Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

ВЕРЧЕНКО Андрій Петрович

УДК 517.972.2 .384.6

ОПТИМІЗАЦІЯ ДИНАМІКИ ПУЧКІВ ТРАЄКТОРІЙ

З ПРОМІЖНИМИ УМОВАМИ

01.05.04 - системний аналiз i теорiя оптимальних piшень

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2002

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана на кафедрі моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

ГАРАЩЕНКО Федір Георгійович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики, завідувач кафедри моделювання складних систем

Офiцiйнi опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

СОПРОНЮК Федір Олексійович,

Чернівецький державний університет імені Юрія Федьковича, математичний факультет, завідувач кафедри математичних проблем управління і кібернетики

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ЗІНЬКО Петро Миколайович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики, доцент кафедри системного аналізу та теорії прийняття рішень

Провiдна установа: Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України, відділ інтелектуальних систем керування динамічними об'єктами, м. Київ.

Захист вiдбудеться "13" червня  р. о 12 год. на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д .001.09 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, Київ, пр. Академіка Глушкова, 2, корп.6, ф-т кібернетики, ауд. .

(Тел. , Факс , E-mail: rada@unicyb.kiev.ua )

З дисертацiєю можна ознайомитися в науковій бiблiотецi Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

01033, Київ, вул.Володимирська, 58.

Автореферат розiсланий "8" травня 2002 р.

Учений секретар

спецiалiзованої вченої ради ШЕВЧЕНКО В.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В багатьох задачах математичного моделювання виникає необхідність враховувати елементи невизначеності характеристик системи. Один з підходів полягає в тому, щоб при відсутності точної інформації про початковий стан системи, розглядати в початковий момент множину розкиду вектора фазових змінних. Таким чином, приходимо до задачі оптимізації динаміки пучка траєкторій, що розвивається в силу заданої системи диференціальних рівнянь. Множину початкових станів можна трактувати також і як сукупність різних стратегій поведінки системи, приходячи до задачі прийняття колективних рішень. Важливу роль в задачах такого типу відіграє інтегральний критерій якості, що враховує всі траєкторії пучка.

Використання пучків траєкторій дозволяє моделювати динаміку системи з врахуванням невизначеності при розв'язанні задач з різних прикладних галузей. Проміжні умови, які накладаються на траєкторії з перерізу пучка в задані моменти часу, дозволяють враховувати особливості процесів, що моделюються, а саме різні додаткові обмеження у формі рівностей між компонентами вектора фазових координат, точками переключення та вектором параметрів оптимізації. Частинним випадком таких проміжних умов є скачки першого роду для траєкторій з пучка в заданих точках переключення. Саме на умови такого типу в дисертаційній роботі робиться особливий акцент, так як подібні постановки мають велике практичне значення, зокрема, при оптимізації динаміки пучків заряджених частинок у прискорюючо-фокусуючих системах, при побудові оптимального портфеля цінних паперів в умовах невизначеності та в ряді інших прикладних задач.

В дисертаційній роботі досліджуються задачі параметричної оптимізації динаміки пучків траєкторій з проміжними умовами. Питанням моделювання динаміки пучків заряджених частинок в задачах оптимізації структури прискорюючо-фокусуючих пристроїв присвячені роботи І.М.Капчинського, А.О.Коломенського, Дж.Лоусона, Б.П.Муріна та ряду інших вчених. Подальший розвиток теорії оптимізації пучків траєкторій відбувався завдяки працям Т.Ф.Ананьїної, Б.М.Бублика, Ф.Г.Гаращенка, М.Ф.Кириченка, О.Б.Куржанського, Д.О.Овсяннікова. Пізніше ці ідеї були розвинені в роботах Б.М.Бублика, Ф.Г.Гаращенка, М.Ф.Кириченка та їх учнів і знайшли застосування при дослідженні різних питань теорії практичної стійкості та структурно-параметричної оптимізації. Активний розвиток теорії оптимізації пучків заряджених частинок продовжувався в роботах Д.О.Овсяннікова та його учнів. Тому актуальним питанням є поєднання підходів цих двох наукових шкіл та дослідження нових постановок задач оптимізації динаміки пучків траєкторій і методів їх розв'язування.

