НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

АВРАМЕНКО

ОЛЬГА ВАЛЕНТИНІВНА

УДК 532.59

ПОШИРЕННЯ ГІДРОДИНАМІЧНИХ ХВИЛЬ У СИСТЕМАХ З НЕОДНОРІДНОЮ СТРУКТУРОЮ

01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми

АВТОРЕФЕРАТ

ДИСЕРТАЦІЇ НА ЗДОБУТТЯ НАУКОВОГО СТУПЕНЯ

ДОКТОРА ФІЗИКО – МАТЕМАТИЧНИХ НАУК

КИЇВ - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті гідромеханіки Національної академії наук України.

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук, професор

Селезов Ігор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

завідувач відділу гідродинаміки хвильових процесів.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор

Воробйов Юрій Леонідович,

Одеський державний морський університет,

завідувач кафедри теорії та проектування корабля,

доктор фізико-математичних наук

Поздєєв Валерій Олександрович,

Миколаївське відділення Європейського університету,

професор кафедри математичних дисциплін,

доктор фізико-математичних наук

Стеценко Олександр Григорович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

завідувач відділу вихрових процесів.

Провідна установа:

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ.

Захист відбудеться 17.04. 2003 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.196.01 Інституту гідромеханіки НАН України за адресою: 03 680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України за адресою: 03 680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.

Автореферат розісланий 13.03. 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01

доктор технічних наук, професор Кріль С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Системи з неоднорідною структурою охоплюють широке коло об'єктів та процесів. Проблеми фізико - математичного моделювання таких систем, розробка нових методів та підходів, а також вдосконалення вже відомих, чисельний та фізичний аналіз отриманих результатів зумовлені потребами як самої теорії, так і потребами практики. Розв'язання задач поширення хвиль у системах з неоднорідною структурою має безпосереднє застосування у океанології, біомеханіці, гідравліці, гідроакустиці, в багатьох галузях машино- та суднобування. Вагомий внесок у розвиток цих напрямків внесли відомі вчені В.В.Богородський, Л.М.Бреховських, Р.Грімшоу Н.Є.Кочін, Дж.Лайтхілл, Дж.Ламб, П.ЛеБлон, Л.Майсек, Дж.Маілс, Л.М.Мілн-Томсон, Дж.Ньюмен, В.В.Овсянніков, Л.І.Сєдов, Я.І.Секерж-Зенькович, Л.Н.Сретенський, Дж.Стокер, Г.Уизем, Л.В.Черкесов.

Сучасна математична теорія поверхневих та внутрішніх хвиль у стратифікованих рідинах багата належно розробленими та такими, що добре себе зарекомендували на практиці, математичними методами та моделями.

Вивченню теорії внутрішніх хвиль та дослідженню їх в натурних умовах присвячені роботи А.Гілла, Е.Е.Госсарда, А.В.Кістовича, В.Краусса, В.С.Мадерича, Ю.З.Миропольского, А.Найфе, В.І.Нікішова, Є.І.Нікіфоровича, А.Ньюелла, О.Г.Стеценка, І.В.Стурової, У.Х.Хука, Ю.Д.Чашечкіна та ін. Останні дослідження у області нелінійної гідромеханіки, зокрема у застосуванні такого поширеного математичного методу, як метод багатомасштабних розвинень, стикнулися з проблемою обчислень наступних членів у еволюційних рівняннях. Ця проблема пояснюється як недостатньо розробленим алгоритмом, так і підвищеною громіздкістю аналітичних перетворень. До теперiшнього часу у переважній кількості задач механiки i фiзики, де застосовувався метод багатомасштабних розвинень, були отриманi результати тiльки до третього порядку. Серед них можна особливо видiлити клас задач, що враховують поверхневий натяг, що iстотно впливає на капiлярно - гравiтацiйнi хвилi, де важливий внесок високих гармонiк у хвильовий процес у цiлому. Обґрунтування методологічних нюансів методу багатомасштабних розвинень та активне використання пакетів символьних обчислень при розв'язанні таких задач повинне сприяти появі радикально нових результатів, як то виводу вищих наближень еволюційних рівнянь для обвідної хвильового пакету, дослідженню стійкості пакетів у дисперсійному середовищі.

Вважається, що на сучасному етапі вивчення морських хвиль придатні до практичного застосування кількісні співвідношення, які визначають зв'язок між умовами хвилеутворення та хвилями, можуть бути отримані тільки на основі аналізу та узагальнення натурних та лабораторних вимірювань. За цих умов особливу цінність мають аналітичні розв'язки, які дають змогу тестувати наближені та чисельні методи, які бурхливо розвиваються останнім часом.

