Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Вус Андрій Ярославович

УДК 531.01+517.9

ПОТЕНЦІАЛИ ВЗАЄМОДІЇ ІНТЕГРОВНИХ

ЗА ЛІУВІЛЛЕМ БАГАТОЧАСТИНКОВИХ

СИСТЕМ НА ПРЯМІЙ

01.01.01 – математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного моделювання Львівського на-ціонального університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник –

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Підкуйко Сергій Іванович,

доцент кафедри математичного моделювання

Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти –

доктор фізико-математичних наук, професор

Самойленко Валерій Григорович,

завідувач кафедри математичної фізики

Київського національного університету імені Тараса Шевченка

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Микитюк Ігор Володимирович,

доцент кафедри прикладної математики та програмування

Інституту математики та фундаментальних наук

Національного університету "Львівська політехніка"

Провідна установа:

Фізико-технічний інститут імені Б.І. Вєркіна НАН України,

відділ математичного моделювання фізичних процесів.

Захист відбудеться “_21_” _листопада___ 2002р. о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка

за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського на-ціонального університету імені Івана Франка ( вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розіслано “_19_” __жовтня_ 2002р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради _________ Бокало М.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема точного інтегрування рівнянь динаміки – одна з най-більш популярних тем дослідження, починаючи із знаменитих “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687) Ньютона. Основопо-ложною ідеєю в цій проблематиці є загальна ідея симетрії і, як наслідок, пи-тання про існування додаткових інтегралів руху.

Методи, які застосовуються при дослідженні питання про існування інтегралів руху (зокрема, знаходження повного інволютивного набору інтег-ралів), визначаються вибором відповідного функціонального класу, в якому шукаються ці інтеграли. У відповідності з цим говорять про аналітичну або гладку інтегровність (чи неінтегровність) гамільтонових систем.

Нехай є першим інтегралом гамільтонової системи , zM2n, тобто динамічної системи з 2n-вимірним фазовим прос-тором, що описується гамільтоні-аном H=H(x1,x2,.,xn, p1,p2,…,pn) і рівняннями

. (1)

Якщо dF(z0)0 то в деякому околі точки z0M існують такі канонічні ко-ординати x1,x2,...,xn, y1,y2,…,yn, що F(x,y)=y1. Зокрема, локально (за винятком положень рівно-ваги) функцію Гамільтона завжди можна привести до вигляду H(x,y)=y1.

Одним із важливих напрямків дослідження інтегровності динамічних систем є застосу-вання теореми Ліувілля про інтегровність в квадратурах га-мільтонових динамічних сис-тем з повним інволютивним набором перших інтегралів. У роботах М. Хенона, С. Хейле-са, Б. Грамматікоса, Б. Доріцці, А. Рамані, Й. Хіетарінти, на основі безпосереднього по-шуку перших інтег-ралів, що є поліномами невеликого (не вище 6-го) порядку за імпуль-сами, побудовано приклади цілком інтегровних гамільтонових систем, що володі-ють пов-ним набором перших інтегралів в інволюції.

Водночас з безпосередніми методами відшукання перших інтегралів, які були започат-ковані ще Дж. Біркгофом, розвивалась і топологічна теорія га-мільтонових систем. Вияви-лося, що складна структура конфігураційного простору несумісна з повною інтегровністю рівнянь руху відповідної меха-нічної системи. В подальшому завдяки працям І.А. Тай-манова, С.В. Болоті-на, В.В. Козлова, А.Т. Фоменка топологічна теорія гамільтонових систем ін-тенсивно розвивалась як в теоретичних, так і в прикладних аспектах. З ін-шого боку, як показав ще Анрі Пуанкаре, інтегровності гамільтонових сис-тем перешкоджають резонансні явища, пов’язані з руйнуванням інваріант-них резонансних торів при появі збурень. Аналітичний аспект цього явища – проблема малих знаменників. Інші відомі перепони інтегровності рівнянь динаміки, зокрема такі як розщеплення асимптотичних поверхонь та галуження розв’язків у площині комплексного часу, досліджувалися в робо-тах А.М. Ляпунова, В.В. Голубєва, В.В. Козлова, С.Л. Зігліна. Започаткований А.М. Ляпу-новим метод дослідження галуження розв’язків аналітичних диференціальних рівнянь базується на вивченні рівнянь у варіаціях відомих частинних розв’язків. На основі цієї теорії С.Л. Зіглін та Х. Іошіда отримали критерії неінтегровності гамільтонових систем.

