КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНИВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

РОМАНЕНКО ОЛЕКСАНДР ВІКТОРОВИЧ

УДК 539

ЗАСТОСУВАННЯ ВАРІАЦІЙНОГО ПРИНЦИПУ ШВІНГЕРА

ДО КВАНТУВАННЯ СИСТЕМ У ВИКРИВЛЕНОМУ ПРОСТОРІ

Спеціальність 01.04.02 – теоретична фізика

Автореферат дисертації

на здобуття наукового ступеня кандидата

фізико-математичних наук

КИЇВ – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

Чепілко Микола Михайлович,

завідувач кафедри фізики та електротехніки

Київського університету економіки

та технологій транспорту

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Кобушкін Олександр Петрович,

провідний науковий співробітник

Інституту теоретичної фізики

НАН України імені М.М.Боголюбова;

доктор фізико-математичних наук,

професор Нікітін Анатолій Глібович,

завідувач відділу прикладних досліджень

Інституту математики НАН України.

Провідна установа: Дніпропетровській

національний університет.

Захист відбудеться “1 жовтня 2002 р. о 1430 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д26.001.08 Київського національного

університету імені Тараса Шевченка за адресою:

03022, м.Київ-22, проспект Глушкова 2, корпус ,

фізичний факультет, ауд.500.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

01033, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “30 серпня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д26.001.08

кандидат фізико-математичних наук Свечнікова О. С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Аналіз структури квантової теорії на неевклідовому многовиді відноситься до класу фундаментальних задач з давньою історією, поча-ток якої можна віднести до часу написання першої роботи, присвяченої квантуванню гравітаційного поля. Згідно з відомою ідеєю “геометризації” більшість фізич-них взаємодій можна розглядати як геометричні ефекти; рух фізичної системи у силових полях інтерпре-тується як вільний рух системи в ефективному рі-ма-но-вому просторі (метрика якого визначається властивостями поля). По цій причи-ні важливе значення має побудова однозначного квантово-механічного опису руху точкової частинки у викривленому просторі. Велика кількість досліджень, проведених за останні 50-60 років показує, що така задача — як і інші, де геометрія тісно пов'язана з фізикою (а в загальній теорії відносності по суті тотожна їй) — на даний час не має остаточного розв'язку.

Стандартна процедура канонічного квантування з самого початку була орієнто-вана на глобальні декартові координати, де однозначність побудови квантової механіки по заданій класичній не викликала сумнівів. Спроби побудови квантової теорії у неевклідовому просторі за допомогою такого методу не приводить до однозначного результату не дивлячись на те, що принцип відповідності лишається в силі. В теорії, залежно від деяких (інколи чисто технічних деталей) з'являються струк-тури типу потенціалу взаємодії, пропорційного другій степені сталої Планка . З одного боку, їх виникнення викликане способом впорядкування не-ко-му-туючих множників у добутках, з іншого — конкретний вираз для “кван-тового по-тенціалу” залежить від способу введення координат ріманового простору і методу квантування.

Саме така ситуація виникає у деяких нелінійних моделях квантової теорії поля, які описують частинкоподібні конфігурації, зокрема, у моделі Скірма. Наявність (чи відсутність) “квантового потенціалу” визначає стабільність солітонних розв'язків. У зв'язку з цим доцільно розглянути побудову квантової теорії за допомогою методу квантування, який є альтернативним по відношенню до канонічного і розширює його межі застосовності більш коректним врахуванням геометричних особливостей теорії. Починаючи з 1950-х років розроблялись методи квантування за допомогою співвідношень Вейля (роботи Маккі), різні модифікації цього методу (Онукі, Кітакадо, Танімура, Цуцуі), геометричне квантування та інші. Ці підходи дозволили отримати якісно нові висновки про особливості квантової теорії у викривленому просторі, зокрема залежність від симетрій простору.

Одним із альтернативних (по відношенню до канонічного) підходів до задачі квантування є варіаційна процедура Швінгера, яка в певній мірі визначає вико-рис-тання принципу найменшої дії Гамільтона для квантової теорії. Її застосування для аналізу квантової теорії на рімановому просторі і є основною темою даної дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дана робота є пошуковою і відкриває певні перспективи в напрямку розв'язку деяких фундамен-тальних проблем теоретичної фізики. Тематика дисертації (квантування у неевклі-довому просторі та солітонні моделі елементарних частинок) є актуальною і широ-ко обговорюється в сучасній літературі.

Задачі і мета дослідження. Метою дослідження є аналіз впливу неевклідовості конфігураційного простору на структуру означеної в ньому квантової механіки точкової частинки.

Задача дослідження полягала у побудові методу квантування теорії, заданої на неевклідовому многовиді, в якому коректно та послідовно враховуються геометричні особливості простору шляхом узагальнення квантового варіаційного принципу, та у порівнянні результатів з висновками, отриманими за допомогою інших підходів. Окрема задача полягала у застосуванні розробленої схеми квантування за допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу для квантування польової моделі Волкова-Акулова та дослідженні частинкоподібних розв'язків рівнянь руху для вакуумної конфігурації фермі-поля. У рамках дослідження необхідно було показати стабільність частинкоподібних розв'язків, побудувати узагальнення моделі врахуванням кривизни простору, дослідити взаємодію таких об'єктів із зовнішніми полями та дати їх загальну фізичну інтерпретацію.

