МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ |

ЯКОВЕНКО ВАДИМ ОЛЕКСАНДРОВИЧ

УДК 536.24

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НАДВИСОКОЧАСТОТНИХ ТА ТЕПЛОВИХ ПРОЦЕСІВ В ОБЛАСТЯХ З РУХОМИМИ МЕЖАМИ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико – математичних наук

Дніпропетровськ - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: | доктор фізико – математичних наук, професор Кісельова Олена Михайлівна, Дніпропетровський національний університет, завідувач кафедри обчислювальної математики та математичної кібернетики.

Офіційні опоненти: |

доктор фізико – математичних наук, доцент Макаренко Олександр Сергійович, Навчально – науковий комплекс “Інститут прикладного системного аналізу” НАН України та Міністерства освіти і науки України, професор кафедри математичних методів системного аналізу;

кандидат фізико – математичних наук, старший науковий співробітник Веселовський Володимир Борисович, Дніпропетровський національний університет, доцент кафедри прикладної газової динаміки та тепломасообміну.

Провідна установа: | Київський національний університет імені Тараса Шевченка Міністерства освіти і науки України, кафедра математичних методів еколого – економічних досліджень.

Захист відбудеться "4" липня 2002 р. о 14.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.09 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: пр. Карла Маркса, , корп.3, ауд. 42, м. Дніпропетровськ, 49044.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: вул. Козакова, , м. Дніпропетровськ, 49050.

Автореферат розісланий "3" червня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради |

В. А. Турчина

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Розв’язання важливих науково – практичних задач пов'язано з розробкою та дослідженням математичних моделей надвисокочастотних та теплових процесів, що протікають в одношарових і багатошарових діелектричних областях з рухомими межами. Побудова математичних моделей процесів переносу тепла при фазових перетвореннях, викликаних нагріванням енергією випромінювання надвисоких частот областей з рухомими внутрішніми чи зовнішніми межами, є актуальною для розвитку ряду напрямів сучасної науки, техніки, медицини, галузей легкої і харчової промисловостей.

Поліпшення енергетичних і експлуатаційних характеристик процесу надвисокочастотної термообробки приводить до збільшення потужності випромінювання, виникнення рухомої межі та полів різної фізичної природи. Розв’язанню задач математичного моделювання та математичної фізики для областей з рухомими межами присвячені роботи Л.І. Рубінштейна, Г.А. Грінберга, М.І. Никитенка, О.С. Макаренка, Ю.О. Мельникова, В.Б. Веселовського, Г.А. Тирського, В.Г. Меламеда та інших. Разом з тим, проблеми, які пов'язані з урахуванням фазових перетворень у областях дії надвисокочастотних та високотемпературних процесів, недостатньо досліджені. В зв'язку з цим виникає необхідність подальше удосконалювати раніше відомі та розробляти нові математичні моделі, які дозволяють враховувати рухому межу фаз.

В математичній постановці задачі тепломасопереносу під дією енергії надвисоких частот в областях з рухомими межами фаз належать до числа нелінійних гіперболічних та параболічних крайових задач. Складність розв’язання таких задач пов'язана з тим, що поряд з електромагнітними надвисокочастотними та температурними полями необхідно знаходити функцію, що характеризує положення межі фазового перетворення. Ця функція визначається системою нелінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних. Для розв’язання такої системи актуальною математичною задачею є розробка та обгрунтування чисельних або чисельно - аналітичних методів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана на кафедрі обчислювальної математики і математичної кібернетики Дніпропетровського національного університету у межах тематики науково-дослідної роботи кафедри, індивідуального плану підготовки аспіранта і плану науково - дослідної роботи з держбюджетної теми № 07-57-97 “Математичне моделювання, розробка теоретичного апарату, обґрунтування і чисельна реалізація методів оптимізації складних систем”.

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає в побудові та дослідженні нелінійних математичних моделей надвисокочастотного нагріву з фазовими перетвореннями, розробці методу розв'язання нелінійної гіперболічної крайової задачі, алгоритмів чисельної реалізації параболічної крайової задачі та еліптичної граничної задачі для областей з рухомими межами фаз, до яких зводяться побудовані математичні моделі.