Вiдомо, що систему (1) вiдповiдним канонiчним перетворенням можна звести до га-мiльтонової системи, яка негайно iнтегрується. Проте таке канонiчне перетворення не зо-бов'язане бути збiжним. Використовуючи результати дослiджень А. Пуанкаре та Дж. Бiр-кгофа, К.Л. Зiгель довiв щiльнiсть, а пiзнiше масивнiсть неiнтегровних гамiльтонових сис-тем (1) для випадку n=2. С.I. Пiдкуйко узагальнив цi результати на випадок довiльного n.

Один з важливих напрямків дослідження інтегровності динамічних систем пов'язаний із вивченням системи взаємодіючих частинок на прямій, яка описується гамільтоніаном

, (2)

де V(t)– потенціал попарної взаємодії частинок. Вперше така задача для випадку трьох тіл з потенціалом взаємодії V(t)=a/t2 була досліджена Якобі, який показав, що вона є інтегровною. Згодом Ф. Калоджеро, Б. Сазерленд та Ю. Мозер довели інтегровність сис-теми n взаємодіючих частинок з потенціалом у вигляді -функції Вейєрштрасса. За-гальний вигляд перших інтегралів, їх зв'язок з квантовими системами та повна інтег-ровність відповідної квантової системи описано і доведено С.І. Підкуйком. А.М Стьопі-ним та С.І. Підкуйком повністю описано клас потенціалів гамільтонової системи (2), які допускають додатковий перший інтеграл, що перебуває в 'загальному положенні' з гамільтоніаном.

Часто розглядаються системи на прямій, в яких частинки, що їх утворюють, взає-модіють тільки з найближчими сусідами (одновимірні ланцюжки). Динаміка періодичного ланцюжка описується гамільтоніаном:

, , (3)

а 'розірваного' (неперіодичного) – гамільтоніаном:

. (4)

У цих випадках потенціал V не завжди вважається парним .

Для нескінченної кількості частинок на прямій така система була вперше розглянута в 1967 році в роботах японського фізика М.Тоди, який виявив, що в такій ангармонічній гратці можуть поширюватися незатухаючі нелінійні хвилі. Питання повної інтегровності неперіодичного ланцюжка Тоди було розв'язане у працях М. Хенона, Х. Флашки, С.В. Ма-накова, М. Каца та П. ван Мербеке, Ю. Мозера. Нарешті, Б. Костант, М.А. Ольшанецький та А.М. Переломов проінтегрували рівняння руху для неперіодичного випадку явно за допомогою теорії груп. Рівняння руху періодичного ланцюжка були повністю досліджені та проінтегровані в тета-функціях в роботах М. Каца та П. ван Мербеке, І.М. Кричевера, Х.Флашки, С.В. Манакова, А.К. Прикар-патського, В.Г. Самойленка та ін.

З 80-х років активно розвивається ефективний метод інтегрування гамільтонових сис-тем, що грунтується на представленні Лакса. За допомогою зве-дення диференціальних рівнянь руху до матричного вигляду знайдено повні інволютивні набори пер-ших інтегралів як власних значень матриці L для численних задач квантової механіки. Метод оберненої задачі розсіяння, розроблений С. Гарднером, Дж. Гріном, М. Крускалом та Р. Міурою, був переформульований в алгебраїчному вигляді П. Лаксом і застосований початково до нелінійних еволюційних рівнянь в частинних похідних: рівняння Кортевега – де Фріза, нелінійного рівняння Шредінгера і так званого рівняння sine-Гордон. В по-дальшому методика Лакса дослідження пов-ної інтегровності динамічних систем, започат-кована К. Кейсом та М. Ка-цом, широко розвивалася для дискретних аналогів усіх вище-згаданих моделей. Зокрема, Б.А. Дубровін, В.Б. Матвєєв, С.П. Новіков, С.В. Манаков, Ю.А. Березанський, Н.Н. Боголюбов (мол.), А.К. Прикарпатський, В.Г. Самойленко, І.В. Микитюк розвинули застосування методу оберненої задачі розсіяння для різницевих аналогів нелінійних еволюційних рівнянь.