Об’єктом дослідження є квантова теорія фізичних систем у викривленому просторі.

Предметом дослідження є вільна точкова частинка у викривленому просторі а також частинкоподібні конфігурації у моделі Волкова-Акулова.

Для досягнення поставленої мети у роботі:

формулюється узагальнення варіаційного принципу Швінгера на випадок квантової теорії точкової частинки на многовиді з груповою структурою (рімановому просторі);

будується схема дослідження квантової теорії на найпростішому викривленому многовиді — просторі групи Лі постійної кривизни;

За допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу будується квантова теорія вільної частинки на многовиді більш складної геометричної структури — однорідному та загальному ріманових просторах;

будується квантова теорія для вільної частинки на суперпросторі, індукованому суперсиметрією;

метод квантування на основі узагальненого квантового варіаційного принципу використовуються для побудови частинкоподібних розв'язків у чотири- та п'ятивимірних моделях нелінійної реалізації суперсиметрії Волкова-Акулова.

Методи дослідження. У роботі використані методи диференціальної геометрії та теорії груп Лі, елементи теорії індукованих представлень груп, сучасні методи аналізу квантової теорії, зокрема варіаційний принцип Швінгера та квантування калібрувальних моделей за Діраком.

Наукова новизна одержаних результатів.

У дисертаційній роботі виконане узагальнення квантового варіаційного принципу Швінгера для побудови квантової теорії фізичних систем у викривленому просторі;

побудована несуперечлива квантова механіка вільної точкової частинки у викривленому просторі (на основі квантового варіаційного принципу). Показаний зв'язок між ізометріями простору та структурою означеної в ньому квантової механіки;

вперше побудована квантова механіка точкової частинки у супер-прос-торі, індукованому N=1 суперсиметрією з використанням кван-то-вого варіацій-ного принципу;

в межах квантової моделі Волкова-Акулова вперше отримані квантові частинкоподібні розв'язки;

досліджена фізична інтерпретація квантових частинкоподібних розв'язків рівнянь моделі Волкова-Акулова як несингулярної моделі елементарного заряду.

Обгрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій. У роботі використовуються добре апробовані методи теоретичної фізики, зокрема методи квантування калібрувальних моделей за Діраком, методи теорії груп Лі та теорії суперпросторів.

Достовірність отриманих результатів по квантуванню вільної частинки у викривленому просторі підтверджується виконанням принципу відповідності Бора, узгодженістю висновків з результатами досліджень, проведених іншими методами і самоузгодженістю теорії в цілому.

Для частинкоподібних розв'язків у квантовій моделі Волкова-Акулова виконуються необхідні умови стабільності в розумінні теореми Хобарта-Дерріка, існує можливість вибору вільних параметрів у моделі, при якій основні фізичні характеристики частинкоподібного розв'язку (маса, заряд, спін) відповідають реальним параметрам елементарної частинки.

Наукове та практичне значення роботи. Пошук самоузгодженої схеми квантування є фундаментальною задачею сучасної теоретичної фізики. Основна частина результатів квантової механіки була отримана у рамках канонічного методу квантування, який є цілком коректним у евклідових просторах. При розгляді більш складних геометричних структур використання цього методу вимагає додаткових припущень, від яких залежить характер кінцевих результатів. З цієї точки зору аналіз проблеми за допомогою квантового варіаційного принципу є важливим, оскільки не вимагає апріорних обмежень на структуру простору. Зокрема він дозволяє визначити межі, в яких стандартні підходи — однозначні.

Метод квантування на основі квантового варіаційного принципу є строгим в тому розумінні, що його межі застосовності — чітко визначені. По цій причині його застосування при аналізі нелінійних польових моделей, в яких існують локалізо-вані частинкоподібні конфігурації є приорітетним.

Особистий внесок здобувача полягає в тому, що ним були проведені аналітичні обчислення по використанню узагальненого квантового варіаційного принципу для побудови квантової теорії вільної частинки для різних випадків конфігураційного простору, а також аналітичний та чисельний аналіз частинко-подібних розв’язків у квантовій моделі Волкова-Акулова. Він також брав участь у обговоренні результатів та у підготовці публікацій.

Апробація результатів дисертації. Частина результатів дослідження були представлені на міжнародній конференції “Non-Euclidean Geometry in Modern Physics” (Ужгород, 1997).

Публікації. По матеріалам дисертаційної роботи опубліковано 5 статей у реферованих журналах [1], [2], [3], [4], [5] та у матеріалах міжнародної конференції].

Структура дисертаційної роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, семи розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 99 найменування, та восьми додатків. Робота написана на 148 сторінках машино-писного тексту, включає 7 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність обраної теми, сформульована мета та задачі дослідження, показана наукова та практична цінність отриманих результатів.

Перший розділ дисертації має оглядовий характер. В ньому приведений загальний аналіз основних підходів до задачі квантування фізичної системи в неевклідовому просторі. Зокрема описані процедура канонічного квантування за Діраком, метод “потенціалу утримання”, підхід на основі аналізу співвідношень Вейля та метод квантування Швінгера на основі квантового варіаційного принципу.

