НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИ

IНСТИТУТ МЕХАНIКИ IМ. С.П.ТИМОШЕНКА

Слинько Віталій Іванович

УДК 517.962.2

СПОСІБ ПОБУДОВИ

МАТРИЧНО-ЗНАЧНИХ ФУНКЦІЙ ЛЯПУНОВА

В ТЕОРІЇ СТІЙКОСТІ РУХУ

Спецiальнiсть 01.02.01 - теоретична механiка

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Київ --2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механiки iм. С.П.Тимошенка НАН України.

Науковий керівник - член-кореспондент НАН України,

доктор фізикo-математичних наук, професор

Мартинюк Анатолiй Андрiйович,

завiдувач вiддiлу стiйкостi процесiв Інституту

механiки iм. С.П.Тимошенка НАН України.

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор

Хусаїнов Денис Ях’євич, професор кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського Національного університету ім. Т.Г. Шевченка (м.Київ).

- кандидат фізико-математичних наук

Задорожний Володимир Фотійович, старший науковий співробітник

Інституту кiбернетики НАН України

(м.Київ).

Провідна установа - Iнститут прикладної математики i механiки

НАН України (м.Донецьк).

Захист відбудеться “ 29 ” жовтня 2002 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механiки iм.С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м.Київ, вул.Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механiки iм.С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м.Київ, вул.Нестерова, 3.

Автореферат розісланий “27” вересня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фiзико-математичних наук Бабич I.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Класичним методом дослідження стійкості руху динамічних систем є другий метод Ляпунова. Універсальність цього методу зумовлена тим, що дослідження стійкості систем можна проводити без інтегрування системи диференціальних рівнянь обуреного руху. Суттєвою перешкодою в практичному застосуванні прямого методу Ляпунова є відсутність ефективного способу побудови допоміжної функції. Хоча для деяких класів нелінійних систем розроблені ефективні способи побудови функцій Ляпунова, актуальною залишається проблема побудови функцій Ляпунова для нелінійних систем великої розмірності та систем, що мають ієрархічну структуру. Найбільш ефективними підходами до побудови функцій Ляпунова для таких систем є ідея використання багатокомпонентних функцій Ляпунова: векторних і матрично-значних. Векторні функції Ляпунова були запропоновані в роботах Р.Белмана і В.М.Матросова в 60-х роках ХХ століття. Подальший розвиток її застосування прямого методу Ляпунова заснованого на ідеї векторної функції Ляпунова представлений в роботах Л.Ю.Анапольского, С.М.Васильєва, Ла-Сааля, Д.Шильяка, В.Лакшмікантама, А.Мічела, А.А.Мартинюка, та багатьох інших. Умови стійкості одержані на основі векторної функції Ляпунова є “над достатніми” тому виникла необхідність розширення множини функцій, що можуть бути використаними при побудові функції Ляпунова. Розвиток методу матрично-значних функцій Ляпунова в теорії стійкості руху за останні два десятиліття зумовив необхідність розробки конструктивних способів побудови елементів матрично-значних функцій Ляпунова. Таким чином, актуальність теми даної дисертації зумовлена необхідністю розробки конструктивних способів побудови матрично-значних функцій Ляпунова та знаходження нових умов стійкості великомасштабних систем.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводилися згідно з темою “Пошук алгоритмів оцінки границь робастності лінійних неперервних і дискретних за часом систем” плану наукових досліджень Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (тема №ДР 0101U002867).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є розвинення другого методу Ляпунова для великомасштабних динамічних систем. Об’єктом дослідження є складні неперервні та дискретні за часом системи рівнянь збуреного руху загального вигляду. Предметом дослідження є стійкість руху великомасштабних нелінійних систем та лінійних нестаціонарних систем, а також деякі типи полістійкості рухів нелінійних систем. Метод дослідження полягає у використанні матрично-значних функцій Ляпунова та однорівневої декомпозиції динамічних систем.

Сформулюємо задачі дослідження.

1.

2.

3.

4.

5.

Наукова новизна одержаних результатів полягає:

-у розробці нового способу побудови матрично-значних функцій Ляпунова при

дослідженні стійкості нелінійних систем;

-у розробці використання методики розширення динамічних систем в контексті нового способу побудови елементів матрично-значних функцій Ляпунова;

-у побудові нових достатніх умов стійкості лінійних неавтономних систем на основі запропонованого способу побудови матрично-значних функцій Ляпунова;

-у встановлені достатніх умов полістійкості рухів динамічних систем;

-у встановлені форми керувань, що стабілізують рух твердого тіла, яке несе рухомі матеріальні точки.

Обгрунтованість і достовірність одержаних в дисертаційній роботі результатів забезпечується використанням класичних методів Ляпунова та повними доведеннями всіх основних тверджень , які викладено в роботі.