Поставлена мета зумовлює наступні основні задачі:

побудова та дослідження нелінійних математичних моделей процесів

- плавлення при надвисокочастотній термічній обробці в областях з фазовими перетвореннями як нелінійної гіперболічної крайової задачі,

- електромагнітних надвисокочастотних полів в діелектричних областях зі змінною межею як еліптичної граничної задачі,

- тепломасопереносу під дією енергії надвисоких частот з виникненням межі розподілу фаз як параболічної крайової задачі;

розробка та обгрунтування методу розв’язання нелінійної гіперболічної крайової задачі, заснованого на сумісному застосуванні інтегральних перетворень та методів розв'язання систем звичайних диференціальних рівнянь;

побудова алгоритму розв'язання параболічної крайової задачі та еліптичної граничної задачі, дослідження збіжності та визначення оцінки похибки розв’язку;

визначення параметрів загальної нелінійної математичної моделі для побудови локальних моделей надвисокочастотних та теплових процесів в областях з рухомими межами.

Обєкт дослідження - надвисокочастотні і теплові процеси в областях з рухомими межами.

Предмет дослідження - математичні моделі надвисокочастотних і теплових процесів в областях з рухомими межами, метод розв'язання гіперболічної крайової задачі, алгоритми розв'язання параболічної крайової задачі та еліптичної граничної задачі.

Методи дослідження: методи інтегральних перетворень розв’язання задач математичної фізики для областей з рухомими межами, чисельні методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь та їх систем, методи математичного аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. Побудовано та досліджено нову нелінійну математичну модель надвисокочастотних та теплових процесів в областях з рухомими межами фаз, що описується системою диференціальних рівнянь гіперболічного типу.

Розроблено та обгрунтовано метод чисельної реалізації нелінійної гіперболічної крайової задачі, а також показана можливість отримання розв'язку нелінійної гіперболічної та параболічної крайових задач шляхом зведення системи рівнянь в частинних похідних до нескінченної системи звичайних диференціальних рівнянь другого або першого порядку. Доведено, що наближений розв'язок останньої може бути отриманий з будь яким ступенем точності із розв'язку відповідної скороченої системи звичайних диференціальних рівнянь. Визначена оцінка розв'язку скороченої системи та доведена його єдиність.

Розроблено алгоритм розв'язку параболічної крайової задачі та еліптичної граничної задачі для областей зі змінною межею. Досліджена збіжність та визначена оцінка похибки розв’язку.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблений в дисертаційній роботі метод розв'язання нелінійної гіперболічної крайової задачі, алгоритм чисельної реалізації параболічної крайової задачі та еліптичної граничної задачі для областей з фазовими перетвореннями можуть бути застосовані до широкого класу систем диференціальних рівнянь з розподіленими параметрами. Побудовані моделі, запропонований метод та алгоритм використовуються в практиці проектування і розробки виробів космічної техніки на Науково–виробничому підприємстві “Хартрон-КОНСАТ” (м. Запоріжжя).

На основі результатів досліджень удосконалено технологічні процеси сушіння, зміцнення матеріалів і неруйнівного контролю виробів стосовно до системи керування бортовим апаратурним комплексом космічного апарата “Океан-О”, розробленого Державним конструкторським бюро “Південне” ім. М.К. Янгеля (м. Дніпропетровськ).

Особистий внесок здобувача. Всі результати, які складають дисертаційну роботу, одержані особисто здобувачем.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися: на Міжнародній конференції “Наука і освіта-98”, 23 - 30 квітня 1998 р., м. Одеса; на Міжнародній науково-методичній конференції “Комп'ютерне моделювання”, 29 червня - 1 липня 2000 р., м. Дніпродзержинськ; на науково-методичній конференції “Актуальні проблеми підготовки фахівців з митної справи”, 23 – 24 листопада 2000 р., м. Дніпропетровськ; на IV Міжнародній конференції “Наука і освіта - 2001”, 1 – 15 лютого 2001 р., м. Дніпропетровськ; на Міжнародній науково-методичній конференції “Комп'ютерне моделювання”, 25 - 27 квітня 2001 р., м. Дніпродзержинськ; на науково-технічному семінарі ДКБ “Південне” ім. М.К. Янгеля, 2000 р., м. Дніпропетровськ; на підсумкових конференціях Дніпропетровського національного університету за результатами науково-дослідної роботи (1998 – 2001р.р.); на міжвузівському семінарі (науковий керівник - д. ф- м. н., професор Кісельова О.М.) при кафедрі обчислювальної математики і математичної кібернетики Дніпропетровського національного університету, на семінарі при кафедрі математичних методів еколого – економічних досліджень Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (науковий керівник – д. ф- м. н., професор Ляшенко І.М.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані у восьми наукових статтях, з них шість надруковано у фахових виданнях, та семи матеріалах і тезах наукових конференцій.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що включає 92 найменування, одного додатку. Загальний обсяг дисертації становить 153 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі, зміст якого відповідає першій частині автореферату, подано загальну характеристику роботи.