В даний час надалі актуальною є проблема повної інтегровності дина-мічних систем, що описуються гамільтоніанами виду

(5)

у припущенні про існування для них поліноміальних за імпульсами перших інтегралів. Така задача в загальному випадку зводиться до розв’язування систем функціональних рівнянь, кількість яких не є задана наперед. Наступне означення окреслює сферу до-сліджень інтегровних гамільтонових систем:

Означення 1.1. Систему з гамільтоніаном (5) назвемо інтегровною за Біркгофом, якщо вона має поліноміальних за імпульсами інтегралів, старші однорідні форми яких є майже всюди незалежними ( як функції в M2n=(x,p)).

Недослідженими залишились проблеми інтегровності гамільтонових сис-тем взаємоді-ючих частинок з додатковими поліноміальними за імпульсами першими інтегралами не фіксованого наперед степеня. Для всіх згаданих ін-тегровних систем взаємодіючих частинок характерною рисою є існування повного інволютивного набору перших інтегра-лів Fk, k1,…,n, таких що Fk є поліном k-го степеня за імпульсами, до того ж , F2=H. Актуальним є питання про існування інтегровних за Ліувіллем га-мільтонових систем з додатковими поліноміальними за імпульсами першими інтегралами загального вигляду. Дослідження вказаних вище проблем є предметом вивчення в даній дисертаційній роботі.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, вибраний у дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка. Матеріали третього і четвертого розділів є складовою частиною досліджень держбюджетних тем ММ-739Б “Дослідження алгебро-топологічних структур та їх застосування в топології многовидів, функціональному аналізі, комбінато-риці” (номер держреєстрації 0195V009660) та МД-23Б “Побудова математичних моделей та розробка методів дослідження крайових задач для диференціаль-них рівнянь і випад-кових еволюцій” (номер держреєстрації 0100U001411).

Особистий внесок дисертанта в рамках даних тем полягає у проведенні досліджень та описі інтегровних гамільтонових систем взаємодіючих частинок на прямій; вивченні умов існування поліноміальних за імпульсами пер-ших інтегралів; дослідженні розв'язків диференціально-функціональних рівнянь.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження даної роботи є отримання опису класів мероморфних потенціалів для задачі 3 тіл на прямій, що допускають існування додаткового поліноміального першого інтеграла, степінь якого не є фіксований наперед.

Об'єктом дослідження у дисертаційній роботі є диференціальні рівняння для невідо-мих потенціалів взаємодії в задачі n тіл на прямій, що виникають при аналізі додаткових поліноміальних за імпульсами перших інтегралів.

Предметом дослідження є вивчення проблеми інтегровності за Ліувіллем гамільтоно-вих систем, які описують динаміку руху n частинок на прямій з різними типами взаємодії.

Методи досліджень. У дисертаційній роботі використано результати та методи дифе-ренціальних рівнянь, теорії функцій комплексної змінної, рівнянь із частинними похід-ними, функціонального аналізу. Задачі неінтегровності поліноміальних потенціалів зведе-ні до розв'язання відповідних діофантових рівнянь з використанням методів теорії чисел.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано опис класів мероморфних потенціалів для задачі 3 тіл на прямій, що допускають існування додат-кового поліноміального за імпульсами першого інтеграла. Дано умови, за яких лише V(z)=z-2+c0+c2z2+c4z4 або -функція Вейєрштрасса є шуканими потенціалами взаємо-дії.

Повністю досліджена проблема інтегровності гамільтонових систем взаємодіючих трьох тіл на прямій з потенціалом взаємодії V(z)=z-2+P(z), де P– поліном. Доведено класифікаційні теореми, що заперечують можливість іс-нування нових інтегровних за Ліу-віллем систем такого типу.

Розв'язано проблему про інтегровність систем взаємодіючих n тіл на прямій з різними типами взаємодії, що допускають поліноміальні за імпульсами додаткові перші інтеграли і доведено неіснування нових інтегровних гамільтонових систем такого типу.

При одержанні цих результатів розвинено і вдосконалено методику дослідження додаткових поліноміальних за імпульсами перших інтегралів гамільтонових динамічних систем та відшукання розв'язків диференціально-функціональних рівнянь.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають теоретич-ний характер і є певним внеском у побудову загальної теорії інтегровних динамічних сис-тем. Вони можуть бути використані як у подальшому дослідженні динамічних систем, інтегровних за Ліувіллем, так і в загальній теорії симетрій в гамільтоновій механіці та інших розділах сучасної математики.

