НацIональна академIя наук украЇни

Iнститут прикладно математики I механIки

Чинкуляк Наталiя Миколаївна

УДК 531.36: 531.38

властивостI рухIв

у випадку еЙлера для узагальнених

рIвнянь ейлера-Пуассона

Спецiальнiсть 01.02.01 теоретична механiка

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Донецьк - 1998

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано в Iнституті прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк

Науковий керівник: Член- кор. НАН України, доктор фiз.-мат. наук,

професор Савченко Олексiй Якович,

Державна податкова адмiнiстрацiя України,

заступник голови

Офіційні опоненти:

Доктор фiз.-мат. наук Iгнатьєв Олександр Олегович, Iнститут прикладної математики і механіки НАН України, провiдний науковий спiвробiтник

Кандидат фiз.-мат. наук, доцент Кононов Юрiй Микитович, Донецький державний унiверситет, доцент кафедри теоретичної механiки

Провідна установа:

Iнститут математики НАН України, м. Київ, вiддiл аналiтичної механiки

Захист вiдбудеться " 20 " січня 1999 р. о 16 00 годинi на засiданнi спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Iнститутi прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 340114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Iнституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 340114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розiслано " 17 " грудня 1998 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Марковський А. I.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

В дисертацiйнiй роботi дослiджуються узагальненi рiвняння Ейлера-Пуассона, характерною особливiстю яких є залежнiсть тензора iнерцiї вiд проекцiй одиничного вектора вертикалi на рухомi осi. Зокрема, встановлюються умови iснування четвертого загального iнтегралу типу Ейлера, розглядаються деякi типи рухiв, вивчається їх стiйкiсть за Ляпуновим та орбiтальна стiйкiсть.

Актуальнiсть теми. Дослiдження, якi присвяченi як побудуванню, так i вивченню систем диференцiальних рiвнянь, що переходять при деяких значеннях вхiдних в них параметрiв або функцiй в класичнi рiвняння Ейлера-Пуассона, називають узагальненням задачi про рух твердого тiла навколо нерухомої точки.

Частина узагальнень була пов'язана з вивченням нових фiзичних явищ, наприклад, таких, як рух тiла в iдеальнiй рiдинi (В.А.Стєклов, Г.Р.Кiрхгоф), з урахуванням циркуляцiї iдеальної рiдини в многозв'язнiй порожнинi, що привело до задачi про рух гiростатy (П.В.Харламов), з урахуванням вихрового руху рiдини в порожнинi (М. М. Моiсєєв, В. В. Румянцев, О. Я. Савченко), або з оцiнкою впливу дiючих на тверде тiло додаткових сил, якi спричиненi, наприклад, електромагнiтним полем, дiями рухомих носiїв, потенцiальними полями бiльш складної природи, нiж однорiдне силове поле, опором середовища, у якому рухається тiло (О.І. Богоявленський, Ю.Г.Мартиненко, О.Э.Харламова, Д.Грiолi, М.П.Харламов, П.В.Харламов, В. В. Румянцев). Існують і узагальнення, які мають лише математичний характер, коли критерiєм зв'язку узагальнених рiвнянь з їх класичним аналогом є вимагання iснування у перших iнтегралiв типу iнтегралiв енергiї i площ рiвнянь Ейлера-Пуассона (Д.Грiолi, М.П.Харламов). Інтерес до таких узагальнень пов'язаний з внутрiшнiми потребами прилеглих до динамiки твердого тiла роздiлiв аналiтичної механiки, де вивчаються властивостi нових, бiльш складних, математичних моделей, що дозволяє з загальних позицiй оцiнити властивостi i бiльш простих моделей механiки. Поруч з цим iснує узагальнення, яке виникає при дослiдженнi проблеми моделювання пружних стержневих конструкцiй, що обертаються, скiнченновимiрними системами зв'язаних твердих тiл (О.Я.Савченко, І.О. Болграбська). Характерною особливiстю такого узагальнення є залежнiсть тензора iнерцiї вiд проекцiй одиничного вектора вертикалi на рухомi осi.

