Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Сумик Оксана Маркіянівна

УДК 517.53

АСИМПТОТИЧНЕ ПОВОДЖЕННЯ

СПРЯЖЕНИХ ЗА ЮНГОМ ФУНКЦІЙ

ТА ЗАСТОСУВАННЯ ДО РЯДІВ ДІРІХЛЕ

01.01.01 - математичний аналіз

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей

Львівського національного університету імені Івана Франка

Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник –

доктор фізико-математичних наук, професор

Шеремета Мирослав Миколайович,

завідувач кафедри теорії функцій і теорії ймовірностей

Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти –

доктор фізико-математичних наук, професор

Винницький Богдан Васильович, професор кафедри математичного аналізу

Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Мохонько Валентина Дмитрівна, завідувач кафедри математики

Львівського технічного коледжу

Провідна установа:

Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна

Міністерства освіти і науки України, кафедра математичного аналізу

Захист відбудеться "17" жовтня 2002 р. о 15.20 год. на засіданні

спеціалізованої вченої ради К 35.051.07

у Львівському національному університеті імені Івана Франка

за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського

національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий "7" вересня 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради _____________ Бокало М.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Ряди Дiрiхле з невiд'ємними зростаючими до +? показниками є безпосереднiм узагальненням степеневих рядiв. Їхня роль добре вiдома як в математичному аналiзi, так i в теорiї чисел, теорiї диференцiальних рiвнянь та iнших роздiлах сучасної математики. В останнiй чвертi XX столiття зацiкавленiсть рядами Дiрiхле значно зросла завдяки дослiдженням росiйського математика А.Ф.Леонтьєва та його учнiв про зображення аналiтичних функцiй рядами Дiрiхле та їх узагальненнями.

Дещо iнший напрям дослiджень – вивчення асимптотичного поводження аналiтичних функцiй, заданих рядами Дiрiхле, розробляється М.М.Шереметою та його учнями Винницьким Б.В., Скаскiвим О.Б., а також Заболоцьким М.В. та iншими.

Під зростанням ряду Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної збiжностi sa розуміють зростання максимуму модуля M(s) функцiї, яку вiн задає, на вертикальнiй прямiй з абсцисою s < sa. Знаходження зв'язку мiж зростанням M(s) i поводженням коефiцiєнтiв ряду Дiрiхле здiйснюється в два етапи. Спочатку вивчається зв'язок мiж зростанням максимального члена m(s) ряду Дiрiхле i поводженням коефiцiєнтiв, а потiм знаходяться оцiнки M(s) зверху через m(s). Отже, задача про поводження максимального члена є однією iз центральних в загальнiй теорiї рядiв Дiрiхле. Крiм львiвських математикiв цiєю задачею займається також башкирський математик А.М.Гайсiн.

Ще в 1903 роцi Е.Лiндельоф вказав умови на тейлоровi коефiцiєнти цiлої функцiї, за яких її порядок дорiвнює нижньому порядку, а тип дорiвнює нижньому типовi. Для цiлих функцiй експоненцiйного типу результат Е.Лiндельофа був перевiдкритий М.В.Говоровим та Н.М.Черних. М.М.Шеремета та М.В.Заболоцький (1998 р.), узагальнюючи теорему Е.Лiндельофа, знайшли умови на коефiцiєнти цілого ряду Дiрiхле, за яких lnm(s) ~ F(s), s® +?, де F – задана опукла функцiя. Трохи пiзнiше Я.Я.Притула для ряду Діріхле з довільною абсцисою абсолютної збіжності знайшов необхідні та достатні умови для справедливостi спiввiдношення lnm(s) = F((1+o(1))s), s®sa. У зв'язку з цими результатами виникла природна задача про знаходження умов на коефiцiєнти, за яких F1(s)Ј lnm(s) Ј F2(s) для s < sa, де F1 i F2 заданi опуклi функцiї. А оскiльки функцiя Q(s) = sup{P(t)+st: t > 0}, спряжена за Юнгом до функції P:(0,+?)® [-?, +?), є узагальненням логарифма максимального члена, то така задача є актуальною i для функцiї Q.

Одним з важливих напрямiв в теорiї цiлих функцiй є вивчення поводження основних їх характеристик в термiнах двочленної асимптотики. Харкiвськi математики В.М.Логвиненко i П.З.Агранович в таких термiнах вивчали залежнiсть мiж зростанням цiлої функцiї i розподiлом її нулiв. У 1990 р. М.М. Шеремета вперше в термiнах двочленної показникової асимптотики встановив зв'язок мiж зростанням логарифма максимального члена цiлого (абсолютно збiжного в C) ряду Дiрiхле i поводженням його коефiцiєнтiв. Для цiлих функцiй скiнченного логарифмiчного порядку подiбну задачу розв'язали М.М.Шеремета, М.В.Заболоцький i Р.I.Тарасюк. Актуальною стала задача про поширення теореми М.М.Шеремети на n-членну показникову асимптотику, а також дослiдження поводження логарифма максимального члена ряду Дiрiхле та спряженої за Юнгом функцiї в термiнах iнших двочленних асимптотик (степеневої, показниково-степеневої i т.п.).