Метою розділу 2 є узагальнення стандартної процедури квантування Швінгера на випадок побудови квантової теорії з нелінійним функціоналом дії. В підрозділі 1.1. розглядаються основні принципи, на яких базується квантова механіка та вводяться позначення, необхідні для формулювання варіаційного принципу, яке дається в підрозділі 1.2. Для опису квантово-механічної системи вводиться повний набір комутуючих спостережуваних xi, де i=1,n. Часова ево-люція квантово-механічної системи від моменту часу t1 до t2 описується за допо-мо-гою функції перетворення <x’,t1| x’’,t2>. Її варіація при інфініте-зи-маль-ному уні-тар-ному перетворенні з генератором має вигляд

де оператор S[x,t1,t2]=?dtL(x,x,t) — операторний функціонал дії, а L(x,x,t) — оператор Лагранжа. Рівність S[x,t1,t2]=G(t2)-G(t1) і виражає квантово-механічний варіаційній принцип. На відміну від класичного варіаційного принципу Гамільтона така рівність має місце тільки для певного класу варіацій, а саме — для інфінітезимальних унітарних (канонічних) перетворень повної системи. Такі варіації називаються також допустимими.

Для довільного оператора F(t) варіація при перетворенні, породженим генератором G(t) має вигляд: F=[F,G]/iћ. Така рівність при відомих комута-ційних співвідношеннях дозволяє виразити F за допомогою генератора G(t). У методі, який базується на квантовому варіаційному принципі розв’язується обер-нена задача. Генератор перетворень G(t) можна знайти без явного задання комутаційних співвідношень, аналізуючи симетрії оператора Лагранжа (особливіс-тю допустимих варіацій є те, що варіація кінематичної частини оператора L дорівнює повній похідній по часу від деякої функції, Lkin=-dK/dt). Вирази для генератора G(t) та варіацій операторів отримуються шляхом порівняння двох форм варіацій оператора L(x,x,t), — за допомогою виділення повної похідної по часу

(множення “” та диференціювання по оператору — символічні), та за рахунок симетрії

(H — оператор Гамільтона). Генератор має вигляд, а рівняння руху у формі Ейлера-Лагранжа зосереджені у останньому доданку виразу і можуть буті знайдені після визначення комутаційних співвідношень. Останні вира-жаються з набору рівнянь iћF=[F,G] для різних операторів F.

Спосіб побудови квантової механіки на основі узагальненого квантового варіаційного принципу описаний в підрозділі 1.3. Виявляється, що в рамках єдиної логічної схеми можна виконати самоузгоджений аналіз симетрій теорії, отримати комутаційні співвідношення та рівняння руху Гейзенберга або Ейлера-Лагранжа. Особливістю такої побудови є можливість використання тільки конфігураційного простору, що дозволяє не робити припущень, характерних для процедури канонічного квантування. Наступні розділи дисертаційної роботи присвячені її послідовному використанню для побудові квантової теорії вільної частинки у викривленому просторі.

У розділі 3 розглядається побудова квантової механіки вільної точкової у просторі постійної кривизни з просто транзитивною групою рухів G, який ізоморфний простору самої групи G. Для використання узагальненого квантового варіаційного принципу необхідні деякі попередні припущення про алгебраїчні властивості динамічних змінних. Вважається, що оператори координат xм утво-рюють повний набір комутуючих спостережуваних, а комутатори швидкостей з координатами є функціями тільки координат. Оператор Лагранжа, побудований за допомогою повного набору xм має бути ермітовим і перетворюватись за скалярним законом при заміні координат xм? x’м= x’м(x) (це твердження виражає вимогу незалежності фізичних висновків теорії від вибору повної системи). Тому він вибирається у вигляді

де gмн(x) — метрика простору, U(x) — функція координат, яка забезпечує скалярній закон перетворення L при заміні xм? x’м= x’м(x). Її явну форму мож-на записати тільки після знаходження комутаційних співвідношень. Для пошуку останніх розглядаються варіації координат, пропорційні векторам Кіллінга. Кому-таційні співвідношення між імпульсом та координатою співпадають з канонічними і мають вигляд

Для пошуку невідомої функції U(x) в операторі Лагранжа було побудоване узагальнення означення довжини вектора на випадок квантової механіки, яке переходить у звичайне класичне означення при ћ>0. Для функції U(x) був знайдений вираз:

де Гббм — згортки символів Крістоффеля для метрики , . Рівняння руху частинки еквівалентні законам збереження зарядів pa=pм°vaм, де vaм — вектори Кіллінга.

У підрозділі 3.7 побудоване координатне представлення на базі повного набору операторів координат. Дія операторів імпульсу на хвильові функції має вигляд

а оператор Гамільтона, як і слід було чекати, реалізується на хвильових функціях як оператор Лапласа-Бельтрамі.

