Севастопольський національний технічний університет

Шушляпін Євгеній Андрійович

УДК 681.5

Моделі кінцевого стану та їх застосування у задачах аналізу і синтезу систем керування

05.13.03 - системи та процеси керування

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Севастополь-2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі технічної кібернетики Севастопольського національного технічного університету

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Барабанов О.Т.,

Севастопольський національний технічний університет, завідувач кафедрою технічної кібернетики

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Александров Є. Є.,

Харківський національний технічний університет “ХПІ”, завідувач кафедрою колесних та гусеничних машин

доктор технічних наук, професор Потапенко Є. М.,

Запорізький національний технічний університет, професор кафедри електроприводу і автоматизації промислових установок

доктор технічних наук, професор Бідюк П. І.,

інститут прикладного системного аналізу Київського національного технічного університету “КПІ”, професор.

Провідна установа: Харківський національний університет радіоелектроніки, кафедра прикладної математики

Захист дисертації відбудеться “_3_”_жовтня______2002 року о _13_ годині, на засіданні спеціалізованої вченої ради по захисту кандидатських та докторських дисертацій Д50.052.02 в Севастопольському національному технічному університеті. З авторефератом можна ознайомитись у бібліотеці університету за адресою 99053, м. Севастополь, Студмістечко. Відгуки на автореферат у двох екземплярах, засвідчених печаттю, просимо відіслати на адресу: 99053, м. Севастополь, Студмістечко.

Автореферат розісланий “_27_”_серпня____2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Крамарь В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасні потреби техніки й інших сфер застосування теорії керування давно мають потребу в нових ідеях і відповідних теоретичних методах. Останнім часом стали навіть говорити про кризу сучасної теорії керування. Добре відомо, що незважаючи на велику кількість фахівців, що працюють в області теорії керування і наявність різноманітних методів загального і особистого характеру, на практиці в переважній більшості випадків використовуються найпростіші види керування за принципом зворотного зв'язку - так називані ПІД - регулятори і їхні алгоритмічні аналоги. Причина цього - прозорий фізичний зміст даного виду керування і його застосовність як до лінійних, так і нелінійних систем самого широкого класу. Можливі проблеми, що виникають при параметричному настроюванні ПІД - регуляторів, розв’язуються інженерними методами. Однак усі ці підходи призначені, по суті, тільки для керування сталими режимами систем з одномірним виходом. Цілеспрямоване ж керування перехідними процесами деякою мірою можливо лише в обмеженому класі лінійних і досить простих нелінійних систем. У складних же випадках часто використовується стратегія “обережного руху”, що зводиться до штучного забезпечення роботи системи в режимі малих відхилень, коли припустиме використання лінійних (і навіть стаціонарних) моделей і відповідних методів керування. Зазначена стратегія приводить, як правило, до сильного затягування перехідних процесів. У той же час існує багато задач, де керування перехідними процесами є основною метою. Приведемо цитату з огляду академіка Красовського А.А.: “...сучасна техніка вимагає граничного використання ресурсів, якщо не в штатних, то в аварійних ситуаціях”. До задач, де перехідні процеси визначають одну з головних якостей систем, відносяться комутація електроенергетичних установок, керування рухомими об'єктами, гідродинамічними системами й ін. На жаль, сучасна теорія керування пропонує занадто мало адекватних засобів. Одні з них мають досить універсальний характер, однак вимагають застосування трудомістких і ненадійних (з погляду гарантованого одержання результату) чисельних методів. До таких засобів відносяться алгоритми оптимального керування, які у більшості випадків не можуть застосовуватися для синтезу керувань у реальному часі. Інші методи мають особистий характер і вимагають попередньої дослідницької роботи з урахуванням властивостей конкретного об'єкта керування і розробці комплексних алгоритмів керування. При цьому широко використовуються різноманітні інженерні рішення з наступним параметричним підстроюванням. Таким чином, однією з причин відносно рідкого використання складних методів керування є відсутність відповідних практично придатних реалізацій для багатьох задач, особливо задач керування перехідними процесами.

