Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

РИЖКОВА Ірина Львівна

УДК 518.9

ЗАДАЧІ НАБЛИЖЕННЯ–УХИЛЕННЯ

У ЛІНІЙНИХ ІГРАХ З ОБМЕЖЕННЯМИ НА РЕСУРСИ

01.05.04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2002

Дисертацiєю є рукопис

Робота виконана у відділі чисельних методів оптимізації

Навчально-наукового комплексу “Інститут прикладного

системного аналізу” Міносвіти та науки України та НАН України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор

Остапенко Валентин Володимирович,

Навчально-науковий комплекс “Інститут прикладного

системного аналізу” Міносвіти та науки України та НАН України,

завідуючий відділом чисельних методів оптимізації

Офiцiйнi опоненти: доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Новицький Віктор Володимирович

(Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник)

кандидат фізико-математичних наук

Білоусов Олександр Андрійович

(Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України,

старший науковий співробітник)

Провiдна органiзацiя:

Інститут космічних досліджень НАН України, м. Київ,

відділ космічних інформаційних технологій і систем.

Захист вiдбудеться 26 вересня 2002 р. на засiданнi спецiалiзованої

вченої ради Д 26.001.09 Київського національного університету

імені Тараса Шевченка, Київ, пр.Глушкова, 2, корп.6,

ф-т кібернетики, ауд. 40 о 16 годині.

(Тел.252-58-83. Факс 252-59-77, E-mail: rada@uniсyb.kiev.ua)

З дисертацiєю можна ознайомитися у Науковій бiблiотецi

Київського національного університету імені Тараса Шевченка,

Київ, вул.Володимирська, 58

Автореферат розiсланий 22 серпня 2002 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради В.П. Шевченко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Поштовхом до вивчення диференціальних ігор стали такі задачи: про переслідування одного керованого об'єкта іншим, про приведення керованого обєкта у заданий стан при невідомих наперед збурюючих силах, про керування обєктом при неповній інформації про його поточний фазовий стан та інші. Задачі, що відносяться до диференціальних ігор, вперше розглядалися у роботі Р.Айзекса. Актуальність і великий теоретичний інтерес вказаних задач призвели до швидкого розвитку теорії диференціальних ігор, зокрема у працях Л.Берковича, В.Флемінга, М.М.Красовського, Л.С.Понтрягіна, Є.Ф.Міщенка, Б.М.Пшеничного, А.А.Чикрія, В.В.Остапенка та їх учнів.

Спочатку вивчались ігри з геометричними обмеженнями на керування гравців. Це пов`язано з тим, що раніше більше уваги приділяли вивченню та моделюванню фізичних і технологічних процесів, при керуванні якими враховувались в основному технічні показники, а не економічні аспекти і проблеми збереження ресурсів. Однак, із розвитком технологій, обчислювальної техніки і попиту на задачі керування, інтерес почали викликати ігри з інтегральними обмеженнями, що знайшли своє застосування у багатьох галузях: у авіації, при переслідуванні ракетою літака; у сільському господарстві, при зрошуванні полів; у промисловості, при плануванні в умовах обмеження ресурсів.

Диференціальні ігри з інтегральними обмеженнями на керування гравців вивчались в роботах М.С.Нікольського, Ю.Н.Онопчука, В.В.Остапенка. Однак, багато задач цієї галузі до цього часу залишаються нерозвязаними. У дисертації для отримання результатів використовуються різні геометричні конструкції і методи, що досліджувались у роботах Б.М.Пшеничного, В.В.Остапенко, а також метод “повного вимітання” М.С.Нікольського. Проте раніше не існувало математичного апарату використання методів ігор з геометричними обмеженнями для ігор з інтегральними обмеженнями, що звужувало клас розвязаних задач. Отже, розвинення вказаних методів на ігри з інтегральними обмеженнями дозволяє розвязувати нові задачі, важливі для різних галузей сучасної науки, що й визначає актуальність теми дисертаційної роботи.

Звязок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у рамках тем:

§ Бюджетна фундаментальна тема Президії НАН України №2214 “Розробка теорії і методів оптимізації для підтримки прийняття рішень в задачах моделювання та керування складними динамічними обєктами” (номер державної реєстрації 0197U006792), 1997 – 2000р.р.