У розділі 4 розглядається побудова квантової механіки вільної частинки на загальному рімановому многовиді (сталої кривизни). На відміну від випадку, розглянутого в розділі 3, дія групи ізометрій G не є просто транзитивною. Це означає, що серед перетворень групи G є такі, які не змінюють точку простору xo і утворюють підгрупу в G (група ізотропії I[xo]=H точки xoєM). З мате-ма-тичної точки зору сам многовид M ізоморфний до фактор-простору , а група H відповідає локальній групі калібрувальних перетворень в точці xoєM. Пряме застосування процедури Швінгера до оператора Лагранжа вигляду

де xi — координати на M, gмн(x) — метрика M, наштовхується на ускладнення, характерне для калібрувальних теорій (або вироджених із зв'язками першого роду). В даному випадку наявність калібрувальних ступенів вільності дозволяє розглядати варіації, які є лінійними комбінаціями векторів, які відповідають представленню групи ізотропії з коефіцієнтами, які є довільними числовими функціями на M.

Для розв'язання задачі квантування використовуватись та ж схема, що і в калібрувальних теоріях, де квантування виконується в розширеному конфігураційному просторі, після чого нефізичні стани, які відповідають калібрувальним ступеням вільності виключаються за допомогою спеціальної процедури відбору. Для опису калібрувальних перетворень, які породжуються групою ізотропії, вводяться m-n додаткових координат xa, які вважаються комутуючими між собою та операторами повного набору xi. Додаткові координати фігурують в окремому доданку квантової функції Лагранжа, Lgf який вводиться для фіксації інваріантності відносно перетворень групи ізотропії. Такий оператор Лагранжа перетворюється коректно при заміні повної системи x?x’=x’(x), якщо в ньому врахувати поправку U(x) порядку ћ2 (як і в розділі III її явний вигляд буде визначений пізніше). Таким чином, оператор Лагранжа приймається у вигляді

де gab(x) відповідає метриці на класах еквівалентності , , Aai(x) — 1-форми зв'язності головного розшарування G(G/H,H).

Комутаційні співвідношення, знайдені за допомогою генератора, де в якості векторів Кіллінга vм розглядаються ліві та праві трансляції на групі мають вигляд

Для квантової механіки на G безпосередній геометричний зміст мають пари операторів xa та pa, які задають квантову механіку на орбіті, і xi та pi, які відповідають квантовій механіці на G/H. Пряме обчислення з використанням функціональної структури метрики Gмн дає наступну алгебру комутаційних співвідношень

де Faij має зміст напруженості калібрувальних полів Aia Таким чином в теорії виникає калібрувальна структура типу Калуци-Клейна геометричного походження.

Після пошуку комутаційних співвідношень оператор Гамільтона H можна записати в термінах імпульсів як

де квантові поправки виражаються через символи Крістоффеля гijk(xi) простору G/H та Гabc(xi,xa) простору орбіти. Перший доданок розкладу HG задає квантову теорію на G/H, а другий — на орбіті дії H на G. Рівняння руху для координат xм G/H по формі співпадають з рівняннями Вонга теорії Янга-Міллса, а для ступенів вільності xa переходять в закони збереження.

Побудова простору станів та координатного представлення базується на узагальненні стандартної процедури Дірака селекції фізичного сектору простору станів. Для виділення станів |шphys>, які відповідають квантовій теорії на G/H з повного набору станів квантової теорії на G в методі Дірака використовується ототожнення шphys(gH)=шphys(g), тобто фізичні хвильові функції є сталими на орбітах дії H на G. Математично це твердження еквівалентне тому, що шphys(x) є функціями тільки координат xi на G/H. Не дивлячись на коректність, цей спосіб селекції не вичерпує всіх можливих випадків. Фізичний зміст мають не самі хвильові функції та оператори, які діють на них, а скалярні добутки векторів і матричні елементи операторів. Саме такі об'єкти не повинні залежати від координат xa на орбіті gH. Для врахування цієї вимоги у загальному випадку задається деяке унітарне представлення уh підгрупи H на просторі значень хвильових функцій шphys. Умова селекції має вигляд шphys(gh)=уh-1шphys(g), що забезпечує інваріантність матричних елементів. У просторі таких хвильових функцій оператор Гамільтона має вигляд

де C — оператор Казиміра для представлення H. Згідно із загальною теорією унітарних представлень, незвідні унітарні представлення груп Лі є скінченовимірними і класифікуються за допомогою власних значень операторів Казиміра. Тому задане унітарне представлення визначає одну з багатьох квантових теорій на G/H, які описуються оператором Гамільтона HG/H. Зокрема, тривіальне представлення уh=1 відповідає звичайній схемі Дірака.

Наступною проблемою, аналізу якої присвячений розділ 5, є побудова квантової теорії вільної частинки на максимально загальному рімановому просторі. Як і раніше, за основу побудови був взятій оператор Лагранжа вигляду (3) та генератор перетворень ізометрій. На відміну від стандартних методів квантування у запропонованому підході констатується недовизначеність квантової механіки у такому просторі. Її проявом є виникнення довільних функцій координат bмн(x) (яки зникають у класичний границі ћ>0) у комутаційних співвідношеннях

та в самому операторі Лагранжа. Їх не можна визначити в рамках методу — використання узагальненого квантового варіаційного принципу дозволяє виявити проблему, до якої стандартні підходи нечутливі, але не розв’язує її. Для визначення величин bмн(x) необхідна інформація зовнішнього характеру (експеримент або узагальнення фізичних основ квантової теорії). Оператор Лагранжа можна розділити на дві частини. Перша описує квантову теорію на орбіті дії G на M, ізоморфній самий групі G (вона розглядалась в розділі 3 і є цілком однозначною), друга — на фактор-просторі M/G. В останньому випадку в рівняннях руху з’являється калібрувальна структура, індукована зв’язністю головного розшарування M(M/G,G). В підрозділах 5.5 та 5.6 побудовані рівняння динаміки та координатне представлення для найпростішого випадку bмн(x)=0. Як і у випадку загального однорідного простору, коефіцієнті 1-форми зв’язності фігурують у комутаційних співвідношеннях та рівняннях руху в якості калібрувальних полів Янга-Міллса.