Перший розділ містить огляд наукової літератури з математичного моделювання надвисокочастотних та теплових процесів у областях з рухомими межами. У підрозділі 1.1 розглянуті математичні моделі надвисокочастотних процесів в одношарових та багатошарових діелектричних матеріалах. У роботах М.Ю. Єгорова, М.О. Бєлова, В.В.Нікольського, М.М. Федорова, Hui Wei Ke, Wolff Ingo, Van der Pauw L. J., T. Zenneckа, Carrera Rodolfo побудовані моделі та проведені дослідження надвисокочастотних електромагнітних коливань в областях зі сталими межами.

Підрозділ 1.2 присвячено моделям теплових та масообмінних процесів, викликаних дією енергії випромінювання надвисоких частот, в областях з рухомими межами. Наведені труднощі щодо удосконалення, побудови математичних моделей та до розробки методів і алгоритмів їх чисельної реалізації.

Огляд досліджень показав, що відомі математичні моделі не враховують сумісну дію енергії надвисокочастотного випромінювання та температурних полів для областей з невідомими рухомими межами. Цей факт найшов своє відображення в підрозділі 1.3, де сформульовано напрям досліджень, який засновується на удосконаленні математичного моделювання надвисокочастотних та теплових процесів, розробці методу розв’язку задач з визначення температурних полів, полів вологовмісту та парціальних тисків газу та алгоритму розв’язку задач з визначення координат векторів електромагнітних полів в областях з рухомими межами.

Другий розділ присвячено формулюванню та дослідженню моделей надвисокочастотних і теплових процесів при фазових перетвореннях.

У підрозділі 2.1 побудовано нову математичну модель процесу, що створює певне електромагнітне поле та відповідне температурне поле у змінній області. Проведений якісний аналіз моделі.

Математична постановка цієї задачі - знайти координати векторів напруженості електричного та магнітного надвисокочастотних полів; температурні функції Т1(z,), Т2(z,) та функцію межі розподілу фаз (), що задовольняють наступним умовам:

, (1)

, (2)

, (3)

; (4)

Т1(z,), Т2(z,) визначені і рівномірно обмежені в областях

D1()={ (z,): 0 z (); 0 01

D2()={ (z,): () z 1; 0 01 відповідно;

Тi та неперервні в усюди, за винятком, бути може, точок (0, 0), (1, 0);

, 0 z (), (5)

Т1(z,0)=Tco(z); 0 z (0), (6)

0 z (0), (7)

T1(0,)= Tc(); 0 1 ; (8)

1, () z 1, (9)

Т2(z,0)=T0(z); (0) z 1, (10)

(0) z 1, (11)

T2(1,)= Tn(), 0 , (12)

причому

(0) = 0 0; (0)1. (13)

На межі розподілу фаз мають місце такі умови:

Т1((),)=Т2((),)=Тф(); (14)

, (15)

де індекси 1 і 2 відносяться, відповідно, до рідкої і твердої фаз; - коефіцієнти температуропровідності; -діелектрична і магнітна проникність та провідність середовища відповідно; - густина сторонього струму і заряду; – час; - частота; - теплоємність; - густина матеріалу; - коефіцієнт теплопровідності; - температура фазового перетворення; - швидкість переміщення межі розподілу фаз; - теплота фазового перетворення; - час температурної релаксації.

Будемо припускати, що задані функції мають неперервну першу похідну та задовільняють умовам:

, .

Крім того, кусково - неперервні.

Розв'язок задачі (5) - (15) визначається на відрізку часу 0 , протягом якого значення відмінне від нуля та одиниці.

Визначення. Під класичним розв'язком задачі (5) - (15) будемо розуміти трійку функцій , які неперервні, мають неперервні похідні до другого порядку і задовольняють усім поставленим умовам.

