Київський національний університет
імені Тараса Шевченка

ВАСІЛЬЄВА Віра Олександрівна

УДК 519.112.4, 519.116

РОЗКЛАДНІСть ГРУП
та однорідних просторів

01.01.08 — математична логіка, теорія алгоритмів
і дискретна математика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі дослідження операцій Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Протасов Ігор Володимирович,

Київський університет імені Тараса Шевченка

Професор кафедри дослідження операцій

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Левитська Аліна Олександрівна,

Міжнародний Соломонів університет,

професор кафедри комп`ютерних наук

доктор фізико-математичних наук, доцент

Банах Тарас Онуфрійович,

Львівський національний університет імені
Івана Франка Міністерства освіти і науки України,

доцент кафедри алгебри і топології

Провідна установа: Одеський національний університет імені
І.І. Мечникова, кафедра алгебри і теорії чисел
(м. Одеса)

Міністерства освіти і науки України

Захист відбудеться “ 13 ” червня 2002 року о 1400 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 04127, м, Київ, проспект академіка Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано “ 28 ” березня 2002 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради________________В.В.Плахотник

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Розвиток комбінаторної теорії розбиттів розпочався у 1916 році, коли І. Шур довів таку теорему: для кожного скінченного розбиття множини натуральних чисел =A1…Am знайдуться підмножина Aі та числа x, y Aі такі, що x+yAі. У 1927 році Б. Л. ван дер Варден довів знамениту теорему про арифметичні прогресії: якщо множину натуральних чисел розбити на скінченне число підмножин, то принаймні одна з підмножин розбиття буде містити арифметичні прогресії якої завгодно скінченної довжини. У 1930 році Ф. П. Рамсей у статті з математичної логіки довів наступну теорему. Нехай k, m — довільні натуральні числа. Якщо родину усіх к-елементних підмножин множини натуральних чисел розбити на m частин, то знайдеться нескінченна підмножина А, усі k-елементні підмножини якої належать одній підмножині розбиття. Природа теореми Рамсея є виключно комбінаторною. Цей результат є настільки важливим, що комбінаторна теорія розбиттів зазвичай називається теорією Рамсея. Комбінаторній теорії розбиттів присвячені також роботи Р. Радо, Е. Халеса, Р. Джеветта, П. Ердьоша, Р. Л. Грехема, Н. Хайндмена та ін.

Поняття розкладності топологічних просторів визначив Е. Х’юїтт ще в 1943 р. Систематичне дослідження топологічних груп з точки зору їх розкладності або нерозкладності розпочалося з роботи В.В. Комфорта і Дж. ван Мілла, в якій доведена розкладність будь-якої недискретної абелевої групи зі скінченним числом елементів порядка 2, а також поставлено ряд проблем. Завдяки поняттю абсолютно розкладної групи, яке було визначене Комфортом і ван Міллом, з’явився новий напрямок в теорії розкладності. Підмножина D групи G називається абсолютно щільною, якщо вона є щільною в будь-якій недискретній топології на G. Група називається абсолютно k-розкладною, якщо її можна розбити на k абсолютно щільних підмножин. Завдяки цьому поняттю проблематика розкладності груп, окрім тополого-алгебраїчного, набула нетривіального комбінаторного забарвлення. Абсолютній розкладності та абсолютній 0-розкладності груп присвячені роботи І.В. Протасова та Є.Г. Зеленюка.

Плідним об’єктом дослідження виявився клас цілком обмежених груп. Вивченню розкладності таких груп присвячені роботи Комфорта, ван Мілла, І.В. Протасова, В.І. Малихіна та ін. Топологічна група (G,) називається цілком обмеженою, якщо для будь-якої відкритої підмножини U знайдеться така скінченна підмножина KG, що G=KU. В термінах великих множин це означає: топологічна група (G,) називається цілком обмеженою, якщо кожна відкрита підмножина (G,) є великою. Таким чином, розкладність цілком обмеженої топологічної групи означає існування розбиття на підмножини, кожна з яких має непорожній перетин з будь-якою великою підмножиною.

