КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ЗЕЛІСКО Галина Володимирівна

УДК 512.553

УЛЬТРАДОБУТКИ НЕТЕРОВИХ V-ОБЛАСТЕЙ

ТА ЇХ ТЕОРЕТИКО-СКРУТОВІ ВЛАСТИВОСТІ

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університету імені Івана Франка на кафедрі алгебри і топології

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, доцент

Комарницький Микола Ярославович

Львівський національний університет імені Івана Франка,

в. о. завідувача кафедри алгебри і топології

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Сергійчук Володимир Васильович

Інститут математики НАН України, (м. Київ)

старший науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, професор

Кашу Олексій Іванович

Інститут Математики і Інформатики Академії Наук Молдови, (м. Кишинів)

головний науковий співробітник

Провідна установа:

Ужгородський національний університет, кафедра алгебри

Міністерство освіти і науки України, (м. Ужгород)

Захист відбудеться “27” травня 2002 року о 1400 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01127, м.Київ, проспект академіка Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано 17 квітня 2002 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ______________ В.В.Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Конструкція редукованого добутку та його часткового випадку – ультрадобутку, добре зарекомендувала себе в алгебрі, математичній логіці, топології, аналізі та інших розділах математики завдяки її здатності відрізняти властивості математичних об'єктів, які виражаються логічною мовою першого порядку відповідної сигнатури. Разом з тим існує ряд робіт, в яких за допомогою ультрадобутку побудовано контрприклади до відомих гіпотез.

Історично поняття ультрадобутку вперше було введене у 1955 році польським математиком Лосем і знайшло широке застосування в різних галузях математики. Перша монографія, присвячена ультрадобуткам, написана у 1969 році голандськими математиками Д. Беллом та А. Сломсоном.

Роль ультрадобутків в алгебрі найкраще розкрита у монографіях Хельмута Ленцінга, Крістіана Єнсена, Гріга Черліна та огляді Пітера Еклофа під назвою “Ультрадобутки для алгебраїстів”, опублікованому в першому томі “Довідкової книги з математичної логіки”. Застосування ультрадобутків у топології найбільш повно висвітлені в працях П. Банкстона, Д. Гінсбурга, В. Сакса та Г. Воглера. Категорні та теоретико-модельні результати, зв'язані з ультрадобутками, викладені в працях Т. Окуми, С. Факіра, Л. Хаддада, Г. Гейна, І. Неметі, С. Кочена, М. Макайї та інших. Застосування ультрадобутків в аналізі відображені в роботах спеціалістів у галузі нестандартного аналізу, зокрема А. Робінсона.

Велику кількість робіт, що виходять у світі, присвячено вивченню прямих добутків кілець і, зокрема, прямих степенів кілець, які, насправді, є кільцями функцій. Останнім часом з'явилося ряд робіт, в яких розглядається так звана внутрішня операція ультрадобутку множин, що значно розширює можливості використання топології в алгебрі (див. праці Георга Нельсона, Луї Касерес-Дюке та інших). Викладене вище підтверджує той факт, що вивчення ультрадобутків – перспективна галузь алгебри. Проте у даній роботі розглядається лише зовнішня операція ультрадобутку математичних структур, тобто в такому розумінні, в якому поняття ультрадобутку з'явилося в працях Лося.

Нагадаємо, що V-кільцем називається асоціативне кільце з одиницею, над яким всі прості ліві та всі прості праві модулі є ін'єктивними. Поняття V-кільця було введено О. Вільямайором, а потім клас цих кілець інтенсивно досліджувався багатьма відомими алгебраїстами. Зауважимо, що І. Капланський ще у 1956 році довів (без використання цієї термінології), що комутативне кільце є V-кільцем тоді і тільки тоді, коли воно є регулярним у сенсі Неймана (або абсолютно плоским в термінології Н. Бурбакі). У даній роботі вивчається ультрадобуток нетерових V-областей відносно неголовного ультрафільтру над деякою нескінченною множиною.

Л. Койфман і Дж. Коззенс незалежно побудували приклад V-області головних ідеалів, який продемонстрував, що випадки некомутативного і комутативного кілець суттєво відрізняються один від одного. Цей результат був дуже несподіваним і розкрив причини труднощів, які виникли при розв'язанні відомої проблеми Басса про описання кілець, над якими кожний ненульовий модуль має максимальний підмодуль.

У монографії Дж. Коззенса та К. Фейса “Прості нетерові кільця”, яка вийшла в 1975 році, висвітлені всі, відомі на той час, властивості та факти про V-кільця. У цій книзі викладено також ряд відкритих проблем. На даний час більшість з них вже розв'язані.