Питання оптимізації динамічних систем з проміжними умовами різного вигляду вивчались у роботах Л.Т.Ащепкова, В.В.Величенка, В.К.Горбунова, Л.Г.Гуріна, С.В.Ємельянова, Ф.О.Сопронюка, В.А.Троіцького та ряду інших вчених. Але важливі класи задач, в яких досліджуються проблеми оптимізації пучка траєкторій при наявності проміжних умов та пов'язані з ними питання побудови чисельних алгоритмів залишились відкритими. Тому тема дисертації є актуальною з математичної точки зору і безпосередньо пов'язана з розв'язуванням прикладних задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності до плану наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідної теми “Розробка структурованих математичних та програмних технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем” ТЗ НДР №01БФ015-05, наукових грантів №97508 “Розвиток конструктивної теорії моделювання та оптимального керування складних систем з неповними даними” та №97544 “Розробка проблемно-орієнтованих математичних і програмних засобів моделювання, аналізу та синтезу керованих фізико-механічних систем” Міністерства науки і технологій України з фундаментальних та прикладних досліджень.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження задач оптимізації динаміки пучків траєкторій з проміжними умовами, а також побудова конструктивних алгоритмів для розв'язування таких проблем.

Поставлена мета зумовлює вирішення наступних основних задач: Ёотримати умови оптимальності для узагальненої задачі оптимізації динаміки пучків траєкторій при наявності проміжних умов на траєкторії системи, для задачі оптимізації динаміки пучків траєкторій в системах загального вигляду з проміжними умовами та для систем зі змінною структурою; Ёпобудувати градієнт функціоналу якості для задачі оптимізації динаміки пучка в неперервних системах з розривними фазовими координатами (зі скачками першого роду в точках переключення); Ёсформулювати і довести необхідні умови оптимальності для задач оптимізації динаміки пучків траєкторій в дискретних процесах загального вигляду та розглянути ряд частинних випадків; Ёвикористовуючи необхідні умови, побудувати алгоритми знаходження оптимальних характеристик прискорюючо-фокусуючого пристрою при оптимізації динаміки пучка заряджених частинок та апробувати розроблені алгоритми у випадку несиметричного прискорюючого поля без врахування сил кулонівської взаємодії.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що в дисертації вперше: · сформульовано узагальнену задачу оптимізації динаміки пучків траєкторій при наявності проміжних умов на траєкторії системи та виписано для неї необхідні умови оптимальності; · отримано необхідні умови оптимальності для задачі оптимізації динаміки пучків траєкторій в системах загального вигляду з проміжними умовами та в системах зі змінною структурою; · для задачі оптимізації динаміки пучка в системах з розривними фазовими координатами (зі скачками першого роду в точках переключення) побудовано формули обчислення градієнта критерію якості за параметрами оптимізації; · отримано необхідні умови оптимальності для задач оптимізації пучків траєкторій в дискретних процесах загального вигляду та для частинних випадків; · досліджено задачу оптимізації динаміки пучка траєкторій в дискретних процесах у випадку проміжних інтегральних умов і нерівностей та запропоновано підхід до розв'язання задачі побудови статичного портфеля цінних паперів в умовах невизначеності; · розроблено алгоритмічне забезпечення для розв'язування задач оптимізації пучка заряджених частинок в прискорюючо-фокусуючих пристроях, яка розглядається у вигляді задачі параметричної оптимізації динаміки пучка траєкторій для систем зі змінною структурою; · проведено обчислювальний експеримент щодо розрахунку параметрів прискорюючого поля і структури прискорювача у випадку несиметричного прискорюючого поля без врахування сил кулонівської взаємодії.