Крім того, в теорії розкладності груп можна виділити напрямок, пов’язаний з асиметрично розкладними групами (І.В. Протасов, Т.О. Банах та ін.). Нескінченна абелева група G називається асиметрично розкладною, якщо існує таке розбиття групи G на дві підмножини А1 та А2, що (g+S)A1 та (g+S)A2 для довільного елемента gG та довільної нескінченної симетричної підмножини SG. Підмножина S є симетричною, якщо S=-S.

Викладені факти свідчать про актуальність теми.

Наведені результати вкладаються у загальну схему. Нехай Х — множина, — деяка родина її підмножин. Підмножина АХ називається -щільною, якщо FA для будь-якої непорожньої підмножини F. Підмножина А називається -кощільною, якщо Х\А є -щільною підмножиною.

Нехай n — фіксований кардинал. Множина Х називається n-розкладною відносно родини , якщо Х можна розбити на n -щільних підмножин. В хроматичній термінології множина Х є n-розкладною відносно родини , якщо Х можна розфарбувати в n кольорів так, що кожна непорожня підмножина F містить точки усіх n кольорів. Кожна n-розкладна підмножина є n-розкладною для всіх кардиналів nn. Супремум множини кардиналів n, для яких множина Х є n-розкладною відносно родини , називається індексом розкладності Х відносно . Як правило, замість терміну “2-розкладність” вживають термін “розкладність”.

Множина Х називається n-корозкладною відносно родини , якщо Х можна розбити на n -кощільних підмножин. В хроматичній термінології множина Х є n-розкладною відносно родини , якщо Х можна розфарбувати у n кольорів так, щоб не було однокольорових підмножин з родини . Кожна n-розкладна множина є n-розкладною для всіх кардиналів nn. Інфімум множини кардиналів n, для яких множина Х є n-корозкладною відносно родини , називається індексом корозкладності Х відносно . Замість терміну 2-корозкладність” вживають термін “корозкладність”. Зауважимо, що кожна множина, розкладна відносно родини , є корозкладною відносно .

Зв`язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов`язана з науковими дослідженнями кафедри дослідження операцій Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Робота виконана у відповідності до завдань науково-дослідної роботи (НДР) 97054 “Розробка статистичного аналізу марківських процесів. Вивчення топології на групах” (номер державної реєстрації 0197U014611).

Мета і задачі дослідження. Визначити або оцінити індекси розкладності та корозкладності груп та однорідних просторів відносно родин підмножин, визначених алгебраїчними умовами (родини n(G), (G), {g+X+X, gG, X — нескінченна підмножина групи G}) та тополого-алгебраїчними умовами (родини топологій з неперевними зсувами та відображеннями xmx, m, родини великих підмножин).

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі автором отримані нові теоретичні результати, зокрема

побудовані розбиття абелевої групи на підмножини, щільні відносно родин n(G), (G). Ці розбиття заповнюють промжок мж розбиттям групи на абсолютно щільні підмножини та розбиттям на асиметричні підмножини.

для широкого класу абелевих груп визначено або оцінено індекси корозкладності відносно родини підмножин {g+X+X, gG, X — нескінченна підмножина групи G}.

досліджено розкладність груп відносно родини великих підмножин; за допомогою отриманих результатів доведено, що при певних обмеженнях цілком обмежений однорідний простір є максимально розкладним.

для широкого класу абелевих груп визначено індекси розкладності відносно родин топологій з неперевними зсувами та відображеннями xmx, m і отримана відповідь на питання, поставлене І.В. Протасовим і Д. Страус.

Всі ці результати одержано вперше.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Результати можуть бути застосовані в подальших дослідженнях в теорії Рамсея та в комбінаторній теорії груп.

Особистий внесок здобувача. Теореми 3.3.1, 5.1.1, 5.1.4, 5.1.5 отримані дисертантом у співавторстві з науковим керівником. Усі інші наукові результати одержані здобувачем особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на ІІ міжнародній алгебраїчній конференції в Україні, присвяченій пам’яті професора Л.А. Калужніна (м. Вінниця, 1999 р.), на VIII міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 2000 р.), на семінарах по теорії груп при кафедрі алгебри і математичної логіки механіко-математичного факультету Київського університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у роботах
[1-8], з яких [1-4] — у виданнях з переліків, затверджених ВАК України.

Структура та об`єм дисертації. Дисертація складається із вступу, п`яти розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Другий, третій і четвертий розділи складаються з трьох підрозділів, п`ятий — з чотирьох підрозділів.

