’язування задач променево-кондуктивного теплообміну між тонкими оболонками, дослідженні впливу термочутливості матеріалу на величину та характер розподілу напружено-деформованого стану.

Практичне значення. Розроблені в роботі алгоритми використовуються для визначення температурних полів та спричинених ними напружень в елементах конструкцій, що перебувають в умовах складного теплообміну та одночасно зазнають дії силових навантажень, а також можуть бути покладені в основу їх розрахунку на міцність та надійність.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на VI-ому Міжнародному симпозіумі iнженерів-механіків (Львів, 21-23 травня 2003р.), VI Міжнародній науковій конференції „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 26-29 травня 2003р.), Всеукраїнській науковій конференції „Сучасні проблеми механіки” (до 80-річчя Д.В. Гриліцького) (Львів, 2-5 листопада 2004р.), VI Міжнародній науковій школі-семінарі „Імпульсні процеси в механіці суцільних середовищ” (Миколаїв, 22-26 серпня 2005р.), VII-ій Міжнародній науковій конференції „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 20-23 вересня 2006р.), VIII–ому Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків (Львів, 23–25 травня 2007р.), VII-ому українсько-польському науковому симпозіумі „Актуальні задачі механіки неоднорідних структур” (Львів, 5-9 вересня 2007р.), Міжнародній науково-технічній конференції пам’яті академіка НАН України В.І. Моссаковського „Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій” (Дніпропетровськ, 17-19 жовтня 2007р.).

У повному обсязі робота доповідалася на науковому семінарі відділу термомеханіки та проблемному семінарі за напрямком "Механіка взаємозв’язних полів" Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, науковому семінарі відділу термопружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. І.Я. Франка.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 17 наукових праць [1-17], у тому числі 6 статей [1-6] у наукових журналах, що входять до переліку фахових видань України, 3 статті [7-9] в інших виданнях та 8 матеріалів та тез конференцій [10-17].

У роботах, виконаних у співавторстві, особистим внеском здобувача є участь у постановці задач, виборі методів їх розв’язування, проведені всіх математичних викладок та аналізі результатів досліджень. Зокрема, у працях [2-6, 10, 13-17] з використан-ням розробленої аналітико-числової методики – у побудові розв’язків задач термопружності для конкретних термочутливих тіл за умов конвективно-променевого теплообміну; у роботах [1, 7-9] – у розробці аналітико-числової методики та її поширенні на задачі променево-кондуктивного теплообміну між двома циліндричними та циліндричною і призматичною оболонками (зведення отриманої системи інтегральних рівнянь задачі щодо визначення густин потоків падаючої променевої енергії до системи алгебраїчних рівнянь з використанням кусково-постійних та восьми вузлових елементів апроксимацій). Здобувачем самостійно розроблено алгоритми та створено програми для розв’язування задач термопружності, а також проведено числові розрахунки та їх аналіз.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, загальних висновків, переліку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 144 сторінки, у тому числі 41 рисунок, 4 таблиці, 189 найменувань бібліографічного списку.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи: обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету та задачі дослідження; висвітлено наукову новизну, теоретичне та практичне значення отриманих результатів; подано відомості про апробацію роботи та її зв’язок з науково-дослідними темами установи, де вона виконана; зазначено кількість публікацій, у яких висвітлено основні результати дослідження, і окреслено особистий внесок здобувача у публікаціях, підготовлених за участю співавторів; тезисно викладено зміст роботи у цілому.

У першому розділі за літературними джерелами проаналізовано методи визначення та дослідження термопружного стану термочутливих тіл за складного теплообміну. Обґрунтовано вибір теми дисертації та методів розв’язування поставлених задач.

У другому розділі наведено основні рівняння і крайові умови задач теплопровідності та термопружності для термочутливих тіл у декартовій, циліндричній і сферичній системах координат за різних умов нагрівання та навантаження.

Температурне поле ізотропного твердого тіла, яке займає деяку обмежену поверхнею просторову область , і нагрівається довільно розподіленими в його об’ємі джерелами тепла густини , а його теплофізичні (коефіцієнт теплопровідності і об’ємна теплоємність ) характеристики залежать від температури , описується нелінійним рівнянням нестаціонарної теплопровідності

(1)

Рівняння (1) у залежності від геометрії досліджуваного тіла подано в різних системах координат.