Практичне значення одержаних результатів. В рамках дисертаційної роботи розглянуто задачу оптимізації динаміки пучків заряджених частинок у прискорюючо-фокусуючих пристроях. Запропонована методика може бути використана при розв'язанні задач, в яких невизначеність моделюється за допомогою пучка траєкторій. В дисертаційній роботі пропонується також підхід до розв'язування задачі побудови оптимального статичного портфеля цінних паперів в умовах невизначеності як дискретної задачі оптимізації динаміки пучка траєкторій.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, викладені в дисертації, отримані автором самостійно. В публікаціях, виконаних у співавторстві, науковому керівникові професору Ф.Г.Гаращенку належить постановка задач та рекомендації щодо методів їх розв'язування. Особистий внесок здобувача полягав у виконанні всіх основних досліджень, доведень, розрахунків та формулюванні висновків.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідались на наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка та Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, а також на ЁМіжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (МОСС-2001, 25-28 січня 2001р., Київ); ЁМіжнародній конференції “Dynamical systems modelling and stability investigation” (22-25 травня 2001р., Київ).

Публікації. Основні положення дисертації висвітлено у 5 наукових роботах, з яких 3 надруковано у виданнях, що затверджені ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 136 найменувань та трьох додатків, що містять 14 ілюстрацій і 2 таблиці. Повний обсяг роботи становить 167 сторінок, з них 129 сторінок основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність вибраної теми, формулюється мета роботи, відзначається наукова новизна отриманих результатів та висвітлюється їх теоретична і практична цінність.

У першому розділі досліджуються задачі оптимізації динаміки пучка траєкторій в системах з розривними фазовими координатами (зі скачками першого роду в точках переключення). Огляд літератури з тематики дисертаційної роботи приведено у підрозділі 1.1. В підрозділі 1.2 наведено постановку задачі оптимізації динаміки пучка в неперервних системах зі скачками першого роду в точках переключення, а саме розглядається наступна оптимізаційна задача (1)–(5):

… (1)

… (2)

… (умови скачків в точках ), (3)

… (умови для точок переключення ), (4)

… (5)

де … – задана обмежена замкнена множина ненульової міри (початковий стан пучка); -вимірні функції … – неперервно-диференційовані на … по аргументам …, … та неперервні по , а відповідні дивергенції … неперервно-диференційовані по … та …, … – розв'язок системи (2) при даному … та …. У задачі (1)–(5) зроблено також наступні позначення та припущення:

- для спрощення записів припускаємо, що всі розривні функції, які будуть зустрічатись нижче, неперервні справа, тобто, наприклад, …, нехай також …;

- через позначимо образ множини в силу системи (2) при даному в момент часу , тобто =…;

- функції … вважаємо визначеними і неперервними разом зі своїми похідними за всіма змінними. Вважаємо також, що матриця … неособлива для кожного і будь-яких , а її визначник диференційований за змінними …, … та …

Для задачі (1)-(5), шляхом розгляду повної варіації (1) і виділення доданків, лінійних по варіаціям траєкторій, отримано формули обчислення частинних похідних від критерію якості (1):

… (6)

де –  знак транспонування, …, , , а спряжені змінні задовольняють системі диференціальних рівнянь (– одинична матриця порядку ):

… (7)

з початковими умовами на правому кінці

… (8)

і скачками першого роду в точках переключення , :

… (9)

Формула (6) використовується при побудові мінімізуючої послідовності для вектора параметрів оптимізації .

У підрозділі 1.3 розглянуто подальше спрощення задачі (1)–(5) у випадках лінійності правої частини диференціальних рівнянь (2) та співвідношень (3), що визначають скачки фазових координат в точках переключення системи. При цьому формула (6) набуває більш конструктивного вигляду, коли всі кратні інтеграли зводяться до інтегрування по множині початкових станів .