§ Бюджетна прикладна тема Президії НАН України №2215 “Розробка алгоритмічного і програмного забезпечення для задач оптимального розподілу потоків у мережах” (номер державної реєстрації 0198U000903), 1998 – 2001р.р.

§ Бюджетна тема Міністерства освіти та науки України №2219 “Розвиток математичного апарату теорії екстремальних задач і чисельного розвязання динамічних і сітьових задач” (номер державної реєстрації 0100U003645), 2000 – 2001р.р.

Мета та задачі дослідження. Мета дисертації полягає в тому, щоб розробити ефективні методи розвязання задач наближення–ухилення в лінійних диференціальних іграх з інтегральними обмеженнями та термінальною множиною або термінальною функцією плати.

У дисертації використовуються методи диференціальних рівнянь, методи теорії ігор, метод Н-опуклих множин у диференціальних іграх, опуклий аналіз, Н-опуклість та матрична опуклість.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Розроблено нові методи, які зводять диференціальні ігри з інтегральними обмеженнями до ігор з геометричними обмеженнями на керування гравців. В цих методах гравець, що наздоганяє, не повинен обовязково бути “сильнішим” за гравця, що тікає.

2. Для ігор з інтегральними обмеженнями за допомогою операторних конструкцій вперше побудовані множини початкових позицій, з яких той чи інший гравець може закінчити гру на свою користь.

3. У рамках диференціальних ігор з інтегральними обмеженнями були розвязані задачі наближення-ухилення з фіксованим та нефіксованим часом закінчення, задача утримання, задачі з термінальною множиною та термінальною функцією плати.

4. Доведено, що властивість “повного вимітання” для множин, що задають геометричні обмеження, переноситься на функціонали, за допомогою яких описуються інтегральні обмеження.

5. На основі вказаної властивості розроблено метод зведення диференціальної гри до задачі керування з інтегральним обмеженням. В цьому методі застосовується нова стратегія утікача.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить переважно теоретичний характер. Теоретичні результати дисертації можна практично застосовувати при розвязанні задач керування, що виникають у різних галузях техніки, економіки, оскільки дослідження ресурсозберігаючих технологій та економічні проблеми в наш час виступають на перший план. Розглянуті задачі дають можливість досліджувати процеси, де важливо гарантувати досягнення очікуваного результату, де при керуванні технологічними, економічними та іншими процесами виникає потреба утримання їх параметрів у заданих межах і при цьому враховувати можливість появи невизначених збурень.

Отримані результати дисертаційної роботи були застосовані в нормативному курсі з теорії ігор, що читається студентам навчально-наукового комплексу “Інститут прикладного системного аналізу” НАН України та Міністерства освіти і науки України.

Особистий внесок здобувача. Усі основні результати отримано автором особисто. У роботах, виконаних спільно з науковим керівником, Остапенку В.В. належить постановка задач та участь в обговоренні одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на:

§ Міжнародній конференції з автоматичного управління “Автоматика-2000”, Львів, 2000.

§ Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (МОСС–2001), Київ, 2001.

§ Second International Workshop “Recent advances in non-differentiable optimization”, Kyiv, Ukraine, 2001.

§ семінарах Навчально-наукового комплексу “Інститут прикладного системного аналізу” Міністерства освіти і науки України та НАН України.

§ семінарі Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України.

§ семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. Результати дисертації опубліковані у 5 статтях фахових наукових журналів та у 3 тезах наукових конференцій.

Структура та обєм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на 18 підрозділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації – 144 сторінки, основна частина – 133 сторінки, список літератури містить 140 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі говориться про актуальність даної теми; звязок даної дисертаційної роботи з науковими програмами, планами, темами; висвітлено новизну та практичне значення одержаних наукових результатів.

Перший розділ є вступним.

В підрозділі 1.1 викладено короткий огляд основних наукових робіт та напрямків розвитку теорії диференціальних ігор, диференціальних ігор з інтегральними обмеженнями на керування гравців.

В підрозділі 1.2 наведено теоретичні відомості, необхідні при формулюванні та обгрунтуванні результатів дисертації. Сюди входять: узагальнена опуклість множин, матрична опуклість функцій, функція Мінковського, поняття геометричної різниці, псевдообернена матриця.

