Національна академія наук україни

Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного

Янчевський Ігор Владиславович

УДК 539.3

Некоректні задачі динаміки елементів конструкцій при імпульсних навантаженнях

Спеціальність 01.02.04 – “Механіка деформівного твердого тіла”

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі деталей машин і ТММ Харківського національного автомобільно-дорожнього університету МОН України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Янютін Євген Григорович,

Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України, головний науковий співробітник.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Курпа Лідія Василівна,

Національний технічний університет “ХПІ”,

завідувач кафедри прикладної математики;

кандидат технічних наук

Пугачов Олександр Федорович,

Харківський державний технічний університет

будівництва та архітектури,

доцент кафедри залізобетонних конструкцій.

Провідна установа: Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка

НАН України (м. Київ), відділ теорії коливань.

Захист відбудеться “ 20 ” червня 2002 р. о 1600 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України за адресою:

61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України за адресою:

61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий “ 14 ” травня 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради, к.т.н. Б. П. Зайцев

Загальна характеристика роботи

До однієї з основних сучасних проблем в сфері механіки деформівного твердого тіла належить вивчення напружено-деформованого стану елементів конструкцій при інтенсивних навантаженнях. Особливої актуальності набули теоретичні дослідження з використанням математичного моделювання в сфері нестаціонарного деформування пружних елементів конструкцій, які у процесі експлуатації піддаються впливу різноманітних імпульсних навантажень, тому що ці дослідження істотно пов'язані зі створенням сучасних машин, устаткування і прогресивних технологій. Одним із стримуючих факторів розвитку завдань зазначеного напрямку є, найчастіше, неповна інформація про нестаціонарні навантаження, що діють на конструкції. Такого роду зовнішні навантаження можуть бути визначені (ідентифіковані) на основі розв'язання певного класу так званих обернених задач динамічної теорії пружності. Проблема визначення зовнішніх навантажень також займає важливе місце в задачах управління напружено-деформівним станом відповідальних елементів конструкцій. У цьому випадку шукані функції будуть виконувати роль керуючого навантаження, яке як складова повної системи зовнішнього навантаження, повинне забезпечувати виконання необхідної умови, що характеризує стан механічної системи.

Актуальність теми пов'язана з необхідністю створення ефективних методів розв'язання конкретних задач теорії пружності, які дозволяють вирішувати широкий клас практичних задач в сфері механіки деформівного твердого тіла і які належать до некоректних задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана відповідно до робочих планів бюджетних тем:

· “

· “Системо-технічні проблеми проектування, експлуатації і ремонту автотранспортних систем і засобів”, що виконується на кафедрі деталей машин і ТММ ХНАДУ;

· “Теоретичне обґрунтування методів розв'язання задач (прямих, обернених і управління) для пружнодеформівних тіл під дією імпульсних навантажень” (№01-53-02), що виконується на кафедрі деталей машин і ТММ ХНАДУ згідно з рішенням науково-технічної ради університету від 09.01.02 (протокол №2 об'єднаної наукової ради Міністерства освіти і науки України від 30.10.01).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи – розробка ефективних методів ідентифікації діючих нестаціонарних навантажень за даними, що можуть бути отримані в результаті проведення, наприклад, експериментального дослідження, а також визначення керуючих навантажень як функцій часу, необхідних для забезпечення рівності певного керованого параметра заданому закону зміни за часом, у випадках стержневих систем і оболонкових елементів конструкцій.

Основні задачі дослідження, що обумовлені метою роботи:

·

· побудова рішень прямих нестаціонарних задач теорії пружності, на базі яких можливо реалізувати побудову рішень некоректних задач динаміки елементів конструкцій;

· розробка ефективних способів розв'язання конкретних задач ідентифікації зовнішніх імпульсних навантажень, які діють на стержневі та оболонкові елементи конструкцій;

· розробка способів математичного моделювання управлінням (регулюванням) деформівним станом стержнів і оболонок за допомогою введення додаткових систем імпульсних навантажень та оцінка можливостей цього управління;

· проведення досліджень щодо оцінки вірогідності одержаних результатів і обчислень за допомогою їх співставлення з результатами попередніх теоретичних та експериментальних досліджень інших авторів.

Об'єкт дослідження – ідентифікація імпульсних нестаціонарних навантажень, які діють на елементи конструкцій.

Предмет дослідження – побудова рішень динамічних прямих, обернених задач і задач управління у випадку стержневих і оболонкових систем, що знаходяться в області пружнього деформування.

Методи дослідження – математичні моделі стержневих і оболонкових елементів конструкцій, теорії інтегрального перетворення Лапласа, інтегральних рівнянь Вольтерра та некоректних задач математичної фізики.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в такому:

1) Вперше отримані рішення обернених задач теорії пружності за ідентифікацією зовнішніх нестаціонарних навантажень, що діють:

·

· неосесиметрично на циліндричну оболонку нескінченної довжини;

· осесиметрично на напівсферичну оболонку, яка жорстко защемлена вздовж краю.