Інша причина, на наш погляд, та, що більшість з відомих теоретичних методів спирається на математичні моделі структурного типу. Під структурними моделями тут розуміються моделі, при побудові яких відображаються в тій чи іншій формі елементи системи і зв'язки між ними, тобто структура системи. Такі моделі, як правило, є продуктом тривалих досліджень і будуються на основі фізичних і інших законів, а також апріорної інформації про структуру системи. Чимало часу потрібно і для їхнього підстроювання стосовно до конкретного об'єкта керування. Протилежний підхід, використовуваний у моделюванні, зв'язаний з безпосереднім відображенням тих функцій системи, що потрібні для задачі керування. Такі моделі називаються функціональними (мають місце й інші альтернативні назви - кібернетичні, типу “чорного ящику” і ін.). Функціональні моделі будуються на основі обробки експериментальних даних про вхідні впливи і відповідної реакції досліджуваного об'єкта методами, розроблювальними в теорії ідентифікації і теорії планування експериментів. Ідентифікація функціональних моделей відбувається досить швидко, іноді й у реальному часі. У той же час у теорії керування, особливо теорії нестаціонарних і нелінійних систем, мало орієнтованих на функціональні моделі методів.

Таким чином, недостатній арсенал методів теорії керування для задоволення сучасних потреб практики вимагає залучення і детальної розробки нових ідей, однієї з який є ідея переходу від структурних моделей до функціональних моделей на основі динамічних характеристик. Послідовна розробка цієї актуальної ідеї і є предметом дисертаційних досліджень.

Зв'язок з науковими програмами. Основна ідея роботи і перші теоретичні результати для лінійних нестаціонарних систем отримані при виконанні хоздоговірних НДР по спеціальній тематиці. Інші результати отримані при виконанні держбюджетних НДР і по особистій ініціативі. У НДР “Методи аналізу і синтезу багатомірних нестаціонарних функціонально складних процесів і систем” (шифр “Корунд”, номер державної реєстрації 0198U002904) автором виконані дослідження з матеріалів четвертого розділу дисертації і написаний розділ звіту. У НДР “Методи синтезу систем керування функціонально складними процесами й об'єктами” (шифр “Топаз”, номер державної реєстрації 0101U001179) увійшли результати досліджень першого розділу дисертації і також написаний розділ звіту.

Мета і задачі дослідження. Перераховані вище проблеми теорії керування частково можуть бути вирішені переходом до моделей на основі функціональних характеристик у виді перехідних матриць, які можуть бути ідентифіковані. Такі моделі для лінійних систем у принципі відомі давно, однак як самостійний засіб опису систем вони, наскільки нам відомо, не використовувалися. Для нелінійних же систем точні динамічні характеристики, аналогічні перехідним матрицям, широкому колу фахівців з теорії керування мабуть невідомі, незважаючи на те, що визначення і спосіб обчислення нелінійної перехідної матриці запропоновані давно.

Об'єкти досліджень:

1)

2)

3)

Предмет досліджень: моделі функціонального типу, названі “моделями кінцевого стану” і їхнє застосування до різних задач керування, способи переходу від моделей стану до еквівалентних моделей кінцевого стану. Основними елементами таких моделей є перехідні матриці і так звані перемінні кінцевого стану, зміст яких - прогноз некерованого кінцевого стану системи. Моделі кінцевого стану для лінійних безперервних і безперервно-дискретних систем, а також для нелінійних безперервних систем із гладкими нелінійностями й адитивним керуванням визначені в першому розділі дисертації. Застосування моделей кінцевого стану для рішення деяких відомих задач керування дозволив одержати ряд нових результатів у вигляді функціональних форм оптимального і термінального керування, коваріаційного аналізу й аналізу чутливості. Зазначені функціональні форми містять тільки елементи моделей кінцевого стану, що у свою чергу залежать від поточних значень звичайних перемінних стану. Ці результати, а також результати їхнього застосування до конкретних систем викладені в наступних розділах дисертації.

Методами досліджень були математичний аналіз і комп'ютерне моделювання. Математичний аналіз спирався на теорію оптимального і термінального керування, теорію імовірностей і математичну статистику, теорію автоматичного керування, теорію електричних машин і апаратів, гідромеханіку. Комп'ютерне моделювання виконувалося на пакетах Турбопаскаль 7.0, Delphi, MathCad-2000, MatLab 5.3 з використанням чисельних методів інтегрування диференціальних рівнянь, матричної алгебри, нелінійного програмування, комп'ютерної графіки.

Наукова новизна отриманих результатів.