Основний зміст

В першому розділі дисертації наведено огляд праць, присвячених комбінаторній теорії розбиттів та розкладності груп відносно родин абсолютно щільних підмножин, великих підмножин, симетричних підмножин.

У другому розділі викладено допоміжні результати, які використовуються при доведенні тверджень дисертації.

У розділі 3 досліджується розкладність та корозкладність груп відносно родин підмножин n(G) , (G), {g+X+X, де g — довільний елемент групи G, Х — її нескінченна підмножина}, де n(G)—родина підмножин вигляду {g+: gG, X нескнченною пдмножиною G}; (G)—родина пдмножин вигляду , де Ann(G).

Підрозділ 3.1 присвячено дослідженню можливості існування певних послідовностей в одній з підмножин довільного розбиття множини натуральних чисел.

3.1.2. Твердження. Нехай множину натуральних чисел розбито на дві підмножини = A1A2. Тоді знайдеться натуральне число n, яке є початковим членом нескінченного числа арифметичних прогресій довжини 3, що цілком містяться в одній підмножині розбиття.

Проте, це твердження не виконується вже для 3-розбиттів множини :

3.1.3. Твердження. Існує таке 3-розбиття множини натуральних чисел =A1A2A3, що з кожного натурального числа починається лише скінченна кількість арифметичних прогресій довжини 3, які містяться в одній підмножині розбиття.

Доведено, що в будь-якому 2-розбитті множини натуральних чисел принаймні одна з підмножин містить послідовність

, (1)

де всі аі — парні числа (твердження 3.1.5). Це твердження пов`язане з відомою проблемою Овінгса [Owings J. Problem E2494 // Amer. Math. Monthly. — 1974. — V.81. — Р. 902]: Множину натуральних чисел пофарбовано двома кольорами. Чи існує така зростаюча однокольорова послідовність a1, a2, ..., an, ... парних чисел, що всі числа , i<j того ж кольору, що і члени послідовності a1, a2, ..., an, ... .

В твердженні 3.1.6 вказане 3-розбиття множини натуральних чисел =A1A2A3, в якому не існує послідовностей вигляду (1), що належать одній підмножині розбиття. Це розбиття будується так: зафіксуємо дійсне число 1 і розіб`ємо множину 1={x, x1} наступним чином: 1=A1A2A3,

де A1=, A2=, A3=, .Покладемо: =В1В2В3, де B1=A1, B2=A2, B3=A3.

Деякі результати цього розділу (твердження 3.1.2, твердження 3.1.3) використовуються в доведеннях теорем підрозділу 3.2.

В підрозділі 3.2 для широкого класу абелевих груп вказані індекси корозкладності відносно родини підмножин {g+X+X, де g — довільний елемент групи G, Х — її нескінченна підмножина}.

3.2.1. Теорема. Вільна абелева група зліченного ранга є 3-корозкладною відносно родини {g+X+X: gG, X — нескінченна підмножина G}.

3.2.4. Теорема. Зліченна періодична абелева група без елементів порядка 2 є 3-корозкладною відносно родини {g+X+X: gG, X — нескінченна підмножина G}.

3.2.5. Теорема. Нехай G — зліченна періодична абелева група без елементів порядка 2, (G) — множина простих дільників порядків елементів групи G. Якщо (G) не містить чисел 22k+1-1, k {1, 2, …}, тоді група G є корозкладною відносно родини {g+X+X: gG, X — нескінченна підмножина G}.

Важливе значення має наступна факторизаційна теорема.

3.2.7. Теорема. Якщо підгрупа Н абелевої групи G є m-корозкладною відносно родини {g+X+X: gG, X — нескінченна підмножина G}, а фактор-група G/H є n-корозкладною відносно родини {g+H+(X+H)+(X+H): gG, X — нескінченна підмножина G}, тоді група G є mn-корозкладною відносно родини {g+X+X: gG, X — нескінченна підмножина G}.

За допомогою теореми 3.2.7 встановлено, що для групи без скруту скінченного ранга індекс корозкладності відносно вказаної родини підмножин є скінченним.