Основними напрямками дослiджень як в класичнiй задачi, так i в її рiзних узагальненнях, є пошук загальних интегралiв, побудова частинних розв'язкiв та рухiв, геометрична iнтерпретацiя рухiв, вивчення стiйкостi за Ляпуновим стацiонарних рухiв (зокрема, рiвномiрних обертань та регулярних прецесiй). По останньому напрямку було досягнено значних результатiв в роботах П.О.Кузьмiна, В.В.Румянцева, М.Г.Четаєва, В.М.Рубановського, Г.К.Пожарицького, О.Я.Савченка. Однак при цьому залишалось осторонь вивчення стiйкостi перiодичних розв'язкiв рiвнянь Ейлера-Пуассона та їх узагальнень, зокрема, розв'язкiв, якi описуються елiптичними функцiями часу. Це пов'язано з тим, що модуль елiптичної функцiї та її перiод залежать вiд початкових умов. Тому, навiть порiвнюючи перiодичнi розв'язки, якi належать до одного класу i були близькi в початковий момент часу, необхiдно приходимо до того, що вiддалення мiж точками, що їх зображують, на вiдповiдних орбiтах буде перевищувати деяку наперед задану величину, а це означає нестiйкiсть за Ляпуновим перiодичного розв'язку, який вивчається.

Але можна спробувати розглянути бiльш грубу властивiсть перiодичних розв'язкiв динамiчних систем, у тому числi i розв'язкiв рiвнянь Ейлера-Пуассона та їх узагальнень їх орбiтальну стiйкiсть, що дозволяє судити про структуру загального розв'язку системи поблизу перiодичного розв'язку, що вивчається (О.Я.Савченко).

Таким чином, уявляється актуальним подальший розвиток дослiджень у цих напрямках.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослiдження по дисертацiї проводились у 1993-1997 роках i були передбаченi планами наукових дослiджень вiддiлiв прикладної механiки та технiчної механiки Iнституту прикладної математики і механіки НАН України на 1990-1995 роки по темi - 01900018561 - "Розробка математичних моделей складних механiчних систем i методiв їх дослiдження iз застосуванням до задач машинобудування" та на 1996-2000 роки по темi - 0196U002837 - "Математичнi методи конструктивного дослiдження сучасних проблем стiйкостi, керування i динамiки взаємодiючих тiл".

Метою роботи є:

1)

1)

1)

Наукова новизна. Основнi результати роботи полягають у наступному:

1)

1)

1)

1)

1)

Всi результати є новими i строго обгрунтованими. Основнi результати роботи впливають на подальший розвиток дослiджень рiзних узагальнень задачi про рух твердого тiла навколо нерухомої точки, нових напрямкiв цих дослiджень та теорiї стiйкостi руху.

Теоретичне та практичне значення. Результати, якi одержано в дисертацiї, мають теоретичний характер. Вони можуть бути використанi як для порiвняльного аналiзу рiзних узагальнень класичної задачi, так i при дослiдженнi стiйкостi за Ляпуновим стацiонарних рухiв та орбiтальної стiйкостi перiодичних рухiв механiчних систем, якi описуються автономними системами диференцiальних рiвнянь з першими iнтегралами.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Основнi результати проведених в дисертацiї дослiджень доповiдались на:

- The Second World Congress of Nonlinear Analysts, Athens, Greece, 1017 July, 1996;

- Международной конференции “Устойчивость, управление и динамика систем твердых тел”, Донецк, 26 сентября, 1996;

-

-

Публiкацiї. За темою дисертацiї опублiковано чотири науковi працi, в тому числi двi статтi у наукових журналах, одна в матерiалах мiжнародної конференцiї, одна у збiрнику праць.

Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiйна робота викладена на 116 сторiнках та складається iз вступу, п'ятьох роздiлiв, висновкiв та списку використаних джерел iз 75 найменувань, мiстить в собi три ілюстрацiї.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦIЇ

У вступi обгрунтовується актуальнiсть теми дисертацiйної роботи, формулюються мета i задачi дослiдження, викладаються наукова новизна i теоретичне значення одержаних результатiв, наведено вiдомостi про апробацiю результатiв дисертацiї.