В підрозділі 1.3 формулюється постановка задач.

Розглянемо гру з динамікою ,

де матриця розмірності матриця розмірності cім'я лінійних операторів, що діють в .

Параметром розпоряджається гравець P – переслідувач, параметром – гравець E – утікач. Гра ведеться на інтервалі , де фіксований момент часу.

Припускаємо, що відображення вимірне й обмежене на .

Покладемо початкова позиція. Задамо термінальну множину та множину фазових обмежень і вважаємо, що і замкнені, опуклі та

Мета гравця P – вивести траєкторію рівняння на , залишаючись в . Мета гравця E – протилежна.

Обмеження на керування гравців задаються за допомогою функцій та , що є невід`ємними, додатньо однорідними та .

У дисертації розглянуті задачі: з фіксованим часом закінчення; з нефіксованим часом закінчення; задача утримання; задача з функціоналом плати. Задачі: з простим рухом; з простою матрицею; з довільною матрицею.

Другий розділ присвячено дослідженню лінійних диференціальних ігор з простим рухом.

В підрозділі 2.1 розглядається задача з фіксованим часом закінчення. Метою переслідувача Р є виведення траєкторії в кінцевий момент часу на множину , причому в усі попередні моменти часу утримувати її на множині : та для усіх . Розглянемо гру з динамікою

.

Припустимими керуваннями гравців P і E є вимірювані функції, що задовольняють наступним обмеженням

.

Розглянемо множини ;

.

Теорема 2.1. Нехай . Тоді існує відображення таке, що:

1) для будь-якого припустимого керування гравця Е керування буде припустимим керуванням гравця P;

2) для траєкторії із початковою умовою , відповідної до керувань і виконуються включення та для будь-якого .

Вважаємо, що функція опукла. Тоді доводиться наступна теорема.

Теорема 2.2. Нехай . Тоді або , або існує вектор такий, що:

1) є припустимим керуванням гравця Е;

2) для траєкторії із початковою умовою , відповідної довільному припустимому керуванню гравця Р і керуванню гравця Е, .

В підрозділі 2.2 розглядається гра з нефіксованим часом закінчення. Мета гравця Р – для та для . Припустимі керування гравців задовольняють ті ж самі інтегральні обмеження.

Покладемо .

Теорема 2.3. Нехай . Тоді для будь-якого припустимого керування гравця Е існують керування гравця Р і момент часу такі, що:

1) буде припустимим керуванням гравця Р;

2) для траєкторії із початковою умовою , відповідної керуванням і , виконуються включення та для будь-якого .

В підрозділі 2.3 розглядається задача утримання траєкторії на множині . Метою гравця P є утримання траєкторії в будь-який момент часу .

Припустимими керуваннями гравців P і E є вимірювані функції, що задовольняють наступним обмеженням

.

Розглянемо множини ;

.

Теорема 2.4. Нехай . Тоді існує відображення таке, що:

1) керування буде припустимим керуванням гравця P для будь-якого припустимого керування гравця Е;

2) для траєкторії із початковою умовою , відповідної до керувань і , виконується включення для будь-якого .

Нехай функція опуклою. У дисертації формулюється теорема 2.5.

Теорема 2.5. Нехай . Тоді вектор такий, що:

1) керування буде припустимим керуванням гравця Е;

2) для траєкторії із початковою умовою , що відповідає довільному припустимому керуванню гравця P і керуванню гравця E, .

В підрозділі 2.4 розглядається гра з фіксованим часом закінчення і з функціоналом плати. Нехай деяке квазіопукле відображення. Мета гравця Р – мінімізувати функціонал . Мета гравця Е – протилежна. Дана гра має великий зв'язок з іграми, що задаються термінальною множиною.

Позначимо .

Теорема 2.6. Для будь-якого існує відображення таке, що для будь-якого припустимого керування гравця Е:

1) буде припустимим керуванням гравця Р;

2) для траєкторії з початком у , що відповідає керуванням і , у кінцевий момент часу виконується .