Особистий внесок здобувача. Викладені в дисертації результати отримані автором самостійно. Науковому керівникові С.І.Підкуйку належить постановка задач та обгово-рення можливих шляхів розв"язування та результа-тів дисертації.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались та обговорюва-лись на Міжнародних наукових конференціях імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 1995 – 1996 рр.), на Міжнародній конференції "Nonlinear Partial Differential Equations" (Львів, 23-29 серпня 1999 р.), на засіданнях науково-го семінару кафедри математичного моделювання Львівського національно-го університету імені Івана Франка (Львів, 1997 – 2000 рр.), на Четвертій Міжнародній конференції “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Київ, 9-15 липня 2001 р.), Міжнародній науковій конференції “Functional Ana and its Applications” (Львів, 28-31 травня 2002 р.). на наукових конферен-ціях Львівского математичного това-риства імені Тараса Шевченка (Львів, 2001 – 2002 рр.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 8 працях. Із них 3 – у наукових жур-налах, 1 – в збірнику наукових праць Інституту математики НАН України, 4 – у матері-алах та тезах конференцій. Серед публікацій – 4 праці у наукових фахових виданнях, що входять до переліку ВАК України.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається із переліку умовних позначень, вступу, п'яти розділів, розбитих на 9 підрозділів, висновків та списку викорис-таних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 138 стор. Список використаних джерел займає 11 сторінок і складається з 126 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі проаналізовано сучасний стан досліджень з теорії інтегровних скінченно-вимірних гамільтонових систем. Обгрунтовано актуальність розглянутих у дисертаційній роботі задач, визначено мету і задачі дослідження, відмічено наукову новизну та прак-тичну значущість отриманих результатів. Зазначено особистий внесок здобувача, апроба-цію роботи та список публікацій здобувача.

У першому розділі проаналізовано стан проблеми на даний час. Викла-дено огляд ре-зультатів, споріднених з проблематикою даної роботи, які отримано іншими авторами, а також коротко сформульовано нові наукові положення, що виносяться на захист.

Другий розділ присвячений дослідженню умов існування додаткового поліноміального за імпульсами першого інтеграла для натуральних гамільтонових систем (тобто систем з гамільтоніанами виду H=T+W(x), для яких T є квадратичною формою за імпульсами) з потенціальною енергією W, що має особливість типу полюса на деякій гладкій поверхні в конфігураційному просторі.

У підрозділі 2.1. запропоновано модель реалізації пружного удару, яка використовує ідею граничного переходу в рівняннях руху динамічної сис-теми.

Нехай – область, обмежена кусково-гладкою кривою . Вважа-тимемо, що в області рухається точка за інерцією зі сталою довільною швидкістю , а при потраплянні траєкторії на межу в точці гладкості межі q відбувається пружне відбивання за законом

v= v2(v,n)n,

де v – новий вектор швидкості після відбивання,

n – вектор внутрішньої нормалі до .

Траєкторії, що попадають в точки зламу кривої , не мають продовження.

Означення 2.1. Побудована динамічна система з фазовим простором називається більярдом Біркгофа. Назвемо більярд Біркгофа інтегровним, якщо існує не-тривіальна ( функціонально незалежна з ) аналітична функція на фазовому просторі, стала на траєкторіях системи.

Наступні результати стосуються реалізації граничного переходу в інтегралах руху і розв'язків системи з гамільтоніаном

, (6)

де потенціал , m>0, та відповідної більярдної системи.

Система (6) називається інтегровною, якщо вона допускає існування інтеграла руху F=F(x,p), функціонально незалежного з H.

Нехай F – поліноміальний за імпульсами перший інтеграл системи з га-мільтоніаном (6). Тоді його можна подати у вигляді

F = F0 +…+ Fn,

де Fk – однорідний k-го степеня поліном за імпульсами p1, p2:

, .

Можна вважати, що перший інтеграл F розкладається в суму однорідних за імпульсами компонент у формі

F =F2N + F2N-2 +…+ F0, (7)

оскільки з вигляду гамільтоніана (6) випливає, що парна і непарна частини F є першими інтегралами даної системи. Крім того, природньо вважати, що F2N не є степенем полінома . Тоді справедлива наступна теорема:

Теорема 2.2. Якщо система з гамільтоніаном (6) допускає поліноміальний за ім-пульсами перший інтеграл, то межа області складається з елементів алгебраїчних кривих I або II порядку.