Ще одним важливим напрямком дослiджень в теорiї аналiтичних функцiй є теорiя аналiтичних функцiй обмеженого iндексу. Г.Фрiке, С.Шах i В.Сiсарчик в 1973 р. вивчили зростання так званих цiлих функцiй обмеженого M-iндексу i показали, що такими є функцiї експоненцiйного типу i тiльки вони. Ш.Абуарабi i М.М.Шеремета у 1989 р. узагальнили теорему Фрiке-Шаха-Сiсарчика на цiлi функцiї обмеженого l-M-iндексу. Нарештi, Я.В.Микитюк, С.I.Фединяк i М.М.Шеремета отримали аналог теореми Абуарабi-Шеремети для рядiв Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної збiжностi, тобто встановили зв'язок мiж зростанням максимуму модуля M(s,F) функцiї, заданої рядом Дiрiхле, i поводженням послiдовностi M(s,F(n)), де F(n) - n-а похідна ряду Діріхле.

Актуальним стало питання про подiбний зв'язок мiж зростанням логарифма максимального члена ряду Дiрiхле i поводженням послiдовностi максимальних членiв похiдних цього ряду, а з цим i вивчення вiдповiдної сiм'ї функцiй, спряжених за Юнгом.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiї пов'язана з науковими дослiдженнями, якi проводяться в галузi математики у Львiвському нацiональному унiверситетi iменi Iвана Франка.

Матеріал другого i частково третього (пiдроздiл 3.2) розділiв є складовою частиною досліджень держбюджетної теми МГ-379Б "Властивості операторів, аналітичних і субгармонійних функцій, тополого-алгебраїчних структур та їх застосування" (номер держреєстрацiї - 0198 U 004847). Матеріал третього (пiдроздiли 3.3, 3.4) і четвертого розділів є складовою частиною досліджень держбюджетної теми МГ-79Б "Асимптотичні властивості голоморфних функцій, алгебро-топологічні структури та їх застосування" (номер держреєстрацiї - 0101 U 001437).

Мета i задачi дослiдження. Метою дисертацiї є розвиток теорії спряжених за Юнгом функцій та її застосування до рядів Діріхле, що передбачає розв'язання таких задач:

1) знайти умови, за яких справедливими є заданi оцiнки знизу, зверху та знизу одночасно спряженої за Юнгом функцiї певними опуклими функцiями;

2) в термiнах багаточленної асимптотики встановити зв'язок мiж поводженням спряжених за Юнгом функцiй;

3) дослiдити асимптотичне поводження однiєї сiм'ї функцiй, спряжених за Юнгом;

4) застосувати отримані результати до встановлення зв'язку мiж зростанням логарифма максимального члена i поводженням коефiцiєнтiв ряду Дiрiхле з невiд'ємними показниками та довiльною абсцисою абсолютної збiжностi.

Об'єктом дослiдження є спряженi за Юнгом функцiї та ряди Дiрiхле з невiд'ємними показниками.

Предметом дослiдження є залежнiсть мiж зростанням спряжених за Юнгом функцiй, а також мiж зростанням логарифма максимального члена i поводженням коефiцiєнтiв ряду Дiрiхле з невiд'ємними зростаючими до безмежностi показниками.

Методи дослiдження. Для розв'язання сформульованих вище задач використовуються методи теорiї максимального члена та деякi прийоми з праць М.М.Шеремети i М.В.Заболоцького.

Наукова новизна одержаних результатiв. Усi основнi результати дисертацiї є новими. У роботi вперше одержано умови, при виконаннi яких справедливими є оцiнки знизу, зверху та знизу одночасно спряженої за Юнгом функцiї певними опуклими функцiями. Встановлено зв'язок мiж поводженням спряжених за Юнгом функцiй за умови, що зростання однiєї з них задається двочленною асимптотикою (показниково-степеневою в околi нескiнченостi чи степеневою в околi нуля) або n-членною показниковою в околi нескiнченостi. Отриманi результати застосовано до встановлення зв'язку мiж зростанням логарифма максимального члена i поводженням коефiцiєнтiв ряду Дiрiхле з невiд'ємними показниками та довiльною абсцисою абсолютної збiжностi, що доповнює та узагальнює відповідні результати М.М.Шеремети, М.В.Заболоцького та Я.Я.Притули. Дослiджено асимптотичне поводження однiєї сiм'ї спряжених за Юнгом функцiй та застосовано цей результат до встановлення зв'язку мiж зростанням логарифма максимального члена ряду Дiрiхле i поводженням послiдовностi максимальних членiв похiдних цього ряду.

Практичне значення одержаних результатiв. Дисертацiя має теоретичний характер. Її результати є певним внеском в теорiю рядiв Дiрiхле i можуть бути використанi як в загальнiй теорiї аналiтичних функцiй, так i в iнших роздiлах математики.