У 1979 році Р. Доміано довів, що кільця, над якими всі власні циклічні модулі є ін'єктивними, обов'язково будуть нетеровими. Також було встановлено існування V-кілець з наперед заданою кількістю класів ізоморфізму простих модулів. Приклад V-кільця, над яким існує зліченна кількість попарно неізоморфних простих модулів, був сконструйований Б. Ософською. Фейс навів приклад правого V-кільця, яке не є лівим V-кільцем. Таким кільцем є кільце лінійних перетворень нескінченновимірного лівого простору над тілом.

М.Я. Комарницький розв'язав одну з найважчих проблем з цієї монографії: чи буде зліченна ультрастепінь V-області Койфмана-Коззенса відносно зліченно-неповного ультрафільтру над множиною натуральних чисел знову V-областю? Відповідь на дане запитання виявилася позитивною і грунтується на методиці автора, за якою будуються максимальні ліві ідеали в такому ультрадобутку. Відзначимо, що сучасний стан справ у галузі дослідження V-кілець найбільш повно висвітлений у новій книзі К. Фейса про розвиток асоціативної алгебри у 20-му столітті (C.Faith, Aspects of twentieth century associative algebra, ring and modules theory).

Наведемо деякі відомості про задачу описання ідеалів в ультрадобутках кілець. Міхлер і Вільямайор довели, що для того, щоб кільце було V-кільцем, необхідно і достатньо, щоб кожний лівий ідеал цього кільця був перетином максимальних лівих ідеалів, а це еквівалентно тому, що радикал Джекобсона кожного лівого модуля є нульовим. У 1975 році Г. Черлін описав ідеали в ультрадобутках кілець алгебраїчних чисел, а деякі застосування цього результату були запропоновані А. Макінтайром.

Відмічені результати чітко показали необхідність розробки загальної методики побудови лівих (чи правих) ідеалів в ультрадобутках або ультрастепенях некомутативних кілець, що й зробив М.Я. Комарницький у випадку, коли в якості множників беруться області головних ідеалів. За модель описання гратки ідеалів ультрадобутку кілець він взяв теорію ідеалів кілець мероморфних функцій, побудовану Н. Алінгом. Було знайдено формулу, яка описує загальний вигляд лівих максимальних ідеалів в ультрадобутку V-областей головних ідеалів.

У даній роботі узагальнено результати М.Я. Комарницького на випадок ультрадобутку сім'ї нетерових V-областей відносно неголовного ультрафільтру над деякою нескінченною множиною. Більше того, описано гратку лівих ідеалів в ультрадобутку нетерових V-областей за допомогою ?-фільтрів над головними замкненими підмножинами. Також в дисертаційній роботі досліджено будову всіх лівих максимальних ідеалів в ультрадобутку нетерових V-областей.

У дисертаційній роботі також досліджуються кільця ендоморфізмів ультрадобутків модулів. Кільця ендоморфізмів модулів є природнім узагальненням класичних алгебр лінійних перетворень векторних просторів (як скінченновимірних, так і нескінченновимірних). Цим пояснюється значний інтерес до вивчення будови кілець ендоморфізмів, до знаходження їх ідеалів та дослідження поведінки інших загально-алгебраїчних конструкцій. Актуальність цього напрямку підтверджують праці Г. Бергмана, Е. Грушовського та інших, в яких піднімаються цікаві і важливі проблеми дослідження ідеалів у кільцях ендоморфізмів нескінченновимірних лінійних просторів через лінійні фільтри і ультрафільтри підпросторів у цих просторах.

Ряд вчених досліджували будову кілець ендоморфізмів спеціальних типів модулів. Найповніші результати отримуються у випадку вільних, ін'єктивних та проективних модулів, оскільки у цих випадках простежується певна аналогія з класичним випадком лінійних просторів. Важливий вклад у розробку питань такого типу внесли М. Артін, Г. Адзумая, О.В. Михальов та інші автори.

У роботі встановлено необхідні та достатні умови ізоморфності кільця ендоморфізмів ультрадобутку вільних модулів та ультрадобутку кілець ендоморфізмів цих модулів і доведено, що друге зі згаданих кілець є щільним у першому. Цим підтверджується деяка схожість отриманого результату зі знаменитою теоремою щільності Джекобсона.

В якості застосування методики дослідження, яка розвивається у першому розділі, у другому розділі досліджується теоретико-скрутовий спектр ультрадобутку V-областей головних ідеалів.

