Придніпровська державна академія будівницта та архітектури

Слободянюк Сергій Олександрович

УДК 624.012.45.04: 539.376

ДЕФОРМАЦІЙНИЙ РОЗРАХУНОК І СТІЙКІСТЬ

СТЕРЖНЕВИХ ЗАЛІЗОБЕТОННИХ СИСТЕМ

З УРАХУВАННЯМ ТРИВАЛИХ ПРОЦЕСІВ

Спеціальність 05.23.01 – будівельні конструкції, будівлі та споруди

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Дніпропетровськ – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Придніпровській державній академії будівництва та архітектури (ПДАБА) Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант:

доктор технічних наук, професор Яценко Євгеній Андрійович,

Придніпровська державна академія будівництва та архітектури,

кафедра будівельної механіки та опору матеріалів.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Барашиков Арнольд Якович,

Київський національний університет будівництва і архітектури, завідувач кафедри залізобетонних і кам'яних конструкцій;

доктор технічних наук, професор Яременко Олександр Федорович,

Одеська державна академія будівництва та архітектури, завідувач кафедри будівельної механіки;

доктор технічних наук, професор Фомиця Леонід Миколайович,

Сумський Національний аграрний університет, кафедра будівництва та архітектури.

Провідна установа:

Державний науково-дослідний інститут будівельних конструкцій Державного комітету будівництва, архітектури та житлової політики України, відділ теорії і методів розрахунку залізобетонних конструкцій, м. Київ.

Захист відбудеться “ 27 ” грудня 2002 р. о 12 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.085.02 Придніпровської державної академії будівництва та архітектури за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, вул. Чернишевського, 24-а.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Придніпровської державної академії будівництва та архітектури за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, вул. Чернишевського, 24-а.

Автореферат розісланий “22” листопада 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ___________________Кваша Е.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Розрахунки стержневих залізобетонних конструкцій з урахуванням повзучості бетону достатньо повно розроблені Н.Х.Арутюняном, С.В.Александровським, В.М.Бондаренком, В.А.Бовіним, М.А.Будановим, А.Я.Барашиковим, В.Я.Бачинсь-ким, О.О.Гвоздєвим, О.Б.Голишевим, А.А.Зєвіним, М.І.Карпенком, Я.Д.Лівшицем, І.Є.Прокоповичем, О.М.Проценком, О.Р.Ржаніциним, Й.І.Улицьким, Л.М.Фомицею, Є.М.Щербаковим, О.Ф.Яременком, Є.А.Яценком та іншими.

В

дисертації викладена теорія деформаційного розрахунку, тобто з урахуван-ням деформацій поздовжнього згинання, стержневих залізобетонних конструкцій на тривалі дії навантаження. Сформульовані критерії тривалої стійкості елементів систем. Наведені побудови методу сил, методу переміщень та методу скінченних елементів плоских і просторових стержневих систем.

Перші фундаментальні дослідження в області тривалої стійкості стержневих систем з урахуванням повзучості належать О.Р.Ржаніцину. Надалі питаннями тривалої стійкості залізобетонних стержнів і найпростіших стержневих систем займалися: Л.Б.Бунятян, О.М.Проценко, І.Є.Прокопович, Й.І.Улицький, Є.А.Яценко, К.Е.Таль, Є.А.Чистяков, О.В.Шубик, Д.М.Пекус-Сахновський, О.О.Гвоздєв, О.Б.Голишев, В.Я.Бачинський, Т.М.Пецольд, О.А.Свєтов, І.І.Набоков, А.П.Ковальський, В.М.Бондаренко, П.П.Романов, А.П.Любимов, А.С.Ліннік, А.М.Орлов, М.М.Сорока та ін. Серед закордонних учених слід зазначити: А.Д.Росса, А.М.Фрайденталя, Дж. Марина, Н.Хоффа, В.І.Розенблюма та ін. У переважній більшості досліджень розрахунки не доводилися до визначення напруг в арматурі і бетоні, а саме ці напруги можуть служити одним із критеріїв тривалої стійкості споруд. Крім того, розглядалися тільки плоскі стержневі системи.

Для забезпечення належної міцності і стійкості споруд у часі є необхідним їх деформаційний розрахунок з урахуванням тривалих процесів – усадки, повзучості та росту модуля пружності бетону. Це дозволяє більш точно визначати несучу здатність систем у процесі їхньої тривалої експлуатації.

Розробкою теорії деформаційного розрахунку залізобетонних плоских статично визначуваних систем з урахуванням тривалих процесів займався Є.А.Яценко, а статично невизначуваних систем – А.Я.Барашиков і С.В.Петраш, які розробили наближені методи сил і переміщень для залізобетонних систем. Однак дані про точні деформаційні розрахунки статично невизначуваних систем з урахуванням армування і тривалих процесів у літературі не виявлені, а питання тривалої стійкості і деформаційного розрахунку залізобетонних просторових стержневих конструкцій мабуть є відкритим, незважаючи на його очевидну актуальність.