Розділ 6 присвячений застосуванню квантового варіаційного принципу до побудови квантової теорії на суперпросторі, яка описує рух вільної “суперчастинки”. Суперпростір ототожнюється з фактор-простором супер-симетричного узагальнення групи Пуанкаре по групі Лоренца sSO(1,3), тобто sM4= sISO(1,3)/SO(1,3), його координатами будуть бозе-змінні xм та фермі-змінні та (біспінори Дірака). Оператор Лагранжа, інваріантній відносно супертрансляцій

(де ем — стандартні перетворення трансляцій у M4, та — грасманові константи) має форму

(змн — метрика ,vм — “супершвидкість” а “?” позначає дифе-рен-ціювання по параметру часової еволюції ?).

Для функції Лагранжа (5) був проведений симетрійний аналіз та визначені рівняння Кіллінга, серед розв’язків яких є перетворення (4). Вони і були покладені в основу побудови квантово-механічного гене-ратора перетворень, який має форму

Варіаційна процедура дає комутатори

де оператор умн=(i/4)[гм,гн] позначає представлення групи поворотів для спінорів. Останнє комутаційне співвідношення означає, що імпульсний простір, спряженій до {xм} є викривленим.

У зв’язку з некомутативністю оператори координат не формують повного набору комутуючих спостережуваних, тому для побудови координатного представлення слід скористатися іншими базовими операторами. Аналіз показав, що повні набори утворюються системами та , які є взаємно несумісними. Оператори є комбінаціями динамічних змінних і мають форму:

Зауважимо, що , але за своїм змістом оператори не є звичайними операторами координат. Для повного набору спектральна задача на базис станів має вигляд . У просторі хвильових функцій оператори реалізуються як оператори множення, pм — як оператори диференціювання по , а геометричні координати xм та змінні ш — інтегральними операторами. Таким чином, особливістю суперпростору є те, що в ньому простий зв’язок між реалізаціями операторів xм та pм вигляду — відсутній.

Метою розділу 7 є дослідження вакуумного стану квантового суперсиметричного фермі-поля (ССФП), яке відповідає лагранжиану Волкова-Акулова, інваріантного відносно нелінійної реалізації групи суперсиметричних перетворень. Нетривіальність вакууму ССФП випливає з спонтанного порушення суперсиметрії у моделі Волкова-Акулова. Як реакцію на втрачену симетрію можна чекати виникнення нелінійних частинкоподібних ферміонних станів, тобто суперсиметичних фермі-солітонів, які в якійсь мірі можуть її відновити.

У підрозділі 7.1 розглядається квантування d-вимірної моделі Волкова-Акулова, інваріантної відносно нелінійної групи суперсиметричних перетворень

де Гм — твірні d-вимірної алгебри Кліффорда, xм — парні змінні, та — непарні змінні (2[d/2] -компонентні спінори), gd — параметр моделі. Функціонал дії будується за допомогою інваріантних форм Маурера-Картана

і має вигляд

де kd — параметр моделі. Комутаційні співвідношення будуються на основі генератора перетворень супертрансляцій. У наближенні gd>>1 вони приймають звичайну форму, а оператори лінійно виражаються через координати zм і їх можна ототожнити. Для подальшого аналізу теорії фермі-поле подається у вигляді розкладу

Оператор ш відповідає “нуль-стану” суперсиметричного фермі-поля (ССФП), який є нейтральним об’єктом, а оператори шn(+)та шn(-)— його частинкам та античастинкам відповідно. Весь подальший розгляд зосереджений на дослідженні вакуумного стану фермі-поля Ш для чого використовується наближення Джеківа-Реббі. В його основі лежить загальний висновок про те, що основну роль у формуванні вакуумного стану, який визначається з умов

грає самоспряжене нуль-поле ш(x). Внесок операторів шn(+) та шn(-)є малим (порядку ћ) і може бути врахований за допомогою методів теорії збурень. Таким чином, загальний внесок у значення функціоналу дії на вакуумному стані робить нуль-поле ш(x). В термінах розкладу

де шo — сталий спінор, B(x) — функціональна матриця, функціонал S=<vac|S|vac> приймає вигляд

Підінтегральній вираз можна розглядати як елементарний об’єм у ефективному рімановому просторі Vd метрика якого gab=зijлiaлjb індукується нуль-полем (зij — метрика простору Мінковського). Для B(x) вибирається конкретне предс-тавлення відповідно до розмірності простору.

У підрозділі 7.2 розглядається випадок d=4, що відповідає вибору B(x) у вигляді

.