Практичне значення одержаних в роботі результатів. Викладені в дисертаційній роботі результати є новими і такими, що дозволяють сформулювати достатні умови різних типів стійкості деяких класів динамічних систем і є доступними для практичного використання.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати роботи одержані особисто автором. Визначення загального напрямку досліджень і постановка задач належить науковому керівнику—А.А. Мартинюку.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на семінарах відділу стійкості процесів Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України; на семінарі секції “Динаміка та стійкість руху механічних систем” Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України; на міжнародній конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння”(Одеса, 2002) , на Українському математичному конгресі “УМК—2001”(серпень 2001р, м. Київ), результати розділів 2, 4 включені до узагальнюючої монографії”.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 4 статтях і 2-х тезах наукових конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел та додатку. Загальний обсяг дисертації 144 сторінки, список використаних джерел із112 найменувань на 11 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність досліджуваної проблеми, сформульовано мету роботи, розкрито її наукову новизну та відзначено практичне значення.

У першому розділі наведено огляд досліджень виконаних в останні роки і присвячені розробці методу матрично-значних функцій Ляпунова то його застосування до різних задач стійкості руху. Перший розділ закінчено коротким обгрунтуванням проведення подальших досліджень в напрямку розробки способів побудови елементів матрично-значної функції Ляпунова.

У другому розділі дисертації викладено новий спосіб побудови елементів матрично-значної функції Ляпунова.

В пункті 2.1 розглядається система рівнянь збуреного руху, що допускає декомпозицію на незалежні підсистеми у вигляді:

i=1,2,…m, (1)

де ,t,

Припускається, що функції є такими, що гарантовано існування, єдиність, і неперервнісь рухів системи (1).

Для системи (1) будується матрично-значна функція

діагональні елементи якої адаптовані до динамічних властивостей незалежних підсистем. Позадіагональні елементи визначаються з диференціального рівняння в частинах похідних

++=

або його аналога. За допомогою вектора побудовано скалярну функцію

(2)

Виходячи з деяких припущень щодо елементів матрично-значної функції встановлено двосторонню оцінку для функції (2).

(3)

де , , що виконується при всіх

Оцінка повної похідної функції (2) вздовж розв’язків системи (1) має вигляд

(4)

де ,і функції визначаються виходячи з оцінок повних похідних елементів матрично-значної функції Ляпунова вздовж розв’язків системи (1) де ,, що виконується при всіх , .

У підрозділі 2.2 досліджується лінійна система

(5)

де , постійні матриці при всіх ; , .

Матрично-значна функція Ляпунова

(6)

побудована з діагональних елементів

,

де симетричні додатньо визначені матриці, та позадіагональних елементів у вигляді безлінійних форм .Тут обмежена на матриця, що задовольняє матричному диференціальному рівнянню

, (7)

де деякі постійні.

У третьому розділі використовуючи результати другого розділу наведені достатні умови стійкості неперервних систем та деякі результати про полістійкість нелінійних систем, які використовуються в розділі 5.

В підрозділі 3.1 наведено допоміжні результати.

В підрозділі 3.2 сформульовано достатні умови стійкості і асимптотичної стійкості системи (2.1)

Теорема 2.1 Припустімо, що рівняння збуреного руху (1) такі, що

(1)

(2)

(3)

Тоді стан рівноваги х=0 системи (1) рівномірно стійкий (рівномірно асимптотично стійкий).

Також сформульовані достатні умови рівномірної асимптотичної стійкості в цілому.

У підрозділі 3.3 наведено приклад що ілюструє застосування теореми 1.

Підрозділ 3.4 присвячений вивченню експоненціальної полістійкості руху. Сформульований тут результат проілюстровано у підрозділі 3.5 на прикладі нелінійної системи з двома підсистемами.

В підрозділі 3.5 досліджується х-полістійкість нелінійних систем вигляду

(14)

де .

Теорема 2. Нехай система рівнянь збуреного руху (3.31) така, що виконуються наступні умови

(1)

(2) Матриці С і С в оцінці (2.18) додатно визначені

(3)

Тоді стан рівноваги х=0 системи (3.31) рівномірно стійкий (рівномірно асимптотично стійкий).

В підрозділі 3.10 встановлені достатні умови стійкості лінійних систем на основі розширень Ікеди-Шильяка

В підрозділі 3.11 наведено ілюстративний приклад системи третього порядку. Для цієї системи та її розширення неможливо застосувати векторну функцію Ляпунова. Разом з тим запропонований спосіб побудови матрично-значної функції Ляпунова дозволяє встановити асимптотичну стійкість цієї системи.

Четвертий розділ присвячений дослідженню стійкості квазілінійних систем різницевих рівнянь.

Підрозділ 4.1 має допоміжних характер.

У підрозділі 4.2 викладені достатні умови стійкості лінійної нестаціонарної дискретної за часом системи.

Підрозділ 4.3 присвячений дослідженню квазілінійних систем різницевих рівнянь на основі концепції граничних рівнянь та запропонованому способу побудови матрично-значної функції Ляпунова.

П’ятий розділ присвячений розв’язанню задачі стабілізації руху твердого тіла, що несе рухомі матеріальні точки.