Якщо через поверхню тіла відбувається конвективно-променевий тепло-обмін зі зовнішнім середовищем, то гранична умова має вигляд

(2)

де – коефіцієнт теплообміну, який характеризує інтенсивність теплової взаємодії середовища заданої температури з поверхнею тіла, – ступінь чорноти поверхні , – стала Стефана-Больцмана. З умови (2) при різних комбінаціях значень коефіцієнтів і можна отримати часткові випадки граничних умов на поверхні , а саме: при – умову конвективного теплообміну з зовнішнім середовищем (тепло-обміну за законом Ньютона), – умову променевого теплообміну.

При розгляді нестаціонарних задач теплопровідності, крім граничних умов необхідно задати також початкову умову, яка описує розподіл температури тіла в початковий момент часу

(3)

У випадку стаціонарної задачі променево-кондуктивного теплообміну між двома скінченними непрозорими пластинчатими оболонками температурне поле внутрішньої тонкої оболонки визначається з рівняння (1) з нульовою правою частиною, а крайові умови вибираються наступним чином: на верхній та нижній основах задаються або розподіли температурного поля, або теплові потоки, а на ребрах бічної поверхні – умови ідеального теплового контакту (рівності температур та потоків між межуючими гранями). На зовнішній та внутрішній поверхнях оболонки задаються потоки тепла, що враховують променевий теплообмін між оболонками

(4)

де густини потоків падаючої променевої енергії на поверхнях визначаються з рівнянь:

(5)

(6)

(7)

Тут , - відповідно коефіцієнти теплопровідності матеріалів і товщини граней ; густини потоків власного випромінювання абсолютно чорного тіла при температурах і відповідно; елементарні кутові коефіцієнти випромінювання, де, - кут між нормаллю до поверхні в точці і радіус-вектором між точками та , причому , а , , якщо точку видно з точки спостереження і , якщо точку з точки спостереження не видно, - довжина радіус-вектора, що з’єднує точки та , . В рівняннях (5) (7) для зручності використані координати , які повністю співпадають з координатами ().

Для визначення компонент напружено-деформованого стану тіла наведені відповідні рівняння і співвідношення термопружності термочутливого тіла у різних системах координат та крайові умови.

Зазначимо, що характерною особливістю визначення термопружного стану термочутливих тіл є нелінійність відповідних задач теплопровідності і те, що задачі термопружності є крайовими задачами для систем диференціальних рівнянь з частинними похідними і змінними коефіцієнтами.

У третьому розділі викладено аналітико-числову методику розв’язування квазістатичних задач термопружності термочутливих тіл за умов конвективно-променевого теплообміну з довкіллям через обмежуючі поверхні та аналітико-числову методику розв’язування стаціонарних задач теплопровідності для тонких пластинчатих оболонок за умов променевого теплообміну з іншими оболонками, всередині яких вони знаходяться.

Температурне поле термочутливого тіла простої геометричної форми (тіло, яке займає просторову область , обмежену фрагментами координатних поверхонь , ) визначається з рівняння (1), коли , за граничних умов (2) на поверхнях , та початкової умови (3), причому коефіцієнти теплообміну та ступені чорноти поверхонь вважаються залежними від температури.

Методика розв’язування запропонованої задачі полягає у наступних кроках.

Перехід до безрозмірних величин. Вибераємо за відлікову температуру деяке її значення, а за характерний розмір тіла величину і вводимо безрозмірні температуру та координати. Подаємо характеристики матеріалу тіла , коефіцієнти теплообміну та ступені чорноти поверхонь у вигляді, де величини з нуликом мають відповідні розмірності, а величини з зірочкою є функціями безрозмірної температури, причому , а отже (). В результаті сформульовану вище задачу запишемо у вигляді:

(8)

(9)

(10)

де .