Як вихідні дані виступають величини відносної деформації у деякій точці на поверхні відповідного елемента конструкції, яка може бути визначена, наприклад, у процесі динамічної тензометрії;

2) Вперше розв'язані задачі управління напружено-деформівним станом у точці вздовж довжини стержневого елемента конструкції та оболонки скінченної довжини, а також представлено метод розв'язання задачі управління напруженим станом на певній ділянці однорідного стержня, який навантажується поздовжньо.

Вірогідність результатів, отриманих у роботі, забезпечується добрим узгодженням рішень прямих і обернених задач динамічної теорії пружності; задовільним узгодженням отриманих результатів з наявними в літературі експериментальними даними; збігом результатів розв'язання тестових задач з відповідними результатами інших авторів.

Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що вони можуть бути використані для визначення форм (за часом) і величин імпульсних навантажень у різних технологічних операціях, де застосовуються ударні чи вибухові навантаження (штампування, різання, формування, клепання, пробивання отворів, пресування, брикетування), причому досліджені в роботі механічні системи (стержневі та оболонкові) мають широке поширення в різних галузях промисловості та техніки. Результати, отримані в дисертації, також дозволяють ефективно керувати напружено-деформівним станом відповідальних елементів конструкцій, що експлуатуються в умовах імпульсних навантажень.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, що сформульовані в дисертації і відображені в авторських публікаціях, отримані здобувачем самостійно. Роботи [2, 4] опубліковані без співавторів. У монографії [1] дисертантом написані глави 7-10. У роботах [3, 8] здобувачем отримані рішення в аналітичній формі при розв'язанні обернених задач і задач управління. У роботах [5, 9, 10] здобувачем на базі некласичних теорій оболонок отримані основні співвідношення для визначення шуканих функцій і описані методики розв'язання отриманих систем інтегральних рівнянь Вольтерра I-го роду. У зазначених роботах, а також у [3, 7, 8], чисельні результати отримані дисертантом. У роботі [6] здобувач брав участь у розробці алгоритму розв'язання некоректної задачі, яка досліджується.

Апробація результатів дисертації. Основні результати, які отримані в дисертаційній роботі, доповідалися та обговорювалися на Міжнародних конференціях і симпозіумах: симпозіумі українських інженерів-механіків, Львів, 19-21 травня 1999 р.; конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”, Львів-Луцьк, 26-29 вересня 2000 р.; конференції “Dynamical system modeling and stability investigation” DSMSI-2001, Київ, 22-25 травня 2001 р.

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 10 друкованих праць, серед яких монографія у співавторстві з науковим керівником, 5 статей у фахових виданнях, 2 статті і 2 тези доповідей у матеріалах Міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, семи розділів, висновків та списку використаних джерел з 189 найменувань, а також містить 46 рисунків. Загальний обсяг роботи – 160 сторінок.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми та доцільність роботи, визначені мета та завдання досліджень, вказано на основні наукові результати, наведені відомості про публікації та апробації основних положень, а також кваліфікаційні ознаки дисертації.

У першому розділі проведений огляд робіт, у яких вирішені обернені задачі теорії пружності, при цьому акцент робився на нестаціонарні задачі, об'єктом дослідження в яких обрані стержневі та оболонкові елементи конструкцій. Відзначається різноманітність формулювань обернених задач і відсутність загальноприйнятої класифікації. У роботах зазначеного напрямку окрім визначення параметрів за даними їх непрямих проявів досліджуються проблеми розробки універсальних методів розв'язання певного класу обернених задач, вибору ефективних методик побудови рішень конкретних задач теорії пружності, оцінка ступеню впливу наявних у вихідних даних похибок на результат і розробка заходів щодо його зниження.

Огляд робіт, присвячених розв'язанню задач управління, показав, що основна увага в них зосереджена на проблемах оптимального керованого демпфірування чи збудження коливань, попередження втрати стійкості й управління параметрами самої механічної системи для переводу її в більш кращий, за прийнятим критерієм, стан. Умова управління, що розглядається у дисертації і формулюється як забезпечення рівності керованого параметра заданому закону зміни за часом, у літературі фактично відсутня. Недостатньо також вивчені і обернені задачі для механічних систем, що досліджуються у роботі.

Оскільки в основу побудови рішень некоректних задач теорії пружності закладені методи і принципи, які використовуються при розв'язанні коректно поставлених прямих динамічних задач теорії пружності, для яких отримані численні результати фундаментального характеру, то в першому розділі міститься також огляд робіт, присвячених розв'язанню задач зазначеного напрямку для стержневих та оболонкових систем. Відзначається, що значний внесок у вивчення нестаціонарного деформування елементів конструкцій внесли українські вчені, серед яких у першу чергу слід зазначити М. О. Кільчевського, А. П. Філіпова, О. М. Гузя, В. Д. Кубенка, В. Л. Рвачова, А. Ф. Улітка, А. Е. Бабаєва, Б. Я. Кантора, Л. В. Курпа, Є. Г. Янютіна, М. С. Синєкопа, О. М. Шупікова.