Актуальність теми. Втрата стійкості систем взагалі і тривалої стійкості особливо є дуже небезпечними явищами, тому що неврахування їх при розрахунку неминуче приводить до аварії споруд. Навіть у тих випадках, коли пружні розрахунки забезпечують запас стійкості, повзучість бетону згодом вичерпує зазначений запас, і стійкість буде порушена. Без наявності методів деформаційного розрахунку з урахуванням тривалих процесів, прогнозувати тривалу стійкість і несучу здатність, тобто проектувати залізобетонні стержневі системи неможливо. Тому тема дисертаційної роботи є дуже актуальною, життєво необхідною і відповідає запитам практики сучасного будівництва.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації відповідає науково-дослідним роботам ПДАБА згідно тем: “Розвиток методів розрахунку та дослідження міцності, стійкості і коливань інженерних конструкцій та споруд” (держ. реєстр. № 01870036949); “Напружено-деформований стан, стійкість і коливання стержневих систем, однорідних і неоднорідних пластин і оболонок з урахуванням реальних властивостей матеріалів” (держ. реєстр. № 0102U006356); “Спостереження за осадками і деформаціями підвалин турбоагрегатів і головних корпусів блоків 1-6 Запоріжської АЕС” (гос. дог. № 453). В проведених дослідженнях автору належить розробка методів розрахунку на міцність і стійкість залізобетонних стержневих конструкцій з урахуванням деформованої схеми і повзучості бетону.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є створення теорії деформаційного розрахунку стержневих залізобетонних конструкцій з урахуванням тривалих процесів і формулювання критеріїв тривалої міцності і стійкості таких систем. Для цього в дисертації вирішуються основні задачі по розробці теорії деформаційного розрахунку плоских і просторових стержневих залізобетонних конструкцій з урахуванням усадки і повзучості бетону на основі: методу сил, методу переміщень і методу скінченних елементів, а також по визначенню критеріїв і виведення формул тривалої стійкості елементів систем при повзучості.

Об'єктом дослідження стали плоскі і просторові стержневі залізобетонні конструкції.

Предмет дослідження – стійкість і напружено-деформований стан стержневих залізобетонних конструкцій від дії деформаційних і силових впливів з урахуванням деформацій поздовжнього вигину і тривалих процесів.

Методи дослідження – аналітичні, засновані на рішенні диференціальних і матричних рівнянь і на класичних методах будівельної механіки: методі сил, методі переміщень і методі скінченних елементів. Приведено зіставлення деяких теоретичних досліджень з даними теоретичних і експериментальних досліджень, проведених іншими авторами.

Наукова новизна одержаних результатів. 1. Розроблено модифікований метод початкових параметрів повзучості з часом t у якості незалежної змінної. До цього метод початкових параметрів повзучості оперував незалежною перемінною Ф(t) у вигляді обмеженої функції часу, що не дозволяло вирішувати задачі тривалої стійкості і одержувати формули для тривалої критичної сили. Запропоновано спосіб поліпшення збіжності ряду Тейлора. 2. Удосконалені й отримані основні рівняння механіки залізобетонного стержня плоских і просторових систем в універсальній операторній формі безвідносно до різновидності теорії повзучості. Оператори повзучості можуть бути інтегральними, диференціальними чи матричними. До цього рівняння були тільки матричними. 3. Дістало подальший розвиток вирішення задачі тривалої стійкості позацентрово стиснутих і стиснуто-зігнутих залізобетонних стержнів у замкнутому вигляді. Раніше ця задача вирішувалась тільки розкладанням функцій у тригонометричний ряд, що не дозволяло виділити окремо пружну форму вигину. Висунуте автором допущення про незмінність пружної форми в часі, дозволило представити рішення у вигляді добутку пружного рішення на часову функцію, що визначається за допомогою процедури Бубнова-Гальоркіна. Це дозволило вирішувати усі подальші задачі у вигляді добутку відомого пружного рішення і шуканої функції часу. 4. Удосконалено формулу тривалої критичної сили, яка враховує оборотні, необоротні деформації повзучості бетону, зростання модуля пружності, а також усі геометричні параметри приведеного перетину й ексцентричність армування. До цього аналогічні формули були отримані без урахування росту модуля пружності й ексцентричності армування елементів. 5. Удосконалені методики деформаційного розрахунку плоских стержневих систем у пружній постановці. Встановлені межі діючих сил, при яких можна зневажати впливом деформацій поздовжнього вигину у вільних членах канонічних рівнянь, а також при яких навантаженнях є потрібним, чи не потрібним деформаційний розрахунок стержневих систем. Дотепер відповідей на ці питання не було. 6. Розроблена теорія деформаційного розрахунку плоских стержневих залізобетонних систем з урахуванням тривалих процесів на базі: методу сил, методу переміщень і методу скінченних елементів. Створена теорія, на відміну від існуючої, дозволяє розраховувати багаторядно армовані залізобетонні стержневі системи з рівномірним чи нерівномірним армуванням прольоту елементів і визначати напружено-деформований стан конструкцій у будь-який заданий момент часу і при дії будь-якого навантаження з урахуванням деформацій поздовжнього вигину. 7. Розроблено алгоритм деформаційного розрахунку просторових стержневих залізобетонних систем у пружній постановці і з урахуванням тривалих процесів методу скінченних елементів. Метод побудований на базі блочно-діагональної матриці жорсткості скінченного елемента, де кожний з чотирьох блоків виражає незалежну роботу елемента на вигин у двох взаємно перпендикулярних площинах з урахуванням деформацій поздовжнього згинання, на розтягання-стиск і на кручення. Кожен блок має свою часову функцію, що відбиває вплив тривалих процесів. Аналогів даному розрахунку в літературі не виявлено.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що отримана точна формула тривалої критичної сили і формулювання критеріїв тривалої стійкості (міцності) можуть прямо використовуватися в практиці проектування стержневих залізобетонних конструкцій. Створена теорія деформаційного розрахунку заснована на методах і алгоритмах, що можуть прямо використовуватися для створення автоматизованих обчислювальних комплексів з розрахунку і проектуванню складних залізобетонних систем. У цілому створена теорія пристосована до розрахункових формул діючих Норм, тому може без труднощів впроваджуватися в інженерну практику проектування. Робота впроваджена в АОЗТ НПО “Созидатель” м.Дніпропетровська.