Взаємодія хвильового потоку у береговій зоні з донною поверхнею моделюються досить складно. Внаслідок цього численні теоретичні роботи по цій тематиці Ю.Л.Воробйова, Г.Ву, С.Ф.Доценка, Б.ЛеМонте, І.О.Луковського, С.Масселя, Є.Н.Пеліновського, Д.Перегріна, В.О.Поздєєва, Є.Н.Потетюнка, І.Т.Селезова, С.Л.Соловйова, О.М.Філліпса, Т.Хавелока, М.Д.Хаскінда та ін. не можуть в повній мірі відобразити процеси, що відбуваються. Виходячи з цього, аналіз трансформації хвиль при рухові хвиль у бік берега являє собою сучасну актуальну проблему. Відмітимо також, що раніше були розв'язані у рамках різних моделей деякі задачі генерації, поширення та виходу на берег хвиль цунамі, але задача генерації хвиль зсувом дна довільної форми з формою дна та зсувом дна, близькими до натурних, залишається актуальною і зараз. Беручи до уваги ці факти, необхідно розглянути хвильові рухи у рідкому структурно неоднорідному середовищі, що являє собою рідкий шар з неоднорідностями на дні.

Питання про вплив фiзичних i геометричних неоднорiдностей на перерозподiл хвильових полiв виникає й у гiдропружних системах з неоднорiдною структурою, таких як фiзично неоднорiдний шар, занурений у рiдину i кусково - неоднорiдну оболонку, заповнену рiдиною. Проблемою поширення хвиль у системах такого роду плодотворно займались Д.Бардай, І.А.Вікторов, І.В.Вовк, А.С.Вольмір, А.Г.Горшков, В.Т. Грінченко, Е.І.Григолюк, Г.Демірей, Еріген, С.Ковін, Д.Крайтон, В.Д.Кубенко, Е.Муді, Дж.Нунзиато, Т.Педлі, С.А.Регірер, І.Т.Селезов, Р.Тайт, Є.Ю.Таран, Ю.І.Шмаков. Якщо питання про поширення хвиль у шаруватих гiдропружних структурах з однорiдним пружним матерiалом дослiджений досить повно, то зараз особливий iнтерес викликають задачi про поширення хвиль уздовж пружного фiзично неоднорiдного шару з порожнинами, зануреного між в рiдинами різної густини. Розвиток у останні роки технологій у галузі імплантації донорських та штучних судин викликає потребу вивчення процесів у безпосередньому околі місця стику судин з різними геометричними та фізичними параметрами, що може моделюватись пружною циліндричною оболонкою з геометричними неоднорідностями, яка заповнена рідиною.

Актуальність теми дисертації визначається необхідністю вивчення фундаментальних фізичних процесів у неоднорідних гідродинамічних та гідропружних структурах різних типів з подальшим використанням теоретичних наукових результатів у сучасній техніці для розвитку нових технологій. Виникла необхідність загального аналізу фізико-математичного моделювання процесів утворення, поширення та трансформації хвиль, а також оцінки застосовності моделей хвильових процесів у відмінних за геометричною та фізичною природою системах. У свою чергу, практичні потреби біомеханіки та гідравліки, машино- та суднобудування, океанології та гідроакустики призвели до необхідності моделювання, аналітичного та чисельного розв'язання, а також фізичного аналізу нових ефектів у широкому класі нових задач гідродинаміки та гідропружності. Розвиток сучасних високих технологій в області медицини, особливо гемодинаміці, побудова нових підводних нафтопроводів та інших конструкцій, проблема хвилеутворення у морському середовищі від підвищеної сейсмоактивності викликає зацікавленість у розв'язанні вищезгаданих теоретичних та практичних задач гідродинаміки в Україні та світі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами полягає у застосуванні їх при виконанні держбюджетної теми Інституту гідромеханіки НАН України "Моделювання хвильових і морфодинамічних процесів та екологічного стану берегової зони на акваторіях відкритих водних об'єктів" (шифр роботи 1.3.7.16, номер держреєстрації 0100U004749); при виконанні науково-дослідницьких робіт за договорами з Міністерством освіти і науки за підтримки ДФФД "Генерація усталених та неусталених хвиль в рідких та пружних середовищах з просторовими неоднорідностями" (договір №Ф4/1623-97, реєстраційний номер 01.04/00105) та “Поширення та розсіяння гідродинамічних хвиль в середовищах з ускладненою структурою” (договір №Ф7/510-2001, реєстраційний номер 01.07/00079); а також при роботі за міжнародним проектом INTAS 99-1637 "Extreme waves: strongly nonlinear surface waves in the ocean".

Мета і задачі дослідження: всебічний аналіз глибинних нелінійних процесів у гідродинамічних та гідропружних системах з неоднорідною структурою геометричного та фізичного походження на фоні широкого класу характерних задач гідродинаміки та гідропружності на основі гармонічного поєднання різноманітних підходів до проблеми поширення хвиль, що передбачає

-

-

Об 'єкт дослідження – хвильові процеси у неоднорідних середовищах.

Предмет дослідження – гідродинамічні та гідропружні хвилі у системах з неоднорідною структурою.

Методи дослідження. Метод багатомасштабних розвинень для отримання вищих наближень нелінійних задач гідродинаміки поширення хвильових пакетів у двошаровому рідкому середовищі; методи інтегральних перетворень Фур’є, Ганкеля та Лапласа з наступним аналітичним та чисельним оберненням для задач гідродинаміки та гідропружності поширення гармонічних та неусталених хвиль у структурах з неоднорідностями фізичного та геометричного походження в рамках відповідних фізико-математичних моделей.