В останньому підрозділі вказані посилання на роботи, в яких подано сучасний стан теорії і методів стійкого наближеного розв'язання основних класів некоректно поставлених у сенсі Ж. Адамара задач, розглянуто проблеми ефективного вибору параметра регуляризації, питання оптимальності методів з оцінкою їхньої погрішності і найбільш повного обліку апріорної інформації при побудові регуляризованих рішень. Зазначені також посилання на роботи, присвячені безпосередньо проблемі побудови стійкого рішення інтегральних рівнянь і систем інтегральних рівнянь Вольтерра I-го роду, що містять помилки у вихідних даних.

У другому розділі роботи описана методика розв'язання задачі визначення закону зміни за часом навантаження N(t), що поздовжньо діє на стержень скінченної довжини L, один кінець якого жорстко защемлений. Початковою інформацією, необхідною для розв'язання задачі, є параметр деформації, що може бути отриманий, наприклад, у результаті обробки даних експерименту.

Для описання нестаціонарних процесів у стержні прийняте хвильове рівняння, рішення якого при нульових початкових умовах у просторі зображення за Лапласом (s – параметр перетворення; (*)L(s)®(*)(t)) має вигляд

, (1)

де u – переміщення точки стержня;

AL(s), BL(s) – довільні функції параметра s;

– швидкість поширення пружних поздовжніх хвиль у матеріалі стержня (E – модуль пружності; r – щільність матеріалу).

Трансформанта функції, що підлягає процедурі ідентифікації, може бути записана через коефіцієнти AL(s) і BL(s), визначення яких ґрунтується на розв'язанні системи рівнянь, одне з яких виражає виконання умови жорсткого защемлення стержня, а друге – реєстрацію поздовжніх хвиль деформації в точці x=x0, яка подана у вигляді функції

.

Шукане рішення в просторі оригіналів маємо у вигляді

,

де F – площа поперечного перерізу стержня;

kmax – цілочисельний додатній параметр;

eH(t)=e(t)ЧH(t); H(t) – одинична функція Хевісайда.

У цьому ж розділі розглядається задача в аналогічній постановці, коли механічна система являє собою стержень, який складається зі скінченного числа різнорідних ділянок. Особливість побудови рішення полягає у тому, що при складанні системи рівнянь, невідомими якої є функції AiL(s) і BiL(s) (див. (1), i – номер ділянки), окрім граничної умови і рівняння, що визначає реєстрацію поздовжніх хвиль деформації у точці x=x0 на обраній ділянці, записуються рівняння, які відповідають виконанню силової і кінематичної умов контакту ділянок. Зокрема, отримане рішення в аналітичній формі для max(i)=2 і точка реєстрації x=x0 знаходиться в межах другої ділянки. Результати обчислень подані у вигляді графіків, які дозволяють проаналізувати взаємозв'язок між деформацією e(t) і відновлюваним навантаженням N(t) (рис. 1).

Форми отриманих кривих носять ступінчастий характер (рис. 1), причому характерні ділянки кривих (стрибки значень) визначаються суперпозицією деформацій, породженими наявністю площин, які відбивають хвилі деформації і збігаються з поперечними перерізами початку та кінця складеного стержня і площинами контакту ділянок (для max(i)і2). Досліджено питання характеру впливу наявних у вихідних даних помилок на результати ідентифікації.

Рис. 1. Результат ідентифікації у випадку l1=l2 (L=l1+l2); e(t)=C=const:

; ; ; .

У третьому розділі роботи розв'язана задача управління параметрами НДС у точці x=l стержня довжиною L, що поздовжньо навантажується. При цьому умова управління формулюється як забезпечення рівності керованого параметра (напруження, переміщення) заданому закону зміни за часом. Розглянуто два варіанти постановки задачі – збуджуюче зусилля N1, що прикладене до лівого краю стержня (x=0), задане, і більш загальна постановка – керуюче навантаження N2, точкою прикладення якої є правий край стержня (x=L), формується як результат математичної обробки даних, що надходять із встановленого у точці x=x0 (0<x0<2l-L) датчика, який реєструє деформацію (N1 не відоме) – випадок так званого “прямого зворотнього” зв'язку.

Побудова рішення задачі засновано на одномірному хвильовому рівнянні, форма рішення якого має вид (1). Для визначення невідомих коефіцієнтів A(t) і B(t), через які записується навантаження N2(t), складається система рівнянь, перше рівняння якої є розгорнутою формою запису умови управління (u(l,t)=fu(t) або ¶u(l,t)/¶x=fuў(t)), а друге – вихідних даних (N2(t)=-EF(¶u(0,t)/¶x) або e(t)=¶u(x0,t+x0/a)/¶x).

При різних вихідних даних (умова управління, координата точки управління) отримані відповідні чисельні результати, які у роботі подано графічно у вигляді залежності від часу керуючого навантаження N2(t).

На основі аналізу отриманих результатів запропонована методика розрахунку зусилля при незмінній схемі навантаження стержня, яке призначене для виконання умови не перевищення діючих напружень значення, що допускається, на ділянці, довжина якого мала в порівнянні з довжиною усього стержня (~5%). Умова, яка досліджується, може бути записана як

Ѕs(xvar, t)ЅЈ[svar].