Особистий внесок здобувача. Усі основні результати дисертаційної роботи отримані й опубліковані в роботах [1-25] самостійно здобувачем. У роботах [26] і [27] Яценка Є.А. і Слободянюка С.О. здобувачу належить вся наукова новизна отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень доповідалися на засіданнях кафедри будівельної механіки Придніпровської державної академії будівництва та архітектури в 1997-2000 роках; на 6 (1998), 8 (2000) і 9 (2001) Українсько-Польському семінарі “Теоретичні основи будівництва” (Варшава, липень); на Міжнародних наукових конференціях: “Стародубовскі читання” у 2000, 2001 р. “Питання сучасного матеріалознавства” (Дніпропетровськ, квітень); у 2002 р. “Будівництво, реконструкція і відновлення будівель та споруд міського господарства” (Харків, травень, тільки тези), “Перспективні задачі інженерної науки” (Алушта, липень), “Теорія та практика експериментальних досліджень будівель та споруд” (Суми, жовтень). В цілому дисертація доповідалася у 2002 р. на засіданні міжкафедрального науково-технічного семінару ПДАБА і міжвузівському науковому семінарі “Проблеми нелінійної механіки” (ПДАБА, керівники: д.т.н., професори Е.М.Кваша та А.І.Маневич), а також на науковій конференції в м.Суми (СНАУ, керівники: д.т.н., професори Л.М.Фомиця, А.Я.Барашиков) і засіданні кафедри будівельної механіки Одеської державної академії будівництва та архітектури (ОДАБА, зав. каф. д.т.н., проф. О.Ф.Яременко).

Публікації. Результати досліджень опубліковані здобувачем у 29 наукових працях. З них одна монографія та 26 статей опубліковані у фахових виданнях і представлені в списку опублікованих робіт за темою дисертації.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, восьми розділів з висновками, загальних висновків і списку використаних джерел (160 найменувань). Загальний обсяг дисертації складає 280 сторінок, малюнків 43, таблиць 16 і 2 додатки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі коротко обґрунтована актуальність роботи, сформульовані мета і задачі досліджень. Показано наукову новизну і практичне значення одержаних результатів по темі дисертації.

Перший розділ присвячений аналітичному огляду публікацій, що стосуються точності теорій повзучості бетону і вибору робочої теорії для вирішення поставленої задачі, а також проблеми впливу повзучості бетону на межі тривалої стійкості бетонних і залізобетонних конструкцій. Розглянуті також роботи присвячені деформаційним розрахункам пружних систем методами будівельної механіки, а також систем, що володіють повзучістю. Деформаційний розрахунок залізобетонних стержневих систем ускладнюється тим, що в ньому необхідно враховувати деформації поздовжнього вигину, а також композитність елементів, що складаються з бетону, який володіє усадкою і повзучістю, і пружної арматури.

По аналітичному огляду сформульовані наступні висновки і задачі досліджень:

- найбільш повно відповідає всім критеріям точності теорія повзучості, що відповідає допущенням спадкоємної теорії старіння І.Є.Прокоповича-І.Й.Улицького;

-

-

-

- у більшості публікацій по деформаційних розрахунках задачі не доводяться до визначення поточних напруг в арматурі і бетоні, тому дана проблема є відкритою.

В другому розділі представлені дослідження з питань вибору робочої теорії повзучості бетону. Показано, що за основу може бути прийнята лінійна теорія повзучості, що дозволяє використовувати принцип суперпозиції при побудові рішень у канонічній формі.

Основним рівнянням повзучості бетону прийняте рівняння Вольтерра 2-го роду:

(1)

із шуканою функцією і ядром повзучості

. (2)

Підставляючи в (2) функції пружних деформацій і характеристик повзучості , з рівняння (1) визначимо . У спадкоємній теорії старіння і. Приймаючи , диференціюємо (1) по t, після чого одержимо диференціальне рівняння релаксаційної задачі спадкоємної теорії старіння.

Нами одержано рішення рівняння в замкнутому вигляді за допомогою розкладання в ряд по формулі бінома Ньютона:

, (3)

де - характеристика релаксації;;;.

Аналогічним чином були отримані релаксаційні рівняння та їх рішення для інших теорій повзучості. При, , , ,;, (для ТППТ) виконаний приклад рішення релаксаційної задачі за чотирма теоріями повзучості. Результати розрахунків показані графіками на рис.1.