В першому роздiлi подано огляд лiтератури, де окреслено основнi етапи розвитку наукової думки з наступних питань: класична задача про рух твердого тiла навколо нерухомої точки та рiзнi її узагальнення, стiйкiсть за Ляпуновим стацiонарних рухiв механiчних систем, орбiтальна стiйкiсть перiодичних розв'язкiв динамiчних систем.

В пунктi 1.1.3.2 наведено узагальненi рiвняння Ейлера-Пуассона, властивостi яких вивчаються в дисертацiї. Вони мають вигляд:

П Ф Ф2 (Ф3F)( ), (1)

.

Тут вектор кутової швидкостi одиничний вектор вертикалi тензор iнерцiї

AXBX,

де A||Aij||, B||Bij|| довiльнi постiйнi симетричнi матрицi, X||xij|| кососиметрична матриця з елементами x123, x132, x231 П(1,2,3) довiльна диференцiйовна функцiя своїх аргументів

ФB ( ), Ф2B( ), Ф3SpB( )B

F довiльна скалярна функцiя векторних аргументiв i .

Рiвняння (1) мають три загальних iнтеграли: енергiї, площ i геометричний

V1 2П(1,2,3)h*const,

V2 A kconst, (2)

V3 1.

При Bi F рiвняння (1) переходять в класичнi рiвняння Ейлера-Пуассона, що описують рух твердого тiла навколо нерухомої точки в полi сил з потенцiальною енергiєю ПП(1,2,3).

В пунктi 1.1.3.3 на основi систем двох та чотирьох зв'язаних твердих тiл наведено механiчнi моделi з трьома ступенями вільності, поведiнка яких описується системою диференцiальних рiвнянь типу (1).

В другому роздiлi викладено загальнi методи дослiджень, якi дозволяють виявити необхiднi умови стiйкостi за Ляпуновим стацiонарних рухiв на основi аналiзу коренiв характеристичного рiвняння першого наближення, достатнi умови стiйкостi стацiонарних розв'язкiв та орбiтальної стiйкостi перiодичних розв'язкiв автономних систем за допомогою їх перших iнтегралiв.

В третьому роздiлi i в наступних роздiлах дослiджуються узагальненi рiвняння Ейлера-Пуассона (1) при умовах

AijBij0(ij), B11B22B33b, П0, Fb(), (3)

що є достатнiми умовами iснування четвертого загального iнтегралу

V4 l2const, (4)

який вiдповiдає iнтегралу Ейлера в класичнiй задачi. Умови (3) одержано в пiдроздiлi 3.1.

В пiдроздiлi 3.2 доведено: якщо сталi l та k iнтегралiв (4) та (2) вiдповiдно зв'язанi спiввiдношенням

lk,

то рiвняння (1) у випадку (3) мають двопараметричну сiм'ю перiодичних розв'язкiв, якi описуються елiптичними функцiями часу таким чином

11(t)(tt0), 1aA1*1(t),

22(t)s(tt0), 2aA2*2(t), (5)

33(t)d(tt0), 3aA3*3(t),

де сталi , , , та a визначаються рiвностями

10, 2 102, 30, 2 302,

a2. (6)

Тут Ai*AiibAib.

В четвертому роздiлi дослiджується cтiйкiсть за Ляпуновим стацiонарних рухiв, зокрема, рiвномiрних обертань та регулярної прецесiї.

В пiдроздiлi 4.1 встановлено: якщо параметри A1, A2, b зв'язанi спiввiдношеннями A1b, A2b (i), то умови A1A3, A2A3(ii) є, як i в класичнiй задачi, необхiднiми та достатнiми для стiйкостi за Ляпуновим рiвномiрних обертань тiла навколо головної вiсi, що колiнеарна вектору ; якщо A1bA2, то такою умовою є A1A3A2, що принципово вiдрiзняється вiд класичного випадку. (В обох нерiвностях (i) або (ii) разом можуть бути лише верхнi знаки або нижнi знаки).