Індекс “var” вказує на належність відповідного параметра ділянці [l-x, l+x].

У результаті проведених досліджень установлений такий алгоритм побудови функції N2(t): попередньо розраховуються зусилля n2(neg, zer, pos), які у трьох точках ділянки (l-x, l, l+x) у парі з N1, що задавалося за законом N1(t)=k[svar]FЧsin(pat/(uL))Ч[1-H(t-uL/a)] (імпульс у вигляді напівхвилі синусоїди з амплітудою k[svar]F (kЈ2) і періодом 2uL/a), створюють напруження рівні -k[svar]/2, 0 і k[svar]/2, відповідно. Потім будуються навантаження N2(neg, zer, pos), які відповідають кривим, що огинають криві зазначених функцій (див. рис. 2).

Рис. 2. До питання побудови N2(neg, zer, pos)

Шукане керуюче навантаження N2(t) будується як комбінація вже розрахованих N2(neg, zer, pos) за принципом: яка із систем зовнішнього навантаження N2(neg, zer, pos) – N1 спричиняє найменші напруження в середині інтервалу в конкретний момент часу (перевіряється чисельно).

Встановлено, що на якість управління, в першу чергу, впливає співвідношення між значеннями u, x і k при обраній залежності від часу N1(t). При конкретних значеннях u і k виконання умови управління визначається довжиною ділянки управління 2x і часом дослідження tinv.

Четвертий розділ присвячений проблемі розв'язання задачі ідентифікації компонентів n0 і n1 нестаціонарного нормального навантаження, що діє неосесиметрично на циліндричну оболонку нескінченної довжини, при цьому неосесиметричну частину навантаження характеризує кут y (рис. 3).

Рис. 3. Схема навантаження циліндричної оболонки

Як апостеріорна інформація, що необхідна для реалізації побудови рішення оберненої задачі теорії пружності, яка досліджується і належить до класу некоректних задач математичної фізики, обрана деформація eq на внутрішній поверхні оболонки, що може бути отримана в результаті проведення відповідного експерименту. Співвідношення, що пов'язує вказану функцію eq з компонентами зовнішнього нестаціонарного навантаження, отримано на основі уточненої теорії оболонок, яка враховує вплив поперечного зсуву за товщиною та інерцію обертання нормального елемента. При цьому рішення для компонентів узагальненого переміщення, які визначають деформацію, шукається у вигляді тригонометричних рядів Фур'є. За допомогою необхідного математичного апарату отримані коефіцієнти зазначеного розкладання. Шукане співвідношення є інтегральним рівнянням Вольтерра I-го роду з ядром типу згортка (t – безрозмірний час):

, (2)

де E, n – пружні постійні матеріалу оболонки;

;

;

Bk=k2; Ck=k2+12k12R2/h2; ak,r – частота власних коливань оболонки;

k12=ks2(1-n2)/2, ks2 – коефіцієнт зсуву.

Оскільки отримане співвідношення (2) містить дві невідомі, то необхідно деформацію eq задавати як мінімум у двох точках вздовж довжини утворюючої оболонки, координатні кути яких позначені через a1 і a2. На цій підставі складається система інтегральних рівнянь Вольтерра, для якої описана методика її рішення, що полягає у послідовному розв'язанні двох інтегральних рівнянь Вольтерра I-го роду.

При побудові рішень отриманих інтегральних рівнянь, стійких до збуджень у вихідних даних, випробувано декілька існуючих методів розв'язання некоректних задач математичної фізики, включаючи новітні (1995-2001 рр.). Аналіз чисельних результатів показав, що при неосесиметричному навантаженні оболонки (n1?0) ефективніше застосовувати метод регуляризації А. М. Тихонова, а при осесиметричному – методи, що не приводять до втрати вольтерровості вихідного рівняння (через алгоритмічну простоту їхньої реалізації).

Деформації eq(ai,t), за даними яких будується рішення оберненої задачі, задавалися за формулою

eq(ai,t)=`eq(ai,t)Ч(1+DЧr(t)),

де`eq(ai,t) – точне значення, яке є рішенням відповідної прямої задачі при заданій залежності від часу компонентів зовнішнього навантаження;

D – відносна погрішність;

r(t) – функція випадкових чисел з математичним сподіванням на нулі (r(t)О[-1;1]).

Наведено відповідні графіки, що дозволяють зробити висновки про ефективність відновлення функцій n0 і n1 шляхом зіставлення з точними значеннями`n0 і`n1 (рис. 4), які є вихідними даними при розв'язанні прямої задачі для визначення`еи(б1,ф) і`еи(б2,ф).

Рис. 4. Результат ідентифікації (суцільна лінія) и точні значення (пунктир):

D=0.03; y=30°; a1=y; a2=90°.

Наведені рекомендації щодо уточнення результатів ідентифікації на основі аналізу впливу кроку дискретизації інтегралів Дф і значення кутів ai установки датчиків, що реєструють, на результати розв'язання задачі.

У п'ятому розділі описано розв'язання задачі відновлення розподіленого навантаження Q(t), що діє осесиметрично на напівсферичну оболонку, яка жорстко защемлена вздовж краю (рис. 5). Область навантаження оболонки визначається кутом розхилу ш у сферичній системі координат.