Рис.1. Зміна характеристики релаксації в часі:

1 – по теорії пружної спадковості; 2 – по спадкоємній теорії старіння;

3 – по теорії старіння; 4 – по теорії пружного-повзучого тіла;

, без урахування;

з урахуванням росту модуля пружності бетону

Представлені тут рішення і графіки дозволили прийти до наступних висновків:

- рішення релаксаційної задачі теорії повзучості з урахуванням росту модуля пружності в часі стало можливим, завдяки застосуванню розкладання підінтегральної функції в ряд по формулі бінома Ньютона;

- графіки релаксації вказують на те, що робочою теорією повзучості бетону, яка може бути прийнята до застосування є спадкоємна теорія старіння з урахуванням росту модуля пружності бетону та теорія старіння без урахування росту модуля пружності бетону в часі.

У третьому розділі наведені математичні побудови модифікованого методу початкових параметрів повзучості. Покажемо перетворення головного рівняння спадкоємної теорії старіння до матричної форми початкових параметрів повзучості з явним фактором часу t. У розгорнутому вигляді рівняння (1) є таким:

, (4)

де - деформації усадки чи набрякання бетону. При.

У момент початку навантаження рівняння (4) приймає вид

. (5)

Диференціюючи рівняння (4) по t і групуючи, одержимо наступне:

, (6)

а при воно стає таким:

. (7)

Продовжуючи диференціювати вираз (6) багаторазово по t і приймаючи після кожного диференціювання, одержимо систему алгебраїчних рівнянь, записаних тут у матричній формі:

, (8)

де позначено

; ; ; .

У векторах крапками над буквами позначено порядок похідної по t, а нулики внизу указують про те, що функції і їхні похідні узяті при.

Матрицю впливу повзучості С зручно виразити у вигляді суми матриць оборотних C1, необоротних С2 і пружних C3 деформацій:

С = С1 + С2 + С3 , (9)

значення яких наступне:

Елементи матриць (10) – (12) обчислюються за рекуррентними формулами, які є зручними для програмування на ЕОМ.

Таким чином, вирішення різних задач теорії повзучості може здійснюватися в матричній формі аж до одержання вектора початкових параметрів шуканої функції. Визначення шуканої функції здійснюється за рядом Тейлора при будь-якому значенні t:

. (13)

Недоліком ряду Тейлора є його незбіжність при. Нами пропонується поліпшити збіжність ряду Тейлора, використовуючи метод аналітичного продовження рішення за допомогою наступного перетворення:

(14)

при і - довільній постійній.

Ряд (13), з урахуванням перетворення (14) , можна представити у вигляді:

. (15)

Коефіцієнти ai (i=0, 1, 2, ...) визначимо багаторазовим диференціюванням виразу (15) по S і прирівнюванням S=0 після кожного диференціювання. Так, наприклад, при S=0 () вираз (15) дає a0=F0. Перша похідна (15) має вигляд:

, (16)

оскільки,. При S=0 () знаходимо. За аналогією знаходимо й інші коефіцієнти ai. Результат представимо в розгорнутому матричному вигляді:

Таким чином, замість звичайного ряду Тейлора (13) пропонується використовувати ряд Тейлора поліпшеної збіжності:

. (18)

Ряд (18) дає майже точні результати при утриманні не більш 10 членів ряду.

Основне інтегральне рівняння (1) зручно представити в операторній формі:

, (19)

де, , - інтегральні оператори повзучості.

Для диференціальної форми спадкоємної теорії старіння встановлені значення інтегро-диференціальних операторів повзучості:

;. (20)

Як окремий випадок, з (20) випливають диференціальні оператори повзучості теорії пружної спадковості (при):

; (21)

і теорії старіння (при):

; . (22)

У теорії старіння заміняють змінну t на. З урахуванням того, що диференціальні оператори повзучості при цьому будуть такими:

; . (23)

У модифікованому методі початкових параметрів повзучості матричні оператори повзучості будь-яких теорій мають вигляд:

; . (24)

Установлено, що оператори з перемінними коефіцієнтами некомутативні. Матричні оператори повзучості завжди комутативні для будь-яких теорій, якщо елементи конструкції зроблені з одного бетону і завантажені в довільному віці. Якщо елементи стержневої системи зроблені з різного бетону, наприклад, СI СII, то умови комутативності CICII=CIICI будуть виконуватися тільки при умовах;;, які не впливають на точність результатів.

Таким чином, нами розроблений зручний математичний апарат теорії повзучості, названий модифікованим методом початкових параметрів повзучості. На його основі рішення задач механіки здійснюється в матричній формі і за допомогою ряду Тейлора поліпшеної збіжності.

У четвертому розділі представлені побудови в операторній формі фундаментальних співвідношень між компонентами деформацій (переміщень) і компонентами зусиль (впливів), виконані для багаторядно армованого залізобетонного стержня, як елемента плоскої системи з урахуванням усадки і повзучості бетону. На цих співвідношеннях заснована механіка плоских стержневих залізобетонних систем. При цьому прийнято, що:

-

, (25)

де - фіброва деформація; - деформація усадки (набрякання); - фіброва напруга; - значення модуля пружності бетону в момент початку завантаження при; і - лінійні часові оператори повзучості, що можуть бути інтегральними, диференціальними чи матричними. Їхня суть розкривається наприкінці вирішення поставленої задачі для одержання остаточного результату;

- арматура деформується за законом Гука в будь-який момент часу;

- вважається справедливою узагальнена гіпотеза плоских перерізів:

; , (26)

де - поздовжня деформація осі елемента; - кривизна вигину елемента в площині xoy; у - фіброва ордината; уе - ордината е-го ряду арматури; і однакові для бетону й арматури;

- деформації усадки чи набрякання бетону однакові у всіх фібрах елемента і не залежать від координат х, у , тобто;

- коефіцієнт поперечної деформації повзучості в будь-який момент часу дорівнює постійному пружному коефіцієнту Пуассона , тобто ===соst.