Для сферично-симетричних конфігурацій з варіаційного принципу отримуються нелінійні рівняння, чисельні розв’язки яких приведені на рис.1 (x(r) та y(r) є безроз-мірними функ-ціями, які відпові-дають ao та a відповідно). При r?8 функції x(r) та y(r) змі-нюють-ся за степеневим зако-ном, а при r?0 залишаються скінче-ни-ми. Таку нелінійну польову конфі-гу-ра-цію, яка зникає при , ми називаємо квантовим супер-си-мет-ричним фермі-солітоном (КССФС), цей об’єкт є стабільним в розумінні теореми Дерріка. Таким чином, нелінійна реалізація супер-симетрії приводить до вакуум-ного стану ССФП у вигляді сферично симетричного (від-носно початку координат) ефек-тив-ного ріманового мно-говиду , метрика якого параметри-зована ком-понен-тами безмасового майоранівсь-кого біспінора. При від-даленні від центру r=0 його метрика прямує до метрики Мінковського по закону 1/r2.

У підрозділі 7.3 розглядається розглядається нелінійна реалізація суперсиметрії на основі многовиду M5 розмірності d=5 з координатами xk=(ct,r,x4), k=1,5. В якості ССФП виступає біспінор Дірака. для якого має вигляд

.

Тут координата x4 відповідає виміру, компактифікованому у сферу S1. Для відповідних нелінійних рівнянь поля також проведений чисельний аналіз у випадку сферично-симетричних конфігурацій, розв’язки для безрозмірних координат x(r) та y(r) (їх зміст той же, що і вище) приведені на рис. 2. При r?8 функції x(r) та y(r) змінюються за експоне-нційнім законом, а при r?0 залишаються скінченими. Вакуум-ному стану ССФП відповідає ріманів многовид V5=V4xS1, — многовид компакти-фі-кації додаткового виміру x4. Метрика на V4 зводиться до метрики Мін-ковського при r?8 за експо-нен-ційним законом (це викли-кане виникненням маси у діраківського біспі-нора за рахунок компакти-фікації x4 у сферу S1). Такий стан ССФП ми також визначаємо як кван-товий супер-симетричний фермі-солітон.

У підрозділі 7.4 виконане узагаль-нення моделі для випадку d=4 на основі функціонала дії гравітаційного поля з “космологічною” сталою Ro, виражений через метрику, параметризовану за допомогою ССФП:

Показано, що вакуумний стан сферично-симетричного ССФП можна розглядати як квантовий суперсиметричний фермі-солітон (див. рис. 3).

В підрозділі 7.5 побудована та досліджена частинкоподібна нелінійно-польова конфігурація, що складається із “геометрично” взаємодіючих електростатичного та суперсиметричного фермі-поля в вакуумному стані, яка описується функціоналом дії

де Fab — тензор напруженості електричного поля, gab — метрика простору, індукованого ССФП. Пока-зано, що її можна розглядати, як адек-ватну фізичній реальності солітон-ну модель елементарного елект-ричного заряду (див. рис. ).

В підрозділі 7.6 розглянута аналогічна підрозділу 7.5 частинко-подібна нелінійно-польова конфігурація із “геометрично” взаємо-діючих масив-ного скалярного та суперсимет-ричного фермі-поля у вакуумному стані.

Таким чином, квантове ССФП з інваріантним відносно нелінійної реалізації групи суперсиметрії інтегралом дії на підстилаючому многовиді M4xVd-4 (d>4) для спостерігача на M4 як вакуумний стан має частинкоподібний солітон. Його характеристичний розмір має той же порядок, що і розмір компактифікованого многовиду Vd-4, який в теоретико-польових схемах типу Калуци-Клейна прийнято вважати близьким до планківської довжини хвилі. В свою чергу КССФС індукує ефективний ріманів многовид Vd-4, який на периферії зводиться до многовиду Мінковського M4.

Для визначeння параметрів моделі, розглядалось сферично-симет-ричне електростатичне поле на рімановому многовиді, індукованому КССФС. Суттєвою особливістю отриманої, внаслідок розв'язку системи зв'язаних нелінійно-польових рівнянь частинкоподібної польової конфігурації, є відсутність сингулярності електростатичного потенціалу ц(r) в точці r=0 та його відповідність закону Кулона на периферії КССФС (при r>>1). Цю несингулярну частинкоподібну нелінійно-польову конфігурацію, наділену електричним зарядом e, який виникає у моделі як стала інтег-рування, і спіном ћ/2, носієм якого є ССФП, можна розглядати як солітонну модель елемен-тар-ного електричного заряду. Для повної відпо-відності цієї моделі фізичній реальності необхідно пок-лас-ти характеристичний роз-мір КССФС рівним план-ківсь-кій довжині, оскіль-ки тільки в цьому випадку в якості сталої взаємодії між електромагнітним полем та ССФП буде виступати стала тонкої структури, а повна енергія частинкоподібної нелінійно-польової конфігурації може бути нормована на енергію спокою mc2 елементарного електрично-го заряду. При цьому також досягається відповідність моделі сучасним уявленням про те, що суперсиметрія може істотно впливати на фізичні явища на відстанях порядку планківської дов-жини.

Таким чином, аналіз, виконаний для частинних ви-пад-ків класичного ска-ляр-ного елект-ро-статич-ного полів показав, що в теорії поля, заданій на інду-кованому КССФС рімано-вому мно-говиді, на її статичних частин-коподібних розв'язках зни-кають роз-біжності інтегралів руху при r=0.