Рис. 5. Механічна система, яка досліджується

Знаходження функції, що підлягає процедурі ідентифікації, базується на завданні деформації еj(г,t) на внутрішній поверхні оболонки (рис. 5). Відзначається, що для зменшення “ступеня” некоректності задачі має виконуватися співвідношення 0<г?ш.

В основі побудови рішення прямої задачі, метою якої є встановлення залежності між зазначеною функцією еj(q,t) і діючим навантаженням Q(t), лежить спосіб*, який полягає в розгляданні замкнутої сферичної оболонки і припущенні симетрії її навантаження відносно екваторіальної площини. При цьому забезпечується виконання двох граничних умов жорсткого защемлення напівсферичної оболонки – u(р/2,t)=0 і в(р/2,t)=0, де u – тангенціальне переміщення точок серединної поверхні оболонки; b – кут повороту нормалі до серединної поверхні в площині меридіана оболонки. Для задоволення третьої граничної умови, яка формулюється як рівність нулю радіального переміщення у точці q=p/2, вводиться зосереджене зусилля T(t) у цій точці.

Для описання нестаціонарних процесів у оболонці застосовуються рівняння руху оболонки теорії типу Тимошенка, а рішення для w, u і в, які визначають деформацію ej(q,t), шукається у вигляді рядів за приєднаними функціями Лежандра 0-го і 1-го порядку P2n і P12n.

За допомогою необхідного математичного апарату отримані значення коефіцієнтів зазначених розкладань, а шукане співвідношення, що пов'язує еj(г,t) і Q(t), отримано у вигляді

,

де q0=R2(1-n2)/(Ehk1); a5=2(1+n)/k1;

(n=0,1,2,…);

.

Друге рівняння, яке необхідне для складання повної системи інтегральних рівнянь з невідомими Q(t) і T(t), є розгорнутою формою запису умови w(р/2,t)=0.

Зазначена система, яку можна записати в операторному вигляді

розв'язується чисельно шляхом попередньої дискретизації операторів і застосування методу блокового виключення для перетворення її до СЛАУ

AQEўQ=E

з наступним застосуванням методу регуляризації А. М. Тихонова. Оскільки при дискретизації інтегралів використовувалися формули методу трапецій, то отриманий вектор Q визначає значення зовнішнього розподіленого навантаження в моменти часу 0, Дф, 2Дф, …(mmax-1)Дф (mmax=фinv/Дф, фinv – час дослідження). Далі обчислюються елементи вектора Т.

Виконані відповідні чисельні розрахунки, які дозволяють проаналізувати міру непогодженості отриманого рішення задачі, що досліджується, з точними значеннями, які були вихідними даними до розв'язання прямої задачі.

У даному розділі також приводиться зіставлення результатів ідентифікації з наведеними в літературі експериментальними даними*, які описують процес поширення деформації уздовж меридіана жорстко защемленої напівсферичної оболонки при навантаженні її вільним скиданням з різної висоти загартованих сталевих кульок. Зазначені результати вимірювань подано у вигляді осцилограм. Процедура зіставлення складалася з двох етапів: на першому етапі на підставі однієї обраної осцилограми відновлювалося контактне навантаження в зоні удару; на другому етапі здійснювалося перерахування деформації, що реєструється, для інших точок, для яких у зазначеній роботі представлені осцилограми. Результати зіставлення відображені графічно.

У шостому розділі розглянута методика побудови рішення задачі управління компонентами узагальненого переміщення w, u і в (переміщення серединної поверхні оболонки в радіальному та осьовому напрямках і кут повороту нормалі до серединної поверхні, відповідно) у точці х=л по довжині циліндричної оболонки. Система збуджуючого навантаження, яка прикладена до лівого торця оболонки (x=0), задана, а управління реалізується за рахунок підібраних відповідним чином нормального N2 і поперечного Q2 зусиль і згинаючого моменту M2, точкою прикладання яких є протилежний торець оболонки (x=L) (рис. 6).

Рис. 6. Повна система навантаження циліндричної оболонки

Визначення законів зміни за часом компонентів зазначеної системи керуючого навантаження і є метою розв'язання задачі, що досліджується.

На основі некласичної теорії оболонок і використання способу*, який полягає у введенні нових функцій`w,`u і`в, що приводять до розгляду задачі коливань шарнірно-опертої оболонки (тому функції`w,`u і`в шукаються у вигляді тригонометричних рядів Фур'є), отримане співвідношення, що пов'язує керовані величини із системою зовнішнього навантаження. Це співвідношення в символічному вигляді можна записати так:

(Y={w, u, b}; i=1,2)–

керовані компоненти є визначеними функціями від wi, Ni, Mi і їхніх других похідних (індекс i=1 вказує на належність параметра лівому торцю оболонки, а i=2 – правому). Оскільки в точці управління компоненти Y (Y={w, u, b}), згідно з вихідними даними, задані, то складаються три рівняння з чотирма невідомими: wi, N2, M2. Четверте рівняння полягає у виконанні співвідношення між заданим поперечним зусиллям Q1 і функціями b1 і ¶w(0,t)/¶x відповідно з теорією циліндричних оболонок.