Згідно рис.2 зусилля М и N розподіляються між бетоном (індекс “в”) і арматурою (індекс “s”) так, що в будь-який момент часу дотримуються умови:

(27)

які з урахуванням (25) приводять до системи рівнянь відносно і :

. (28)

Якщо вісь проходить через центри приведених перерізів, то в (28) варто приймати Sв+ Ss=0.

При проходженні осі елемента через центри бетонних частин перерізів необхідно в (28) підставляти Sв=0, після чого одержимо:

(29)

Рис.2. Деформований стан (а) і поперечний переріз (б)

елемента залізобетонного стержня

при

(30)

При комутативних операторах впливу повзучості, , , система рівнянь (29) зводиться до двох незалежних рівнянь відносно і :

(31)

де

; ; , (32)

(33)

Нами введена змішана геометрична характеристика перерізу

, (34)

наявність якої випливає з позацентрового армування елементів.

Опускаючи подробиці побудов, запишемо співвідношення:

-

, (35)

де

;

при

; ; ;

; ;

-

, (36)

де

; ;

при

; ; .

; ;

-

, (37)

де

;

-

, (38)

де

;

-

, (39)

де

У пружній постановці задачі узагальнені оператори повзучості, , вироджуються відповідно в ; ; і оператори , одиницю, аПри цьому пружне переміщення визначається за формулою:

. (40)

Частина переміщення, викликана впливом тільки поперечних сил (деформацій зсуву), визначається з рівняння:

, (41)

де

Отримані рівняння (31), а також (35 - 41) є основними рівняннями механіки залізобетонного стержня при Sв=0. Аналогічні рівняння отримані нами для умови проходження осі через центр приведеного перерізу , але вони тут не приводяться. На їхній основі будується вся теорія деформаційного розрахунку стержневих залізобетонних конструкцій.

У п'ятому розділі розглянуті стиснуті шарнірно-оперті на кінцях стержні з початковою нерівністю, з постійним по осі ексцентриситетом та стиснуто-зігнуті стержні. Отримано формули тривалого критичного навантаження, при якому прогини спрямовуються в нескінченність. У ході рішення задач використовувалися метод Файлона і метод Бубнова-Гальоркіна. Показано, що метод Бубнова-Гальоркіна приводить до результатів, що майже відповідають точним рішенням. Наведено зіставлення експериментальних і теоретичних даних.

Для ілюстрації розглянемо шарнірно-опертий залізобетонний стержень при дії на нього постійної поздовжньої сили Р(t)=Р=соnst, прикладеної з ексцентриситетом e0 (рис.3). З часом від дії тривалої сили і повзучості бетону відбувається перерозподіл напруг між бетоном і арматурою та виникають переміщення.

Рис. 3. Деформований стан позацентрово стиснутого стержня

стержня y(x,t). Рівняння тривалих переміщень, має вигляд:

, (42)

де, а Ms(t)=esPЖ.1+HuMu(t) – момент, викликаний ексцентричністю армування й усадкою бетону. Нагадаємо, що М(t) постійно по довжині стержня, а К , Г, Ж, Нu – узагальнені оператори повзучості.

Рішення рівняння (43) отримано в замкнутому вигляді на підставі допущення про незмінність у часі форми вигину, тобто

, (43)

де y0(x) - пружна форма вигину, отримана при t=t0; F(t) - безрозмірна функція часу з початковою умовою F(t0)=1. Прогин f(t)=f0F(t), а y0(x), f0 є відомими з рішення пружної задачі:

(44)

Підставляючи (43) у (42) і застосовуючи процедуру Бубнова-Гальоркіна, що виражається в умові

, (45)

одержимо рівняння для часової функції F(t):

, (46)

де

.

Для теорії старіння і при симетричному армуванні з рівняння (46) знаходимо:

. (47)

Рівняння (42) було вирішено також у тригонометричних рядах (тут не приводиться). Зіставлення рішень у рядах і за Бубновим-Гальоркіним, виконане при es=0, e0=30мм, , , і t=, дає наступні результати:

- у рядах

f0 = 4,244-0,143+0,031-0,011+0,005-0,003 = 4,123 мм;

f() f(2)= 11,832-0,357+0,076-0,029+0,013-0,007 = 11,527 мм ;

- за Бубновим-Гальоркіним

f0 = 4,124 мм; f() =11,497 мм,

тобто одержано практично точний результат. Тому останній метод Бубнова-Гальоркіна рекомендований нами до подальшого застосування.

Рішенням рівняння (46) по спадкоємній теорії старіння з використанням модифікованого методу початкових параметрів повзучості отримана формула для тривалої критичної сили РДЛ::

, (48)

де

; ; ;

; .