Достатнiсть умов встановлювалась побудуванням функцiї Ляпунова iз iнтегралiв рiвнянь збуреного руху, необхiднiсть - iз аналiзу рiвнянь першого наближення.

В пiдроздiлi 4.2 для вивчення регулярної прецесiї в узагальненiй задачi рух тiла описано рiвняннями у формi Лагранжа з трьома першими iнтегралами Н, K, L (як узагальненi координати взято кути Ейлера , , ).

Визначено, що при A1A2 тiло здiйснює регулярну прецесiю

0, 0, , ,

коли сталi 0, , пов'язанi умовою

(A3A1)cos0+(A3b)0. (7)

Для дослiдження стiйкостi за Ляпуновим регулярної прецесiї в збуреному русi покладено

0+x, , +y, +z.

Побудовано функцiю Ляпунова вигляду

VL (A1+bcos0) K(A1b)22+[(A1A3)22

(2A33b)b2]sin20x2+(A12sin20+A32cos20)y2+

+[A32(2A3b)bsin20]z2+2[A3(A32b)

b(A1A3)sin20]sin0xy+2[(A1A3)(A3b)

b2cos0]sin0xz+2[A32+(A1A3)bsin20]cos0yz+...,

де K, L першi iнтеграли рiвнянь збуреного руху, що вiдповiдають першим iнтегралам K, L рiвнянь руху, точками визначино члени порядку малостi вище другого вiдносно збурень x, , y, z.

Методом Пожарицького виявлено додатну визначенiсть функцiї V вiдносно x, , y, z. На основi теореми Ляпунова про стiйкiсть зроблено висновок, що регулярна прецесiя в узагальненiй задачi так само, як i в класичнiй задачi, стiйка за Ляпуновим вiдносно величин , , , при будь-яких значеннях 0, , , що пов'язанi умовою (7).

В п'ятому роздiлi дослiджується орбiтальна cтiйкiсть двопараметричної сiм'ї перiодичних розв'язкiв (5) узагальнених рiвнянь Ейлера-Пуассона (1) у випадку типу Ейлера (3).

В пiдроздiлi 5.1 запропоновано пiдхiд до дослiдження орбiтальної cтiйкостi перiодичних розв'язкiв автономних систем з першими iнтегралами, який використовує результати В. І. Зубова, спецiальне перетворення i спосiб Пожарицького застосування методу Четаєва побудування функцiї Ляпунова, що було поширено на випадок неавтономних перших iнтегралiв.

Розглядається дiйсна автономна система

, (8)

де (x1,...,x), а – -мiрна вектор-функцiя, яка визначена i двiчi неперервно диференцiйовна в деякiй областi евклiдового -мiрного простору, яка має перiодичний розв'язок

x(t,x0), (t0,x0)x0 (9)

перiоду T, орбiта M якого розмiщується цiлком всерединi областi , i має m перших iнтегралiв (m):

Vi(x)ci (i1,...,m). (10)

Треба вивчити орбiтальну стiйкiсть розв'язку (9). Для цього потрiбноввести в розгляд допомiжну систему

Q(t,)f[ (t)]f[(t)]. (11)

Тут (t)x(,)(t,x0) де (t,) є момент першого перерiзу траєкторiї розв'язку xx(t,), x(t0,) системи (8) такого, що x0, нормальною до кривої M гiперплощиною Pt, що проходить через точку (t,x0) при фiксованому tt0 (припускаємо, що Pt0)

Q(t,),

де f2[(t)](f[(t)],f[(t)]), а (a,b) скалярний добуток векторiв a i b. Тут i далi для спрощення запису замiсть (t,x0) пишемо (t).