Отримані такі нові наукові результати.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Практичне значення отриманих результатів. Усі розроблені методи, доведені до чисельних алгоритмів і комп'ютерних програм, мають практичне значення і підтверджені комп'ютерним моделюванням, результати якого приведені у відповідних розділах дисертації. На прикладі задачі переслідування рухомої цілі проведено порівняння розроблених у дисертації двох методів оптимального і термінального керування з декількома відомими методами і показано, що розроблені методи з комплексу властивостей (точності, чутливості, енергії керування, універсальності) є найкращими серед порівнюваних. У розділах, присвячених запропонованому в дисертації методу кінцевого стану, визначені термінальні керування для одинадцяти об'єктів (до дев'ятого порядку відповідної системи диференціальних рівнянь) з різних областей техніки й інших сфер людської діяльності (електроенергетики, гідромеханіки, хімічної кінетики, організаційного керування, керування рухомими об'єктами). Проведені розрахунки показали його високу ефективність і практичну відсутність обчислювальних і інших проблем при вживанні. Зроблено порівняння результатів використання методу кінцевого стану і двох сучасних методів при моделюванні керованого електропривода. В існуючому виді метод готовий до широкого застосування як засіб розрахунку програмного керування. Для лінійних систем і досить простих нелінійних систем метод кінцевого стану може використовуватися для рішення задачі синтезу, тобто розрахунку зворотних зв'язків у реальному часі. Використання методу для синтезу керувань у складних нелінійних системах вимагає значних комп'ютерних потужностей, однак у принципі можливо на сучасних персональних і керуючих комп'ютерах. На практичних прикладах перевірені і розроблені в дисертації методи еквівалентної заміни довільного керування релейним, методи коваріаційного аналізу, розрахунку параметричної чутливості оптимального кінцевого стану в лінійно-квадратичній задачі.

Особистий внесок здобувача. Всі основні теоретичні результати отримані самостійно. У співавторстві виконані застосування методу кінцевого стану в електроенергетиці і хімічній кінетиці. Участь співавтора зв'язана з пошуком і обґрунтуванням моделей об'єктів керування, участю в розробці комп'ютерних програм і проведенні комп'ютерних експериментів. Крім того, співавтором запропонована одна задача дискретної корекції для застосування методу кінцевого стану в безперервно-дискретній формі.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень доповідалися на республіканській і чотирьох міжнародних конференціях - “Методологічні проблеми автоматизованого проектування і дослідження систем” (1987г), “Автоматика-96”, “Автоматика-2000”, “Автоматизація: проблеми, ідеї, рішення - 4 - 99”, “Диференціальні рівняння - 2000” у мм. Севастополі, Львові, Санкт-Петербурзі, на II Міжнародної школі-семінарі “Альтернативні підходи до дослідження систем” у 1997 році (м.Севастополь), на постійно діючому науковому семінарі при кафедрі технічної кібернетики СевНТУ в 1999, 2000, 2001, 2002 роках.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 3 тези і 23 статті, чотири з який переведені на англійську мову і видані в США. З них у журналах - 7, без співавторів - 16.

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, висновків і списку використаних джерел з 133 найменувань. Основна частина дисертації викладена на 311 сторінках, містить 36 ілюстрацій, 11 таблиць.

У вступі обговорюється актуальність теми, дається загальна характеристика роботи і коротко викладається зміст дисертації.

У розділі 1 роботи, що має назву “ТЕОРІЯ КЕРУВАННЯ І МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ СИСТЕМ”, проаналізований вплив засобів опису систем на коло формульованих на їхній основі задач керування й алгоритмів керування. Відзначено (з посиланням на оглядову статтю академіка Красовського А.А. у №4 за 2000р. журналу “Автоматика і телемеханіка”) наявність визначеної кризи теорії автоматичного керування, що виявляється в незатребуваності багатьох сучасних методів керування, що використовують математичні моделі об'єктів керування. Основними причинами кризи, на думку автора дисертації, є два: недостатні арсенали методів керування нелінійними системами і недолік часу і засобів у проектувальників багатьох систем керування на розробку адекватних математичних моделей.

Остання причина може бути усунута шляхом переходу від структурних моделей, на яких базується більшість методів аналізу і синтезу теорії керування, до функціональних моделей. Функціональні моделі, що відображають не структуру, а функції системи, будуються на основі реєстрації й обробки реакції об'єктів керування на стандартні вхідні впливи і виражаються через перехідні матриці, частотні характеристики і т.п. При цьому важлива форма використання зазначених динамічних характеристик, яка придатна для опису можливо більш широкого класу систем.