За умови Р РДЛ ріст прогину в часі буде не стійким, а при Р<РДЛ – стійким, тобто прогини стержня прагнуть до кінцевих меж при .

Для зіставлення експериментальних і теоретичних даних скористалися експериментами В.Д.Пекус-Сахновського, проведеними над позацентрово стиснутими симетрично армованими стояками при короткочасному і тривалому навантаженні. Зіставлення теоретичних і експериментальних даних представлене на рис.4 і свідчить про задовільний їхній збіг.

Стояки 2 і 3 (див. рис.4), володіючи стійким характером випучування, через деякий час зруйнувалися, як було встановлено, через перевищення напругами арматури увігнутої грані розрахункового опору, або через досягнення напругами в бетоні розрахункових значень в момент t=tКР. При цьому параметр навантаження =0,4 був значно нижчий від параметра тривалого критичного навантаження. Що стосується стояка 1 ( = 0,28), то напруги в арматурі і бетоні не досягають граничних значень і характер деформування є стійким.

Нами введене поняття граничного навантаження РПР, що відповідає визначеному критерію стійкості при повзучості. Граничним навантаженням називається найменша величина з таких навантажень, при яких: прогини стояків досягають своїх нормованих граничних значень; напруги в бетоні

Рис.4. Поперечний переріз (а) і графіки наростання прогинів стояків у часі (б):–––––

експеримент, -------- теорія

увігнутої грані досягають розрахункового значення; напруги в бетоні опуклої грані стояків досягають розрахункового опору розтяганню. Умовою стійкості в такій постановці буде

Дослідження привели до наступних висновків:

- тривала критична сила є значно меншою від ейлерової;

- при навантаженні, що складає 0,28 від ейлерової сили, прогини стояка згодом збільшуються більш ніж у 4 рази, а при рівні 0,4 - більш ніж у 6 разів. Тому величина тривалого навантаження не може перевищувати рівня 0,3 від ейлерової сили для забезпечення відповідності конструкцій вимогам Норм за переміщеннями;

- у межах Р 0,4РЭ для визначення прогинів і напруг, поряд зі спадкоємною теорією старіння може бути використана теорія старіння при постійному модулі пружності бетону;

- отримана нами вперше формула тривалої критичної сили несиметрично армованого стержня свідчить про те, що згущення армування у напрямку опуклої грані стояка сприяє зниженню тривалої критичної сили;

- зіставлення експериментальних і теоретичних даних переконує в задовільному їхньому збігу;

- сформульовані чотири критерії стійкості стиснутих стержнів при повзучості: за прогинами, напругами в арматурі увігнутої грані, напругами у бетоні увігнутої грані, напругами у бетоні опуклої грані;

- доведена доцільність застосування принципу Бубнова-Гальоркіна при вирішенні поставлених задач.

У шостому розділі представлені деформаційні розрахунки плоских стержневих систем методом сил, методом переміщень, методом скінченних елементів у пружній постановці. При цьому деформаційний розрахунок методом скінченних елементів (МСЕ) пропонується виконувати в тій же послідовності, що і недеформаційний розрахунок. Відмінність полягає у формуванні матриці жорсткості окремих елементів, в якій необхідно враховувати деформації поздовжнього вигину за допомогою спеціальних функцій та . При цьому матриці жорсткості трьох типів скінченних елементів (СЕ) мають вигляд, представлений на рис.5.

Рис. 5. Матриці жорсткості трьох типів СЕ

Матриці жорсткості можуть бути побудовані в блочно-діагональному вигляді. Це дозволяє додатково врахувати роботу стержня на стиск-розтяг, як в розділі 8.

Приклади деформаційних розрахунків за розробленими алгоритмами трьох методів, показали їхній повний збіг результатів і дозволили прийти до раніше невідомих висновків:

- усі коефіцієнти канонічних рівнянь в основному повинні визначатися з урахуванням деформацій поздовжнього вигину;

- впливом деформацій поздовжнього вигину у вільних членах канонічних рівнянь можна зневажити тільки у випадках: у методі сил - при параметрі поздовжньої сили , а в методі переміщень - якщо параметр поздовжньої сили ригеля складає не більше 15% від стояка;

-

- принцип незалежності дії сил у деформаційному розрахунку стержневих систем може застосовуватись тільки при сталості поздовжніх сил у кожнім елементі системи;

- при пружному деформаційному розрахунку стержневих систем, що згинаються, складовими переміщеннями від поперечних і поздовжніх сил можна зневажити.

У сьомому розділі побудовані алгоритми деформаційного розрахунку стержневих залізобетонних систем методом сил, методом переміщень, методом скінченних елементів з урахуванням тривалих процесів – усадки і повзучості бетону. Уведено допущення про те, що будь-які тривалі впливи, переміщення і внутрішні зусилля залізобетонних систем підпорядковуються принципу розбивки: S(x,t)=Х(x)T(t).

При недеформаційному розрахунку статично визначуваних систем зусилля визначаються тільки з умов рівноваги і не залежать від повзучості. Деформаційні й усадочні впливи зусиль не викликають. При деформаційному розрахунку статично визначуваних систем зусилля залежать від повзучості.