Наукова новизна одержаних результатів. Автором виносяться на захист наступні нові наукові результати:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Практичне значення одержаних результатів полягає в отриманні нових результатів, що мають велике значення в сучасних актуальних дослідженнях формування та поширення нелінійно-дисперсійних хвиль великої амплітуди в океані. Дисертаційна робота в цілому має теоретичне значення, однак, у ній у великій мірі враховані сучасні потреби моделювання хвильових процесів, що виникають у практичній діяльність. Так, отримані нові еволюційні рівняння вищих порядків з метою розв'язання питання стійкості, форми та напрямку поширення капілярно-гравітаційних хвильових пакетів на поверхні контакту двох рідких середовищ з різними властивостями при врахуванні поверхневого натягу, як то: виявлення областей нелінійної стійкості в залежності від значення коефіцієнту поверхневого натягу, умов резонансу другої гармоніки та ін. Дослідження амплітуд вищих гармонік та на їх основі структури хвильових пакетів призвело до практично важливого висновку, що у випадку високих хвиль и пакет має гострий гребінь та затуплену підошву, для пологих хвиль гребінь дещо затуплений, а підошва загострена. Задачі про поширення хвильових пакетів на поверхні контакту двох рідких середовищ можуть моделювати сильно стратифіковані за глибиною області термоклину в Світовому океані. Вивчення впливу поверхневого натягу може бути також застосовано у розробках принципово нових технологій з використанням двох рідких середовищ, що не перемішуються. Указані теоретичні результати мають загальнофізичне значення, зокрема вони можуть використовуватись при дослідженні поширення ультракоротких імпульсів немалої амплітуди у волоконно-оптичному зв’язку. Ці результати увійшли складовою частиною в міжнародний проект INTAS, застосовувулись при виконанні держбюджетної теми ІГМ НАНУ, отримали продовження у договорі Ф7/510-2001 з Міністерством освіти і науки за підтримки ДФФД.

Отримання нових точних аналітичних розв'язків хвильових задач у рамках різноманітних фізико - математичних моделей надало інформацію кількісного та якісного характеру по формі відхилення вільної поверхні при зсуві дна, процесу набігання хвиль на неоднорідне дно, яка була використана при вивченні великих морських хвиль та хвиль цунамі при виконанні держбюджетної теми ІГМ НАНУ.

Виявлення якісних та кількісних оцінок впливу наявності фізичних неоднорідностей або порожнин у шаруватих гідропружних структурах, із параметрами близькими до натурних, представляють самостійний інтерес і мають велике значення в дослідженні різноманітних геологічних, синтетичних матеріалів з порожнинами, які не описуються класичною теорією. Також представляє інтерес застосування теоретичних результатів до задач про поширення хвиль у таких біологічних об'єктах, як кістки, які мають гладку непроникну поверхню та порожнини у середині. Практичну цінність у медицині, зокрема у гемодинаміці при вивченні поширення серцевого пульсового імпульсу в штучних, донорських або стенозованих кровоносних судинах, мають теоретичні дослідження динамічних характеристик у вузькому околі стику кусково-однорідної оболонки, заповненої рідиною. Ці результати стали основою для проекту за договором Ф4/1623-97 з Міністерством освіти і науки за підтримки ДФФД.

Особистий внесок здобувача. В дисеpтаційній роботі, всі теоретичні результати та розробка комп’ютерних програм належать особисто автору. Із спільних публікацій [1-9, 12, 15-20, 22-24] у дисертаційну роботу включені результати теоретичного характеру, отримані автором: постановки задач, аналітичні та чисельні методи їх розв'язання, результати їх реалізації на комп’ютері, аналіз закономірностей і нових механічних ефектів. Співавтори статей [6], [12] брали участь в обговоренні деяких медичних аспектів постановок задач гемодинаміки, а також в аналізі результатів, щодо їх застосування у медицині. Науковому консультанту д.ф.-м.н, професору І.Т.Селезову належать загальний задум проведення досліджень, загальна постановка проблеми та участь в обговоренні нових результатів.