На основі короткого аналізу існуючих видів математичних моделей у часовій і комплексній областях показано, що перехід до нових форм моделей завжди приводив до появи нових задач і методів рішення як нових, так і старих задач.

Клас систем, розглянутих у дисертації, обмежений диференціальними системами в нормальній формі Коші з нелінійними (у загальному випадку) безперервними і диференційованими функціями правих частин і адитивними керуючими впливами, які розглядаються на кінцевому інтервалі часу. Розглядаються задачі оптимального керування з вільним правим кінцем і критеріями від задач Майера і Лагранжа з можливими амплітудними обмеженнями на керування, термінальними задачами приведення в задане положення, задачею коваріаційного аналізу. Для зазначеного класу систем і згаданих задач виконаний досить докладний огляд, що включає:

1)

2)

3)

Показано, що майже всі алгоритми для зазначених задач використовують інформацію про структуру моделі і не задовольняють поставленій в дисертації мети - одержанню алгоритмів у функціональній формі.

Другий розділ дисертації має назву “МОДЕЛІ КІНЦЕВОГО СТАНУ І ЇХНЄ ЗАСТОСУВАННЯ в ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ”. У ньому розглядаються системи виду:

(1)

У системі (1) - -мірний вектор стану, - безперервна разом зі своїми частковими похідними першого порядку вектор-функція, - матриця коефіцієнтів при -мірному векторі керування. Адитивність керування не є принциповим обмеженням, тому що для всіх неадитивних керувань (наприклад, керованих параметрів) можна ввести диференціальні рівняння з невизначеними правими частинами, що і будуть новими керуючими сигналами. При такій заміні, щоправда, клас вихідних керувань обмежений диференційованими функціями.

Формою функціональної моделі для систем виду (1) пропонується так звана модель кінцевого стану, елементами якої є матриця перехідних функцій і вектор перемінних кінцевого стану. Перемінні кінцевого стани мають сенс прогнозу кінцевого стану некерованого руху системи, що має в деякий момент стан. Достоїнством даної форми є її однаковий вид для лінійних і нелінійних систем, що у даному випадку розрізняються лише способами розрахунку перехідних матриць і перемінних кінцевого стану. Для лінійних систем алгоритми розрахунку перехідної матриці як функції першого і другого аргументів добре відомі, причому перехідна матриця тут від не залежить. Для нелінійних же систем використані визначення й алгоритм розрахунку перехідної матриці як функції першого аргументу, запропоновані відомим радянським математиком Алексєєвим В.М. Що стосується перемінних кінцевого стани, що також є функціями двох часових аргументів, то алгоритми їхнього розрахунку як функцій першого і другого аргументів для лінійних систем і як функцій першого аргументу для нелінійних систем також відомі, хоча як елементи представлення моделей у пропонованій формі вони раніше не використовувалися. Цінність моделей кінцевого стану для практичних задач обумовлена двома основними причинами. Перша причина - рівність значень перемінних кінцевого стану і перемінних стану при однакових значеннях першого і другого часових аргументів у визначенні, тобто. Друга причина - простий вид диференціальної форми моделі кінцевого стану, при якому перемінна кінцевого стану в праву частину векторно-матричного диференціального рівняння не входить. Модель кінцевого стану являє собою векторно-матричну систему диференціальних рівнянь, що визначає перемінні кінцевого стану як функції другого аргументу. Ці рівняння разом з алгоритмом розрахунку елементів моделі (перехідної матриці і перемінних кінцевого стани) як функцій першого аргументу мають вид:

, (2) (3)

(4)

де (2) - модель кінцевого стану, Ф і B визначені в (1), тут і далі позначена одинична матриця.

У приведеному алгоритмі розрахунку елементів моделі використовуються її структурні елементи у виді векторів та якобіану А. У випадку ж використання чисто функціональних форм передбачається, що і відомі як функції двох часових аргументів (і стану для нелінійних систем), для одержання яких повинна бути виконана їхня ідентифікація. Відзначимо, що задача ідентифікації й у дисертації не ставилася. Таким чином, рівняння (3) і (4), що повинні інтегруватися спільно, є алгоритмом переходу від структурної моделі до моделі кінцевого стану.