Прийняті в 6 розділі припущення дозволяють використовувати в деформаційних розрахунках принцип можливих переміщень і узагальнити класичні методи будівельної механіки для залізобетонних систем. Розглянута n раз статично невизначувана різнорідна система, що складається з j=1,2,…,m однорідних різнотипних елементів при узагальненому навантаженні "ф" і деформаційному навантаженні .

Метод сил. Основну систему вибираємо статично визначуваною, відділяючи n зайвих в'язів і заміняючи їхню дію невідомими зусиллями ХкХк(t) при к=1, 2,...,n. Умови еквівалентності основної і заданої систем у часі t виражаються відсутністю тривалих переміщень у напрямку i-ї відкинутої в'язі:

(i=1,2,…,n), (49)

де

;;;.

Індекс "і" указує на напрямок переміщення, а інші індекси - на збуджуючі впливи. Тривалі переміщення в залежності від різновидності навантажень визначаються за формулами (39-41).

У пружній постановці при дії навантажень, що змінюються в часі: Р=Р(t), і без урахування усадки і повзучості: КГТ=1, Ж=0, ; Сік вироджуються в одиничні переміщення, вироджуються у вантажні переміщення, а Хк – в. У цьому випадку система рівнянь (49) здобуває традиційну форму, властиву пружним системам:

(i=1,2,…,n). (50)

Визначивши з (50) і підставивши його в (49), знаходимо

(i=1,2,…,n), (51)

тобто зусилля зв'язані з їхніми пружними значеннями через оператор повзучості, що є узагальненням відомого принципу Вольтерра. Це дозволяє застосовувати раніше розроблені алгоритми деформаційного розрахунку методу сил у пружній постановці до розрахунку з урахуванням тривалих процесів. Якщо основне невідоме підкорити прийнятому принципу розбивки, де - пружне невідоме деформаційного розрахунку, то задача теорії повзучості зводиться до визначення функції F(t).

Метод переміщень. Основна система утворюється з заданої шляхом уведення в'язів, що перешкоджають поворотам і зсувам вузлів. Уведені в'язі не володіють повзучістю і повинні розділяти систему на однорідні різнотипні елементи. Для системи з п уведеними в'язями, що розділяють її на m однорідних різнотипних елементів, умови спільності реакцій у введених в'язях при усуненні розходження між основною і заданою системами запишуться так:

(і=1, 2,…,n). (52)

Тут - реакція в і-й в'язі від переміщення к-ї в'язі Zк(t) = 1; - реакція в i-й в'язі від узагальненого навантаження "ф", тобто від дії зовнішнього навантаження "р" і усадки бетону - реакція в i-й в'язі від мимовільних деформацій "д" (просідання опор, температури і т.п.). Реакції у введених в'язях визначаються через відповідні пружні реакції однорідних елементів системи, у яких армування згущається до низу перетину (+es).

У пружній постановці Diк вироджується в;і система рівнянь (52) здобуває традиційну форму, що відповідає принципу Вольтерра. У дисертації наведена таблиця, що показує, як тривалі реакції стержнів R виражаються через пружні r при різних закріпленнях і переміщеннях опор. Схематично можна представити при

Метод скінченних елементів. Алгоритм деформаційного розрахунку стержневих залізобетонних систем побудований за методикою пружного розрахунку, але тільки з урахуванням повзучості. Відмінність полягає у формуванні матриць жорсткості окремих елементів, у яких необхідно врахувати часові функції впливу повзучості. Метод скінченних елементів будується у формі методу переміщень, тому елементи матриці жорсткості визначаються за епюрами і таблицями даного методу. Часові матриці жорсткості скінченних елементів можуть бути виражені через їхні пружні значення:

; ; , (53)

де, , - пружні матриці жорсткості відповідних типів скінченних елементів, представлених у шостому розділі. Як і раніше в матрицях жорсткості присутні і , що є спеціальними функціями, які враховують вплив поздовжніх сил, а

Для реалізації МCЕ необхідно знати в кожнім g-м елементі систем значення поздовжньої сили, що входить у тривалий параметр, який є аргументом функцій впливу поздовжнього вигину. Тривалі поздовжні сили в загальному випадку є невідомими. Спочатку їх визначають з недеформаційного розрахунку. Далі застосовують метод послідовних наближень.

Розглянуто приклади розрахунків статично визначуваних і невизначуваних залізобетонних балок з рівномірним і нерівномірним армуванням прольоту. Наведено також розрахунок статично невизначуваної залізобетонної рами трьома методами.

Дослідження привели до висновків:

- алгоритми деформаційного розрахунку стержневих залізобетонних систем побудовані в універсальній операторній формі безвідносно до різновиду теорій повзучості бетону. При цьому оператори повзучості можуть бути інтегральними, диференціальними чи матричними при обов'язковій їхній комутативності;

-

- неврахування змішаних характеристик перерізів (34) у деформаційних розрахунках приводить до похибок понад 20%;

- деформаційний розрахунок залізобетонних балок дозволяє виявити зниження гранично припустимих навантажень по прогину на 314%, а в рамі - збільшення кута повороту жорсткого вузла на 222% у порівнянні з недеформаційним розрахунком, що доводить необхідність деформаційних розрахунків навіть при дуже малих навантаженнях.