В підрозділі 5.1 описана постановка задачі. Розглядається механічна система, що складається з абсолютно твердого тіла. То, яке має нерухому точку О в центрі інерції і зв’язаних з ним матеріальних точок масою , що здійснюють заданий рух відносно системи координат Oxyz, правою декартовою. Нехай заданим є два орти s i r, при чому орт s займає незмінне положення в системі , яку будемо вважати, так само, як і Oxyz , правою декартовою. Нехай заданим є два орти s i r при чому орт s займає незмінне положення в системі а орт r в напрямку s . Для випадку коли матеріальні точки відсутні, і система S складається лише з твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки, ця задача розв’язана В.І.Зубовим. Зокрема В.І.Зубовим показано, що керуючий момент Мо, який розв’язує задачу визначається формулою

де -вектор кутової швидкості. В дисертації розглядається керуючий момент загальнішого вигляду

де К тензор, компоненти якого відносно рухомої системи координат є постійними, а відповідна матриця К має ранг нижче 2.

Підрозділ 5.2 присвячений виведенню рівнянь руху механічної системи.

В підрозділі 5.3 наведені основні припущення, щодо характерів рухів матеріальних точок, встановлено ряд допоміжних тверджень, описано стани рівноваги механічної системи.

Для стану рівноваги механічної системи виведено рівняння збуреного руху. Для системи лінійного наближення цих рівнянь використовуючи результати підрозділу 3.5 побудовано матрично-значну функцію Ляпунова і вказано достатні умови рівномірної х-полістійкості стану рівноваги х=у=0 системи рівнянь обуреного руху. Використовуючи явний вигляд цієї системи рівнянь доведено , що з рівномірної х -полістійкості стану рівноваги х=у=0 . Показано, що одержані умови стійкості узагальнюють відповідні результати В.І.Зубова.

Наведено достатні умови стійкості динамічно-симетричного твердого тіла без рухомих матеріальних точок у вигляді системи матричних нерівностей. Описано зозв’язки цієї системи.

У висновках коротко сформульовані основні результати дисертації.

ВИСНОВКИ

Основні результати проведених досліджень, які представлені в дисертації, полягають у наступному:

1.

2.

3.

4.

5.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

АНОТАЦІЯ

Слинько В.І. Спосіб побудови матрично-значних функцій Ляпунова в теорії стійкості руху.—Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01—теоретична механіка.—Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2002.

Дисертацію присвячено дослідженню стійкості руху великомасштабних неперервних та дискретних за часом систем загального вигляду, лінійних неавтономних, квазілінійних та керованих систем на основі матрично-значних функцій Ляпунова. В роботі запропоновано новий спосіб побудови елементів матрично-значних функцій Ляпунова, на основі якого встановлено нові достатні умови асимптотичної стійкості рухів нелінійних великомасштабних систем, достатні умови асимптотичної стійкості лінійних неавтономних систем, достатні умови асимптотичної стійкості лінійних та квазілінійних дискретних за часом систем, умови експоненціальної полістійкості рухів автономних систем та х-полістійкості руху одного класу нелінійних систем. На основі побудованої матрично-значної функції Ляпунова одержано форму керувань, що стабілізують рух абсолютно твердого тіла, яке несе рухомі матеріальні точки.

Ключові слова: великомасштабна система, матрично-значна функція Ляпунова, асимптотична стійкість, експоненціальна полістійкість, х-полістійкість.

АННОТАЦИЯ

Слынько В.И. Способ построения матрично-значных функций Ляпунова в теории устойчивости движения. –Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01—теоретическая механика.—Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2002.

Диссертация посвящена исследованию устойчиво подобных свойств крупномасштабных непрерывных и дискретных во времени систем на основе нового подхода к построению матрично-значных функций Ляпунова. С этой целью в работе проводится декомпозиция исходной системы на независимые подсистемы и диагональные элементы матрично-значной функции Ляпунова строятся с учетом динамических свойств независимых подсистем. Внедиагональные элементы выбираются как решения некоторого линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. При этом дополнительно предполагается, что решение этого уравнения удовлетворяет оценкам характерным для псевдобилинейных форм. Для линейных систем это уравнение приводится к матричному дифференциальному уравнению, решения которого могут быть получены аналитически. Исследование динамических свойств исходной системы проводится с помощью скалярной функции Ляпунова построенной в виде взвешенной суммы элементов матрично-значной функции. Новое развитие метода матрично-значных функций Ляпунова используется в диссертации при исследовании крупно-масштабных систем общего вида, линейных неавтономных систем расширенных по способу Икеды-Шильяка и управляемых систем.

Основные результаты диссертации состоят в следующем

1.

2.

3.

4.

5.

Ключевые слова: крупно-масштабная система, матрично-значная функция Ляпунова, асимптотическая устойчивость, экспоненциальная полиустойчивость, х-полиустойчивость.

SUMMARY

Slyn’ko V.I. The method of constructing of matrix-valued Lyapunov function in the stability of motion theory.—Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree by specialty 01.02.01—theoretical mechanics.—S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2002.