Систематизовано властивості перемінних кінцевого стани, що у тій чи іншій формі були відомі і раніше. Ці властивості наступні:

1.

2.

3.

Показано, що співвідношення Лагранжа має місце тільки для лінійних систем.

На основі відомого узагальнення формули Коші-Лагранжа на системи з розривними в задані моменти часу рішеннями і відповідних рівнянь для перехідних матриць отримана модель кінцевого стану для такого класу систем.

Структурна модель для зазначеного типу систем описується рівняннями:

(5)

де - множина точок на часовій осі, у яких вектор стану перетерплює розриви (стрибки), - заздалегідь відомі на всьому часовому інтервалі зовнішні впливи, - керуючі впливи, - вектор початкових умов.

Відповідна модель кінцевого стану, отримана в дисертації, має вигляд:

(6)

де, а перехідна матриця як функція другого аргументу визначається раніше відомими рівняннями зі стрибками:

(7)

Далі в другому розділі розглянуті деякі задачі оптимального керування лінійними системами, для яких отримані алгоритми оптимального керування у функціональній формі.

Перша з таких задач має постановку:

(8)

де F - невід’ємно визначена симетрична матриця, а інші елементи визначені вище.

Застосування принципу максимуму до відповідної (8) моделі кінцевого стану приводить до наступного вираження для оптимального керування:

. (9)

Використання (8), (9) зводить варіаційну задачу (8) до задачі нелінійного програмування з підлягаючим визначенню мірним вектором, що значно простіше з обчислювальної точки зору, чим рішення відповідної крайової задачі, яка з’являється у випадку застосування принципу максимуму безпосередньо до задачі (8). Однак для часткового випадку (8) зі скалярним керуванням і однією керованою координатою (для визначеності першої) отримане керування у виді зворотного зв'язку:

(10)

У даній задачі передбачалося, що скалярне керування може впливати на багато входів відповідно до коефіцієнтів стовбцевої матриці .

Як бачимо, керування (10) формується по відомим на всьому інтервалі часу зовнішнім впливам та поточному стану і має функціональну форму.

У дисертації приведені також і відомі формули перетворення, що дозволяють використовувати алгоритми (9), (10) для ненормованих амплітудних обмежень на керування.

У наступному підрозділі другого розділу розглянута задача еквівалентної по кінцевому стану двох керованих координат лінійної нестаціонарної системи

(11)

заміни довільного обмеженого керування релейним. Доведено теорему, у формулюванні якої використовуються наступні функції:

, (12)

, (13)

. (14)

Функція (14) являє собою внесок -ї компоненти вектора керувань у кінцеві стани двох довільних керованих координат на визначеному в приведеній нижче формулюванні теореми -му інтервалі часу.

Теорема. На кожнім з інтервалів, де передбачувані безперервними функції мають постійні знаки, а функції монотонні, будь-яке обмежене нулем і одиницею керування може бути замінено релейним керуванням із двома переключеннями виду

(15)

еквівалентним у змісті рівності інтегралів (14). При цьому, як наслідок, забезпечиться рівність кінцевих станів двох довільно узятих координат лінійної нестаціонарної системи (11).

Приведено приклад, що підтверджує еквівалентність у зазначеному змісті довільного і релейного керування виду (15).

Наступні два підрозділи розділу 2 присвячені лінійно-квадратичної задачі в її класичній постановці:

(16)

де, - матриці (Q, R, A, B - у загальному випадку функції часу); - відповідної розмірності вектори стану і керування; і - невід’ємно визначені симетричні матриці, - позитивно визначена симетрична матриця.

Після переходу від задачі (16) до еквівалентної задачі на основі моделі кінцевого стану (2) отримані функціональні форми оптимального керування для особистого випадку і для загального випадку задачі (16).

Функціональна форма для особистого випадку задачі (16) має вигляд:

, (17)

де - одинична матриця, - матриця Грама.

Форма (17) і близькі до неї отримані відмінними від нашого методами й іншими дослідниками.

Функціональна форма для загального випадку задачі (16) має вигляд:

, (18)

,

,

Форма (18) у доступних нам літературних джерелах не зустрічалася. Слід зазначити, що відомий цілий ряд форм оптимального керування задачі (16), що виражаються через перехідні матриці штучних систем (у дисертації приведені чотири таких форми), однак ці форми не можна назвати функціональними через принципову неідентифікованість таких систем.