3.2.9. Теорема. Нехай G — нескінченна абелева група, n, r — натуральні числа. Для будь-якого r-розфарбування групи G знайдуться такі підмножина XG, X=n та елемент gG, що підмножина g+X+X є -однокольоровою.

В підрозділі 3.3 досліджується розкладність нескінченних абелевих груп відносно родин підмножин n(G) та (G). Розкладність групи відносно родини n(G) є поняттям, проміжним між поняттями абсолютної розкладності та асиметричної розкладності групи. Дійсно, кожна підмножина

Fn(G)={g+: gG, X нескнченною пдмножиною G}

є симетричною, і кожна відкрита підмножина в будь-якій груповій топології на G містить підмножину F1(G). Таким чином, кожна асиметрично розкладна група є розладною відносно родини n(G), а група G розкладна відносно родини 1(G) є абсолютно розкладною групою.

Теорема 3.3.1. Нехай G — злченна абелева група без елементв порядку 2 та нехай n — натуральне число. Тод сну розбиття G=A0...An на n(G)-щльн пдмножини A0,...,An.

Теорема 3.3.2. Нехай G — злченна абелева група без елементв порядку 2 та нехай (G) — родина пдмножин вигляду , де Ann(G). Тод G -розкладною вдносно родини (G).

Для незліченних груп встановлено такий факт:

3.3.4. Теорема. Кожну незлченну абелеву групу G можна розкласти на злченне число пдмножин G= так, що для кожного елементу gG, кожного натурального числа m та кожно незлченно пдмножини XG сну натуральне число n, таке що

g+Am.

Теорема 3.3.5. Кожна абелева група G без елементв скнченного порядку -розкладною вдносно родини {g+H: gG, H нескнченною пдгрупою G}.

В розділі 4 досліджується розкладність груп відносно родини топологій з неперервними зсувами і неперервним відображенням xmx, m, m0, m1. Розглядається проблема Протасова-Страус: чи можна нескінченну абелеву групу G зі скінченною підгрупою {gG: m(m–1)g=0}, де m — ціле число, m0, m1, розбити на зліченне число підмножин, щільних у будь-якій недискретній топології на G з неперервними зсувами xx+g, gG і неперервним відображенням xmx? Це розбиття має не залежати від вибору топології, тобто бути придатним для довільної топології з родини топологій, що мають відповідні властивості.

В цьому розділі одержано позитивну відповідь на поставлене запитання для досить широких класів груп.

4.1.2. Теорема. Нехай G – вільна група, m – ціле число, m>1. Існує розбиття групи G на зліченне число частин, щільних у будь-якій топології з неперервними зсувами xxg, gG та неперервним відображенням xxm.

В підрозділі 4.2 доведено, що верхня грань цілком обмеженої групової топології та недискретної топології з неперервними зсувами на довільній групі є недискретною топологією (теорема 4.2.1).

4.2.1. Теорема. Нехай – цілком обмежена групова топологія на групі G, а – недискретна топологія на G, в якій неперервні всі зсуви xx+g, gG. Тоді UV{0} для будь-яких околів нуля в топологіях та відповідно.

Є. Г. Зеленюк довів, що кожну зліченну абелеву групу зі скінченним числом елементів порядку 2 можна розбити на зліченне число підмножин, щільних у будь-якій недискретній груповій топології [Разложимость топологических групп // Укр. мат. журн. 1999. Т.51 № 1. С.41-47]. За допомогою теореми 4.2.1 в підрозділі 4.3 доведено наступне узагальнення теореми Зеленюка:

4.3.1. Теорема. Зліченну абелеву групу G зі скінченним числом елементів порядку 2 можна розбити на зліченне число підмножин, щільних у будь-якій недискретній топології на G з неперервними зсувами і неперервним відображенням x–x.

Для окремих класів зліченних груп запропоновані нові ефективні конструкції розбиттів. Для прямої суми G=nGn скінченних абелевих груп без елементів порядку 2 побудоване розбиття на підмножини, щільні в будь-якій недискретній топології на G з неперервними зсувами і неперервним відображенням x–x (приклад 4.3.2). Розбиття на підмножини з такими ж властивостями побудоване для зліченної абелевої групи G, в якій існує спадний ланцюжок підгруп G=G0G1...GnGn+1..., такий що ={0}, фактор-група Gn/Gn+1 скінченна і непарного порядку для будь-якого n (приклад 4.3.3). Для прямої суми G скінченного числа квазіциклічних p-груп вказано розбиття на підмножини, щільні у будь-якій недискретній топології на G з неперервними зсувами і неперервним відображенням xpx (приклад 4.3.4). Для цієї ж групи вказано розбиття на зліченне число підмножин, щільних у будь-якій недискретній топології на G з неперервними зсувами і неперервним відображенням xmx, де m — ціле число, взаємно просте з p (приклад 4.3.5).