Часткова лінеаризація задачі за допомогою перетворення Кірхгофа. До нелінійної задачі (8) - (10) застосовуємо перетворення Кірхгофа

(11)

У результаті отримаємо таку крайову задачу на змінну

(12)

(13)

(14)

де – вираз безрозмірної температури через змінну Кірхгофа, який для конкретної залежності коефіцієнта теплопровідності від температури знаходимо з інтегрального рівняння (11),. Позитивним наслідком даного перетворення є те, що вихідна задача (8) – (10) частково лінеаризувалася, а до отриманої задачі (12) – (14) стало можливим застосування методу послідовних наближень.

Метод послідовних наближень для розв’язання задачі на змінну Кірхгофа. За - те () наближення розв’язку задачі (12) – (14) візьмемо аналітичний розв’язок такої лінійної крайової задачі:

(15)

(16)

(17)

де ,? точка і момент часу, в яких обчислюються значення змінної Кірхгофа.

Розв’язок лінійної задачі (15)-(17) будуємо будь-яким із класичних методів (розділення змінних, інтегральних перетворень тощо).

Обчислення температури за відомою змінною Кірхгофа. Якщо, наприклад, коефіцієнт теплопровідності лінійно залежить від температури, то -те наближення температури в тілі обчислюємо за формулою:

. (18)

У випадку, коли залежність коефіцієнта теплопровідності від температури є такою, що не можна отримати аналітичний розв’язок рівняння (11) від-нос-но T, її слід апроксимувати так, щоб рівняння (11) можна було роз-в’я-зати.

Наступною у цьому розділі викладена аналітико-числова методика розв’язування задач променево-кондуктивного теплообміну між двома тонкостінними пластинчатими оболонками. Вважається, що поверхні оболонок сірі та непрозорі, температурне поле на зовнішній оболонці – задане.

Через малу товщину внутрішньої оболонки температурне поле незначно змінюється за її товщиною. З огляду на це температуру по товщині оболонки усереднено. Для цього рівняння (1), записане в декартовій системі координат з рівною нулю правою частиною, проінтегровано по у межах від до, використавши при цьому умови (4). В результаті сформульовано наступну крайову задачу:

(19)

(20)

коли, , (21)

де, – ребра бічної поверхні, – товщина оболонки.

Густини потоків падаючої променевої енергії знаходяться з інтегральних рівнянь (5)-(7). Запропонована методика розв’язування такої задачі полягає в дискретизації поверхонь оболонок чотирикутними елементами, апроксимації на них густин потоків падаючої променевої енергії та описується наступним алгоритмом:

1)

2)

3)

4)

5)

де – задана точність.

Якщо нерівність (22) не виконується, то робимо переприсвоєння і повертає-мося до пункту 2.

У цьому ж розділі центрально-симетрична квазістатична задача термопружності (враховується температурна залежність всіх термомеханічних характеристик матеріалу) методом збурень зведена до послідовності крайових задач для відповідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Для знаходження нульового складника безрозмірного переміщення у сферичній системі координат отримали рівняння

(23)

де, , , а для знаходження всіх наступних складників переміщення – рекурентну послідовність диференціальних рівнянь

(24)

де, – темпе-ратурні залежності модуля зсуву, коефіцієнта Пуассона та температурного коефіці-єнта лінійного розширення.

Проінтегрувавши рівняння (23) і (24), знайшли вирази для склад-ників радіального переміщення

(25)

(26)

де, , , , , – сталі інтегрування.

Підставивши (25), (26) у відповідні співвідношення для напружень, отримали наступні вирази для складників температурних напружень:

(27)

(28)

(29)

(30)

Сталі інтегрування визначаються з конкретних крайових умов.

У четвертому розділі розв’язано задачі теплопровідності та термопружності тіл за різних випадків складного теплообміну, а саме для термочутливого нескінченного шару за конвективно-променевого теплообміну із зовнішнім середовищем, термочутливої пластини за умов нагрівання миттєво-діючим джерелом тепла та конвективного теплообміну з оточуючим середовищем, тонких циліндричної та призматичної оболонок, які перебувають в умовах кондуктивно-променевого теплообміну із зовнішньою циліндричною оболонкою. Зокрема, результати досліджень для шару наведено на рис. 1, а для пластини – на рис. 2. За матеріал шару було взято сталь 15Х1М1Ф у діапазоні температур 293К – 873 К.