У підрозділах 2.2 та 2.3 наведено опис та обгрунтовання розробленого методу розв'язання нелінійної гіперболічної крайової задачі. Метод розв’язання задачі грунтується на відповідних інтегральних перетвореннях, які є усередненням значень шуканої функції. Таке усереднення повинно відповідати характеру фізичного процесу, а також певним крайовим умовам. Це дозволило на основі аналізу розв’язку для усереднених значень шуканої функції знайти ряд закономірностей протікання надвисокочастотних та теплових процесів. Доведена

Теорема. Нехай у задачі (5) - (15) функції неперервні і мають неперервну першу похідну, другі похідні цих функцій кусково - неперервні; - інтегрована по змінній z на відрізку для кожного в проміжку .

Тоді єдиний розв'язок задачі (5) - (15) можна одержати за наступними формулами

,

,

де

;

,

а коефіцієнти та невідома функція межі розподілу фаз , визначаються граничним переходом при з розв'язку задачі Коші для системи, що складається з звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:

У підрозділі 2.4 побудовано алгоритм розв’язання параболічної крайової задачі для випадку області з рухомою межею на прикладі рівняння

Mu = Ф, (19)

де

, a2 = const.

Застосовуючи інтегральне перетворення по змінній

до рівняння (19), одержано

,

де

.

Сформульовано достатні умови, при яких дане співвідношення може бути перетворене в звичайне диференціальне рівняння відносно , що є коефіцієнтом функціонального ряду.

Для поліпшення збіжності таких рядів в роботі запропоновано підхід, що істотно спрощує задачу і полягає в наступному: шукана функція u замінена двічі диференційовною функцією w = u - , відносно якої граничні умови перетворені на однорідні. Допоміжна функція має вигляд:

для крайових умов першого роду

,

;

Таким чином, метод розв'язання запропонованої моделі синтезує метод інтегральних перетворень для випадку змінної області, метод Рунге – Кутта розв’язання задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь і метод сіток розв’язання крайових задач системи звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

У підрозділі 2.5 досліджено збіжність розробленого алгоритму і визначена оцінка похибки розвязку.

Третій розділ присвячений побудові математичних моделей надвисокочастотних процесів в сталих та змінних областях. У підрозділі 3.1 визначено координати векторів електромагнітного поля в області без заповнення. Наведено розв’язок рівнянь Максвелла та Гельмгольца у тороїдній системі координат. Сформульовані крайові умови та наведено дисперсійне рівняння. Наведена залежність робочої частоти від геометричних параметрів області термообробки для шести типів коливань, проведено узагальнення результатів чисельної реалізації дисперсійного рівняння.

У підрозділі 3.2 визначені координати векторів електромагнітного поля для декількох типів коливань в області з одношаровим діелектричним заповненням.

У підрозділі 3.3 побудовано модель поширення надвисокочастотних електромагнітних полів в області із багатошаровим діелектричним заповненням.

На прикладі області зі змінним по довжині діелектричним заповненням, в підрозділі 3.4 наведено застосування розробленого алгоритму для визначення координат векторів електромагнитного поля в області з рухомою межею. Розроблений та чисельно реалізований алгоритм є ефективним при розв’язанні задач про фазові перетворення, коли одночасно необхідно визначити функцію процесу в двох чи більше дотичних середовищах та закон, за яким відбувається рух межі розподілу фаз. Запропонований алгоритм покладений в основу застосованих послідовних наближень, де нульове наближення задається законом руху межі фазового перетворення.

У четвертому розділі побудовано нову математичну модель теплових процесів під дією енергії надвисокочастотних полів в областях з рухомими межами.

У підрозділі 4.1 реалізовано розроблений метод для розв’язання задачі надвисокочастотного нагрівання області і тепломасообміну при її фазовому перетворенні. Як окремий випадок наведена крайова задача надвисокочастотного нагрівання області кінцевих розмірів з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла, що дозволила визначити розподіл температур у рідкій і твердій фазах в залежності від частоти і напруженості електромагнітного поля, а так само закон руху межі фазового перетворення.

У підрозділі 4.2 побудована математична модель надвисокочастотного сушіння. Визначені поля температур, закон руху межі розподілу фаз та поля вологовмісту в матеріалі, а також їх зв'язок з діючим електромагнітним полем. Застосовано кінцеве інтегральне перетворення з рухомою, залежною від часу межею та одержано розподіл температур в області матеріалу з низькою вологомісткістю

,

де

;

з високою вологомісткістю

,

де

.