У восьмому розділі побудовані алгоритми МСЕ деформаційного розрахунку просторових стержневих залізобетонних систем з урахуванням тривалих процесів. Подібних задач у літературі не виявлено. Отримано матриці жорсткості скінченних

елементів при усіх видах закріплення на кінцях, а також матриця жорсткості всієї системи. Запропонований алгоритм рішення рівняння МСЕ. Наприклад, для стержня із шарнірною опорою і защемленням на кінцях (рис.6) прийнято, що в обраній

Рис. 6. Характеристики просторового стержня II типу

місцевій системі координат вузлові сили розпадаються на чотири групи, які можна розглядати незалежно один від одного. Група “а” являє собою вузлові сили , що викликають вигин стержня тільки в площині xy (). Група “b” () – вигин у площині xz (), група “с” () – поздовжні деформації ( ), а група “d” ()- деформації закручування ( ). Такий груповий підхід до розташування компонентів зусиль і переміщень дозволяє сформувати матрицю жорсткості просторового стержня ()в блочно-діагональному вигляді з розміром 12х12:

(54)

Кожен блок на головній діагоналі матриці являє собою підматрицю окремої групи, що характеризує плоский напружений стан. Плоскі задачі даних чотирьох груп нами вирішені і їхні результати наступні:

(58)

У підматрицях і позначено:;; і. У підматрицях і: і. Тут, , і - узагальнені оператори повзучості відповідних підматриць. Решта позначень загально відомі.

За формулами (54 - 58) визначається матриця жорсткості ІІ типу просторового залізобетонного стержня в місцевій системі координат. Аналогічно побудовані матриці жорсткості I і III типу.

Матрицю жорсткості всієї системи R сформовано через відповідні матриці окремих стержнів rg у вигляді:

;, (59)

де - матриці перетворення координат. Елементи матриці жорсткості всієї системи включають як числа, так і різні оператори повзучості. Тому рекомендується спочатку вирішити рівняння МСЕ в універсальній операторній формі, одержати рекурентні формули і тільки за ними одержати чисельний результат. Для цього застосовується метод Халецького.

Була розрахована просторова залізобетонна рама (рис.7), результат розрахунку представлений на рис.8.

За внутрішніми зусиллями обчислюються поточні нормальні і дотичні напруження в арматурі і бетоні в будь-який момент часу t. Формули для цього одержані на основі:

-

(60)

де - поздовжня деформація осі елемента; - кривизни вигину елемента щодо осей z і у відповідно;

- умов рівноваги:

. (61)

Рис. 7. До прикладу: а – розрахункова схема; б – основна система методу переміщень; в – скінченний елемент

Рис. 8. Епюри внутрішніх зусиль просторової рами:

недеформаційний розрахунок при t=t0;

деформаційний розрахунок при t=t0;

деформаційний розрахунок з урахуванням повзучості при t=

При цьому отримані рівняння для компонентів деформацій;:

(62)

де

(63)

(64)

Нормальні напруги в бетоні й арматурі визначаються з операторних співвідношень:

; (65)

при

;; ;;.

(66)

Дотичні напруги в бетоні при складному вигині визначаються на підставі узагальненої концепції Д.І.Журавського з рівнянь

(67)

На підставі закону деформативності бетону при зсуві і співвідношення отримане рівняння для визначення дотичних напружень у бетоні від моменту скручування:

, (68)

де - оператор повзучості при скручуванні.

Дані про поточні нормальні напруги в арматурі і бетоні використовуються для визначення втрат попередньої напруги в арматурі, що відповідно до теорії власних напруг визначаються за формулою:

(69)

в якій і - сума збільшень напруг в арматурі і бетоні, викликаних дією зусиль попередньої напруги арматури, усадки (набрякання) бетону і тривалих зовнішніх навантажень; - відношення модулів пружності арматури до бетону.

Рівнодіюча власних напруг і ексцентриситети її прикладання і, що входять у розрахункові формули БНіП, визначаються за формулами:

(70)

Дослідження привели до висновків:

- отримані матриці жорсткості для всіх типів залізобетонних просторових скінченних елементів в місцевій системі координат з урахуванням деформацій поздовжнього вигину і тривалих процесів, а також побудована матриця жорсткості всієї стержневої системи. Узагальнено метод Халецького, що дозволило розробити алгоритм деформаційного розрахунку просторових залізобетонних стержневих систем з урахуванням повзучості;

- приклад розрахунку залізобетонної просторової рами показав, що урахування деформацій поздовжнього вигину стержнів і повзучості бетону значно видозмінює напружено-деформований стан просторових систем. Деякі переміщення рами збільшилися у часі на 183%, а зусилля – на 88% у порівнянні з пружними значеннями недеформаційного розрахунку. На ріст переміщень основний вплив чинить повзучість, частка якої склала до 178%, а на ріст зусиль – деформації поздовжнього вигину, частка яких склала до 58%. Це доводить необхідність виконання розрахунків залізобетонних стержневих систем з урахуванням просторової роботи, деформацій поздовжнього вигину і повзучості;

- представлення просторової рами у вигляді системи плоских рам є не бажаним, тому що це приводить до похибок 9 % для переміщень і 50 % для зусиль.

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

У дисертації наведені теоретичне узагальнення і нове вирішення наукової проблеми, пов'язаної зі створенням теорії деформаційного розрахунку і стійкості стержневих залізобетонних систем з урахуванням тривалих процесів. Головні наукові і практичні результати роботи наступні:

1.