Апробацiя результатів дисертації. Викладенi в роботi результати були обговоренi в рiзний час на таких наукових конференцiях i семiнарах: 5-а науково- технична конф. (Миколаїв, 1992); 1-а Міжнар. конф. "Numerical methods in Hydraulics and Hydrodynamics" (Донецьк, 1994); конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Київ, 1994); 4 Мiжн. наук. конф. iм.М.Кравчука (Київ, 1995); Укр. конф. "Моделирование и иссл. устойчивости систем" (Київ, 1995); The 22nd ESCAO Congress. The Int. J. Of Artificial Organs (1995); Euromech 344, "Fluid- Structure Interactions in Biomechanics", Imperial College (Велика Британiя, Лондон, 1996); Укр. конф. "Моделирование и иссл. устойчивости систем" (Київ, 1996); The 9th Int. Conf., Mechanics in Medicine and Biology (Словенiя, Любляна, 1996); The 2nd Int. Conf. "Asymptotics in Mechanics". St-Petersburg State Marine Techn. University (Росiя, Санкт-Петербург, 1996); World congr. “On medical physics and biomedical engineering” (Францiя, Нiца, 1997); Міжн. конф. The 3rd Bogolubov Readings, "Asymptotic and Qualitative Methods in the Theory of Nonlinear Oscillations" (Київ, 1997); 7 Мiжн. наук. конф. iм. М.Кравчука (Київ 1998); Annual Meeting GAMM 98 (ФРН, Бремен, 1998); 18th Symposium "Vibrations in Physical Systems" (Польща, Познань - Блажечко, 1998); The 10th International Conference on Mechanics in Medicine and Biology, Sheraton Princess Kaiulani Waikiki Honolulu (США, Гаваї, 1998); IV congresso Nazionale della societa Italiana di matematica appl. e industr. (Iталiя, Рим, 1998); Міжн. конф. "Диференціальні та інтегральні рівняння" (Одеса, 2000); Int. Conf. "Dynamical systems modelling and stability investigation" (Київ, 2001); 9 Мiжн. наук. конф. iм. акад. Кравчука (Київ, 2002).

Окpемi положення дисеpтацiї, а також дисертацiйна робота в цiлому доповідались та обговорювались на семiнарах вiддiлу гiдpодинамiки хвильових пpоцесiв Iнституту гiдромеханiки НАН Укpаїни (Київ, 1992 - 2002); на Республiканському семiнарi з гiдромеханiки Iнституту гiдромеханiки НАН України (Київ, 1999-2002), на семінарі з механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2002).

Публікації. По результатах дисертації опубліковано 56 наукових праць. Основний зміст роботи відображено в публікаціях [1 –24].

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, семи розділів, висновків і списку літератури із 279 найменувань. Загальний об'єм дисертації містить 300 сторінок, 50 рисункiв.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступi сформульована мета роботи, вiдзначено актуальнiсть, новизну, теоретичне значення i практичну цiннiсть роботи. Сформульованi положення, що виносяться на захист. Коротко подається змiст роботи за роздiлами.

В першому роздiлi розглянуто основнi етапи розвитку та сучасний стан проблеми поширення хвиль у гiдродинамiчних та гiдропружних системах з неоднорiдною структурою, як у теоретичному планi, так i у планi застосування результатiв до практичних цiлей.

В дpугому роздiлi подано обґрунтування напрямку дослідження, яке базується на наведених фізико-математичних моделях та математичних методах розв'язання задач поширення хвиль у гідродинамічних та гідропружних системах з неоднорідностями. Представлено класичний підхід до вивчення хвильових рухів у рідкому середовищі, виведене рівняння стану рідини, що рухається, та основні рівняння гідромеханіки.

У рамках загального підходу до вивчення впливу неоднорідностей на хвильові рухи подано основні відомості про потенціальний рух рідини з найбільшими відхиленнями на поверхні, а також про причини їх утворення; представлені дві моделі рідкого фізично неоднорідного за глибиною середовища, в якому можуть утворюватись внутрішні хвилі: нелінійна модель двошарової рідини та лінійне наближення Буссинеска для неперервно стратифікованої рідини. Для вдалого вибору моделей гідропружних систем наведено загальні відомості з теорії пружності, описано пружне середовище із змінним дилатаційним коефіцієнтом (J.F.Hook, 1961) та пружне середовище з порожнинами (J.W.Nunsiato, S.C.Cowin, 1979); наведено основні співвідношення (E.B.Moodie, D.W.Barclay, R.T.Tait, 1983), необхідні при дослідженні напружено-деформованого стану у оболонках, заповнених рідиною.

Методику застосування методу багатомасштабних розвинень представлено на прикладі задачі про поширення хвильових пакетів вздовж поверхні контакту двох напівобмежених рідин з різними густинами (A.H.Nayfeh, 1976). Викладено також метод інтегральних перетворень Фур’є, Ганкеля та Лапласа, який було ефективно застосовано при розв'язанні задач про поширення хвиль у неоднорідних гідродинамічних та гідропружних системах.

З наведених фізико-математичних моделей та математичних методів випливає потреба у розробці нового наукового напрямку досліджень у гідромеханіці, який би об'єднував різноманітні підходи до проблеми поширення хвиль у гідродинамічних та гідропружних системах з неоднорідною структурою геометричного та фізичного походження.

У третьому розділі розпочато дослідження проблеми поширення хвиль у неоднорідних гідродинамічних системах з нової нелінійної задачі про поширення хвильових пакетів вздовж поверхні контакту рідкого півпростору та рідкого шару над ним з урахуванням поверхневого натягу. Розв'язання цієї задачі методом багатомасштабних розвинень до третього наближення саме по собі є внеском у загальну теорію поширення нелінійних хвиль і в той же час є необхідним кроком для подальшого продовження досліджень вищих наближень. Для перевірки достовірності результатів розглянуто граничний перехід до аналогічної системи "півпростір - півпростір".