Отримана система є системою інтегро-диференційних рівнянь Вольтерра, розв'язання якої здійснюється чисельно, для чого другі похідні відповідних функцій апроксимуються кусково-сталими аналогами. Самі функції обчислюються подвійним інтегруванням зазначеної апроксимації. Такий підхід дозволяє виразити функції і їхні другі похідні через єдиний набір коефіцієнтів. Наступна побудова рішення полягає у поданні отриманої системи у вигляді СЛАУ з клітинною структурою матриці (4ґ4), шуканий вектор якої складається з 4 підвекторів, що містять коефіцієнти апроксимації других похідних невідомих функцій. Розв'язання отриманої системи можливе лише після детального аналізу складових матриці блоків і виконання відповідних допущень, що передують застосуванню узагальненого алгоритму Гауса і методу регуляризації А. М. Тихонова.

При виконанні чисельних експериментів відзначені додаткові особливості, що дозволяють ефективно розрахувати компоненти системи керуючого навантаження.

Вірогідність виконаних розрахунків і допущень перевірена шляхом послідовного розв'язання прямої задачі за визначенням Y(л,t) при заданих (ц)i (ц=Q, N, M) і відповідної оберненої задачі відновлення (ц)2 на підставі отриманих результатів Y(л,t) і заданих (ц)1.

Також для оцінки вірогідності на підставі описаного методу розв'язана задача про торцевий удар напівнескінченної оболонки об тверду перешкоду з відомою початковою швидкістю, для якої в літературі наведені чисельні результати, які дозволяють здійснити зіставлення. Перевірка показала повне узгодження результатів розрахунку з уже наявними.

При проведенні чисельних експериментів досліджені вплив положення точки управління та компонентів системи збуджуючого навантаження на керуючі зусилля і момент. Наведені результати, що дозволяють оцінити якість управління; при цьому, як умова управління, розглянуто випадок щодо усунення коливань у точці x=l: Yl(t)=0 (Yl={wl, ul, вl}).

Встановлено, що у випадку l=l (точка управління співпада з точкою прикладення системи керуючих навантажень) задача є коректною. При невеликому віддаленні точки управління від правого торця оболонки (l~0.95Чl) метод регуляризації може забезпечити ефективне управління деформівним станом за всіма трьома функціями, при цьому на результат управління більш вагомо впливають функції N2 і M2. При збільшенні віддаленості виявляється погіршення сумісності умов управління wl(t)=0 і bl(t)=0. Ця проблема була усунута за допомогою введення коефіцієнтів xw і xb, які визначають пріоритет виконання однієї умови над іншою.

Проведені чисельні експерименти показали, що збільшення різниці l-l супроводжується збільшенням максимальних значень керуючих зусиль і моменту. Виходячи з цього, при заданому фіксованому значенні відносного рівня нев'язки k, який використовується при визначенні параметра регуляризації a у методі А. М. Тихонова і характеризує якість управління як ЅЅ Yl-Y(l,t)ЅЅ , де Y(l,t) (Y={w, u, b}) – результат розв'язання прямої задачі, можна встановити граничне віддалення точки управління x=l від точки прикладення керуючого навантаження x=l. При цьому треба виходити з критерію рівня напруженого стану оболонки. Тобто, ефективність управління визначається функціями Yl(t), k, l, а також коефіцієнтом запасу міцності оболонки.

Зокрема встановлено, що при вибраній залежності від часу поздовжнього переміщення в точці управління нормальне зусилля N2 через N1, яке найбільш вагомо впливає також на M2 і Q2, з достатньою точністю може бути описане формулою

N2(t)=-N1(t-(2l-l))ЧH(t-(2l-l)).

Спеціально для програми, призначеної для розв'язання задач, що досліджені у розділі, а також для програми візуалізації деформованого стану оболонки при заданій системі зовнішнього нестаціонарного навантаження, створені зручні інтерфейси для введення вихідних даних і відображення результатів обчислень.

У сьомому розділі освітлені питання можливого практичного застосування результатів дисертаційної роботи, виходячи з сфер найбільш поширеного використання розглянутих елементів конструкцій.

Наприклад, результати другого розділу можуть бути використані при визначенні закону зміни за часом навантаження виробничого обладнання імпульсної дії.

Проблема утворення необхідного навантаження P(t) для раціонального за критеріями якості та швидкодії виконання операції за рахунок підбору форми і амплітуди навантаження N(t), що прикладається на неударну частину інструмента, може бути сформульована як задача управління теорії пружності, результати розв'язання якої представлені у третьому розділі роботи.

Результати четвертого і п'ятого розділів дисертації можуть бути використані при визначенні закону зміни за часом тиску, що виникає в результаті підриву вибухового заряду для реалізації технологічних процесів імпульсної обробки матеріалів, в яких широке застосування знаходять циліндричні та сферичні оболонки.