У другому розділі вивчаються задачі оптимізації динаміки пучків траєкторій в неперервних системах з проміжними умовами на траєкторії системи, що узагальнюють постановки задач з розділу . У підрозділі 2.1 зроблено короткий аналіз проблеми та приведено словесні постановки задач. Характерною рисою таких задач є наявність незалежних між собою сімейств траєкторій …, що розвиваються в силу системи диференціальних рівнянь для кожного значення із множини параметрів . В якості характеристики пучків траєкторій розглядається мінімізація за вектором параметрів оптимізації інтегрального функціоналу, що складається із сум кратних інтегралів, визначених в проміжних точках . При цьому точки переключення також можуть залежати від параметрів оптимізації. Таким чином маємо наступну оптимізаційну задачу, що досліджується у підрозділі 2.2:

…

…, (10)

…, (11)

…, (12)

…, (13)

…, (14)

…. (15)

Тут …, …; …; …, …; …

В задачі (10)-(15) зроблено наступні позначення і припущення:

- через позначено образ множини в силу системи (13) при даному в момент часу , тобто …, , . Позначимо також …;

- припускатимемо, що при будь-якому значенні параметра розв'язки … і систем (13),) з врахуванням проміжних умов (11),) визначені та єдині на … для довільних початкових умов …, … Початкові умови для вектора мають однозначно визначатись із проміжних умов (12), а - із (11);

- будемо вважати, що система рівнянь (11), (12) сумісна і точки , , в яких накладаються проміжні умови, однозначно визначаються із цих рівнянь для кожного ;

- крім того, нехай скалярні функції …, …, …, …, … …; …, що використовуються в (10)-(15) – неперервно-дифференційовані по всім змінним; вектор-функції …, …– неперервні разом зі своїми частинними похідними до другого порядку включно та мають обмежені похідні; якобіан переходу від множини … до … при заміні змінних у кратному інтегралі відмінний від нуля, де …- наперед задані компактні множини ненульової міри;

- проміжні умови (11), що мають виконуватись для всіх станів … із перерізів … мають спеціальну структуру; в межах дисертаційної роботи вимагатимемо від функцій … із (11) такої структури, щоб відповідний доданок функції Лагранжа для задачі (10)-(15) мав строго уніфікований вигляд, а саме

…, (16)

де … Вказані обмеження охоплюють достатньо широкий клас задач. Приведемо кілька прикладів проміжних умов вигляду (11), що задовольняють структурі (16).

Розглянемо два проміжні стани … та …, що належать відповідно перерізам … та …, …, і накладемо на них обмеження вигляду:

…, (17)

де …- -вимірна диференційована функція, що однозначно визначає стан … при заданих … В роботі показано, що співвідношення (17) дадуть у функції Лагранжа задачі (10)-(15) складову вигляду:

…

…,

де …- відповідний множник Лагранжа, що входить у підінтегральні вирази і є функцією від станів з перерізу відповідних пучків. Таким чином, -та умова в (17) задовольняє структурі (16) якщо покласти …, … і … для всіх інших доданків.

Під структуру (16) підпадають також проміжні умови вигляду:

…,

де …- деяка наперед задана компактна множина ненульової міри (спільна для всіх …), або більш складніші співвідношення

…,

що узагальнюють попередні (виписані вище обмеження отримуємо із останніх як частинний випадок, при …). Проміжні умови такого типу дадуть у функції Лагранжа доданки виду

…,

тобто задовольняють структурі (16) при … і рівними нулю усіма іншими доданками … Зрозуміло, що всі початкові умови …, … для диференціальних рівнянь (13) є частинним випадком приведених співвідношень.

Практичні задачі, що розглядаються в дисертаційній роботі, обмежуються лише продемонстрованими типами проміжних умов, хоча клас співвідношень, що задовольняють структурі (16), не обмежується лише даними випадками.

З врахуванням структури (16), функція Лагранжа задачі (10)-(15), що відповідає за проміжні умови (10)-(12) має вигляд:

…, (18)

де …, …- деяка додатна константа.