Особистий внесок здобувача. У спiльних з М.М.Шереметою статтях [1], [4], [5] спiвавтору належать постановки задач та обговорення результатiв, а також доведення теореми 2.1 [1] (в дисертацiї теорема 2.1 наводиться з дозволу М.М.Шеремети). У спiльнiй статтi з М.М.Шереметою та Я.В. Микитюком [5] другому спiвавтору належать доведення лем 1 i 2 (в дисертацiю леми 4.1, 4.2 включенi з дозволу Я.В.Микитюка). Решта результатiв отримано автором дисертацiї самостiйно.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї доповiдались та обговорювались на Мiжнароднiй конференцiї "Нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння в частинних похiдних", присвяченiй 100-рiччю з дня народження Ю.Шаудера (Львiв, 23-29 серпня 1999 р.), на науковій конференцiї "Математика і механіка у Львівському університеті (історія і сучасні проблеми)", присвяченій 255-ій річниці заснування кафедри математики в університеті (Львiв, 24-27 листопада 1999 р.), на Мiжнароднiй конференцiї "Цiлi та мероморфнi функцiї", присвяченiй 70-рiччю з дня народження А.А.Гольдберга (Львiв, 23-25 травня 2000 р.), на Мiжнароднiй конференцiї з комплексного аналiзу та теорiї потенцiалу (Київ, 7-12 серпня 2001 р.), на Мiжнароднiй науковiй конференцiї "Новi пiдходи до розв'язування диференцiальних рiвнянь" (Дрогобич, 1-5 жовтня 2001 р.), на Львiвському регiональному семiнарi з математичного аналiзу (керiвник проф. М.М.Шеремета), на Львiвському мiжвузiвському семiнарi з теорiї аналiтичних функцiй (керiвники проф. А.А.Кондратюк i проф. О.Б.Скаскiв), на семiнарi з теорiї аналiтичних функцiй у Дрогобичi (керiвник проф. Б.В.Винницький), на міському семiнарi з теорiї аналiтичних функцiй у Харкові (керiвник проф. А.Ф.Гришин).

Публiкацiї. Результати дисертацiї опублiковано в статтях [1-7] (4 без спiвавторiв), з яких 7 (4 без спiвавторiв) опублiковано у виданнях, включених у перелiк ВАК України.

Структура та об'єм дисертацiї. Дисертацiя складається iз вступу, чотирьох роздiлiв, висновкiв i списку використаних джерел, який займає 4 сторінки і включає 25 найменувань. Загальний обсяг працi - 150 сторiнок.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У данiй роботi об'єктом дослiдження є спряженi за Юнгом функцiї та ряди Дiрiхле з невiд'ємними зростаючими до +? показниками. Нехай P:(0, +?)® [-8, +8) (P не тотожньо дорівнює -?) , а

Q(s) =sup{P(t)+st: t > 0}. (0.1)

Функцiї Q i P, зв'язанi piвнiстю (0.1), називаються спpяженими за Юнгом, а рядом Дiрiхле називається ряд

+8 F(s)= е an esln,    s = s+it, (0.2) n = 0

де (ln) – зростаюча до +8 послiдовнiсть додатних чисел.

У вступi обгрунтовується актуальнiсть теми, дається короткий огляд результатiв, що мають безпосереднє вiдношення до теми, подається загальна характеристика дисертацiї.

У першому роздiлi "Огляд лiтератури та основних результатiв дисертацiї" наведено резуль-тат М.М.Шеремети та М.В.Заболоцького про еквiвалентнiсть логарифма максимального члена ряду Дiрiхле деякiй опуклiй функцiї та результат Я.Я.Притули, коли логарифм максимального члена ряду Дiрiхле дорiвнює ?((1+o(1))s), s®sa, де ? – задана опукла функцiя. Наведено також огляд вiдомих ранiше результатiв М.М.Шеремети, Р.I.Тарасюка щодо двочленної асимптотики логарифма максимального члена ряду Дiрiхле та результат Я.В.Микитюка, С.I.Фединяка, М.М.Шеремети про належнiсть ряду Дiрiхле до класу функцiй обмеженого лiнiйного l-M-iндексу. Наведенi основнi результати дисертацiї.

У другому роздiлi дисертацiї "Оцiнки функцiй, спряжених за Юнгом" вивчаються умови, за яких справедливими є заданi оцiнки спряженої за Юнгом функцiї зверху, знизу, зверху та знизу одночасно деякими опуклими функцiями.

Через ?(A), A О (-?,+?], позначено клас додатних необмежених на (-?, A) функцiй ? таких, що їхнi похiднi ?ў є невiд'ємними, неперервними i зростаючими до +? на (-?, A) функцiями. Нехай j – функцiя, обернена до ?ў, а Y(s) = s- Ц (s)/Цў(s) – функцiя, асоцiйована з ? за Ньютоном. Через m(s,F) = max{|an|esln:і 0}, s < sa, де sa – абсциса абсолютної збiжностi, позначено максимальний член, а через M(s,F) = sup{|F(s+it)|:О R} – максимум модуля ряду (0.2).

Задачi, якi розв'язуються у другому роздiлi дисертацiї виникли у зв'язку з результатом М.М.Шеремети та М.В.Заболоцького (Заболоцький М.В., Шеремета М.М. Узагальнення теореми Лiндельофа// Укр.мат.журн. – 1998. – Т. 50, N 9. – С. 1177-1192). Вони довели, що для цiлого ряду Дiрiхле (sa = +?) i функцiї ?О Щ(+?) ?ля того, щоб lnm(s,F) ~ Ц (s) при s® +? , необхідно і досить, щоб для кожного e > 0:

1) існувало no = no(e)ОN таке, що для всіх n і no(e)

ln|an| Ј -lnY(j(ln/(1+e)));

2) існувала зростаюча послідовність (nk) натуральних чисел така, що

ln|an| і -l nY(j(l n/(1-e)))

і

l n l nl n у F(j(t)) ––––––––– Ѕ ––––––– dt l n-l nх t2 l n lim––––––––––––––––––– = 1. k®8 l n ж 1 у ц Ф з––––––––– Ѕ j(t) dt к и l n-l n х ш l n

Я.Я.Притула (Prytula Ya.Ya. On the Lindelof Theorem // Мат.студiї. – 1997. – Т. 8, N 1. – С. 31-42) для ряду Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної збiжностi A довiв, що коли функцiя ? О Щ(A), ?о ln m(s,F) = Ц ((1+o(1))s) при s® A тодi i лише тодi, коли для кожного e > 0:

1) існує no = no(e)О N таке, що для всіх n і no(e)

ln|an| Ј - ln / (1+e)Y(j( ln/(1+e)));

2) існує зростаюча пiдпослідовність (nk) натуральних чисел така, що

ln|a n| і -l n /(1-e)Y(j(l n/(1-e)))

i

l n ж l nl n у F(j(t)) ц Ц-1 к ––––––––– Ѕ ––––––– dt к и l n-l nх t2 ш l n lim––––––––––––––––––– = 1. k®8 l n 1 у ––––––––– Ѕ j(t) dt l n-l n х l n

Роздiл 2 складається з п'яти пiдроздiлiв i висновкiв. Пiдроздiл 2.1 присвячений питанню оцiнки зверху спряженої за Юнгом функцiї деякою опуклою функцiєю. Таку оцiнку встановлює теорема М.М.Шеремети [1], яка з його згоди наведена в дисертацiї.

Теорема 2.1.Нехай ? О Щ (A), A О (-Ґ,+Ґ]. Для того, щоб Q(s) Ј Ц (s) для всіх s < A, необхідно і досить, щоб P(t) Ј -tY(j(t)) для всіх t > 0.

У пiдроздiлi 2.2 встановлено умови, за яких спряжену за Юнгом функцiю Q можна оцiнити знизу деякою опуклою функцiєю.

Нехай f – неперервно-диференційовна зростаюча на (0,+ Ґ) функція. Для s О (Y(s0),A), s0 < A, покладемо

D1(s,f;s0) = (f (Ц (s)))ў-(f ({ s-Y(s0)} Цў(s0)))ў, D2(s,f;s0) = f (Ц (s))f ({ s-Y(s0)} Цў(s0)){(ln f (Ц (s)))ў- (ln f ({ s-Y(s0)} Цў(s0)))ў}.

Будемо говорити, що f О Gj(Ц), j = 1,2, ?кщо

Dj(s,f;s0) Ј 0    при    Y(s0) < s Ј s0    i    Dj(s,f;s0) і 0    при   s0 Ј s < A.

Однiєю з основних у другому роздiлi є наступна

Теорема 2.2. Нехай A О (-Ґ,+Ґ] , Ц О Щ (A) ? P(tk) і -tkY(j(tk)) для деякої зростаючої до +Ґ послідовності (tk) додатних чисел.

Тоді для всіх k і k0 і всіх s О [j(tk),j(tk+1)] виконується

f (Q(s)) і f (Ц (s))+f (G1(tk,tk+1,1, Ц)) - f (G2(tk,tk+1,1, Ц))

для кожної функції f О G1(Ц) ?

f (G1(tk,tk+1,1, Ц)) f (Q(s)) і f (Ц(s)) ––––––––––––––– f (G2(tk,tk+1,1, Ц))

для кожної функції f О G2(Ц), ?е

tk+1 tk tk+1 у F(j(t)) G1 (tk,tk+1,1, Ц) = ––––––– Ѕ ––––––– dt, tk+1-tk х t2 tk 

tk+1 ж 1 у ц G2 (tk,tk+1,1, Ц) = Ц Ѕ –––––– Ѕ j(t) dt ч , и tk+1-tk х ш tk 

У цьому ж пiдроздiлi наведено приклади функцiй, якi належать до класiв Gj(Ц) (j = 1,2), ? також доведено деякi допомiжнi леми, необхiднi для подальших дослiджень.

У пiдроздiлi 2.3 отримано неполiпшуванi оцiнки знизу функцiй, спряжених за Юнгом функцiями, якi вiдповiдають найуживанiшим шкалам зростання рядiв Дiрiхле. Справедливi, наприклад, наступнi твердження.

Твердження 2.1. Нехай A = +Ґ, (tk) – зростаюча до +Ґ послiдовнiсть додатних чисел і P(tk) і - ln , r > 0, 0 < T < +Ґ. Тоді, якщо tk+1 - tk Ј h < +Ґ (k і 1), то

(1+o(1))h2 Q(s) і Ters- –––––––– e-rs,   s ­ +Ґ. 8Tr2

Твердження 2.3. Нехай A = 0, (tk) – зростаюча до +Ґ послiдовнiсть додатних чисел i

P(tk) і (p+1)T1/(p+1)p-p/(p+1)tkp/(p+1),  > 0,    0 < T < +Ґ.

Тодi, якщо tk+1 - tk Ј h < +Ґ (k і 1), то

T (1+o(1))h2 Q(s) і ––– - ––––––––– |s|p+2,   s ­ 0. |s|p 8Tp(p+1)

Якщо на функцiю ? накласти певнi умови, то отримаємо оцiнку Q знизу в загальнiй шкалi зростання. На це вказує

Теорема 2.3. Нехай A О (-Ґ, +Ґ], функцiя ? О W(A) така, що ? (s)/Цў(s) незростаюча на (-Ґ, A) i P(tk) і -tkY(j(tk)) для деякої зростаючої до +Ґ послiдовностi (tk) додатних чисел. Тодi, якщо tk+1- tk Ј h < +Ґ (k і 1), то

h Ц (s) Q(s) і Ц (s)- –– –––––– 1+o(1)),   s ­ A. 2 Цў(s)

У пiдроздiлi 2.4 вивчаються умови, за яких справедливими є заданi оцiнки спряженої за Юнгом функцiї деякими опуклими функцiями зверху та знизу одночасно. Однiєю з основних в цьому параграфi i взагалi в другому роздiлi є наступна теорема.