Відзначається, що результати дисертаційної роботи можуть знайти застосування у випадках, коли закон зміни за часом зовнішнього імпульсного навантаження на конструкцію не є самостійною метою дослідження, а оцінюється головним чином міцність і несуча здатність самої конструкції.

Додатково запропоновані деякі конструктивні рішення щодо проблеми попередження руйнування робочих інструментів у вигляді стержнів для устаткування, в основу принципу дії якого закладене ударне навантаження.

Висновки

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню низки некоректних задач (обернених та управління) динаміки елементів конструкцій при імпульсних навантаженнях. Отримані результати слід розглядати як єдиний створений комплекс щодо розв'язання актуальних проблем механіки деформівного твердого тіла.

Серед основних результатів роботи слід зазначити:

1) вперше отримані рішення обернених задач динамічної теорії пружності за ідентифікацією зовнішніх нестаціонарних навантажень, що діють:

·

· неосесиметрично на циліндричну оболонку нескінченної довжини;

· осесиметрично на напівсферичну оболонку, яка жорстко защемлена вздовж краю;

2) вперше розв'язані задачі управління напружено-деформівним станом у точці вздовж довжини стержневого елемента конструкції та оболонки скінченної довжини при осесиметрії її деформування за допомогою введення додаткової системи торцевого навантаження. Встановлені характерні особливості навантажень, які ідентифікуються, та визначена область ефективного управління деформівним станом конструктивних елементів у вигляді циліндричних оболонок. Зазначені параметри, які найбільш суттєво впливають на систему керуючих навантажень;

3) вперше представлено метод розв'язання задачі управління напруженим станом на певній ділянці однорідного стержня за рахунок керуючого навантаження, що прикладено до одного краю стержня, на інший край якого діє збуджуюче зусилля;

4) проведені ретельні дослідження щодо оцінки вірогідності одержаних результатів і обчислень;

5) результати дисертаційної роботи можуть бути використані для визначення закону зміни за часом імпульсних навантажень у різних технологічних процесах, що використовуються в машинобудуванні, із застосуванням ударних чи імпульсних навантажень (штампування, різання, формування, клепання, пробивання отворів, пресування, брикетування), для оцінки динамічної міцності елементів конструкцій. Отримані результати також дозволяють ефективно керувати напружено-деформів-ним станом відповідальних елементів конструкцій, що експлуатуються в умовах імпульсних навантажень і які широко розповсюджені в ракето-, літако-, кораблебудуванні, в будівництві об'єктів цивільного і військового призначення.

Наукові праці, опубліковані за темою дисертації

1. Янютин Е. Г., Янчевский И. В. Импульсные воздействия на упругодеформируемые элементы конструкций. – Харьков: Изд-во ХАДИ, 2001. – 184 с.

2. Янчевский И. В. Исследование волновых колебаний составных стержней при импульсном деформировании. – Вестник Харьковского государственного политехнического университета, 1998, вып. 23, с. 74-78.

3. Янютин Е. Г., Перегон В. А., Янчевский И. В. Решение нестационарных задач теории упругости (прямых, обратных и управления) для стержневых элементов конструкций. – Проблемы машиностроения, 1999, 2, №3-4, с. 86-92.

4. Янчевский И. В. Решение нестационарной задачи управления напряженным состоянием стержневого элемента. – Вестник Харьковского государственного автомобильно-дорожного технического университета, 2000, вып. 11, с. 51-54.

5. Янютин Е. Г., Янчевский И. В. Обратная задача теории упругости при нестационарном неосесимметричном нагружении цилиндрической оболочки. – Вестник Харьковского государственного политехнического университета, 2000, вып. 104, с. 125-129.

6. Янютин Е. Г., Янчевский И. В., Шарапата А. С. Идентификация внешней нагрузки, действующей на круглую мембрану. – Автомобильный транспорт, 2001, вып. 7-8, с. 226-229.

7. Янютин Е. Г., Светличная С. С., Янчевский И. В. Численно-аналитический способ решения начально-краевых задач теории упругости. – Тезисы докладов 4-го Международного симпозиума украинских инженеров-механиков, Львов, 19-21 мая 1999 г., с. 9.

8. Янютин Е. Г., Перегон В. А., Янчевский И. В. Управление динамическим напряженным состоянием составных стержней. – Материалы Международной научной конференции “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”, Львов-Луцк, 26-29 сент. 2000 г., 2, с. 295-299.

9. Янютин Е. Г., Янчевский И. В. Распознавание импульсной нагрузки, воздействующей на полусферическую оболочку средней толщины. – Тезисы докладов X-й Международной конференции “Dynamical system modeling and stability investigation” DSMSI-2001, Киев, 22-25 мая 2001 г., с. 348.

10. Янютин Е. Г., Янчевский И. В. Распознавание импульсной нагрузки, воздействующей неосесимметрично на цилиндрическую оболочку. – Материалы X-го Международного симпозиума “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики” МДОЗМФ-2000, пос. Лазурное, 29 мая – 5 июня 2001 г., с. 391-395.

Анотації

Янчевський І. В. Некоректні задачі динаміки елементів конструкцій при імпульсних навантаженнях. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – “Механіка деформівного твердого тіла”. – Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України, Харків, 2002.