Теорема 2.7. Для будь-якого існує вектор такий, що:

1) припустиме керування гравця Е;

2) для траєкторії з початком у , що відповідає довільному припустимому керуванню гравця Р і керуванню гравця Е, у кінцевий момент часу виконується .

В підрозділі 2.5 розглядається гра з нефіксованим часом закінчення з функціоналом плати. Мета гравця Р – , де деякий момент закінчення гри. Позначимо .

Теорема 2.8. Для будь-якого існують відображення і момент часу такі, що для будь-якого припустимого керування гравця Е:

1) буде припустимим керуванням гравця Р;

2) для траєкторії з початком у , що відповідає керуванням і , виконується .

Третій розділ присвячено дослідженню лінійних диференціальних ігор з простою матрицею. Розглянемо гру з динамікою

,

вимірна обмежена функція, .

У підрозділі 3.1. розглядається задача з фіксованим часом закінчення. Метою гравця P є виведення траєкторії на множину . Припустимими керуваннями гравців P і E будуть вимірні функції, що задовольняють таким обмеженням:

.

Розглянемо множини:

Теорема 3.1. Нехай . Тоді існує відображення таке, що:

1) для будь-якого припустимого керування гравця E керування буде припустимим для гравця P;

2) для траєкторії із початковою умовою , що відповідає керуванням і , виконується включення .

Нехай тепер припустимими керуваннями гравців P і E є вимірні функції, що задовольняють обмеження:

.

Введемо множини

.

Після накладання умови опуклості на функцію в роботі доведена теорема 3.2.

Теорема 3.2. Нехай . Тоді існує вектор такий, що:

1) є припустимим керуванням гравця E;

2) для траєкторії із початковою умовою , що відповідає припустимому керуванню гравця P і керуванню гравця E, виконується .

У підрозділі 3.2. розглядається задача утримання траєкторії на множині . Мета гравця P – утримати траєкторію в будь-який момент часу .

Припустимими керуваннями гравців P і E є вимірні функції, що задовольняють наступним обмеженням

.

Покладемо , де , і введемо множини

Теорема 3.3. Нехай . Тоді існує відображення таке, що:

1) для будь-якого припустимого керування гравця E керування буде припустимим для гравця P;

2) для траєкторії із початковою умовою , що відповідає керуванням і , виконується включення для усіх .

Якщо істина умова опуклості на функцію , то автором сформульована і доведена теорема 3.4.

Теорема 3.4. Нехай . Тоді або , або існує вектор такий, що:

1) керування буде припустимим керуванням гравця E;

2) для траєкторії із початковою умовою , що відповідає припустимим керуванням і гравців P і E, виконується

У підрозділі 3.3 розглянута гра з фіксованим часом закінчення з функціоналом плати. Мета гравця Р– . Мета гравця Е – протилежна.

Позначимо .

Теорема 3.5. Для будь-якого існує відображення таке, що для будь-якого припустимого керування гравця Е:

1) буде припустимим керуванням гравця Р;

2) для траєкторії з початком у , що відповідає керуванням і , у кінцевий момент часу виконується .

Для формулювання теореми про альтернативу згадаємо, що припустимі керування гравців Р і Е задовольняють обмеження:

;

і розглядаються множини:

Позначимо .

Теорема 3.6. Для будь-якого існує вектор такий, що:

1) припустиме керування гравця Е;

2) для траєкторії з початком у , що відповідає довільному припустимому керуванню гравця Р і керуванню гравця Е, у кінцевий момент часу виконується .

Четвертий розділ присвячено іграм з довільною матрицею.

В підрозділі 4.1 розглянуто метод розв'язання задачі з фіксованим часом закінчення з однотипними обмеженнями. Утікач в момент часу вибирає своє керування , знаючи початкову позицію і керування переслідувача, де при і при . Розглянемо гру з динамікою

,

де неперервна сімя лінійних операторів, що діють із в .

Мета гравця Р – домогтися включення в .

Припустимими керуваннями гравців Р і Е є вимірні функції, що задовольняють наступні обмеження

причому і .

Позначимо , де об'єднання береться по усіх вимірних функціях таких, що .

Покладемо .