На основі форми (17) отриманий структурний алгоритм обчислення параметричної чутливості кінцевого стану в припущенні, що матриці задачі (16) залежать безперервно від параметра. Алгоритм має вид:

, (19)

(20)

(21)

Показано, що алгоритм (19) - (21) значно ощадливіший по обчислювальних витратах, чим відповідний алгоритм, отриманий на основі використання найбільш розповсюдженої форми лінійно-квадратичної задачі - форми Льотова-Калмана. З (19) випливає і чисто функціональна форма алгоритму, коли відома аналітична залежність від вектора параметрів перехідної матриці. Вона простіше структурної і включає тільки вираження (19) і рівняння (21). Приведено відповідний приклад розрахунку.

Третій розділ дисертації, що має назву “ЗАСТОСУВАННЯ МОДЕЛЕЙ КІНЦЕВОГО СТАНУ ДЛЯ ТЕРМІНАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ”, присвячений задачі термінального керування в постановці:

(22)

де - бажане значення термінального критерію.

Переходячи до еквівалентної задачі на основі моделі кінцевого стану:

(23)

і використовуючи ідеї методів зворотної задачі динаміки і методу синтезу на основі функцій Ляпунова, у дисертації запропонований новий метод термінального керування, названий “метод кінцевого стану” чи скорочено МКС. Метод розроблений для трьох видів математичних моделей - з диференціальними (1), диференційно-алгебраїчними (іноді їх називають диференційно-функціональними) і гібридними (5) обмеженнями. Диференційно-алгебраїчні обмеження складені із систем нелінійних диференціальних виду (1) і нелінійних алгебраїчних рівнянь.

На відміну від відомих варіантів рішення зворотної задачі динаміки, у яких задається бажана траєкторія в просторі перемінних стану, у МКС задається бажана траєкторія так називаної критеріальної функції, що представляє собою цільову функцію критерію задачі (22), де замість вектора підставлений вектор перемінних кінцевого стану як функція часу. Бажана траєкторія для критеріальної функції задається у вигляді диференціального рівняння, її визначаючого. Оскільки в термінальних задачах важлива не траєкторія, а те кінцеве значення, до якого вона приходить, можна обмежитися деякими стандартними видами траєкторій. Наприклад, для прямолінійної й експонентної траєкторій відповідне диференціальне рівняння має вигляд:

, (24)

де - критеріальна функція; для прямолінійної траєкторії від до; для експонентної траєкторії з постійною часу.

Обчислюючи похідну по часі критеріальної функції в силу рівнянь (23) (як у методі синтезу на основі функцій Ляпунова), можна одержати явне вираження для керування у вигляді:

(25)

де - права частина диференціального рівняння для бажаної траєкторії критеріальної функції, розмірності, - розмірність вектора керувань, - псевдозворотна матриця.

Показано, що псевдозворотність, а отже, і керування, у загальному випадку не єдино. І тільки у випадку скалярного керування, коли, керування (25) єдино.

Показано також, що керована алгоритмом (25) система (22) завжди стійка на кінцевому інтервалі (у силу відомого визначення стійкості на кінцевому інтервалі) при.

Для систем з диференційно-алгебраїчними обмеженнями виду:

(26)

де - вектор алгебраїчних обмежень, специфіка алгоритму МКС-керування виявляється в алгоритмі обчислення якобіану, що входить у диференціальне рівняння для перехідної матриці, яке у даному випадку має вигляд:

(27)

Тут вектор керування розбитий на два підвектори - вільний і базисний, де вільний підвектор представляє незалежні керуючі впливи, а базисний - залежні. Для, що входить у (26) у загальному випадку як вектор параметрів, уведені додаткові диференціальні рівняння, що визначають їх через адитивні керуючі впливи розмірності, у силу чого і матриця МКС-алгоритму (25) має блокову структуру:

.

Основною проблемою при використанні (27) є обчислення часткової похідної, що спочатку залежить від часткової похідної , де - зворотна вектор-функція, яка визначається в результаті рішення функціонального рівняння, тобто. Коли дана залежність не аналітична, саме і виникає зазначена проблема. У дисертації отриманий алгоритм обчислення:

(28)

який не вимагає знання аналітичної залежності.