Система (11) має тривiальний розв'язок

0, (12)

m перших iнтегралiв, якi перетворюються в нуль при 0,

wi(t,)Vi[ (t)]Vi[(t)] ci (i1,...,m), (13)

де Vi (i1,...,m) визначаються рiвностями (10), i iнтеграл В.I. Зубова

H(t,)(, f[(t)])0. (14)

Згiдно з результатами В.I.Зубова орбiтальна cтiйкiсть перiодичного розв'язку (9) системи (8) виходить iз стiйкостi за Ляпуновим розв'язку (12) системи (11). А стiйкiсть (12) можна вивчити за допомогою m+1 перших iнтегралiв (13), (14).

Систему (11) зручно дослiджувати в змiнних y, що впроваджуються замiною

B(t)y, (15)

де матриця перетворення B(t)(1(t),...,n(t)) є ортогональною квадратною матрицею порядку , неперервно диференцiйовнi вектори

1(t),...,n(t) такi, що (i,j)= коли ij , (t).

Дiйсно, при цьому iнтеграл (14) набирає вигляду: H(y,t) y 0.

Тодi, при дослiдженнi орбiтальної стiйкостi розв'язку (9) системи (8) за допомогою вiдомих нтегралiв (10) достатньо побудувати лiнiйну комбiнацiю iнтегралiв системи (11) в нових змiнних (15)

Wi(t,y1,...,y)Vi[B(t)y+(t)] Vi[(t)]ci (i1,...,m), (16)

таку, що її розклад у степеневий ряд по y в околi y0 починається з квадратичної форми W(2)(t,y1,...,y) вiдносно yj(j1,...,n), а потiм знайти умови знаковизначеностi квадратичної форми W*(2)(t,y1,...,y-1)W(2)(t,y1,...,y-1,0) на многовидi: Ui(t,y1,...,y-1)Wi(1)(t,y1,...,y-1,0)0 (i1,...,m), де Wi(1)- лiнiйнi вiдносно y i T-перiодичнi по t члени розвинень функцiй (16) у ряди Тейлора в околi y0. Згiдно з результатами В.I.Зубова та Г.К.Пожарицького i з теоремою Ляпунова про стiйкiсть, здобутi таким чином умови є достатнiми для орбiтальної стiйкостi перiодичного розв'язку (9).

В пiдроздiлi 5.2 для дослiдження орбiтальної стiйкостi перiодичних розв'язкiв (5) способом, що запропоновано в 5.1, виписано матрицю перетворення B(t), яка вiдповiдає замiнi (15)

де

h A1*102+A3*302, E A1*312+ A2*322+ A3*332,

D2C+C*, Ca2(A1A2)21222, C* 1222,

функцiї 1, 2, 3 визначаються рiвностями (5), а cтала a формулою (6).

Побудовано лiнiйну комбiнацiю iнтегралiв Wi(i1,...,4) допомiжної системи в нових змiнних (15), що вiдповiдають iнтегралам (2), (4) системи (1) у випадку (3), яка не має лiнiйних доданкiв

WW42kW2+W3W(2)(t,y1,y2,y3,y4,y5,y6)+...,

де стала k.

Через структуру лiнiйних форм iнтегралiв Wi(i1,...,4) задачу орбiтальної стiйкостi зведено до дослiдження знаковизначеностi квадратичної форми W(2)(t,y1,0,y3,y4,y5,0) на многовидi Wi(1)(t,y1,0,y3,y4,y5,0)0 (i=1,2), що привело до умов

A1*2A2*2A3*2a2k2C*0, A1*2A2*2A3*2k2D20,

якi виконуються при будь-яких допустимих значеннях параметрiв системи. Тому, двопараметрична сiм'я перiодичних розв'язкiв (5) узагальнених рiвнянь Ейлера-Пуассона (1) у випадку типу Ейлера (3) є орбiтально стiйкою. Як наслiдок, перiодичнi розв'язки (5) класичних рiвнянь Ейлера-Пуассона орбiтально cтiйкi при будь-яких значеннях механiчних параметрiв, що описують тверде тiло у випадку Ейлера.

ВИСНОВКИ

Одержано достатнi умови iснування четвертого загального iнтегралу типу Ейлера для узагальнених рiвнянь Ейлера-Пуассона.