Теорема 4.1. Нехай . Тоді таке, що:

1) припустиме керування гравця Р, якщо припустиме керування гравця Е;

2) для траєкторії із початковою умовою , що відповідає керуванням і , виконується в момент включення .

Теорема 4.2. Нехай . Тоді існує число і відображення і такі, що:

1) для ;

2) припустиме керування гравця Е, якщо припустиме керування гравця Р;

3) для траєкторії з початковою умовою , що відповідає довільному припустимому керуванню гравця Р і керуванню гравця Е, виконується .

В підрозділі 4.2 розглянуто метод розв'язання задачі з фіксованим часом закінчення з різнотипними обмеженнями. Динаміка цієї гри залишається такою ж, як і у підрозділі 4.1. Мета переслідувача Р – домогтися включення . Інтегральні обмеження на керування гравців задаються за допомогою деяких опуклих множин і їхніх функцій Мінковського. Нехай і опуклі компактні підмножини простору , що є непорожніми і містять нуль у якості внутрішньої точки. Для множин і виконується умова повного вимітання:

Умова 1. .

Покладемо функція Мінковського. Тоді

.

Умова 2. .

Інтегральні обмеження на керування переслідувача мають вигляд:

(1)

або

, (2)

а на керування утікача:

. (3)

Вводиться множина , яка є множиною всіх звичайних інтегралів вигляду , де є вимірною функцією, що задовольняє обмеженню .

Позначимо .

Теорема 4.3. Нехай і виконуються (1), (3). Тоді існує відображення таке, що для будь-якого припустимого керування гравця Е виконується:

а) припустиме керування гравця Р;

б) для розвязку рівняння (4.1) із початковою умовою , що відповідає керуванням і , справедливо включення .

Теорема 4.4. Нехай і виконуються (2), (3). Тоді існують таке число і такі відображення і що:

1) для ;

2) припустиме керування гравця Е, якщо припустиме керування гравця Р;

3) для розвязку рівняння (4.1) із початковою умовою , що відповідає довільному припустимому керуванню гравця Р і керуванню гравця Е виконується .

В підрозділі 4.3 розглянуто метод Н-опуклих множин при розв`язанні задачі утримання. Розглянемо гру з динамікою

.

Нехай множина одиничних векторів , для яких істині умови:

1) ;

2) .

Вважатимемо . Термінальна множина опукла, замкнута множина, тобто , де число .

Мета гравця P – утримати у будь-який момент часу . Припустимими керуваннями гравців P і E є вимірні функції, такі що

.

Введемо множини

.

Припускаємо, що для будь-якого виконується .

Теорема 4.5. Нехай . Тоді існує відображення таке, що:

1) керування буде припустимим керуванням гравця P для будь-якого припустимого керування гравця E;

2) для траєкторії , що відповідає керуванням і , виконується включення для будь-якого .

сімя лінійних операторів, обмежена вимірна сімя невід`ємних чисел.

Для будь-якого вимірного обмеженого керування функція опукла, якщо .

Нехай .

Покладемо

.

Теорема 4.6. Нехай . Тоді існує вектор такий, що:

1) керування припустиме керування гравця E;

2) для траєкторії , що відповідає припустимому довільному керуванню гравця P і керуванню гравця E, виконується .

У підрозділі 4.4 розглянута гра з фіксованим часом закінчення з функціоналом плати. Розглядається термінальний функціонал плати . Мета гравця Р– мінімізувати функціонал . Мета гравця Е – протилежна.

Позначимо , .

Теорема 4.7. Нехай і для будь-якого множина або порожня, або опукла. Тоді існує відображення таке, що для будь-якого припустимого керування гравця Е:

1) буде припустимим керуванням гравця Р;

2) для траєкторії , що відповідає керуванням і , у кінцевий момент часу виконується .

Для формулювання теореми про альтернативу нагадаємо, що функція опукла і розглядаються множини:

, .

Позначимо

Теорема 4.8. Для будь-якого існує вектор такий, що:

1) припустиме керування гравця Е;

2) для траєкторії з початком у , що відповідає довільному припустимому керуванню гравця Р і керуванню гравця Е, у кінцевий момент часу виконується .