Зауважимо, що метод багатомасштабних розвинень був успішно використаний H.Hasimoto, H.Ono (1972) для отримання нелінійного рівняння Шредінгера, яке описує еволюцію гравітаційних хвильових пакетів кінцевої амплітуди на поверхні рідкого шару, а також в вище згаданій роботі A.H.Nayfeh. У статті В.Є.Захарова, вперше було досліджено стійкість поодиноких хвиль та показано, що поодинокі хвилі нестійкі, причому нестійкість з'являється як на вільній поверхні, так і на поверхні контакту рідких середовищ. Деякі пізніші роботи торкалися цієї проблеми, відмітимо деякі з них H.Segur, J.Hammack (1982), M.Ablowitz, H.Segur (1981), І.Т.Селезов, С.В.Корсунський (1992), В.П.Лукомський (1995). У роботах автора наведено дослідження стійкості хвильових рухів для хвильових чисел далеких від критичного [9] та близьких до критичного [19], також досліджено форму хвильового пакету, напрям його поширення та умови резонансу другої гармоніки [21].

Математична постановка задачі про поширення хвильових пакетів вздовж поверхні контакту двох напівобмежених рідких середовищ та має вигляд

у ,

на , (1)

на,

(), (),

де - потенціали швидкостей рідких середовищ, , - коефіцієнт поверхневого натягу. Застосовано метод багатомасштабних розвинень до третього порядку

, (2)

,

де - малий безрозмірний параметр, , . В ході розв'язку отримано наближення першого та другого порядку, дисперсiйне спiввiдношення та умову розв'язуваності лінійних задач другого та третього наближення

, , (3)

де коефіцієнт нелінійної частини

,

,

Виходячи з (3), еволюційне рівняння для обвідної хвильового пакета у вигляді нелінійного рівняння Шредінгера

.

Здiйснено граничний перехiд, при якому товщина шару спрямовується до нескiнченостi, в результатi якого всi вирази вироджуються в отриманi ранiше A.H.Nayfeh (1976) для гідродинамічної системи з двох пiвпросторiв. Граничний випадок поширення хвильових пакетів при хвильових числах, близьких до критичного, дає рівняння Шредінгера, яке містить першу похідну по просторовій координаті та дві похідні по часовій координаті, яке може бути поширеним на всі хвильові числа.

Отримано також співвідношення між хвильовим числом та малим параметром та відповідне розвинення хвильового числа за малим параметром, яке є узагальненням результатів R.L.Kiang для однієї рідини.

Проведено повний аналiз стiйкостi хвильових рухiв для фiксованих товщин верхнього шару в залежності від коефіцієнту поверхневого натягу, отримано аналітичну умову стійкості

(4)

На основі (4) побудована дисперсійна діаграма (рис.1). Зроблено висновок, про те що поверхневі гравітаційні хвилі стійкі за умови, якщо густина верхнього шару менша за густину нижнього півпростору. У загальному випадку площина розділяється на область лінійної нестійкості та область лінійної стійкості, яка у свою чергу розділяється на такі області: три області нелінійної стійкості та п'ять областей нелінійної нестійкості. Наявність рідкого шару замість півпростору в верхній області викликає існування для кожної фіксованої товщини шару двох нових області нестійкості капілярних хвиль та та нової малої області нестійкості гравітаційних хвиль в околі початку координат у вигляді петлі, яка із зміною товщини обертається навколо початку координат. Зменшення товщини шару суттєво звужує області нелінійної нестійкості та розширює області нелінійної стійкості. Збільшення коефіцієнту поверхневого натягу в раз викликає стискання діаграми стійкості в раз. Для випадку відсутності верхнього шару поверхневий натяг призводить до дестабілізації хвиль з безрозмірними хвильовими числами між та , що повністю узгоджується з результатами A.H.Nayfeh.

Дослідження форми хвильового пакету виявило можливість існування хвиль -образної та -образної форми. Для кожної фіксованої товщини шару в залежності від відношення густин середовищ та хвильового числа існує чотири області, де можлива та чи інша форма хвилі, одна з указаних областей вироджується за умови необмеженого збільшення товщини шару. Виявлені характерні особливості резонансної області другої гармоніки, яка міститься в околі системи криволінійних відрізків, причому при необмеженому збільшенні товщини шару отримано результат для двох півпросторів H.Hasimoto, H.Ono (1972).

Аналіз знаку частоти хвильового пакету призводить до висновку про наявність двох великих областей, де частота додатна і напрямок поширення хвиль співпадає з додатним напрямом горизонтальної просторової координати; а також системи п'яти областей, де частота від'ємна і утворюються зустрічні хвилі. Три з названих областей зустрічних хвиль містяться у резонансній області другої гармоніки. Існують дві криві, вздовж яких частота дорівнює нулю, за цих умов утворюються стоячі хвилі.