У другому підрозділі результати попередньої частини з двовимірного випадку уза-гальнюються на випадок багатовимірного конфігураційного простору. Дослідження даної моделі тісно пов'язано з конструкцією старших однорідних за імпульсами компонент у перших інтегралах граничних більярдних систем.

Основними припущеннями щодо досліджуваних систем n взаємодіючих частинок на прямій є їх повна інтегровність за Ліувіллем, тобто існування повного набору перших інтегралів Fk, k1,…,n, F1=H, поліноміальних за імпульсами і функціонально неза-лежних між собою. Для гамільтонових систем з гамільтоніаном у вигляді

(8)

розглянуто умови, коли така система допускає існування додаткового пер-шого інтеграла, поліноміального за імпульсами. В загальному випадку пер-ший інтеграл можна записати у вигляді (7), де кожен доданок

є однорідним -го порядку поліномом за імпульсами з коефіцієнтами виду Ei(x) , які є C(1)- гладкими функціями координат. Справедлива теорема:

Теорема 2.3. Якщо система з гамільтоніаном (8) допускає додатковий перший інтег-рал виду (7), то F2N є першим інтегралом більярду в .

Третій розділ дисертації присвячено дослідженню систем диференціально-функціо-нальних рівнянь для потенціалів взаємодії в задачі трьох тіл на прямій.

У першому підрозділі вивчаються питання симетрії в задачі трьох тіл на прямій, пов'я-зані з інваріантністю рівнянь руху щодо циклічних переста-новок координат. Розглянемо проблему інтегровності за Ліувіллем гаміль-тонової системи взаємодії трьох точкових мас на прямій з гамільтоніаном

, (9)

де , – відповідно координати та імпульси частинок. Якщо F(x,p) є першим інтегралом гамільтонової системи з гамільтоніаном (9), то будемо говорити, що потенціал V допускає перший інтеграл F. Розглядаються потенціали V(t), що задовольняють такі умови:

1) Нуль є особливою точкою для потенціала V(t) (полюс або істотна особлива точка);

2) V(t) – парна функція.

Наступні результати стосуються проблеми інтегровності за Ліувіллем га-мільтонової системи з гамільтоніаном

, (10)

яка відповідає редукції за додатковим першим інтегралом повного імпульсу в задачі взаємодіючих трьох точкових мас на прямій з гаміль-тоніаном (9). Введемо позначення

величини визначаються аналогічно.

Надалі використовуватимемо також наступне позначення: якщо маємо дея-кий поліном за імпульсами , то

, .

Для довільного однорідного степеня k полінома за імпульсами

введемо позначення

. (11)

Розглянемо умову тотожньої (на фазовому просторі) рівності нулю дуж-ки Пуассона , де H має вигляд (10), F має вигляд (7). Переписавши її у вигляді системи рівнянь

,

і використовуючи (11), одержимо

, . (12)

Якщо існує функція з розглядуваного класу функцій, яка не задоволь-няє рівняння (11), то співвідношення (12) називатимемо нетривіальним.

Означення 3.1. Нетривіальні співвідношення (12) будемо називати те-оремами дода-вання.

Множину всіх розглядуваних перших інтегралів поділимо на три групи за критерієм, який базується на конструкції коефіцієнтів однорідної за ім-пульсами компоненти першого інтеграла (7):

Означення 3.2. Будемо називати перший інтеграл F інтегралом І типу, якщо всі є константами, до того ж F2N не є степенем полінома (умова незалежності F з інтегралом енергії ). У випадку, якщо при-наймні один з коефіцієнтів не є константою і , то F нази-ватимемо інтегралом ІІ типу. Якщо хоча б один з коефіцієнтів не є константою і , то F називатимемо інтегралом ІІІ типу.

У підрозділі 3.2 одержано диференціально-функціональні рівняння для потенціалів взаємодії для різних типів перших інтегралів.

Теорема 3.3. Якщо система з гамільтоніаном (10) допускає інтеграл ІІ типу, то потенціал взаємодії V є раціональною функцією.

Теорема 3.4. Якщо система з гамільтоніаном (10) допускає додатковий інтеграл І типу, то співвідношення (12) є нетривіальним при i=2, а по-тенціал V задовольняє диференціально-функціональне рівняння

M(V)=0

де – однорідний поліном за імпульсами, .