Запропоновано достатньо ефективний спосiб дослiдження орбiтальної cтiйкостi перiодичних розв'язкiв автономних систем з першими iнтегралами.

Визначено умову iснування для узагальнених рiвнянь Ейлера-Пуассона у випадку типу Ейлера двопараметричної сiм'ї перiодичних розв'язкiв, якi описуються елiптичними функцiями часу. Виявлено орбiтальну стiйкiсть цих розв'язкiв. Як наслiдок доведено орбiтальну стiйкiсть перiодичних розв'язкiв класичних рiвнянь Ейлера-Пуассона у випадку Ейлера.

Встановлено необхiднi та достатнi умови стiйкостi за Ляпуновим рiвномiрних обертань.

Визначено умови iснування регулярної прецесiї, виявлено її стiйкiсть за Ляпуновим.

Список опублIкованих праць за темою дисертацІЇ

1.

1.

1.

1.

АНОТАЦIЯ

Чинкуляк Н.М. Властивостi рухiв у випадку Ейлера для узагальнених рiвнянь Ейлера-Пуассона. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.02.01 теоретична механiка. Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1998.

Дисертацiю присвячено дослiдженню узагальнених рiвнянь Ейлера-Пуассона, характерною особливiстю яких є непостiйнiсть тензора iнерцiї. Основнi результати роботи полягають у наступному: одержано достатнi умови iснування четвертого загального iнтегралу типу Ейлера; запропоновано ефективний спосiб дослiдження орбiтальної cтiйкостi перiодичних розв'язкiв автономних систем з першими iнтегралами; виявлено орбiтальну стiйкiсть двопараметричної сiм'ї перiодичних розв'язкiв; встановлено необхiднi та достатнi умови стiйкостi за Ляпуновим рiвномiрних обертань; виявлено стiйкiсть за Ляпуновим регулярної прецесiї. Результати мають теоретичний характер та можуть бути застосованi в аналiтичнiй механiцi та теорiї стiйкостi.

Ключовi слова: стiйкiсть за Ляпуновим, орбiтальна стiйкiсть, рiвномiрнi обертання, регулярна прецесiя.

Чинкуляк Н.Н. Свойства движений в случае Эйлера для обобщенных уравнений Эйлера-Пуассона. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 теоретическая механика. Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1998.

Диссертация посвящена исследованию обобщенных уравнений Эйлера-Пуассона, отличительной особенностью которых является непостоянство тензора инерции. Основные результаты работы состоят в следующем: получены достаточные условия существования четвертого общего интеграла типа Эйлера; предложен эффективный способ исследования орбитальной устойчивости периодических решений автономных систем с первыми интегралами; установлена орбитальная устойчивость двухпараметрического семейства периодических решений; получены необходимые и достаточные условия устойчивости по Ляпунову равномерных вращений; установлена устойчивость по Ляпунову регулярной прецессии. Результаты имеют теоретический характер и могут быть использованы в аналитической механике и теории устойчивости.

Ключевые слова: устойчивость по Ляпунову, орбитальная устойчивость, равномерные вращения, регулярная прецессия.

Сhynkulyak N.N. Properties of motions in the case of Euler for the generalized Euler-Poisson equations. - Manuscript.

Thesis for a degree of Candidate of Sciences (Physics and Mathematics) by speciality 01.02.01 theoretical mechanics. Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Science of Ukraine, Donetsk, 1998.

The thesis is devoted to the investigation of the generalized Euler-Poisson equations, the main singularity of which is variability of the inertia tensor. Basic results of this work are as follows: the sufficient conditions of existence of the forth general integral of Euler's type have been obtained; the effective method of investigation of orbital stability of periodic solutions of autonomous systems with first integrals has been suggested; the orbital stability of the two-parameter set of the periodic solutions has been proved; the necessary and sufficient conditions of Lyapunov stability of uniform rotations have been obtained; the Lyapunov stability of regular precession has been proved. Results are theoretical and useful for analytical mechanics and stability theory.

Key words: Lyapunov stability, orbital stability, uniform rotations, regular precession.