Таке спостереження дозволяє сформулювати наступну модель елементарних частинок:

ядром кожної частинки є КССФС, який перебудовує просторово-часові співвід-но-шен-ня в області центру час-тинки з планківським харак-те-ристичним розміром;

відповідне частинці фізичне по-ле взаємодіє з її геометричним цент-ром як з гравітаційним об'єктом (через метричний тензор індукованого КССФС ріманового многовиду V4.

ВИСНОВКИ

Основні результати, отримані у даній дисертаційній роботі можуть бути сформульовані наступним чином.

Виконане узагальнення схеми, сформульованої Швінгером для лінійної теорії, на випадок нелінійних моделей, які описують фізичну систему у просторі з груповою структурою (рімановому просторі). Розвинутий послідовний метод квантування квантово-механічної теорії, означеної в неевклідовому просторі.

Показано, що при побудові квантової механіки точкової частинки за допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу важливу роль грають ізометрії конфігураційного простору, які є розв'язками рівняння Кіллінга. Результати процедури квантування суттєво залежать від співвідношення між розмірністю групи ізометрій простору (незалежних розв'язків рівняння Кіллінга) та розмірністю простору.

За допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу побудований оператор Лагранжа вільної точкової частинки у рімановому просторі, в якому виникає доданок типу потенціальної енергії суттєво квантового походження.

У випадку загального ріманового многовиду у квантовій теорії існує калібрувальна структура, яка відповідає стандартній теорії Калуци-Клейна. Для узагальненого простору станів квантово-механічна теорія будується неоднозначно — одній класичній теорії відповідає багато нееквівалентних квантових теорій, які нумеруються власними значеннями оператора Казиміра представлення групи ізотропії.

За допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу показано, що у випадку загального ріманового многовиду (коли розмірність групи ізометрій мен-ша за розмірність простору) квантова механіка є недовизначеною теорією. Цей факт проявляється в тому, що частину комутаційних співвідношень між операторами теорії не можна визначити однозначно, що є причиною з'явлення невизначених функцій координат в операторі Лагранжа. Використання процедури квантування на основі узагальненого квантового варіаційного принципу виявляє проблему (яку не відчувають інші методи квантування), але не розв'язує її. Така неоднозначність не є проблемою методу, для її усунення необхідна зовнішня інформація (можливо, експеримен-тальна).

Побудована квантово-механічна теорія для точкової частинки у суперпросторі, індукованому N=1 суперсиметрією (“супер-частинка”) за допомогою квантового варіаційного принципу. Показано, що наявність змінних, які описуються фермі-статистикою приводить до некомутативності операторів координат xм. По цій причині у координатному представленні оператори координат xм реалізуються інтегральними опера-торами. Показано також, що простий зв'язок між предс-тав-леннями операторів координати та імпульсу (через оператор диференціювання) — відсутній.

У нелінійній квантовій теорії поля, побудованій на основі моделі Волкова-Акулова з нелінійною реалізацією суперсиметрії, показане існування частинкоподібних конфігурацій суттєво квантового походження, що індукують метрику ріманового многовиду, який на периферії зводиться до простору Мінковського. У теорії поля, заданій на такому просторі, зникають розбіжності інтегралів руху. Зокрема, у випадку електростатичного поля потенціал є скінченим у початку координат і має звичайну кулонівську поведінку на великих відстанях. Таку несингулярну частинкоподібну конфігурацію із зарядом e, спіном ћ/2 і розміром порядку планківської довжини можна розглядати як модель елементарного заряду. Проведений аналіз ілюструє також відоме твердження про те, що ефекти суперсиметрії, які на даний час не спостережувались безпосередньо, можуть бути суттєвими на надмалих просторових масштабах порядку планківських (де експерименти поки не проводяться).

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Chepilko N. M., Fujii K., Romanenko A.V. Quantum fermi solitons caused by supersymmetry // Український Фізичний Журнал. — 1999 — т. 44 — С.15-24.

2. Chepilko N.M., Romanenko A.V. Quantum mechanics on Riemannian Manifolds in Schwinger's Quantization Approach, I // European Physics Journal. — 2001 — v.C21 — p. 269-381.

3. Chepilko N.M., Romanenko A.V. Quantum mechanics on Riemannian Manifolds in Schwinger's Quantization Approach, II // European Physics Journal. — 2001 — v.C21, — p. 587-595.

4. Chepilko N. M., Romanenko A.V. Quantum mechanics on Riemannian Manifolds in Schwinger's Quantization Approach, III // European Physics Journal. — 2001 — v.C21, — p. 757-767.

5. Chepilko N. M., Romanenko A.V. Quantum mechanics on Riemannian Manifolds in Schwinger's Quantization Approach, IV // European Physics Journal. — 2001 — v.C22 — p. 601-611.

6. Chepilko N. M., Fujii K., Romanenko A.V. Quantum supersymmetric fermi-solitons // Proceedings of the International Conference “Non-Euclidean Geometry in modern physics” hailed in Uzhhorod, Kiev-1997 — p.136-148.