В розділі 5 вивчається розкладність груп та однорідних просторів відносно родини великих підмножин. В підрозділі 5.1 доведено, що кожна нескінченна група є -розкладною відносно родини великих підмножин (теорема 5.1.1). Встановлено: якщо G — аменабельна група, тоді G/H не можна розбити на незліченне число великих підмножин (теорема 5.1.2).

5.1.2. Теорема. Нехай G — аменабельна група і нехай Н — її підгрупа. Якщо існує розбиття G/H на великих підмножин, тоді 0.

5.1.5. Теорема. Нехай G — група, F, A1,..., An — такі підмножини групи G, що

G=F(A1...An)

та Fm, 1m<. Тоді існують індекс i{1,...,n} та скінченна підмножина KG, такі що

G=KAiAi-1 та Kfn(m),

де fn(m) визначається рекурентною формулою

f1(m)=m, fn+1(m)=fn(m+m2).

В підрозділі 5.2 застосована модифікація метода експансивних послідовностей, розробленого І.В. Протасовим [Protasov I., Zelenyuk E., Topologies on Groups Determined by Sequences — Lviv, Math. Studies Monograph Series, VNTL. —1999. — Vol. 4.].

Нехай G — група, Н — її підгрупа. Послідовність <Fn>n< скінченних підмножин групи G називається G/H-експансивною, якщо

для кожної великої підмножини VG/H існує номер m<, такий що FnHV для кожного nm,

родина {FnH: n<} є диз`юнктною.

Встановлено, що при деяких припущеннях в зліченній групі G існує G/H-експансивна послідовність скінченних підмножин (теорема 5.2.2).

5.2.2. Теорема. Нехай Н — підгрупа зліченної групи G та G/H=0. Тоді існує G/H-експансивна послідовність <Fn>n< скінченних підмножин групи G.

Ця теорема має важливий наслідок:

5.2.3. Наслідок. Нехай Н — підгрупа зліченної групи G і G/H=0. Тоді G/H можна розбити G/H= так, що кожна підмножина (G/H)\An, n< є невеликою. Зокрема, G/H можна розбити на дві невеликі підмножини.

Нехай Н — підгрупа групи G, — кардинал. Скажемо, що підмножина VG/H є -великою, якщо існує підмножина KG така, що G/H=KV та K<. При такому означенні кожна велика підмножина є 0-великою. Скажемо, що підмножина AG/H є -невеликою, якщо А не є -великою.

Нехай Н — підгрупа групи G, нехай , — кардинали. -послідовність <F>< підмножин групи G називається (G/H,)-експансивною, якщо

для кожної -великої підмножини VG/H існує кардинал < такий, що FHV для усіх ,

F< для кожного <,

родина {FH: <}є диз`юнктною.

У випадку ==0 ми отримаємо означення G/H-експансивної послідовності скінченних підмножин групи G.

Доведено, що при деяких припущеннях щодо потужності фактор-простору G/H існує (G/H,)-експансивна послідовність підмножин групи G, де =cf (теорема 5.2.5).

5.2.5. Теорема. Нехай Н — підгрупа групи G така, що G=G/H. Припустимо, що =G— нескінченний кардинал, і позначимо =cf конфінальність . Тоді існує (G/H,)-експансивна -послідовність <F>< підмножин групи G.

5.2.6. Наслідок. Нехай Н — підгрупа групи G така, що G=G/H. Нехай =G — нескінченний кардинал, =cf. Тоді існує розбиття G/H=, таке що кожна підмножина (G/H)\A є -невеликою. Зокрема, G/H можна розбити на дві -невеликі підмножини.