Щоб сформулювати необхідні умови оптимальності для задачі (10)–(15), введемо спряжену систему рівнянь (для кожної траєкторії …, що починається із …) вигляду

… (19)

з умовами скачків в точках …:

… (20)

Введемо також спряжену систему рівнянь для змінної …:

……, (21)

зі скачками першого роду в проміжних точках …:

…, (22)

де …

…

Необхідні умови оптимальності для задачі (10)–(15) сформульовано у вигляді наступної теореми.

Теорема 2.1. Нехай …– допустимий процес задачі (10)-(15) (компоненти вектора впорядковані по зростанню). Для оптимальності цього процесу необхідно існування вектора множників Лагранжа … і кусково-неперервних на … розв'язків … (…) спряженої системи (19) зі скачками (20) в точках …, і розв'язків … системи (21) зі скачками (22), при яких виконуються наступні умови:

(0о) … (звідки випливає нетривіальність вектора );

(1о) трансверсальності на кінцях … і… для спряжених змінних … і …

…, (23)

…, (24)

…; (25)

(2о) оптимальності векторного параметра …

…

…, (26)

де …; … – конічна апроксимація множини W в точці ;

(3о) оптимальності вектора параметрів

…. (27)

Вище були зроблені наступні позначення:

…;

…,

де …

…

…

…, . (28)

Тут …. Крім того, похідні на кінцях … і …, окрім виразів (28), містять ще й додаткові доданки, тобто

…

Як частинний випадок, у підрозділі 2.3 сформульовано необхідні умови оптимальності (теорема .2) для задачі оптимізації динаміки пучків траєкторій в системах загального вигляду з проміжними умовами. Вона випливає із задачі (10)–(15), якщо не враховувати залежність від траєкторій , що розвивається в силу системи диференціальних рівнянь (14), а також розглядати інтегральний критерій якості спрощеного вигляду. У підрозділі 2.4 необхідні умови оптимальності (теорема .3) виписано для систем зі змінною структурою, що є подальшим спрощенням задачі (10)–(15).

У підрозділі 2.5 досліджується задача (1)–(5) оптимізації динаміки пучка в системах з розривними фазовими координатами як частинний випадок задачі (10)–(15). При цьому формули (6) обчислення похідних від критерію якості за вектором параметрів оптимізації отримано на основі доведених у підрозділах .2–2.4 теорем про необхідні умови оптимальності.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячено питанню параметричної оптимізації пучків траєкторій в дискретних процесах. У підрозділі 3.1 приведено короткий аналіз проблеми та словесні постановки задач. У підрозділі 3.2 розглядається задача оптимізації динаміки пучків траєкторій в дискретних процесах загального вигляду, а саме задача мінімізації критерію

… (29)

за вектором параметрів . Крім того, на змінні … та … накладаються обмеження вигляду

…, (30)

…, (31)

…, (32)

де …– задана компактна множина ненульової міри для кожного ….

В задачі (29)–(32) зроблено наступні позначення та припущення:

- …, множини … однозначно визначаються із (30) і містять точки …, для яких обмеження (30) виконуються для всіх …;

- скалярні функції …, …, … визначені і неперервні разом зі своїми похідними по всім змінним.

Апріорі нам відома лише множина початкових станів …, таким чином, множини … повинні однозначно визначатись із (30) для заданого …. Якщо розглянути випадок, коли …, і накласти умову існування частинних похідних в (30) по всім аргументам та умову …, то при даному … існує система … змінних … як “неявних” функцій від … змінних …:

… (33)

таких, що при підстановці в (30) одержуємо тотожності:

…,

де ….

Таким чином можна однозначно визначити перерізи пучка співвідношенням …, …, де … -вимірні функції, визначені і неперервні разом з частинними похідними по всім змінним. Явний вигляд перетворень (33) в загальному випадку нам невідомий, тому при виведенні необхідних умов доданки, що містять функції , групуються разом і прирівнюються до нуля.