Закон руху межі фазового перетворення визначено з умови енергетичного балансу на ізотермічній поверхні розподілу фаз

.

Досліджено зв'язок температури в області з високим та низьким вологовмістом в залежності від частоти і напруженості електромагнітного поля. Аналогічні результати отримано для полів вологовмісту.

У підрозділі 4.3 побудована та досліджена математична модель масопереносу в пористих матеріалах без наявності і з наявністю дифузійного опору, який виникає під дією енергії полів надвисоких частот.

У підрозділі 4.4 побудовано математичну модель надвисокочастотної зміцнювальної термообробки матеріалів. Отримана залежність температурної функції від частоти і напруженості надвисокочастотного поля для різних типів коливань. У підрозділі 4.5 удосконалена математична модель неруйнівного контролю в області з рухомою межею, де розподіл температури визначається відповідно до методу, розробленому в підрозділі 2.2.

ВИСНОВКИ

У дисертації наведене нове вирішення наукової задачі, що полягає в побудові нових нелінійних математичних моделей надвисокочастотних та теплових процесів в областях з рухомими межами фаз та розробці методу розв'язання нелінійної гіперболічної крайової задачі, алгоритмів чисельної реалізації параболічної крайової та еліптичної граничної задач.

1. Побудована нова нелінійна математична модель надвисокочастотних та теплових процесів з фазовими перетвореннями та проведено її якісний аналіз.

2. Розроблено та обгрунтовано метод розв'язку нелінійної гіперболічної крайової задачі, визначені умови його застосування.

3. Доведена можливість отримання розв'язку нелінійної гіперболічної та параболічної крайових задач шляхом зведення системи рівнянь в частинних похідних до нескінченної системи звичайних диференціальних рівнянь другого або першого порядку. Доведено, що наближений розв'язок останньої може бути отриманий з будь яким ступенем точності із розв'язку відповідної скороченої системи звичайних диференціальних рівнянь. Визначена оцінка розв'язку скороченої системи відносно коефіцієнтів функціональних рядів та доведено його єдиність. Обгрунтованість і достовірність отриманих результатів підтверджується тим, що в окремих випадках доведена теорема та лема збігаються з результатами інших авторів: Л.І. Рубінштейна, Г.А. Грінберга, В.Г. Меламеда.

4. Побудовано алгоритми розв'язку параболічної крайової та еліптичної граничної задач. Досліджена збіжність та визначена оцінка похибки розв’язків.

5. Уперше отримано розв’язок задачі надвисокочастотного нагрівання і тепломасообміну при фазових перетвореннях в області термообробки. Показано узагальнений характер отриманого розв’язку, окремі випадки якого збігаються з відомими.

6. Отримані поля температур і вологовмісту в області з рухомою межею при надвисокочастотному сушінні. Знайдені поля парціальних тисків газу в пористій області з урахуванням дифузійного опору та без наявності опору, досліджено їх зв’язок з діючим електромагнітним полем в області сублімації твердої фази.

7. Визначено розв’язок задачі надвисокочастотного зміцнення областей з одношаровим і багатошаровим діелектричним заповненням, як нелінійної гіперболічної крайової задачі.

8. Проведено ряд обчислювальних експериментів, якісний аналіз результатів яких підтверджує можливість застосування запропонованого методу для розв'язання нелінійних задач тепломасообміну під дією надвисокочастотної енергії.

9. Отримані в роботі результати дозволили удосконалити технологічні процеси сушіння, зміцнення і неруйнівного контролю виробів Науково – виробничого підприємства “ Хартрон – КОНСАТ” ( м. Запоріжжя ).

Вірогідність отриманих результатів підтверджується коректністю формулювання задачі, що розглядається, строгістю математичних викладок, використанням фундаментальних законів фізики надвисоких частот та теорії теплопровідності. Сформульовані та викладені в роботі припущення адекватні їх фізичному змісту та оцінкам меж їх використання.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Яковенко В.О. Математичне моделювання надвисокочастотних та теплових процесів у областях з рухомими межами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико – математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2002.