В підрозділі 5.3 досліджується зв’язок між однорідними просторами і лівотопологічними групами. Встановлено, що кожний однорідний простір є гомеоморфним фактор-простору G/H деякої лівотопологічної групи (G,) по деякій підгрупі HG (теорема 5.3.1). Крім того, якщо Х є Т1-простором, то підгрупу Н можна вибрати замкненою і дискретною.

Підрозділ 5.4 присвячено дослідженню максимальної розкладності цілком обмежених однорідних просторів. Встановлено, що при деяких припущеннях нескінченний цілком обмежений однорідний простір є максимально розкладним (теорема 5.4.2, теорема 5.4.3).

Нехай Х — однорідний простір та нехай G — група гомеоморфізмів Х, що діє транзитивно на Х. Скажемо, що Х є G-цілком обмеженим, якщо для кожної відкритої підмножини VX існує скінченна підмножина KG, така що X=K(V), де K(V)=.

Топологічний простір Х називається максимально розкладним, якщо Х є (Х)-розкладним, де (Х)=min {U: U — відкрита непорожня підмножина Х}— дисперсійний характер Х.

5.4.2. Теорема. Нехай Х — нескінченний однорідний простір, G — група гомеоморфізмів Х, що діє транзитивно на Х. Якщо Х є G-цілком обмеженим та G=X, то Х є максимально розкладним.

5.4.3. Теорема. Нехай Х — нескінченний однорідний простір і нехай G — група гомеоморфізмів Х, що діє транзитивно на Х. Нехай =X і =cf. Припустимо, що G=X і що для кожної відкритої підмножини VX існує підмножина KG така, що X=K(V) і K<. Тоді Х є максимально розкладним.

Крім того, доведено, що при деяких припущеннях зліченний цілком обмежений однорідний простір є екстрарозкладним (теорема 5.4.4).

5.4.4. Теорема. Нехай Х — зліченний однорідний простір, G — зліченна група гомеоморфізмів, що діє транзитивно на Х. Якщо Х є G-цілком обмеженим, тоді Х є екстрарозкладним, тобто існує майже диз`юнктна родина потужності 2 щільних підмножин Х.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику — професору Ігорю Володимировичу Протасову за ідейне наповнення, постійну увагу до роботи і допомогу у розв`язанні складних питань, що виникали під час роботи над дисертацією.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджуються індекси розкладності та ко розкладності груп відносно родин підмножин, визначених алгебраїчними та тополого-алгебраїчними умовами, а також за певних умов встановлються максимальна розкладнсть однорідних просторів відносно родини великих підмножин. Всі результати отримано вперше.

Сформулюємо основні результати дисертації:—

побудовані розбиття абелевої групи на підмножини, щільні відносно родин n(G), (G). Ці розбиття заповнюють промжок мж розбиттям групи на абсолютно щільні підмножини та розбиттям на асиметричні підмножини.—

досліджено розкладність груп відносно родини великих підмножин; за допомогою отриманих результатів доведено, що при певних обмеженнях цілком обмежений однорідний простір є максимально розкладним.—

для широкого класу абелевих груп досліджено розкладність відносно родин топологій з неперевними зсувами та відображеннями xmx, m і отримана відповідь на питання, сформульоване І. В. Протасовим і Д. Страус.—

для широкого класу абелевих груп досліджено корозкладність відносно родини підмножин {g+X+X, gG, X — нескінченна підмножина групи G}. Побудовані нові розбиття.

Результати дисертації одержано застосуванням методів теорії Рамсея, комбінаторної теорії груп.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Protasov I.V., Vasil’eva V.A. Some new kinds of resolvability of Abelian groups. // Доповіді НАН України. — 1999. — №12. — С. 50-53.

Васільєва В.О. Розкладність абелевих груп відносно родин топологій. // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. — 1999. — №2. — С. 195-204.

Васильева В.А. Раскраски абелевых групп без одноцветных подмножеств g+X+X. // Известия Гомельского университета — Вопросы алгебры. — 2001. — т. 3 (6). — с. 151-155.

Протасов І.В., Васільєва В.О. Великі підмножини в розбиттях груп та однорідних просторів. // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. — 2001. — №1. — С. 287-296.

Vasilyeva V.A. On resolvability of free Abelian groups. // Матеріали другої міжнародної алгебраїчної конференції в Україні, присвяченої пам`яті професора Л.А. Калужніна. — Київ-Вінниця. — 1999. — С. 49.