Рис.1. Діаграма стійкості хвильових пакетів у системі “шар - півпростір” при з шириною шару: (а) ; (б) .

Четвертий розділ присвячено дослідженням нелінійності, вищої за кубічну, у еволюційному рівнянні для обвідної хвильового пакету з високочастотним заповненням, що стає актуальним як у гідродинаміці, так і у багатьох розділах прикладної математики, механіки та фізики. Цей факт пояснюється необхідністю вивчення процесів передачі імпульсів більшої амплітуди, що стає можливим за умови врахування наступних нелінійних та дисперсійних членів у відповідних еволюційних рівняннях. Спираючись на результати, отримані вище, у цьому розділі розглянуто у четвертому наближенні еволюцію хвильових пакетів в гідродинамічних системах "півпростір - півпростір" [22] та "шар - півпростір" [20] з урахуванням поверхневого натягу на поверхні контакту, а також умови нелінійної стійкості розв'язків відповідних еволюційних рівнянь [23] та структура хвильових пакетів [24].

"Півпростір - півпростір" Математична постановка задачі про поширення хвильових пакетів вздовж поверхні контакту двох напівобмежених рідких середовищ та має вигляд

у ,

на , (5)

на ,

при .

Застосовано метод багатомасштабних розвинень (2) до четвертого порядку . В ході дослідження при активному використані сучасних пакетів символьних обчислень знайдені розв'язки відповідних задач третього наближення, та умови розв'язуваності задач четвертого наближення. Умови розв'язуваності лінійних задач другого, третього та четвертого наближення мають вигляд

, , (6)

,

де коефіцієнти

, . (7)

Умови (6) та співвідношення (7) між коефіцієнтами та дозволяють записати еволюційне рівняння для обвідної хвильового пакета у вигляді нелінійного рівняння Шредінгера вищого порядку

(8)

.

"Шар - півпростір" Аналогічні дослідження четвертого наближення задачі (1) призводять до умови розв`язуваності задачі четвертого наближення

В ході аналізу методами символьних обчислень отримано аналогічне співвідношення (7) між коефіцієнтами та . Отже, еволюційне рівняння має вигляд

(9)

.

Дослідження стійкості обох рівнянь (8) та (9) призводять до результату, отриманому у третьому наближенні (4).

Досліджено амплітуди вищих гармонік у нелінійних хвильових пакетах на поверхні контакту рідких середовищ з урахуванням поверхневого натягу, а також структуру хвильових пакетів. Виявлено, що у симетричній системі “півпростір – півпростір” кожне наступне наближення визначає амплітуду відповідної вищої гармоніки. А у несиметричній системі “шар – півпростір” кожне наступне наближення визначає амплітуду відповідної гармоніки тільки у деякому наближенні, при цьому вносяться поправки у амплітуду кожної попередньої гармоніки.

У випадку високих хвиль амплітуда другої гармоніки додатна, а третьої від'ємна, отже пакет має гострий гребінь та затуплену підошву. Зростання поверхневого натягу згладжує хвильову картину. Для пологих хвиль амплітуди другої та третьої гармонік від'ємні, при цьому пакет має дещо затуплений гребінь та загострену підошву, що пояснюється сильним впливом поверхневого натягу, який виражається у прагненні рідини до зменшення своєї поверхні.

У п'ятому роздiлi з метою створення загальної картини хвильових рухів у гідродинамічних системах вивчається вплив фізичних та геометричних неоднорiдностей рухомого та нерухомого типу на поширення внутрішніх і поверхневих хвиль на широкому класі характерних задач.

Останні десятиріччя ознаменувалися інтенсивним дослідженням хвильових процесів у фізично неоднорідному морському середовищі, де виникають великомасштабні внутрішні хвилі. Значно розширилися теоретичні та лабораторні дослідження вказаних хвильових процесів (Ю.З.Миропольський, 1981; А.В.Кістович, Ю.Д.Чашечкін, 1990; Ю.З.Алєшков, 1995). Багаточисельні натурні вимірювання внутрішних хвиль пов'язані із значними труднощами, тому важливими є теоретичні дані, що базуються на близьких до натурних фізико - математичних моделях стратифікованого середовища. Тому у цьому розділі представлені два нових аналітичних розв'язки задачі про поширення внутрішних хвиль у шаруватих неперервно стратифікованих структурах [5], [10]. Разом з новими результатами стосовно внутрішніх хвиль наведено результати теоретичних досліджень поверхневих хвиль у неоднорідному за товщиною рідкому шарі з нерухомою або рухомою неоднорідністю. Зроблено оцінку впливу стисливості на хвильові процеси у такого роду системах з неоднорідною структурою і проведено порівняння аналітичного [1] та чисельного [2] розв'язків задачі генерації хвиль зсувом дна, досліджено також генерація хвиль цунамі над осесиметрично викривленим рухомим дном для різних початкових форм поверхні дна. Розв'язок чисельно - аналітичними методами задач трансформації гармонічних та неусталених хвиль у нестисливій рідині змінної глибини, представлено у [4], [15].