При розгляді перших інтегралів третього типу введемо позначення =x2p1-x1p2 і для однорідного 2k-го степеня за координатами многочлена виду означимо диференціальний оператор

(13)

Теорема 3.5. Нехай система з гамільтоніаном (10) допускає існування першого інтеграла зі старшою однорідною за імпульсами компонентою

,

де degGk=2N-2k-6.

Тоді потенціал V(z) є розв’язком диференціально-функціонального рівняння

,

де диференціальні оператори M(k) визначено за допомогою (13).

Четвертий розділ присвячено вивченню диференціально-функціональних рівнянь для потенціалів взаємодії в задачі трьох взаємодіючих тіл на прямій.

У підрозділі 4.1 досліджується питання про типи можливих особливих точок потенціа-лів, які є розв'язками теорем додавання, одержаних у третьому розділі. Наступна теорема описує порядок полюса інтегровного мероморфного потенціала взаємодії в околі нуля:

Теорема 4.1. Нехай система з гамільтоніаном (10) допускає поліномі-альний за ім-пульсами перший інтеграл, функціонально незалежний з інтег-ралом енергії H, і V(z) z

при z0. Якщо <0, то =-2.

Лема 4.1. Якщо виконуються припущення теореми 4.1, то потенціал взаємодії у вигляді V(z)=z є також інтегровний.

Наступна теорема підтвержує, що якщо потенціал V(z) має в нулі ізо-льовану особливу точку, то ця особлива точка є полюсом.

Теорема 4.2. Нехай система з гамільтоніаном (10) допускає додатковий поліно-міальний за імпульсами перший інтеграл. Тоді потенціал V(z) не може мати в околі нуля істотної особливої точки.

У підрозділі 4.2 розглянуто питання про існування інтегровних потен-ціалів взаємодії у вигляді раціональної функції. Як стверджує теорема 3.3, такі перші інтеграли виникають при дослідженні перших інтегралів ІІ типу. Основним результатом цього підрозділу є

Теорема 4.3. Нехай гамільтонова система з гамільтоніаном (10) допус-кає додатко-вий поліноміальний за імпульсами перший інтеграл і V(t)– ра-ціональна функція. Тоді потенціал взаємодії V(t) має вигляд

,

де P – поліном, c – деяка константа.

Наслідок 4.2. Якщо потенціал взаємодії V(z) в інтегровній гамільтоновій системі з гамільтоніаном (4.1) має відмінний від нуля полюс, то він є пері-одичною функцією.

Третій підрозділ четвертого розділу присвячено дослідженню інтегров-них потенціалів задачі трьох тіл на прямій, що є періодичними функціями. Згідно з наслідком 4.2, такі потенціали виникають в припущенні про існу-вання для них полюса, відмінного від нуля. Cпочатку розглянуто деякі влас-тивості інтегровних потенціалів взаємодії, що задоволь-няють такі умови:

1) + C(t), де C(t) – нескіненно диференційовна в ;

2)

Теорема 4.4. Нехай гамільтонова система з гамільтоніаном (10) допус-кає додат-ковий інтеграл І типу і потенціал взаємодії V(t) задовольняє умови 1), 2). Тоді , де c – деяка константа.

Далі у цьому підрозділі описано множину інтегровних періодичних по-тенціалів V(t), які мають полюс в нулі. Як показано в підрозділі 4.2, такі потенціали виникають за умови існування для потенціалу взаємодії V(t) до-даткового полюса, відмінного від нуля. Розглянуто такі два випадки:

Випадок 1. Потенціал взаємодії є двоякоперіодична функція з періодами 1, 2 і граткою полюсів вигляду . Тоді функція

є цілою, двоякоперіодичною, тому вона рівна деякій константі. Отримана

функція V(z) співпадає з потенціалом в задачі взаємодіючих частинок, розглянутим Ф. Ка-

лоджеро.

Випадок 2. Функція V(z) є періодична з одним періодом. Оскільки для до-вільного потенціал V(z) також інтегровний, то без обмеження за-гальності можна вважати, що її період T=i. Тоді потенціал V(z) можна подати у вигляді

, (14)

де f(z) – деяка ціла, i -періодична функція.

Теорема 4.6. Якщо потенціал (14) допускає додатковий поліноміальний за імпульсами перший інтеграл, то функція f(z) є многочленом за ez, e-z.