Нагадаємо, що поняття спектру кільця вперше виникає в алгебраїчній геометрії як засіб залучення геометричної інтуїції у процес дослідження алгебраїчних об'єктів. Природно, що ідея спектру експлуатується і при намаганні узагальнення основних ідей алгебраїчної геометрії на некомутативний випадок. Проте, як виявилось, перехід у некомутативну сферу спряжений з можливістю просування у багатьох суттєво відмінних, але цікавих і достатньо важливих напрямках.

Перший з них прямий і приводить до поняття первинного спектру, тобто топологічного простору всіх первинних двосторонніх ідеалів кільця з топологією Зариського. Слабкою стороною цього спектру є, наприклад, те, що усі прості кільця мають одноточковий первинний спектр. Проте, у кільцях з поліноміальною тотожністю, він веде себе майже так само, як класичний спектр у комутативному випадку. Найсерйозніших успіхів у дослідженні первинного спектру добились М. Артін, Ф. Ван Овстаєн та інші відомі алгебраїсти.

Другий напрямок, у якому йде намагання узагальнити ідеї алгебраїчної геометрії в некомутативному контексті, бере свій початок від робіт П. Габріеля, І. Ламбека, Дж. Міхлера, О. Гольдмана й інших відомих математиків. Кінцеве означення цього спектру дав у 1969 році Н. Попеску. Йдеться про лівий теоретико-скрутовий спектр асоціативного кільця, точками якого є первинні скрути в категорії лівих модулів, а топологія задається певним цілком природнім чином. Важливість цього спектру в тому, що він співпадає з класичним спектром у комутативному випадку і навіть у випадку простих кілець розрізняє геометричні аспекти алгебраїчних властивостей кілець чи алгебр. Недолік цього спектру в громіздкості його конструкції, адже саме означення опирається на технічно складну і надзвичайно абстрактну теорію скрутів у модулях, підсумок сучасного розвитку якої підведено у відомій всеохоплюючій монографії Дж. Голана 1987 року. Разом з тим, у деяких важливих класах некомутативних кілець цей спектр веде себе досить природно і є корисним при описанні властивостей цих класів. Зокрема, він дає позитивну геометричну інформацію навіть у випадку простих кілець. У даній дисертації отримане повне описання теоретико-скрутового спектру ультрастепені зліченної сім'ї V-областей головних ідеалів. Воно опирається на введені у дисертації поняття ультрадобутку скрутів і ультрадобутку радикальних фільтрів та встановлення їх поведінки в деяких конкретних випадках, важливих для застосувань.

Висловлені вище міркування підтверджують актуальність теми дисертації і підкреслюють логічну взаємозв'язаність між, здавалося, різними аспектами проведених досліджень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень кафедри алгебри і топології механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка. Результати дисертації частково використані при виконанні завдань держбюджетної теми МГ 79 Б “Асимптотичні властивості голоморфних функцій, алгебро-топологічні структури та їх застосування”.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є:–

описання гратки лівих ідеалів ультрадобутку нетерових V-областей з допомогою ?-фільтрів над головними замкнутими підмножинами;–

описання будови максимальних лівих ідеалів в ультрадобутку зліченної сім'ї нетерових V-областей шляхом знаходження загальної формули, яка задає будову довільного максимального лівого ідеала в ультрадобутку нетерових V-областей;–

встановлення необхідних і достатніх умов ізоморфності кільця ендоморфізмів ультрадобутку вільних модулів та ультрадобутку кілець ендоморфізмів цих модулів і доведення того, що друге зі згаданих кілець є щільним у першому кільці;–

обчислення теоретико-скрутового спектру ультрадобутку V-областей головних ідеалів з використанням поняття основного скруту.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати є новими. У дисертаційній роботі:

- вперше описано гратку лівих ідеалів ультрадобутку нетерових V-областей з допомогою ?-фільтрів над головними замкнутими підмножинами;–

встановлено, що в ультрадобутку нетерових V-областей кожний лівий ідеал, який сам є ультрадобутком лівих ідеалів з відповідних компонент, володіє зображенням у вигляді нескоротного перетину максимальних двопороджених лівих ідеалів і досліджено питання про його однозначність;–

вперше описано будову максимальних лівих ідеалів в ультрадобутку зліченної сім'ї нетерових V-областей;–

знайдено формулу, яка задає континуальнопороджені максимальні ліві ідеали в ультрадобутку нетерових V-областей з допомогою зліченних послідовностей максимальних ідеалів і ультрафільтрів над множиною натуральних чисел;–

вперше встановлено необхідні та достатні умови ізоморфності кільця ендоморфізмів ультрадобутку проективних скінченнопороджених модулів та ультрадобутку кілець ендоморфізмів цих модулів;–

доведено, що ультрадобуток кілець ендоморфізмів вільних скінченнопороджених модулів є щільним підкільцем у розумінні Джекобсона у кільці ендоморфізмів ультрадобутку цих модулів;–