Дисертація присвячена побудові та дослідженню нелінійних математичних моделей надвисокочастотних та теплових процесів в областях з рухомими межами, розробці та обгрунтованню методу розвязання нелінійної гіперболічної крайової задачі, розробці алгоритмів та їх чисельної реалізації для параболічної крайової та еліптичної граничної задач по визначенню координат векторів електромагнітних надвисокочастотних полів, полів температур, вологовмісту та парціальних тисків газу в областях з рухомими межами. Доведена можливість отримання розв'язків нелінійної гіперболічної та параболічної крайових задач шляхом зведення системи рівнянь в частинних похідних до нескінченної системи звичайних диференціальних рівнянь другого або першого порядку. Визначена оцінка розв'язку такої системи звичайних диференціальних рівнянь відносно коефіцієнтів функціональних рядів. Досліджено збіжність запропонованих алгоритмів та визначена оцінка похибки одержаних розв’язків.

Ключові слова: нелінійна математична модель, метод чисельної реалізації, нелінійна гіперболічна крайова задача, область з рухомою межею, надвисокочастотні поля, температурні поля, вологовміст, парціальний тиск.

Yakovenko V.A. Mathematical modelling of microwave and thermal processes in the areas with mobile ambits - Manuscript.

Thesis for a Candidate’s Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.05.02 - mathematical modelling and calculating methods. - Dnepropetrovsk National University, Dnepropetrovsk, 2002.

Thesis is devoted to construction and investigation of nonlinear mathematical models of microwave and thermal processes in areas with mobile ambits, to development and a substantiation of a solution method of a nonlinear hyperbolic regional problem, to development of algorithms and their numerical realization for parabolic and elliptic boundary problems, to definition of coordinates of vectors of electromagnetic microwave fields, temperature fields, moisture content and partial gas pressure in the areas with mobile ambits. The opportunity of receiving of the decisions of nonlinear hyperbolic and parabolic regional problems is proved by reduction of system of the equations in partial derivatives to infinite system of the ordinary differential equations of the second or first order. The estimation of the decision of such system of the ordinary differential equations concerning factors of functional numbers is determined. The convergence of the proposed algorithms is investigated and the estimation of errors of the got solutions is defined.

Keywords: nonlinear mathematical model, a method of numerical realization, a nonlinear hyperbolic regional problem, area with mobile ambit, microwave fields, temperature fields, moisture content, partial pressure.

Яковенко В.А. Математическое моделирование сверхвысокочастотных и тепловых процессов в областях с подвижными границами. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико – математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2002.

Диссертация посвящена построению и исследованию математических моделей сверхвысокочастотных и тепловых процессов в областях с подвижными границами, разработке и обоснованию метода решения нелинейной гиперболической краевой задачи по определению температурных полей при фазовых превращениях.

Построен алгоритм решения параболической краевой задачи по определению полей влагосодержания и парциальных давлений газа, а так же эллиптической граничной задачи по определению координат векторов электромагнитного сверхвысокочастотного поля в области с переменной границей, определены условия применимости алгоритма, исследована сходимость и оценка погрешности решения. Установлены значения параметров общей нелинейной математической модели для построения локальных моделей сверхвысокочастотных процессов, определена их связь с тепловыми процессами в областях с подвижными границами.

Доказана возможность получения решения нелинейной гиперболической и параболической краевых задач путем сведения системы уравнений в частных производных к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго или первого порядка. Определена оценка решения такой системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов функциональных рядов.

Разработана математическая модель процессов тепло - и влагообмена в области сверхвысокочастотной сушки с подвижной границей. Показано повышение интенсивности и равномерности прогрева, а так же изменение формы физико – механической связи влаги с материалом под действием энергии сверхвысоких частот.

Впервые получено решение задачи сверхвысокочастотного упрочнения как нелинейной гиперболической краевой задачи с подвижной границей раздела фаз.

Полученные в работе результаты математического моделирования сверхвысокочастотных и тепловых процессов в областях с подвижными границами позволили усовершенствовать технологические процессы сушки, упрочнения материалов и неразрушающего контроля изделий Научно – производственного предприятия “ Хартрон – КОНСАТ” ( г. Запорожье ).

Ключевые слова: нелинейная математическая модель, метод численной реализации, нелинейная гиперболическая краевая задача, область с подвижной границей, сверхвысокочастотные поля, температурные поля, влагосодержание, парциальное давление.

Підписано до друку 29.05.2002. Формат 60 х 90 / 16. Папір друкарський. Друк плоський. Гарнітура Times New Roman Cyr. Умов. друк. арк. 1. Тираж 100 прим. Замовлення № 1331. Друкарня ДНУ, 49050, м. Дніпропетровськ - 50, вул. Козакова, 46.