Для гібридних систем виду (5), що мають безперервне і дискретне керування, розрахунок робиться по (25), (6) (при цьому перехідна матриця від стану не залежить). Для розрахунку сформульовано дві задачі. У задачі 1 потрібно привести систему до заданого значення при першому ж включенні дискретного керування, тобто повинно виконатися:

. (29)

Оскільки це може виявитися недосяжним (питання, зв'язані з досяжністю, розглянуті окремо), має сенс задача 2, де за одне включення критеріальна функція повинна зменшитися в раз, тобто:

(30)

Після підстановки вираження для з (6) у (29) чи (30) виходить у загальному випадку система нелінійних алгебраїчних рівнянь для визначення вектора Задача 2 і відповідна модифікація алгоритму розроблені сумісно з Кановым Л.М.. Якщо критерій і, відповідно, критеріальна функція квадратичні, а керування скалярне, то воно виражається аналітично з квадратного рівняння.

Окремо розглянуте питання про вибір досяжного значення і показано, що за умови досяжності заданої траєкторії критеріальної функції на МКС-керуванні вихідна оптимізаційна задача може бути переформульована як задача пошуку оптимальної критеріальной функції, що по визначенню є скалярною .

Другий підрозділ розділу 3 присвячений аналізу властивостей методу кінцевого стану. Тут розглянуті два питання.

Насамперед, зроблене порівняння МКС-керування з іншими відомими методами оптимального і термінального керування на прикладі задачі Котрелла переслідування рухомої цілі. Котреллом вирішена задача оптимального переслідування для об'єкта

(31)

і критерію якості у виді енергетичних витрат на керування

(32)

при крайовій умові, де - бокове відхилення від лінії візування цілі; - проекція на бокову вісь швидкості переслідувача; - нормальне щодо початкової лінії візування прискорення переслідувача; - проекція на бокову вісь швидкості цілі; - керування переслідувача; - параметр, що відображає інерційні властивості об'єкта керування.

Рішення Котрелла являє собою алгебраїчне співвідношення, що визначає керування як функцію стану і зовнішнього впливу.

Крім алгоритму Котрелла, для порівняння узяті:

1)

2)

3)

Вибір задачі (31), (32) як базу для порівняння алгоритмів обумовлений тим, що для цієї моделі відомі оптимальні алгоритми, може бути застосований метод Батенко (для керування кінцевими значеннями координат), перехідна матриця відома в аналітичному виді.

Алгоритми порівнювалися за допомогою комп'ютерного моделювання. Досліджувалася точність наведення і чутливість по неузгодженості для випадків нерухомої і рухомої цілей, при точній оцінці швидкості цілі і її відсутності. Чутливість по неузгодженості перевірялася шляхом завдання почергових неузгодженостей параметрів і коефіцієнта при в другому рівнянні з (31) і цих же параметрів в алгоритмах керування. Крім того, досліджувалася чутливість алгоритму МКС стосовно перетворення форми елементів перехідної матриці. Порівнювалися також результати керування кінцевими значеннями одночасно першою і другою координатами (промахом і кінцевим прискоренням переслідувача). Для керування енергетичними витратами на керування в алгоритмах Батенко і МКС вводилося амплітудне обмеження на керування. Результати експериментів відображені у восьми таблицях і на п'ятьох малюнках. На цьому ж прикладі перевірялися формули (19), (21) розрахунку параметричної чутливості кінцевого стану ЛКР. Перевірка робилася шляхом порівняння розрахунків по (19), (21) при відомій в аналітичному виді перехідній матриці з розрахунком чутливості безпосереднім інтегруванням (16) при різних значеннях параметра. Отримані досить близькі значення, що дозволяють зробити висновок про коректність (19), (21).

Основні висновки, що настають в результаті порівняння алгоритмів, такі:

1)

2)

3)

4)

На основі аналізу результатів моделювання зроблений загальний висновок про те, що з комплексу властивостей найкращим серед порівнюваних алгоритмів є алгоритм МКС. Що стосується алгоритму (10), то по точності і параметричній чутливості він не поступається алгоритму МКС, однак його енергія керування в кілька разів більше.