описано теоретико-скрутовий спектр ультрадобутку V-областей головних ідеалів;–

за відомими спектрами кожного кільця з сім'ї кілець {Ri}iєN побудовано ультрадобуток сім'ї скрутів {уi}iєN відносно ультрафільтру D, який називається основним скрутом, і доведено, що він належить до спектру ультрадобутку R сім'ї кілець {Ri}iєN відносно ультрафільтру D;–

побудовано весь спектр кільця R, використовуючи основні первинні скрути.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичне значення. Одержані результати можуть знайти застосування у дослідженні ультрадобутків різних алгебраїчних структур та для побудови деяких контрприкладів, зокрема прикладу не нетерової V-області.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, включені у дисертацію, одержані здобувачем самостійно. Деякі з результатів опубліковані у співавторстві з науковим керівником.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики”, присвяченій 70-річчю від дня народження академіка НАН України Ярослава Степановича Підстригача та 25-річчю заснованого ним Інституту прикладних проблем механіки і математики (25–28 травня 1998 р.); на Другій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні, присвяченій пам'яті професора Л.А. Калужніна (1914–1990) (Київ–Вінниця, 9–16 травня 1999 р.); на Конференції молодих математиків “Сучасна алгебра та її застосування”, присвяченій 40-річчю кафедри алгебри і математичної логіки Київського університету імені Тараса Шевченка (29 вересня 1999 р.); на The Ninth International Conference “Groups and Group Rings” (Bialystok, 18–23 June 2001); на третій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Суми, 2001); на Львівському міському алгебраїчному семінарі; на семінарах кафедри алгебри і топології Львівського національного університету імені Івана Франка (Львів, 1998–2001 рр.); на алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2001 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у роботах [1–7], з яких 3 – у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації – 115 сторінок. Список використаних джерел включає 118 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівникові М.Я. Комарницькому за наукове керівництво та постійну увагу при виконанні даної дисертаційної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Коротко охарактеризуємо зміст роботи.

У вступі обґрунтована актуальність дисертаційного дослідження, визначена мета і об'єкти дослідження.

У розділі 1 дається огляд літератури, присвяченої ультрадобуткам різних алгебраїчних структур.

У дисертації всюди розглядаються тільки асоціативні кільця з одиницею 1№0. Вважатимемо також, що кільцеві гомоморфізми зберігають одиницю, а модулі припускаються унітарними.

Нехай {Ri}iє? сім'я кілець, ? – довільна нескінченна множина індексів. Розглянемо K=Ri прямий (декартовий) добуток цієї сім'ї кілець. Нехай D - ультрафільтр над ?. На K=Ri введемо відношення еквівалентності:

(ai)iє? ~ (bi)iє? -{iє? | ai =bi }єD.

Фактор-множина R=(Ri)/D буде кільцем з операціями додавання і множення, які здійснюються по представниках. Це кільце називається ультрадобутком сім'ї кілець {Ri}iє? за ультрафільтром D.

Якщо Ai лівий ідеал кільця Ri для кожного iє?, то A=(Ai)/D буде лівим ідеалом в R. Ідеали такого виду називаються основними ідеалами.

V-кільцем називається асоціативне кільце з одиницею, над яким всі прості ліві і всі прості праві модулі є ін'єктивними. Міхлер і Вільямайор довели, що кільце є V-кільцем тоді і тільки тоді, коли будь-який лівий ідеал цього кільця є перетином максимальних лівих ідеалів.

М.Я. Комарницький довів, що якщо {Ri}iє? - сім'я лівих V-областей, то кожний основний лівий ідеал кільця R=(Ri)/D є перетином деякої сім'ї основних максимальних ідеалів кільця R.

У монографії Коззенса і Фейса доведено, що у нетеровій V-області кожний максимальний ідеал породжується не більш, ніж двома елементами.

У розділі 2 розглядаються ліві ідеали в ультрадобутку нетерових V-областей.

Теорема 2.1.3: Кожний скінченнопороджений лівий ідеал кільця R=(Ri)/D, де Ri - нетерова V-область для кожного iє?, а D – неголовний ультрафільтр над ?, є перетином деякої множини основних, не більш як двопороджених, лівих максимальних ідеалів.

Означення 2.1.4: Зображення лівого ідеалу I кільця R у вигляді перетину максимальних лівих ідеалів

I=Mi

назвемо нескоротним, якщо для кожного ?є?

I?Mi.