ВИСНОВКИ

Основними науковими результатами дисертації є такі:

1. Розвязані ігри з інтегральними обмеженнями на керування гравців з простим рухом, з простою матрицею та з довільною матрицею. Побудовані множини початкових позицій, сприятливих тому чи іншому гравцю, та сприятливі стратегії гравців.

2. Розроблено методи, які зводять ігри з інтегральними обмеженнями на керування гравців до ігор з геометричними обмеженнями. Ці методи є узагальненням метода Н-опуклих множин.

3. При розвязанні ігор з довільною матрицею властивість “повного вимітання” була перенесена з множин на функції, що дозволило звести гру до задачі керування.

4. Розв'язана задача утримання для гри з довільною матрицею за допомогою матричної опуклості та Н-опуклості.

5. На основі результатів, що одержані для ігор, що характеризуються термінальною множиною, розвязані задачі з термінальним функціоналом плати та отримані формули, що оцінюють ціну гри.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ РОБІТ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Остапенко В.В., Рижкова І.Л Диференціальні ігри з простим рухом та обмеженнями на ресурси // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2000. – №2. – С.27–31.

2. Остапенко В.В., Рижкова І.Л Про лінійну диференціальну гру з фіксованим часом закінчення та обмеженнями на ресурси // Кибернетика и системный анализ. – 2000. – №4. – С.178–183.

3. Рижкова І.Л. Задача утримання в диференціальних іграх з простим рухом та обмеженнями на ресурси // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2000. – №3. – С.21–24.

4. Остапенко В.В., Рыжкова И.Л. Линейные дифференциальные игры удержания с интегральными ограничениями // Проблемы управления и информатики. – 2000. – №4. – С.81–87.

5. Рыжкова И.Л. Линейные дифференциальные игры с простыми матрицами и интегральными ограничениями // Проблемы управления и информатики. – 2000. – №5. – С.24–29.

6. Рыжкова И.Л. Линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями и с функцией платы // Праці міжнародної конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (МОСС–2001). – Київ, 2001. – Т.1. – С.99–100.

7. Ostapenko V.V., Ryzhkova I.L. Integrated Constraints in Linear Differential Games // Second International Workshop “Recent advances in non-differentiable optimization”, October, 1-4, 2001, Kyiv, Ukraine – 2001. – P.33.

У роботах, виконаних спільно з Остапенком В.В., науковому керівнику належить постановка задач та участь в обговоренні одержаних результатів.

Рижкова І.Л. Задачі наближення-ухилення у лінійних іграх з обмеженнями на ресурси. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Дисертація присвячена іграм з інтегральними обмеженнями на керування гравців з простим рухом, з простою матрицею та з довільною матрицею. Побудовані множини початкових позицій, сприятливих для того чи іншого гравця та оптимальні стратегії гравців. Розроблено методи, які зводять ігри з інтегральними обмеженнями до ігор з геометричними обмеженнями. Ці методи є узагальненням метода Н-опуклих множин. При розвязанні ігор з довільною матрицею використана властивість “повного вимітання”, яка була перенесена з множин на функції, що дозволило звести гру до задачі керування. За допомогою матричної опуклості та Н-опуклості розвязана задача утримання для гри з довільною матрицею.

Ключові слова: диференціальні ігри, Н–опуклі множини, квазіопуклі та матрично опуклі функції, простий рух, функціонал плати, ціна гри.

Рыжкова И.Л. Задачи сближения-уклонения в линейных играх с ограничениями на ресурсы. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 – системный анализ і теория оптимальных решений – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Диссертация посвящена разработке эффективных методов решения задач сближения–уклонения в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями и терминальным множеством или терминальной функцией платы.

В диссертации используются методы дифференциальных уравнений, методы теории игр, метод Н-выпуклых множеств в дифференциальных играх, выпуклый анализ, Н-выпуклость и матричная выпуклость.

Во вступлении говорится об актуальности данной темы; связи данной диссертационной работы с научными программами, планами, темами; освещены новизна и практическое значение полученных научных результатов.

В первом разделе изложен обзор литературы, касающейся данной тематики, приведены теоретические сведения, используемые в диссертации, и дана постановка задач.

Второй раздел посвящен играм с простым движением.