Теорема 2.4. Нехай A О (-Ґ,+Ґ], Цj О W(A), j = 1,2. Yj і jj є, вiдповiдно, функціями спряженими за Ньютоном до ?j та функціями оберненими до ?jў. Якщо для всіх s О (-Ґ,A)

Ц1 (s) Ј Q(s) Ј Ц2(s),

то P(t) Ј -tY2(j2(t)) для всіх t > 0 та існує зростаюча до +Ґ послідовність (tk) додатних чисел така, що

P(tk) і -tkY1(j1(tk)),

tk+1 tk+1 tk tk+1 у Ц2(j2(t)) ж 1 у ц ––––––– Ѕ ––––––– dt і Ц1Ѕ –––––– Ѕ j2 (t) dt ч . tk+1-tk х t2 и tk+1-tk х ш tk tk 

У пiдроздiлi 2.5, використовуючи теореми 2.1, 2.2 i 2.4, отримано декiлька теорем критеріального характеру про регулярне зростання функції Q(s). З отриманих тут результатiв наведемо тiльки три наступнi твердження.

Теорема 2.5. Нехай A О (-Ґ, +Ґ], Ц О W(A). Для того, щоб Q(s) = (1+o(1)) Ц(s) при s® A необхідно і досить, щоб для кожного e > 0:

1) існувало t0 > 0 таке, що для всіх t і t0    P(t) Ј -tY(j(t/( 1+e)));

2) існувала зростаюча до +Ґ послідовність (tk) додатних чисел така, що

G1(tk,tk+1,1, Ц) P(tk) і -tkY(j(tk/(1-e)))    i    ––––––––––– = 1. k®Ґ G2(tk,tk+1,1, Ц)

Теорема 2.7. Нехай ? О W (+Ґ). Для того, щоб Q(s) = Ц ((1+o(1))s) при s® +Ґ необхідно і досить, щоб для кожного e > 0:

1) iснувало t0 > 0 таке, що для всіх t і t0    P(t) Ј -(t/( 1+e))Y(j(t/( 1+e)));

2) існувала зростаюча до +Ґ послідовність (tk) додатних чисел така, що

Ц-1(G1(tk,tk+1,1, Ц)) P(tk) і - tk /(1-e)Y(j(tk/(1-e)))    i    ––––––––––––– = 1. k®Ґ Ц-1(G2(tk,tk+1,1, Ц))

Теорема 2.8. Нехай ? О W (+Ґ). Для того, щоб Q(s) = Ц (s+O(1)) при s® +Ґ необхідно і досить, щоб існувала стала K > 0 така, що:

1) P(t) Ј -tY(j(t))+Kt для всіх t і t0;

2) існує зростаюча до +Ґ послідовність (tk) додатних чисел така, що P(tk) і -tkY(j(tk))-Ktk і Ц-1(G2(tk,tk+1,1, Ц)) - Ц-1(G1(tk,tk+1,1, Ц)) = O(1), k® +Ґ.

Отриманi в роздiлi 2 теореми для спряжених за Юнгом функцiй перенесено на ряди Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної збiжностi. З теорем 2.5 i 2.7 випливають наведенi вище результати, вiдповiдно, М.В.Заболоцького та М.М.Шеремети i Я.Я.Притули, а з iнших теорем – новi результати для рядiв Дiрiхле. Наприклад, справедливий такий наслiдок.

Наслідок 2.9. Нехай ряд Діріхле (0.2) цілий і ? О W(+Ґ). Для того, щоб ln m(s) = Ц (s+O(1)) при s® +Ґ необхідно і досить, щоб існувала стала K > 0 така, що:

1) для всіх n і n0О N   ln |an| Ј -lnY(j(ln))+Kln;

2) існує зростаюча підпослідовність (nk) натуральних чисел така, що

ln |a n| і -l nY(j(l n))-Kl n

і

Ц-1(G2(ln,l n,1, Ц)) - Ц-1(G1(ln,l n,1, Ц)) = O(1),    k® +Ґ.

Роздiл 3 "Багаточленна асимптотика спряжених за Юнгом функцiй та її застосування до рядiв Дiрiхле" складається з чотирьох пiдроздiлiв i висновкiв. Пiдроздiл 3.1 мiстить допомiжнi леми, необхiднi для доведення подальших теорем.

Пiдроздiл 3.2 присвячений двочленнiй показниково-степеневiй асимптотицi в околi нескiнченостi спряженої за Юнгом функцiї. Досi вивчалася лише двочленна асимптотика цiлих рядiв Дiрiхле скiнченного R-порядку (Шеремета М.Н. Двучленная асимптотика целых рядов Дирихле//Теория функций, функциональный анализ и их приложения – 1990. – Вып.54. – С.16-25) i двочленна асимптотика цiлих рядiв Дiрiхле скiнченного логарифмiчного R-порядку (цей результат для часткового випадку – степеневих розвинень цiлих функцiй доведено в статтi Тарасюк Р.I. Про двочленну асимптотику цiлих функцiй, представлених степеневими рядами// Волинський математичний вiсник. – 1995. – Вип.2. – С.162-164). М.М.Шеремета довiв, що для того щоб    ln m(s,F) = TRexp{rRs}+(T+o(1))exp{rs} (s® +Ґ), 0 < r < rR < +Ґ, TR > 0, T О R, необхідно і досить, щоб для будь-якого e > 0:

1) існувало no = no(e) таке, що для всіх n і no

ln ln ж ln цr/rR ln |an| Ј - ––– ln ––––– +(T+e)з––––– ч ; rR erR TR и rR TR ш

2) існувала зростаюча послідовність (nk) натуральних чисел така, що

l n l n ж l n цr/rR ln |a n| і - –––– ln ––––– +(T-e)з––––– ч rR erR TR и rR TRш

i

r+rR l n- l n = o(lna)   (k® Ґ),   a = –––––– . 2rR

Основною в пiдроздiлi 3.2 є наступна

Теорема 3.1. Для того, щоб Q(s) = T ers+(t+o(1))sp (s® +Ґ), 0 < r < +Ґ, 1 < p < +Ґ, 0 < T < +Ґ, t О R, необхідно і досить, щоб для будь - якого e > 0:

1) існувало t0 = t0(e) > 0 таке, що для всіх t і t0

t t t+e P(t) Ј - –– ln ––– + –––– lnp t; r eTr rp

2) існувала зростаюча до +Ґ послідовність (tk) додатних чисел:

tk tk t - e P(tk) і - –– ln ––– + –––– lnp tk;  i    tk+1-tk = o()   (k® Ґ). r eTr rp 

У пiдроздiлi 3.3 встановлюються умови, за яких для спряженої за Юнгом функції є справедливою двочленна асимптотика в околі нуля. Доводиться наступна

Теорема 3.2. Для того, щоб Q(s) = +, (s­ 0), 1 Ј p < +Ґ, 0 < q < p, T > 0, t О R, необхідно і досить, щоб для будь - якого e > 0:

1) існувало to = to(e) > 0 таке, що для всіх t і to

ж t ц p/(p+1) ж t ц q/(p+1) P(t) Ј T(p+1) з––– ч +(t+e) з–––ч ; и Tp ш и Tp ш

2) існувала зростаюча до +Ґ послідовність (tk) додатних чисел:

ж tk ц p/(p+1) ж tk ц q/(p+1) P(tk) і T(p+1) з––– ч + (t-e) з––– ч и Tp ш и Tp ш

i

p+q+2 tk+1-tk = o(tka)   (k® Ґ),   a = –––––– . 2(p+1)

У пiдроздiлi 3.4 дослiджується n-членна асимптотика спряженої за Юнгом функції в околі нескінченостi i доводиться наступна

Теорема 3.3. Для того, щоб Q(s) = Tj erjs+(t+o(1))erns, (s®Ґ), n і 2, 0 < rn < ...< < r2 < r1 < +Ґ, r2 < (r1+rn)/ 2, T1 > 0, Tj О R, j = 2,...,n-1,t О R, необхідно і досить, щоб для будь - якого e > 0:

1) існувало to = to(e) > 0 таке, що для всіх t і to

t t n-1 ж t ц rj /r1 ж t цrn/r1 P(t) Ј - –– ln –––– + е Tj з –––– ч +( t+e) з–––– ч ; r1 eT1r1 j = 2  и T1r1 ш и T1r1 ш

2) існувала зростаюча до +Ґ послідовність (tk) додатних чисел:

tk tk n-1 ж tk ц rj /r1 ж tk цrn/r1 P(tk) і- –– ln –––– + е Tj з –––– ч + ( t-e) з–––– ч r1 eT1r1 j = 2  и T1r1 ш и T1r1ш

i

r1+rn tk+1 - tk = o(tka)   (k® Ґ),    a = –––––– . 2r1

Iз результатiв, отриманих в роздiлi 3, випливають теореми про багаточленну асимптотику логарифма максимального члена ряду Дiрiхле. Справедливе, наприклад, таке узагальнення теореми М.М.Шеремети про двочленну асимптотику цiлих рядiв Дiрiхле.

Наслідок 3.3. Нехай ряд Дiрiхле (0.2) цiлий. Для того щоб    ln m(s, F) = Tj erjs+(t+o(1))erns, (s®Ґ), n і 2, 0 < rn < ... < r2 < r1 < +Ґ, r2 < (r1+rn)/ 2, T1 > 0, Tj О R, j = 2,...,n-1, t О R, необхідно і досить, щоб для будь - якого e > 0:

1) існувало no = no(e) > 0 таке, що для всіх n і no

ln ln n-1 ж ln ц rj /r1 ж ln цrn/r1 ln |an| Ј - –– ln –––– + е Tj з –––– ч +( t+e) з–––– ч ; r1 eT1r1 j = 2  и T1r1 ш и T1r1 ш

2) існувала зростаюча послідовність (nk) натуральних чисел така, що

l n l n n-1 ж l n ц rj /r1 ж l n цrn/r1 ln |a n| і- ––– ln –––– + е Tj з –––– ч + ( t-e) з–––– ч r1 eT1r1 j = 2  и T1r1 ш и T1r1ш

i

r1+rn l n-l n = o(lna)  ® Ґ),   = –––––– . 2r1

У роздiлi 4 "Асимптотичне поводження однiєї сiм'ї спряжених за Юнгом функцiй та послiдовностi максимальних членiв похiдних ряду Дiрiхле" розглядається сiм'я функцiй вигляду

Q(a,s) = sup{P(t)+alnі 1},

де a і 0, а функцiя P, визначена як i ранiше, задовольняє ще додаткову умову: P є -Ґ на (0,1).