Vasilyeva V.A. On some partitions of Abelian groups. // Матеріали восьмої міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. — Київ. — 2000.— С. 250.

Васильева В.А., Протасов И.В. Задача 1754. // Квант. — 2000. — №6. — С. 20.

Васільєва В.О., Протасов І.В. Навколо теореми ван дер Вардена. // У світі математики. — 2001. — №1. — С. 17-19.

Васільєва В.О. Розкладність груп та однорідних просторів. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.08 — математична логіка, теорія алгоритмів і дискретна математика. — Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

В роботі досліджується розкладність та корозкладність груп та однорідних просторів відносно родин підмножин, визначених алгебраїчними та тополого-алгебраїчними умовами.

Для широкого класу абелевих груп вказано або оцінено індекси корозкладності відносно родини {g+X+X, де g — довільний елемент групи G, Х — її нескінченна підмножина}. Вказані індекси розкладності абелевих груп відносно родин n(G), (G), {g+H: gG, H нескнченною пдгрупою G}. Доведена -розкладність вільної групи відносно родини топологій з неперервними зсувами і неперервним відображенням xxm, m, m>1. За певних припущень доведена максимальна розкладність однорідного простору відносно родини великих підмножин.

Ключові слова: розкладність, корозкладність, розбиття, велика підмножина, щільна підмножина.

Vasilyeva V.A. Resolvability of groups and homogeneous spaces. — Manuscript. The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical degree on the speciality 01.01.08 — Mathematical Logic, Theory of Algorythms and Discrete Mathematics. — Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2002.

This work is devoted to investigation of resolvability and coresolvability of groups and homogeneous spaces with respect to families of subsets determined algebraic and topological conditions. Indexes of coresolvability with respect to family {g+X+X, gG, X — infinite subset of G} are established or estimated for wide class of Abelian groups. Indexes of resolvability of Abelian groups with respect to families n(G), (G), {g+H, gG, H is infinite subgroup of G} are established. It is proved that free group is -resolvable with respect to family of topologies with continuous shifts and continuous mapping xxm, m, m>1. Under some conditions it is proved that homogeneous space is maximally resolvable with respect to family of large subsets.

Key words: resolvability, coresolvability, partition, large subset, dense subset.

Васильева В.А. Разложимость групп и однородных пространств. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.08 — математическая логика, теория алгоритмов и дискретная математика. — Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

В работе исследуется разложимость групп относительно различных семейств подмножеств и разложимость однородных пространств относительно семейства больших подмножеств. Первый раздел диссертации является обзором литературы по данному вопросу. Второй раздел содержит теоремы, необходимые для доказательства результатов диссертации.

В третьем разделе рассматривается разложимость и коразложимость групп, относительно семейств подмножеств, определенных алгебраическими соотношениями. Для широкого класса групп указаны индексы коразложимости относительно семейства {g+X+X, gG, X — бесконечное подмножество группы G}. Доказано, что свободная абелева группа счетного ранга и счетная периодическая абелева группа без элементов порядка 2 являются 3-коразложимыми относительно указанного семейства.

Доказана факторизационная теорема, позволяющая вычислить или оценить индекс коразложимости абелевой группы.

Доказано, что счетная абелева группа без элементов порядка 2 является (n+1)-разложимой относительно семейства n(G) и -разложимой относительно семейства (G).Установлено, что каждая абелева группа G без элементов конечного порядка является -разложимой относительно семейства {g+H: gG, H — бесконечная подгруппа G}.

В четвертом разделе исследуется разложимость групп относительно семейств топологий с непрерывными сдвигами и непрерывными отображениями xmx, m, m0. Доказана -разложимость свободной группы относительно указанного семейства приm>1. Доказана -разложимость счетной абелевой группы с конечным числом элементов порядка 2 относительно семейства недискретных топологий с непрерывными сдвигами и непрерывным отображением x–x.

Пятый раздел посвящен изучению разложимости групп и однородных пространство относительно семейства больших подмножеств. Доказана -разложимость бесконечной группы относительно семейства больших подмножеств. Установлено, что при определенных условиях бесконечное однородное пространство является максимально разложимым.

Ключевые слова: разложимость, коразложимость, разбиение, большое подмножество, плотное подмножество.