Значна кількість робіт, присвячена дослідженню експоненціально стратифікованого середовища, яке досить віддалено схоже з профілем натурної стратифікації. Тому більш доцільним видається пошук нових аналітичних розв’язків з більш складним розподілом частоти Вяйсяля-Брента. Такі розв’язки, цінні самі собою, можуть також слугувати для тестування розв’язків, отриманих чисельними методами. В результатi дослiдження внутрішніх хвиль з вертикальною складовою швидкості в стратифiкованих за глибиною рiдких системах у наближенні Буcсинеска

, (10)

знайдено два нових аналітичних загальних розв'язки для різних розподілень за глибиною частоти Вяйсяля - Брента вигляду

:

: , (11)

де - лінійна комбінація незалежних циліндричних функцій.

На основі розв’язків (11) розглянуто декілька споріднених дво- та тришарових рідких систем. Так, розглянуто систему, яка складається із розміщеного згори шару однорідної рідини над напівпростором більш тяжкої рідини, неперервно стратифікованої по глибині. У прямокутній системі координат з віссю направленою вниз, вільна незбурена поверхня розміщена на площині , а поверхня контакту шару та напівпростору на . Частота Вяйсяля – Брента має вигляд .

Рух рідини описується рівнянням (10), а граничні умови мають вигляд

,

, .

Аналіз дисперсійних співвідношень (рис.2) приводить до висновку про те, що осцилюючі розв’язки можуть існувати тільки за умови . При цьому в області низьких частот існує нескінченне число розв’язків, що мають найбільші відхилення профілю вертикальної складової швидкості всередині рідкого півпростору.

Рис.2. Дисперсійні криві поверхневої моди та внутрішніх (індекси 0, 1, 2, 3) для системи “однорідний шар – стратифікований напівпростір ” (суцільна лінія) та для відповідної системи “однорідний шар – експоненціально стратифікований шар – однорідний напівпростір” (пунктир)

Верхня дисперсійна вітка, що відповідає поверхневим хвилям, близька до дисперсійної кривої для моделі однорідної глибокої води, що підтверджує результат про несуттєвий вплив стратифікації на вплив поверхневих хвиль. При прямуванні довжини хвилі до нескінченності фазові та групові швидкості прямують до свого скінченного граничного значення, що дорівнює тангенсу куту нахилу дотичної до відповідної вітки на початку координат площини .

Розв’язана також задача про поширення внутрішніх хвиль в рідкій тришаровій системі “однорідний шар – експоненціально стратифікований шар – однорідний напівпростір”. Параметри експоненціально стратифікованого шару підібрані таким чином, що ця задача моделює більш складну з точки зору аналітичного та чисельного розв’язування представлену вище задачу про поширення хвиль в системі “однорідний шар – неперервно стратифікований напівпростір ”. Отримана добра відповідність результатів для залежності фазових та групових швидкостей від хвильового числа та довжини хвилі. Якісні відмінності виявляються при побудові мод коливань поверхневої хвилі та перших трьох внутрішніх мод. Величини екстремумів в двошаровій задачі збільшуються з глибиною, що не може бути враховано за допомогою спрощеної тришарової задачі.

Задача про вплив стисливостi рiдини на еволюцiю вiльної поверхнi рiдини кiнцевої глибини при iмпульсному збуреннi донної поверхнi має вигляд

, (, ) (12)

, , , ,

де - швидкість звуку у рідині. Для розв'язку задачі застосовується iнтегральне перетворення Лапласа по часовій координаті, отримано точний аналiтичний розв'язок по формулi обернення Рімана - Меллiна, а також наближений розв'язок. Проведено спiвставлення результатiв точного та наближеного розв'язкiв, що дало можливість тестування алгоритму чисельного обернення. Виявлено: що на початку руху шар стискається, при цьому відхилення вільної поверхні менше за відхилення дна, потім шар розширюється і, як результат, амплітуда відхилення вільної поверхні стає більшою за амплітуду відхилення дна. Далі відбуваються коливання вільної поверхні відносно кривої, яка відповідає відхиленню дна. Амплітуда відхилення вільної поверхні дещо запізнюється відносно амплітуди відхилення дна, що узгоджується з результатами І.Т.Селезова, В.О.Ткаченка, В.В.Яковлева (1982).

Розглядається шар, заповнений рідиною обмежений згори вільною поверхнею, а знизу твердим дном. У початковий момент часу рідина знаходиться у спокої. Форма поверхні дна задається у вигляді осесиметричної функції . Припускається, що компоненти вектора швидкості , відхилення вільної поверхні , поверхня дна та відповідні похідні є малими величинами, квадрати та добутки яких можна не враховувати у порівнянні з лінійними членами. У циліндричній системі координат задача формулюється у вигляді

, (, )

, , , (13)

,

де - потенціал швидкостей, - відхилення дна. Ця задача є узагальненням задачі про генерацію хвиль відхиленням прямого дна (І.Т.Селезов, В.М.Сидорчук, В.В.Яковлев, 1982). Методом інтегрального перетворення Лапласа отримано розв'язок. Зроблено варіювання параметрів форми донної поверхні та функції, що задає імпульс зсуву дна, в результаті робіться висновок про те, що для більш гострого імпульсу вільна поверхня змінює форму швидше, проте в більш вузькому околі центра симетрії, а значення вiдхилення вiльної поверхнi в околi центра зсуву на 20-30% бiльше в порiвняннi з вiдхиленнями вiльної поверхнi для плоского дна.