а) б)

Рис. 1. Розподіли безрозмірних температури (а), напружень (б) на поверхні шару в залежності від безрозмірного часу.

На рис. 1 подано графіки розподілу безрозмірних відповідно температури та напружень в залежності від безрозмірного часу на поверхні шару, коли через неї відбуваються різні види теплообміну (конвективний, конвективно-променевий, променевий). Суцільні лінії відповідають термочутливому матеріалу, а штрихові – нетермочутливому (характеристики рівні їх значенням при початковій температурі 293 К), криві 1 –; 2 –; 3 –.

Досліджувався вплив термочутливості матеріалу сталевої (У12) пластини, ха-рактеристики якої розглядались в діапазоні температур 373 К – 873 К.

а) б)

в) г)

Рис. 2. Розподіли приросту температури (а), переміщення (б), радіальних (в), колових (г) напружень.

На рис. 2 наведені графіки розподілу приросту температури, де К, безрозмірного переміщення , радіального і колового напружень в залежності від для термочутливої (суцільна лінія) і нетермочутливої (штрихова лінія) пластин. Максимальна розбіжність між значеннями приростів температури в цих пластинах становила 14%, між значеннями – 32%, між значеннями – 25%, між значеннями – 50%.

У цьому ж розділі побудовано розв’язки задач теплопровідності та проведено дослідження температурного поля для циліндричної та призматичної оболонок, що знаходяться всередині іншої циліндричної оболонки і обмінюються з нею теплом шляхом променевого теплообміну. Отримані розв’язки, зокрема, можуть бути вико-ристані для дослідження температурного поля елементів вакуумних фотоприладів.

У п’ятому розділі, використовуючи запропоновану в третьому розділі аналітико-числову методику, розв’язано центрально-симетричні квазістатичні задачі термопружності для термочутливих суцільної і порожнистої куль та простору зі сферичною порожниною, на обмежуючих поверхнях яких задані сталі тиски і через них відбувається променево-конвективний теплообмін з зовнішнім середовищем. На основі отриманих розв’язків проведено дослідження впливу термочутливості матеріалу і наявного на обмежуючих поверхнях тіл силового навантаження на характер і величину температурного поля та компонент зумовленого ним напружено-деформованого стану. Результати досліджень наведені на рис. 3 – для суцільної кулі (суцільні лінії відповідають термочутливому матеріалу кулі, штрихові – нетермочутливому, а пунктирні – за нехтування температурною залежністю коефіцієнта температуропровідності ()), рис. 4, 5 – для порожнистої кулі (суцільні лінії відповідають термочутливому матеріалу, а штрихові – нетермочутливому). За матеріал суцільної кулі було взято сталь 15Х1М1Ф з характеристиками у діапазоні температур 293–873К, а для порожнистої кулі – сталь У12 з характеристиками в діапазоні температур 373–873К.

а) б) в)

Рис. 3. Розподіли температурного поля (а) в залежності від при різних комбінаціях , радіальних (б) та колових (в) напружень за конвективно-променевого теплообміну і наявності тиску на поверхні кулі.

a) б)

Рис. 4. Графіки розподілу безрозмірної температури в залежності від на внутрішній поверхні (а) і при по товщині стінки (б) порожнистої кулі за різних комбінацій теплообмінів

a) б)

в)

Рис. 5. Графіки розподілів переміщень (a), радіальних (б), колових (в) напружень при по товщині стінки порожнистої кулі при конвективно-променевому теплообміні і різних комбінаціях тисків на поверхнях.

Подібний аналіз проведено також для простору зі сферичною порожниною.

Для перевірки достовірності результатів, отриманих методом послідовних наближень, відповідні задачі теплопровідності були розв’язані чисельно. Максимальна розбіжність між отриманими обома способами результатами не перевищувала 2%. Проведені числові дослідження підтвердили важливість врахування температурної залежності характеристик матеріалу під час визначення термопружного стану елементів конструкцій за умов високотемпературного нагрівання.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішено важливу науково-технічну задачу, яка полягає у розробці методики розрахунку термопружного стану елементів конструкцій, що перебувають в умовах конвективно-променевого теплообміну та одночасно зазнають дії силового навантаження . При цьому отримані такі основні результати.