Отже, інтегровний періодичний потенціал має вигляд

, . (15)

Наступна теорема уточнює вигляд інтегровного потенціала взаємодії (15).

Теорема 4.7. Якщо потенціал допускає додатковий поліномі-альний за імпульсами перший інтеграл, то .

У п'ятому розділі дисертації розглянуто необхідні умови інтегровності гамільтонових систем тіл на прямій.

У підрозділі 5.1 досліджено задачу тіл на прямій з потенціалом по-парної взаємодії у вигляді многочлена. Розглянуто одновимірну задачу тіл, яка описується гаміль-тоніаном (2), де потенціал взаємодії має ви-гляд

, .

Основним результатом підрозділу 5.1 є опис інтегровних раціональних по-тенціалів задачі n тіл на прямій.

Теорема 5.4. Задача n взаємодіючих точкових мас на прямій з потенці-алом попарної взаємодії V(z)=z-2+P(z) є інтегровною в квадратурах лише у двох випадках:

1) n=3 і

2) n>3 і

У підрозділі 5.2 на базі методики, запропонованої в підрозділі 5.1, одер-жано анало-гічні результати для задачі n тіл на прямій з потенціалом взає-модії найближчих сусідів. Відповідний гамільтоніан має вигляд

, (16)

, i=1,…,n.

У випадку =0 гамільтонова система (16) називається незамкненим (неперіодичним) лан цюжком взаємодіючих частинок, а при =1 – замкненим (періодичним) ланцюжком. Наступні результати присвячені проблемі повної інтегровності за Ліувіллем таких дина-мічних систем за умови, що потенціал взаємодії має вигляд V(t)=tm, m>2 – парне число.

Теорема 5.6. 'Замкнений ланцюжок' n+1 точок на прямій з потенці-алом взаємодії V(t)=tm неінтегровний при m>2, n>2.

Теорема 5.7. 'Незамкнений ланцюжок' n+1 точок на прямій з потенціалом взаємодії V(t)=tm при m>2 є неінтегровним.

ВИСНОВКИ

В дисертації дано вирішення проблеми інтегровності за Ліувіллем га-мільтонових сис-тем взаємодіючих n тіл на прямій з різними типами взає-модії, що володіють додатко-вими поліноміальними за імпульсами першими інтегралами. Методи, які застосовуються при дослідженні питання про існування інтегралів руху (зокрема, знаходження повного інволютивного набору інтегралів), визначаються вибором того чи іншого функціональ-ного класу, в якому шукаються ці інтеграли. Основні результати дисертації істотно роз-ширюють і доповнюють відомі результати стосовно інтегров-ності багаточастинкових за-дач на прямій з додатковими поліноміальними за імпульсами першими інтегралами. У ди-сертаційній роботі вперше:

·

·

·

·

Результати роботи мають теоретичний характер. Вони можуть стати джерелом нових задач в теорії інтегровних натуральних систем. Їх можна використати при подальших дослідженнях інтегровних за Ліувіллем га-мільтонових динамічних систем з додатковими поліноміальними за імпуль-сами першими інтегралами, а також в конкретних багато-частинкових сис-темах, моделями яких є розглянуті в дисертації задачі.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

АНОТАЦІЯ

Вус А.Я. Потенціали взаємодії інтегровних за Ліувіллем багаточастин-кових систем на прямій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матема-тичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2002.

У дисертації досліджується інтегровність за Ліувіллем гамільтонових динамічних систем для випадку багаточастинкових систем на прямій з різ-ними типами взаємодії. В роботі встановлено зв'язок між існуванням до-даткових поліноміальних за імпульсами перших інтегралів та диференці-ально-функціональними рівняннями для невідомих потенціалів взаємодії. Досліджено класи мероморфних потенціалів взаємодії, що допускають іс-нування додаткових поліноміальних перших інтегралів, та дано вичерпний опис інтегровних гамільтонових систем вказаного вигляду.

Ключові слова: гамільтонова динамічна система, більярдна система, ін-тегровність за Ліувіллем, перший інтеграл, геодезійний потік, принцип Мо-пертюї, теорема додавання, функція Вейєрштрасса.

ABSTRACT

Vus А. Ya. Interaction potentials of Liouville integrable many-particle sys-tems on the line. – Manuscript.

The thesis for obtaining the scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical sciences on speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – Lviv National Ivan Franko UniverLviv, 2002.