Значна кількість робіт (Л.В.Черкесов, 1973; І.Т.Селезов, В.В.Яковлев, 1978; K.V.Pramod, M.J.Vedan, 1992) присвячена дослідженню трансформації хвиль на донних неоднорідностях. Подальший розвиток ця проблема знайшла в задачі про вплив локальної неоднорідності на відображення та проходження хвиль на воді. Досліджується трансформація плоских хвиль на воді над локальною неоднорідністю. Рідкий шар розділений на три області , , де і - глибини (товщини областей в шарі). Хвильовий рух описується рівняннями руху в наближенні теорії мілкої води

, ,

, , , . (14)

Вважається, що гармонічна падаюча хвиля поширюється справа наліво з відхиленням . В області змінної глибини падаюча хвиля генерує відбиті хвилі в областях та хвилі, що проходять, в області . Отримані аналітичні розв'язки для двох випадків параболічної та лінійної форми дна. Для параболічної форми отримані розв'язки у гіпергеометричних функціях, а для лінійної у циліндричних. Вплив лінійної неоднорідності на профіль хвиль та амплітуду відхилення вільної поверхні вивчені найбільш детально. Трансформація гармонічних хвиль над локальною донною неоднорідністю проявляється в збільшенні амплітуди хвиль при виході на більш мілку воду. Виявлені такі параметри донної неоднорiдностi, при яких має місце слабке вiдбиття гармонічних хвиль та практично повна передача енергiї хвилi, що проходить.

Розглянута задача поширення поодинокої хвилі над локальними донними неоднорідностями, обмеженими однорідними за глибиною областями. Хвильові рухи описуються рівняннями мілкої води (14). Шукані функції , та задовільняють граничні умови (14). Падаюча хвиля поширюється справа наліво. Вважається, що падаюча хвиля породжується відхиленням вільної поверхні на деякій відстані від початку неоднорідності так, що . Це відхилення включається в момент часу у вигляді заданої функції часу . Відповідна умова для падаючої хвилі в поперечному перерізі записується у вигляді

, (15)

де - функція Хевісайда.

Методом інтегрального перетворення Лапласа отримано аналітичні розв'язки для випадків лінійної та параболічної глибини в просторі відображень. За допомогою чисельного обернення отримана залежність форми хвилі від просторової координати для різних моментів часу.

Трансформація імпульсної хвилі типу цунамі над неоднорідністю на дні призводить до того, що подовженість імпульсу в часі зменшується при зростанні його амплітуди, а хвильові профілі стають більш високими та загостреними (рис.3), що знаходиться в відповідності з законом збереження енергії. Довжина лінійно неоднорідної області суттєво впливає на швидкість зростання амплітуди, проте за умови фіксованої різниці глибин в однорідних областях вона практично не впливає на амплітуду хвилі, що проходить.

Шостий роздiл присвячений вивченню впливу фiзичних неоднорiдностей на поширення хвиль у гiдропружних шаруватих системах, коли істотним є урахування стисливості рідкого середовища, що є продовженням дослідження поширення хвиль у системах з неоднорідною структурою. Проблеми поширення хвиль у шаруватих гідропружних структурах вивчені досить повно і широко представлені у літературі (A.J.Langley, 1988; В.М.Сеймов, О.М.Трофимчук, О.А.Савицький, 1990; В.С.Борщан, О.Д.Сивкова, 1994; X.L.Bao, H.Franklin, P.K.Raju, H.Uberal, 1997), але у зв'язку з потребами практики, особливо біомеханіки та гідроакустики, у наших дослідженнях було отримано ряд нових результатів, викладенню яких присвячено цей розділ. У кандидатській дисертаційній роботі автора були отримані чисельні результати у випадку поширення хвиль у однорідному та неоднорідному пружному шарі між однаковими рідинами для одного часткового випадку неоднорідності, а також розглянуто недисипативну систему з порожнинами у пружному шарі. У цьому розділі представлено нові дослідження в аналітичному та чисельному аналізі задачі про поширення хвиль у однорідному або неоднорідному шарі, зануреному між рідинами з однаковими [2], [7] або різними [17], [18] властивостями, де виявлені і проаналізовані коливання системи, які зводяться до симетричних та антисиметричних або квазісиметричних та квазіантисиметричних коливань. Нові дослідження хвильових рухів у шарі з порожнинами, зануреному у рідину, стосуються оцінки дисипації енергії у залежності від параметрів пружного середовища [8]. Ці дослідження викликані практичними потребами у області дослідження хвильових рухів у структурах, що моделюють кістки, які є пружними структурами, що