Теорема 2.1.5: Нехай {Ri}iє? - сім'я нетерових V-областей і D - неголовний ультрафільтр над ?. Тоді кожний основний лівий ідеал у кільці R=(Ri)/D, володіє нескоротним зображенням у вигляді перетину деякої сім'ї двопороджених максимальних лівих ідеалів.

Твердження 2.1.9: Ультрадобуток будь-якої сім'ї нетерових V-областей є V-областю, в якій кожний скінченнопороджений ідеал є двопородженим.

Опишемо гратку лівих ідеалів ультрадобутку нетерових V-областей. Множину всіх основних максимальних лівих ідеалів кільця R=(Ri)/D позначимо через Lmspec(bs)(R). Кожний елемент rєR визначає головну замкнуту підмножину

V(R )={M є Lmspec(bs)(R) | r є M}

множини Lmspec(bs)(R). Сукупність всіх головних замкнутих підмножин множини Lmspec(bs)(R) позначимо через C(bs)(R). Тепер можемо ввести поняття ?-фільтру над множиною C(bs)(R).

Сукупність елементів F множини C(bs)(R) називається ?-фільтром над C(bs)(R), якщо виконуються такі умови:

Д?.1. Для довільних U,VєF множина UV також належить до F.

Д?.2. Для кожної множини UєF і для кожної множини VєC(bs)(R) з умови UV випливає, що VєF.

Якщо, крім того, виконується умова

Д?.3. F.

то ?-фільтр F називається власним ультрафільтром.

Максимальні ?-фільтри над множиною C(bs)(R) називаються ?-ультрафільтрами.

Множина LC(bs)(R) всіх ?-фільтрів над C(bs)(R) є частково-впорядкованою відносно відношення включення. Насправді, ця множина є граткою відносно операції перетину ?-фільтрів і операції взяття найменшого ?-фільтру, що містить обидва задані ?-фільтри.

Теорема 2.2.2: Нехай {Ri}iє? - сім'я нетерових V-областей, D -неголовний ультрафільтр над ? і R=(Ri)/D. Тоді відображення

и:L(R)?LC(R),

яке кожному лівому ідеалу I кільця R ставить у відповідність ?-фільтр FI, що визначається рівністю

FI ={V(R ) | r є I },

є ізоморфізмом граток і, крім того, и(I) є ?-ультрафільтром тоді і тільки тоді, коли I є максимальним лівим ідеалом кільця R.

Для описання максимальних лівих ідеалів в ультрадобутках нетерових V-областей обмежимося найтиповішим випадком, коли множина індексів є зліченною, тобто ?=N і ультрафільтр D, відносно якого розглядаємо ультрадобуток, вважаємо неголовним.

Якщо задано зліченну послідовність максимальних ідеалів {Mi}iєN кільця R=(Ri)/D, то будемо вважати, що

Mi=(Mij)/D, iєN,

де Mij– максимальний ідеал кільця Rj, jєN.

Означення 2.1.3: Послідовність максимальних ідеалів {Mi}iєN називається нефінітарною, якщо

MiMn+1

для кожного i=1,2,…

Маючи нефінітарну послідовність максимальних ідеалів, з допомогою будь-якого ультрафільтру F над N можемо визначити деякий лівий ідеал кільця R, який позначимо I(M,F). Цей ідеал задається рівністю

I(M,F)=Mi).

Теорема 2.4.4: Будь-який континуально-породжений лівий максимальний ідеал в ультрадобутку зліченної сім'ї нетерових V-областей має вигляд

I(M,F )=Mi),

де {Mi}iєN нефінітарна послідовність максимальних двопороджених ідеалів кільця R, а F - деякий неголовний ультрафільтр над N.

Третій розділ присвячено розгляду кілець ендоморфізмів ультрадобутків модулів. У розділі також досліджується теоретико-скрутовий спектр ультрадобутку V-областей головних ідеалів.

Нехай {Ri}iє? - сім'я кілець, D -ультрафільтр над ?, R=(Ri)/D - ультрадобуток цієї сім'ї кілець відносно ультрафільтру D. Нехай Mi - лівий Ri - модуль для кожного iє?. Розглядаємо лівий R -модуль M=(Mi)/D.

Можемо розглянути кільця EndRi Mi, для кожного iє? та

EndRM=EndR((Mi)/D).

Розглянемо кільце (EndRiMi)/D - ультрадобуток сім'ї кілець ендоморфізмів {EndRi M}iє? відносно ультрафільтру D.

Доведено, що кільце (EndRiMi)/D є підкільцем кільця EndR((Mi)/D).

Теорема 3.1.3: Вкладення

(EndRiMi)/D ? EndR((Mi)/D).

є ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли {Mi}iє? - сім'я таких скінченнопороджених проективних Ri - модулів, що для кожного iє? існують такі елементи mi1,…,min є Mi і gi1,…,gin є HomR (Mi, Ri), що для довільного ni є Mi справедлива рівність

ni=gij(ni)mij,

і що існує така множина UєD, що для кожного iєU ki = n, де n - фіксоване натуральне число.

Теорема 3.1.5: Якщо {Mi}iє? - сім'я вільних скінченнопороджених Ri-модулів, то кільце (EndRiMi)/D є щільним підкільцем у розумінні Джекобсона в кільці EndR((Mi)/D).

Тобто, якщо e1, e2,…,en - лінійно-незалежні елементи з M=(Mi)/D, то для довільного ц?EndR((Mi)/D) існує fє(EndRiMi)/D таке, що ц(ej)=f·ej для кожного jє{1,2,…,n}.

У третьому розділі також досліджується теоретико-скрутовий спектр (або лівий спектр у розумінні Попеску ) ультрадобутку V-областей головних ідеалів. При розгляді скрутів дотримуватимемось термінології з монографії Д. Голана.

Нехай R - асоціативне кільце з 1?0.

Означення 3.2.1: Скрут у в категорії R-Mod - це підфунктор тотожнього функтора у: R-Mod > R-Mod, такий що

1) кожному модулю M ставиться у відповідність такий його підмодуль у(M), що у(M)M;

2) для кожного гомоморфізму f:M1 ? M2 існує таке звуження f |у(M):у(M1) > у(M2), що f(у(M1))у(M2);

3) для кожного лівого модуля M та довільного його підмодуля NM у(N)=N?у(M);

4) для кожного лівого модуля M у(M/у(M))=0.

Кожний скрут у категорії R-Mod визначає два класи модулів:

фу={MєR-Mod | у(M)=M} -

клас у - періодичних модулів і

fу={M є R-Mod | у(M)=0} -

клас у-напівпростих модулів.

Означення 3.2.2: Скрут у копороджується модулем M, якщо

фу={N | Hom(N,E(M))=0},

де фу- клас у– періодичних модулів.

Скрут, копороджений ін'єктивною оболонкою модуля M позначатимемо через ч(M).

Нехай R - деяке асоціативне кільце з 1?0 і у - скрут у категорії R-Mod.

Означення 3.2.3: Лівий R-модуль M називається кокритичним, якщо він є у-кокритичним для деякого скруту у, тобто якщо він є у-напівпростим, (у(M)=0) і для кожного ненульового його підмодуля N модуль M/N є у- періодичним, тобто у(M/N)=M/N.

Означення 3.2.4: Скрут у називається первинним, якщо він копороджується деяким кокритичним модулем M.

Множину всіх первинних скрутів у категорії R-Mod позначаємо R-Sp. Попеску називає її лівим спектром кільця R.

Голан показав, що якщо R є V-областю головних ідеалів, то кожний скрут у?R-Sp копороджується, або простим модулем, або тілом дробів K кільця R, розглядуваним як лівий R-модуль.

Означення 3.2.5: Радикальний фільтр ? кільця R - це система лівих ідеалів кільця R, яка має наступні властивості:

1) IJ, J є L(R ), I є ? > J є ?;

2) I, J є е > I?J ? е;

3) I є ?, л ?R ? (I:л)={xєR | xл ? I} є ?;

4) IJ, J є ?, j є J, (I:j) є ? > I є ?.

За теоремою Габріеля-Маранди кожному скруту в категорії R-модулів однозначно відповідає деякий радикальний фільтр кільця R і навпаки. Ця відповідність задається наступним чином:

у>еу={I | I є L(R), у(R/I)=R/I};

е>уе: M > уе(M)={m | m єM, I є ? I·m=0}.

Нехай {Ri}iєN - сім'я V-областей головних ідеалів і R=(Ri)/D - ультрадобуток цієї сім'ї кілець відносно неголовного ультрафільтра D над множиною натуральних чисел.

Нехай для кожного iєN скрут уi є первинним скрутом у категорії Ri-Mod. Розглянемо

еi={I | I є L(Ri), у(Ri/I)=Ri/I}-

радикальний фільтр кільця Ri, який відповідає скруту уi. Побудуємо радикальний фільтр кільця R, поклавши

е={I є L(R) | I (Ii)/D, iєN, Ii є ?i }.

Побудований таким чином радикальний фільтр ? назвемо ультрадобутком сім'ї радикальних фільтрів {еi}iєN і записуємо

е=(еi)/D.