In the thesis the problems of the Liouville integrability of Hamiltonian dynasystems are considered for the many-particle systems on the line with vari-ous types of interaction. The relation between the existence of the additional first integrals polynomial in the momenta and differential-functional equations for the unknown potentials is established. We investigate the types of meromorphic in-teraction potentials admitting additional first integrals, polynomial in the moThe exhaustive description of integrable Hamiltonian systems of designaform is obtained.

Key words: Hamiltonian dynamical system, billiard system, Liouville integ-rability, first integral, geodesic flow, Mopertuis principle, addition theorem, Weierstrass function.

АННОТАЦИЯ

Вус А.Я. Потенциалы взаимодействия интегрируемых по Лиувиллю многочастичных систем на прямой. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математи-ческих наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Львов-ский национальный универси-тет имени Ивана Франко, Львов, 2002.

В диссертацинной работе исследуется проблема интегрируемости по Лиувиллю много-частичных систем на прямой с разными типами взаимо-действия. Исследованы классы мероморфных потенциалов взаимодействия, которые допускают существование дополни-тельных полиномиальних по импульсам первых интегралов. Доказаны классификацион-ные теоремы, от-рицающие возможность существования новых интегрируемых по Лиу-виллю систем такого типа. Основными предположениями для исследуемых систем n взаимодействующих частиц на прямой является их интегрируемость по Биркгофу, т.е. полная интегрируемость по Лиувиллю в смысле существо-вания полного набора первых интегралов Fk, k1,…,n, F1=H, полино-миальных по импульсам.

В первом разделе дан обзор работ, посвященных вопросам интегрируе-мости гамильтоновых систем взаимодействующих частиц на прямой, а так-же сформулированы основные результаты диссертации.

Во втором разделе рассмотрены условия существования дополнительных полиноми-альных по импульсам первых интегралов для гамильтоновых ди-намических систем с потенциальной энергией, обладающей особенностью типа полюса на гладкой поверхности в конфигурационном пространстве. Исследования модели реализации упругого удара тесно связано с конст-рукцией главных компонент в полиномиальных первых интегралах предель-ных биллиардных систем.

В третьем разделе исследованы вопросы симметрии гамильтоновой сис-темы, описыва-ющей динамику взаимодействующих 3 частиц на прямой. Установлена классификация до-полнительных первых интегралов в зависи-мости от вида старших однородных по импуль-сам компонент первого ин-теграла и получены дифференциально-функциональные урав-нения на неиз-вестные потенциалы взаимодействия.

Четвертый раздел диссертации посвящен исследованию решений диффе-ренциально-функциональных уравнений на неизвестные мероморфные по-тенциалы взаимодействия. Установлен порядок полюса для потенциалов, являющихся решениями соответствующих теорем сложения. Приведены ус-ловия существования дополнительного полиномиального по импульсам пер-вого интеграла в случае, когда потенциал попарного взаимодействия частиц является дробно-рациональной функцией и поставлен вопрос о максималь-ном порядке потенциала в виде многочлена.

Получены возможные интегрируемые потенциалы взаимодействия, кото-рые в частных случаях совпадают с известными потенциалами систем Кало-джеро-Мозера и могут рас-сматриваться как их непосредственные обобще-ния. Проблема существования интег-рируемых периодических потенциалов взаимодействия приведена к изучению классичес-кой интегрируемой систе-мы с потенциалом в виде -функции Вейерштрасса.

В пятом разделе диссертации установлены необходимые условия интег-риуемости гамильтоновых систем взаимодействующих n частиц на прямой для случая попарного взаимодействия и для цепочек с взаимодействием ближайших соседей в случае потенци-ала в виде многочлена. Эти задачи сведены к вопросу о существовании решений соот-ветствующих диофанто-вых уравнений. Получены классификационные теоремы, отрицаю-щие воз-можность существования новых интегрируемых по Лиувиллю многочастич-ных систем рассматриваемого вида.

Ключевые слова: гамильтонова динамическая система, биллиардная система, интег-рируемость по Лиувиллю, первый интеграл, геодезический поток, принцип Мопертюи, теорема сложения, функция Вейерштрасса.

Підписано до друку 3.10.2002 р. Формат 60х90/16.

Папір офсетний. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 1.0. Наклад 100.

Надруковано у Національному університеті “Львівська політехніка”

79013, м. Львів, вул. Ст. Бандери, 12