Уперше на базі уточнених теорій оболонок та теорії і методів чисельного розв'язання некоректних задач математичної фізики отримані рішення задач ідентифікації зовнішніх нестаціонарних навантажень, що діють неосесиметрично на циліндричну оболонку чи осесиметрично на напівсферичну оболонку, яка жорстко защемлена вздовж краю. Побудовано рішення в аналітичному вигляді оберненої динамічної задачі відновлення зовнішнього осьового навантаження у випадку стержневих систем. Процедура ідентифікації зазначених задач базується на математичній обробці деформації, що може бути отримана в результаті проведення експериментального дослідження.

Для однорідного стержня і циліндричної оболонки скінченної довжини при осесиметрії її деформування побудовані рішення задач управління, які формулюються як забезпечення рівності деякого параметра НДС у точці відповідної механічної системи заданому закону зміни за часом. Результатом є залежність від часу компонентів системи керуючого навантаження, точкою прикладення якої є один з торців елемента, що досліджується, на інший край якого прикладено збуджуюче навантаження. Для стержня представлено також методику розв'язання задачі управління напруженим станом на певній ділянці, довжина якого мала у порівнянні з довжиною стержня (~5%).

В роботі проведені відповідні дослідження щодо перевірки вірогідності отриманих результатів.

Ключові слова: обернені задачі та задачі управління динамічної теорії пружності, некоректні задачі математичної фізики, стержньові та оболонкові елементи конструкцій, ідентифікація імпульсного навантаження.

Yanchevsky I. Ill-posed problems of the dynamics of construction's elements under impulse loadings. – Manuscript.

Thesis for the scientific degree of Candidate of Technical Science by speciali-ty 01.02.04 – “Mechanics of the deformable solids”. – A. M. Pidgorny's Institute for problems in machinery, National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2002.

For the first time on basis of improved theories of shells and the theory and methods of numerical solving incorrect problems of the mathematical physics solutions of problems of identification of external non-stationary loading, which influences non-axis-symmetrically on a cylindrical shell or axis-symmetrically on a hemispherical shell with rigidly clamped boundary, are received. A solution of inverse dynamic problem of recovery of external axled loading in case of rod systems is constructed in an analytic form. An identification procedure of the mentioned problems is based on mathematical treatment of resilience, which can be obtained as a result of realization of an experimental research.

For a homogeneous rod and an axis-symmetrical deforming cylindrical shell of finite length solutions of problems of controlling, which are formulated as maintenance of equality of some parameter of deflected mode in the point of the considered mechanical system to the given behavior in time, are created. The result is time dependence of components of control action system, which loads to the end of the investigated element, and on the other end of this element a stimulant load is applied. A procedure of solving problem of controlling the stress state on some rod section with length smaller than the length of the rod (~5%) is presented.

In the thesis the proper analysis of results validation is carried out.

Key words: inverse problems and problems of controlling of the dynamical theory of elasticity, incorrect problems of the mathematical physics, rod and shell construction's elements, identification of impulse loading.

Янчевский И. В. Некорректные задачи динамики элементов конструкций при импульсных воздействиях. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – “Механика деформируемого твердого тела”. – Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2002.

Впервые на базе уточненных теорий оболочек и теории и методов численного решения некорректных задач математической физики получены решения задач идентификации внешних нестационарных нагрузок, воздействующих неосесимметрично на цилиндрическую оболочку или осесимметрично на полусферическую оболочку, которая жестко защемлена вдоль края. Описаны алгоритмы эффективного расчета по критериям быстродействия вычислений и устойчивости результатов к имеющимся в начальных данных ошибкам. Исследованы влияния положений точек регистрации волн деформаций и шагов дискретизации интегралов на результаты идентификации. Помимо сравнения результатов при решении исследуемых прямых и обратных задач теории упругости, выполнено их сопоставление с имеющимися в литературе экспериментальными данными в случае полусферической оболочки.

Получено решение в аналитическом виде обратной динамической задачи теории упругости восстановления внешней осевой нагрузки в случае стержня, состоящего из конечного числа разнородных участков. Установлен характер проявления возмущений в задаваемой функции на результатах и описаны пути снижения этого влияния.

Процедура идентификации указанных задач основана на математической обработке деформации, которая может быть получена в результате проведения соответствующего экспериментального исследования.

Кроме ссылок на работы, посвященных проблеме устойчивого решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Вольтерра I-го рода, к которым сводится большинство некорректных задач теории упругости, в работе описаны некоторые эффективные новейшие (1995-2001 гг.) алгоритмы решения уравнений указанного класса, которые практически не освещены в научной литературе стран СНГ.

Для однородного стержня и цилиндрической оболочки конечной длины при осесимметрии ее деформирования построены решения задач управления, которые формулируются как обеспечение равенства некоторого параметра НДС в точке рассматриваемой механической системы заданному закону изменения во времени. В качестве результата получена зависимость от времени компонент системы управляющего нагружения, точкой приложения которой является один из торцов элемента, на другой край которого приложено возмущающее воздействие. Результаты численных экспериментов позволяют судить о возможностях