Цьому радикальному фільтру однозначно відповідає деякий скрут уе у категорії R-Mod. Цей скрут уе називатимемо ультрадобутком сім'ї скрутів {уi}iєN відносно ультрафільтру D і позначатимемо через у=(уi)/D. Якщо K=(Ki)/D – ультрадобуток сім'ї лівих Ri – модулів, то

уе(K)={k | k=, k є K, I є ?, I·k=0}.

Такий скрут уе називається основним скрутом у категорії R-Mod.

Теорема 3.2.8: Скрут уе копороджується модулем M=(Mi)/D –де Mi є ін'єктивним котвірним для первинного скруту уi для кожного iєN. При цьому уе є R-Sp.

Позначимо через R-Bsp множину всіх основних первинних скрутів у категорії R-Mod. Якщо K- нескінченна підмножина в R-Bsp і F- неголовний ультрафільтр над K, то визначимо множину еK,F лівих ідеалів кільця R:

еK,F={I є L(R) | U є F у ? U I є ?у }.

Теорема 3.2.9: Множина еK,F є радикальним фільтром кільця R, а скрут уK,F, який йому відповідає, є первинним.

Теорема 3.2.10: Кожний неосновний первинний скрут у категорії R-Mod, який не копороджується тілом дробів області R має вигляд уK,F для деякої зліченної або континуальної підмножини K в R-Bsp і деякого неголовного ультрафільтру F над K.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розглядається ультрадобуток нетерових V-областей відносно неголовного ультрафільтру над деякою нескінченною множиною. Узагальнено результати М.Я. Комарницького про будову лівих максимальних ідеалів в ультрадобутку V-областей головних ідеалів.

У роботі описано гратку лівих ідеалів ультрадобутку нетерових V-областей з допомогою ?-фільтрів над головними замкнутими підмножинами. Встановлено, що в ультрадобутку нетерових V-областей кожний лівий ідеал, який сам є ультрадобутком лівих ідеалів з відповідних компонент, володіє зображенням у вигляді нескоротного перетину максимальних двопороджених лівих ідеалів і досліджено питання про його однозначність.

Описано будову максимальних лівих ідеалів в ультрадобутку зліченної сім'ї нетерових V-областей. Знайдено формулу, що задає континуальнопороджені максимальні ліві ідеали в ультрадобутку нетерових V-областей з допомогою зліченних послідовностей максимальних ідеалів і ультрафільтрів над множиною натуральних чисел.

Встановлено необхідні та достатні умови ізоморфності кільця ендоморфізмів ультрадобутку проективних скінченнопороджених модулів та ультрадобутку кілець ендоморфізмів цих модулів. Доведено, що ультрадобуток кілець ендоморфізмів вільних скінченнопороджених модулів є щільним підкільцем у розумінні Джекобсона в кільці ендоморфізмів ультрадобутку цих модулів.

Досліджено теоретико-скрутовий спектр ультрадобутку V–областей головних ідеалів, за відомими спектрами кожного кільця з сім'ї кілець {Ri}iєN побудовано ультрадобуток сім'ї скрутів {уi}iєN відносно ультрафільтру D, який називається основним скрутом, і доведено, що він належить до спектру ультрадобутку R сім'ї кілець {Ri}iєN відносно ультрафільтру D. Побудовано весь спектр кільця R з використанням основних первинних скрутів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Г.Зеліско. Про кільця ендоморфізмів модулів над ультрадобутками кілець // Міжнародна наукова конференція “Сучасні проблеми механіки і математики”, присвячена 70-річчю від дня народження Я.С.Підстригача. Тези доповідей. Львів. – 1998. – С. .

2. Г.В.Зеліско. Про кільця ендоморфізмів ультрадобутків вільних кілець // Вісник Львівського університету, серія механіко-математична, вип. 53. – 1999. – С. –9.

3. Зеліско Г.В. Ультрадобутки кілець ендоморфізмів проективних модулів // Друга міжнародна алгебраїчна конференція в Україні, присвячена пам'яті професора Л.А.Калужніна. Тези доповідей. Київ–Вінниця. – 1999. – С. .

4. Зеліско Г.В. Про теоретико-скрутовий спектр ультрадобутку V-областей головних ідеалів // Вісник Київського університету, серія: фізико-математичні науки, вип. . – 1999. – С. –46.

5. Зеліско Г.В., Комарницький М.Я. Ультрадобутки нетерових V-областей та їх ідеали // Вісник Київського університету, серія: фізико-математичні науки, вип. . – 2000. – С. –56.

6. Зеліско Г.В., Комарницький М.Я. Максимальні ідеали в ультрадобутках нетерових V-областей // Третя міжнародна алгебраїчна конференція в Україні. Тези доповідей. Суми. – 2001. – С. –182.