1. Розроблено аналітико-числову методику розв’язування нестаціонарної задачі теплопровідності для термочутливого тіла за умов конвективно-променевого теплообміну через його поверхні, яка включає часткову лінеаризацію задачі за допомогою змінної Кірхгофа та застосування методу послідовних наближень для побудови розв’язку крайової задачі на цю змінну.

2. Методику апробовано на нових задачах для термочутливих шару, суцільної і порожнистої куль, простору зі сферичною порожниною. Для перевірки достовірності отриманих результатів відповідні задачі розв’язано також чисельно шляхом дискретизації за просторовою змінною і зведення їх до задачі Коші для системи диференціальних рівнянь за часом.

3. Розроблено аналітико-числову методику розв’язування стаціонарних задач променево-кондуктивного теплообміну тонких оболонок, яка полягає у:

- зведенні системи інтегральних рівнянь для визначення густин потоків падаючої променевої енергії до системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою дискретизації поверхонь оболонок та застосування восьми вузлової апроксимації для густин потоків падаючих променевих енергій;

- розв’язуванні задачі теплопровідності непрямим методом граничних елементів.

З допомогою запропонованої методики отримано розв’язки нових задач кондуктивно-променевого теплообміну: для тонкої циліндричної оболонки, яка знаходиться всередині іншої циліндричної оболонки та для тонкої призматичної оболонки, що міститься всередині циліндричної оболонки.

4. На основі сформульованої математичної моделі, що враховує температурну залежність всіх термомеханічних характеристик матеріалу, методом збурень побудовано розв’язки нових задач термопружності для безмежної тонкої пластини, суцільної і порожнистої куль та простору зі сферичною порожниною. Шляхом чисельного експерименту доведена швидка збіжність цього методу. Обчислені перші два члени розвинень компонент напружено-деформованого стану складають понад 90 - 95% сумарних величин переміщення і напружень.

5. На основі отриманих розв’язків досліджено вплив термочутливості матеріалу на величину і характер розподілу температурного поля та компонент напружено-деформованого стану термочутливих шару та тонкої пластини. Проведений числовий аналіз показав, що залежно від матеріалу розбіжність між значеннями температури у термочутливому і нетермочутливому тілах становила від 2% до 15%, а між відповідними значеннями напружень і переміщень – від 15% до 60%. Найбільшу зміну напружень у порівнянні з їх значеннями, обчисленими при всіх залежних від температури термомеханічних характеристиках, вносить невраху-вання залежності від температури температурного коефіцієнта лінійного розширення. Розбіжність між напруженнями в термочутливих і нетермочутливих тілах залежить також і від величини прикладеного силового навантаження.

6. Числові дослідження показали швидку збіжність методу послідовних наближень (кількість наближень не перевищувала 12) та ітераційної процедури (кількість ітерацій не перевищувала 6), що підтверджує ефективність запропонованих методик до розв’язування нелінійних задач теплопровідності за умов складного теплообміну.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Попович В. С., Вовк О. М. Методика розв’язування задачі кондуктивно-проме-невого теплообміну між циліндричною та N-кутною призматичною оболон-камиМат. методи та фіз.-мех. поля. – 2004. – 47, №1. – С. 158-168.

2. Попович В. С., Вовк О. М., Гарматій Г. Ю. Термопружний стан термо-чут-ливого шару при конвективно-променевому нагріванні // Прикл. проблеми механіки і математики. – 2004. – Вип. 2. – С. 171-177.

3. Попович В. С., Вовк О. М., Гарматій Г. Ю. Термопружний стан термочутливої кулі за умов складного теплообміну з оточуючим середовищем // Прикл. проблеми механіки і математики. – 2005. – Вип. 3. – С. 99-106.

4. Попович В. С., Гарматій Г. Ю., Вовк О. М. Термопружний стан термо-чутливої порожнистої кулі за умов конвективно-променевого теплообміну з довкіллям // Фіз.-хім. механіка мате-ріалів. – 2006. – 42, № 6. – С. 39-48.

5. Попович В. С., Гарматій Г. Ю., Вовк О. М. Термопружний стан термочут-ливого простору зі сферичною порожниною за умов конвективно-променевого теплообміну // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2006. – 49, № 3. – С. .