АНОТАЦІЇ

Романенко О. В. Застосування варіаційного принципу Швінгера до квантування систем у викривленому просторі. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 — теоретична фізика.— Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Дисертацію присвячено аналізу структури квантової механіки на неевклідовому просторі та дослідженню нелінійних частинкоподібних конфігурацій у моделі Волкова-Акулова з нелінійною реалізацією суперсиметрії. З цією метою розглядається узагальнення схеми квантування за допомогою квантового варіаційного принципу, вперше запропонованої Швінгером, яке дозволяє коректно врахувати вплив геометрії простору на форму квантової теорії. Для аналізу були вибрані різні типи многовидів — однорідний (з різними способами реалізації групи ізометрій) та загальний ріманові простори, а також супермноговид. Виявилося, що структура квантової механіки в основному визначається властивостями ізометрій простору, зокрема розв'язками рівнянь Кіллінга. Методи, розвинені для квантово-механічних задач, були застосовані для польової моделі Волкова-Акулова з нелінійною реалізацією суперсиметрії. У наближенні Джеківа-Реббі в ній знайдений суттєво квантовий частинкоподібний розв'язок (який зникає у класичній границі) з характеристичним розміром порядку планківської довжини. Показано, що електростатичне поле, яке взаємодіє з таким об'єктом є скінченим в околі центру конфігурації і має звичайну кулонівську поведінку на периферії. Таке нелінійне польове утворення може розглядатись як модель елементарного заряду.

Ключові слова: квантовий варіаційний принцип Швінгера, вектори Кіллінга, рімановий простір, суперпростір, суперсиметричне фермі-поле (ССФП), квантовий суперсиметричний фермі-солітон (КССФС).

Романенко А. В. Применение вариационного принципа Швингера к квантованию систем в искривленном пространстве. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 — теоретическая физика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Дисертация посвящена анализу структуры квантовой механики в неевклидовом пространстве и исследованию нелинейных частицеподобных конфигураций в модели Волкова-Акулова с нелинейной реализацией суперсимметрии. С этой целью рассматривается обобщение схемы квантования с помощью квантового вариационного принципа, впервые предложенного Швингером, которое позволяет корректно учесть влияние геометрии пространства на форму квантовой теории. Для анализа были взяты различные типы многообразий — однородное (с разными способами реализации группи изометрий) и общее риманово пространства, а также супермногообразие. Оказалось, что структура квантовой механики в основном определяется свойствами изометрий пространства, в частности решениями уравнений Киллинга. Методы, развитые для квантовомеханических задач, были использованы для полевой модели Волкова-Акулова с нелинейной реализацией суперсимметрии. В приближении Джекива-Ребби в ней найден существенно квантовое частицеподобное решение (исчезающее в классическом пределе) с характеристическим размером порядка планковской длины. Показано, что электростатическое поле, взаимодействующее с таким объектом является конечным в окрестности центра конфигурации и имеет обычное кулоновское поведение на периферии. Такое нелинейное полевое образование может рассматриваться как модель элементарного заряда.

Ключевые слова: квантовый вариационный принцип Швингера, векторы Киллинга, риманово пространство, суперпространство, суперсимметричное ферми-поле (ССФП), квантовый суперсиметричный ферми-солитон (КССФС).

Romanenko A.V. Application of Schwinger’s action principle to quantization of systems on curved manifold.— Manuscript.

Thesis for scientific degree of Phylosophy Doctor in physics and mathematics by speciality 01.04.02 — theoretical physics.— National Taras Shevchenko Kyiv University, Kyiv, 2002.

Thesis is devoted to the investigation of the structure of the quantum mechanics on the non-euclidean space and learning the features of the particle-like configurations in Volkov-Akulov model with non-linear realization of the supersymmetry. To develop this the generalization of quantum action principle formulated by Schwinger is considered. In this approach the influence of geometry on the character of a theory can be taken into account more correctly than in the usual canonical quantization approach. For the anaof the motion of a free particle in a curved space the different types of the mani-folds are chosen Ї we consider the homogeneous (with the different ways of isometry group realizations) and general Riemannian manifolds and, in addition, — the superinduced by N=1 supersymmetry transformations. It happens that the structure of quantum mechanics in general is determined by the isometry properties of the space, in particular it can be described by the solutions of the Killing equations for the metric of the manifold.

In the simplest case, when the dimensions of the isometry group and the maniare equal (so that the group and the manifold are isomorphic) the commutation rela-tions between coordinate and momentum operators receive the usual form. The quantum Lagrangian totally describing the particle motion must be corrected by adding some cocontrterms of -order. Their role consists of making the Lagranindependent on the way of choosing the coordinate system on the manifold. This requirement appears in more complicated cases of manifolds with the same meaning. It appears that the Hamiltonian operator is realized on the space of wave functions as a usual Laplace-Beltrami operator.

In the more complicated case, when the dimension of the isometry group is larger than the dimension of the manifold, the quantization procedure is performed in the enlarged configuration space (as in gauge theories). It has been shown that geometry ingauge structure of Kaluza-Klein type appears in the theory. In the level of coordi-nate representation one can draw a conclusion that there exist a lot of unitary non-equivalent quantum theories describing the motion of a free point particle on the mani-fold under the consideration. These theories are labeled by the eigenvalues of the Casimir operator of the representation of the isotropy subgroup in the space of wave functions.

In the most complicated case of the manifold (a general Riemannian manifold) the quantization with the use of the