В подразделе 2.1 рассматривается задача с фиксированным временем окончания. Целью преследователя Р является выведение траектории в конечный момент времени на терминальное множество , причем во все предыдущие моменты времени игроку необходимо удерживать ее на множестве фазовых ограничений . В дальнейшем полагаем: цель убегающего игрока Е противоположная.

В подразделе 2.2 рассматривается игра с нефиксированным временем окончания. Цель игрока Р вывести траекторию уравнения на множество в некоторый момент времени, оставаясь до этого на множестве .

В подразделе 2.3 рассматривается задача удержания траектории на множестве . Целью игрока P является удержание траектории на множестве в любой момент времени.

В подразделе 2.4 рассматривается игра с фиксированным временем окончания и с функционалом платы. Цель игрока Р – минимизировать значение функционала, зависящего от траектории в конечный момент времени. Данная игра имеет большую связь с играми, которые задаются терминальным множеством.

В подразделе 2.5 рассматривается игра с нефиксированным временем окончания с функционалом платы.

Третий раздел посвящен играм с простой матрицей. В нем решены игры с фиксированным временем окончания, задача удержания и игра с функционалом платы с фиксированным временем окончания.

Четвертый раздел посвящен играм с произвольной матрицей.

При решении игр с фиксированным временем окончания использован метод “полного выметания” М.С.Никольского, который был перенесен с множеств на функции, что позволило свести игру к задаче управления.

В подразделе 4.1 рассмотрен метод решения задачи с фиксированным временем окончания с однотипными ограничениями на управления игроков. Цель игрока Р – добиться попадания траектории в конечный момент времени на множество . Убегающий выбирает свое управление, зная начальную позицию и управление преследователя в некоторый предыдущий момент времени. Таким образом, игрок Е в каждый момент времени использует информацию о действиях противника в прошлом.

В подразделе 4.2 рассмотрен метод решения задачи с фиксированным временем окончания с разнотипными ограничениями на управления игроков. Интегральные ограничения на управления игроков задаются с помощью некоторых выпуклых множеств и их функций Минковского.

В подразделе 4.3 с помощью матричной выпуклости и Н-выпуклости решена задача удержания для игры с произвольной матрицей. Цель игрока P – удержание траектории во множестве в любой момент времени.

В подразделе 4.4 рассмотрена игра с фиксированным временем окончания с функционалом платы. Целью преследователя Р является минимизация функционала от траектории в конечный момент времени.

При решении всех задач построены множества начальных позиций, благоприятных тому или иному игроку и оптимальные стратегии игроков, что подтверждается рядом теорем. Разработаны методы, которые сводят игры с интегральными ограничениями на управления игроков к играм с геометрическими ограничениями. Эти методы являются обобщением метода Н-выпуклых множеств, который не требует никакого преимущества преследователя по отношению к догоняющему.

При решении задач с терминальным функционалом платы получены формулы, которые оценивают цену игры.

Использование полученной теории иллюстрируется рядом примеров, в том числе играми при решении которых применяется псевдообратная матрица. Теория, полученная в четвертом разделе, нашла свое применение при решении прикладной задачи, демонстрирующей модель движения воды в оросительной системе, состоящей из некоторого числа бьефов.

Ключевые слова: дифференциальные игры, Н–выпуклые множества, квазивыпуклые и матрично выпуклые функции, простое движение, функционал платы, цена игры.

Ryzhkova I.L. Problems of pursuit-evation in linear games with constrains on resources. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree of physics and mathematics by speciality 01.05.04 - systems analysis and the theory of optimum solutions – Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2002.

Thesis is devoted to games with integrated restrictions on the players controls with simple moving, with a simple matrix and with an arbitrary matrix. The sets of initial positions favorable to this or that player and the optimum strategies of the players are constructed. The methods which reduce games with integrated restrictions to games with geometrical restrictions are developed. These methods are generalization of a method of Н-convex sets. At a solution of games with an arbitrary matrix the property “of a complete sweeping ” which was transferred from sets on function is used, that has allowed to reduce game to a control problem. With the help of matrix convexity and Н-convexity the problem of deduction for game with an arbitrary matrix is solved.

Key words: differential games, Н-convex sets, quasiconvex and matrix convex functions, simple moving, pay functional, game's value.