6. Попович В., Гарматій Г., Вовк О. Термопружний стан термочутливої тонкої пластини за умов нагрівання джерелом тепла та теплообміну з оточуючим середовищем // Машинознавство. – 2007. – № 7. – С. 21 – 25.

7. Грицько Є.Г., Вовк О.М., Шуміліна Н.В. Моделювання променевого теплообміну між тримачем та корпусом фотоелектронного приладу // Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Електроніка. – 1999. – № 382. – С.17-22.

8. Грицько Є.Г., Вовк О.М. Моделювання променевого теплообміну між скінченними неспіввісними циліндричними оболонками // Збірник наукових праць “Крайові задачі для диференціальних рівнянь”. Київ: Ін-т мат. НАНУ. – 1999. – Вип. 4. – С.58-62.

9. Грицько Є.Г., Вовк О.М. Моделювання кондуктивно-променевого теплообміну між тримачем та корпусом фотоелектронного приладу // Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Прикладна математика. – 2000. – № 407. – С.134-138.

10. Попович В. С., Вовк О. М. Аналітико-числові дослідження термопружного стану термочутливого шару при конвективно-променевому нагріванні // 6-й Міжн. симп. укр. інженерів-механіків (21–23 травня 2003): Тези доп. – Львів, 2003. – С. 74.

11. Вовк О. М. Моделювання кондуктивно-променевого теплообміну між тримачем та корпусом фотоелектронного приладу при залежності коефіцієнта відбивання від температури 6-а Міжн. наук. конф. “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”, (26–29 травня 2003 р.). – Львів: Ін-т прикл. проблем механіки і математики НАН України, – 2003. – С. .

12. Вовк О.М. Моделювання кондуктивно-променевого теплообміну між двома циліндричними оболонками з використанням лінійних апроксимацій // Всеукраїнська наукова конференція “Сучасні проблеми механіки” (2-5 листопада 2004р.): Тези доп. – Львів, 2004. – С. 60.

13. Кушнір Р. М., Попович В. С., Вовк О. М. Дослідження термопружного стану термочутливого шару при конвективно-променевому нагріванні // Импульсные процессы в механике сплошных сред: Материалы VI Междунар. науч. школы-семинара (22-26 августа 2005). – Николаев, 2005. – С. 111-112.

14. Попович В. С., Гарматій Г. Ю., Вовк О. М. Дослідження термопружного стану термочутливої порожнистої кулі за умов складного теплообміну7-а Міжн. наук. конф. “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”, (20–23 вересня 2006): Збірник матеріалів в 2-х т. – Львів, 2006. – Том. 2. – С. 222-225.

15. Попович В., Гарматій Г., Вовк О. Визначення термопружного стану термо-чутливої пластини за умов нагрівання джерелом тепла та теплообміну з довкіллям // Актуальні задачі механіки неоднорідних структур: Тез. доп. 7-го українсько-польського наукового симпозіуму (5-9 вересня 2007). – Львів, 2007. – С. 61-62.

16. Попович В., Гарматій Г., Вовк О. Термопружний стан термочутливих тіл простої геометричної форми за умов складного теплообміну// Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій: Тез. доп. міжнародної науково-техн. конф. пам’яті акад. НАНУ В.І. Моссаковського (17-19 жовтня 2007).– Дніпропетровськ, 2007. – С. 357-358.

17. Попович В., Гарматій Г., Вовк О. Термопружний стан термочутливої пластини за умов нагрівання точковим джерелом тепла та конвективного теплообміну з оточуючим середовищем // 8-й Міжн. симп. укр. інженерів-механіків (23–25 травня 2007): Тези доп. – Львів, 2007. – С. 71.

АНОТАЦІЯ

Вовк О.М. Аналітико-числове розв’язування задач термопружності за конвективно-променевого теплообміну – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2008.