Далі в цьому ж підрозділі досліджена досяжність траєкторій і кінцевих значень критеріальних функцій (визначення критеріальної функції див. вище). Питання досяжності для термінальних задач і методів аналогічний питанню про існування оптимального керування в задачах і методах оптимального керування. Теоретичний аналіз даної задачі на сучасній стадії досліджень проведений лише в частині, що стосується причин недосяжності в безперервному (25) і безперервно-дискретному варіантах МКС. Виявлено, що єдиною причиною недосяжності заданої траєкторії критеріальної функції в безперервному випадку є особливі точки (по осі часу) скалярної функції, при проходженні яких критеріальна функція перетерплює розриви, що виявляються на графіках у виді миттєвих стрибків, після яких знову формується задана форма функції, але з нової ординати точки розриву. Для безперервно-дискретного варіанта існує і додаткова причина недосяжності - нерозв'язність систем нелінійних рівнянь виду (29), (6) чи (30), (6).

У цьому ж підрозділі показані графіки критеріальних функцій для задачі Котрелла, отримані при використанні алгоритмів ЛКР і МКС у випадку, коли оптимальна критеріальна функція ЛКР виявляється недосяжною для МКС. З порівнюваних графіків видно, що особливі точки утворюють деякий криволінійний бар'єр, уздовж якого критеріальна функція МКС рухається у формі ковзного режиму. Тут же розглянутий приклад системи з безперервно-дискретним керуванням, для якого комп'ютерним моделюванням підтверджена випливаюча з (29) можливість однократної дискретної корекції (тобто здійсненість (29)) при різних значеннях і різних безперервних керуваннях.

У наступному підрозділі третього розділу розглянута задача сигнального самонастроювання по еталонній моделі і її рішення на основі моделей кінцевого стану. Метою систем даного класу є відтворення динамічних властивостей еталонної моделі шляхом формування деякого керуючого сигналу на вході. При цьому керуючий сигнал залежить від помилки між відгуками вихідної системи й еталонної моделі, а також вимірюваних зовнішніх впливів. Звичайно подібні системи будують на основі підходу, коли по обмірюваному векторі помилки формується сигнал зворотного зв'язку, що розраховується з умови асимптотичної стійкості самонастроювання (наприклад, з використанням функцій Ляпунова). При використанні підходу на основі функцій Ляпунова часто вибирають її у вигляді невід’ємно визначеної квадратичної форми від поточної помилки, а потім знаходять похідну від цієї функції в силу рівнянь для помилки. Завершальним етапом є вибір такого керування, що забезпечує від’ємність зазначеної похідної. При цьому , якщо вихідний об'єкт і еталонна модель є лінійними, у результаті виходить розривне керування, тому що рівняння для помилки містить шукане керування, яке входить туди лінійно.

Задачу сигнального самонастроювання можна сформулювати і як задачу приводимості, однак замість класичного визначення приводимості по Ляпунову введені два визначення “некласичної” приводимості по кінцевому стані і на інтервалі. Критерій приводимості по кінцевому стану визначений у вигдяді верхнього обмеження на квадратичну форму з матрицею від вектора помилки в кінцевий момент часу, а критерій приводимості на інтервалі - як мінімуми аналогічної квадратичної форми в кожен момент часу.

Алгоритм приводячого керування по кінцевому стану на основі моделей кінцевого стану для випадку однакових порядків системи, що приводиться, й еталонної системи, має вигляд:

(33)

де - відповідно перемінні кінцевого стани нелінійної моделі, що приводиться, і лінійної еталонної моделей; - довільний зовнішній вплив. У випадку досягнення приводимості реакція кінцевого стану на для системи, що приводиться, й еталонної системи повинна задовольняти визначеному вище верхньому обмеженню.

Приводимість на інтервалі забезпечується багаторазовим застосуванням (33) на малих інтервалах розбивки інтервалу роботи системи. При цьому в (33) замінено, - часом, де,. У такий спосіб виходить дискретний алгоритм у функціональній формі, що при досить малому періоді дискретизації виконує поставлену задачу. Якщо відома структурна модель системи, приводимість на інтервалі забезпечується керуванням (33) при:

(34)

Розглянуто приклад нелінійної системи другого порядку з приводячим керуванням (33) і (33), (34), що додає їй властивості квазілінійності по кінцевому стані і на інтервалі відповідно. Для приведеної квазілінійної системи методами лінійної теорії виконаний синтез коригувальної ланки, що формує заданий перехідний процес. Тим самим показано, що до приведених алгоритмами (33), (33), (34) систем можна застосовувати методи синтезу, розроблені для лінійних систем.

Розглянутий ще один приклад системи п'ятого порядку, на якому продемонстроване, яким образом розроблений алгоритм модифікується