Функція Лагранжа для задачі (29)–(32) має вигляд:

…, (34)

де …, а необхідні умови оптимальності можна сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема .1. Для оптимальності допустимого процесу … задачі (29)-(32) необхідно існування скалярного множника … і множників …, …, визначених на множині … таких, що

1) всі компоненти вектора … одночасно не дорівнюють нулю, …;

2) …;

3) …,

де    …

…,

…

У підрозділі 3.3 розглянуто задачу оптимізації пучків траєкторій в дискретній динамічній системі, на якій продемонстровано використання запропонованого підходу. У третьому розділі (підрозділ 3.4) розглянуто також спеціальну задачу оптимізації пучків траєкторій в дискретних процесах у випадку проміжних інтегральних умов та нерівностей. Задачі такого типу виникають при розв'язуванні реальних економічних проблем, зокрема, при формуванні статичного оптимального портфеля цінних паперів в умовах невизначеності.

У четвертому розділі (підрозділ 4.1) приведено математичні постановки деяких задач оптимізації пучка заряджених частинок в прискорюючо-фокусуючих пристроях у термінах задачі параметричної оптимізації пучка траєкторій в системах зі змінною структурою. У підрозділі 4.2 розглянуто задачу моделювання повздовжнього руху частинок, а у підрозділі 4.3 – випадок несиметричного прискорюючого поля без врахування сил кулонівської взаємодії при кусково-постійній функції амплітуди напруженості прискорюючого поля … (тобто … (…)). Для цього випадку система диференціальних рівнянь має вигляд:

…

…; (35)

…,

з початковими умовами …, де … –задана компактна множина ненульової міри, і скачками для радіальних швидкостей в точках переключення:

… (36)

Тут … вектор повздовжніх координат іона; … радіальні складові положення частинки; … швидкості по радіальним координатам; … точки переключення кусково-постійної функції …, що має описану вище структуру. Крім того, функція … також параметризується у класі кусково-постійних функцій, тобто …, а величини … входять до вектора параметрів оптимізації …, тобто …. При цьому, задача полягає в мінімізації по відхилення від заданої величини … енергії пучка на виході, що задається інтегральним критерієм якості

… (37)

Частинні похідні від критерію якості (37) за параметрами оптимізації одержано згідно формули (6). Крім того, у підрозділі 4.3 розглянуто також більш просту задачу моделювання для випадку симетричного поля.

Як допоміжний інструментарій для визначення початкового стану пучка, у підрозділі 4.4 отримано оптимальні оцінки в задачах практичної стійкості для частково-лінійних систем спеціального вигляду при заданому значенні вектора параметрів оптимізації для різних типів фазових обмежень. У підрозділі 4.5 представлено створений програмний комплекс та описано його структуру.

У висновках сформульовано основні результати, отримані в дисертації. Опис інтерфейсних можливостей створеного програмного комплексу представлено у додатку А, текст основних процедур – у додатку Б, а результати проведеного обчислювального експерименту – у додатку В.

ВИСНОВКИ

В дисертації одержано нові науково обґрунтовані результати в галузі параметричної оптимізації пучків траєкторій в динамічних системах з проміжними умовами.

Основні результати дисертаційної роботи полягають в наступному:

1. Досліджено задачу оптимізації динаміки пучка траєкторій в системах з розривними фазовими координатами (зі скачками першого роду в точках переключення) та виведено формули обчислення градієнта критерію якості за параметрами оптимізації.

Сформульовано узагальнену задачу оптимізації динаміки пучків траєкторій при наявності проміжних умов на траєкторії системи та виписано для неї необхідні умови оптимальності.

Отримано необхідні умови оптимальності для задачі оптимізації динаміки пучків траєкторій в системах загального вигляду з проміжними умовами та в системах зі змінною структурою.

Отримано необхідні умови оптимальності для задач оптимізації пучків траєкторій в дискретних процесах загального вигляду. Як частинний випадок, досліджено задачу оптимізації пучків траєкторій в дискретній динамічній системі.