Запропоновано аналітико-числову методику розрахунку термопружного стану термочутливих тіл простої геометричної форми (тіла обмежені координатними поверхнями чи їх фрагментами) за конвективно-променевого теплообміну через обмежуючі поверхні з оточуючими середовищами та одночасної дії силових навантажень, а також визначення температурного поля непрозорої пластинчатої оболонки за умов променевого теплообміну з іншою оболонкою. Сформульовані на основі побудованих математичних моделей крайові задачі для визначення температурних полів є нелінійними, а для визначення напружено-деформованого стану – крайовими задачами для системи диференціальних рівнянь з частинними похідними зі змінними коефіцієнтами.

Побудовані моделі та розроблені методи використано для визначення термопружного стану термочутливих шару, суцільної і порожнистої куль, простору зі сферичною порожниною, пластини. Побудовано також розв’язки задач променево-кондуктивного теплообміну для циліндричної та призматичної оболонок. Досліджено вплив термочутливості матеріалу тіл та наявності силових навантажень на їх поверхнях на характер і величину розподілу температури та компонент напружено-деформованого стану.

Ключові слова: температурне поле, термопружний стан, термочутливість матеріалу, конвективний теплообмін, променевий теплообмін, аналітико-числова методика.

АННОТАЦИЯ

Вовк О.М. Аналитико-численное решение задач термоупругости при конвективно-лучистом теплообмене – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2008.

Предложено аналитико-численную методику определения термоупругого состояния термочувствительных тел простой геометрической формы (тела ограниченные координатными поверхностями или их фрагментами) при конвективно-лучистом теплообмене через ограничивающие поверхности с окружающей средой и одновременном действии на них силовых нагрузок, а также методику определения температурного поля непрозрачной пластинчатой оболочки при лучистом теплообмене с другой оболочкой. Сформулированные на основе построенных математических моделей краевые задачи для определения температурных полей являются нелинейными, а для определения напряженно-деформированного состояния – краевыми задачами для систем дифференциальных уравнений с частными производными и переменными коэффициентами.

Построенные модели и разработанные методы использованы для определения термоупругого состояния термочувствительных слоя, сплошного и полого шаров, пространства со сферической полостью, пластины. Построены также решения задач лучисто-кондуктивного теплообмена для цилиндрической и призматической оболочек. Исследовано влияние термочувствительности материала тел и наличия силовых нагрузок на их поверхностях на характер и величину распределения температуры и компонент напряженно-деформированного состояния. В результате численных исследований напряженно-деформированного состояния термочув-ствительных тел, установлено: пренебрежение температурной зависимостью отдельных характеристик материала может привести к большим расхождениям между значениями температуры и напряжений и их значениями, полученными при всех зависящих от температуры характеристиках, в сравнении с расхождениями между их значениями в термочувствительном и нетермочувствительном (все характеристики материала являются постоянными) теле; расхождение между напряжениями в термочувствительном и нетермочувствительном теле зависят от величины приложенной нагрузки; расхождение между распределениями температур в термочувствительном и нетермочувствительном телах не превышало 15%, между перемещениями – 32%, а между напряжениями – 60%.

Ключевые слова: температурное поле, термоупругое состояние, термочувствительность материала, конвективный теплообмен, лучистый теплообмен, аналитико-численная методика.

ABSTRACT

O.M. Vovk. Analytical-numerical solving of thermoelasticity problems under convective-radial heat exchange. – Manuscript.

Thesis for the Candidate's degree in physics and mathematics by speciality: 01.02.04 – mechanics of deformable bodies. – Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, NAS Ukraine, Lviv, 2008.

An analytical-numerical procedure has been proposed to calculate the thermostressed state of thermosensitive bodies of simple geometric shape (the bodies are bounded by the coordinate surfaces or their fragments) subject to convective-radial heat exchange through the bounding surfaces with the surroundings and simultaneous force loading and also to define the temperature field of opaque lamellate shell under radial heat exchange with another shell. The constructed mathematical models for definition of temperature fields are non-linear problems of mathematical physics and the models for definition of the stress-strain state are the boundary-value problems for a system of differential equations with partial derivatives and variable coefficients.

The constructed models and developed methods have been used to define the thermostressed state of thermosensitive: layer, solid and shallow spheres, space with a spherical cavity, plate. The solutions to the problems of radial-conductive heat exchange have been constructed for a spherical and prismatic shell. The influence of thermosensitivity of the bodies material and presence of force loadings on their surfaces on the character and value