7. HalynaDetermination up to linkness of maximal ideals in the ultraproducts of the Noetherian V-domains // The Ninth International Conference “Groups and Group Rings”. Bialystok. – 2001. – P. 33–35.

АНОТАЦЇЇ

Зеліско Г.В. Ультрадобутки нетерових V-областей та їх теоретико-скрутові властивості. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2001.

У роботі описано гратку лівих ідеалів ультрадобутку нетерових V-областей та будову максимальних ідеалів в ультрадобутку зліченної сім'ї нетерових V-областей. Знайдено формулу, яка задає континуальнопороджені максимальні ліві ідеали в ультрадобутку нетерових V-областей з допомогою зліченних послідовностей максимальних ідеалів і ультрафільтрів над множиною натуральних чисел. Встановлено необхідні і достатні умови ізоморфності кільця ендоморфізмів ультрадобутку вільних модулів та ультрадобутку кілець ендоморфізмів цих модулів. Досліджено теоретико-скрутовий спектр ультрадобутку V-областей головних ідеалів.

Ключові слова: ультрадобуток кілець, нетерове кільце, V-кільце, максимальний ідеал, кільце ендоморфізмів, скрут.

Зелиско Г.В. Ультрапроизведения нетеровых V-областей и их теоретико-крученческие свойства. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

Диссертационная работа посвящена изучению ультрапроизведений нетеровых V-областей. В диссертации дано описание решетки левых идеалов ультрапроизведения нетеровых V-областей с помощью решетки ?-фильтров над главными замкнутыми подмножествами множества всех основных идеалов данного кольца. Доказано, что в ультрапроизведении нетеровых V-областей каждый двухпорожденный левый идеал обладает несократимым изображением в виде пересечения некоторого семейства двухпорожденных левых максимальных идеалов этого кольца. Доказано, что ультрапроизведение любого семейства нетеровых V-областей является V-областью, в которой каждый конечнопорожденный левый (правый) идеал является двухпорожденным.

Найдено формулу, которая описывает любой континуальнопорожденный левый максимальный идеал в счетном ультрапроизведении нетеровых V-областей с помощью нефинитарной последовательности максимальных двухпорожденных левых идеалов и неглавного ультрафильтра над множеством натуральных чисел.

Найдено необходимое и достаточное условие изоморфности кольца эндоморфизмов ультрапроизведения проективных модулей и ультрапроизведения колец эндоморфизмов этих модулей. Доказано, что ультрапроизведение колец эндоморфизмов свободных конечнопорожденных модулей является плотным подкольцом (в смысле Джекобсона) кольца эндоморфизмов ультрапроизведения этих модулей.

Исследовано теоретико-крученческий спектр ультрапроизведения V-областей главных идеалов, за известными спектрами каждого кольца из семейства колец {Ri}iєN построено ультрапроизведение семейства кручений {уi}iєN относительно ультрафильтра D, которое называется основным кручением, и доказано, что оно принадлежит спектру ультрапроизведения R семейства колец {Ri}iєN относительно ультрафильтра D. Построено весь спектр кольца R с использованием основных первичных кручений.

Ключевые слова: ультрапроизведение колец, нетеровое кольцо, V-кольцо, максимальный идеал, кольцо эндоморфизмов, кручение.

Zelisko H.V. Ultraproducts of the Noetherian V-domains and their theoretical-torsion propertties. – Manuscript.

Thesis of dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 – algebra and number theory. – Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2001.

In the dissertation a new characterization of Noetherian V-domains is obtained. It is proved that every finitely generated left ideal of the ultraproduct of Noetherian V-domains is irredundant intersection of finite or continual family of maximal left ideals. The lattice of the left ideals in such ultraproducts in the terms of closed subsets of the set of all left maximal ideals is described. The formula that describes the continually generated maximal left ideals in the ultraproduct of Noetherian V-domains is obtained. Necessary and sufficient conditions for existence of isomorphism between the endomorphism ring of the ultraproduct of projective modules and the ultraproduct of endomorphism rings of these modules are found. It is proved that the ultraproduct of endomorphism rings of free finitely generated modules is a dense subring (in the sence of Jacobson) in the endomorphism ring of the ultraproduct of these modules. The ultraproduct у of the family of a prime torsions {уi}iєN is constructed. It is proved that у belongs to the spectrum of the ultraproduct R=(Ri)/D. The spectrum of R is constructed.

Key words: ultraproduct of rings, Noetherian ring, V-ring, maximal ideal, endomorphism ring, torsion theory.

Підписано до друку 11.03.2002 р. Формат 60x84/16.

Папір офсетний. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 1.0. Наклад 100.

Надруковано у Національному університеті “Львівська політехніка”

79013, м. Львів, вул. Ст. Бандери, 12