Досліджено спеціальну задачу оптимізації пучків траєкторій в дискретних процесах у випадку проміжних інтегральних умов та нерівностей. На основі доведених необхідних умов запропоновано підхід до розв'язування задачі побудови оптимального статичного портфеля цінних паперів в умовах невизначеності.

6. Розроблено алгоритмічне забезпечення для розв'язання задачі оптимізації динаміки пучка заряджених частинок в прискорюючо-фокусуючих пристроях, яка розглядається у вигляді задачі оптимізації пучка траєкторій для систем зі змінною структурою.

7. На основі розроблених алгоритмів створено програмний комплекс, проведено обчислювальний експеримент щодо розрахунку параметрів прискорюючого поля і структури прискорювача в задачі оптимізації динаміки пучка заряджених частинок у випадку несиметричного прискорюючого поля без врахування сил кулонівської взаємодії.

Отримані результати можуть бути застосовані при розв'язуванні задач оптимізації пучків траєкторій з інтегральним критерієм якості при наявності проміжних умов. В дисертаційній роботі запропоновану методику використано для моделювання оптимальної динаміки пучка заряджених частинок в прискорюючо-фокусуючих системах.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Гаращенко Ф.Г., Верченко А.П. Исследование задач оптимизации динамики пучков с промежуточными условиями //Кибернетика и вычислительная техника.- 1999.- Вып. .- С.38-50.

2. Гаращенко Ф.Г., Верченко А.П. Параметрична оптимізація пучка траєкторій для систем зі змінною структурою //Вісник КУ. Серія фіз.-мат. науки.- 2000.- №2.- С.213-219.

3. Гаращенко Ф.Г., Верченко А.П. Необхідні умови оптимальності для однієї задачі оптимізації пучків траєкторій дискретних процесів //Вісник КУ. Серія кібернетика.- 2001.- Вип.2.- С.18-25.

4. Верченко А.П. Про деякі задачі оптимізації динаміки пучків з проміжними умовами //Тези доповідей Міжнародної конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (МОСС-2001), 25-28 січня 2001р.- Том .- К.: “Київський університет”.- 2001.- С. .

5. Гаращенко Ф.Г., Верченко А.П. Модель побудови статичного портфеля цінних паперів як задача параметричної оптимізації пучка траєкторій //Thesis of conference reports, International Conference “Dynamical systems modelling and stability investigation”, Kyiv, May 22-25, 2001.- K.: “Київський університет”.- 2001.- C.156

Верченко А.П. Оптимізація динаміки пучків траєкторій з проміжними умовами. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 - системний аналiз i теорiя оптимальних piшень.- Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

В дисертації розглядаються задачі параметричної оптимізації динаміки пучків траєкторій в системах з проміжними умовами, що накладаються на траєкторії системи в заданій множині точок. При цьому необхідно мінімізувати за вектором параметрів оптимізації критерій якості інтегральної структури. Досліджено нові постановки таких задач для неперервних та дискретних випадків, отримано необхідні умови оптимальності та розроблено алгоритми для їх розв'язування. Розглянуто задачу моделювання оптимальної динаміки пучка заряджених частинок у прискорюючо-фокусуючих пристроях. Запропонована методика може бути використана також при розв'язанні задач з різних прикладних галузей, де невизначеність системи моделюється пучком траєкторій. Зокрема, в роботі пропонується підхід до розв'язання задачі побудови оптимального статичного портфеля цінних паперів в умовах невизначеності як задачі оптимізації пучка траєкторій в дискретних процесах.

Ключові слова: пучок траєкторій, проміжні умови, параметрична оптимізація, інтегральний критерій якості, пучок заряджених частинок, прискорюючо-фокусуюча система, портфель акцій.