Я.В.Микитюк, С.I.Фединяк та М.М.Шеремета (Mykytyuk Ya.V., Fedynyak S.I., Sheremeta M.M. Dirichlet series of bounded l-M-index//Мат. студiї. – 1999. – Т. 11, 194 2. – С. 159-166), дослiджуючи клас рядiв Дiрiхле обмеженого лiнiйного l-M-iндексу довели, що якщо a – додатна неперервна зростаюча до +Ґ на [0,+ Ґ) функцiя така, що a(t) = o(t), t® +Ґ, функцiя F О W(A) задовольняє умови

1) Fў(s) = O(Fў(Y(s))), s­ A;

2) Fў(s+2/( a(aFў(s)))) = O(Fў(s)) (s­ A) для кожного a О (0, +Ґ);

3) 2Fў(s)/( a(Fў(s))) < F(s)+(A-s)Fў(s), s* Ј s < A,

а ряд Дiрiхле (0.2) має абсцису абсолютної збiжностi A i його показники задовольняють умову ln n(t) Ј t/a(t) для t і t0, де n(t) = еln Ј t 1 лiчильна функцiя послiдовностi (ln), тодi для того, щоб lnM(s,F) = O(F(s)), s­ A, необхiдно i досить , щоб iснувало N О Z+ таке, що для всiх n О Z+ i всiх s О (s0,A)

M(s,F(n)) мM(s,F(k)) ь –––––––– Ј max н––––––––:  Ј k Ј Nэ. n!( Fў(s))n о k!( Fў(s))k ю

У роздiлi 4 розв'язується подiбна задача для максимального члена ряду Дiрiхле, а саме встановлено зв'язок мiж зростанням функцiї Q(s) i поводженням сiм'ї {Q(a, s)}i, як наслiдок, отримано зв'язок мiж зростанням ln m(s,F) i поводженням послiдовностi {m(s,F(k))}, де F(k) – k-та похiдна функцiї F.

Роздiл 4 складається з двох пiдроздiлiв i висновкiв. У пiдроздiлi 4.1 вивчаються властивостi функцiї Q(a, s), якi необхiднi для доведення наступних тверджень.

В останньому пiдроздiлi дисертацiї доведено основну в четвертому роздiлi теорему.

Теорема 4.1. Нехай A О (-Ґ, +Ґ], функція F О W (A) задовольняє умови:

а) Fў(s) = O(Fў(Y(s))),   s ­ A,

б) Fў(s+1/Fў(s)) = O(Fў(s)),   s­ A,

в) Fў(s) > 1/(A-s),   s < A.

Тоді для того, щоб Q(s) = O(F(s)),­ A, необхідно і досить, щоб існувало число B > 0 таке, що для s0 Ј s < A і a і 0

Q(a, s)-ln+a)-aln Fў(s) Ј max {Q(b, s)-ln G(1+b)-bln Fў(s): Ј b Ј B}.

Зауваження. У випадку, коли A = +Ґ, умова в) зайва.

З теореми 4.1 випливає вiдповiдний наслiдок для рядiв Дiрiхле.

Наслідок 4.1. Якщо F О W (A) задовольняє умови теореми 4.1, то для того, щоб ln= O(F(s)),­ A, необхідно і досить, щоб існувало число N О Z+ таке, що

m(s,F(n)) мm(s,F(k)) ь –––––––– Ј max н––––––––:  Ј k Ј Nэ. n!( Fў(s))n о k!( Fў(s))k ю

для всіх s < A і n О Z+.

ВИСНОВКИ

У дисертацiйнiй роботi розв'язано ряд актуальних задач з теорiї рядiв Дiрiхле з невiд'ємними показниками, якi стосуються асимптотичного поводження логарифма максимального члена та його узагальнення – спряженої за Юнгом функцiї.

Для спряженої з функцiєю P за Юнгом функцiї Q дослiджено умови на P, за яких правильними є тi чи iншi оцiнки для Q знизу, зверху i знизу одночасно. Використовуючи цi оцiнки, вивчено двочленну показниково-степеневу асимптотику в околi нескiнченостi, двочленну степеневу асимптотику в околi нуля та n-членну показникову асимптотику в околi нескiнченостi. Дослiджено асимптотичне поводження однiєї сiм'ї спряжених за Юнгом функцiй.

Отриманi результати застосовано до встановлення оцiнок зверху та знизу логарифма максимального члена ряду Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної збiжностi, до вивчення багаточленної асимптотики логарифма максимального члена та до дослiдження зв'язку мiж зростанням логарифма максимального члена ряду Дiрiхле та поводженням послiдовностi максимальних членiв похiдних цього ряду.

Основнi результати дисертацiї мають критерiальний характер та узагальнюють i доповнюють вiдповiднi теореми про поводження логарифма максимального члена, які доведенi М.М.Шереметою, М.В.Заболоцьким та Я.Я.Притулою. При доведеннi результатiв дисертацiї використовувались сучаснi методи теорiї рядiв Дiрiхле.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Шеpемета М.М., Сумик О.М. Зв'язок мiж зpостанням спpяжених за Юнгом функцiй//Мат. студiї. – 1999. – Т. 11, № 1. – С. 41-47.

2. Сумик О.М. Оцінки максимального члена ряду Діріхле знизу// Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична. – 1999. – Вип. 53. – С. 40-44.

3. Sumyk O.M. On two member exponential-power asymptotics of maximal term of entire Dirichlet series//Мат. студiї. – 2000. – Т. 14, № 1. – С. 29-34.