Верченко А.П. Оптимизация динамики пучков траекторий с промежуточными условиями. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 системный анализ и теория оптимальных решений.- Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

В диссертации рассматриваются задачи параметрической оптимизации динамики пучков траекторий в системах с промежуточными условиями, наложенными на траектории системы в заданном множестве точек. В первом разделе работы получены формулы вычисления производных от критерия качества для задачи оптимизации динамики пучка в непрерывных системах с разрывными фазовыми координатами (со скачками первого рода в точках переключения). Рассмотрены также дальнейшие упрощения задачи для линейных случаев. Во втором разделе исследованы задачи оптимизации динамики пучков траекторий в непрерывных системах с промежуточными условиями на траектории системы. Характерной особенностью таких задач является наличие независимых между собой семейств траекторий, развивающихся в силу заданных систем дифференциальных уравнений. В качестве характеристики пучков траекторий рассматривается минимизация по вектору параметров оптимизации критерия, состоящего из сумм кратных интегралов, определенных в промежуточных точках. При этом точки переключения также могут зависеть от параметров. Получены необходимые условия оптимальности для задачи оптимизации динамики пучков траекторий в системах общего вида с промежуточными условиями, а также для систем с переменной структурой, для которых необходимые условия оптимальности выписываются в более конструктивном виде. Во втором разделе работы рассмотрено также задачу оптимизации динамики пучка в системах с разрывными фазовыми координатами, исследованную в первом разделе. При этом формулы вычисления производных от критерия качества по вектору параметров оптимизации получено на основании доказанных теорем о необходимых условиях оптимальности. Раздел работы посвящен вопросу параметрической оптимизации пучков траекторий в дискретных процессах. Рассмотрено задачу оптимизации пучков траекторий в дискретных процессах общего вида и ряд частных случаев, для которых сформулировано и доказано необходимые условия оптимальности. В третьем разделе рассмотрено также специальную задачу оптимизации пучков траекторий в дискретных процессах, когда присутствуют промежуточные интегральные неравенства. Задачи такого типа возникают при решении реальных экономических проблем, в работе предложено подход к решению задачи формирования оптимального статического портфеля ценных бумаг в условиях неопределенности. В разделе приведены математические постановки задач оптимизации пучка заряженных частиц в ускоряюще-фокусирующих устройствах в терминах задачи параметрической оптимизации пучка траекторий для систем с переменной структурой. Для случая несимметрического ускоряющего поля без учета сил кулоновского взаимодействия получены формулы вычисления производных от критерия качества по вектору параметров оптимизации. Рассмотрены более простые задачи моделирования лишь продольного движения, а также случай с учетом радиальных колебаний в симметрическом поле. В четвертом разделе представлено также созданный программный комплекс и описано его структуру.

Ключевые слова: пучок траекторий, промежуточные условия, параметрическая оптимизация, интегральный критерий качества, пучок заряженных частиц, ускоряюще-фокусирующая система, портфель акций.

VerchenkoDynamic optimization of paths beams with interim conditions.– Manuscript.

Dissertation for pursuing Ph.D degree in the fields of Physics and Mathematics, specialization 01.05.04 – system analysis and optimal decisions theory. – National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2002.

This dissertation examines the problems of parametric optimization of paths beams dynamics in the systems with interim conditions superimposed on the system paths in a certain set of points. For all that, it is necessary to minimize the quality criteria of the integral structure through the optimized vector of parameters. New target settings of such problems were explored for the continuous and discrete cases, new optimal conditions were obtained, and the algorithms for solving them were elaborated. The simulation problem for optimal dynamics of charged particles' beam in accelerating and focusing devices was analyzed in the dissertation. The proposed methodology can also be adjusted to solve a wide range of problems in different fields of human activities, in which system uncertainty is modeled on paths beams. In particular, this work proposes the method of solving the problem of construction of static securities portfolio under uncertainty as a problem of optimization of paths beams in discrete processes.

Key words: path beam, interim conditions, parametric optimization, integral criteria of quality, beam of charged particles, accelerating and focusing device, security portfolio.