4. Сумык О.М., Шеpемета М.Н. Оценки максимального члена ряда Дирихле снизу//Известия вузов. Математика. – 2001. – № 4. – С. 53-57.

5. Микитюк Я.В., Сумык О.М., Шеpемета М.Н. О функциях, двойственных по Юнгу, и поведении максимальных членов производных ряда Дирихле// Математические заметки. – 2001. – Т. 69, Вып. 1. – С. 74-81.

6. Sumyk O.M. A connection between the growth of Young conjugate functions //Нелинейные граничные задачи. Сборник научных трудов. – Выпуск 11, 2001. – Донецк-2001. – С. 197-201.

7. Sumyk O.M. On n-member asymptotics for logarithm of maximal term of entire Dirichlet series//Мат. студiї. – 2001. – Т. 15, № 2. – С. 200-208.

АНОТАЦIЯ

Сумик О.М. Асимптотичне поводження спряжених за Юнгом функцiй та застосування до рядiв Дiрiхле. – Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01–математичний аналiз. Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв, 2002.

Дослiджуються спряженi за Юнгом функцiї та ряди Дiрiхле з невiд'ємними показниками. Вказано умови, за яких спряжену за Юнгом функцiю можна оцiнити знизу, зверху i знизу одночасно деякими опуклими функцiями. Вивчено двочленну показниково-степеневу асимптотику в околi нескiнченостi, двочленну степеневу асимптотику в околi нуля та n-членну показникову асимптотику в околi нескiнченостi функцiї, спряженої за Юнгом. Дослiджено асимптотичне поводження однiєї сiм'ї спряжених за Юнгом функцiй. Отримано вiдповiднi наслiдки для рядiв Дiрiхле з невiд'ємними показниками i довiльною абсцисою абсолютної збiжностi.

Ключовi слова: спряжена за Юнгом функцiя, ряд Дiрiхле, максимальний член ряду, багаточленна асимптотика.

AВSTRAСT

Sumyk O.M. Asymptotic behaviour of Young conjugate functions and application to the Dirichlet series. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Сandidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 – Mathematical Analysis, Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2002.

Young conjugate functions and Dirichlet series with nonnegative exponents are investigated. There are found conditions under which lower and double-sided estimates of Young conjugate function by certain convex functions are possible. Two-member exponential-power asymptotics in the neighbourhoood of infinity, two-member power asymptotics in the neighbourhoood of zero and n-member exponential asymptotics in the neighbourhoood of infinity of Young conjugate function are studied. Asymptotic behaviour of certain family of Young conjugate functions is investigated. Сorresponding corrolaries for Dirichlet series with nonnegative exponents and arbitrary abscissa of absolute convergence are obtained.

Key words: Young conjugate function, Dirichlet series, maximal term of the series, many-member asymptotics.

АННОТАЦИЯ

Сумык О.М. Асимптотическое поведение двойственных по Юнгу функций и приложение к рядам Дирихле. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математичних наук по специальности 01.01.01–математический анализ. Львовський национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2002.

Исследуются двойственные по Юнгу функции и ряды Дирихле с неотрицательными возрастающими к +Ґ показателями.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов и списка литературы.

В первом разделе "Обзор литературы и основных результатов диссертации" приведены результат М.Н.Шереметы, Н.В.Заболоцкого об эквивалентности логарифма максимального члена ряда Дирихле некоторой выпуклой функции и похожий результат Я.Я.Притулы, результаты М.Н.Шереметы и Р.И.Тарасюка о двучленной асимптотике логарифма максимального члена ряда Дирихле, а также результат Я.В.Микитюка, С.И.Федыняка, М.Н.Шереметы о принадлежности ряда Дирихле к классу функций ограниченного линийнего l-M-индекса. Приведены основные результаты диссертации.

В разделе 2 "Оценки функций, двойственных по Юнгу" установлены условия, при выполнении которых двойственная по Юнгу функция может быть оценена сверху, снизу или сверху и снизу одновременно некоторыми выпуклыми функциями. С помощью этих общих теорем получены утверждения, которые дают оценки снизу двойственной по Юнгу функции некоторыми важными в теории рядов Дирихле выпуклыми функциями, а также теоремы о регулярности роста двойственных по Юнгу функций. Приведены следствия для рядов Дирихле с неотрицательными показателями.

Раздел 3 "Многочленная асимптотика двойственных по Юнгу функций и ее приложение к рядам Дирихле" посвящен изучению двучленной показательно-степенной асимптотике в окрестности бесконечности, двучленной асимптотике в окрестности ноля, n-членной асимптотике в окрестности бесконечности двойственной по Юнгу функции и соответственным следствиям для многочленной асимптотики логарифма максимального члена ряда Дирихле.

В разделе 4 "Асимптотическое поведение одной семьи двойственных по Юнгу функций и последовательности максимальных членов производных ряда Дирихле" из доказанного более общего результата о поведении одной семьи двойственных по Юнгу функций получен критерий роста логарифма максимального члена ряда Дирихле с положительными показателями в терминах поведения максимальных членов последовательных производных этого ряда.

Ключевые слова: двойственная по Юнгу функция, ряд Дирихле, максимальный член ряда, многочленная асимптотика.

Підписано до друку 16.08.2002 р. Формат 60х90/16

Папір офсетний. Ум. друк. арк. 0,9. Тираж 100. Зам. № 384.

Видавничий центр ЛНУ ім.І.Франка. 79000 Львів, вул. Дорошенка, 41